90810

Векторы на плоскости и в пространстве

Лекция

Математика и математический анализ

Два равных вектора могут отличаться друг от друга только своими точками приложения, поэтому принято считать, что вектор, равный вектору, есть тот же вектор, но только перенесённый в другое место. Если отвлечься от точки приложения вектора, то весь класс равных между собой векторов, приложенных ко всевозможным точкам...

Русский

2015-06-11

258.22 KB

0 чел.

Глава 1. Элементы линейной алгебры

  1.  Векторы на плоскости и в пространстве

Вектором [От латинского vector  – везущий, несущий] называется направленный отрезок, т.е. отрезок, для которого указано, какая из концевых его точек считается началом, какая – концом отрезка.

Векторы обозначают двумя заглавными буквами латинского алфавита со стрелкой наверху: ,  или строчной буквой латинского алфавита с чертой наверху:  

A

B

Направленный отрезок, начало и конец которого совпадают, называют нулевым вектором и обозначают   или ,  . На чертеже нулевой вектор изображается одной точкой.

Вектор характеризуется следующими элементами:

1) начальной точкой (точкой приложения);

2) направлением; 

3) длиной («модулем вектора»).

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными [От латинского conвместе и liпеа – линия, т.е.  солинейные]. 

Коллинеарность векторов обозначается , . Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два ненулевых коллинеарных вектора  могут иметь одно и то же направление (и ) или противоположные направления (и ). В первом случае они называются сонаправленными, во втором случае – противоположно направленными. Сонаправленность векторов и  обозначается  (или ), противоположная направленность –

          

Векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются компланарными.

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка, изображающего данный вектор.

A

B

длина

конец

начало

Вектор называется единичным , если его модуль равен единице: . Если дан какой-нибудь вектор , то единичный вектор   того же направления равен отношению вектора  на его модуль , то есть .

Два вектора  и  называются равными, если выполняются следующие условия:

а) модули векторов  и  равны: ;

б) если векторы  и  ненулевые, то они сонаправлены: .

Два равных вектора могут отличаться друг от друга только своими точками приложения, поэтому принято считать, что вектор , равный вектору , есть тот же вектор , но только перенесённый в другое место. Если отвлечься от точки приложения вектора, то весь класс равных между собой векторов, приложенных ко всевозможным точкам, можно рассматривать, как математический объект, называемый свободным вектором, определённым каждым из равных между собой векторов, составляющих данный класс.

Линейные операции над векторами

Правило треугольника. Суммой двух произвольных векторов  и  называется третий вектор , который получается следующим образом: от произвольной точки О откладывается вектор , затем от конечной точки вектора  откладывается вектор . Вектор , начало которого совпадает с началом , а конец с концом , образует сумму векторов  и .

О

                                                                                                                 

                                                                                  

                                                                                                         

Правило параллелограмма. Суммой двух произвольных векторов  и  называется третий вектор , который получается следующим образом: от произвольной точки О откладываются векторы  и , строится на этих векторах, как на сторонах, параллелограмм. Диагональ этого параллелограмма, выходящая из точки О является суммой двух данных векторов.

О

Свойства суммы векторов:

1)  (ассоциативность);

2)  (коммутативность);

3) ;

4)

Пример. Скорость векторная величина, характеризующаяся быстротой движения (модуль вектора скорости) и направлением (направление вектора скорости) в данный момент времени.

Необходимость в сложении скоростей возникает, когда объект участвует одновременно в двух движениях.

Правило многоугольника. Суммой п произвольных векторов , , …,   называется вектор , который получается следующим образом: от произвольной точки О откладывается вектор , затем от конечной точки вектора откладывается вектор . От конечной точки вектора откладывается вектор  Продолжая аналогичным образом, от конечной точки вектора откладывается вектор    Вектор , начало которого совпадает с началом , а конец с концом , образует сумму векторов  , , …, .

                                                                            

                                              

                                                                                                                 

                               

                                                                                                                                          

О

Вектор нельзя формально определить как объект, характеризуемый числовой величиной и направлением. Это может привести к неверным выводам при решении практических задач.

Пример. Поток автомобилей на дороге является объектом, для характеристики которого нужно указать величину (число проходящих за единицу времени автомашин) и направление. Рассмотрим перекресток трех дорог, на котором по двум дорогам сливаются два потока автомобилей по 200 автомашин в час на каждой.

283 ам/час

200 ам/час

200 ам/час

Если предположить, что поток автомобилей является векторным объектом, то суммируя потоки как векторы, вместо очевидного результата 400 ам./час получим    (по   правилу   параллелограмма) заведомо бессмысленное значение  ам./час. Отсюда следует, что хотя поток автомашин характеризуется числовым значением и направлением, но, тем не менее, вектором не является.

                                       

Разностью векторов   и называется:

а) вектор  такой, что  ;

б) сумма вектора   и противоположного вектора вектору , то есть .

