90853

Теорема о логарифмическом вычете, принцип аргумента. Теорема Руше. Теорема Гурвица о пределе последовательностей аналитических функций. Определение вычета. Логарифмическая функция и логарифмический вычет. Кратность нуля и полюса для мероморфной функции

Лекция

Математика и математический анализ

Ранее было рассмотрено определение последовательности непрерывных функций. Для данной последовательности имеет место следующая теорема: Теорема 2.1. Если функции непрерывны на множестве, то в случае равномерной сходимости их на к конечной функции, последняя также непрерывна на...

Русский

2015-06-12

63.02 KB

1 чел.

Лекция №2.

Теорема о логарифмическом вычете, принцип аргумента. Теорема Руше. Теорема Гурвица о пределе последовательностей аналитических функций. Определение вычета. Логарифмическая функция и логарифмический вычет. Кратность нуля и полюса для мероморфной функции.

Теоретические вопросы:

  1.   Сходимость последовательности   аналитических функций;
  2.  Теорема Вейерштрасса;
  3.  Теорема Руше;
  4.  Теорема Гурвица;

Содержание лекции

Сходимость аналитических функций

Ранее было рассмотрено определение последовательности непрерывных функций. Для данной последовательности имеет место следующая теорема:

Теорема 2.1. Если функции  непрерывны на множестве , то в случае равномерной сходимости их на  к конечной функции ,последняя также непрерывна на .

Доказательство. Действительно, пусть; для заданного существует такой номер , что для всех  имеем . Далее, существует число такое, что для всех с имеем (возможно в силу непрерывности  на ).

Отсюда для с  имеем: ,что и означает непрерывность  в точке .

Отсюда далее следует, что если функции  непрерывны в области  и равномерно сходятся внутри к конечной функции  то непрерывна в .

В случае аналитических функций имеет место следующая фундаментальная теорема Вейерштрасса.

Теорема Вейерштрасса

Теорема 2.2.(Вейерштрасса). Если последовательность функций , регулярных в области , равномерно сходится внутри  к конечной функции  то  регулярна в  и последовательность производных равномерно сходится внутри к.

Доказательство. Возьмем какой-либо замкнутый круг , лежащий в , и концентрический с ним замкнутый круг  большего радиуса, также лежащий в . Если  есть граница , то по формулам Коши имеем для:

 (1)

С другой стороны, так какнепрерывна в , то функция

    (2)

будет регулярной в . Из (1) и (2) имеем для :

   (3)

и аналогично

    (4)

Но на  последовательность равномерно сходится  и, следовательно, для заданного существует  такое, что при  на  будет: .

Имея это в виду, из (3) и (4) получаем при

 (5)

где и — радиусы кругов  и .

Первое из этих неравенств показывает, что  сходится в  к функции , которая по условию должна совпадать с  Следовательно,  регулярна внутри . Но  — любой круг, лежащий в. Поэтому регулярна в , если  не содержит ∞.

Далее, второе из неравенств (5), если заменить в нем  на , показывает, что последовательность равномерно сходится в  к , так как, за счет выбора , правую часть можно сделать сколь угодно малой сразу для всех , то есть так как  в , то в.

Чтобы доказать равномерную сходимость  внутри , отметим, что каждое ограниченное замкнутое множество  можно покрыть конечным числом кругов, целиком лежащих в вместе с границами.

Действительно, для каждой точки существует замкнутый круг с центром в, лежащий в . Совокупность этих кругов (для всех ) целиком покрывает . По теореме Гейне — Бореля существует конечное число кругов, также покрывающих .

Пусть эти круги будут .

Тогда, по доказанному, для  существуют , то при  и имеем. Если  есть наибольшее из чисел, то при  неравенство  имеет место для точек всех кругов ,, а следовательно, и для всех , т. е. последовательность равномерно сходится на .

Теорема о логарифмическом вычете

Теорема 2.3. (теорема о логарифмическом вычете). Пусть G – некая область комплексной плоскости. f – аналитическая функция  в области G. - гладкий контур внутри G.

Пусть - количество нулей функции f внутри Г (считая их кратность), тогда получим равенство:

.          (1)

Доказательство. Используем теорему Коши о вычетах, согласно которой:

.   (2)

Пусть порядка . Разложим функцию:

.

Вычислим производную:

.

.

.

Следовательно , где - порядок нуля в точке а.

Отсюда следует, что:

.

При подсчете числа нулей регулярной функции в заданной области часто применяется теорема Руше.

Теорема Руше

Теорема 2.4. (теорема Руше). Пусть функциии  регулярны в ограниченной односвязной области  и на ее границе  и пусть для всех  имеет место неравенство . Тогда функции  и  имеют в области  одинаковое число нулей.

