90862

Матрицы. Определители. Невырожденные матрицы

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Это правило можно сформулировать и словесно: элемент, стоящий на пересечении -й строки и -го столбца матрицы, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов -й строки матрицы и -го столбца матрицы. Другими словами, элемент является результатом скалярного произведения -й вектор – строки и -го вектор – столбца.

Русский

2015-06-12

619.68 KB

4 чел.

Лекция №1:  Матрицы. Определители. Невырожденные матрицы

Информационно –                        1. Матрицы. Основные понятия

дидактический блок:                    2. Действия над матрицами

                                                       3. Определители

                                                       4. Свойства определителей

                                                       5. Обратная матрица

                                                       6. Ранг матрицы

1.1. Матрицы. Основные понятия

Прямоугольная таблица чисел

                                                         ,                                              (1.1)                                                          содержащая строк и столбцов, называется матрицей размерностью . Числа называются элементами матрицы. Каждый элемент матрицы снабжен двумя индексами: первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца, в которых расположен этот элемент. Часто вместо подробной записи (1.1) употребляют сокращенную запись: или даже .

Две матрицы и считаются равными, если совпадают их размеры и при любых и .

Наряду с матрицей (1.1) часто приходится рассматривать матрицу, столбцами которой являются строки матрицы (т.е. столбцы и строки меняются местами). Такая  матрица называется транспонированной к матрице и обозначается через :

                                                          .                                                                                                            (1.2)                                                

Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрица называется квадратной, а число ее строк (равное числу столбцов) – порядком квадратной матрицы:   

                                                       .

Диагональ квадратной матрицы называется главной диагональю, а диагональ побочной диагональю.

Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, которые находятся  ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю. То есть треугольная матрица имеет вид

                                          или     .                                                                (1.3)                                                         

1.2. Действия над матрицами.

1. Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу на число , нужно каждый элемент матрицы умножить на это число: .

2. Сложение матриц. Складывать можно только матрицы с одинаковым числом строк и столбцов, т.е. матрицы одинаковых размеров. Суммой матриц и называется матрица , элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц и , т.е. для любых индексов , .

3. Умножение матриц. Произведение матрицы на матрицу (обозначается ) определено только в том случае, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . В результате умножения получим матрицу , у которой столько же строк, сколько их в матрице , и столько же столбцов, сколько их в матрице . Для удобства запоминания запишем это кратко:

Если , и , то элементы определяются следующим образом:

                                     ,   .                                                (1.4)                                                        

Это правило можно сформулировать и словесно: элемент , стоящий на пересечении -й строки и -го столбца матрицы , равен сумме попарных произведений соответствующих элементов -й строки матрицы и -го столбца матрицы . Другими словами, элемент является результатом скалярного произведения -й вектор – строки и -го вектор – столбца.

В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц 2-го порядка:

.

Заметим, что оба произведения и можно определить лишь в том случае, когда число столбцов матрицы совпадает с числом строк матрицы , а число строк матрицы совпадает с числом столбцов матрицы . А именно, матрица имеет размеры , а – размеры . При этом, вообще говоря, (проверьте на примере!).

Отметим следующие свойства умножения матриц:

1) (ассоциативность умножения);

2) или (дистрибутивность умножения относительно

сложения).

1.3. Определители

Каждой квадратной матрице может быть поставлено в соответствие некоторое число, вычисляемое по определенному правилу с помощью элементов матрицы. Такое число называют определителем (или детерминантом) матрицы и обозначают символом или . При этом порядком определителя называют порядок соответствующей матрицы.

Правила вычисления определителей 2-го и 3-го порядков легко выписать:

                                                                  ,                                                                                                      (1.5)                                                               

                                                                (1.6)                   

-

Cхема 2 

+

Cхема 1 

Формулу (1.6), несмотря на внешнюю сложность записи, нетрудно запомнить. Если соединить линией каждые три элемента определителя, произведение которых входит в правую часть последней формулы со знаком «», то получим легко запоминающуюся схему 1. Аналогично для произведений, входящих со знаком «–», имеем схему 2.

