90887

Закони збереження в механіці

Лекция

Физика

Момент імпульсу та момент сили Закон збереження імпульсу та моменту імпульсу Робота та потужність. Енергія Консервативні та неконсервативні сили Закон збереження механічної енергії Робота сили поля тяжіння. Потенціал...

Украинкский

2015-06-12

1.01 MB

0 чел.

Херсонський національний технічний університет

Кафедра енергетики, електротехніки і фізики

Лекція №3

Закони збереження в механіці  

Лекція №3 Закони збереження в механіці

  1.  Момент імпульсу та момент сили
  2.  Закон збереження імпульсу та моменту імпульсу
  3.  Робота та потужність. Енергія
  4.  Консервативні та неконсервативні сили
  5.  Закон збереження механічної енергії
  6.  Робота сили поля тяжіння. Потенціал

  •  МОМЕНТ ІМПУЛЬСУ ТА МОМЕНТ СИЛИ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ

Рух матеріальної точки характеризують не тільки імпульсом, а й моментом імпульсу навіть при її прямолінійному русі. Коли на матеріальну точку діє сила , то аналогічно уводиться поняття моменту сили .

Момент імпульсу 

Момент сили 

матеріальної точки відносно деякої точки , називатимемо фізичну величину, яка вимірюється векторним добутком радіуса-вектора  на її імпульс = – рис.1 (силу , яка діє на точку – рис.2):

=[Х].
(1)

=[Х].
(5)

системи матеріальних точок відносно точки  - векторна сума моментів імпульсів (моментів сил) частинок, які складають систему:

==.
(2)

==.
(6)

Проекція моменту імпульсу (моменту сили) на деяку вісь має назву моменту імпульсу (сили) відносно осі [3,с.107].

=[Х]пр z.
(3)

=[Х]пр z.
(7)

Модуль вектора моменту імпульсу (сили)

==,
(4)

==,
(8)

де  - довжина перпендикуляра, встановленого з точки  на пряму, вздовж якої напрямлений імпульс частинки (сила, що діє на частинку), називається плечем імпульсу (плечем сили) відносно точки

= (9)

Напрям аксіальних векторів моменту імпульсу та моменту сили визначається за правилом правого гвинта так, як це показано на рис.1 та рис.2.

Між введеними величинами моментів існує зв’язок:

=

(10)

Співвідношення (10) має назву рівняння моментів. Рівняння моментів можна узагальнити для випадку довільної системи матеріальних точок [5].

  •  ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ ІМПУЛЬСУ ТА МОМЕНТУ ІМПУЛЬСУ

Тіла, які утворюють механічну систему, можуть взаємодіяти як поміж собою, так і з тими тілами, які до даної системи не належать. Відповідно, сили, які діють на тіла системи, можна поділити на внутрішні та зовнішні. Внутрішніми силами ми називатимемо сили взаємодії між точками самої системи, зовнішніми – сили взаємодії між системою і тілами. У випадку, коли зовнішні сили відсутні (або рівнодійна всіх зовнішніх сил дорівнює нулю), систему будемо називати замкненою. Для замкнутих систем є незмінними (зберігаються) три фізичні величини, які мають властивість адитивності: енергія, імпульс, момент імпульсу. У відповідності з цим мають місто три закони збереження - закон збереження енергії, закон збереження імпульсу і закон збереження моменту імпульсу. Ці три закони тісно пов’язані з основними властивостями простору та часу. В основі закону збереження енергії лежить однорідність часу, рівнозначність всіх моментів часу [4,с.75]. В основі закону збереження імпульсу лежить однорідність простору, однаковість властивостей простору у всіх точках. В основі закону збереження моменту імпульсу лежить ізотропія простору, однаковість властивостей простору по всіх напрямках.

Закони збереження енергії, імпульсу та моменту імпульсу є точними законами, які строго виконуються також і в релятивістській області. Закон збереження та перетворення енергії надав фізикам безпомилковий критерій для перевірки фізичних теорій і гіпотез. Цей закон заперечував можливість створення так званого вічного двигуна першого роду (perpetuum mobile І), який, одного разу будучи приведений у рух, виконував би роботу без споживання енергії ззовні. Закон збереження і перетворення енергії лежить в основі проектування і спорудження сучасних двигунів та енергетичних станцій.

