90811

Векторное n-мерное пространство

Лекция

Математика и математический анализ

Любой вектор вида где произвольные действительные числа называется линейной комбинацией векторов. Система векторов называется линейно зависимой если существуют такие числа не равные нулю одновременно что. В противном случае система векторов называется линейно независимой. Система содержащая более одного вектора линейно...

Русский

2015-06-11

46.33 KB

2 чел.

Векторное n-мерное пространство

Пусть даны векторы , , …, .

Любой вектор  вида , где  произвольные действительные числа, называется линейной комбинацией векторов , , …, .

Система векторов , , …,  называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не равные нулю одновременно, что . В противном случае система векторов называется линейно независимой.

Свойства линейной зависимости:

  1. Система из одного вектора  линейно зависима тогда и только тогда, когда вектор  нулевой.
  2. Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда среди данных векторов имеется такой, который линейно выражается через остальные.
  3. Если часть системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Два вектора  и  коллинеарны, если они представляют собой линейно зависимую систему, т.е. .

Три вектора ,  и  компланарны, если они представляют собой линейно зависимую систему, т.е.

Векторным пространством R называют множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее свойствам:

1)  (ассоциативность);

2)  (коммутативность);

3) ;

4)

5)   

6)   

7)   

8)   

Линейное пространство R называется n-мерным, если в нём существует n линейно независимых векторов, а любые из (n + 1) векторов уже являются линейно зависимыми.

Размерность пространства R – это максимальное число содержащихся в нём линейно независимых векторов.

Совокупность n линейно независимых векторов , , …,   n-мерного пространства Rn называется базисом.

Рангом системы векторов называют число векторов её базиса.

Теорема. Каждый вектор  линейного пространства Rn можно представить, и притом единственным способом, в виде линейной комбинации векторов базиса, то есть .

Доказательство. Пусть векторы , , …,  образуют произвольный базис пространства Rn. Так как любые (n + 1) векторов n-мерного пространства линейно зависимы, то система векторов , , …,  линейно зависима, т.е.  .

Так как векторы , , …,  линейно независимы, то , поэтому

  или  .

Предположим противное, т.е. пусть вектор  имеет и другое разложение , тогда

Так как векторы , , …,  линейно независимы, то ,   ,  …,  или   ,   ,  …,   .

Коэффициенты , ,…,  в соотношении  называются координатами вектора   в базисе , , …, .

Упорядоченную совокупность n чисел  называют арифметическим n-мерным вектором.

Вектор   принято обозначать следующим образом: .

Базисные векторы , , …,  в базисе , , …,  имеют координаты

Нулевой вектор в любом базисе имеет координаты .

Вектор  называется противоположным вектору  и обозначается .

Два вектора  и  с одним и тем же числом координат:  и  будем считать равными в том и только в том случае, когда .

Суммой двух векторов  и  с одним и тем же числом координат называется вектор . 

Произведением вектора   на число λ называется вектор .

Пример. Кондитерский цех выпускает торты, пирожные и булочки. Объем производства кондитерских изделий за день, где 100, 500 и 1000 объемы производств за день соответственно тортов, пирожных и булочек. Кондитерские изделия поступают на продажу в фирменный магазин в полном объеме каждый день. Объем не реализованной продукции на момент поступления кондитерских изделий из цеха в магазине составил , то:

а) объем всей продукции из данного цеха в магазине составил

;

б) объем продукции, который был реализован, составил

 ;

в) объем продукции к праздничному дню был увеличен вдвое и составил

.

Лемма. Вектор  будет коллинеарен вектору , если координаты вектора  пропорциональны координатам , т.е. .

Пример. Любая таблица обменных курсов валют является примером коллинеарных векторов:

USD

EUR

GBP

JPY

CHF

USD

1

0,747

0,63849

7,153

0,9201

EUR

1,3386

1

0,85451

130,065

1,23185

GBP

1,56647

1,1703

1

152,186

1,4413

JPY

0,0103

0,7688

0,0066

1

0,9469

CHF

1,0868

0,8119

0,6938

105,605

1

Каждый столбец этой таблицы выражает курсовую стоимость единицы соответствующего вида валюты. Любые два столбца и любые две строки этой таблицы пропорциональны, т. е. любые векторы-столбцы и любые векторы-строки коллинеарны, причем в этой же таблице легко найти коэффициент пропорциональности.

Теорема. Если – система линейно независимых векторов пространства R и любой вектор  линейно выражается через  , то пространство R является n-мерным, а векторы  – его базисом. (Без доказательства).

Теорема. Каждая координата линейной комбинации нескольких векторов, заданных своими координатами, равна той же линейной комбинации соответствующих координат составляющих векторов.

Доказательство.

