90802

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии. Система координат. Система координат на плоскости (пространство R2 )

Лекция

Математика и математический анализ

Координаты пишутся в круглых скобках рядом с названием точки, причем на первом месте в прямоугольной системе координат записывается абсцисса точки, а на втором - ее ордината. Например, если x-абсцисса точки, а y - ее ордината, то это записывается так: A(x;y).

Русский

2015-06-11

604.11 KB

0 чел.

ГЛАВА II. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

§1. Система координат

1.1 Система координат на плоскости (пространство R2 )

Декартовая прямоугольная система координат на плоскости считается заданной, если заданы две взаимно перпендикулярные прямые (оси координат), начало отcчёта и единица масштаба.

Горизонтальная ось - ось абсцисс, положительное направление оси - вправо.

Вертикальная ось, перпендикулярная к первой, называется осью ординат. Положительное направление - вверх.

Положение точки на плоскости определяется двумя числами - абсциссой и ординатой. Они называются координатами точки.

Координаты пишутся в круглых скобках рядом с названием точки, причем на первом месте в прямоугольной системе координат записывается абсцисса точки, а на втором - ее ордината. Например, если x-абсцисса точки, а y - ее ордината, то это записывается так: A(x;y). У точек, лежащих на оси абсцисс, ординаты равны нулю, а у точек, лежащих на оси ординат - абсциссы равны нулю. Абсцисса и ордината точки есть расстояния этой точки до осей ОY и ОХ соответственно, которым приписываются определённые знаки в зависимости от четверти, на которые оси координат делят всю координатную плоскость.

Четверти (квадранты) и знаки координат указаны на рисунке 1. Если соединить точку с началом координат, получим вектор , который называется радиусом - вектором точки М. Координаты радиуса - вектора совпадают с координатами точки.

1.2 Простейшие задачи аналитической геометрии

Расстояние между двумя точками на плоскости

Пусть заданы две точки А(х1;y1) и B(x2;y2). Требуется найти расстояние АВ между ними.

По теореме Пифагора: АВ2D2D2= =(x2-x1)2+(y2-y1)2  (рис2).

АВ=.   (1.1)

Расстояние между двумя точками на плоскости равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноимённых координат.

Слагаемые в круглых скобках можно менять местами, т.к. каждая скобка возводится в квадрат.

Деление отрезка в данном отношении

Пусть А(х11) и В(х22) концы отрезка АВ. Точка С(х;у) делит отрезок АВ в отношении .

Требуется найти координаты точки С (рисунок 3).

Так как   ( на основе теоремы о пересечении отрезка параллельными прямыми) (1.2)            (1.3)

Если разрешить уравнения (1.2) относительно Х и У получатся формулы (1.3). Если =1, то есть точка С-середина АВ, и

          ;                                    (1.4)

Замечание. Если точка С вне отрезка АВ - за концом отрезка, то      - отрицательное число (рисунок 4).

,  т.к. направление отрезков АС и СВ - противоположны .

б) С - за началом отрезка (рисунок 5).   и    .

Рис. 5

§2 Векторы.

  1.  Основные понятия.
  2.  Линейные операции с векторами
  3.  Проекция вектора на ось
  4.  Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы.
  5.  Действия над векторами в координатной форме.

1.Основные понятия

Опр.1 Величины, которые полностью определяются своими

         численными значениями, называются скалярными.

Опр. 2 Вектором называется направленный прямолинейный отрезок.

Обозначается  или . Вектор считается заданным, если известны его длина и направление.

Опр.3 Число, равное длине вектора, называется его модулем или длиной вектора.

Обозначается или . Модуль может быть только положительным числом.

Векторы в пространстве свободны, т.е. начало его (точку приложения) можно поместить в любую точку пространства, при этом нужно сохранить длину и направление.

Опр.4 Вектор ВА называется противоположным Вектору АВ.

Опр 5 Вектор называется единичным (е), если длина его равна 1, а если его направление совпадает с направлением данного вектора, то он называется ортом вектора а.

Опр 6 Вектор называется нулевым, если совпадают координаты его

         начальной и конечной точек.

        Длина нулевого вектора равна нулю.

Опр 7 Векторы и называются коллинеарными, если они лежат     

         на одной прямой или на параллельных прямых. .

Направления их могут быть одинаковыми или противоположными.

Опр. 8 Векторы и называются равными, если они коллинеарные,

        имеют одинаковую длину и направление().

Опр. 9 Векторы, лежащие в одной плоскости, называются    

            компланарными.

2. Линейные операции с векторами

Сложение векторов

1. Правилом треугольника Суммой двух векторов и называется третий вектор , соединяющий начало вектора с концом вектора , при условии, что начало вектора помещено в конец вектора .

2 Правило параллелограмм. Если векторы и привести к общему началу и построить на векторах и параллелограмм, то диагональ параллелограмма, выходящая из общего начала, называется суммой векторов и .

3 Правило многоугольника. Если векторы расположить так, чтобы начало каждого следующего вектора поместить в конец предыдущего, то суммой нескольких векторов называется вектор, соединяющий начало самого первого вектора с концом последнего

Число слагаемых векторов может быть любое конечное, многоугольник в результате сложения может быть выпуклым, а может и нет .

4.Правило параллелепипеда. Сумма трех некомпланарных векторов, приведенных к общему началу, равна диагонали параллелепипеда, построенного на этих векторах, выходящая из общего начала.

.

Если обозначить , тогда получим:   

Вычитание

Правило 5 Разностью двух векторов и называется третий вектор ,который в сумме с вектором даёт вектор .

т.е. .

Если привести векторы к общему началу и построить на них параллелограмм, то диагональ параллелограмма, не выходящая из общего начала, является разностью векторов, т.е. разность векторов – вектор, проведённый из конца вычитаемого в конец уменьшаемого.

