90853

Теорема о логарифмическом вычете, принцип аргумента. Теорема Руше. Теорема Гурвица о пределе последовательностей аналитических функций. Определение вычета. Логарифмическая функция и логарифмический вычет. Кратность нуля и полюса для мероморфной функции

Лекция

Математика и математический анализ

Ранее было рассмотрено определение последовательности непрерывных функций. Для данной последовательности имеет место следующая теорема: Теорема 2.1. Если функции непрерывны на множестве, то в случае равномерной сходимости их на к конечной функции, последняя также непрерывна на...

Русский

2015-06-12

63.02 KB

4 чел.

Лекция №2.

Теорема о логарифмическом вычете, принцип аргумента. Теорема Руше. Теорема Гурвица о пределе последовательностей аналитических функций. Определение вычета. Логарифмическая функция и логарифмический вычет. Кратность нуля и полюса для мероморфной функции.

Теоретические вопросы:

  1.   Сходимость последовательности   аналитических функций;
  2.  Теорема Вейерштрасса;
  3.  Теорема Руше;
  4.  Теорема Гурвица;

Содержание лекции

Сходимость аналитических функций

Ранее было рассмотрено определение последовательности непрерывных функций. Для данной последовательности имеет место следующая теорема:

Теорема 2.1. Если функции  непрерывны на множестве , то в случае равномерной сходимости их на  к конечной функции ,последняя также непрерывна на .

Доказательство. Действительно, пусть; для заданного существует такой номер , что для всех  имеем . Далее, существует число такое, что для всех с имеем (возможно в силу непрерывности  на ).

Отсюда для с  имеем: ,что и означает непрерывность  в точке .

Отсюда далее следует, что если функции  непрерывны в области  и равномерно сходятся внутри к конечной функции  то непрерывна в .

В случае аналитических функций имеет место следующая фундаментальная теорема Вейерштрасса.

Теорема Вейерштрасса

Теорема 2.2.(Вейерштрасса). Если последовательность функций , регулярных в области , равномерно сходится внутри  к конечной функции  то  регулярна в  и последовательность производных равномерно сходится внутри к.

Доказательство. Возьмем какой-либо замкнутый круг , лежащий в , и концентрический с ним замкнутый круг  большего радиуса, также лежащий в . Если  есть граница , то по формулам Коши имеем для:

 (1)

С другой стороны, так какнепрерывна в , то функция

    (2)

будет регулярной в . Из (1) и (2) имеем для :

   (3)

и аналогично

    (4)

Но на  последовательность равномерно сходится  и, следовательно, для заданного существует  такое, что при  на  будет: .

Имея это в виду, из (3) и (4) получаем при

 (5)

где и — радиусы кругов  и .

Первое из этих неравенств показывает, что  сходится в  к функции , которая по условию должна совпадать с  Следовательно,  регулярна внутри . Но  — любой круг, лежащий в. Поэтому регулярна в , если  не содержит ∞.

Далее, второе из неравенств (5), если заменить в нем  на , показывает, что последовательность равномерно сходится в  к , так как, за счет выбора , правую часть можно сделать сколь угодно малой сразу для всех , то есть так как  в , то в.

Чтобы доказать равномерную сходимость  внутри , отметим, что каждое ограниченное замкнутое множество  можно покрыть конечным числом кругов, целиком лежащих в вместе с границами.

Действительно, для каждой точки существует замкнутый круг с центром в, лежащий в . Совокупность этих кругов (для всех ) целиком покрывает . По теореме Гейне — Бореля существует конечное число кругов, также покрывающих .

Пусть эти круги будут .

Тогда, по доказанному, для  существуют , то при  и имеем. Если  есть наибольшее из чисел, то при  неравенство  имеет место для точек всех кругов ,, а следовательно, и для всех , т. е. последовательность равномерно сходится на .

Теорема о логарифмическом вычете

Теорема 2.3. (теорема о логарифмическом вычете). Пусть G – некая область комплексной плоскости. f – аналитическая функция  в области G. - гладкий контур внутри G.

Пусть - количество нулей функции f внутри Г (считая их кратность), тогда получим равенство:

.          (1)

Доказательство. Используем теорему Коши о вычетах, согласно которой:

.   (2)

Пусть порядка . Разложим функцию:

.

Вычислим производную:

.

.

.

Следовательно , где - порядок нуля в точке а.

Отсюда следует, что:

.

При подсчете числа нулей регулярной функции в заданной области часто применяется теорема Руше.

Теорема Руше

Теорема 2.4. (теорема Руше). Пусть функциии  регулярны в ограниченной односвязной области  и на ее границе  и пусть для всех  имеет место неравенство . Тогда функции  и  имеют в области  одинаковое число нулей.

Доказательство. Используя теорему о логарифмическом вычете, отметим, что  – количество нулей функции .

Обозначим величину .  Функцию  можно представить в следующем виде:

, где

То есть , где  – ноль функции , а  – его порядок.

Пусть, где  – полюс 1-го порядка. Значит, 1

Для .

Надо показать, что . Пусть. Тогда . Значит, .

Получаем:

Cдругой стороны, так как

и ,

то..

Получается, что , то есть .

Относительно равномерно сходящихся последовательностей регулярных функций докажем еще следующую теорему, имеющую многочисленные применения.

Теорема Гурвица

Теорема 2.5. (Гурвица) Если последовательность функций , регулярных в области , равномерно сходится внутри  к регулярной функции  и если каждая из функций  принимает данное значение  не более кем в  точках области , то и функция  принимает значение  не более кем в  точках из.