Это правило вычисления определителей 3-го порядка называется правилом треугольников.

Прежде, чем сформулировать определение определителя -го порядка, рассмотрим одно вспомогательное понятие.

 Перестановкой чисел называют расположение этих чисел, в каком – либо определенном порядке (не обязательно в порядке возрастания). Например, – одна из возможных перестановок чисел .

Число различных перестановок, которые можно составить из чисел , равно произведению (читается: «n факториал»).

Пусть дана какая-то перестановка чисел . Назовем инверсией (или беспорядком) в перестановке любую пару чисел в этой перестановке, из которых большее число расположено левее меньшего.

Например, в перестановке имеются 3 инверсии: их образуют пары , , .

Условимся обозначать общее число инверсий в перестановке символом . Перестановка называется четной, если число – четное, и нечетной, если число – нечетное.

Так в рассмотренном выше примере перестановка содержала 3 инверсии и, следовательно, является нечетной. Заметим, что перестановка не содержит ни одной инверсии, иначе говоря, содержит 0 инверсий. Следовательно, эта перестановка является четной.

Определителем -го порядка (или определителем матрицы -го порядка) называется число, равное

                                     ,                                                            (1.7)                                               

где суммирование распространяется на все перестановки , которые можно составить из чисел . Количество слагаемых в правой части равенства (1.7) равно , так как количество всех перестановок множества из элементов равно

В качестве примеров применения общей формулы (1.7) рассмотрите формулы для вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.

 1.4. Свойства определителей

Сформулируем без доказательства ряд свойств, которыми обладает произвольный определитель -го порядка.

1) Свойство равноправности строк и столбцов. При транспонировании величина определителя сохраняется, т.е. .

Это свойство означает полную равноправность строк и столбцов и позволяет нам все последующие свойства формулировать лишь для строк и быть уверенными в справедливости их и для столбцов.

2) При перестановке местами 2-х строк определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.

3) Линейное свойство определителя. Если все элементы -ой строки определителя -го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых  , то исходный определитель можно представить в виде суммы двух определителей, у которых элементами -й строки являются соответственно и  , а все остальные строки – такие же, как у исходного определителя. При этом определители умножаются на и соответственно:

                    .                                                        (1.8)                               

Конечно линейное свойство справедливо и для случая, когда -я строка является линейной комбинацией не двух, а нескольких строк. На этот случай (любого конечного числа слагаемых) сформулированное свойство обобщается индукцией по числу слагаемых.

Приведенные три свойства являются основными свойствами определителя. Все следующие свойства являются логическими следствиями трех основных свойств.

4) Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю.

В самом деле, при перестановке двух одинаковых строк, с одной стороны, определитель не изменится, а с другой стороны, в силу свойства 2 изменит свой знак на противоположный. Таким образом, , т.е. или .

5) Умножение всех элементов некоторой строки определителя на число равносильно умножению определителя на это число .

Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак этого определителя. Это свойство вытекает из свойства 3 при .

6) Если все элементы некоторой строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Это свойство вытекает из свойства 5 при .

7) Если элементы двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

В самом деле, в силу свойства 5 множитель пропорциональности можно вынести за знак определителя, после чего останется определитель с двумя одинаковыми строками, который равен нулю согласно свойству 4.

8) Если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится.

В самом деле, полученный в результате указанного прибавления определитель можно в силу свойства 3 разбить на сумму двух определителей. Первый, из которых совпадает с исходным определителем, а второй равен нулю в силу пропорциональности двух строк и свойства 7.

9) Определитель произведения матриц. Если , где и – квадратные матрицы (одинакового порядка), то .