О

Задача. Самолёт летит относительно воздуха со скоростью v0 = 800 км/ч. Ветер дует с запада на восток со скоростью u = 15 м/с. С какой скоростью v самолёт будет двигаться относительно земли и под каким углом α к меридиану надо держать курс, чтобы перемещение было: на юг; на запад; на восток?

Решение. При движении самолета его скорость относительно земли равна сумме скоростей самолета относительно воздуха и ветра: .

Воспользовавшись правилом треугольника, найдем скорость самолета относительно земли при ее движении на юг, учитывая, что u =15м/с = 54км/ч. (

)

V

С

В

С

З

Ю

В

u = 15 м/с

Vв

v0=800 км/ч

Из прямоугольного треугольника АВС:   

а) 

В

б) ;

 

урс на юго-запад.

А

С

Воспользовавшись правилом треугольника, найдем скорость самолета относительно земли при ее движении на запад.

Модуль вектора  равен

В

А

С

разности модулей векторов     

и , то есть

Кур на запад.

Воспользовавшись правилом треугольника, найдем скорость самолета относительно земли при ее движении на восход.

Модуль вектора  равен

В

А

С

сумме модулей векторов     

и , то есть

Кур на восход.

Произведением ненулевого вектора   на действительное число  называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

а) ;

b) если α > 0, то ; если α < 0, то .

Произведение нулевого вектора на произвольное число или числа нуль на произвольный вектор есть нуль–вектор.

Произведение вектора на число обладает следующими свойствами:

1)   

2)   

3)   

4)   

Теорема. Для того чтобы вектор  был коллинеарен ненулевому вектору , необходимо и достаточно, чтобы существовало число , удовлетворяющее условию  . 

Доказательство.

Доказательство  необходимости. Пусть вектор  коллинеарен ненулевому вектору . Возможны следующие три случая:

l) ;     2)  ;     3).

Рассмотрим первый случай.

Таким образом,  

Доказательство достаточности непосредственно следует из определения произведения вектора на число.

Задачи 

1. Самолет летит их пункта А в пункт В и обратно со скоростью 600 км/час относительно воздуха. Расстояние между пунктами 900 км. Сколько времени затратил самолет на весь полет, если:

а) вдоль линии полета непрерывно дует ветер постоянного направления со скоростью 20 м/с?

б) подует западный ветер со скоростью 14 м/с?

в) будет дуть боковой ветер со скоростью 20 м/с перпендикулярно линии полета?

2. Найти скорость v относительно берега реки: а) лодки, идущей по течению; б) лодки, идущей против течения; в) лодки, идущей под углом а = 90° к течению. Скорость течения реки 1 м/с, скорость лодки относительно воды v0 = 2 м/с.

3. От одного берега реки к другому плывет лодка, держа курс перпендикулярно к берегам (скорость течения у берегов и на середине реки считать одинаковой).

а) Определить скорость течения реки; собственную скорость лодки; скорость лодки относительно берегов, если ширина реки 800 м; лодка достигает противоположного берега через 12 мин после начала переправы. За это время лодку сносит вниз по течению на расстояние 600 м.

б) Определите время движения лодки к другому берегу и на сколько метров будет снесена лодка течением, если ширина реки 80 м, а скорость течения 1 м/с. Скорость лодки относительно воды равна 2 м/с. Под каким углом к течению реки необходимо направить лодку, чтобы плыть точно поперек реки.

4. Рыбак, плывя по течению реки с постоянной относительно воды скоростью, проплывая под мостом, потерял удочки. Через полчаса он заметил пропажу и повернул обратно. На расстоянии 4 км от моста он встретился с удочками. Определить скорость течения реки.   

5. Автоколонна длиной 2 км движется со скоростью 40 км/ч. Мотоциклист выехал из хвоста колонны со скоростью 60 км/ч. За какое время он достигнет головной машины? Какой путь за это время пройдет мотоциклист относительно Земли?

6. Две вагонетки катятся навстречу друг другу со скоростями 0,5 м /с и 0,4 м /с. Через какое время вагонетки столкнутся, если первоначальное расстояние между ними 135 м?

7. Сколько времени сидящий у окна пассажир поезда, идущего со скоростью 54 км/ч, будет видеть проходящий мимо него встречный поезд, скорость которого равна 36 км/ч, а длина – 150 м?    {6 c}

8. В безветренную погоду капли дождя оставляют на окне равномерно движущегося поезда следы, направленные под углом 60º к вертикали. Определить скорость капель относительно Земли, если поезд движется со скоростью 36 км/ч?   

9. При горизонтальном ветре, скорость которого 10 м/с, капли дождя падают под углом 30º к вертикали. При какой горизонтальной скорости ветра капли будут падать под углом 60º к вертикали?  

10. Эскалатор метрополитена спускает неподвижно стоящего человека за 90 с. По неподвижному эскалатору человек спускается за 2 мин. За какое время спустится человек по движущемуся эскалатору? Скорости движения человека и эскалатора во всех случаях неизменны.  

