90852

Понятие области, односвязной области, кривой Жордана. Геометрический смысл аргумента и модуля производной; понятие конформного отображения. Конформные отображения посредством дробно-линейной функции

Лекция

Математика и математический анализ

Множества точек на плоскости будем обозначать большими буквами; точки же плоскости обозначаем малыми буквами а именно теми же буквами что и соответствующие им комплексные числа. Если все точки множества Е принадлежат множеству F то пишут и называют E множеством лежащим в F или частью F.

Русский

2015-06-12

494.24 KB

1 чел.

Лекция №1.

Понятие области, односвязной области, кривой Жордана. Геометрический смысл аргумента и модуля производной; понятие конформного отображения. Конформные отображения посредством дробно-линейной функции.

Теоретические вопросы:

  1. Понятие области, односвязной области, кривой Жордана.
  2. Геометрический смысл аргумента и модуля производной;
  3. Понятие конформного отображения.

Содержание лекции

Комплексными числами и функциями комплексного переменного математики пользовались в своих исследованиях уже в XVIII веке. Особенно велики заслуги крупнейшего математика XVIII века Леонарда Эйлера, который по праву считается одним из творцов теории функций комплексного переменного и начала интегрального исчисления функций комплексного переменного.

Геометрическая теория функций комплексного переменного изучает аналитические функции, определяемые каким-либо геометрическим свойством, а также различные геометрические свойства тех или иных классов аналитических функций. Поэтому естественно, что она опирается на ряд общих геометрических понятий, встречающихся в современной математике.

Ниже будут изложены основные определения и факты, относящиеся к понятию комплексных чисел, действия с ними и их геометрической интерпретации.

Множества точек на плоскости. Множества точек на плоскости будем обозначать большими буквами; точки же плоскости обозначаем малыми буквами, а именно теми же буквами, что и соответствующие им комплексные числа.

Если точка а принадлежит множеству Е, то это записывается так: . Если все точки множества Е принадлежат множеству F, то пишут  и называют E множеством, лежащим в F, или частью F.

Каждой точке плоскости приписываются окрестности. Под окрестностью данной точки а понимается совокупность всех внутренних точек какого-либо круга с центром в а (а иногда и любое множество точек, содержащее в себе такую круговую окрестность). Окрестность называется достаточно малой, если радиус круга достаточно мал.

Множество точек называется ограниченным, если оно целиком лежит внутри некоторого круга.

Точка а плоскости называется предельной точкой или точкой сгущения данного множества, если в любой окрестности а имеются точки множества, отличные от а. Предельная точка может принадлежать, а может и не принадлежать множеству. Точка множества, не являющаяся его предельной точкой, называется изолированной точкой множества.

Если данная точка а предельная для некоторого множества, то из него можно выделить последовательность точек, сходящуюся к а.

Последовательность точек может сходиться и к бесконечно далекой точке. Для того чтобы последовательность сходилась к конечной точке, необходимо и достаточно, чтобы расстояние между любыми двумя точками этой последовательности, начиная с некоторого номера, было меньше любого данного положительного числа.

Множество точек называется замкнутым, если ему принадлежат все его предельные точки. Любое множество можно сделать замкнутым, если к нему присоединить все его предельные точки. Так полученное из множества Е замкнутое множество обозначается через  и называется замыканием множества Е.

Расстоянием между двумя множествами без общих точек называется точная нижняя граница расстояний любых пар точек, взятых по одной из каждого множества.

Замкнутое множество, состоящее более чем из одной точки, называется континуумом, если оно не распадается на два непустых замкнутых множества без общих точек.

Точка некоторого множества называется внутренней для него, если вместе с ней этому множеству принадлежит и некоторая окрестность этой точки.

Наряду с замкнутыми множествами рассматриваются открытые множества — это множества, состоящие только, из внутренних точек. Очевидно, дополнение к замкнутому множеству на плоскости есть открытое множество, а дополнение к открытому — замкнутое.

Области и кривые. Одним из основных геометрических понятий теории функций комплексного переменного является понятие области.

Областью называется открытое множество, любые две точки которого можно соединить некоторой ломаной линией, целиком состоящей из точек этого множества (свойство связности). Граничными точками области называются точки плоскости, не принадлежащие области, но являющиеся для нее предельными точками.

Совокупность всех граничных точек области образует границу области. Граница области есть замкнутое множество. Точки плоскости, не являющиеся для области ни внутренними ни граничными точками, называются ее внешними точками. У каждой внешней точки области существует окрестность, не содержащая точек области.

Если к области присоединить ее границу, то полученное множество называется замкнутой областью. В отличие от замкнутой области, сама область иногда называется открытой областью.

