90820

Определители. Основные понятия

Лекция

Математика и математический анализ

Определителем второго порядка называется выражение вида. Для вычисления определителя второго порядка из произведения элементов главной диагонали вычитают произведение элементов побочной диагонали т. Определителем третьего порядка называется выражение вида. Определитель третьего порядка состоит из шести тройных произведений.

Русский

2015-06-11

62.5 KB

3 чел.

Лекция №1.

Определители. Основные понятия.

Опр1. Определителем второго порядка  называется выражение вида .

Элементы а1112 принадлежат главной диагонали, элементы а2122 – принадлежат побочной диагонали.

Для вычисления определителя второго порядка из произведения элементов главной диагонали вычитают произведение элементов побочной диагонали, т.е. .

Опр2. Определителем третьего порядка называется выражение вида

.

Определитель третьего порядка состоит из шести тройных произведений.

Со знаком «+» берутся произведения элементов, принадлежащих главной диагонали и вершинам треугольников, основания которых параллельны главной диагонали.

Со знаком «-» берутся произведения элементов, принадлежащих побочной диагонали и вершинам треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали. Записанное правило называют правило Саррюса (правило треугольников).

Свойства определителей

  1.  Определитель не изменится, если его строки заменить на столбцы, и наоборот (равноправность строк и столбцов).
  2.  При перестановке двух параллельных рядов определитель изменит знак на противоположный.
  3.  Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.
  4.  Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
  5.  Если элементы параллельных рядов пропорциональны, то определитель равен нулю.
  6.  Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей:

.

  1.  Определитель не изменится, если к элементам какого-либо  ряда прибавить элементы другого ряда, предварительно умноженные на любое число.

Следующие свойства связаны с понятием алгебраического дополнения и минора.

Опр3. Минором Мij элемента аij некоторого определителя n порядка называется определитель (n-1) порядка, полученный вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.

Опр4. Алгебраическим дополнением Aij элемента аij некоторого определителя n порядка  называется число, определяемое равенством

.

Можно заметить, что алгебраическое дополнение элемента аij  определителя либо равно соответствующему минору, либо отличается от него знаком.

Рассмотрим следующее свойство, которое позволяет вычислить определитель порядка n>3.

8.Разложение определителя по элементам какого-либо ряда. Определитель равен сумме произведений элементов какого-либо ряда на соответствующие алгебраические дополнения:

Например, проиллюстрируем вычисление определителя 4 порядка по элементам первой строки:

.

Заметим, что для разложения принято выбирать ряд, где есть нулевые элементы.

Если таковых нет, то их можно получить используя свойство 7.

  1.  Ортогональность элементов какого-либо ряда и алгебраических дополнений параллельного ряда: Сумма произведений элементов какого-либо ряда и алгебраических элементов параллельного ряда равна нулю.

Матрицы. Виды матриц.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел вида:

А=  или сокращенно А=(aij) где i=1,2,3…m- номер строки, j=1,2,3,…n- номер столбца.

Матрицу А называют матрицей размерами mxn  и обозначают .

Матрица с одинаковым числом строк и столбцов называется квадратной.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной .

Например, Е=- единичная матрица 4-ого порядка.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю.

Матрица, полученная из данной A заменой строк на столбцы с сохранением порядка называется транспонированной и обозначается AT.

Кстати выполняется свойство: (АТ)Т=А.

Действия над матрицами.

Сложение вводится только для матриц одинаковых размеров.

Пусть даны две матрица Аmxn=(aij),Bmxn=(bij) . Тогда суммой матриц является матрица С=А+В= (cij), причем Сijij+bij.

Произведение матрицы на число: ,i=1,2,…m; j=1,2,…n.

Свойства сложения матриц и произведения матриц на число:

  1.  А+B=B+A.
  2.  A+(B+C)=(A+B)+C .
  3.  ,k- постоянный множитель.
  4.  , постоянные числа.
  5.  

Произведение матриц. Операция  умножения матриц определена, если длина строки первого множителя равна высоте столбца второго.

Пусть даны матрицы Аmxn и Bnxp, тогда произведение матриц имеет вид Сmxp=AmxnBnxp, причем каждый элемент i строки и k столбца матрицы произведения равен сумме произведений элементов i строки матрицы А и соответствующих элементов k столбца матрицы В.