Пусть дана матрица  -го порядка. Минором любого элемента называют определитель порядка , соответствующий той матрице, которая получается из матрицы в результате вычеркивания -й строки и -го столбца (т.е. той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент ). Минор элемента будем обозначать символом .

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называют минор этого элемента, умноженный на , т.е. .

Теорема. Определитель матрицы  -го порядка равен сумме произведений всех элементов какой-нибудь одной фиксированной строки на их алгебраические дополнения, т.е. для любого имеет место равенство ,называемое разложением определителя по элементам -й строки.

Аналогично для имеет место разложение определителя по элементам -го столбца:  

.

1.5. Обратная матрица

Среди квадратных матриц одного и того же порядка (например, порядка , т.е. размеров ) важную роль играет матрица вида

                                                           ,                                                                                                                (1.9)                                 

которую называют единичной матрицей. Легко проверить, что для любой матрицы  -го порядка имеют место равенства . Эти равенства показывают особую роль единичной матрицы , аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел.

Как известно, для каждого числа существует такое число , что . Число называется обратным для . Если мы зафиксируем натуральное число и будем рассматривать квадратные матрицы -го порядка, то в этом множестве матриц единичная матрица будет играть роль единицы. Естественно поставить вопрос о существовании обратной матрицы, т.е. такой матрицы, которая в произведении с данной матрицей дает единичную матрицу.

Пусть – квадратная матрица -го порядка. Квадратная матрица (того же порядка ) называется обратной для матрицы , если .

Матрицу, обратную к матрице , принято обозначать символом .

Способ вычисления обратной матрицы. Если для квадратной матрицы существует обратная матрица , то справедливо равенство , где – единичная матрица. Переходя в этом равенстве к определителям (и учитывая свойство 9 определителей), имеем , или . Отсюда заключаем, что (в противном случае левая часть последнего равенства равнялась бы нулю). Этим доказано, что если , то для матрицы не существует обратной. Другими словами, условие является необходимым условием существования обратной матрицы. Оказывается, это условие является и достаточным.

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю ( ). В противном случае матрица называется вырожденной ( ).

Пусть матрица имеет вид: .

 Теорема. Если – невырожденная матрица, то для нее существует обратная матрица , которая вычисляется по формуле

     ,                                                                                  (1.10)                                                                      

где – алгебраическое дополнение для элемента матрицы .

 Замечание. Обратим внимание на расположение чисел  в правой части формулы (1.10): число расположено не в -й строке и -м столбце, а наоборот, в -й строке и -м столбце. Таким образом, матрица, стоящая в правой части (1.10), является транспонированной матрицей алгебраических дополнений элементов матрицы .

1.6. Ранг матрицы

Ранее для квадратной матрицы  -го порядка было введено понятие минора элемента . Напомним, что так был назван определитель порядка , полученный из определителя вычеркиванием -й строки и -го столбца.

Введем теперь общее понятие минора. Рассмотрим некоторую, не обязательно квадратную матрицу . Выберем какие-нибудь номеров строк и номеров столбцов .

Минором порядка матрицы (соответствующим выбранным строкам и столбцам) называется определитель порядка , образованный элементами, стоящими на пересечении выбранных строк и столбцов, т.е. число

                                                          .                                                                                            (1.11)                                                                                                    

Каждая матрица имеет столько миноров данного порядка , сколькими способами можно выбрать номера строк   и  столбцов .

В матрице размеров минор порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка равны нулю или миноров порядка вообще нет, т.е. совпадает с меньшим из чисел или .

Ясно, что в матрице может быть несколько разных базисных миноров. Все базисные миноры имеют один и тот же порядок. Действительно, если все миноры порядка равны нулю, то равны нулю и все миноры порядка , а, следовательно, и всех бόльших порядков. Это становится очевидным, если разложить минор порядка по элементам какой-либо строки (столбца): все миноры элементов этой строки являются определителями порядка , а поэтому равны нулю.