Область называется односвязной, если ее граница состоит из континуума или из одной точки или же она является полной плоскостью.

В противном случае область называется многосвязной. Область будет двухсвязной, трехсвязной, n-связной, если ее граница состоит соответственно из двух, трех, континуумов без общих точек; все вместе такие области называются конечносвязными.

Наряду с областью, другим основным геометрическим объектом в теории функций комплексного переменного является функция и кривая.

Говорят, что на множестве M точек плоскости Z задана функция

.

если указан закон, по которому каждой точке ставится в соответствие определенная точка или совокупность точек . В первом случае функция называется однозначной, во втором – многозначной.

Множество M называется множеством определения функции , а совокупность N всех значения , которые  принимает на M, – множеством её изменения.

Если положить , то задание функции комплексного переменного  будет равносильным заданию двух функций двух действительных переменных.

.

Условимся откладывать значение на одной комплексной переменной, а значение – на другой. Тогда функцию комплексного переменного можно геометрически представлять как некоторое отображение множества M плоскости Z на множество N  плоскости .

Если функция  однозначна на области M и при этом двум различным точкам M всегда соответствуют различные точки N, то такое отображение называется взаимно однозначным или однолистным в M.

Пусть дана функция , осуществляющая множества M на множество N. Функция , ставящая в соответствие каждой точке  из N совокупность всех точек , которые функцией  отображаются в точку , называется обратной к функции .

Ясно, что отображение  будет взаимно однозначным, тогда и только тогда, когда обе функции  и  однозначны.

Пусть функция  отображает множество M на N, а  множество N на P. Функция , отображающая M на P, называется сложной функцией, составленной из f  и g, а соответствующее отображение h – суперпозицией отображений f и g. Если, в частности, отображение  взаимно однозначно и функция  – обратная к f, то .

Функция  называется непрерывной в точке , если она определена в точке  и некоторой её окрестности и, если .

Функция  называется непрерывной в области , если она непрерывна в каждой точке этой области.

Функция двух переменных, удовлетворяющая уравненям Лапласа  или  называют гармонической.

Если взять за  две произвольные гармонические функции, то функция  в общем случае не будет аналитической в области.

В случае если функция  аналитическая, то функции  и  называют сопряженными или сопряженными гармоническими функциями.

Непрерывной кривой называется множество точек плоскости, прямоугольные координаты х, у которых могут быть заданы как непрерывные функции вещественного переменного t в некотором конечном промежутке .

Но непрерывная кривая — понятие слишком общее. Существуют непрерывные кривые, которые совершенно не соответствуют наглядному представлению о кривой, как об одномерной фигуре. Так, можно построить непрерывную кривую, проходящую через каждую точку данного квадрата. Однако, если потребовать, чтобы кривая не имела кратных точек, то в этом случае она уже будет обладать рядом наглядных свойств. Такие кривые называются простыми кривыми или кривыми Жордана.

Итак, непрерывная кривая  или, короче, кривая

,    (1)

называется кривой Жордана, если для любых двух различных значений , из [a, b) имеем  Точки  и  могут как совпадать, так и быть различными. В первом случае кривая называется замкнутой, во втором незамкнутой.

Из незамкнутых кривых Жордана можно составить непрерывные кривые и не жорданова типа. С другой стороны, и кривая Жордана иногда оказывается понятием слишком общим и тогда для различных целей вводятся кривые более частных типов, как например, гладкие, кусочногладкие, спрямляемые кривые.

Кривая (1) называется гладкой, если в существует производная  (на концах односторонняя), непрерывная и отличная от нуля. Требование гладкости кривой, очевидно, равносильно требованию существования касательной к кривой и непрерывного вращения этой касательной при движении по кривой. Кривая, составленная из конечного числа гладких кривых, называется кусочногладкой кривой.

Наконец, простейший тип непрерывной кривой — аналитическая кривая; эта кривая определяется уравнением , где  вблизи каждого значения , разлагается в сходящийся степенной ряд  с . Непрерывную кривую, составленную из конечного числа аналитических кривых, назовем кусочноаналитияеской кривой.

Иногда в области приходится проводить разрезы по различным кривым Жордана. Провести в области B разрез по кривой  Жордана   значит удалить из B все точки кривой L.

Разрез в области B называется поперечным, если он соединяет две (различные или совпадающие) граничные точки области B, являющиеся его концами, и остальными своими точками лежит в B. Оказывается, что любой поперечный разрез в конечносвязной области, соединяющий граничные точки, лежащие на различных граничных континуумах, не разделяя области на части, уменьшает связность области на единицу; любой же поперечный разрез в односвязной области делит ее на две односвязных области (характеристическое свойство односвязных областей).

