90853

Теорема о логарифмическом вычете, принцип аргумента. Теорема Руше. Теорема Гурвица о пределе последовательностей аналитических функций. Определение вычета. Логарифмическая функция и логарифмический вычет. Кратность нуля и полюса для мероморфной функции

Лекция

Математика и математический анализ

Ранее было рассмотрено определение последовательности непрерывных функций. Для данной последовательности имеет место следующая теорема: Теорема 2.1. Если функции непрерывны на множестве, то в случае равномерной сходимости их на к конечной функции, последняя также непрерывна на...

Русский

2015-06-12

63.02 KB

4 чел.

Лекция №2.

Теорема о логарифмическом вычете, принцип аргумента. Теорема Руше. Теорема Гурвица о пределе последовательностей аналитических функций. Определение вычета. Логарифмическая функция и логарифмический вычет. Кратность нуля и полюса для мероморфной функции.

Теоретические вопросы:

  1.   Сходимость последовательности   аналитических функций;
  2.  Теорема Вейерштрасса;
  3.  Теорема Руше;
  4.  Теорема Гурвица;

Содержание лекции

Сходимость аналитических функций

Ранее было рассмотрено определение последовательности непрерывных функций. Для данной последовательности имеет место следующая теорема:

Теорема 2.1. Если функции  непрерывны на множестве , то в случае равномерной сходимости их на  к конечной функции ,последняя также непрерывна на .

Доказательство. Действительно, пусть; для заданного существует такой номер , что для всех  имеем . Далее, существует число такое, что для всех с имеем (возможно в силу непрерывности  на ).

Отсюда для с  имеем: ,что и означает непрерывность  в точке .

Отсюда далее следует, что если функции  непрерывны в области  и равномерно сходятся внутри к конечной функции  то непрерывна в .

В случае аналитических функций имеет место следующая фундаментальная теорема Вейерштрасса.

Теорема Вейерштрасса

Теорема 2.2.(Вейерштрасса). Если последовательность функций , регулярных в области , равномерно сходится внутри  к конечной функции  то  регулярна в  и последовательность производных равномерно сходится внутри к.

Доказательство. Возьмем какой-либо замкнутый круг , лежащий в , и концентрический с ним замкнутый круг  большего радиуса, также лежащий в . Если  есть граница , то по формулам Коши имеем для:

 (1)

С другой стороны, так какнепрерывна в , то функция

    (2)

будет регулярной в . Из (1) и (2) имеем для :

   (3)

и аналогично

    (4)

Но на  последовательность равномерно сходится  и, следовательно, для заданного существует  такое, что при  на  будет: .

Имея это в виду, из (3) и (4) получаем при

 (5)

где и — радиусы кругов  и .

Первое из этих неравенств показывает, что  сходится в  к функции , которая по условию должна совпадать с  Следовательно,  регулярна внутри . Но  — любой круг, лежащий в. Поэтому регулярна в , если  не содержит ∞.

Далее, второе из неравенств (5), если заменить в нем  на , показывает, что последовательность равномерно сходится в  к , так как, за счет выбора , правую часть можно сделать сколь угодно малой сразу для всех , то есть так как  в , то в.

Чтобы доказать равномерную сходимость  внутри , отметим, что каждое ограниченное замкнутое множество  можно покрыть конечным числом кругов, целиком лежащих в вместе с границами.

Действительно, для каждой точки существует замкнутый круг с центром в, лежащий в . Совокупность этих кругов (для всех ) целиком покрывает . По теореме Гейне — Бореля существует конечное число кругов, также покрывающих .

Пусть эти круги будут .

Тогда, по доказанному, для  существуют , то при  и имеем. Если  есть наибольшее из чисел, то при  неравенство  имеет место для точек всех кругов ,, а следовательно, и для всех , т. е. последовательность равномерно сходится на .

Теорема о логарифмическом вычете

Теорема 2.3. (теорема о логарифмическом вычете). Пусть G – некая область комплексной плоскости. f – аналитическая функция  в области G. - гладкий контур внутри G.

Пусть - количество нулей функции f внутри Г (считая их кратность), тогда получим равенство:

.          (1)

Доказательство. Используем теорему Коши о вычетах, согласно которой:

.   (2)

Пусть порядка . Разложим функцию:

.

Вычислим производную:

.

.

.

Следовательно , где - порядок нуля в точке а.

Отсюда следует, что:

.

При подсчете числа нулей регулярной функции в заданной области часто применяется теорема Руше.

Теорема Руше

Теорема 2.4. (теорема Руше). Пусть функциии  регулярны в ограниченной односвязной области  и на ее границе  и пусть для всех  имеет место неравенство . Тогда функции  и  имеют в области  одинаковое число нулей.

Доказательство. Используя теорему о логарифмическом вычете, отметим, что  – количество нулей функции .

Обозначим величину .  Функцию  можно представить в следующем виде:

, где

То есть , где  – ноль функции , а  – его порядок.

Пусть, где  – полюс 1-го порядка. Значит, 1

Для .

Надо показать, что . Пусть. Тогда . Значит, .

Получаем:

Cдругой стороны, так как

и ,

то..

Получается, что , то есть .

Относительно равномерно сходящихся последовательностей регулярных функций докажем еще следующую теорему, имеющую многочисленные применения.