Рангом матрицы называется порядок базисного минора, или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг такой матрицы, по определению, считают нулем.

Ранг матрицы будем обозначать символом . Из определения ранга следует, что для матрицы размеров справедливо соотношение .

  Два способа вычисления ранга матрицы

а) Метод окаймляющих миноров.  Найдем этим способом ранг матрицы   

                                                .

Пусть в матрице найден минор  -го порядка, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры -го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор : если все они равны нулю, то ранг матрицы равен . В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор -го порядка, и вся процедура повторяется.

Применяя описанный метод к матрице , найдем .

Ясно, что перебирать таким способом миноры в поисках базисного минора – задача, связанная с большими вычислениями, если размеры матрицы не очень малы. Существует, однако, более простой способ нахождения ранга матрицы – при помощи элементарных преобразований.

б) Метод элементарных преобразований

Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля; 2) прибавление к одной строке другой строки; 3) перестановку строк; 4) такие же преобразования столбцов.

Преобразования 1 и 2 выполняются поэлементно. Комбинируя преобразования первого и второго вида, мы можем к любой строке прибавить линейную комбинацию остальных строк.

Теорема. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Идея практического метода вычисления ранга матрицы заключается в том, что с помощью элементарных преобразований данную матрицу приводят к виду

,

в котором «диагональные» элементы отличны от нуля, а элементы, расположенные ниже «диагональных», равны нулю. Условимся называть матрицу такого вида треугольной. После приведения матрицы к треугольному виду можно сразу записать, что .

В самом деле, (т.к. элементарные преобразования не меняют ранга). Но у матрицы существует отличный от нуля минор порядка : , а любой минор порядка содержит нулевую строку и поэтому равен нулю.

Сформулируем теперь практическое правило вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований: для нахождения ранга матрицы следует с помощью элементарных преобразований привести ее к треугольному виду . Тогда ранг матрицы будет равен числу ненулевых строк в полученной матрице .

Лекция №2: Системы линейных уравнений

Информационно –         1. Основные понятия

дидактический блок:     2. Решение невырожденных систем линейных уравнений. Формулы Крамера

                                        3. Метод обратной матрицы

                                        4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

                                        5. Системы линейных однородных уравнений

2.1.Основные понятия

Линейным относительно неизвестных называют алгебраическое уравнение первой степени, т.е. уравнение вида , где – числа. Причина такого названия в том, что уравнение первой степени с двумя переменными определяет на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат прямую линию.

Система линейных уравнений с неизвестными имеет вид

                                                                                            (2.1)                                                                           

В общем случае число уравнений в системе не обязательно совпадает с числом неизвестных: может быть меньше, равно или больше числа .

Числа (вещественные или комплексные) называются коэффициентами системы (2.1); свободными членами; неизвестными.

Систему (2.1) можно записать в матричной форме: или АХ=В,

где ,     ,     .

Если , то система называется однородной, в противном случае она называется неоднородной.

Совокупность чисел называется решением системы (2.1), если после замены неизвестных числами соответственно каждое из уравнений системы превращается в верное равенство.

Рассмотрим систему линейных уравнений

Эта система 2-х уравнений с тремя неизвестными решений не имеет, так как любая тройка чисел, удовлетворяющая первому уравнению, не может удовлетворять второму.

Система имеет единственное решение , .

Рассмотрим систему линейных уравнений  

Пара чисел есть одно из решений этой системы трех уравнений с двумя неизвестными, – другое решение. Эта система имеет бесконечно много решений: значения , при любом действительном значении удовлетворяют данной системе.

Рассмотренные примеры систем линейных уравнений показывают, что, вообще говоря, система может либо вовсе не иметь решений, либо иметь единственное решение, либо иметь их несколько (в последнем случае, оказывается, система всегда имеет бесконечное множество решений).

Определение. Система линейных уравнений, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Система, обладающая хотя бы одним решением, называется совместной.