Аналогично, разрез, представляющий замкнутую кривую Жордана, целиком лежащую в области B, называется круговым разрезом. Круговой разрез всегда делит область B на две области; в случае односвязной области B одна из областей, ограниченных круговым разрезом, целиком лежит в B (тоже характеристическое свойство односвязных областей).

Наконец, разрез, представляющий открытую кривую Жордана, лежащую в какой-либо области B целиком или исключая один из своих концов, не делит B на части.

Многие разделы теории функций комплексного переменного и, в частности, геометрическая теория функций широко используют в своих доказательствах особые свойства сходимости последовательностей аналитических функций. Благодаря этим свойствам доказательства довольно просты и изящны по сравнению с аналогичными доказательствами вещественного анализа.

Введем следующие определения. Пусть имеется последовательность однозначных функций  определенных на некотором множестве  точек плоскости .

Определение. Последовательность называется сходящейся в точке  если последовательность чисел сходится.

Определение. Последовательность функций  называется сходящейся на , если она сходится во всех точках множества .

В этом случае можно говорить о предельной функции  определенной на .

Определение. Последовательность  называется равномерно сходящейся на  к функции , конечной на , если для каждого  существует  такое, что при  имеем  для всех .

Если же на , то последовательность  по определению равномерно сходится на  к , если для каждого  существует  такое, что при    для всех . Легко доказать, что для равномерной сходимости последовательности к конечной функции необходимо и достаточно, чтобы для каждого  существовало такое , что при  и для всех  выполнялось неравенство .

Если функции  определены в области , то кроме понятия равномерной сходимости последовательности в области можно рассматривать равномерную сходимость последовательности внутри области , что означает равномерную сходимость  на каждом замкнутом множестве . Равномерная сходимость внутри  – требование более слабое, чем равномерная сходимость в .

Определение. Функция , однозначная и конечная на множестве , не содержащем , называется непрерывной на , если, для любой точки , для любого  существует   такое, что если  и , то . Для последовательностей непрерывных и аналитических  функций имеет место ряд теорема, которые будут рассматриваться ниже.

Геометрический смысл модуля и аргумента производной

1. Сохранение угла между кривыми

Пусть функция  дифференцируема в некоторой окрестности точки  и пусть . Рассмотрим гладкую кривую (Рис. 1.1), проходящую через точку . Обозначим  угол, образуемый касательной к кривой , в точке  и положительным направлением действительной оси (касательная считается направленной в ту же сторону, что и кривая). Тогда .

Рисунок 1.1.

Рисунок 1.2.

Пусть  — образ кривой  при отображении , т. е. , а точка  — образ точки . По правилу дифференцирования сложной функции

  (1.1)

Так как по условию  и , то , т. е. кривая  имеет касательную в точке . Пусть . Тогда из (1.1) находим , то есть

 (1.2)

Величина  называется углом поворота кривой  в точке при отображении .

Из формулы (1.2) следует, что если , то угол поворота в точке  не зависит от кривой и равен , т. е. все кривые, проходящие через точку , поворачиваются при отображении  на один и тот же угол, равный аргументу производной в точке .

Таким образом, отображение , где  — дифференцируемая в окрестности точки  функция и , сохраняет углы между кривыми, проходящими через точку , не только по величине, но и по направлению отсчета (рис. 1.2).

2. Постоянство растяжений

Пусть функция  дифференцируема в некоторой окрестности точки  и . Рассмотрим произвольную точку  кривой , расположенную достаточно близко к точке  (рис. 2.1).

Рисунок 2.1.

Обозначим , . Из определения производной  следует, что

, где  при ,

откуда получаем

или

.    (2.1).

Пусть , где  достаточно мало, тогда из формулы (2.1) находим, что окружность  переходит при отображении  в кривую, которая мало отличается от окружности

.

Иначе говоря, отображение  с точностью до малых более высокого порядка, чем , растягивает круг  в  раз.

Величина  называется линейным растяжением кривой   в точке  при отображении . Следовательно, линейное растяжение в точке  не зависит от вида и направления кривой и равно .

3. Определение конформного отображения

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки .

Определение. Отображение  называется конформным в точке , если оно сохраняет углы между кривыми и обладает свойством постоянства растяжений в точке .

Из выше сказанного вытекает, что если функция  дифференцируема в некоторой окрестности точки  (регулярна в точке ) и , то отображение   является конформным в точке . 

Определение. Пусть функция   однолистна в области D и пусть отображение  является конформным в каждой точке области D. Тогда это отображение называется конформным.