11. Эскалатор метрополитена, двигаясь равномерно, поднимает неподвижно стоящего на нём человека в течение одной минуты. По неподвижному эскалатору пассажир, двигаясь равномерно, поднимается за три минуты. Сколько секунд будет подниматься пассажир по движущемуся вверх эскалатору?   

12. Две прямые дороги пересекаются под углом 60º. От перекрестка в одну сторону удаляются по ним две машины: одна со скоростью 60 км/ч, другая со скоростью 80 км/ч. Определить величину скорости, с которой одна машина удаляется от другой. Перекресток машины прошли одновременно.   

13. Парашютист опускается на землю со скоростью 4 м/с при спокойном состоянии воздуха. С какой скоростью он будет приземляться, если горизонтально дует ветер, скорость которого 3 м/с?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30428. Политико-территориальное устройство Италии, организация региональной и местной власти 15.31 KB
  В обязательном порядке каждая область имеет областной совет джунту и ее председателя. Областной совет осуществляет законодательную и регламентарную власть принадлежащую области и другие функции; областная джунта исполнительный орган области; председатель джунты выполняет функции представительского и исполнительного характера. Провинции и коммуны в обязательном порядке должны иметь следующие органы: совет джунту как исполнительный орган власти главу исполнительной власти мэра в коммунах и председателя в провинциях. Таким образом в...
30429. Особенности конституционного законодательства и правоприменения в Китае 16.52 KB
  В Китайской Народной Республике провозглашенной 1 октября 1949 года конституции принимались 4 раза в 1954 г. Важнейшей особенностью конституции Китая является то что по форме и по содержанию это типичная социалистическая конституция. Особого внимания заслуживает Введение к конституции. Если преамбула короткая торжественная вводная часть конституции которая обосновывает ее принятие и декларирует основные принципы то введение это небольшой рассказ объемом в 12 книжные страницы об историческом пути...
30430. Организация центральной власти в Китае 16.31 KB
  Соответственно выборы в КНР многоступенчатые и непрямые : народ непосредственно избирает депутатов местных собраний народных представителей; местные собрания народных представителей избирают депутатов провинциальных собраний народных представителей собраний народных представителей автономных районов и городов центрального подчинения; провинциальные собрания народных представителей избирают депутатов Всекитайского собрания народных представителей ВСНП. Всекитайского собрания народных представителей ВСНП...
30431. Политико-территориальное устройство и организация местной власти в Китае 17.23 KB
  наименовании принимается вышестоящим собранием народных представителей совместно с соответствующими местными органами и утверждается Государственным советом КНР. Такое положение принимает собрание народных представителей соответствующего автономного образования. Но оно нуждается в утверждении постоянного комитета вышестоящего собрания народных представителей. Это собрания народных представителей их постоянные комитеты и народные правительства.
30432. Конституционное устройство острова Тайвань (Китай) 16.3 KB
  Оно не представляет собой постоянно действующий орган а избирается и собирается в каждом случае в течение шести месяцев после принятия Законодательной палатой решения о необходимости конституционной реформы или изменения территории страны либо в течение трех месяцев после решения Законодательной палаты о необходимости отрешить от должности Президента или Вицепрезидента. Досрочная вакансия должности Вицепрезидента замещается на оставшийся срок по предложению Президента решением Законодательной палаты. В случае одновременной вакантности...
30433. Форма правления и государственный режим в Польше, формирование и взаимодействие высших государственных органов 16.28 KB
  Сейм осуществляет контроль за деятельностью Совета Министров и объеме определенном предписаниями Конституции и законов. Совет Кабинета образуется Советом Министров заседающим под председательством Президента Республики. Совету Кабинета не принадлежат полномочия Совета Министров. Совет Министров проводит внутреннюю и внешнюю политику Польской Республики.
30434. Политико-территориальное устройство и организация местной власти в Польше 14.99 KB
  Основной единицей территориального самоуправления является община.Иные единицы регионального или местного и регионального самоуправления определяет закон. Община выполняет все задачи территориального самоуправления не закрепленные за иными единицами территориального самоуправления.Единицы территориального самоуправления являются юридическими лицами.
30435. Особенности конституционного права Бразилии 15.69 KB
  Конституция 1988 г. Композиционно Конституция 1988 г. Помимо упомянутых в общем ставших традиционными в акте встречаются совершенно исключительные права и свободы не получившие еще отражения в конституциях стран Европы. Конституция 1988 г.
30436. Форма правления и государственный режим в Бразилии, формирование и взаимодействие высших государственных органов 15.22 KB
  Акты Президента требуют одобрения обеих палат; если проект не принимается одной из палат то он считается отвергнутым. Если пост Президента становится вакантным или возникают препятствия в исполнении им своих обязанностей то их исполняет вицепрезидент а если названные обстоятельства возникают и в отношении президента и вицепрезидента одновременно то пост главы государства замещается в следующей последовательности председатель Палаты депутатов председатель Федерального сената и председатель Федерального верховного суда. Президента...