Давайте пригадаємо формулу минулої лекції (=-). Отже, якщо тепер ми замість добутку  підставимо імпульси , то отримаємо наступну рівність:

=-, або (+)=0

(11)

рівність нулю зростання імпульсу означає, що сама величина лишається незмінною. Отже, повний імпульс замкненої системи двох взаємодіючих частинок лишається сталим:

=+=

(12)

Вираз (12) висвітлює зміст закону збереження імпульсу для двох взаємодіючих частинок [4, с.52].

А тепер розглянемо закон збереження імпульсу більш детально і пов’язано це з тим, що на практиці здебільшого доводиться мати справу не з одним тілом, а з системою тіл або з системою матеріальних точок. Розглянемо систему, що складається з -тіл. Позначимо внутрішні сили, що діють на тіла системи через . Перший індекс () вказує тіло на яке діє сила, другий () – тіло, з боку якого діє сила. Якщо на кожне тіло системи відповідно діють зовнішні сили , , , ..., , то другий закон динаміки відповідно для кожного тіла має вигляд:

=(++...+)+,

.........................

=(++...+)+.

(13)

За третім законом Ньютона, кожній внутрішній силі  відповідатиме сила , яка задовольняє умові:

=-

(14)

Додамо всі рівняння системи (13). В лівій частині рівняння отримуємо похідну за часом від суми імпульсів всіх її матеріальних точок або від імпульсу всієї системи, а у правій – рівнодійну зовнішніх сил, тобто:

=

(15)

де     =++...+

(16)

Якщо система замкнута (=0), то:

=0, або =

(17)

Отже, закон збереження імпульсу стверджує:

повний імпульс замкнутої системи є величина стала.

З нього випливає, що внутрішні сили, які діють в системі, не можуть змінити повний імпульс системи, вони можуть зумовити тільки обмін імпульсами між окремими тілами системи. Оскільки рівняння (15) записано у векторній формі, то йому відповідає три рівняння для суми відповідних компонентів імпульсів і проекцій сил на координатні осі, тобто:

=, =, =

(18)

Якщо зовнішні сили, що діють на незамкнуту систему, такі, що сума компонентів усіх цих сил у будь-яком напрямі, наприклад, у напрямі осі , дорівнює нулю, то для цього напряму компонент повного імпульсу залишається сталою величиною, а систему в цьому напрямі можна розглядати як замкнуту. Якщо =0, тоді:

=0 і =

(19)

Жодна система тіл на Землі не є замкнутою. Закон збереження імпульсу є універсальним законом, його можна застосовувати й для незамкнених систем у випадку, коли тривалість взаємодії вважається малою. Він справджується в усіх відомих взаємодіях. Імпульс можуть мати не тільки тіла, а й поля. Прикладом прояву імпульсу електромагнітного поля є тиск світла.

Швидкість зміни моменту імпульсу системи матеріальних точок відносно довільного центру дорівнює геометричній сумі моментів всіх зовнішніх сил відносно того самого центру. У випадку коли момент зовнішніх сил відносно довільної точки дорівнює нулю, момент імпульсу системи матеріальних точок відносно тієї самої точки з часом не змінюється, тобто коли =0, то:

=

(20)

закон збереження моменту імпульсу стверджує:

для замкнутої системи будь-які моменти зовнішніх сил відсутні і момент імпульсу є величина стала.

Різні приклади, у томі числі і приклад руху тіла під дією центральних сил ви можете розібрати самостійно за допомогою [4, 7-15].

  •  
    РОБОТА ТА ПОТУЖНІСТЬ. ЕНЕРГІЯ

Введене поняття кількості руху – це певна міра механічного руху тіла. Однак не в усіх випадках ця міра придатна для оцінки зміни руху тіла. Ні закон збереження імпульсу, ні кількість руху тіла  не дають можливості пояснити ті зміни, що відбулися з тілами після, наприклад, їх зіткнення. До удару тіла рухались, перебували у механічному русі, а після удару, наприклад, зупинились, тобто механічний рух кожного з них припинився. Крім цього температура кожного з тіл після удару підвищилась. Це означає, що кількість руху не є універсальною мірою для всіх форм руху. Нагрівання тіл після удару вказує на те, що замість механічної форми руху матерії виникає нова форма її руху. Істотним є те, що переходи одних форм руху в інші відбуваються у відповідних кількісних співвідношеннях. Оскільки рух матерії є вічний, то енергія і є кількісною мірою руху матерії в усіх формах її руху, тобто енергія є універсальною мірою кількості будь-яких видів руху матерії. Окрім того енергія має властивість адитивності.

