90882

Матрицы. Основные определения и правила действия

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Матрица называется прямоугольной матрицей размером. Каждый элемент матрицы нумеруется двумя индексами. Первый индекс обозначает номер строки. Второй индекс обозначает номер столбца. Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор - строкой. Матрица, состоящая из одного столбца, называется вектор – столбцом.

Русский

2015-06-12

262.94 KB

0 чел.

Лекция 1.  Матрицы. Основные определения и правила действия.

Определение 1. Матрица  это прямоугольная таблица элементов,  имеющая  строк и   столбцов                                                           

                                                                                                               (1)                              

Матрица (1) называется прямоугольной матрицей размером . Каждый элемент матрицы нумеруется двумя индексами. Первый индекс обозначает номер строки. Второй индекс обозначает номер столбца. Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор - строкой.  Матрица, состоящая из одного столбца, называется вектор – столбцом.

Если число строк равно числу столбцов, то такую матрицу называют квадратной матрицей размером .

Пример 1. Матрица размером имеет 2 строки и 3 столбца

Матрица размером (32)  имеет  3 строки и  2 столбца .

Пример 2.  Элемент  расположен на пересечении второй строки и третьего столбца. Элемент расположен на пересечении третьей строки  и второго столбца.  Элемент расположен на пересечении-ой строки и -го столбца.

Определение 2.  Матрицы  обозначаются заглавными буквами. Например,  матрица , матрица . Две  - матрицы и равны,   если соответствующие элементы матриц равны. То есть  для всех. Между матрицами разных размеров равенства быть не может.

Элементы  алгебры матриц.

Суммой двух  матриц  А и В одинакового размера  называется -матрица , элементами которой  являются суммы соответствующих элементов матриц  А  и  В. Таким образом С=А+В если для всех.  

Пример 3.  Вычислить сумму матриц  

Решение.

 ;

Замечание. Матрицы разных размеров складывать нельзя.

Определение 3. Чтобы умножить число  на матрицу нужно каждый элемент матрицыумножить на число .     

Определение 4. Выражение , где -числа,  а   - матрицы  называют линейной комбинацией матриц  и .                                    

Правило 1.   Умножение  вектор строки на вектор – столбец.

Чтобы перемножить вектор- строку на вектор-столбец с одинаковым числом элементов нужно перемножить первый элемент строки на первый элемент столбца, второй элемент строки на второй элемент столбца ит.д.  и затем полученные произведения сложить.

Пример 4.  Пусть  заданы:  вектор- строка  и  вектор- столбецтребуется перемножить   А  на В.

РЕШЕНИЕ. =.

Правило 2.    Умножение  матрицы А размером ( ) на матрицу  В  размером ().

При  умножении матрицы  А  размером на матрицу В размером получается матрица  С размером . Причем элемент матрицы С  получается перемножением

ой строки  А  матрицы  и го столбца  В матрицы.

Замечание.  Правило 2 говорит нам о том, что если число столбцов первого сомножителя совпадает с числом строк второго сомножителя,  то такие матрицы перемножать можно .

Пример 5.  Перемножить   матрицы  А и В

                                     

РЕШЕНИЕ.  Условия перемножения  матриц выполнены.    Начнём  с вычисления  элемента  .  Нужно первую строку  А  матрицы  умножить на первый столбец  В матрицы:   =.  Чтобы вычислить элемент нужно первую строку  А  матрицы умножить на второй столбец  В  матрицы:=. 

Чтобы вычислить элемент нужно первую строку  А  матрицы умножить на третий  столбец  

матрицы В  матрицы: =.

Остальные элементы  С  матрицы находим аналогично.  Рекомендуем читателю  самостоятельно их вычислить.

Ответ: .

Пример 6. Умножение  столбца на строку. Перемножить.

Решение. Выписываем  правило. В результате должна получиться матрица

С  размером (сравните с результатом умножения строки на столбец ( см. пример 1.4))

Ответ:  .

Пример 6. Умножение матрицы на столбец.  Перемножить  

Решение.  Выписываем правило . Перемножать можно.  В результате получается матрица-столбец  размером  . Выписываем ответ

                                                 =

Квадратные матрицы.