Если сохраняется не только величина углов, но и ориентация, то отображение называется конформным первого рода. Если же ориентация меняется на противоположную, то  – конформным второго рода.

Из определения однолистной функции, определения конформного отображения в точке  и свойств производной вытекает, что если функция  

  1.  дифференцируема в области D,
  2.  однолистна в области D,

3.         ее производная отлична от нуля в этой области,

то отображение  является конформным.

Следующий материал готовить для доклада на следующем семинаре:

  1. Линейная функция;
  2. Дробно-линейнаяфункция;
  3. Функция Жуковского.
  4. Функция ;
  5. Тригонометрические функции  и ;
  6. Гиперболические функции и .

1. Линейная функция

Определение.Линейной функцией называется функция вида:

, (1.1.)

где и  – некоторые постоянные комплексные числа.

Очевидно, что отображение (1.1.) будет конформным во всей плоскости комплексного переменного  и при том взаимно однозначным.

Рассмотрим сначала три случая, при чем, для простоты  и  будем изображать точками одной плоскости.

  1.  .

Это отображение есть сложение векторов, а, фактически, параллельный перенос точек плоскости на вектор .(Рис. 2.1.1).

Рисунок 2.1.1.

  1.  .

Пусть , тогда . В этом случае имеем:

,

то есть точка  переходит в точку  при помощи вокруг поворота около нулевой точки на угол . Значит, это отображение есть поворот вокруг начала координат на угол  (Рис. 2.1.2).

Рисунок 2.1.2.

  1.   – постоянное комплексное число (если , то все точки комплексной плоскости перейдут в нулевую точку).

Запишем  в показательной форме, тогда получим

.

Это означает, что длина вектора  меняется в  раз (то есть  – коэффициент подобия) и к аргументу  прибавляется угол  (поворот вокруг начала координат на угол ).

Окончательно получим, что отображение, осуществляемое функцией , есть комбинация преобразований точек плоскости:

  1.  поворот вокруг начала координат на угол, равный аргументу числа ;
  2.  подобие с центром в начале координат и коэффициентом подобия  равным модулю числа ;
  3.  параллельный перенос на вектор , при котором начало координат переходит в точку.

Функция  является аналитической.

При отображении, осуществляемом с помощью линейной функции, фигуры переходят в подобные им фигуры (на рис. 2.1.3. это показано для функции ). Это свойство называется свойством сохранения формы.

   Рисунок 2.1.3.

Этим свойством обладает и преобразование , которое называется антилинейным. Оно сохраняет форму, но меняет ориентацию обхода границы фигуры на противоположную (На Рис. 2.1.4. это показано для функции )

Рисунок 2.1.4.

Отсюда вытекает, что любое преобразование подобия задается линейной или антилинейной функцией, при чем если ориентация сохраняется, то оно задается линейной функцией.

Поскольку линейная функция  определяется двумя параметрами  и , то для её задания нужны два условия.

2. Дробно-линейная функция

Линейная функция является частным случаем функции вида:

   (2.2.1)

где – комплексные число, при чем .

Функции вида (2.2.1) называются дробно-рациональными.

Дробно-линейную функцию можно распространять на всю расширенную комплексную плоскость.

Так как , то точка  переходит  при этом отображении в,  а точка  в .

Рассмотрим основные свойство дробно-линейных отображений.

1. Конформность.

Дробно линейная функция конформно отображает расширенную комплексную плоскость на расширенную комплексную плоскость.

Очевидно, что функция (2.2.1) регулярна во всей расширенной комплексной плоскость, за исключением точки  – полюса первого порядка. Решая уравнение (2.2.1) относительно , находим функцию

 (2.2.2)

() обратную к функции (2.2.1).

Функция (2.2.2) однозначна на всей расширенной комплексной плоскости и так же дробно-линейной. Следовательно, дробно-линейная функция однолистна в расширенной комплексной плоскости.

2. Групповое свойство.

Совокупность дробно-линейных отображений образует группу, т.е.

1)суперпозиция дробно-линейных отображений является дробно-линейным отображением.

2) Отображение, обратное к дробно-линейному, так же является дробно-линейным.

Докажем первое свойство. Пусть

    (2.2.3)

     (2.2.4)

Подставляя (2.2.3) в (2.2.4) получаем:

где

.

Второе свойство доказано в предыдущем пункте.

2. Круговое свойство.

При дробно-линейном отображении образом любой окружности или прямой является окружность или прямая.

Докажем это свойство. Сначала рассмотрим линейное отображение . Это отображение сводится к подобию, повороту и переносу (пункт 1). Следовательно, линейное отображение переводит окружности в окружности, а прямые – в прямые.