Коли взаємодіють два тіла, то відбувається передавання і перетворення однієї форми руху в іншу. Процеси, в яких змінюється форма руху, отже, енергія перетворюється з одного виду в іншій, називають роботою. Чисельними дослідами встановлено, що енергія, необхідна для механічного руху (або для припинення цього руху) тіла на протязі певного часу пропорційна добутку сили, що зумовлює рух (або його припинення) на шлях, який проходіть тіло під дією цієї самої сили. Отже, фізичну величину, яка вимірюється скалярним добутком вектора сили на вектор переміщення, називають механічною роботою сили.

=(,)

(21)

Робота – це міра передавання руху від одного тіла до другого, або міра переходу енергії від одного тіла до іншого. В природі безперервно відбуваються процеси, в яких одні форми руху переходять в інші.

За правилами скалярного добутку векторів формула (21) прийме вигляд:

=

(22)

де  - кут поміж векторами  і . Якщо діє стала сила і рух відбувається прямолінійно, то роботу можна розрахувати наступним чином:

==

(23)

де = - проекція вектора сили на напрям руху тіла. З формул (22) та (23) випливає, що при  робота сили додатна (), при  вона від’ємна (), а при  робота взагалі дорівнює нулю (). Отже, сила нормальна до швидкості руху тіла роботи не виконує. Якщо сила з часом змінюється, то для обчислення роботи траєкторію руху тіла поділяють на елементарні ділянки , в межах яких можна вважати силу сталою. Робота сили на кожній ділянці шляху :

=

(24)

а на шляху :

=

(25)

що дає можливість перейти до інтегрування при умові, що :

=

(26)

де  - функціональна залежність сили від шляху . Одиницею вимірювання роботи в СІ є джоуль (Дж):

===

(27)

Робота, здійснювана в одиницю часу, має назву потужності. Якщо за час  виконується робота , то потужність дорівнюватиме:

=

(28)

з урахуванням (21):

=(,)=(,).

(29)

Одиницею вимірювання потужності в СІ є ват:

==

(30)

Знайдемо роботу, яку виконує сила при переміщенні матеріальної точки масою  з положення 1 в положення 2 (рис.3). При нескінченому малому переміщенні  робота сили =(,). Повна робота на ділянці шляху від точки 1 до точки 2:

====

=-

(31)

де  і  - відповідно початкова і кінцева швидкості матеріальної точки. Величина:

==

(32)

отримала назву кінетичної енергії матеріальної точки. З урахуванням (32) формулу (31) перепишемо:

=-

(33)

Отже, робота сили при переміщенні матеріальної точки дорівнює зміні кінетичної енергії цієї точки (в нашому випадку зростанню). Оскільки швидкість тіла визначається відносно системи відліку, то кінетична енергія також залежатиме від вибору системи відліку.

Знайдений результат (33) можна узагальнити на довільну систему матеріальних точок. При цьому у виразі (33) під роботою  слід розуміти суму робіт всіх сил (як зовнішніх так і внутрішніх), що діють на матеріальні точки системи. Кінетична енергія системи матеріальних точок дорівнює сумі кінетичних енергій цих точок:

=, =

(34)

отже, робота всіх сил, що діють на систему матеріальних точок, дорівнює зміні кінетичної енергії цієї системи. Істотним тут також є те, що хоч внутрішні сили, як відомо, не здатні привести до зміни імпульсу замкненої системи, робота їх в загальному випадку не дорівнює нулю. Робота внутрішніх сил буде додатною і вона витрачається на збільшення кінетичної енергії системи.

  •  КОНСЕРВАТИВНІ ТА НЕКОНСЕРВАТИВНІ СИЛИ

Сили, що розглядаються у фізиці поділяються на консервативні та неконсервативні. Сили, робота яких не залежить від форми траєкторії, а визначається тільки початковим і кінцевим розміщенням тіла в просторі, називають консервативними, або потенціальними. До них належать:

  •  сили тяжіння,
  •  сили пружності,
  •  електростатичні сили взаємодії між зарядженими тілами.

