90891

Електромагнітні коливання і хвилі

Лекция

Физика

Електромагнітні хвилі можуть розповсюджуватися як у середовищах так і у вакуумі оскільки там можуть існувати змінні електромагнітні поля. Електромагнітні хвилі типовий приклад поперечних хвиль: вектори напруженості магнітного поля напруженості електричного поля та вектор напряму розповсюдження хвилі складають правогвинтову трійку векторів.

Украинкский

2015-06-12

405 KB

3 чел.

Херсонський національний технічний університет

Кафедра енергетики, електротехніки і фізики

Лекція №12

Електромагнітні коливання і хвилі

Лекція №12 Електромагнітні коливання і хвилі

  1.  Вільні коливання в контурі без активного опору
  2.  Згасаючі коливання в контурі з активним опором
  3.  Змінний струм. Закон Ома для змінного струму
  4.  Головні властивості електромагнітних хвиль

  •  Вільні коливання в контурі без активного опору

Коливальним контуром без активного опору називають електричне коло, яке складається з котушки  та конденсатору , якщо опором провідників можна знехтувати (рис.1).

Для збудження коливань в контурі необхідна наступна послідовність дій:

  •  Зарядити конденсатор від стороннього джерела, після чого відімкнути це джерело. На конденсаторі накопичиться заряд , енергія , між обкладинками виникне електричне поле з напруженістю .
  •  Від’єднати стороннє джерело та замкнути ключ . Конденсатор почне розряджатися, в контурі виникне змінний струм , на котушці індуктивності почне виникати змінна ЕРС самоіндукції , енергія котушки почне змінюватися в часі разом із струмом як .

В контурі виникнуть коливання одразу декількох згаданих нами параметрів: коливатиметься заряд на обкладинках конденсатору , коливатиметься струм , напруга на конденсаторі  та на котушці , миттєві значення енергій конденсатора (енергія електричного поля ) та котушки (енергія магнітного поля ), силові характеристики електричного (вектор напруженості )поля конденсатора та магнітного поля (вектор ) котушки. Під коливаннями ми розумітимемо періодичну зміну в часі цих характеристик: якщо  період коливань, то , де під  можна розуміти одну з перелічених вище характеристик контуру.

Знайдемо диференційне рівняння коливань в контурі, користуючись другим правилом Кірхгофа:

(1)

Далі, користуючись тим, що  перепишемо попереднє рівняння у вигляді:

(2)

де позначено:

(3)

так звана частота вільних коливань (або власна частота коливань) в контурі.

Рівняння (2) є однорідним диференційним рівнянням другого порядку, в фізиці воно отримало назву коливального рівняння. Його рішенням є так звані гармонічні коливання, які відбуваються в часі за законом косинуса (або синуса), іншими словами рішення коливального рівняння  (2) мають вигляд:

(4)

де - модуль максимального значення заряду на обкладинках конденсатора (амплітуда коливань),  - фаза коливань,  - початкова фаза коливань.

Якщо в момент часу  заряд на обкладинках конденсатора є максимальним, то . Тоді зрозуміло, що за таких умов: . Графічне зображення функції (4) можна побачити з рис.2 , де зображено залежність відношення  від часу.

Неважко побачити, що струм в контурі буде змінюватися за законом синуса:

(5)

де  - амплітудне значення струму в контурі, яке прямо пропорційне амплітудному значенню заряду.

Функція (5) також гармонічно змінюється в часі, втім, із зсувом відносно функції (4) по фазі і по часу (рис.2). Дійсно, в момент часу, коли заряд на обкладинках конденсатору максимальний (тобто , струм в колі дорівнює нулю і навпаки. У формулі (5) можна використати також косинус, якщо пригадати, що . Таким чином, струм в коливальному контурі відстає (запізнюється) відносно коливань заряду на обкладинках конденсатора за фазою на . Оскільки зміна фази на еквівалентна зміні часу на період коливань, то зсув за фазою на  відповідає запізненню в часі на  - чверть періоду.

Маючи вирази для заряду та струму в контурі як функції часу, неважко отримати інші коливальні характеристики електромагнітного контуру, розглянуті вище.

  •  Згасаючі коливання в контурі з активним опором

Припустимо тепер, що знехтувати активним опором в коливальному контурі не можна. Тоді в контурі з’явиться ще один елемент – опір  (рис.3), а у записі правила Кірхгофа (1) додасться ще один фактор:

(6)

Диференційне рівняння коливань у контурі з опором можна записати у вигляді:

(7)

де у додатковому до рівняння (1) факторі з’явився коефіцієнт

(8)

Рішення диференційного рівняння (7) має наступний вигляд:

(9)

Де

(10)

Такі коливання з опором - згасаючі коливання - відбуваються з частотою меншою від частоти вільних коливань , причому нерівність є тим сильнішою, чим більшим є коефіцієнт опору .

Графік функції (9) має вигляд, як на рис.4, де наведено дві криві: осцилююча  із плавно згасаючою амплітудою при , та аперіодичний режим при , коли запасу енергії системи не вистачає навіть на одне повне коливання.