Матрица,  у которой число строк совпадает с числом  столбцов ,называется

квадратной матрицей. Матрицу  размером называют  матрицей 2-го порядка.

Матрицу размером называют матрицей  3-го порядка и так далее.

Определители квадратных матриц.

Определение 5.  Определитель матрицы  обозначается или  .

Определение 6.  Определитель третьего порядка вычисляется разложением по первой строке   по формуле                     

                                                                      (2)    

Определение 7.  Определитель  2-го порядка  также вычисляется  разложением по первой строке по формуле

                                                                                                          (3)     

-называется минором  элемента . Минор - это определитель, который получается из определителя   вычёркиванием первой строки и го столбца.

Определение 8.  Минор  элемента  - это определитель, который получается из заданного определителя  вычёркиванием ой  строки и го столбца.  

 Пример 7.  Выписать  миноры всех элементов определителя 3-го порядка и вычислить определитель  

                                                        

Решение.   

Вычисляем миноры элементов первой строки.

 

О стальные миноры определителя вычисляются аналогично (проделайте это)

Вычисляем определитель по формуле  (2)

Замечание.  Определители любого  порядка  большего, чем третий  также можно вычислять

разложением по первой строке по правилу

                                

Здесь  -это алгебраические дополнения .Вычисляемые по формуле.

Единичные матрицы

Определение 9.  Матрицы вида

                                

называются единичными матрицами второго и третьего порядков соответственно.

Замечание.   .  Матрица не изменится ,  если её  умножить  на единичную  

матрицу (проверьте).

Обратные матрицы

Определение 10.  Матрица  называется матрицей обратной к матрице если

  1. Определитель  матрицы
  2.  

Правило вычисления обратной матрицы размером     даётся формулой     

                                                                                                          (4)                                                                              

                                                                                

                                                                                                                                                                                        

Здесь - это определитель  матрицы. -миноры матрицы .

Замечание.  Обратите внимание на порядок расположения миноров и знаки миноров в формуле обратной матрицы (4).

Формула вычисления обратной матрицы  

                                                                                                                                (5)

                                              

Замечание.  Формулы вычисления обратной матрицы порядков больших, чем три  смотрите в любом  курсе линейной алгебры.

Пример 8. Найти матрицу обратную  к  данной .

Решение.  По  определению 10  обратная матрица существует если .

В нашем случае определитель и все миноры найдены в примере 7. Подставляя найденные значения в формулу (4) получаем

                                                   

Сделаем проверку (см. определение 10  пункт 2)) найденного решения. Вычислим произведение

 

 

Аналогично проверяется равенство    . Обратная матрица найдена  верно.

Элементарные преобразования матриц

Для дальнейшего нам понадобятся  следующие преобразования матриц.

Определение 11.  Данные ниже преобразования матрицы называются элементарными преобразованиями матрицы

  1. Перемена местами двух строк.
  2. Умножение строки на отличное от нуля число.                                                                                                                                         
  3.   Прибавление к  элементам строки соответствующих элементов другой строки умноженной на число

Замечание.    Другие элементарные преобразования матрицы можно посмотреть в курсе линейной алгебры.

Эквивалентные матрицы.

Определение 12.   Две матрицы одинаковых размеров эквивалентны, если одну из них можно получить  из другой   элементарными преобразованиями.  

Определение ступенчатой матрицы

У   ступенчатой матрицы  в первом столбце все элементы начиная со второго равны нулю.  Во втором столбце все элементы,  начиная с  третьего равны нулю и т.д.

Пример 9.  Матрицы  

                   

являются ступенчатыми матрицами.

Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными  преобразованиями

Пример 10. Используя  элементарные  преобразования привести  матрицу    к ступенчатому виду

Решение.   1 шаг. Переставим местами первую и вторую строки данной матрицы   

                                   

2 шаг. Ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на (-7)

 

                                

3 шаг.  К третьей строке прибавим первую строку, умноженную на (-5)

 

4 шаг.  К четвертой строке прибавим первую строку, умноженную на  (-2)

 

 

5 шаг. К третьей строке  прибавляем вторую, умноженную на (-24).  А к четвёртой строке прибавляем вторую, умноженную на  (-16).  В результате получаем    

 

6  шаг.  Умножаем третью строку  на   и получаем матрицу

7 шаг. Прибавляя к четвёртой строке третью  строку , умноженную на(-60) получаем ступенчатую матрицу  

 

Контрольные вопросы.

     I.Дайте определения:

     1) равенства матриц  ; 2) суммы матриц  ; 3) умножения числа  на матрицуА

     4) линейной комбинации матриц; 5) умножения матриц  .

     II. Cформулируйте правило  вычисления миноров квадратной матрицы. Вычислите миноры   

         матрицы размером

    III. Cформулируйте правила вычисления определителей  квадратных  матриц:

  1. второго порядка;  2) третьего порядка.

      IV. Дайте  определения  единичных  матриц   .

V. Cформулируйте определение обратной матрицы. Какие матрицы имеют обратные.

    Напишите формулу вычисления обратной матрицы третьего порядка.

VI. Дайте определения  элементарных  преобразований матриц.

VII. Дайте определение ступенчатой матрицы.

           


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4286. Основные понятия бинарных деревьев 92.5 KB
  Бинарные деревья Рассмотрим структуры данных, определяемые с помощью рекурсии. Среди них наиболее важными являются деревья. Деревья имеют широкое применение при реализации трансляторов таблиц решений, при работе с арифметическими выражениями, при со...
4287. Массивы. Основные операции над ними. Алгоритмы обработки массивов 131.5 KB
  Массивы. Основные операции над ними. Алгоритмы обработки массивов. Структурные типы данных. Способы представления в памяти. Переменные структурного типа содержат более одного значения. К структурным типам относятся множества, массивы, записи, файлы,...
4288. Модули. Структура модуля. Стандартные модули Delphi 97 KB
  Модули. Структура модуля. Стандартные модули Delphi. Структура модуля. Модули – одно из ключевых понятий языка Паскаль. Они предназначены для разбиения проекта на части. В каждом модуле могут быть собраны константы, типы, переменные...
4289. Связные списки, стеки, очереди 237 KB
  Связные списки, стеки и очереди Как и массивы, связные списки представляют собой универсальную структуру данных, широко используемую многими программистами. Однако, в отличие от массивов, связные списки не входят в состав стандартного языка...
4290. Виртуальный маркетинг и его применение на отечественных рынках 31 KB
  Виртуальный маркетинг и его применение на отечественных рынках Получают развитие сетевые или виртуальные организации, т.е. организации, в которых границы между его участниками, ресурсами и подразделениями размыты благодаря интенсивному информационно...
4291. Организация ветвления и его алгоритмическая структура 49.5 KB
  Организация ветвления Цель работы: освоить алгоритмическую структуру ветвление, а также работу команды ветвления. Образец решения задачи. Задача. В компьютер вводится информация: количество знаков в рекламе на какой странице в газете будет печатать...
4292. Становлення та розвиток української та європейської культури в 19 - початку 20 ст. Частина 2. Українське мистецтво 55 KB
  В першій половині 19 ст. в Україні зявився перший професійний театр. Спершу це були бродячі акторські групи. Потім з'являються перші театральні приміщення, що приймають у себе гастролерів і дають сцену для власних театральних труп. У 1818 р. Іван Котляревський очолив професійний театр у Полтаві...
4293. Освоение приемов объявления, обращения и использования двумерных массивов при решении задач. 78.5 KB
  Цель работы: освоение приемов объявления, обращения и использования двумерных массивов при решении задач. Один из возможных вариантов объявления двумерного массива в программе: объявляем две константы – максимально возможное количество строк и...
4294. Освоение приемов объявления, обращения и использования массивов при решении задач 64.5 KB
  Цель работы: освоение приемов объявления, обращения и использования массивов при решении задач. Типовые алгоритмы обработки одномерных массивов Рассмотрим некоторые типовые алгоритмы обработки массивов. Положим, что в декларативной части программы о...