Сили будуть консервативними при умові коли в системі немає переходу механічного руху в інші форми руху матерії, або перетворення інших форм руху в механічний.

Неконсервативними є:

  •  сили тертя, що виникають при ковзанні одного тіла по поверхні іншого,
  •  сили опору, яких зазнає тіло, рухаючись у рідкому або газоподібному середовищі.

Ці сили залежать не тільки від форми тіл але й від їх швидкості. Вони напрямлені завжди проти напряму швидкості, тому робота сил тертя завжди від’ємна.

Для консервативних сил характерною особливістю є те, що робота їх по замкнутому контуру дорівнює нулю:

==0

(35)

Якщо на систему діють тільки консервативні сили, то для неї можна ввести поняття потенціальної енергії. Потенціальною енергією називатимемо величину, що вимірюється роботою, яку виконують консервативні сили, переводячи систему взаємодіючих тіл із стану з одним взаємним розташуванням їх у стан з іншим розташуванням.

Потенціальна енергія – це енергія взаємодіючих тіл, що не залежить від швидкості їхнього руху. Оскільки робота консервативних сил не залежить від форми шляху переходу системи з одного стану в іншій, то потенціальна енергія залежить тільки від координат матеріальних точок системи в заданому стані. Значення потенціальної енергії залежить від того, яке положення системи умовно взяти за початок відліку. Якщо взяти за нульове положення 1 (Рис.4), то в положенні 2 система матиме потенціальну енергію:

=

(36)

яка дорівнює роботі консервативних сил при переході системи із стану 2 в стан 1. Якщо ж за нульовий стан взяти положення 1, то потенціальна енергія буде =. Оскільки сили консервативні, то робота вздовж шляху 2–1 дорівнює роботі вздовж шляху 2-1-1, тобто =+, або =+.

Отже, при зміні одного початку відліку іншим потенціальна енергія системи змінюється на сталу величину. Це означає, що потенціальна енергія системи визначена не однозначно, а з точністю до довільної сталої. Довільність вибору адитивної сталої не впливає на фізичні висновки, оскільки перехід системи з одного стану в інший визначається не абсолютним значенням потенціальної енергії, а тільки її різницями в цих станах. Різниці потенціальних енергій не залежать від вибору довільної сталої. Робота при переході системи із стану 1 в стан 2, яким відповідають значення потенціальних енергій + і + ( - довільна стала):

=-

(37)

тобто робота консервативних сил дорівнює зменшенню потенціальної енергії системи. Так у системі „Земля-матеріальна точка” за нульовий рівень беруть поверхню Землі. У деяких випадках за початок відліку беруть таке розміщення тіл, при якому взаємодія між тілами системи відсутня. При цьому тіла системи одне від одного перебувають на нескінчених відстанях. Таким чином, взаємодію тіл можна описати або за допомогою сил, або за допомогою потенціальної енергії як функції координат матеріальних точок, що взаємодіють між собою. З цього випливає, що між діючими силами та потенціальною енергією системи тіл існує певний взаємозв’язок.

Розглянемо матеріальну точку, що знаходиться в силовому полі деяких нерухомих тіл. Якщо сили консервативні, то можна ввести потенціальну енергію , яку має точка в силовому полі. Величина  буде функцією радіуса –вектора  цієї матеріальної точки або її координат , ,  - =. Якщо матеріальна точка під дією сили  здійснила нескінченно мале переміщення, то виконана робота цієї сили дорівнюватиме зменшенню потенціальної енергії:

=-

(38)

Співвідношення (38) в проекціях на координатні осі:

++=-

(39)

Звідки отримаємо:

=-, =-, =-

(40)

Якщо функція  відома, то визначення складових , ,  зводиться до обчислення її частинних похідних від координат. Оскільки:

=++

(41)

то   =-

(42)

В математиці вектор  називають градієнтом функції  (похідна по координатах) і позначають символом  або  ( -  оператор набла). Тоді:

=-=-

(42а)

отже, сила дорівнює градієнту потенціальної енергії, який взято зі знаком мінус. Знак мінус вказує на те, що вектори сили і градієнта потенціальної енергії напрямлені у протилежні сторони. Формули (40) та (42а) можна узагальнити на довільну систему матеріальних точок, в якій діють тільки консервативні сили. Потенціальна енергія незамкненої системи тіл визначається не тільки взаємним розміщенням тіл системи, а й розміщенням їх відносно зовнішніх тіл, з якими вони взаємодіють. У цьому разі потенціальну енергію взаємодії між тілами, що входять в систему, називають внутрішньою потенціальною енергією системи.