В случае, когда дробно-линейная функция  не является линейной , представим её в виде

, (2.2.5)

где . Тогда отображение (2.2.5)  сводится к последовательному выполнению следующих отображений:

 (2.2.6)

Первое и третье отображения (2.2.6) обладают круговым свойством, так как они линейные. Остается доказать, что второе отображение (2.2.6), т.е. отображение

,  (2.2.7)

так же обладает круговым свойством.

Уравнение любой окружности или прямой на плоскости  имеет вид

 (2.2.8)

(если , то (3.2.9) – уравнение прямой).

Так как , то уравнение (2.2.8) записывается в виде

,  (2.2.9)

где .

Подставив в (2.2.9) получаем

.   (2.2.10)

Следовательно, образом окружности (2.2.9) (прямой, если ) при отображении (2.2.7) является окружность (2.2.10) (прямая, если ).

Отметим, что дробно-линейное отображение  переводит окружности и прямые, проходящие через точку  в прямые, а остальные окружности и прямые – в окружности.

Принято считать, что прямая – это окружность бесконечного радиуса. Поэтому коротко круговое свойство можно сформулировать так: при дробно-линейном отображении окружности переходят в окружности.

4. Свойство сохранения симметрии.

Понятие симметрии относительно окружности определяется в элементарной геометрии следующим образом. Пусть  – окружность радиуса  с центром в точке .

Определение. Точки  и  называются симметричными относительно окружности , если они лежат на одном луче, выходящем из точки , и  (Рис. 3.2.1).

Рисунок 2.2.1.

В частности, каждая точка окружности  является симметричной сама себе относительно этой окружности.

Таким образом, на комплексной плоскости точки  и  являются симметричными относительно окружности , если они лежат на одном луче, выходящем из точки  и .  Из этого определения вытекает, что симметричными относительно окружности  точки ,  связаны соотношением

 (2.2.11)

В частности, симметричные относительно единичной окружности  точки  и  связаны соотношением:

  (2.2.12)

Так как точки  и  симметрично относительно действительной оси, то из (2.2.12) следует, что точка  получается из точки  двойной симметрией: относительно действительной оси и относительно единичной окружность (в любом порядке).

Из (2.2.11) вытекает, что симметричные относительно окружности  точки  и  связаны соотношением

 (2.2.13).

Стоит отметить, что точки  и  являются симметричными относительно окружности  тогда и только тогда, когда любая окружность , проходящая через эти точки, пересекается с окружностью  под прямым углом.

Дробно-линейное отображение обладает следующим свойством сохранения симметрии.

При дробно-линейном отображении пара точек, симметричных относительно окружности, переходит в пару точек, симметричных относительно образа этой окружности.

Здесь окружность, в частности, может быть прямой.

Докажем это свойство. Пусть точки  и  симметричны относительно окружности  и пусть дробно-линейное отображениепереводит окружность  в , а точки  и  – в точки  и  соответственно. В силу кругового свойства  является окружностью. Нужно доказать, что точки  и  симметричны относительно . Для этого достаточно доказать, что любая окружность , проходящая через точки  и , пересекается с под прямым углом.

Прообразом окружности  при дробно-линейном отображении  является окружность , проходящая через точки  и . Эта окружность  пересекается с под прямым углом. Следовательно,  пересекается с так же под прямым углом, так как дробно-линейное отображение является конформным во всей расширенной плоскости и сохраняет углы между кривыми в каждой точке.

5. Дробно-линейное отображение, переводящее три точки в три точки.

Существует единственное дробно-линейное отображение, при котором три различные точки  переходят в три различные точки . Это отображение определяется формулой

 (2.2.14)

Докажем это свойство. Из группового свойства следует, что функция, определяемая соотношением (2.2.14), является дробно-линейной. Так же ясно, что

Докажем, что если дробно-линейная функция  удовлетворяет тем же условиям, что и,а именно , то . Пусть  – функция, обратная функции . Тогда  – дробно-линейная функция:

и. То есть ,

Отсюда получаем,то есть  квадратное уравнение  имеет три различных корня. Следовательно,  и , откуда .Свойство доказано.

Заметим, что функция,определенная формулой (3.2.15), конформно отображает круг, граница которого проходит через точки , , на круг, граница которого проходит через точки

3. Функция Жуковского

Функция

  (2.3.1)

называется функцией Жуковского.

Эта функция была введена в рассмотрение русским ученым Н.Е. Жуковским в теории крыла самолета и имела важные приложения, поэтому носит его имя.Эта функция регулярна в точках , ∞, причем  в точках  и   имеет полюсы первого порядка. Следовательно, функция Жуковского (1) однолистна в каждой точке , так как     при , и неоднолистна в точках ,, так как

Рассмотрим основные свойства функции Жуковского.

