90853

Теорема о логарифмическом вычете, принцип аргумента. Теорема Руше. Теорема Гурвица о пределе последовательностей аналитических функций. Определение вычета. Логарифмическая функция и логарифмический вычет. Кратность нуля и полюса для мероморфной функции

Лекция

Математика и математический анализ

Ранее было рассмотрено определение последовательности непрерывных функций. Для данной последовательности имеет место следующая теорема: Теорема 2.1. Если функции непрерывны на множестве, то в случае равномерной сходимости их на к конечной функции, последняя также непрерывна на...

Русский

2015-06-12

63.02 KB

1 чел.

Лекция №2.

Теорема о логарифмическом вычете, принцип аргумента. Теорема Руше. Теорема Гурвица о пределе последовательностей аналитических функций. Определение вычета. Логарифмическая функция и логарифмический вычет. Кратность нуля и полюса для мероморфной функции.

Теоретические вопросы:

  1.   Сходимость последовательности   аналитических функций;
  2.  Теорема Вейерштрасса;
  3.  Теорема Руше;
  4.  Теорема Гурвица;

Содержание лекции

Сходимость аналитических функций

Ранее было рассмотрено определение последовательности непрерывных функций. Для данной последовательности имеет место следующая теорема:

Теорема 2.1. Если функции  непрерывны на множестве , то в случае равномерной сходимости их на  к конечной функции ,последняя также непрерывна на .

Доказательство. Действительно, пусть; для заданного существует такой номер , что для всех  имеем . Далее, существует число такое, что для всех с имеем (возможно в силу непрерывности  на ).

Отсюда для с  имеем: ,что и означает непрерывность  в точке .

Отсюда далее следует, что если функции  непрерывны в области  и равномерно сходятся внутри к конечной функции  то непрерывна в .

В случае аналитических функций имеет место следующая фундаментальная теорема Вейерштрасса.

Теорема Вейерштрасса

Теорема 2.2.(Вейерштрасса). Если последовательность функций , регулярных в области , равномерно сходится внутри  к конечной функции  то  регулярна в  и последовательность производных равномерно сходится внутри к.

Доказательство. Возьмем какой-либо замкнутый круг , лежащий в , и концентрический с ним замкнутый круг  большего радиуса, также лежащий в . Если  есть граница , то по формулам Коши имеем для:

 (1)

С другой стороны, так какнепрерывна в , то функция

    (2)

будет регулярной в . Из (1) и (2) имеем для :

   (3)

и аналогично

    (4)

Но на  последовательность равномерно сходится  и, следовательно, для заданного существует  такое, что при  на  будет: .

Имея это в виду, из (3) и (4) получаем при

 (5)

где и — радиусы кругов  и .

Первое из этих неравенств показывает, что  сходится в  к функции , которая по условию должна совпадать с  Следовательно,  регулярна внутри . Но  — любой круг, лежащий в. Поэтому регулярна в , если  не содержит ∞.

Далее, второе из неравенств (5), если заменить в нем  на , показывает, что последовательность равномерно сходится в  к , так как, за счет выбора , правую часть можно сделать сколь угодно малой сразу для всех , то есть так как  в , то в.

Чтобы доказать равномерную сходимость  внутри , отметим, что каждое ограниченное замкнутое множество  можно покрыть конечным числом кругов, целиком лежащих в вместе с границами.

Действительно, для каждой точки существует замкнутый круг с центром в, лежащий в . Совокупность этих кругов (для всех ) целиком покрывает . По теореме Гейне — Бореля существует конечное число кругов, также покрывающих .

Пусть эти круги будут .

Тогда, по доказанному, для  существуют , то при  и имеем. Если  есть наибольшее из чисел, то при  неравенство  имеет место для точек всех кругов ,, а следовательно, и для всех , т. е. последовательность равномерно сходится на .

Теорема о логарифмическом вычете

Теорема 2.3. (теорема о логарифмическом вычете). Пусть G – некая область комплексной плоскости. f – аналитическая функция  в области G. - гладкий контур внутри G.

