90853

Теорема о логарифмическом вычете, принцип аргумента. Теорема Руше. Теорема Гурвица о пределе последовательностей аналитических функций. Определение вычета. Логарифмическая функция и логарифмический вычет. Кратность нуля и полюса для мероморфной функции

Лекция

Математика и математический анализ

Ранее было рассмотрено определение последовательности непрерывных функций. Для данной последовательности имеет место следующая теорема: Теорема 2.1. Если функции непрерывны на множестве, то в случае равномерной сходимости их на к конечной функции, последняя также непрерывна на...

Русский

2015-06-12

63.02 KB

3 чел.

Лекция №2.

Теорема о логарифмическом вычете, принцип аргумента. Теорема Руше. Теорема Гурвица о пределе последовательностей аналитических функций. Определение вычета. Логарифмическая функция и логарифмический вычет. Кратность нуля и полюса для мероморфной функции.

Теоретические вопросы:

  1.   Сходимость последовательности   аналитических функций;
  2.  Теорема Вейерштрасса;
  3.  Теорема Руше;
  4.  Теорема Гурвица;

Содержание лекции

Сходимость аналитических функций

Ранее было рассмотрено определение последовательности непрерывных функций. Для данной последовательности имеет место следующая теорема:

Теорема 2.1. Если функции  непрерывны на множестве , то в случае равномерной сходимости их на  к конечной функции ,последняя также непрерывна на .

Доказательство. Действительно, пусть; для заданного существует такой номер , что для всех  имеем . Далее, существует число такое, что для всех с имеем (возможно в силу непрерывности  на ).

Отсюда для с  имеем: ,что и означает непрерывность  в точке .

Отсюда далее следует, что если функции  непрерывны в области  и равномерно сходятся внутри к конечной функции  то непрерывна в .

В случае аналитических функций имеет место следующая фундаментальная теорема Вейерштрасса.

Теорема Вейерштрасса

Теорема 2.2.(Вейерштрасса). Если последовательность функций , регулярных в области , равномерно сходится внутри  к конечной функции  то  регулярна в  и последовательность производных равномерно сходится внутри к.

Доказательство. Возьмем какой-либо замкнутый круг , лежащий в , и концентрический с ним замкнутый круг  большего радиуса, также лежащий в . Если  есть граница , то по формулам Коши имеем для:

 (1)

С другой стороны, так какнепрерывна в , то функция

    (2)

будет регулярной в . Из (1) и (2) имеем для :

   (3)

и аналогично

    (4)

Но на  последовательность равномерно сходится  и, следовательно, для заданного существует  такое, что при  на  будет: .

Имея это в виду, из (3) и (4) получаем при

 (5)

где и — радиусы кругов  и .

Первое из этих неравенств показывает, что  сходится в  к функции , которая по условию должна совпадать с  Следовательно,  регулярна внутри . Но  — любой круг, лежащий в. Поэтому регулярна в , если  не содержит ∞.

Далее, второе из неравенств (5), если заменить в нем  на , показывает, что последовательность равномерно сходится в  к , так как, за счет выбора , правую часть можно сделать сколь угодно малой сразу для всех , то есть так как  в , то в.

Чтобы доказать равномерную сходимость  внутри , отметим, что каждое ограниченное замкнутое множество  можно покрыть конечным числом кругов, целиком лежащих в вместе с границами.

Действительно, для каждой точки существует замкнутый круг с центром в, лежащий в . Совокупность этих кругов (для всех ) целиком покрывает . По теореме Гейне — Бореля существует конечное число кругов, также покрывающих .

Пусть эти круги будут .

Тогда, по доказанному, для  существуют , то при  и имеем. Если  есть наибольшее из чисел, то при  неравенство  имеет место для точек всех кругов ,, а следовательно, и для всех , т. е. последовательность равномерно сходится на .

Теорема о логарифмическом вычете

Теорема 2.3. (теорема о логарифмическом вычете). Пусть G – некая область комплексной плоскости. f – аналитическая функция  в области G. - гладкий контур внутри G.

Пусть - количество нулей функции f внутри Г (считая их кратность), тогда получим равенство:

.          (1)

Доказательство. Используем теорему Коши о вычетах, согласно которой:

.   (2)

Пусть порядка . Разложим функцию:

.

Вычислим производную:

.

.

.

Следовательно , где - порядок нуля в точке а.

Отсюда следует, что:

.

При подсчете числа нулей регулярной функции в заданной области часто применяется теорема Руше.

Теорема Руше

Теорема 2.4. (теорема Руше). Пусть функциии  регулярны в ограниченной односвязной области  и на ее границе  и пусть для всех  имеет место неравенство . Тогда функции  и  имеют в области  одинаковое число нулей.

Доказательство. Используя теорему о логарифмическом вычете, отметим, что  – количество нулей функции .

Обозначим величину .  Функцию  можно представить в следующем виде:

, где

То есть , где  – ноль функции , а  – его порядок.

Пусть, где  – полюс 1-го порядка. Значит, 1

Для .

Надо показать, что . Пусть. Тогда . Значит, .

Получаем:

Cдругой стороны, так как

и ,

то..

Получается, что , то есть .

Относительно равномерно сходящихся последовательностей регулярных функций докажем еще следующую теорему, имеющую многочисленные применения.