1. Однолистность.

Функция Жуковского однолистна в области  тогда и только тогда, когда в этой области нет различных точек  и , связанных равенством

(2.3.2)

В самом деле, пусть . Тогда , откуда либо , либо .

Равенство (2.3.2) геометрически означает, что точка, получается из точки  двойной симметрией: относительно окружности  и относительно прямой  (Рис. 2.3.1).

Рисунок 2.3.1.

Таким образом, функция Жуковского однолистна в области в том и только в том случае, когда эта область не содержит ни одной пары различных точек, которые получаются одна из другой двойной симметрией: относительно единичной окружности и относительно действительной оси.

Функция Жуковского однолистна в следующих областях:

  1.   — внешность единичного круга,
  2.  — внутренность единичного круга,
  3.   — верхняя полуплоскость
  4.   — нижняя полуплоскость

2. Образы окружностей и лучей.

Найдем образы окружностей  и лучей  (полярная координатная сетка) при отображении функцией Жуковского. Полагая в (3.3.1) , получаемы , откуда применив формулы Эйлера получим:

,   (2.3.3)

Рассмотрим окружность

(2.3.4)

( — фиксировано). Из (3.3.3) следует, что при отображении функцией Жуковского образом окружности (3.3.4) является эллипс

,  (2.3.5)

с полуосями ,  и с фокусами в точках  (так как). Исключаяиз уравнений (3.3.5) параметр , при уравнение этого эллипса можно записать в каноническом виде:

 (2.3.6)

Отметим, что при замене  на   эллипс (2.3.5) остается тем же самым, но его ориентация меняется на противоположную. На рис. 2.3.2 показаны окружности , ориентированные по часовой стрелке, и их образы — эллипсы (2.3.6)

Рисунок 2.3.2.

Из (2.3.5) видно, что эти эллипсы ориентированы также по часовой стрелке. На рис. 2.3.3 показаны окружности  при  и их образы — эллипсы (2.3.6); при этом ориентация меняется на противоположную: окружность , ориентированная против часовой стрелки, переходит в эллипс (2.3.6), ориентированный по часовой стрелке.

Рисунок 2.3.3.

При  эллипс (3.3.5) вырождается в отрезок  проходимый дважды, т. е. окружность  переходит в отрезок [—1, 1], проходимый дважды (рис. 3.3.2, 3.3.3).

Рассмотрим луч

  (2.3.7)

( — фиксировано). При отображении функцией Жуковского образом этого луча (см. (3.3.3)) является кривая

, (2.3.8)

Исключаяиз уравнений (3.3.8) параметр , при (— целое), получаем

(2.3.9)

Кривая (2.3.9) — гипербола с фокусами в точках  и с асимптотами .

Если , то кривая (2.3.8) является правой ветвью гиперболы (2.3.9), т. е. луч (2.3.7) при  переходит в правую ветвь гиперболы (2.3.9) (ориентация показана на рис. 2.3.4).

Рисунок 2.3.4.

При замене в (2.3.8) на  получается левая ветвь той же гиперболы (2.3.9), поэтому луч (2.3.7) при  переходит в левую ветвь гиперболы (2.3.9) (рис. 2.3.4). Отметим также, что при замене в (2.3.8)  на  получается та же ветвь гиперболы (2.3.9), но ее ориентация меняется на противоположную.

Рассмотрим лучи (2.3.7) при (— целое). Из (2.3.8) следует, что луч  переходит в мнимую ось  (рис. 2.3.4). Луч  также переходит в мнимую ось . При  кривая (2.3.8) вырождается в луч проходимый дважды (сложенный вдвое) (рис. 2.3.4), т. е. луч  переходит в луч , проходимый дважды: луч переходит в луч и полуинтервал  – в луч  (рис. 2.3.4). Аналогично, луч   переходит в луч , проходимый дважды (рис. 2.3.4).

Таким образом, функция Жуковского  переводит окружности  в эллипсы (2.3.6), а лучи  – в ветви гипербол (2.3.9); фокусы всех эллипсов (2.3.6) и гипербол (2.3.9) расположены в точках ; любой эллипс (2.3.6) пересекается с любой гиперболой (2.3.9) под прямым углом.

4. Функция

Рассмотрим основные свойства данной функции.

1. Однолистность.

Найдем условие, которому должна удовлетворять область , чтобы отображение

(3.1.1)

было однолистным в этой области.

Если , т.е. , то

 (3.1.2)

Следовательно, для однолистности отображения (3.1.1) необходимо и достаточно, чтобы область  не содержала никакой пары различных точек, удовлетворяющих условию (3.1.2).