Свойства (суммы и разности векторов)

Относительно сложения имеют место законы:

1)  - коммутативный (переместительный);

2)  - ассоциативный (сочетательный);

3) для любого вектора существует нулевой вектор , такой,  

    что;

4) для каждого вектора существует вектор такой, что вектор называется противоположным вектору и обозначается , т.е. =-.

Умножение вектора на число

Правило 6.Произведением вектора на число называется вектор , коллинеарный вектору , длина которого равна , а направление совпадает с вектором , если , и противоположное, если .

.

Относительно умножения на число имеют место законы:

а) - распределительный;

б) - сочетательный ;

в) - коммутативный.

3. Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве задана ось l.

Опр.10 Проекцией точки М на ось l называется основание  М1  

                  перпендикуляра ММ1, опущенного из точки на ось.

Опр.11.Проекцией вектора на ось l называется длина отрезка, взятая со знаком «+», если направление его совпадает с направлением оси и со знаком «-», если направление противоположно направлению оси.

Обозначается .

Проекция вектора на ось равна произведению его модуля на косинус угла , который вектор образует с осью.

                               

При этом углом между вектором и осью называется угол, на который нужно повернуть ось до совмещения с вектором против хода часовой стрелки.

 

4.Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы

Проекции вектора на оси координат называются его координатами. В этом заключается их геометрический смысл.

Если задана система координат на плоскости и в пространстве, то начало вектора можно всегда совместить с началом координат, не меняя при этом длину и направление. Выделим на координатных осях единичные векторы и обозначим .Выберем произвольный вектор . Найдем проекции вектора на координатные оси.

Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения с осями обозначим соответственно через М123. Получили прямоугольный параллелепипед, одной диагональю которого является .

                                   Тогда ;       ;   

                                           . По определению суммы получим, что , но т.к. ,то

.

Но , ,

Обозначим проекции на координатные оси, через .

Получим - эта формула является основной в векторном исчислении и называется Разложение вектора по ортам координатных осей. Числа называются координатами вектора а.

Проекции вектора на оси координат называются его координатами. В этом заключается их геометрический смысл.

Векторное равенство иногда записывают в символическом виде .

Зная проекции вектора легко можно найти его длину, т.е. модуль. На основании теоремы о длине диагонали параллелепипеда .

Т.е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат. координат .

Пусть углы вектора с координатными осями соответственно равны . По свойству проекции вектора на ось имеем .(*)

Опр.12 Косинусы углов, которые вектор образует с осями координат, называются направляющими косинусами вектора.

Если вектор задан на плоскости, то .

Они обладают замечательным свойством:

.

Для  .                       

Из формул (*) следует, что координатами единичного вектора являются направляющие косинусы, т.е. .                                          

5. Действия над векторами в координатной форме

Для любой точки в ДСК координаты вектора ОМ- радиус –вектора являются её координатами

Если начало вектора не совпадает с началом координат, но известны координаты начальной A и конечной B точек, то координаты вектора представляют собой разности одноименных координат его начальной и конечной точек.

Пусть A(x1;y1),а B(x2;y2), тогда

.

Это в двумерном пространстве (R2).

Аналогично в трехмерном пространстве. Если , , то                              

Если известны координаты вектора , то его модуль равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

.

Если , то.             

Направляющие косинусы любого вектора вычисляются по нижеприведенным формулам:

.

Пусть и .

Если векторы и коллинеарны, то соответствующие координаты их пропорциональны: .                                              

Верно и обратное, т.е. если выполняется соотношение ,то .

§3. N- мерное векторное пространство.

Линейная зависимость и независимость векторов.

  1.  N- мерное векторное пространство.

2. Линейная зависимость и независимость векторов

3. Базис векторного пространства. Разложение вектора по базису

1.N- мерное векторное пространство

Пусть имеется система векторов:   

 Опр.13.Выражение вида: ,       (3.1)     где - вещественные числа, называется линейной  

             комбинацией векторов.

Опр.14.Система векторов называется линейно независимой, если линейная комбинация (3.1) равна нулю при условии, что все =0, т.е. .                       (3.2)

Если линейная комбинация (3.1) равна нулю при условии, что хотя бы одно из чисел , то система векторов (3.1) называется линейно зависимой.

Если система содержит более одного вектора , то линейная зависимость её означает, что по крайней мере один из векторов системы может быть представлен в виде линейной комбинации других векторов системы. Действительно, пусть векторы линейно зависимы и пусть . Тогда в равенстве (3.2) можно обе части разделить на и выразить вектор через остальные векторы; т.е. представить его в виде их линейной комбинации:

.

Обозначив ; ; … ,  получим

.                                        (3.3)

Если все члены равенства (3.3) перенести в одну сторону, то получим , т.е. линейная комбинация равна нулю при условии, что коэффициент при векторе отличен от нуля. Он равен (-1).

Вывод.  Если хотя бы один из векторов является их линейной комбинацией (т.е. выражается через другие), то вся система векторов является линейно зависимой. Необходимым и достаточным условиями линейной зависимости двух векторов на плоскости (в пространстве R2) является их коллинеарность, а в трёхмерном пространстве (R3) - их компланарность.

Система, состоящая из одного вектора (пространство R1), будет линейно зависима, если этот вектор нулевой, а если он отличен от нуля – то линейно независима.

В пространстве (на прямой) линейно независимая система не может содержать более одного вектора, т.е. система из двух (и более) векторов всегда линейно зависима.

В пространстве (на плоскости) линейно независимая система не может содержать более двух векторов, т.е. любая система из трёх (и более) векторов линейно зависима.

Если в линейном пространстве имеется линейно независимых векторов, а любые векторов линейно зависимы, то пространство называется конечномерным, если же линейное пространство таково, что в нём существуют системы сколь угодно большого числа линейно независимых векторов, то это пространство называется бесконечномерным. 