Свойства произведения матриц:

  1.  А(ВС)=(АВ)С.
  2.  А(B+C)=AB+AC.
  3.  (A+B)C=AC+BC.
  4.  , где-постоянный множитель.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82247. Познание и «переживание жизни» - основное содержание художественных произведений 57.65 KB
  Проблема жизни в ее преломлении к существованию человека привлекла внимание и философов гуманитарного склада что выразилось в появлении различного рода философий жизни экзистенциализм ницшеанство Дильтей и др. русский экзистенциализм абсолютизирующих отдельные стороны духовной жизни и психической деятельности человека. Державин в своей поэме Бог весьма образно характеризовал проблему человека: Частица целой я вселенной Поставлен мнится мне в почтенной Средине естества я той Где кончил тварей ты телесных Где начал ты духов...
82248. История как форма проявления жизни. Объективация жизни во времени. Жизнь как незавершаемая целостность.(О.Шпеннглер, Э. Гуссерль) 33.65 KB
  Объективация жизни во времени. Она может трактоваться в естественно-научном это форма движения материи психологическом это одухотворенность бытия историко-культурном это проявление жизни в разных эпохах биографическом жизнь отдельного человека и философском жизнь как благо смыслах. Она может изучаться с разных позиций например со стороны образа жизни людей стиля и манеры жизни повседневного жизненного мира человека со стороны продолжительности уровня качества жизни и т.
82249. Социальные и культурно- историческиеформы жизни:общее строение и иерархия уровней. Научные и вненаучные представления о формах жизни 41.6 KB
  Державин в своей поэме Бог весьма образно характеризовал проблему человека: Частица целой я вселенной Поставлен мнится мне в почтенной Средине естества я той Где кончил тварей ты телесных Где начал ты духов небесных И цепь существ связал всех мной. Во всех этих случаях отчетливо обнаруживаются две основные методологические тенденции в объяснении природы человека: редукционистская сводящая природу человека либо к биологической либо напротив к социальной его стороне и целостная системная понимающая природу человека как единое...
82250. Время как параметр физических событий и время как мера становления человеческого бытия (общее условие осуществления жизни) 34.6 KB
  Социальное время это продолжительность существования определенных общностей людей общественных явлений отдельных личностей а также социальных процессов. Время зависит также от самого отношения людей ко времени. В истории общества образы времени менялись так образ обратимого времени все возвращается на круги свои сменился на образ необратимого линейного времени время течет от прошлого к настоящему и от него к будущему.
82251. Объективное и субъективное время. Социальное и культурно-историческое время 32.58 KB
  Социальное и культурноисторическое время. В наст вр отмечает Микешина происходит концептуальная революция наука вновь открывает для себя время. В текстах проявляются и формируются и проявляются представления о времени социсторическое время.
82252. Переосмысление категорий пространства и времени в гуманитарном контексте (М.М. Бахтин). Введение понятия хронотопа как конкретного единства пространственно-временных характеристик 32.05 KB
  Бахтин. В гуманитарном познании Бахтина П и В проявляются как совершенно новая идея. Зная идеи о П и В Канта и Бергсона Бахтин находит свое видение этих категорий значимое для современного понимания природы темпоральности и пространственности в познании. Бахтин соединяет действующее сознание и все мыслимые пространственные и временные отношения в единый центр архетектоническое целое.
82253. Коммуникативность (общение учёных) как условие создания нового социально-гуманитарного знания и выражение социально –культурной природы научного познания 34.79 KB
  Нормальная фаза. Эта фаза в истории специальности конструируется ретроспективно только в тех случаях когда новая специальность сформировалась. Нормальная фаза часто завершается опубликованием манифеста в котором содержатся в общих чертах программа разработки проблематики и оценки ее перспективности. Фаза формированиям развития сети характеризуется интеллектуальными и организационными сдвигами приводящими к объединению исследователей в единой системе коммуникаций.
82254. Научные конвенции как необходимость и следствие коммуникативной природы познания 308.25 KB
  Проблемы общения в науке Интерес к структуре формальным моделям диалога и их содержательным возможностям возродившийся в семидесятых годах постепенно привел к формированию такого направления логико-методологических исследований которое со временем получает название...
82255. Рождение знания в процессе взаимодействия коммуницирующих индивидов. Распространение и борьба научных идей. Индоктринация 32.16 KB
  Важную роль в развитии социальногуманитарных науках играет коммуникация ученых диалог между ними. Механизмом их преодоления является постоянный диалог ученых представителей разных школ в социальногуманитарных науках. Диалог является важнейшим видом коммуникации и представляет собой попеременный обмен высказываниями репликами между двумя или более ученымигуманитариями. Диалог может представлять собой определенную дискуссию беседу диспут и т.