Поле сил, яке характеризується тим, що напрям сили, що діє на частинку в будь-якій точці простору проходить через нерухомий центр, а величина сили залежить тільки від відстані до цього центру =() – отримало назву центрального. Якщо у всіх точках поля сили, що діють на частинку, однакові за величиною і напрямком (=), поле називатимемо однорідним. Поле, яке змінюється з часом, називається нестаціонарним. Поле, яке лишається сталим в часі, називається стаціонарним.

Поле консервативних сил є частковим випадком потенціального силового поля. Поле сил називається потенціальним, якщо його можна описати за допомогою функції , градієнт якої визначає силу в кожній точці поля:

=

(43)

Функція  має назву потенціальної функції або просто – потенціалу. У випадку, коли потенціал не залежить явно від часу, =, потенціальне поле є стаціонарним, а його сили – консервативними. В такому випадку:

=-

(44)

де  - потенціальна енергія частинки. Для нестаціонарного поля силового поля, яке описується потенціалом  ототожнювати потенціальні і консервативні сили не можна.

  •  ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ МЕХАНІЧНОЇ ЕНЕРГІЇ

Роботу , яка виконується внаслідок зменшення потенціальної енергії системи, можна виразити через приріст кінетичної енергії. Дістанемо:

-=-

(45)

звідки отримаємо такий вираз:

+=+

(46)

Суму кінетичної і потенціальної енергії системи називають її повною механічною енергією .

З формули (46) маємо, що =, або:

=+=

(47)

З формули (47) випливає, що

в системі, у якій діють тільки консервативні сили, повна енергія залишається незмінною. Можуть відбуватися тільки перетворення потенціальної енергії в кінетичну і навпаки.

Фактично цим самим і сформульовано закон збереження енергії для замкнутих систем, в яких діють тільки консервативні сили.

Розглянемо загальний випадок коли система складається з  тіл, між якими діють консервативні і неконсервативні сили. Вважатимемо, що кожне тіло системи – матеріальна точка масою  (). Для кожного тіла системи рівняння другого закону динаміки виглядатиме наступним чином:

=++

(48)

де = - сума консервативних сил, що діють на -те тіло системи;  - сила, що дії на -те тіло з боку -го тіла;  - сума неконсервативних сил, що діють на -те тіло;  - сума зовнішніх сил, що діють на -те тіло. Під дією цих сил протягом часу  кожне із тіл системи зазнає переміщення відповідно , , ..., . Помножимо скалярно рівняння (48) на відповідне переміщення :

=(,)+(,)+(,).

(49)

Ліву частину рівняння (49) перепишемо так:

====.

(50)

Отже, ліва частина рівняння (49) являє собою зміну кінетичної енергії -го тіла. Тоді (49) перепишемо у наступному вигляді:

=(,)+(,)+(,).

(51)

Якщо ж ми таких рівнянь запишемо , тобто для кожного тіла системи, і почленно додамо їх всі, то дістанемо:

=++.

(52)

Отже, = - є зміною кінетичної енергії системи в цілому;

= - робота всіх консервативних сил, яка дорівнює зменшенню потенціальної енергії системи;

і  - робота всіх неконсервативних та зовнішніх сил.

Перепишемо рівняння (52):

+=+, або

(53)

=+,

(53а)

де  - повна механічна енергія системи (47). З рівності (53а) випливає, що зміна механічної енергії системи дорівнює роботі, виконаній внутрішніми неконсервативними силами і зовнішніми силами. Якщо система замкнута, то =0:

=,

(54)

тобто зміна механічної енергії замкнутої системи тіл дорівнює роботі неконсервативних сил, що діють у системі. Оскільки робота цих сил завжди додатна, то механічна енергія такої системи зменшується. Такий процес називають дисипацією енергії (з латини dissipatio - розсіяння). Дисипація енергії зумовлена тим, що робота внутрішніх неконсервативних сил пов’язана з перетворенням механічного руху в інші форми руху матерії, наприклад у внутрішню енергію тіл, або, як ще кажуть, в тепло. Сили, що приводять до дисипації енергії мають назву дисипативних сил. В загальному випадку дисипативним є сили, які завжди напрямлені проти швидкості частинок, і, відповідно, такі, що викликають їх гальмування. Але, неконсервативні сили не обов’язково є дисипативними. Якщо в замкнутій системі тіл дія внутрішніх неконсервативних сил відсутня, то з виразу (53) приходимо до закону збереження механічної енергії у вигляді формули (47). Закон збереження енергії є одним з головних законів природи.