Максимально возможное число линейно независимых векторов в конечномерном пространстве называют размерностью этого пространства. Если размерность пространства равна , то его называют - мерным ().

Опр.15. Система линейно независимых векторов в - мерном пространстве называется базисом этого пространства.

По векторам базиса можно разложить любой вектор пространства, причём единственным образом.

Разложить вектор по векторам базиса – это представить его в виде линейной комбинации векторов этого базиса.

Если базисом является линейно независимых векторов , то разложение любого вектора по этому базису имеет вид :.                                         (3.4)

Коэффициенты этого разложения, т.е. числа называются координатами вектора в данном базисе.

Для нахождения этих чисел нужно составить систему - линейных уравнений с этими неизвестными, и решить её.

Каждое уравнение составляется по формуле (3.3) из соответствующих координат этих векторов.

П р и м е р
Даны векторы:
; ; ; .

Показать, что векторы образуют базис и разложить вектор по этому базису.

Решение. Векторы образуют базис в трёхмерном пространстве, если они линейно независимы, поэтому нужно составить определитель из координат этих векторов. Если он равен нулю, то его строки (а следовательно и векторы) являются линейно зависимыми, т.е. они не могут образовывать базис, если определитель не равен нулю, то векторы линейно независимы и образуют базис.

Разложить вектор по базису - это значит представить его в виде линейной комбинации этих векторов:

.                                      (*)

Так как вектор получается из векторов базиса по формуле (*), то и каждая его координата получается из соответствующих координат этих векторов по этой же формуле

§4. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

4.1 Скалярное произведение, его свойства и вычисление

Опр.1Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается скалярное произведение или       

              или =              (4.1)

OC=,OD=.

Если учесть, что в формуле (4.1) произведение равно проекции вектора на ось вектора , получим:

.

Аналогично – есть проекция на ось вектора , т.е.

.

Учитывая сказанное, получим 2-е определение скалярного произведения.

Опр.2 Скалярное произведение векторов равно произведению

        модуля одного из них на проекцию на него же второго

       вектора.

                                           (4.2)

(определение скалярного произведения через проекции).

Формула (4.1) так же как и (4.2) часто используется при решении задач

Механический смысл скалярного произведения

В механике часто приходится вычислять работу, совершаемую переменной силой, если точка её приложения перемещается по прямой.

Если сила f перемещается по вектору (от начала к концу), то работа, производимая этой силой, равна скалярному произведению силы f на вектор :

.                                            (4.3)

Свойства скалярного произведения

Относительно скалярного произведения имеют место следующие законы:

10  (коммутативный или переместительный закон);

20  (ассоциативный или  

  сочетательный закон);

30 (дистрибутивный или  

                                            распределительный закон);

40 ;

50 , если и обратно: если

Скалярное произведение в координатах

Если два вектора заданы в координатах и , то скалярное произведение их равно сумме произведений одноимённых координат:

.                                        (4.4)

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство:

.                                   (4.5)

Угол между векторами вычисляется по формуле:

.                              (4.6)

71

4.2 Векторное произведение векторов

Опр. 3 Векторным произведением векторов  и  называется   

            вектор , который удовлетворяет трём условиям:

1.Он перпендикулярен к перемножаемым векторам ;

2.Длина его (модуль) равна произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними:

;                                           (4.7)

Направлен он таким образом, что если посмотреть из его конца, то кратчайший поворот первого перемножаемого вектора ко второму должен быть виден против хода часовой стрелки.

Обозначается векторное произведение:

или .

Геометрический смысл векторного произведения

Из определения векторного произведения видно, что модуль его численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, как на составляющих, т.е.

   (рисунок 2).

Так как , то .                            (4.8)

Механический смысл векторного произведения

Рис. 19

Пусть заданы две точки О и М. Пусть сила приложена к т. М и равна вектору , а из точки О в т. М идёт вектор , (т.е. ).

Тогда моментом силы f относительно точки называется векторное произведение векторов и , т.е. вектор , равный:

,                                              (4.9)

так как (рисунок 19).

Вектор (момент силы ) перпендикулярен к векторам и , имеет длину, равную площади параллелограмма, построенного на векторах и .

Если из точки опустить перпендикуляр на вектор , то - есть плечо силы , т.е. модуль момента равен произведению модуля силы на плечо

    (рисунок 19),

где OP - высота параллелограмма , - длина основания.

Свойства векторного произведения

10 Векторное произведение равно нулю, если векторы коллинеарны или один из них равен нулю.

следует из определения модуля векторного произведения: .

Модуль равен нулю, если:

1) или векторы коллинеарны.

2) или .

20 , т.е. векторное произведение не коммутативно.

30 (сочетательный закон относительно числового множителя).

40. (распределительный закон относительно суммы и произведения).

Векторное произведение векторов, заданных координатами

Пусть заданы векторы и .

Векторное произведение векторов, заданных координатами, равно определителю третьего порядка, первой строкой которого являются единичные векторы и , второй- координаты первого перемножаемого вектора, третьей – координаты второго вектора:

 .     (4.10)

              

                        .             (4.11)

Практический способ вычисления векторного произведения

Записать векторы один под другим

и, вычёркивая последовательно столбцы одноимённых координат, получаем определители второго порядка, которые являются координатами векторного произведения. При вычислении второй координаты  перед определителем изменить знак.

Составить выражение из координат:

              .                         (4.12)

Для получения координат векторного произведения в выражении (4.12) поочередно вычеркивать столбцы.

Для получения первой координаты x вычеркнуть 1-й столбец:

Для получения y вычеркнуть второй столбец, перед оставшимся минором взять знак « - »:

.