Относительно каждой системы линейных уравнений могут быть поставлены следующие вопросы:

1) Совместна заданная система или нет?

2) В случае, если система совместна, как определить, сколько она имеет решений – одно или несколько?

3) Как найти все решения системы?

Ответ на все эти вопросы дает теория систем линейных уравнений.

2.2. Формулы Крамера

Ограничимся сначала рассмотрением систем, у которых число уравнений равно числу неизвестных (такие системы называют квадратными).

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными:

                                                                                               (2.2)

Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы (2.2).

Теорема. Если определитель квадратной системы (2.2) отличен от нуля, то эта система имеет единственное решение. Это решение может быть найдено по формулам

                                                          ,                                                                                                    (2.3)                                                                                                          

где – определитель, получаемый из определителя заменой -го столбца на столбец свободных членов.

Формулы для неизвестных (2.3) носят название формул Крамера.

2.3. Метод обратной матрицы

Рассмотрим снова произвольную систему линейных уравнений с неизвестными, которую запишем, как и раньше, в матричной форме:

                                                          ,                                                                                                                                     (2.4)                                                      

где ,     ,     .

Матрицу называют матрицей системы (2.2), а матрицу, полученную из матрицы добавлением столбца свободных членов , – расширенной матрицей системы (2.2). Обозначим расширенную матрицу системы (2.2) символом :

                                                 .

Очевидно, что ранги матриц и связаны неравенством   .

Вопрос о совместности системы (2.2) полностью решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы, т.е. чтобы .

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными (2.2) или в матричной форме АХ=В.

Основная матрица А такой системы квадратная. Если определитель этой системы отличен от нуля, то система называется невырожденной. Отыскание решения системы по формуле называется матричным способом решения системы (2.2).                                                     

 2.4. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных)

Под элементарными преобразованиями системы линейных уравнений понимаются следующие операции: 1) умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля; 2) прибавление к одному уравнению другого уравнения; 3) перемена местами уравнений в системе.

Комбинируя элементарные преобразования первого и второго типов, мы можем к любому уравнению прибавить другое уравнение, умноженное на произвольное число.

Производя элементарные преобразования в системе, мы получаем новую систему. Очевидно, что каждому элементарному преобразованию системы соответствуют аналогичные преобразования над строками расширенной матрицы этой системы, и наоборот, каждому элементарному преобразованию строк расширенной матрицы соответствует некоторое элементарное преобразование в системе. Таким образом, элементарные преобразования в системе сводятся к соответствующим преобразованиям над строками ее расширенной матрицы.

Две системы линейных уравнений от одних и тех же неизвестных называются равносильными, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот (или если обе системы несовместны).

Заметим, что число уравнений в равносильных системах может быть различным.

Теорема. При элементарных преобразованиях система линейных уравнений переходит в равносильную систему.

Сущность метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к такому виду, чтобы матрица системы оказалась треугольной. Для упрощения изложения мы будем иметь дело не с самой системой (2.2), а с расширенной матрицей этой системы (производя при этом элементарные преобразования только над строками матрицы).

Рассмотрим алгоритм применения метода Гаусса на простых примерах.

Решить систему

Преобразуем расширенную матрицу системы: ~ .

Отсюда следует, что , , т.е. исходная система несовместна. Заметим, что, применяя метод Гаусса (т.е. исключая неизвестные), мы одновременно проводим исследование системы на совместность (т.е. отыскиваем ранги матрицы системы и расширенной матрицы).

Решить систему

Исследуем систему на совместность: ~ .

Отсюда следует, что – система совместна.

Итак, полученная система, равносильная исходной системе, содержит одно уравнение с двумя неизвестными. Решение этой системы может быть найдено только в том случае, если мы придадим произвольное действительное значение одному из неизвестных. Тогда другое неизвестное можно выразить через первое.