Теорема Гурвица

Теорема 2.5. (Гурвица) Если последовательность функций , регулярных в области , равномерно сходится внутри  к регулярной функции  и если каждая из функций  принимает данное значение  не более кем в  точках области , то и функция  принимает значение  не более кем в  точках из.

Доказательство. Пусть сначала  не содержит ∞. Допустим, чтопринимает значение  в  различных точках Опишем около точек , столь малые окружности , чтобы они лежали внедруг друга, содержали внутри себя лишь точки области  и чтобы на них не было нулей функции .

Все это возможно выполнить, поскольку . При этих условиях существует  такое, что на всех окружностях имеем.

Так как последовательность функций  равномерно сходится на окружностях , то существует  такое, что на , , имеем . Из

по теореме Руше заключаем, что функция внутри каждой окружности ,  наверное имеет нули, nтаккак их имеет функция.

Следовательно,  принимает значение  не менее, чем в  точках области , что противоречит условию теоремы.

Если область  содержит ∞, но отлична от полной плоскости, то, отобразив ее надлежащей дробно-линейной функцией на область, не содержащую ∞, можно применить к преобразованным функциям выше доказанное.

И случай, когда область  является всей плоскостью , исключается, так как в этом случае всегда.

Следствие 2.2.1. Если последовательность однолистных функций  сходится к функции, то  является однолистной функцией, при чем .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34165. Оценка капитала и инвестиционные решения 15.86 KB
  Оценка капитала и инвестиционные решения. Оценка капитала. Оценка стоимости капитала представляет собой одну из ключевых предпосылок управления компанией и её капиталом на высоком уровне эффективности. Стоимость капитала это цена которую компания оплачивает за привлечение капитала из разнообразных источников.
34166. Рабочая сила и труд. Наемный труд 15.76 KB
  Но под рабочей силой и до Маркса и в его время и после него понимали также разные категории людей. Иногда под рабочей силой понимают также работников какоголибо предприятия зачастую за исключением административного персонала. НАЕМНЫЙ ТРУД передача продажа работником своей рабочей силы во временное пользование собственнику средств производства в обмен на заработную плату. В большинстве стран мира используются два основных способа куплипродажи рабочей силы: индивидуальные трудовые контракты и коллективные договора соглашения.
34167. Структура рынка труда. Безработица: виды и показатели измерения 31.1 KB
  Безработица: виды и показатели измерения. По выбранному нами критерию можно выделить следующие компоненты: 1 субъекты рынка труда; 2 экономические программы решения и юридические нормы принятые субъектами; 3 рыночный механизм спрос и предложение рабочей силы цена рабочей силы конкуренция; 4 безработица и социальные выплаты связанные с ней; 5 рыночная инфраструктура. Существовавшая ранее в нашей стране административно командная система управления при которой государство как собственник основных средств производства...
34168. Сущность и организация заработной платы 21.48 KB
  Важный элемент рынка труда заработная плата т. 2Сдельная форма оплаты труда имеет четыре системы. Прямая сдельная оплата труда производится по неизменным расценкам и независимо от степени выполнения нормы выработки. Аккордная оплата труда от лат.
34169. Земля как экономический ресурс. Рента и арендная плата 26.34 KB
  Поскольку предложение земли совершенно неэластично ее цена полностью определяется спросом на землю. В связи с ограниченностью земельных участков предложение земли совершенно неэластично. Земельная рента часть прибыли возникающей при использовании невоспроизводимого производственного фактора земли. Рента экономика регулярно получаемый доход с капитала облигаций имущества земли.
34170. Дифференциальная, абсолютная и монопольная рента 20.4 KB
  Дифференциальная абсолютная и монопольная рента. Рента это регулярно получаемый доход с капитала имущества или земли не требующий предпринимательской деятельности. Экономисты используют термин Рента в более узком значении: экономическая рента это цена уплачиваемая за использование земли и других природных ресурсов количество запасы которых строго ограничено. Земельная рента часть прибыли возникающей при использовании невоспроизводимого производственного фактора земли.
34171. Экономическая оценка земли. Земельное законодательство 14.98 KB
  Земельное законодательство ЗЕМЕЛЬНОЕ ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВО земельное законодательство в соответствии с Конституцией Российской Федерации находится в совместном ведении Российской Федерации и субъектов Российской Федерации. Земельное законодательство состоит из Земельного кодекса Российской Федерации федеральных законов и принимаемых в соответствии с ними законов субъектов Российской Федерации. Нормы земельного права содержащиеся в других федеральных законах законах субъектов Российской Федерации должны соответствовать Земельному кодексу...
34172. Проблемы воспроизводства окружающей среды 13.47 KB
  Проблемы воспроизводства окружающей среды Воспроизводство окружающей среды тесно связано с процессом общественного воспроизводства и является его неотъемлемой частью. Поэтому требуется определить такой характер отношений который сможет в рамках экологоориентированного общественного воспроизводства обеспечить равные возможности воспроизводства социальной экологической и экономической составляющей.
34173. Агропромышленный комплекс: структура и функции 15.02 KB
  На основе такого взаимодействия сформировалась особая сфера экономики которая получила название агропромышленного комплекса АПК АПК это функциональная многоотраслевая подсистема выражающая взаимосвязь взаимодействие сельского хозяйства и сопряженных с ним отраслей экономики по производству сельскохозяйственной техники сельскохозяйственной продукции ее переработке и реализации. Формирование АПК связано с переходом сельского хозяйства к машинной стадии производства которая значительно углубила и расширила технологические и...