Для z вычеркнуть 3-й столбец:

4.3 Смешанное (векторно-скалярное) произведение векторов, его геометрический смысл

Опр 4 Смешанным произведением векторов называется число, полученное в результате векторного произведения двух векторов, скалярно умноженного на третий.

Обозначается .                  (4.13)

Геометрический смысл его выражается теоремой.

Теорема. Смешанное произведение представляет собой число, абсолютная величина которого равна объёму параллелепипеда, построенного на векторах как на составляющих, т.е.

.                                                            (4.14)

Подставляя эти значения в формулу (*), получим, что и требовалось доказать.

Свойства смешанного произведения

10 Смешанное произведение равно нулю, если векторы - компланарны, один из них нулевой или какие-либо два из них коллинеарные.

20 Можно ли переставлять местами сомножители в смешанном произведении?

Там, где произведение скалярное, там можно, а где векторное– нельзя.

;

;

;    ;  .

Если расположить векторы по координатным осям, то, делая круговой поворот их против часовой стрелки  (рисунок 20), смешанное произведение не меняет знак.

.

Рис. 20

Если вращать векторы по ходу часовой стрелки, то смешанное произведение меняет знак на противоположный  (рисунок 21).

.

Рис. 21

Смешанное произведение векторов, заданных координатами

Пусть векторы заданы координатами , , .

Тогда смешанное произведение их вычисляется с помощью определителя третьего порядка, строками которого являются координаты перемножаемых векторов.

§ 5. Прямая на плоскости и в пространстве.

5.1. Уравнение линии.

   Изучение свойств геометрических фигур с помощью алгебры  носит название аналитической геометрии, а использовать при этом мы будем так называемый метод координат.

Линия на плоскости обычно задается как множество точек, которые обладают присущими только им свойствами. Тот факт, что координаты (числа)  х  и  у точки, лежащей на этой линии, аналитически записываются в виде некоторого уравнения.

 Опр.1Уравнением линии (уравнением кривой) на плоскости  Оху    называется уравнение (*), которому удовлетворяют   координаты  х  и  у  каждой точки данной линии и не   удовлетворяют координаты любой другой точки, не    лежащей на этой линии.

 Из определения 1  следует, что всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение между текущими координатами (х,у) точки этой линии и наоборот, всякому уравнению соответствует, вообще говоря, некоторая линия.

Отсюда возникают две основные задачи аналитической геометрии на плоскости.

1.Дана линия в виде множества точек. Нужно составить уравнение этой линии.

2. Дано уравнение линии. Необходимо изучить ее геометрические свойства (форму и расположение).

Пример. Лежат ли точки А(-2;1) и В(1;1) на линии 2х+у+3=0?

Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями и, сводится к отысканию координат, которые удовлетворяют уравнению обеих линий, т.е. к решению системы из двух уравнений с двумя неизвестными.

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.

Аналогично вводится понятие линии в ПСК.

Линию на плоскости можно задать двумя уравнениями

, (5.1)

где х и у – произвольные координаты точки М(х;у), лежащей на данной линии, а t- переменная, называемая параметром, параметр определяет положение точки на плоскости.

Например, если , то значению параметра t=2 соответствует на плоскости точка (3;4).

Если параметр изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способом задания линии называется параметрическим, а уравнение (5.1) –параметрическим уравнением линии.

Чтобы перейти от параметрических уравнений к общему уравнению (*), надо каким – либо способом из двух уравнений исключают параметр. Однако, заметим, такой переход не всегда целесообразен и не всегда возможен.

Линию на плоскости можно задать векторным уравнением , где t- скалярный переменный параметр. Каждому значению параметра соответствует определенный вектор плоскости. При изменении параметра конец вектора опишет некоторую линию.

          Векторному уравнению в ДСК  соответствуетдва скалярных уравнения     

          (5.1), т.е. уравнения проекций на оси координат векторного уравнения линии есть ее  

      параметрическое уравнения.

Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения, а линия – траектория точки, параметр t при этом есть время.

Вывод: всякой линии на плоскости соответствует уравнение вида .

ВСЯКОМУ УРАВНЕНИЮ ВИДАсоответствует в общем случае некоторая линия, свойства которой определяются данным уравнением (исключение – уравнению на плоскости не соответствует никакой геометрический образ).

Пусть выбрана система координат на плоскости.

Опр. 5.1. Уравнением линии называется такое уравнение вида F(x;y)=0, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на ней.

              Уравнение вида F(x;y)=0 – называют общим уравнением линии или уравнением в неявной форме.

Таким образом, линия Г есть геометрическое место точек, удовлетворяющее  данному уравнению Г={(x, y): F(x;y)=0}.

Линию называют также кривой.

5.2. Уравнение прямой на плоскости.

Задача 1. Найти уравнение прямой проходящей через данную точку М000) и перпендикулярно вектору n=(A;B).

                 Произвольная  точка М (х,у) лежит на данной прямой тогда и только тогда, когда М0М  n, те  М0М  n = 0.

     Если r и r0 радиус векторы точек М и М0, то получаем, что

                        (r - r0, n)=0 (5.2) – векторная форма уравнения прямой. 

Или запишем  скалярное произведение через координаты

A(xx0) + B(y- y0)=0  (5.3) – координатная форма уравнения прямой, проходящей через точку М000) и перпендикулярно n.

Обозначим  Ах0 + Ву0= С, то уравнение (5.3) приводится к виду Ах + Ву +С=0 (5.4)  – общее уравнение прямой, где коэффициенты А и В – определяют координаты вектора nвектор нормали прямой.

Пусть В  0. Обозначим k= - А/В, b= - С/В, уравнение (5.4) перепишем в виде

 k x + b=0 (5.5) - уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Величина  k= tg угла наклона прямой к оси ОХ,  а величина b по модулю равна длине отрезка, отсекаемого прямой на оси ОУ.