Заметим, что неизвестные, значения которых можно выбирать произвольно, называют свободными. Число свободных неизвестных определяется по формуле , где – число неизвестных в исходной системе, – ранг матрицы системы (совпадающий с рангом расширенной матрицы в силу совместности системы).

В данном случае . Положим ; тогда . В итоге получаем общее решение системы:

                                                  ,  где – произвольная постоянная.

Придавая постоянной различные действительные значения, получаем бесконечное множество решений исходной системы.

При желании можно произвести проверку: .

Решить систему

Данная система apriori является совместной, т.к. она однородна (все свободные члены равны нулю). Однородная система всегда имеет нулевое (или тривиальное) решение: . Для однородных систем особый интерес представляет вопрос о существовании ненулевых (или нетривиальных) решений. Так называют всякое решение системы, у которого значение хоть одного неизвестного отлично от нуля.

Преобразуем расширенную матрицу системы: ~ .

Имеем – система совместна. Тогда – количество свободных неизвестных. Полагая (где – произвольная постоянная), получим

Отсюда , . Таким образом, общее решение системы имеет вид ,  где – произвольная постоянная.

Как мы отмечали ранее, система линейных уравнений может либо вовсе не иметь решений, либо иметь единственное решение, либо иметь их несколько (в последнем случае, оказывается, система всегда имеет бесконечное множество решений). Это утверждение исчерпывает все возможные ситуации. При изложении (на примерах) метода Гаусса мы получили возможность эвристически дать ответ на вопрос о числе решений (в случае совместности системы). Строгий ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема (о числе решений). Пусть для системы линейных уравнений с неизвестными выполнено условие совместности, т.е. ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы. Тогда, если ранг матрицы системы равен числу неизвестных (), то система имеет единственное решение. Если же ранг матрицы системы меньше числа неизвестных (), то система имеет бесконечное множество решений, а именно: некоторым неизвестным можно придавать произвольные значения, тогда оставшиеся неизвестных определятся уже единственным образом.

2.5. Системы линейных однородных уравнений.

Пусть дана система линейных однородных уравнений   

                                       .

Очевидно, что однородная система всегда совместна, она имеет нулевое решение .

Ответ на вопрос, при каких условиях однородная система имеет ненулевое решение, дает следующая теорема.

Теорема. Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа неизвестных, т. е. .

Лекция №3: Векторная алгебра

Информационно –                                                  1. Основные понятия

дидактический блок:                                              2. Проекция вектора на ось

                                                                                 3. Разложение вектора по ортам координатных осей

                                                                                 4. Действия над векторами, заданными проекциями

                                                                                 5. Скалярное произведение векторов и его свойства

                                                                                 6. Векторное произведение векторов и его свойства

                                                                                 7. Смешанное произведение векторов                                         

                                      

3.1.0сновные понятия

Вектором называется направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление.

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка и обозначается . Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается .

Векторы   и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают . Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Два вектора и называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число. Эта тема вам известна из школьного курса.

3.2. Проекция вектора на ось  

Проекцией точки М на ось l называется основание перпендикуляра , опущенного из точки на ось.

Проекцией вектора на ось l называется положительное число , если вектор и ось l одинаково направлены и отрицательное число – , если вектор и ось l  противоположно направлены. Проекция вектора  на ось l  обозначается так: .

Отметим некоторые основные свойства проекций.

1) Проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла

между вектором и осью, т.е. .

2) Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.

3) При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается это число, т. е. .

Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

Заметим, два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны; три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (параллельны одной и той же плоскости); четыре вектора (и более) всегда линейно зависимы. Следовательно, наибольшее число линейно независимых векторов в пространстве равно трем, на плоскости таких векторов два, а на прямой линии – один. Совокупность линейно независимых векторов, через которые линейно выражается любой вектор пространства, называется базисом этого пространства. Векторы, составляющие базис пространства, называются базисными. Наибольшее число линейно независимых векторов пространства называется размерностью этого пространства. В соответствии с этим прямую линию обычно называют одномерным пространством, плоскость является двумерным пространством, а обычное пространство – трехмерным.

