90810

Векторы на плоскости и в пространстве

Лекция

Математика и математический анализ

Два равных вектора могут отличаться друг от друга только своими точками приложения, поэтому принято считать, что вектор, равный вектору, есть тот же вектор, но только перенесённый в другое место. Если отвлечься от точки приложения вектора, то весь класс равных между собой векторов, приложенных ко всевозможным точкам...

Русский

2015-06-11

258.22 KB

1 чел.

Глава 1. Элементы линейной алгебры

  1.  Векторы на плоскости и в пространстве

Вектором [От латинского vector  – везущий, несущий] называется направленный отрезок, т.е. отрезок, для которого указано, какая из концевых его точек считается началом, какая – концом отрезка.

Векторы обозначают двумя заглавными буквами латинского алфавита со стрелкой наверху: ,  или строчной буквой латинского алфавита с чертой наверху:  

A

B

Направленный отрезок, начало и конец которого совпадают, называют нулевым вектором и обозначают   или ,  . На чертеже нулевой вектор изображается одной точкой.

Вектор характеризуется следующими элементами:

1) начальной точкой (точкой приложения);

2) направлением; 

3) длиной («модулем вектора»).

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными [От латинского conвместе и liпеа – линия, т.е.  солинейные]. 

Коллинеарность векторов обозначается , . Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два ненулевых коллинеарных вектора  могут иметь одно и то же направление (и ) или противоположные направления (и ). В первом случае они называются сонаправленными, во втором случае – противоположно направленными. Сонаправленность векторов и  обозначается  (или ), противоположная направленность –

          

Векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются компланарными.

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка, изображающего данный вектор.

A

B

длина

конец

начало

Вектор называется единичным , если его модуль равен единице: . Если дан какой-нибудь вектор , то единичный вектор   того же направления равен отношению вектора  на его модуль , то есть .

Два вектора  и  называются равными, если выполняются следующие условия:

а) модули векторов  и  равны: ;

б) если векторы  и  ненулевые, то они сонаправлены: .

Два равных вектора могут отличаться друг от друга только своими точками приложения, поэтому принято считать, что вектор , равный вектору , есть тот же вектор , но только перенесённый в другое место. Если отвлечься от точки приложения вектора, то весь класс равных между собой векторов, приложенных ко всевозможным точкам, можно рассматривать, как математический объект, называемый свободным вектором, определённым каждым из равных между собой векторов, составляющих данный класс.

Линейные операции над векторами

Правило треугольника. Суммой двух произвольных векторов  и  называется третий вектор , который получается следующим образом: от произвольной точки О откладывается вектор , затем от конечной точки вектора  откладывается вектор . Вектор , начало которого совпадает с началом , а конец с концом , образует сумму векторов  и .

О

                                                                                                                 

                                                                                  

                                                                                                         

Правило параллелограмма. Суммой двух произвольных векторов  и  называется третий вектор , который получается следующим образом: от произвольной точки О откладываются векторы  и , строится на этих векторах, как на сторонах, параллелограмм. Диагональ этого параллелограмма, выходящая из точки О является суммой двух данных векторов.

О

Свойства суммы векторов:

1)  (ассоциативность);

2)  (коммутативность);

3) ;

4)

Пример. Скорость векторная величина, характеризующаяся быстротой движения (модуль вектора скорости) и направлением (направление вектора скорости) в данный момент времени.

Необходимость в сложении скоростей возникает, когда объект участвует одновременно в двух движениях.

Правило многоугольника. Суммой п произвольных векторов , , …,   называется вектор , который получается следующим образом: от произвольной точки О откладывается вектор , затем от конечной точки вектора откладывается вектор . От конечной точки вектора откладывается вектор  Продолжая аналогичным образом, от конечной точки вектора откладывается вектор    Вектор , начало которого совпадает с началом , а конец с концом , образует сумму векторов  , , …, .

                                                                            

                                              

                                                                                                                 

                               

                                                                                                                                          

О

Вектор нельзя формально определить как объект, характеризуемый числовой величиной и направлением. Это может привести к неверным выводам при решении практических задач.

Пример. Поток автомобилей на дороге является объектом, для характеристики которого нужно указать величину (число проходящих за единицу времени автомашин) и направление. Рассмотрим перекресток трех дорог, на котором по двум дорогам сливаются два потока автомобилей по 200 автомашин в час на каждой.