у-у0=k (x-x0) – (5.5')- уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящим через заданную точку М000).  

k>0

k<0

k=0

Пусть С  0. Обозначим а = - А/С, b = - В/С, уравнение (5.4) перепишем в виде  

x/a +y/b=1 (5.6) - уравнение прямой в отрезках, где а- величина  отрезка отсекаемого прямой на оси ОХ, аналогично в.

Задача 2.  Записать уравнение прямой, проходящей через точку М00; у0) с радиус вектором  r0 параллельно заданному вектору l( m;n). lнаправляющий вектор прямой.

Произвольная  точка М ( её радиус вектор обозначим r(х;у)) лежит на данной прямой тогда и только тогда, когда r - r0 ‌‌‌ ‌ l, те  r - r0=tl или  r = r0+tl (6) – параметрическое уравнение прямой в векторной форме .

Уравнение (5.6) можно записать в координатной форме.

- (5.7)- параметрическое уравнение прямой в    координатной  форме .

-    (5.8) -каноническое уравнение прямой.

В частности, если прямая проходит через точки М000) и М111), то в качестве направляющего вектора можно взять вектор 1- х0; у1 – у0) и уравнение (5.7) перепишем в виде

- (5.9)- уравнение прямой проходящей через две точки М000) и М111).

Задача 3. Найти расстояние от прямой  до точки.

                              При решении этой задачи используем  нормальное уравнение.

          Пусть дана прямая l,заданная двумя точками   М и  М0 проведем через начало  координат нормаль к  этой прямой, где точка P     пересечение прямой и нормали.

Вектор n =(cos α, sinα) – направляющими  косинусами,  cosβ = sin α  (из прямоугольного Δ).

(r - r0, n)=0  r  n= r0 n

Поскольку  r0 n=прnr0 = p- обозначим проекцию вектора  r0 на  нормаль, получим

                (5.10) нормальное

( нормированное)  уравнение прямой, где р – перпендикуляр опущенный из начало координат на данную прямую, а угол  - угол, образованный этим перпендикуляром и осью ОХ.

Особенности данного уравнения:

  1.  Р- свободный член всегда отрицателен.
  2.  Сумма квадратов коэффициентов при неизвестных равна 1

( из свойства направляющих косинусов).

Опр. 5.2. Расстоянием от точки до прямой , называется длина перпендикуляра , опущенного из этой точки на прямую.(d)

Опр. 5.3. Отклонением точки М от прямой, называется расстояние от этой точки до прямой , взятое со знаком "+",если точка и начало координат расположены по разные стороны от прямой, и со знаком "-"  -если по одну.

 Одной из стандартных задач аналитической геометрии является задача вычисления отклонения точки от прямой. Эту задачу решает следующая  теорема.

Теорема 5.1. Если точка М* имеет координаты (х*;у*), прямая  

                      Задана нормальным уравнением, то отклонение точки М* от этой прямой вычисляется по формуле

                     =x сos + ysin-p (*)

Доказательство:    спроектируем точку М на нормаль; пусть точка Q – её проекция. Тогда = PQ=OQOP, где PQ, OQ , OP – числовые величины соответствующих векторов, расположенных по нормали, но

OQ = пр n OM= x сos + ysin ,  OP=p 

= пр n OM – p   =x сos + ysin-p (*)  чтд.

Таким образом видим, что в правая часть данного уравнения – это левая часть нормального уравнения прямой.

Замечание.  Чтобы найти расстояние от точки до прямой нужно вычислить отклонение по модулю, те в левую часть нормального уравнения (*) подставить координаты точки.

Приведение уравнения общего вида к нормальному.

Пусть прямая задана: общим и нормальным уравнениями коэффициенты при неизвестных пропорциональны и равны , те

                        A= cos;  B = sin; C=-p.

Решим данную систему, чтобы найти  - нормирующий множитель.

Правило. Для того чтобы привести общее уравнение к нормальному, надо поделить все коэффициенты данного уравнения на нормирующий множитель.   

Замечание. Знак нормирующего множителя противоположен     знаку свободного члена уравнения (5.10).

5.3. Взаимное расположения прямых и угол между ними.

Пусть заданы две прямые общими уравнениями.

Решим систему

Исследуем решения этой системы с помощью определителя:

1. система имеет единственное решение, те прямые пересекаются

2. прямые  совпадут  или параллельны .

3. Условие перпендикулярности прямых: А1А2 + В1В2=0.

4.  Угол между прямыми вычисляется по формуле

Если прямые заданы уравнениями  с угловыми коэффициентами (школьные) :

  1.  l1 l2  k1= k2;
  2.  l1 ┴l2  k1· k2 =-1 k1= -1/k.

§ 6. Плоскость  и прямая  в пространстве.

6.1. Уравнение плоскости в пространстве.

Пусть задана точка М0 (x0; y0; z0) с радиус вектором r0 = (x0; y0; z0)  и вектор n = (А; В; С)  П (плоскость), и идущий из начало координат.

Для всех точек плоскости и только для них справедливо соотношение: n М0 М, где М (x; y; z) – произвольная точка плоскости П, с радиус вектором r =(x; y; z).

Как и при решении задачи о прямой получаем (r - r0, n)=0 (6.1) – векторная форма уравнения плоскости.

В координатной форме можем записать

 A(xx0) + B(y- y0)+C(z-z0)=0  (6.2) – координатная форма уравнения плоскости, проходящей через точку М000;; z0) и перпендикулярно n.

 Или обозначая (-Ax0 - By0 Cz0)=D, получим

Ах + Ву +Сz +D =0 (6.3)  – общее уравнение плоскости, где коэффициенты А, В, С – определяют координаты вектора

nвектор нормали прямой.