3.3. Разложение вектора по ортам координатных осей.   

Если –  орты координатных осей прямоугольной системы координат , то любой вектор единственным образом можно представить в виде их суммы с коэффициентами (3.1). Коэффициенты линейной комбинации  называют координатами вектора  в базисе .

Длина вектора   определяется по формуле

                                                                                                                                                               (3.2)

Вектор образует с координатными осями углы соответственно. Направление вектора определяется с помощью направляющих косинусов:

                                                                                                                               (3.3)                                      

Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

3.4. Действия над векторами, заданными проекциями.

При сложении векторов их одноименные координаты складываются, при вычитании - вычитаются, при умножении вектора на число – умножаются на это число.

Векторы и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.

Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т. е. где - некоторое число.

Если вектор задан  точками и  , то его координаты вычисляются по формуле

                                                                                                                                                      (3.4)  

Информационно –                                    1. Скалярное произведение векторов и его свойства

дидактический блок:                                2. Векторное произведение векторов и его свойства

                                                                  3. Смешанное произведение векторов                                         

4.1.. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначение:

Таким образом,

                                                                                                                                                                            (4.1)   

Формулу (4.1) можно записать в виде

                                         или                                                                                                      (4.2)                                                          

Отметим следующие свойства скалярного произведения векторов:

1) (перестановочность);

2) (распределительность);

3) (сочетательность по отношению к скалярному множителю);

4) (скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля)

5) (или =0, или =0).

Векторы, скалярное произведение которых равно нулю, называются ортогональными.

Если векторы   и заданы своими координатами , , то

                                                                                                                                                             (4.3)                        

4.2. Векторное произведение векторов

Векторным произведением неколлинеарных векторов и называется вектор , определяемый условиями:

1) вектор перпендикулярен векторам и , т. е. ,  ;

2) длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т. е.

                                                

                                                                                                                                                                       

3) векторы , и образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается .

Если векторы и коллинеарны, то по определению =0.

Отметим следующие свойства векторного произведения:

1) = (антиперестановочность);

2) (сочетательность по отношению к скалярному множителю);

3) (распределительность);

4) =0 если (или =0, или =0).

Если векторы   и заданы своими координатами , , то

                                          = или =                                                                (4.4)                                       

Для вычисления площади параллелограмма, построенного на векторах и , применяется формула

                                                                                                                                                                                      (4.5)                                                                         

4.3. Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов векторы , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор .

Обозначение: . Таким образом:

                                                           =                                                                                                                    (4.6)                            

Геометрически смешанное произведение интерпретируется как число, равное объему параллелепипеда, построенного на векторах , и как на ребрах. Смешанное произведение векторов , и положительно, если данные векторы образуют правую тройку, и отрицательно – если левую.

Отметим следующие свойства смешанного произведения:

1) смешанное произведение не меняется при циклической перестановке векторов;

2) смешанное произведение не меняется при перестановке знаков векторного и скалярного умножения;

3) смешанное произведение меняет знак на противоположный при перемене мест любых двух векторов - сомножителей;

4) смешанное произведение равно нулю, если векторы компланарны.

Если векторы  , и заданы своими координатами , , , то =  

                                                                                                                                                                                       (4.7)                                                                                                            

Объем параллелепипеда, построенного на векторах , и , и объем , построенной на них треугольной  пирамиды, находятся по формулам

                                                                                                                                                                                          (4.8)                     

