90820

Определители. Основные понятия

Лекция

Математика и математический анализ

Определителем второго порядка называется выражение вида. Для вычисления определителя второго порядка из произведения элементов главной диагонали вычитают произведение элементов побочной диагонали т. Определителем третьего порядка называется выражение вида. Определитель третьего порядка состоит из шести тройных произведений.

Русский

2015-06-11

62.5 KB

3 чел.

Лекция №1.

Определители. Основные понятия.

Опр1. Определителем второго порядка  называется выражение вида .

Элементы а1112 принадлежат главной диагонали, элементы а2122 – принадлежат побочной диагонали.

Для вычисления определителя второго порядка из произведения элементов главной диагонали вычитают произведение элементов побочной диагонали, т.е. .

Опр2. Определителем третьего порядка называется выражение вида

.

Определитель третьего порядка состоит из шести тройных произведений.

Со знаком «+» берутся произведения элементов, принадлежащих главной диагонали и вершинам треугольников, основания которых параллельны главной диагонали.

Со знаком «-» берутся произведения элементов, принадлежащих побочной диагонали и вершинам треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали. Записанное правило называют правило Саррюса (правило треугольников).

Свойства определителей

  1.  Определитель не изменится, если его строки заменить на столбцы, и наоборот (равноправность строк и столбцов).
  2.  При перестановке двух параллельных рядов определитель изменит знак на противоположный.
  3.  Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.
  4.  Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
  5.  Если элементы параллельных рядов пропорциональны, то определитель равен нулю.
  6.  Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей:

.

  1.  Определитель не изменится, если к элементам какого-либо  ряда прибавить элементы другого ряда, предварительно умноженные на любое число.

Следующие свойства связаны с понятием алгебраического дополнения и минора.

Опр3. Минором Мij элемента аij некоторого определителя n порядка называется определитель (n-1) порядка, полученный вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.

Опр4. Алгебраическим дополнением Aij элемента аij некоторого определителя n порядка  называется число, определяемое равенством

.

Можно заметить, что алгебраическое дополнение элемента аij  определителя либо равно соответствующему минору, либо отличается от него знаком.

Рассмотрим следующее свойство, которое позволяет вычислить определитель порядка n>3.

8.Разложение определителя по элементам какого-либо ряда. Определитель равен сумме произведений элементов какого-либо ряда на соответствующие алгебраические дополнения:

Например, проиллюстрируем вычисление определителя 4 порядка по элементам первой строки:

.

Заметим, что для разложения принято выбирать ряд, где есть нулевые элементы.

Если таковых нет, то их можно получить используя свойство 7.

  1.  Ортогональность элементов какого-либо ряда и алгебраических дополнений параллельного ряда: Сумма произведений элементов какого-либо ряда и алгебраических элементов параллельного ряда равна нулю.

Матрицы. Виды матриц.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел вида:

А=  или сокращенно А=(aij) где i=1,2,3…m- номер строки, j=1,2,3,…n- номер столбца.

Матрицу А называют матрицей размерами mxn  и обозначают .

Матрица с одинаковым числом строк и столбцов называется квадратной.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной .

Например, Е=- единичная матрица 4-ого порядка.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю.

Матрица, полученная из данной A заменой строк на столбцы с сохранением порядка называется транспонированной и обозначается AT.

Кстати выполняется свойство: (АТ)Т=А.

Действия над матрицами.

Сложение вводится только для матриц одинаковых размеров.

Пусть даны две матрица Аmxn=(aij),Bmxn=(bij) . Тогда суммой матриц является матрица С=А+В= (cij), причем Сijij+bij.

Произведение матрицы на число: ,i=1,2,…m; j=1,2,…n.

Свойства сложения матриц и произведения матриц на число:

  1.  А+B=B+A.
  2.  A+(B+C)=(A+B)+C .
  3.  ,k- постоянный множитель.
  4.  , постоянные числа.
  5.  

Произведение матриц. Операция  умножения матриц определена, если длина строки первого множителя равна высоте столбца второго.

Пусть даны матрицы Аmxn и Bnxp, тогда произведение матриц имеет вид Сmxp=AmxnBnxp, причем каждый элемент i строки и k столбца матрицы произведения равен сумме произведений элементов i строки матрицы А и соответствующих элементов k столбца матрицы В.