2. Периодичность.

По формуле Эйлера =1, то для любого  имеем .

С другой стороны, пусть . Умножая обе части на  получаем  откуда, полагая , имеем . Но тогда , то есть  и =1 и , то есть , где  – целое число. Таким образом,  и  являются основными периодами.

3. Конформность.

Так как производная функции (3.1.1) во всех точках отлична от нуля, то отображение конформно во всех точках конечной плоскости .

4. Образы точек конечной плоскости.

Рассмотрим отображения, осуществляемые посредством этой функции.  Заметим, что функция никогда не принимает значение . Это значит, что начало координат плоскости  не принадлежит к образу конечной плоскости  при отображении (3.1.1). Покажем, что всякая другая конечная точка плоскости  принадлежит к этому образу. В самом деле, из уравнения , где  задано, а  – неизвестное, получаем:

, откуда  и , то есть.

Итак,  прообразами  точек    могут  быть  только  точки  вида

.

Очевидно, их бесконечно много, так как  имеет бесконечное множество значений, различающиеся попарно на целые кратные . Кроме того, каждая из найденных точек действительно есть прообраз точки , так как

.    (3.1.3)

Итак, множество всех корней уравнения , где  представляются формулой

=

Все эти точки расположены на одной прямой, параллельной мнимой оси на расстоянии  друг от друга.

То есть функция (3.1.1) отображает конечную плоскость  на область, получающуюся из конечной плоскости  путем исключения одной точки , при чем отображение не взаимно однозначно, так как каждая точка  имеет бесконечное множество прообразов (3.1.3).

5. Образы прямых, параллельных осям координат.

Заставим  описывать какую-нибудь прямую, параллельную одной из координатных осей (Рис. 3.1.1).

Рисунок 3.1.1.

Если это будет прямая , параллельная мнимой оси, то , то есть  будет находиться на окружности с центром в начале координат и радиусом, равным . При этом, когда точка  описывает прямую однократно так, что ордината этой точки, равная , непрерывно растет от -∞ до +∞, то  описывает соответствующую окружность бесконечное множество раз в одном и том же положительном направлении.

Если же точка  описывает прямую , параллельную действительной оси, то , очевидно, пробегает прямолинейный луч, выходящий из начала координат и образующий с положительной частью действительной оси угол . При этом, когда точка  описывает однократно так, что абсцисса этой точки, равная , непрерывно растет от -∞ до +∞, то  описывает соответствующий луч однократно так, что расстояние этой точки от начала координат непрерывно растет от 0до ∞ (и тот и другой пределы исключаются, так как ).

Итак, при отображении плоскости  посредством функции  семейство прямых, параллельных мнимой оси преобразуется в семейство окружностей с центром в начале координат, а семейство прямых, параллельных действительной оси, – в семейство прямолинейных лучей, выходящих из начала координат.

6. Образы полос, параллельных действительной оси.

Рассмотрим область , представляющую внутренность прямоугольной полосы шириной , параллельной действительной оси. Пусть эта полоса ограничена линиями  и . Из установленного выше следует, что образ области  в плоскости  будет область , представляющая угол раствора  с вершиной в начале координат, ограниченный прямолинейными лучами  и  (Рис. 3.1.2).

Рисунок 3.1.2.

При этом соответствие между точками областей  и , устанавливаемое посредством функции (3.4.1.), будет взаимно однозначным, поскольку прообразами некоторой точки  из области  могут быть только точки , различающиеся друг от друга значениями мнимой части. Две такие точки лежат на одной прямой, параллельной мнимой оси, на расстоянии, кратном . Но полоса  имеет ширину не более , поэтому она может содержать внутри лишь один прообраз точки . Итак, каждая точка  имеет лишь один образ и каждая точка  лишь один прообраз внутри , что выражает взаимную однозначность отображения.

При этом показательная функция взаимно однозначно и конформно отображает полосу ширины , параллельную действительной оси, на угол раствора  с вершиной в начале координат. Поэтому к показательной функции прибегают каждый раз, когда надо отобразить некоторую прямолинейную полосу на внутренность угла.

7. Образ прямой, не параллельной ни одной из оси координат.

Если прямая плоскости  не является параллельной какой-либо оси координат, то образ её в плоскости  будет уже не прямой и не окружностью, а логарифмической спиралью. В самом деле, если эта прямая есть ( – угловой коэффициент прямой, а  – ордината в начале), то образом будет кривая  . Здесь , , или, исключая параметр : . Но  или полярный угол  определен только с точностью до целого кратного от . Поэтому, обозначая  снова через получаем: , где .