                                                         =.                                                                                                                             (4.9)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38540. Разработка компактного, надежного современного датчика алкогольных паров 1.06 MB
  Ширина печатного проводника рассчитывается по формуле:1 1 где I протекающий по проводнику ток А; J плотность тока А мм h толщина фольги мм; Для односторонней печатной платы изготовленной химическим способом методом сеткографии для бытовой аппаратуры плотность тока J= 30 ммпо справочнику. Сопротивление...
38542. ОПЫТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РАБОТА ПО ФОРМИРОВАНИЮ ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ ПОСРЕДСТВОМ ДИДАКТИЧЕСКИХ ИГР 720 KB
  Формирования экологической культуры посредством дидактической игры . Эффективным методом формирования экологической культуры являются дидактические игры. В процессе использования дидактической игры у детей формируется умение действовать в какойлибо ситуации в соответствии с определенными нормами. Фицула в учебнике по педагогике отмечает что целью формирования экологической культуры в учебновоспитательном процессе используют экологопсихологическую терминологию групповые и ролевые игры мозговой штурм что направлены на...
38543. Управление маркетингом на предприятие на примере торговой компании ТОО «DOM COMPANI» 755.5 KB
  Организационная структура предприятия ТОО DOM COMPNI. Используя в управлении теорию маркетинга предприятия и фирма должны строить свою деятельность в соответствии с ее ключевым принципом: производить то что продается а не продавать то что производится. Методически этот процесс должен предшествовать разработке любых тактических и тем более стратегических линий поведения предприятия поскольку он на многоальтернативной основе позволяет высшему звену управления остановить свой выбор на наиболее перспективных для предприятия рынках....
38544. Управление прибылью и рентабельностью предприятия (на примере ООО «Моравия Авто Плюс») 1 MB
  кафедрой _________________________ __ ____________20___г Дипломный проект Студента 6 курса заочного отделения Сухобока Александра Владимировича зачетная книжка №1008 на тему: Управление прибылью и рентабельностью предприятия на примере ООО Моравия Авто Плюс Специальность: 080507. Аннотация Дипломный проект на тему: Управление прибылью и рентабельностью предприятия на примере ООО Моравия Авто Плюс. При написании работы ставятся следующие задачи: изучить теоретически основы анализа ликвидности и платежеспособности;...
38545. Исследования динамики воображения при использовании эвристических методов обучения у студентов специальности Связи с общественностью ЧГПУ им. И.Я. Яковлева 222 KB
  Донесение и работа с информацией, влияние на определенные слои общества, а также проталкивание, лоббирование некоторых своих, личных интересов, как раз и составляет основу деятельности PR. Именно поэтому на сегодняшний день актуально изучение эвристических методы в работе PR - специалиста.
38546. Технология возделывания картофеля в условиях СПК “Старый Лепель” Лепельского района 545 KB
  Технология возделывания картофеля в условиях СПК â€œСтарый Лепель†Лепельского района24 5. Мучнистая рассыпчатая консистенция отварного картофеля приготовленного в домашних условиях – критерий отбора при покупке. Поэтому нужно ориентироваться на производство типичного картофеля не пытаясь подменять продукцию немецких голландских польских картофелеводов. Сбыт качественного картофеля не вызывает серьезных затруднений.
38547. Решение задач организации правильного монтажа, технического обслуживания и ремонта электротехнических изделий 72.5 KB
  Развитие производства базируется на современных технологиях, широко использующих электрическую энергию. В связи с этим возрастают требования к качеству электрической энергии, ее экономному использованию и рациональному расходованию материальных ресурсов при сооружении систем электроснабжения. Отсюда – повышение роли инженеров-электриков.
38548. Анализ деятельности продюсера в современной отечественной музыкальной индустрии 49 KB
  Стремительное развитие в России в последнее пятнадцатилетие рыночных отношений глобальное реформирование всех сфер жизни общества в том числе сферы культуры и массовых коммуникаций привели к появлению новых видов профессиональной деятельности. Формирование рыночных механизмов на отечественной сцене тесно связано со становлением особого вида предпринимательской деятельности телевизионным продюсированием играющим ключевую роль в развитии российской аудиовизуальной индустрии. Поэтому у института продюсерской деятельности с одной стороны...