90820

Определители. Основные понятия

Лекция

Математика и математический анализ

Определителем второго порядка называется выражение вида. Для вычисления определителя второго порядка из произведения элементов главной диагонали вычитают произведение элементов побочной диагонали т. Определителем третьего порядка называется выражение вида. Определитель третьего порядка состоит из шести тройных произведений.

Русский

2015-06-11

62.5 KB

1 чел.

Лекция №1.

Определители. Основные понятия.

Опр1. Определителем второго порядка  называется выражение вида .

Элементы а1112 принадлежат главной диагонали, элементы а2122 – принадлежат побочной диагонали.

Для вычисления определителя второго порядка из произведения элементов главной диагонали вычитают произведение элементов побочной диагонали, т.е. .

Опр2. Определителем третьего порядка называется выражение вида

.

Определитель третьего порядка состоит из шести тройных произведений.

Со знаком «+» берутся произведения элементов, принадлежащих главной диагонали и вершинам треугольников, основания которых параллельны главной диагонали.

Со знаком «-» берутся произведения элементов, принадлежащих побочной диагонали и вершинам треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали. Записанное правило называют правило Саррюса (правило треугольников).

Свойства определителей

  1.  Определитель не изменится, если его строки заменить на столбцы, и наоборот (равноправность строк и столбцов).
  2.  При перестановке двух параллельных рядов определитель изменит знак на противоположный.
  3.  Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.
  4.  Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
  5.  Если элементы параллельных рядов пропорциональны, то определитель равен нулю.
  6.  Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей:

.

  1.  Определитель не изменится, если к элементам какого-либо  ряда прибавить элементы другого ряда, предварительно умноженные на любое число.

Следующие свойства связаны с понятием алгебраического дополнения и минора.

Опр3. Минором Мij элемента аij некоторого определителя n порядка называется определитель (n-1) порядка, полученный вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.

Опр4. Алгебраическим дополнением Aij элемента аij некоторого определителя n порядка  называется число, определяемое равенством

.

Можно заметить, что алгебраическое дополнение элемента аij  определителя либо равно соответствующему минору, либо отличается от него знаком.

Рассмотрим следующее свойство, которое позволяет вычислить определитель порядка n>3.

8.Разложение определителя по элементам какого-либо ряда. Определитель равен сумме произведений элементов какого-либо ряда на соответствующие алгебраические дополнения:

Например, проиллюстрируем вычисление определителя 4 порядка по элементам первой строки:

.

Заметим, что для разложения принято выбирать ряд, где есть нулевые элементы.

Если таковых нет, то их можно получить используя свойство 7.

  1.  Ортогональность элементов какого-либо ряда и алгебраических дополнений параллельного ряда: Сумма произведений элементов какого-либо ряда и алгебраических элементов параллельного ряда равна нулю.

Матрицы. Виды матриц.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел вида:

А=  или сокращенно А=(aij) где i=1,2,3…m- номер строки, j=1,2,3,…n- номер столбца.

Матрицу А называют матрицей размерами mxn  и обозначают .

Матрица с одинаковым числом строк и столбцов называется квадратной.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной .

Например, Е=- единичная матрица 4-ого порядка.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю.

Матрица, полученная из данной A заменой строк на столбцы с сохранением порядка называется транспонированной и обозначается AT.

Кстати выполняется свойство: (АТ)Т=А.

Действия над матрицами.

Сложение вводится только для матриц одинаковых размеров.

Пусть даны две матрица Аmxn=(aij),Bmxn=(bij) . Тогда суммой матриц является матрица С=А+В= (cij), причем Сijij+bij.

Произведение матрицы на число: ,i=1,2,…m; j=1,2,…n.

Свойства сложения матриц и произведения матриц на число:

  1.  А+B=B+A.
  2.  A+(B+C)=(A+B)+C .
  3.  ,k- постоянный множитель.
  4.  , постоянные числа.
  5.  

Произведение матриц. Операция  умножения матриц определена, если длина строки первого множителя равна высоте столбца второго.

Пусть даны матрицы Аmxn и Bnxp, тогда произведение матриц имеет вид Сmxp=AmxnBnxp, причем каждый элемент i строки и k столбца матрицы произведения равен сумме произведений элементов i строки матрицы А и соответствующих элементов k столбца матрицы В.