283 ам/час

200 ам/час

200 ам/час

Если предположить, что поток автомобилей является векторным объектом, то суммируя потоки как векторы, вместо очевидного результата 400 ам./час получим    (по   правилу   параллелограмма) заведомо бессмысленное значение  ам./час. Отсюда следует, что хотя поток автомашин характеризуется числовым значением и направлением, но, тем не менее, вектором не является.

                                       

Разностью векторов   и называется:

а) вектор  такой, что  ;

б) сумма вектора   и противоположного вектора вектору , то есть .

О

Задача. Самолёт летит относительно воздуха со скоростью v0 = 800 км/ч. Ветер дует с запада на восток со скоростью u = 15 м/с. С какой скоростью v самолёт будет двигаться относительно земли и под каким углом α к меридиану надо держать курс, чтобы перемещение было: на юг; на запад; на восток?

Решение. При движении самолета его скорость относительно земли равна сумме скоростей самолета относительно воздуха и ветра: .

Воспользовавшись правилом треугольника, найдем скорость самолета относительно земли при ее движении на юг, учитывая, что u =15м/с = 54км/ч. (

)

V

С

В

С

З

Ю

В

u = 15 м/с

Vв

v0=800 км/ч

Из прямоугольного треугольника АВС:   

а) 

В

б) ;

 

урс на юго-запад.

А

С

Воспользовавшись правилом треугольника, найдем скорость самолета относительно земли при ее движении на запад.

Модуль вектора  равен

В

А

С

разности модулей векторов     

и , то есть

Кур на запад.

Воспользовавшись правилом треугольника, найдем скорость самолета относительно земли при ее движении на восход.

Модуль вектора  равен

В

А

С

сумме модулей векторов     

и , то есть

Кур на восход.

Произведением ненулевого вектора   на действительное число  называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

а) ;

b) если α > 0, то ; если α < 0, то .

Произведение нулевого вектора на произвольное число или числа нуль на произвольный вектор есть нуль–вектор.

Произведение вектора на число обладает следующими свойствами:

1)   

2)   

3)   

4)   

Теорема. Для того чтобы вектор  был коллинеарен ненулевому вектору , необходимо и достаточно, чтобы существовало число , удовлетворяющее условию  . 

Доказательство.

Доказательство  необходимости. Пусть вектор  коллинеарен ненулевому вектору . Возможны следующие три случая:

l) ;     2)  ;     3).

Рассмотрим первый случай.

Таким образом,  

Доказательство достаточности непосредственно следует из определения произведения вектора на число.

Задачи 

1. Самолет летит их пункта А в пункт В и обратно со скоростью 600 км/час относительно воздуха. Расстояние между пунктами 900 км. Сколько времени затратил самолет на весь полет, если:

а) вдоль линии полета непрерывно дует ветер постоянного направления со скоростью 20 м/с?

б) подует западный ветер со скоростью 14 м/с?

в) будет дуть боковой ветер со скоростью 20 м/с перпендикулярно линии полета?

2. Найти скорость v относительно берега реки: а) лодки, идущей по течению; б) лодки, идущей против течения; в) лодки, идущей под углом а = 90° к течению. Скорость течения реки 1 м/с, скорость лодки относительно воды v0 = 2 м/с.

3. От одного берега реки к другому плывет лодка, держа курс перпендикулярно к берегам (скорость течения у берегов и на середине реки считать одинаковой).

а) Определить скорость течения реки; собственную скорость лодки; скорость лодки относительно берегов, если ширина реки 800 м; лодка достигает противоположного берега через 12 мин после начала переправы. За это время лодку сносит вниз по течению на расстояние 600 м.

б) Определите время движения лодки к другому берегу и на сколько метров будет снесена лодка течением, если ширина реки 80 м, а скорость течения 1 м/с. Скорость лодки относительно воды равна 2 м/с. Под каким углом к течению реки необходимо направить лодку, чтобы плыть точно поперек реки.

4. Рыбак, плывя по течению реки с постоянной относительно воды скоростью, проплывая под мостом, потерял удочки. Через полчаса он заметил пропажу и повернул обратно. На расстоянии 4 км от моста он встретился с удочками. Определить скорость течения реки.   

5. Автоколонна длиной 2 км движется со скоростью 40 км/ч. Мотоциклист выехал из хвоста колонны со скоростью 60 км/ч. За какое время он достигнет головной машины? Какой путь за это время пройдет мотоциклист относительно Земли?

6. Две вагонетки катятся навстречу друг другу со скоростями 0,5 м /с и 0,4 м /с. Через какое время вагонетки столкнутся, если первоначальное расстояние между ними 135 м?