Некоторые виды неполных уравнений плоскости, в зависимости от её расположение в пространстве:

условия

Вид уравнения

Расположение П

Д=0

Ах + Ву +Сz  =0

П проходит через начало О

А=0

Ву +Сz +D =0

П ││Ох

А=0,В=0

Сz +D =0

П││Оху или П ⊥Оz

А=0,В=0 Д=0

Сz =0

Z=0- Оху

Пусть Д≠ 0, тогда введем новые обозначения и получим

x/a +y/b+z/c =1 (6.4) - уравнение плоскости в отрезках, где а - величина  отрезка отсекаемого прямой на оси ОХ, аналогично в и с.

Имеем три точки М1, М2, М3 П.

Возьмем произвольную точку М (x; y; z)П.

Если три вектора компланарны, то выполняется условие  

М1М * М2М * М3М =0.Применяя все правила умножения векторов,

получим, что - (6.5) уравнение плоскости проходящей через три точки.

Замечание. Данное уравнение может изменяться в зависимости от того, из какой точки выходят вектора.

Вывод нормального уравнения плоскости аналогичен выводу нормального уравнения прямой (самостоятельно), и все условия выполняются для него:

(6.6)- нормальное уравнение плоскости.

Расстояние от точки до плоскости считается аналогично.

6.2. Взаимное расположения плоскостей и угол между ними.

1.Угол между плоскостями находится, как угол между нормалями этих плоскостей

2. П1 ││П2 

3. . П1 П2 А1А2 + В1В2 1С2=0.

6.3. Различные формы уравнения прямой в пространстве.

1. Прямая рассматривается, как пересечение двух плоскостей, и получаем общее уравнение прямой в пространстве:

                                                                                                      (6.4)

 2. Каноническое и параметрическое:

   ;                                                                                     (6.5)

Sl nП1  и Sl nП2  Sl = nП1 nП2=

Чтобы привести общее уравнения прямой к каноническому виду нужно взять одну координату точки принадлежащую обеим прямым – произвольно, для нахождения остальных решить систему.

3.  уравнение прямой, проходящей через две точки.

                                                                                                   (6.6)

6. 4. Взаимное расположения прямых и угол между ними в пространстве.

  1.  Параллельные прямые лежат в одной плоскости.

                                                                                                                   (6.7)

  1.  Прямые пересекающиеся лежат в одной плоскости, для этого нужно, чтобы три вектора S1, S2, M1M2 – были компланарны.

3.Скрещивающиеся прямые, не  лежат в одной плоскости.

4.- угол между прямыми, задается как угол между направляющими этих прямых.

Вывод.

Чтобы написать уравнение прямой в пространстве, нужно иметь либо:

а) точку и направляющий вектор;

      б) две точки;  

            в) две плоскости, которые при пересечении дают   эту прямую.

6.5. Взаимное расположения прямой и плоскости в пространстве, угол между ними.

Прямая и плоскость в пространстве могут быть расположены по отношению друг к другу:

1) могут не иметь общих точек, те параллельны между собой, в этом случае Sl  nп, те Am+Bn+Cp =0.

    2) пересекаются в одной точке под произвольным углом.

Опр.  6.1. За угол между плоскостью и прямой, принимается угол  между этой прямой и её проекцией на плоскость.

                  При этом за данный угол берут наименьший из углов, которые прямая образует с этой плоскостью, 0<α<π/2.

Угол между нормалью  П и направляющим прямой обозначим –φ.

Тогда φ+α=π/2 => φ =π/2-α.

Из формул тригонометрии имеем cosφ = sinα     ( sinα >0).

Но скалярное произведение может получиться отрицательным, поэтому поменяв cosφ на sinα в числителе ставится модуль.

Частный случай: прямая перпендикулярна плоскости, тогда                  

                                    

3) Для нахождения точки М- пересечения нужно решить систему из уравнений прямой и плоскости:

Для этого записывают уравнение прямой в параметрическом виде и подставляют значения точки М в уравнение плоскости.

А(х0mt) + В(у0-nt) +С(z0+pt) +D =0.

Решаем это уравнение относительно t и подставляем найденные значения в систему  ; получаем координаты точки М.

4) Прямая может лежать в плоскости. Те иметь в пересечении бесчисленное множество точек.

Условия принадлежности прямой плоскости:

  1.  Sl  nп, те Am+Bn+Cp =0
  2.  координаты точек прямой должны удовлетворять уравнению плоскости:Ах0 + Ву0z0 +D =0

Таким образом условия принадлежности прямой  плоскости запишем в систему

Если выполняется (1) условие – то плоскость и прямая пересекаются в одной точке, если выполняется (2) условие то плоскость и прямая параллельны.

§ 7. Кривые II порядка

Любая линия в аналитической геометрии определяется как геометрическое место точек, обладающих одним и тем же свойством.

Линии, в уравнения которых входят неизвестные второй степени, называются линиями (кривыми) II порядка. К ним относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.

7.1 Окружность

Опр.7.1. Окружностью называется геометрическое место точек, расстояния которых до фиксированной точки, называемой центром, есть величина постоянная, равная R.

Каноническое уравнение окружности:

                                                ,                                                 (7.1)

где - координаты центра окружности, - радиус.

Для того чтобы написать уравнение окружности, нужно знать координаты центра и радиус.

Если в уравнении (71) a = b = 0, то оно примет вид:.                            (7.2)   Уравнение (7.2) является уравнением окружности радиуса R с центром в начале координат.

Особенности уравнения окружности

1 Оно обязательно содержит квадраты переменных с одинаковыми знаками и коэффициентами.

2 Оно не содержит члена с произведением координат xy.

По этим особенностям уравнение окружности можно отличить от других уравнений кривых II порядка.

Пример. Пусть задано уравнение .