Пусть - количество нулей функции f внутри Г (считая их кратность), тогда получим равенство:

.          (1)

Доказательство. Используем теорему Коши о вычетах, согласно которой:

.   (2)

Пусть порядка . Разложим функцию:

.

Вычислим производную:

.

.

.

Следовательно , где - порядок нуля в точке а.

Отсюда следует, что:

.

При подсчете числа нулей регулярной функции в заданной области часто применяется теорема Руше.

Теорема Руше

Теорема 2.4. (теорема Руше). Пусть функциии  регулярны в ограниченной односвязной области  и на ее границе  и пусть для всех  имеет место неравенство . Тогда функции  и  имеют в области  одинаковое число нулей.

Доказательство. Используя теорему о логарифмическом вычете, отметим, что  – количество нулей функции .

Обозначим величину .  Функцию  можно представить в следующем виде:

, где

То есть , где  – ноль функции , а  – его порядок.

Пусть, где  – полюс 1-го порядка. Значит, 1

Для .

Надо показать, что . Пусть. Тогда . Значит, .

Получаем:

Cдругой стороны, так как

и ,

то..

Получается, что , то есть .

Относительно равномерно сходящихся последовательностей регулярных функций докажем еще следующую теорему, имеющую многочисленные применения.

Теорема Гурвица

Теорема 2.5. (Гурвица) Если последовательность функций , регулярных в области , равномерно сходится внутри  к регулярной функции  и если каждая из функций  принимает данное значение  не более кем в  точках области , то и функция  принимает значение  не более кем в  точках из.

Доказательство. Пусть сначала  не содержит ∞. Допустим, чтопринимает значение  в  различных точках Опишем около точек , столь малые окружности , чтобы они лежали внедруг друга, содержали внутри себя лишь точки области  и чтобы на них не было нулей функции .

Все это возможно выполнить, поскольку . При этих условиях существует  такое, что на всех окружностях имеем.

Так как последовательность функций  равномерно сходится на окружностях , то существует  такое, что на , , имеем . Из

по теореме Руше заключаем, что функция внутри каждой окружности ,  наверное имеет нули, nтаккак их имеет функция.

Следовательно,  принимает значение  не менее, чем в  точках области , что противоречит условию теоремы.

Если область  содержит ∞, но отлична от полной плоскости, то, отобразив ее надлежащей дробно-линейной функцией на область, не содержащую ∞, можно применить к преобразованным функциям выше доказанное.

И случай, когда область  является всей плоскостью , исключается, так как в этом случае всегда.

Следствие 2.2.1. Если последовательность однолистных функций  сходится к функции, то  является однолистной функцией, при чем .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

62943. Занятия и быт древних славян 83.55 KB
  Свои поселения славяне никак не укрепляли и жили в постройках слегка углубленных в почву или в наземных домах стены и крыша которых держались на столбах врытых в землю. Наиболее характерной особенностью культуры славян той поры был своеобразный погребальный ритуал...
62944. Пародонт. Строение и функции пародонта. Классификация заболеваний пародонта 4.03 MB
  Пародонтальные индексы. Оценка состояния тканей пародонта с применением пародонтальных индексов CPITN, PMA и др. В настоящее время во всем мире одной из наиболее актуальных и сложных проблем в стоматологии являются болезни тканей пародонта.
62945. Реляционная модель данных. Реляционная база данных 52.44 KB
  Строки таблицы (домены) содержат сведения о представленных в ней фактах (или документах, или людях, одним словом, — об однотипных объектах). На пересечении столбца (атрибут) и строки находятся конкретные значения содержащихся в таблице данных.
62946. Элементы теории множеств 133.64 KB
  Поэтому его нельзя определить а можно лишь пояснить указывая синонимы слова множество и приводя примеры множеств: множество набор совокупность собрание каких либо объектов элементов обладающих общим для всех их характеристическим свойством.