Свойства произведения матриц:

  1.  А(ВС)=(АВ)С.
  2.  А(B+C)=AB+AC.
  3.  (A+B)C=AC+BC.
  4.  , где-постоянный множитель.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46796. What is a Sole Proprietorship? 30.77 KB
  With more than 17 million operating in the United States, nearly 70 percent of businesses operate as sole proprietorships. In addition to the relative simplicity compared to large corporations, opening a sole proprietorship is a low-cost method of entering into the business world. From consultants and free lancers to independent contractors, nearly anyone can create a sole proprietorship
46797. Маркетинговая среда. Анализ рынка 30.83 KB
  Маркетинговая среда фирмы совокупность активных субъектов и сил действующих за пределами фирмы и влияющих на возможности руководства службой маркетинга устанавливать и поддерживать с целевыми клиентами отношения успешного сотрудничества. Изучение мотивации является необходимым этапом в маркетинговых исследованиях ведь цель маркетинга заключается в обеспечении наиболее полного удовлетворения потребностей и спроса покупателей. К микросреде маркетинга относятся те субъекты рынка с которыми фирма имеет возможность взаимодействовать напрямую...
46798. Расчеты посредством чеков 30.9 KB
  судебного постановления кот санкционирует исполнение суд решения придает ему принудительную силу. Возможна проверка решения по существу если оно вынесено против своего гражданина. Условие выдачи экзекватуры: решение не д противоречить публичному порядку места исполнения решения и должник надлежащим образом был извещен о времени и месте судебного разбирательства.В РФ решения иных судов признаются и исполняются если это предусмотрено междун договором.
46799. Политическая коммуникация: сущность и особенности 31 KB
  Три основных типа политического общения: Побудительное приказ указ Информирование населения Фактическое Функции: Распространение политических ценностей Интеграция и регулирование политических отношений Формирование общественного политического мнения Распространение политической культуры и её развитие у конкретного индивида Политикокультурный обмен Подготовка общественности к участию в политике Три способа политической коммуникации: Коммуникация через печать и электронные СМИ из центра в регионы Коммуникация через организации население и...
46800. Оператор SELECT. Группировка результатов запроса. Вычисление итогов. Примеры итоговых функций. Отбор результатов по результатам вычисления итогов (выражение HAVING) 28.5 KB
  Оператор SELECT. Отбор результатов по результатам вычисления итогов выражение HVING В общем случае для создания вычисляемого производного поля в списке SELECT следует указать некоторое выражение языка SQL. SELECT Товар. SELECT Фирма Фамилия LeftИмя1.
46801. Формы ведения бухгалтерского и налогового учета организацией- аутсорсинга 31 KB
  Формы ведения БУ и НУ: полное ведение БУ и НУ оргции ведение ьу и ну отдго участка Ведение БУ вклт: учет инфо в ден выражении об имущве обязвах их движнии на основании первичных докв систематизация первичных докв составление сводных регистров БУ учет труда и расчет зп составление финн отчти Составление отчетов во внебюд фонды формирование учетной политики для целей бу Ведение НУ вклт: систематизация первичный уч довв формирование уч политики для целей НУ составление анал регистров ну расчет налог базы ...
46802. The compound sentence, its characteristic features. The types of coordinate connection 31 KB
  A compound sentence consists of two or more clauses of equal rank which form one syntactical whole in meaning and intonation. Clauses that are parts of a compound sentence are called coordinate, as they are joined by coordination
46803. Хромирование, осталивапние 31.5 KB
  Хромовые покрытия разделяют на 3 вида: 1 молочные наиболее мягкие и вязкие без трещин и обладают большой износостойтью; 2 блестящие отличаются высокой плотностью износотью хрупкостью и имеют на повти мелкую сетку трещин; 3 матовые имеют повышен твердость и хрупкость низкую износостойкость и наличие трещин на повти. Применение таких электролитов обеспечив высокую стабильность работы ванны и дает возможность получить значит толщину покрытия до 1мм. Недостатки: длительность процесса электролиза его сложность трудоемкость...
46804. Экономическая система и принципы ее функционирования 31.67 KB
  Статистика уровня жизни населения. Доходы и расходы населения. Информационными источниками для построения системы показателей по уровню жизни населения являются данные из материалов различных разделов государственной статистики демографической статистики труда статистики цен социальной статистики материалы выборочных обследований бюджетов домохозяйств материалы переписи населения. Ввиду отсутствия единого обобщающего показателя характеризующего уровень жизни населения для его анализа рассчитывается целый ряд статистических...