Ми вже встановили, що кінетична енергія в різних системах відліку має різне значення. Тому повна енергія системи тіл, яка дорівнює сумі потенціальної і кінетичної енергії, також має різне значення в різних інерціальних системах відліку. Якщо ж в одній із систем відліку повна енергія замкнутої системи тіл стала, то вона буде сталою і в іншій інерціальній системі відліку, тобто закон збереження механічної енергії справджується у будь-якій інерціальній системі відліку. Робота, яка виконується зовнішньою, силою і дорівнює зміні кінетичної енергії також буде неоднаковою в різних системах відліку.

Доведено, що закон збереження енергії справджується в усіх явищах природи. Встановленням цього закону було завершено вчення про зв’язок і взаємне перетворення різних форм руху матерії, на цій основі саме і сформувалося поняття про енергію.

На основі закону збереження енергії можна встановити загальні умови рівноваги тіл або системи тіл. Оскільки повна механічна енергія дорівнює сумі кінетичної та потенціальної енергії, а кінетична енергія за своїм змістом не може бути від’ємною, то з (47) випливає, що  (знак рівності буде при ). Цим співвідношенням і визначається область зміни всіх координат системи, в якій вона може перебувати при заданому значенні її повної енергії .

  •  РОБОТА СИЛ ПОЛЯ ТЯЖІННЯ. ПОТЕНЦІАЛ

Якщо тіло переміщується під дією сили тяжіння, то при цьому виконується робота. Давайте знайдемо роботу сил тяжіння при русі матеріальної точки масою  у полі тяжіння, створеного точковою масою . При елементарному переміщенні на величину  (рис.5) робота складатиме:

==-

(55)

де =, знак „-” вказує на те, що напрям сили тяжіння протилежний напряму радіуса-вектора  рухомої точки . Роботу сил тяжіння при переміщенні тіла з точки 1 в точку 2, радіуси яких  і :

==-

(56)

Отже, з (56) видно, що робота сил тяжіння не залежить від форми шляху. Сили тяжіння – консервативні, або потенціальні. Якщо , то тіло  віддаляється від тіла  як джерела поля тяжіння і робота . Отже, робота виконується проти сил тяжіння. Якщо ж , то тіло  наближається до джерела  і , тобто сили поля тяжіння виконують додатну роботу.

Оскільки сили тяжіння консервативні, то виконана цими силами робота переміщення тіла в полі тяжіння дорівнює зміні потенціальної енергії тіла:

=-=-.

(57)

При переміщенні матеріальної точки  з нескінченості на відстань  від тіла масою , потенціальна енергія точки буде:

=-.

(58)

При такому вигляді формули (58) потенціальна енергія двох матеріальних точок, що взаємодіють, завжди від’ємна і зростає при збільшенні відстані між ними. Якщо ж ми поділимо ліву і праву частину (58) на масу тіла , то отримаємо величину:

=-=,

(59)

яка не залежить від маси , а залежить тільки від маси  і відстані від цього тіла до точки поля – потенціал поля  тяжіння – скалярна величина. Потенціал є енергетичною характеристикою поля тяжіння. Формулу (59) перепишемо, враховуючи поняття потенціалу:

=,

(60)

де  і  - потенціали точок 1 і 2. Потенціал точки поля тяжіння, створеного системою матеріальних точок, визначається алгебраїчним сумуванням.

Оскільки потенціал величина скалярна, завжди існують поверхні, точки яких мають однакові потенціали – це еквіпотенціальні поверхні.

У зв’язку з тим, що напруженість і потенціал являють собою характеристики одного і того самого поля, то між ними повинен існувати зв’язок. Продиференцюємо вираз (59) по :

=.

(61)

Вираз для напруженості гравітаційного поля з урахуванням (61) перепишемо так:

=-=-..

(62)

Величина = - це одиничний вектор, який незалежно від вибору нульового потенціалу завжди напрямлений у бік зростання потенціалу. У векторному аналізі величину  називають градієнтом потенціалу:

=-.