Доказательство. Используя теорему о логарифмическом вычете, отметим, что  – количество нулей функции .

Обозначим величину .  Функцию  можно представить в следующем виде:

, где

То есть , где  – ноль функции , а  – его порядок.

Пусть, где  – полюс 1-го порядка. Значит, 1

Для .

Надо показать, что . Пусть. Тогда . Значит, .

Получаем:

Cдругой стороны, так как

и ,

то..

Получается, что , то есть .

Относительно равномерно сходящихся последовательностей регулярных функций докажем еще следующую теорему, имеющую многочисленные применения.

Теорема Гурвица

Теорема 2.5. (Гурвица) Если последовательность функций , регулярных в области , равномерно сходится внутри  к регулярной функции  и если каждая из функций  принимает данное значение  не более кем в  точках области , то и функция  принимает значение  не более кем в  точках из.

Доказательство. Пусть сначала  не содержит ∞. Допустим, чтопринимает значение  в  различных точках Опишем около точек , столь малые окружности , чтобы они лежали внедруг друга, содержали внутри себя лишь точки области  и чтобы на них не было нулей функции .

Все это возможно выполнить, поскольку . При этих условиях существует  такое, что на всех окружностях имеем.

Так как последовательность функций  равномерно сходится на окружностях , то существует  такое, что на , , имеем . Из

по теореме Руше заключаем, что функция внутри каждой окружности ,  наверное имеет нули, nтаккак их имеет функция.

Следовательно,  принимает значение  не менее, чем в  точках области , что противоречит условию теоремы.

Если область  содержит ∞, но отлична от полной плоскости, то, отобразив ее надлежащей дробно-линейной функцией на область, не содержащую ∞, можно применить к преобразованным функциям выше доказанное.

И случай, когда область  является всей плоскостью , исключается, так как в этом случае всегда.

Следствие 2.2.1. Если последовательность однолистных функций  сходится к функции, то  является однолистной функцией, при чем .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54273. Використання спеціальних засобів навчання на уроках української мови. Енциклопедія дидактичних матеріалів 394 KB
  Вкажіть правильний варіант відповіді. Укажіть варіант правильного адресування. Укажіть правильний варіант перекладу. Вкажіть варіант у якому всі слова написано згідно з правилами правопису.
54275. Урок обобщающего повторения «Путешествие по материкам» 39.5 KB
  Учитель предлагает утверждение подумав команда отвечает иллюзия или факт. Если правильный ответ – иллюзия и команда может объяснить почему ответ неправильный то количество очков удваивается. Иллюзия Большинство рек Африки принадлежат бассейну Атлантического океана. Иллюзия Водопад Виктория – самый высокий водопад мира.
54276. Тема материнства у творах мистецтва 56.5 KB
  Поглянемо на картини репродукціями яких прикрашений наш клас Ви напевне ще чуєте ту музику під яку заходили до класу Як ви думаєте хто є головним образом картин і музики Учні: Матір із немовлям Свята Марія із Ісусом Мадонна Богоматір Вчитель. Вчитель.
54277. Тема материнства у творах мистецтва 87 KB
  Шуберт Аве Марія Р.Паллай Рідна моя мамо Мета уроку: учити учнів співвідносити живописні образи з музичними; розкрити образ матері через змальований образ Мадонни і музичний образ Аве Марія; дати розуміння понять тших легато стокато; ознайомити з піснею В. Шуберта Аве Марія музичний інструмент магнітофон СД – диск Чарівниці. Діти заходять до класу під звучання пісні у виконанні Дніпропетровської капели бандуристів Чарівниці Діва Марія.
54278. Ознайомлення з дією множення. Знак множення 59.5 KB
  Мета: Ознайомити з дією множення знаком множення; вчити замінювати приклади на додавання прикладами на множення. Обладнання: Таблиця множення демонстраційні таблиці план уроку у вигляді віночка з стрічками схема до задачі індивідуальні картки.
54279. День матери 56 KB
  Цели: 1. Воспитывать любовь, понимание к самому близкому человеку – матери, правильное отношение к маме. 2. Раскрыть образ матери в поэзии, в живописи. 3. Развивать творческие способности, речь учащихся.
54280. Эпоха средневековья в истории европейской культуры 23.95 KB
  Содержанием процесса, который происходил в Европе в период раннего средневековья, следует считать формирование собственно европейской культуры в столкновении античного мира с миром «варваров», в соединении достижений средиземноморской культуры, христианских представлений и племенных культур народов северной Европы.
54281. Роль матері у вихованні дитини 178.5 KB
  Розкрити роль Матері Божої, рідної мами та неньки-України у житті кожної людини; виховувати любов, побожність, патріотизм.