Это и есть уравнение логарифмической спирали (Рис. 3.1.3). Из того, что она является образом прямой есть  пересекающей прямые, параллельные действительной оси под постоянным углом , следует в силу конформности отображения, что и логарифмическая спираль пересекается под тем же углом образы указанных прямых, то есть все лучи, выходящие из начала координат. Мы получили характеристическое свойство логарифмической спирали.

Рисунок 3.1.3.

Пример 3.1.1. Из приведенных свойств (1) и (2) вытекает, что функция конформно отображает прямоугольник , , где ,  на кольцевой сектор. Частные случаи таких отображений показаны на рис. 3.1.4.

Рисунок 3.1.4.

Пример 3.1.2. Найдем образ отрезка  при отображении .

Рисунок 3.1.5.

Любая точка отрезка имеет комплексную координату , . Поэтому её образом служит линия, параметрически заданная уравнениями . Это дуга логарифмической спирали (рис. 3.4.5).

5. Тригонометрические функции  и

Тригонометрические функции в комплексной области просто выражаются через показательную функцию. По формуле Эйлера имеем: , откуда , .

Учитывая это, примем по определению для любого комплексного

, .  (3.2.1)

Отметим, что функции (3.2.1) периодичны с периодом .

Рассмотрим функция . Эту функцию можно представит в виде суперпозиции функций:

  (3.25.2)

В силу периодичности функции , она не является однолистной на всей комплексной плоскости . Можно разбить комплексную плоскость  на счетное число областей  – вертикальные полосы:  (рис.3.2.1).

Рисунок 3.2.1.

Функция каждую область k переводит на всю комплексную плоскость  с двумя выброшенными лучами: .

Если рассмотреть нижнюю полуполосу, то функция  переводит ее на верхнюю полуплоскость .

Рассмотрим функцию . Полагая, что

(3.2.3)

получим:

.  (3.2.4)

То есть отображение  можно рассматривать как суперпозицию уже рассмотренных отображений.

Найдем условия его однолистности. Пусть область при отображениях (3.2.3) переходит последовательно в . Первое и третье из отображений (3.2.3) однолистны всюду. Для однолистности второго необходимо и достаточно, чтобы  не содержало ни одной пары точек , для которых . Переходя с помощью формул (3.2.3) к плоскости , получим, что для однолистности (3.2.4) в области  необходимо и достаточно, чтобы  не содержало ни одной из точек , для которых, с одной стороны

 (3.2.5)

и с другой

или    (3.2.6)

Этим условиям удовлетворяет, например, полуполоса.Последовательные этапы её отображения изображены на рис. 3.2.2.

Рисунок 3.2.2.

Видно, что в комплексной плоскости не ограничен. Например, в лучах , он принимает действительные значения, по модулю большие единицы.

Отметим, что в (замкнутой) полосе  функция  принимает значение 0 лишь в точках  и . Учитывая нечетность и периодичность этой функции, отсюда можно заключить, что она обращается в 0 лишь на действительной оси в точках

Заметим, что отображение  в силу соотношения   можно представлять, как только что рассмотренное, лишь со сдвигом.

6. Гиперболические функции и

С тригонометрическими функциями тесно связаны гиперболические функции, определяемы посредством формул

, .   (3.3.1)

Эти функции всюду аналитичны. Они просто выражаются через тригонометрические функции:

,

то есть , , и поэтому несущественно отличаются от них.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63529. Учёт боеприпасов и комплектующих элементов на арсеналах и базах 94 KB
  Учет боеприпасов и МТИ (материально-технического имущества) ведется в целях: своевременного информирования должностных лиц о наличии, движении и качестве состояния боеприпасов и МТИ; контроля за сохранностью, законностью, целесообразностью и эффективностью расходования (использования) хранимого имущества...
63531. Загальні поняття конструювання 483.5 KB
  Конструювання як інженерна діяльність є процесом пошуку знаходження і відображення в конструкторській документації форми розмірів складу виробу деталей вузлів використовуваних матеріалів комплектуючих виробів взаємне розташування частин і зв’язки між ними вказівок...
63533. Оптоелекронні пристрої 3.51 MB
  Використовують для естетичних завдань, а також використовування вимірювання різних дефектів у важливих за призначенням об’єктах (дефект колеса літака), а також в інформаційних системах.
63535. Основные параметры и характеристики сканеров 19.34 KB
  Существует несколько видов разрешения указываемого производителем сканеров. В массовых моделях сканеров обычно оно бывает равно 100 или 200 для ручных и рулонных сканеров и 300 600 или 1200 dpi для планшетных сканеров.