90820

Определители. Основные понятия

Лекция

Математика и математический анализ

Определителем второго порядка называется выражение вида. Для вычисления определителя второго порядка из произведения элементов главной диагонали вычитают произведение элементов побочной диагонали т. Определителем третьего порядка называется выражение вида. Определитель третьего порядка состоит из шести тройных произведений.

Русский

2015-06-11

62.5 KB

2 чел.

Лекция №1.

Определители. Основные понятия.

Опр1. Определителем второго порядка  называется выражение вида .

Элементы а1112 принадлежат главной диагонали, элементы а2122 – принадлежат побочной диагонали.

Для вычисления определителя второго порядка из произведения элементов главной диагонали вычитают произведение элементов побочной диагонали, т.е. .

Опр2. Определителем третьего порядка называется выражение вида

.

Определитель третьего порядка состоит из шести тройных произведений.

Со знаком «+» берутся произведения элементов, принадлежащих главной диагонали и вершинам треугольников, основания которых параллельны главной диагонали.

Со знаком «-» берутся произведения элементов, принадлежащих побочной диагонали и вершинам треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали. Записанное правило называют правило Саррюса (правило треугольников).

Свойства определителей

  1.  Определитель не изменится, если его строки заменить на столбцы, и наоборот (равноправность строк и столбцов).
  2.  При перестановке двух параллельных рядов определитель изменит знак на противоположный.
  3.  Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.
  4.  Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
  5.  Если элементы параллельных рядов пропорциональны, то определитель равен нулю.
  6.  Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей:

.

  1.  Определитель не изменится, если к элементам какого-либо  ряда прибавить элементы другого ряда, предварительно умноженные на любое число.

Следующие свойства связаны с понятием алгебраического дополнения и минора.

Опр3. Минором Мij элемента аij некоторого определителя n порядка называется определитель (n-1) порядка, полученный вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.

Опр4. Алгебраическим дополнением Aij элемента аij некоторого определителя n порядка  называется число, определяемое равенством

.

Можно заметить, что алгебраическое дополнение элемента аij  определителя либо равно соответствующему минору, либо отличается от него знаком.

Рассмотрим следующее свойство, которое позволяет вычислить определитель порядка n>3.

8.Разложение определителя по элементам какого-либо ряда. Определитель равен сумме произведений элементов какого-либо ряда на соответствующие алгебраические дополнения:

Например, проиллюстрируем вычисление определителя 4 порядка по элементам первой строки:

.

Заметим, что для разложения принято выбирать ряд, где есть нулевые элементы.

Если таковых нет, то их можно получить используя свойство 7.

  1.  Ортогональность элементов какого-либо ряда и алгебраических дополнений параллельного ряда: Сумма произведений элементов какого-либо ряда и алгебраических элементов параллельного ряда равна нулю.

Матрицы. Виды матриц.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел вида:

А=  или сокращенно А=(aij) где i=1,2,3…m- номер строки, j=1,2,3,…n- номер столбца.

Матрицу А называют матрицей размерами mxn  и обозначают .

Матрица с одинаковым числом строк и столбцов называется квадратной.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной .

Например, Е=- единичная матрица 4-ого порядка.

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю.

Матрица, полученная из данной A заменой строк на столбцы с сохранением порядка называется транспонированной и обозначается AT.

Кстати выполняется свойство: (АТ)Т=А.

Действия над матрицами.

Сложение вводится только для матриц одинаковых размеров.

Пусть даны две матрица Аmxn=(aij),Bmxn=(bij) . Тогда суммой матриц является матрица С=А+В= (cij), причем Сijij+bij.

Произведение матрицы на число: ,i=1,2,…m; j=1,2,…n.

Свойства сложения матриц и произведения матриц на число:

  1.  А+B=B+A.
  2.  A+(B+C)=(A+B)+C .
  3.  ,k- постоянный множитель.
  4.  , постоянные числа.
  5.  

Произведение матриц. Операция  умножения матриц определена, если длина строки первого множителя равна высоте столбца второго.