Выяснить, какую линию II порядка оно определяет.

7.2 Эллипс

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (она должна быть больше расстояния между фокусами) (рисунок 1).

По определению эллипса имеем:

                                  .                                                     (7.3)

Преобразуя уравнение (7.3), получим каноническое уравнение эллипса:

,                                                      (7.4)

где - это полуоси эллипса, причем откладывается на оси , а на оси . - большая ось, на которой лежат фокусы.

- малая ось эллипса.   

Эллипс – симметричная кривая относительно осей координат.

Большая ось эллипса является фокальной, т.е. на этой оси расположены его фокусы, и он всегда вытянут вдоль фокальной оси.

Если большая ось эллипса , то и фокусы его на оси ординат (рисунок 2).

Параметры эллипса a, b и c связаны между собой. Зная два из них, можно всегда найти третий. В зависимости от фокальной оси формулы, связывающие параметры  меняются. Если фокусы эллипса расположены на оси OX, то выполняется равенство (рисунок 1)

В этом случае a - самый большой параметр.

Если фокусы на оси OY (рисунок 2), то:       .                                      

Самым большим параметром в этом случае является b.

Уравнение эллипса имеет свои особенности, по которым его можно отличать от уравнений других линий II порядка.

Оно всегда содержит сумму квадратов переменных x2 и y2 , коэффициенты, при которых различные, в отличие от уравнения окружности. Если центр эллипса находится не в начале координат, то его уравнение имеет вид:

                        ,                                                           (7.5)

где - координаты центра.

Опр.7.2 Эксцентриситетом  эллипса называется отношение межфокусного расстояния к   

             длине  большей оси.

 

Эксцентриситет эллипса всегда положителен, но меньше 1, т.к.  , т.е. .

Он характеризует форму эллипса. Чем больше эксцентриситет, тем больше вытянут эллипс вдоль фокальной оси (т.е. сжат вдоль оси OY). Если , если , то эллипс вырождается в прямую линию.

Если , то эллипс превращается в окружность.

Задача Дано уравнение эллипса . При- вести к каноническому.

Р е ш е н и е .  ,

7.3 Гипербола

Опр.7.3  Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (она должна быть положительной и меньше расстояния между фокусами)

.

Если обозначить постоянную величину через 2а, а расстояние между фокусами через 2с и выбрать систему так, чтобы ось OX совпала с фокальной осью , а ось ординат проходила бы через середину отрезка , тогда каноническое уравнение гиперболы примет вид:

                                                                  ,                                                        (7.6)

где а и b - полуоси гиперболы; а расположена на оси ОХ, а b  по оси OY (рисунок 4).

Ось, на которой расположены фокусы гиперболы, называется действительной, на ней расположены вершины гиперболы – т. А1 и А2. В этих точках гипербола пересекает действительную ось А1 (-а;0), А2 (а;0).

Вторая ось гиперболы, с которой она не имеет общих точек, называется мнимой осью.

А1А2=2а; F1F2=2c; F1 (-c;0);   F2 (c;0).

Если фокусы гиперболы расположены на оси OY, то уравнение гиперболы имеет вид:

                                            .                                                                        (7.7)

В этом случае действительной осью, на которой лежат вершины гиперболы и фокусы, является , - мнимая ось, - межфокусное расстояние. Координаты фокусов будут: . Из уравнений (7.6) и (7.7) видно, что фокальная (действительная) ось гиперболы та, которая со знаком "+" .

Числовое значение самой оси роли не играет, в отличие от эллипса.

Связь между параметрами у гиперболы постоянная, т.е. не зависит от фокальной оси. Межфокусное расстояние является самым большим параметром

.    

Опр.7.4 Эксцентриситетом гиперболы называется отношение межфокусного

                расстояния к длине действительной оси.

, если фокальная ось OX.                                                  

 , если фокусы на оси OY.                                                

Эксцентриситет гиперболы всегда положителен и больше 1, так как c>a и c>b, т.е. 1.

Большую роль у гиперболы играют асимптоты, так как они направляют ветви гиперболы.

Уравнения асимптот не зависят от фокальной оси и имеют вид

.                                                 (7.8)

Построение гиперболы начинают с асимптот. Если построить прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям и равными 2а и 2b, то его диагонали будут асимптотами гиперболы (рисунки 3, 4).

Если гипербола смещена в системе координат, то ее каноническое уравнение имеет вид

                ,                                (7.9)

где - координаты центра гиперболы.

7.4 Парабола

Опр.7.5 Параболой называется геометрическое место точек, равноотстоящих от

                данной точки, называемой фокусом и от данной прямой, называемой директрисой.

1) AB – директриса, - прямая, перпендикулярная к оси OX. За начало координат выбрана точка, делящая пополам расстояние между фокусом F и директрисой AB, т.е. CO=OF=.

Расстояние от фокуса F до директрисы AB обозначим через «p», тогда координаты фокуса будут , уравнение директрисы AB- .

                                                   .                                                                                  ( 7.10)        

Это каноническое уравнение параболы, где р – параметр  (р>0).

Из уравнения видно, что фокальная ось параболы (она же является и осью симметрии) входит в уравнение в первой степени. Вершина параболы находится в начале координат, т.к. свободный член отсутствует в уравнении, ветви направлены вправо.

Уравнение параболы может быть записано в разных видах, в зависимости от фокальной оси и направления ветвей.

В уравнении (7.10) х<0, поэтому ветви направлены влево. Координаты фокуса уравнение директрисы AB:         (рисунок6).

3) .                         (7.11)

§8. Линейные операторы. Собственные вектора и собственные числа.

8.1. Линейные операторы.

Пусть дано два линейных пространства Rn  и Rm . Говорят, что на линейном Rn пространстве задана функция f  со значениями в Rm или,  что задано отображение f линейного пространства Rn в Rm,если каждому вектору х из Rn поставлен в соответствие вектор у из Rm.