Свойства произведения матриц:

  1.  А(ВС)=(АВ)С.
  2.  А(B+C)=AB+AC.
  3.  (A+B)C=AC+BC.
  4.  , где-постоянный множитель.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15052. Қазақ әдебиеті - жалпы шолу, энциклопедиялық мақала 62.94 KB
  Қазақ әдебиеті ҚАЗАҚ ӘДЕБИЕТI қазақ халқының ғасырлар қойнауынан ұрпақтан ұрпаққа жеткен рухани мәдени мұрасы сөз өнерiнiң асыл қазынасы. Қазақтың сөз өнерiнiң тегi әрiден түркi тiлдес тайпалардың өз алдына халық болып қалыптаспай тұрған кезiнен басталады. Халық фо
15053. Қазақ әдебиеті - тұлғаның рухани дамуының бастауы 62.5 KB
  ҚАЗАҚ ӘДЕБИЕТІТҰЛҒАНЫҢ РУХАНИ ДАМУЫНЫҢ БАСТАУЫ Ш. А.Өсерова А.Б.Бөгенбаева Жамбыл атындағы №5 орта мектеп Тараз қ. Әр халықтың тәлімтәрбиелік мұрасы ұлттық мәдениетінің маңызды белгісі болып табылады. Осы арқылы ол ұлттың ұлттық тәрбиесінің ере...
15055. Қазақ әдебиетіндегі айтыс өнерінің өзіндік өрнегі 63 KB
  ӘӨЖ ҚАЗАҚ ӘДЕБИЕТІНДЕГІ АЙТЫС ӨНЕРІНІҢ ӨЗІНДІК ӨРНЕГІ Г.А.Жұмабекова Тараз мемлекеттік педагогикалық институты Тараз қ. Қазақ әдебиетінің қайталанбас хас ерекшеліктері аз емес.Осы орайда ауыз әдебиеті үлгілерінің кемел жазба әдебиетке ойысу ұласу үрдісін...
15056. Қазақ әдебиетіндегі терме жанрының қалыптасуы мен дамуы 77.5 KB
  ҚАЗАҚ ӘДЕБИЕТІНДЕГІ ТЕРМЕ ЖАНРЫНЫҢ ҚАЛЫПТАСУЫ МЕН ДАМУЫ М.Т. Мұқашева №8 Төле би атындағы гимназия Тараз қ. Қазақы сөз арнау дәстүрі түрлі жанрлық тақырыптық сипатымен өзге түрік халықтарына қарағанда өте бай. Ең бастысы байырғы рухан
15057. Қазақ әдебиетінің ежелгі дәуірі, көне Түркі ескерткіштері 83 KB
  Қазақ әдебиетінің ежелгі дәуірі: көне Түркі ескерткіштері Ежелгі дәуір әдебиет VIIXIV ғғ. деп аталатын жеті ғасырды қамтыған әдебиетіміздің ұзақ тарихына қатысты ескерткіштер шығармалар аз емес. Олардың алғашқылары деп түркі рутайпаларына ортақ Орхон ескерткішт...
15058. Қазақ әдебитеті пәні бойынша ҰБТ-ге дайындаудың тиімді жолдары 116.5 KB
  ҚАЗАҚ ТІЛІ МЕН ӘДЕБИЕТ ПӘНІ БОЙЫНША ОҚУШЫЛАРДЫ БІРІҢҒАЙ ҰЛТТЫҚ ТЕСТІЛЕУГЕ ДАЙЫНДАУДЫҢ ТИІМДІ ЖОЛДАРЫ Манабаева Гүлбайрам Рахымқызы қазақ тілі мен әдебиеті пәнінің мұғалімі №35 жалпы орта білім беру мектебі Қазақ әдебиетінде өзіндік айтулы із қалдырған белгі
15059. Қазақ мақал-мәтелдерінің гендерлік сипаты 44 KB
  УДК 4Ф Б 76 ҚАЗАҚ МАҚАЛМӘТЕЛДЕРІНІҢ ГЕНДЕРЛІК СИПАТЫ М.Б. Боранбай Қ. Жұбанов атындағы Ақтөбе мемлекеттік университеті Ақтөбе қ. Қазақ халқы рухани дүниеге қазынаға бай халық. Оның қай түрін алсақ та тәлімтәрбиесі мол ұрпақтанұрпаққа қалдырған өcие
15060. Қазақ поэзиясындағы домбыра бейнесі 77.5 KB
  ТІРКЕУ ФОРМАСЫ 1. Тегі аты жөні: Абсаттарова Айдана Рамазанқызы 2. Мекеме лауазымы: Ы.Алтынсарин атындағы дарынды балаларға арналған мамандандырылған обл...