Пусть даны матрицы Аmxn и Bnxp, тогда произведение матриц имеет вид Сmxp=AmxnBnxp, причем каждый элемент i строки и k столбца матрицы произведения равен сумме произведений элементов i строки матрицы А и соответствующих элементов k столбца матрицы В.

Свойства произведения матриц:

  1.  А(ВС)=(АВ)С.
  2.  А(B+C)=AB+AC.
  3.  (A+B)C=AC+BC.
  4.  , где-постоянный множитель.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28457. Сутність та задачі психологічної підготовки 105.5 KB
  Зміст морально-психологічного забезпечення та його особливості при виконанні службово-бойових завдань у повсякденній діяльності військ. Особливості при виконанні службово-бойових завдань у повсякденній діяльності військ...
28458. Понятие и сущность сервисной деятельности. Отличительные особенности услуг от товаров 108.5 KB
  В соответствии с Российским ГОСТ 564694 Услуги населению. По функциональному назначению услуги оказываемые населению подразделяются на материальные по удовлетворению материальнобытовых потребностей потребителя бытовых услуг и социальнокультурные услуги удовлетворение духовных интеллектуальных потребностей и поддержание нормальной жизнедеятельности потребителя. лиц оказывающих услуги населению. Обслуживание это деятельность исполнителя при непосредственном контакте с потребителем услуги.
28460. Предмет, сущность и задачи рекламы в СКС и Т 96 KB
  Предмет сущность и задачи рекламы в СКС и Т. В качестве объекта рекламы может выступать товар продажи или услуги. Предметом изучения рекламы являются стоящие перед ней цели и задачи. Сущность рекламы можно определить: в узком смысле как неличное информационное эмоциональное побуждение целевой группы людей к определенным поступкам.
28461. Необходимость и особенности страхования в туризме 59 KB
  Необходимость и особенности страхования в туризме. Объектами страхования в туризме являются как отдельные граждане так и туристские фирмы. Эти виды страхования в туризме проводятся в том же порядке что и страхование в других отраслях экономики. Страхование туристов это особый вид страхования обеспечивающий страховую защиту имущественных интересов граждан во время их пребывания в турпоездках.
28462. Компьютерные системы бронирования 55.5 KB
  Micros Fidelio Opera работает на более сложной с позиции освоения платформе Oracle. Данные о положительных сторонах АСУ были получены от дистрибьюторов данных программ а так же проанализированы и сопоставлены с данными полученными в ходе анонимного опроса персонала гостиничного комплекса использующего АСУ Micros Fidelio. Отсутствие возможности у ПО Micros Fidelio автоматического формирования цены на проживание. ПО Micros Fidelio не умеет формировать автоматическую цену на проживание и рассчитывать ее на будущее.
28463. Требования, предъявляемые к знаниям и профессиональным навыкам персонала гостиниц (речь, стиль, внешний вид и т.д.) 39.5 KB
  Потребитель при обнаружении недостатков оказанной услуги вправе по своему выбору потребовать: безвозмездного устранения недостатков; соответствующего уменьшения цены за оказанную услугу. Исполнитель должен устранить недостатки оказанной услуги в течение часа с момента предъявления потребителем требования. Требования потребителя об уменьшении цены оказанной услуги а также о возмещении убытков причиненных расторжением договора подлежат удовлетворению в течение 10 дней со дня предъявления соответствующего требования. Потребитель вправе...
28465. Стандарты ИСО 9000 :2000 77 KB
  С тех пор количество предприятий сертифицировавших свои системы качества на соответствие данным стандартам возросло более чем в 6 раз. В результате комплекс документов состоявший ранее из 24 стандартов некоторые их них остались на стадии внедрения теперь содержит 5 базовых стандартов: ИСО 9000:2000 Система менеджмента качества. Основные принципы и словарь ; ИСО 9001:2000 Система менеджмента качества. Требования устанавливает минимально необходимый набор требований к системам качества и применяется для целей сертификации и аудита; ИСО...