Доказательство. Пусть сначала  не содержит ∞. Допустим, чтопринимает значение  в  различных точках Опишем около точек , столь малые окружности , чтобы они лежали внедруг друга, содержали внутри себя лишь точки области  и чтобы на них не было нулей функции .

Все это возможно выполнить, поскольку . При этих условиях существует  такое, что на всех окружностях имеем.

Так как последовательность функций  равномерно сходится на окружностях , то существует  такое, что на , , имеем . Из

по теореме Руше заключаем, что функция внутри каждой окружности ,  наверное имеет нули, nтаккак их имеет функция.

Следовательно,  принимает значение  не менее, чем в  точках области , что противоречит условию теоремы.

Если область  содержит ∞, но отлична от полной плоскости, то, отобразив ее надлежащей дробно-линейной функцией на область, не содержащую ∞, можно применить к преобразованным функциям выше доказанное.

И случай, когда область  является всей плоскостью , исключается, так как в этом случае всегда.

Следствие 2.2.1. Если последовательность однолистных функций  сходится к функции, то  является однолистной функцией, при чем .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27020. Метод экономического анализа, определение, характерные особенности 18.79 KB
  Метод экономического анализа определение характерные особенности Метод экономического анализа представляет собой способ подхода к изучению хозяйственных процессов в их плавном развитии. Характерными особенностями метода экономического анализа являются: использование системы показателей изучение причин факторов изменения этих показателей выявление и измерение взаимосвязи между ними в целях повышения эффективности. Характерными особенностями метода экономического анализа являются: определение системы...
27021. Нормативное регулирование бухгалтерской отчетности в РФ 16.38 KB
  После долгих дискуссий решено новые нормые акты по бухгму учету и бухгалтерской отчти называть не стандартами а ПБУ сохранив тем самым нацую особенть в решении методолх вопросов. Приведем перечень действующих российских ПБУ: 1. ПБУ 1 98 Учетная политика организации; 2. ПБУ 2 94 Учет договоров контрактов на капитальное строительство; 3.
27022. Предмет и объекты бухучета, их Классификация 18.33 KB
  Основным типом самостоятельно хозяйствующих субъектов являются предприятия организации ставящие целью получение прибыли от своей деятельности. Таким образом объектами бухгалтерского учёта являются имущество организации источники его формирования обязательства и хозяйственные операции осуществляемые в процессе финансовохозяйственной деятельности. Доходами организации признается увеличение экономических выгод в результате поступления активов денежных средств иного имущества и или погашения обязательств приводящее к увеличению...
27023. Синтетический учет поступления и выбытия целевых средств 16.06 KB
  предписывают учет поступления и расходования средств целевого финансирования на счете 86 Целевое финансирование. К сожалению приходится констатировать тот факт что действующая в области бухгалтерского учета законодательнонормативная база не включает в себя какоголибо отдельного правового акта содержащего четкое определение целевого финансирования и детальной методологии его бухгалтерского учета в некоммерческих организациях4. Таким образом в настоящее время некоммерческие организации могут вести бухгалтерский учет целевого...
27024. Содержание, задачи и источники информации анализа исполнения сметы расходов 13.26 KB
  Содержание задачи и источники информации анализа исполнения сметы расходов В бюджетных и научных учреждениях учет расходов и составление отчетности осуществляются в разрезе показателей сметы которые обобщены в двух основных статьях: текущие расходы и капитальные расходы. Содержанием анализа исполнения смет расходов является оценка эффективности использования выделенных учреждению материальных трудовых и финансовых ресурсов выявление отклонений фактических расходов от сметных назначений а также количественная оценка влияния факторов...
27025. Сравнительная характеристика аудита и ревизии 14.14 KB
  Сравнительная характеристика аудита и ревизии 1.Основная цель ревизии заключается в выявлении недостатков и нарушений для их устранения и наказания виновных. Акт ревизии представляет собой документ в котором излагаются выявленные недостатки и нарушения. Акт и другая информация передаются вышестоящим и другим контролирующим органам для принятия решений по результатам проведенной ревизии .
27026. Сравнительная характеристика финансового и управленческого учета 13.51 KB
  учете потребителями информации являются работники упр. В финансовом учете информация формируется и отражается в отчетности в целом по организации. учете информация формируется и составляется отчетность по центрам ответственности видам деятельности отдельным изделиям и другим позициям. В финансовом учете обязательно используются все элементы метода бухгалтерского учета документация и инвентаризация оценка и калькуляция счета и двойная запись бухгалтерский баланс и отчетность.
27027. УЧЕТНАЯ ПОЛИТИКА, ИЗМЕНЕНИЯ В РАСЧЕТНЫХ РАСЧЕТАХ 12.11 KB
  Компоненты чистой прибыли убытка за период: 1 прибыль убыток от операционной деятельности. Под обычной деятельностью понимают деятельность осуществляемую предприятием как часть его бизнеса а такие относящиеся к ней виды деятельности которые осуществляются впоследствии присущи обычной деятельности или возникают в ее результате; 2 чрезвычайные статьи. Это доходы или расходы возникающие в результате событий или операций которые четко можно отделить от обычной деятельности предприятия и в отношении которых можно предположить что они...
27028. План счетов бюджетного учета. Учетные регистры 19.05 KB
  План счетов бюджетного учета. План счетов бюджетного учета Бюджетный учёт основывается на едином плане счетов. Единый план счетов бюджетного учёта можно рассматривать в двух аспектах. Вовторых понятие единый план счетов предполагает наличие плана счетов в котором систематизированы балансовые счета по всем объектам бюджетного учёта.