Пишут .

ОПР8.1. Отображение А: RnRm называется линейным или линейным оператором, если для любых векторов х и у из Rn и любых действительных чисел α и β, выполняется условие:

              .

Замечание : это соотношение эквивалентно двум:

           .

В пространстве Rn выберем базис ei (i=1..n), а в Rmбазис fj (j=1...m). Подействуем оператором А на каждый базисный вектор ei  из Rn. В результате получим n  векторов Аei  в пространстве Rm. Разложим их по базису fj: .

Из чисел  aik образуем матрицу, записав в её столбцы координаты вектора Аei   .

ОПР.8.2 А: RnRm линейным или линейным оператором, называется, такая квадратная матрица, под действием которой любой вектор х  Rn, преобразуется в вектор у Rn

            .

8.2 Собственные вектора, собственные числа линейного оператора.

ОПР.8.3 Собственным вектором линейного оператора А называется вектор х, если выполняется

Ах =λх ,число λ – называется собственным числом.

Задача. Показать, сто единичные базисные вектора i,j,k –являются собственными векторами диагональной матрицы А.

            Найти собственные числа диагональной матрицы.

Решение. - по условию

. Аналогично для вех остальных.

Для того чтобы СЛОУ имела нетривиальное решения, необходимо, чтобы определитель системы  =0.

ОПР. - характеристическое уравнение системы.

Задача. Найти собственные вектора линейного оператора в 2-х мерном пространстве.

Решение. Для 2- мерного пространства составим характеристическое уравнение   

                                            

Пример. Найти собственные вектора для матрицы 

Решение 1.

2.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77289. ON DEVELOPING ENVIRONMENT FOR CONTRUCTING SYSTEMS OF SCIENTIFIC VISUALIZATION 29 KB
  One cn distinguish three clsses of visuliztion systems. The first one consists of universl systems which include set of lgorithms for constructing wide rnge of typl representtions. For exmple wellknown systems PrView nd VS belong re of this kind.
77290. ENVIRONMENT FOR CONSTRUCTING SYSTEMS OF SCIENTIFIC VISUALIZATION 32 KB
  Ekterinburg The tlk dels with scientific visulistion system which is elborted by the uthors. One of the problems of trditionl visuliztion systems is tht some set of trnsformtion lgorithms is strictly prescribed nd cnnot be chnged. yer go the uthors presented this system lredy.
77291. Развитие программных средств научной визуализации 72.5 KB
  В связи с этим в арсенале визуализации создано множество программных средств. Но что делать если исследуемое явление настолько новое что нет готовых программ визуализирующих его Можно все же попытаться выразить визуальные сущности в терминах готовых систем визуализации. Можно создать программу для визуализации с нуля.
77292. Human-aware content elements as a base for website backend interfaces 24.5 KB
  This is especilly importnt for hosted CMS services becuse there is no personl trining provided for the user. For exmple to dd vcncy on site user often should perform the following steps: crete pge crete nd formt vcncy description dd links to tht pge from min menu nd dd nnounce to compny’s news. So user wstes his time nd even my leve the service. t the beginning of site cretion process user is sked for his compny type: rel estte cr rentl DVD store etc.
77293. ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ТРАССЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОГРАММ 32.5 KB
  В литературе можно найти самые разные подходы к визуализации трасс выполнения параллельных программ. В докладе мы приведем как обзор существующих решений так и предложения по новым подходам к разработке средств визуализации трасс. Поэтому приемы хорошо помогавшие при визуализации данных лет двадцать назад например использование Visul Informtion Seeking Mntr ldquo;Overview first zoom nd filter then detilsondemndrdquo; не срабатывают. Активно используются методы визуализации трассы выполнения на базе разнообразных метафор...
77294. ВИЗУАЛЬНАЯ ПОДДЕРЖКА РАСПАРАЛЛЕЛИВАНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО КОДА 26.5 KB
  Представляется что создание вспомогательных визуальных сред поддержки распараллеливания программ сможет облегчить работу специалистов и увеличить эффективность и надежность распараллеливания. Нами разработан макет средств визуальной поддержки распараллеливания в двух вариантах параллелизма на основе общей памяти и параллелизма на основе передачи сообщений с использованием библиотек OpenMP и MPI соответственно. Предполагается что пользователь по ходу анализа и обработки текста вносит изменения в текст последовательной программы для ее...
77295. Конструктор специализированных систем визуализации 1.13 MB
  Статья посвящена разрабатываемой авторами системы научной визуализации. Схема процесса визуализации Средства научной визуализации разделяются на три класса: Универсальные системы которые включают широкий набор алгоритмов построения различных типовых представлений. Например это известные системы PrView и VS. Универсальноспециализированные системы ориентированные на визуализацию объектов определенного типа.
77296. ОПЫТ РАЗРАБОТКИ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ НАУЧНОЙ ВИЗУАЛИЗАЦИИ 3.19 MB
  Универсальные и специализированные системы визуализации. Примеры специализированных систем научной визуализации. Система визуализации модели анализа загрязнения окружающей среды
77297. ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ФАКТОРА ПРИСУТСТВИЯ В СРЕДАХ ВИРТУАЛЬНОЙ РЕАЛЬНОСТИ 719 KB
  Присутствие является одним из основных факторов при изучении и проектировании сред виртуальной реальности. Дело в том что полноценное присутствие переживаемое как ощущение своего пребывания там в созданной компьютером реальности кажется очень похожим на измененное состояние сознания ИСС. Данная система на базе среды виртуальной реальности была создана в Джорджийском Технологическом Институте Атланта США с целью изучения социального поведения горилл с помощью моделирования их поведения участниками экспериментов...