7. Сколько времени сидящий у окна пассажир поезда, идущего со скоростью 54 км/ч, будет видеть проходящий мимо него встречный поезд, скорость которого равна 36 км/ч, а длина – 150 м?    {6 c}

8. В безветренную погоду капли дождя оставляют на окне равномерно движущегося поезда следы, направленные под углом 60º к вертикали. Определить скорость капель относительно Земли, если поезд движется со скоростью 36 км/ч?   

9. При горизонтальном ветре, скорость которого 10 м/с, капли дождя падают под углом 30º к вертикали. При какой горизонтальной скорости ветра капли будут падать под углом 60º к вертикали?  

10. Эскалатор метрополитена спускает неподвижно стоящего человека за 90 с. По неподвижному эскалатору человек спускается за 2 мин. За какое время спустится человек по движущемуся эскалатору? Скорости движения человека и эскалатора во всех случаях неизменны.  

11. Эскалатор метрополитена, двигаясь равномерно, поднимает неподвижно стоящего на нём человека в течение одной минуты. По неподвижному эскалатору пассажир, двигаясь равномерно, поднимается за три минуты. Сколько секунд будет подниматься пассажир по движущемуся вверх эскалатору?   

12. Две прямые дороги пересекаются под углом 60º. От перекрестка в одну сторону удаляются по ним две машины: одна со скоростью 60 км/ч, другая со скоростью 80 км/ч. Определить величину скорости, с которой одна машина удаляется от другой. Перекресток машины прошли одновременно.   

13. Парашютист опускается на землю со скоростью 4 м/с при спокойном состоянии воздуха. С какой скоростью он будет приземляться, если горизонтально дует ветер, скорость которого 3 м/с?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

56270. ФОРМИ РЕЛЬЄФУ СУШІ 90.5 KB
  Учнівські компетенції: знати основні форми рельєфу суші; фактори впливу на зміни рельєфу; як виміряти висоту пагорба уміти визначити форми рельєфу по фізичній карті й позначати на контурній карті.
56271. СУЦВІТТЯ, ЇХ РІЗНОМАНІТНІСТЬ І БІОЛОГІЧНЕ ЗНАЧЕННЯ 88 KB
  Мета: сформувати у учнів поняття суцвіття ознайомити учнів з основними видами суцвіть рослин розкрити їх біологічну роль; Продовжити естетичне екологічне профорієнтаційне виховання учнів...
56272. Сценарий праздника «Красный, жёлтый, зелёный» 48 KB
  Не так давно, мы первоклассники, пришли учиться в школу. Мы учимся читать и писать, считать и рисовать. А ещё, каждый первоклассник должен знать и соблюдать правила дорожного движения. Тогда, наш путь будет безопасным.
56273. Школа светофорных наук. Урок –тренинг 62.25 KB
  Работа в группах 10 мин.Работа в группах. 1группа красный группа желтый группа зеленый. 1 группа готовит инсценирование: водитель и пешеходы на улицах города ул.
56274. З РОДИНИ ЙДЕ ЖИТТЯ ЛЮДИНИ 108.5 KB
  Тато і мама. Ще були у батьків моїх високі надії Як же мама зраділа Як тато зрадів Народилось дитятко маленька кровинка Що від тата і мами життя поведе. Але дуже важливо ще те для дитини...
56275. Формування громадянської свідомості учнів 285.5 KB
  З огляду на це дуже важливим і актуальним є проблема формування у школярів громадянської свідомості високих громадянських якостей наявність яких дасть їм повне право називатися громадянами Української держави.
56276. Рослинний і тваринний світ Північної Америки. Особливості природної зональності материка. Висотна поясність 1.66 MB
  Ми як справжні географи вирушимо у мандрівку до Північної Америки щоб ознайомитися з особливостями природи цього дивовижного материка. Які рослини і тварини ви вважаєте емблемою Північної Америки.
56277. “Світ – найвеличніший храм, в якому людина – спаситель життя на Землі”. Інтегрований урок географії, біології, фізики в 10, 11 класі 124 KB
  Мета: Виховувати в учнів якості громадянина світу, патріотизм, екологічну культуру, почуття вдячності до людей, що прийняли на себе удар стихії, формувати нове екологічне мислення...
56278. Світове господарство. Етапи формування світового господарства 384 KB
  МЕТА: систематизувати уявлення учнів про господарство; сформувати систему знань про світове господарство; виділити етапи формування світового господарства; розвивати практичні навички учнів заповнювати та складати структурні схеми...