Идея доказательства теоремы не зависит от количества векторов и размерности пространства, поэтому доказательство проведём для трёх векторов, заданных своими координатами на плоскости:

, , .

Требуется определить координаты вектора . Для этого достаточно разложить вектор  каким-либо способом по базисным векторам    . 

Запишем разложение векторов , ,  в базисе , : 

, ,  

и подставим в выражение :

Обозначив через х и у координаты вектора, из определения координат вектора получим:

Пример.  В фирме три цеха. При нормальной () интенсивности работы первый цех производит 20 стульев и 5 столов, второй цех - 16 стульев и 4 стола, третий цех - 7 стульев и 10 столов. Сколько столов и стульев произведет фирма, если цеха будут работать с интенсивностью , ,  соответственно.    

Решение. Объемы производства изделий цехами за день запишем в виде вектора (a; b), где а и b объемы производств за день соответственно стульев и столов:  , , . Производительность фирмы при работе цехов с интенсивностью , ,  определяется линейной комбинацией: .

Обозначим через х и у количество стульев и столов, которые производит фирма за день. Каждая координата линейной комбинации нескольких векторов, заданных своими координатами, равна той же линейной комбинации соответствующих координат составляющих векторов, то есть:

;

Таким образом, фирма произведет 56 стульев (учитывая экономический смысл задачи, необходимо указать целую часть числа) и 24 стола.

Задачи

Задача 1. Производственное объединение состоит из двух мебельных фабрик, которые выпускают столы, стулья, кресла и кровати. Первая фабрика выпускает 1000 столов, 10 000 стульев, 2000 кресел и 500 кроватей в год, а вторая фабрика - 2500 столов, 12 000 стульев, 2000 кресел и 1000 кроватей в год. Изделия поступают на продажу в фирменный магазин в полном объеме каждый год. Объем не реализованной продукции на момент поступления изделий из фабрики в магазине составил . Найти: а) объем всей продукции в магазине; б) объем продукции, который был реализован.

Задача 2. Магазин сотрудничает с тремя молочными комбинатами. При нормальной () интенсивности работы первый молочный комбинат поставляет в магазин 2000 пакетов молока и 500 пакетов кефира, второй молочный комбинат - 1500 пакетов молока и 300 пакетов кефира, третий молочный комбинат - 1000 пакетов молока и 500 пакетов кефира. Сколько пакетов молока и кефира необходимо будет реализовать магазину, если молочные комбинаты будут работать с интенсивностью , ,  соответственно. Сколько недополучит прибыли магазин, если один пакет молока стоит 20 ден.ед, а одни пакет кефира - 15 ден.ед.   

Задача 3. В пространстве двух товаров , где x1 ≥0,   x2  ≥0,  x1 и x2 – количество единиц товара первого и второго вида соответственно, заданы цены , где c1=3 , c2=5  условных денежных единиц.  Укажите несколько наборов товаров стоимостью а) 15; б) 30; в) 45 условныхединиц. Пусть цены изменились и стали равными    . Приведите примеры наборов товаров, которые а) подешевели; б) подорожали; в) остались той же стоимости, если начальная стоимость равна 30 у.е.

Задача 4. В пространстве трех товаров с ценами (3,   5,   4)  укажите несколько наборов товаров стоимостью а)   19;  б)   34;  в)   53.  Пусть цены изменились и стали равными (4, 4, 5). Для наборов товаров первоначальной стоимости, равной 34, приведите примеры наборов товаров, которые: а) подешевели; б) подорожали; в) остались той же стоимости.

Задача 5. При нормальной интенсивности λ=1  первый велосипедный завод производит в месяц   мужских, женских, детских и горных велосипедов соответственно. Если интенсивность λ1        изменяется (0 ≤  λ1 ≤4),  то первый завод производит   велосипедов (при расчетах дробные числа округляются до целых). Второй завод при нормальной интенсивности λ2=1 производит в месяц  таких же велосипедов.

1.  Сколько велосипедов в месяц производит первый завод,  если интенсивность составляет: а) λ1= 2;  б) λ2= 3;    в) λ3= 0,5?

2. Сколько и каких велосипедов в месяц производят оба завода,  если: а) λ1= 1;  λ2= 3;  а) λ1= 2;  б) λ2= 3;      

3. Какие линейные операции над векторами пространства надо произвести, чтобы ответить на вопросы 1 и 2?

Задача 6. Вектор объемов производства в первую неделю был

, а во вторую неделю стал равным

.

При этом в первую неделю был известен ценовой вектор

,  где   показывает цену единицы изделия вида. Какому уравнению должен удовлетворять вектор , чтобы выручка от реализации в первую неделю равнялась выручке во вторую неделю? Найти какое-либо решение этого уравнения.

Задача 7.