90820

Определители. Основные понятия

Лекция

Математика и математический анализ

Определителем второго порядка называется выражение вида. Для вычисления определителя второго порядка из произведения элементов главной диагонали вычитают произведение элементов побочной диагонали т. Определителем третьего порядка называется выражение вида. Определитель третьего порядка состоит из шести тройных произведений.

Русский

2015-06-11

62.5 KB

1 чел.

Лекция №1.

Определители. Основные понятия.

Опр1. Определителем второго порядка  называется выражение вида .

Элементы а1112 принадлежат главной диагонали, элементы а2122 – принадлежат побочной диагонали.

Для вычисления определителя второго порядка из произведения элементов главной диагонали вычитают произведение элементов побочной диагонали, т.е. .

Опр2. Определителем третьего порядка называется выражение вида

.

Определитель третьего порядка состоит из шести тройных произведений.

Со знаком «+» берутся произведения элементов, принадлежащих главной диагонали и вершинам треугольников, основания которых параллельны главной диагонали.

Со знаком «-» берутся произведения элементов, принадлежащих побочной диагонали и вершинам треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали. Записанное правило называют правило Саррюса (правило треугольников).

Свойства определителей

  1.  Определитель не изменится, если его строки заменить на столбцы, и наоборот (равноправность строк и столбцов).
  2.  При перестановке двух параллельных рядов определитель изменит знак на противоположный.
  3.  Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.
  4.  Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
  5.  Если элементы параллельных рядов пропорциональны, то определитель равен нулю.
  6.  Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей:

.

  1.  Определитель не изменится, если к элементам какого-либо  ряда прибавить элементы другого ряда, предварительно умноженные на любое число.

Следующие свойства связаны с понятием алгебраического дополнения и минора.

Опр3. Минором Мij элемента аij некоторого определителя n порядка называется определитель (n-1) порядка, полученный вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.

Опр4. Алгебраическим дополнением Aij элемента аij некоторого определителя n порядка  называется число, определяемое равенством

.

Можно заметить, что алгебраическое дополнение элемента аij  определителя либо равно соответствующему минору, либо отличается от него знаком.

Рассмотрим следующее свойство, которое позволяет вычислить определитель порядка n>3.

8.Разложение определителя по элементам какого-либо ряда. Определитель равен сумме произведений элементов какого-либо ряда на соответствующие алгебраические дополнения:

Например, проиллюстрируем вычисление определителя 4 порядка по элементам первой строки:

.

Заметим, что для разложения принято выбирать ряд, где есть нулевые элементы.

Если таковых нет, то их можно получить используя свойство 7.

  1.  Ортогональность элементов какого-либо ряда и алгебраических дополнений параллельного ряда: Сумма произведений элементов какого-либо ряда и алгебраических элементов параллельного ряда равна нулю.

Матрицы. Виды матриц.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел вида:

А=  или сокращенно А=(aij) где i=1,2,3…m- номер строки, j=1,2,3,…n- номер столбца.

Матрицу А называют матрицей размерами mxn  и обозначают .

Матрица с одинаковым числом строк и столбцов называется квадратной.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной .

Например, Е=- единичная матрица 4-ого порядка.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю.

Матрица, полученная из данной A заменой строк на столбцы с сохранением порядка называется транспонированной и обозначается AT.

Кстати выполняется свойство: (АТ)Т=А.

Действия над матрицами.

Сложение вводится только для матриц одинаковых размеров.

Пусть даны две матрица Аmxn=(aij),Bmxn=(bij) . Тогда суммой матриц является матрица С=А+В= (cij), причем Сijij+bij.

Произведение матрицы на число: ,i=1,2,…m; j=1,2,…n.

Свойства сложения матриц и произведения матриц на число:

  1.  А+B=B+A.
  2.  A+(B+C)=(A+B)+C .
  3.  ,k- постоянный множитель.
  4.  , постоянные числа.
  5.  

Произведение матриц. Операция  умножения матриц определена, если длина строки первого множителя равна высоте столбца второго.

Пусть даны матрицы Аmxn и Bnxp, тогда произведение матриц имеет вид Сmxp=AmxnBnxp, причем каждый элемент i строки и k столбца матрицы произведения равен сумме произведений элементов i строки матрицы А и соответствующих элементов k столбца матрицы В.

Свойства произведения матриц:

  1.  А(ВС)=(АВ)С.
  2.  А(B+C)=AB+AC.
  3.  (A+B)C=AC+BC.
  4.  , где-постоянный множитель.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

57732. Формули скороченого множення. Метали 709 KB
  Мета уроку: Використовуючи нестандартну форму проведення уроку, перевірити якість знань і вмінь учнів з вивчених тем; зацікавити математикою, хімією, встановлюючи зв’язки між предметами і українським фольклором...
57733. Додавання і віднімання у межах 20 53.5 KB
  МЕТА. Закріпити вміння додавати і віднімати числа у межах 20; розвивати логічне мислення, обчислювальні вміння, самостійність; створити ситуацію пошуку істини, співпереживання; виховувати цікавість та інтерес до математики, бережливе ставлення до природи.
57734. Площадь. Квадратный сантиметр. Палетка 57 KB
  Уметь: решать задачи на движение; распознавать геометрические фигуры; определять площадь с помощью палетки; Нормировать: виды задач; способы записи краткого условия задачи; единицы измерения длины и площади....
57735. Сочетательное и распределительное свойства умножения 94 KB
  Цель: Закрепить навыки умножения натуральных чисел переместительного закона умножения; изучить сочетательное свойство умножения и распределительное свойство умножения...
57736. Додатні та від’ємні числа. Модуль числа 201.5 KB
  Мета: привести в систему знання учнів про додатні та від’ємні числа модуль та порівняння чисел; розвивати обчислювальні навички розвивати логічне мислення пізнавальний інтерес...
57737. Дії над раціональними числами 99 KB
  Мета. Закріпити в учнів навички виконання дій над раціональними числами, обчислення значень виразів, що містять раціональні числа; розвивати позитивні риси особистості...
57738. Розв’язування систем рівнянь з параметрами 1.32 MB
  Розвивальна мета: розвивати логічне мислення творчі здібності формувати вміння міркувати висловлювати думку. Формувати соціальну компетентність: давати учням змогу вибору варіантів завдань та шляхів розв’язку задач.
57739. Дж. Байрон. Поема «Мазепа». Історична основа та романтичний міф 112 KB
  Очікувані результати: учень переказує зміст поеми Мазепа визначає її історичну основу розгром шведів російськими військами втеча Мазепи з почтом Карла ХІІ та переповідає романтичний міф про прив’язаного до коня молодого Мазепу...
57740. Генетична термінологія і символіка. Методи генетичних досліджень. Закони Г. Менделя 66.5 KB
  МЕТА: сформувати поняття про генетику як науку що вивчає спадковість і мінливість організмів; почати формувати знання про основні генетичні закономірності успадкування ознак; розкрити основні генетичні поняття...