(63)

– зв’язок напруженості і потенціалу гравітаційного поля.

Прикладом центрального поля тяжіння є поле, що створюється нерухомою матеріальною точкою.

Давайте розглянемо рух тіл у центральному поля тяжіння. До таких рухів належать рухи планет Сонячної системи. При цьому Сонце і планети вважають матеріальними точками. Спростимо ще задачу. Розглянемо рух тіл у центральному полі тяжіння, застосувавши закон збереження енергії. Якщо тіло масою  рухається у центральному полі, створеному джерелом поля масою , то його повна енергія визначатиметься так:

=-=.

(64)

Момент імпульсу тіла масою  буде:

==

(65)

З означення центрального поля випливає, що сила, яка діє на рухому в ньому матеріальну точку, завжди проходить через центр поля. При цьому плече сили відносно центра поля дорівнюватиме нулю. Отже, момент імпульсу тіла масою  є величина стала:

=

(66)

де  - кутова швидкість. Повну швидкість руху  тіла можна розкласти на радіальну  та азимутальну = складові (рис.7). Тоді кінетичну енергію тіла перепишемо у наступному вигляді:

=+=+

(67)

З урахуванням рівняння (67) вираз для повної енергії (64) набуває вигляду:

-+==

(68)

Оскільки в цьому рівнянні тільки перший доданок залежить від швидкості, то роль потенціальної енергії відіграє функція:

=-+.

(69)

Давайте тепер знайдемо умови, при яких траєкторія руху тіла стане еліптичною, тобто коли рух тіла буде обмежений у деякій області простору. Такий рух ще називають фінітним. Для розв’язання цієї задачі застосуємо графічний метод. На рис.8 штрихованою лінією наведемо графіки функцій:

=-;      = ()

(70)

Суцільною лінією наведемо графік функції , як результат додавання ординат функцій  і . З рис.8 видно, що для  функція  додатна і при  асимптотично наближається до . Для значень  функція  від’ємна і при  вона асимптотично наближається до нуля.

Оскільки величина  завжди додатна, то межі області, в якій може перебувати тіло, визначаються умовою . Проведемо на рис.8 прямі == для випадку, коли  і .

У першому випадку ділянки кривої  (), що знаходяться над прямою, не можуть бути досягнуті тілом з енергією . У другому випадку () пряма перетинає криву  у двох точках А і В. Їм відповідають радіуси  і . Вони і визначають межі області, в якій рухається тіло у центральному гравітаційному полі. Саме у цьому разі рух тіла буде обмеженим, тобто фінітним. Траєкторія руху при цьому буде еліптичною.

Якщо , то пряма перетинає криву  тільки в одні точці, які відповідає радіус . Якщо ж тіло рухається справа наліво, то на відстані  його напрям руху зміниться на протилежний.

Рух тіла буде необмеженим, тобто інфінітним, а траєкторія - гіперболічною. Якщо =, то рух тіла також буде необмеженим, а траєкторія – параболічною.

Всі наведені висновки можна повністю поширити на рух штучних супутників Землі та космічних кораблів. Про це ви дізнаєтеся самостійно з будь-якого підручника в переліку літератури.

  •  ЛІТЕРАТУРА
  1.  Кудрявцев П.С. Курс истории физики. – М.: Просвещение, 1982.–448 С.
  2.  Храмов Ю.А. Физики: биографический справочник.–К.: Наукова думка,1977.–511 С.
  3.  Акоста В., Кован К., Грэм Б. Основы современной физики / Пер. с англ. – М.: Просвещение, 1981. – 495 с.
  4.  Савельев И.В. Курс общей физики. В 3-х томах. Т.1. Механика. Молекулярная физика.– М.: Наука, 1987. – 432 с.
  5.  Савельев И.В. Курс физики. В 3-х томах. Т.1. Механика. Молекулярная физика.– М.: Наука, 1989. – 352 с.
  6.  Бушок Г.Ф., Левандовський В.В., Півень Г.Ф. Курс фізики. У 2-х кн. Кн.1. Фізичні основи механіки. Електрика і магнетизм. – К.: Либідь, 2001. – 448 с.
  7.  Кучерук І.М., Горбачук І.Т. Загальна фізика: у 3-х кн. Кн. 1. Фізичні основи механіки. Молекулярна ізика і термодинаміка. – К.: Вища шк., 1995. – 431 с.
  8.  Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. В 3-х томах. – М.: Наука, 1974.
  9.  Гершензон Е.М., Малов Н.Н. Курс общей физики. Механика. - М.: Просвещение, 1987. – 307 С.
  10.  Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. В 10-ти томах. – М.: Мир.
  11.  Киттель Ч., Найт У., Рудерман М. БКФ. Механика. - М.: Наука, 1975. – 480 С.
  12.  Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высш. шк.., 1989. – 608 с.
  13.  Кузьмичев В.Е. Законы и формулы физики. Справочник. – Киев: Наук. думка, 1989. – 864 с.
  14.  Иродов И.Е. Основы классической механики. – М.: Высш. шк.
  15.  Голдстейн Г. Классическая механика.