Теорема Гурвица

Теорема 2.5. (Гурвица) Если последовательность функций , регулярных в области , равномерно сходится внутри  к регулярной функции  и если каждая из функций  принимает данное значение  не более кем в  точках области , то и функция  принимает значение  не более кем в  точках из.

Доказательство. Пусть сначала  не содержит ∞. Допустим, чтопринимает значение  в  различных точках Опишем около точек , столь малые окружности , чтобы они лежали внедруг друга, содержали внутри себя лишь точки области  и чтобы на них не было нулей функции .

Все это возможно выполнить, поскольку . При этих условиях существует  такое, что на всех окружностях имеем.

Так как последовательность функций  равномерно сходится на окружностях , то существует  такое, что на , , имеем . Из

по теореме Руше заключаем, что функция внутри каждой окружности ,  наверное имеет нули, nтаккак их имеет функция.

Следовательно,  принимает значение  не менее, чем в  точках области , что противоречит условию теоремы.

Если область  содержит ∞, но отлична от полной плоскости, то, отобразив ее надлежащей дробно-линейной функцией на область, не содержащую ∞, можно применить к преобразованным функциям выше доказанное.

И случай, когда область  является всей плоскостью , исключается, так как в этом случае всегда.

Следствие 2.2.1. Если последовательность однолистных функций  сходится к функции, то  является однолистной функцией, при чем .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28450. Связь цен с различными экономическими показателями: спрос, затраты, деятельность конкурирующих предприятий, качество 120.5 KB
  К факторам влияющим на цену относятся: существующий или создаваемый спрос размер понесенных затрат деятельность конкурирующих предприятий ситуация на финансовом рынке установленный стандарт услуг. Это ограничивает прибыль от повышения цены поскольку может оказаться что в результате повышения цен определенное число клиентов откажется от услуг в результате чего продажи упадут Сильное повышение цены может ограничить или ликвидировать спрос. Нельзя рассматривать проблему спроса на гостиничные услуги вне зависимости от ее цены. Повышение...
28451. Гостиничная услуга, ее специфика и составные элементы. Особенности работы гостиничного предприятия 74.5 KB
  Зависимость гостиничных услуг от целей путешествия объясняется тем что решения гостя посетить определенное место основывается как правило не на факторе наличия в этом месте конкретной гостиницы. Колебания спроса непосредственным образом связаны с социальноэкономической и политической обстановкой месторасположения гостиницы. работа персонала гостиницы особенно тех кто непосредственно контактирует с клиентами требует умения и желания находить общий язык с самыми разными людьми поскольку среди постояльцев гостиницы бывают богатые и...
28452. Понятие и содержание инновационных процессов. Сущность и виды инноваций. Модель инновационной деятельности 63.5 KB
  В мировой практике и экономической литературе инновации интерпретируются как превращение потенциального научно технического прогресса в реальный воплощающийся в новых продуктах технологиях и услугах. Инновационная деятельность – это деятельность направленная на практическое использование научнотехнических результатов с целью получения нового продукта для удовлетворения потребностей общества. Инновации нововведение – это конечный результат инновационной деятельности получивший применение в виде нового или усовершенствованного продукта...
28453. Инфраструктура предприятий сервиса. Технические средства предприятий (организаций) социально-культурного сервиса и туризма 39 KB
  Многие туристские фирмы уделяют большое внимание компьютеризации системы бронирования в режим реального времени. Первые системы резервирования появились на рынке в середине 60х годов. Это были системы апполо и сабре. Создание глобальных распределительных сетей – в дополнение к возможностям электронного сервиса при бронировании мест для транспортирования авиапассажиров эти системы позволяют резервировать места в гостиницах брать на прокат автомобили.
28454. Организация подтверждения соответствия в сфере туристских услуг в РФ. Характеристика госуд стандартов, используемых в сфере туристских услуг 66.5 KB
  Сертификация форма осуществляемого органом по сертификации подтверждения соответствия объектов требованиям технических регламентов положениям стандартов или условиям договора. Система сертификации совокупность правил выполнения работ по сертификации ее участников и правил функционирования системы сертификации в целом. Сертификация форма осуществляемого органом по сертификации подтверждения соответствия объектов требованиям технических регламентов...
28455. Правовое обеспечение воздушных перевозок в международном и внутреннем сообщениях 107.5 KB
  И этому есть ряд причин: вопервых авиация самый быстрый и удобный вид транспорта при переездах на дальние расстояния; вовторых сервис на авиарейсах в настоящее время имеет привлекательный для туристов вид; втретьих авиационные компании напрямую и через международные сети бронирования и резервирования выплачивают туристским агентствам комиссионные за каждое забронированное в самолете место мотивируя их тем самым выбирать авиаперевозки. Основными документами регулирующими международные воздушные перевозки являются международные...
28456. Осмысление потребности в сущности бытия и сущности человека. Индивидуальные основные потребности и психофизиологические возможности человека 51.5 KB
  Осмысление потребности в сущности бытия и сущности человека. Индивидуальные основные потребности и психофизиологические возможности человека. Потребность – отражение в сознании человека необходимости получения чегото жизненно важного побуждающего его к активной целенаправленности деятельности. Удовлетворение потребностей – цель любой деятельности человека.
28457. Сутність та задачі психологічної підготовки 105.5 KB
  Зміст морально-психологічного забезпечення та його особливості при виконанні службово-бойових завдань у повсякденній діяльності військ. Особливості при виконанні службово-бойових завдань у повсякденній діяльності військ...