Факультет машинобудування

група 1ТТ

Лектор Степанчиков Д.М.

стор. 14 з 14

Рис.8. 

Рис.7. 

Рис.2. 

Рис. 1. 

Рис. 4. 

Рис. 3. 

Рис. 5. 

  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53284. Загальна характеристика дешифраторів 136.5 KB
  У загальному випадку дешифратор має n однофазних входів іноді 2n парафазних і m=2ⁿ виходів де n – розрядність довжина коду який дешифрується. Індекс функції Fi визначає номер обраного виходу і відповідає десятковому еквіваленту вхідного коду. Тому дешифратор є перетворювачем вхідного позиційного коду в унітарний вихідний код.
53285. Традиційне харчування українців 63.5 KB
  Учень: Локшина лапша тісто. Учень: Лемішка кашоподібна мучна страва. Учень: Соломаха – кашоподібна страва подібна до лемішки однак варили її дещо інакше. Учень: Тетеря рябко – страва типу кулешу що готувалась з пшона заправлялась рідким гречаним або житнім тістом.
53286. Сценарій свята в дитячому садку «В українській хаті з Осінню на святі» 47 KB
  Дитина №1: З добрим урожаєм вас вітаємо І здоров’я вам бажаємо Під веселий дружний спів Посилаємо уклін Пісня Осінь починається Дитина №2: Завітала осінь до нас на Україну Одягла в червоне намисто калину Дитина №3 Жовте листячко кружляє І доріжки вистеляє Дитина №4 Хмарки в небі пропливають Рясним дощиком лякають Дитина №5 Листячко зелене золотистим стало Осінь чарівниця все розмалювала Дитина №6 Все розмалювала скрізь поприбирала Дитина №7 Жовті колосочки в комору поклала Дитина №8 Пісню журавлину осінь принесла Ягідки калини нам...
53287. HEALTH AND BODY CARE 49.5 KB
  Hello, Children. Today we will speak about very important things in our life. What is important for you? (Запитання до учнів. Вони дають різні відповіді). Look at the blackboard, you can see proverbs theree: “A sound mind in a sound body” “An apple a day keeps the doctor away”. So theme of our lesson is “Health and body care”
53288. What is health for you? 74.5 KB
  A lot of years passed. The men decided to return to their wives and children. They were happy to be again with their families. In the evening, when they opened their sacks, they found out that their stones disappeared. One of them found beautiful flowers in his sack. They were Health, Love, Happiness and Friendship. He gave these flowers to his children and asked to guard them so that they should never leave their family. He told his children that those beautiful flowers were the values of life.
53289. Money is not everything. You can buy a doctor but not heath 151.5 KB
  There is no more important than health. I hope you agree with me. If your body suffers from any disorder, your mind suffers with the body, too. You can’t be good either at work or at studies. Aches and pains lead to irritation, nervous breakdown, exhaustion and apathy.
53291. Медицина. Здоровий спосіб життя. Необхідні компоненти для здоровя 254.5 KB
  The topic of our lesson is Health Highlights. By the end of the lesson you will be able to understand the gist and details of the text for reading; to talk about medicine, symptoms of disease; to ask how somebody feels himself and answer such questions; to write the rules of healthy life;
53292. Health is above wealth. Giving advice 61.5 KB
  It is necessary to have not only a healthy body but also a healthy brain. You are school-leavers, so it is very important for you to be healthy to finish school and to enter higher educational establishments. Everybody should keep his/her brains in perfect condition, to be on top form for exams.