Коливальні системи, які здійснюють згасаючі коливання, байдуже чи це електромагнітні коливання з опором, чи це механічні коливання з наявністю сил тертя (опору), характеризують двома параметрами. Перший з них має назву логарифмічного декремента згасання і дорівнює логарифму відношення двох амплітуд (максимальних відхилень осцилятора), взятих в моменти часу, які розрізняються на період коливань:

(11)

Чим більшим є опір в системі тим більшим є  декремент згасання.

Добротністю коливальної системи називають величину пропорційну до відношення початкового запасу енергії в системі до витрат енергії на подолання сил опору за період коливань:

(12)

Чим більшою є добротність осцилятора, тим більше коливань він встигає здійснити до повного вичерпання енергії та зупинки.

  •  Змінний струм. Закон Ома для змінного струму

Якщо частоти струму не перевищують 1-10 МГц, то для звичайних розмірів електричних ланцюгів такі струми можна вважати квазістаціонарними (отже, нехтувати часом розповсюдження  електромагнітного поля у ланцюгові порівняно з періодом коливань ). За таких умов до змінних струмів можна застосовувати правила Кірхгофа:

(13)

де ,

Перепишемо рівняння (13) у такому вигляді:

(14)

Розглянемо кожен з трьох чинників рівняння окремо, враховуючи:

(15)

струм в контурі змінюється за гармонічним законом:

(16)

Напруга на конденсаторі відстає за фазою на  (тобто на чверть періоду  за часом)відносно фази струму в контурі. Опір конденсатора змінному струмові обернено пропорційний частоті та його ємності, як це видно з (16):

(17)

(18)

Напруга на активному опорі співпадає за фазою із струмом в контурі. Опір  не залежить від частоти струму.

(19)

Напруга на котушці випереджає струм в контурі за фазою на (тобто на чверть періоду  за часом)відносно фази струму в контурі, а напругу на конденсаторі навіть на  (на половину періоду - ). Отже, напруга на котушці  знаходиться у протифазі до напруги на конденсаторі  (і навпаки). Опір котушки змінному струмові прямо пропорційний частоті та індуктивності:

(20)

У загальному випадку справедливим є закон Ома для змінного струму у вигляді:

(21)

де

(22)

так званий імпеданс, або комплексний опір змінному струмові (тут ). Дійсна частина імпедансу зветься активним опором () тоді як уявна частина () має назву реактивного опору. Модуль імпеданса часто називають повним опором:

(23)

Хвильовим опором контуру називають величину . Вона досить просто пов’язана із добротністю контуру та його активним опором:

(24)

  •  Головні властивості електромагнітних хвиль

Відомо, що змінне вихрове магнітне поле породжує таке саме вихрове електричне поле, яке своєю чергою, породжує змінне, вихрове магнітне поле і так далі. Процес розповсюдження коливань електромагнітного поля у просторі називають електромагнітною хвилею. Електромагнітні хвилі можуть розповсюджуватися як у середовищах, так і у вакуумі, оскільки там можуть існувати змінні електромагнітні поля. Електромагнітні хвилі — типовий приклад поперечних хвиль: вектори напруженості магнітного поля , напруженості електричного поля , та вектор напряму розповсюдження хвилі  складають правогвинтову трійку векторів. Звичайно для характеристики електромагнітної хвилі обирають напруженість її змінного, вихрового електричного поля, тобто , пам’ятаючи, що вектор  коливається синхронно до вектору , але у нормальному до нього напрямі (рис.5).

Електромагнітні хвилі займають надзвичайно широкий діапазон частот та довжин хвиль поміж котрими існує обернений зв’язок:

(25)

де - швидкість електромагнітних хвиль у вакуумі.

Низькочастотна (довгохвильова) частина діапазону ЕМ-хвиль. Простягається у межах частот від одиниць герц () до Гц, що відповідає довжинам хвиль від  до  метра. Ця частина діапазону зайнята електромагнітними хвилями, які випромінюються змінними струмами (наприклад, струмами електричних мереж, де частота 50 Гц), дуже довгими хвилями частоти Гц (~ м.), на яких здійснюється зв’язок з підводними човнами, нарешті звичайними радіохвилями. Радіохвилі займають широкий діапазон частот, який прийнято ділити наступним чином:

  •  Довгі хвилі (ДХ): 150-408 КГц;
  •  Середні хвилі (СХ): 525-1605 КГц;
  •  Короткі хвилі (КХ): 3.95-26 МГц
  •  Ультракороткі хвилі (УКХ): 66-108 МГц

Вище за частотами простягається теледіапазон (частоти  Гц, що відповідає довжинам хвилі метрового та дециметрового діапазону), який використовується для ефірних телепередач. У цьому ж інтервалі знаходиться стільниковий зв’язок (мобільна телефонія) на частотах 900 МГц.

Ще вище за частотами лежать електромагнітні хвилі, які використовують мікропроцесори, мікрохвильові пічки (частоти порядку 1-3 ГГц) та супутникове телебачення та зв’язок (10-15 ГГц). Приблизно у цьому ж діапазоні знаходяться частоти електромагнітного випромінювання молекул та атомів, які збуджені тепловим рухом, або електричними полями.

Оптична частина діапазону ЕМ-хвиль. Вона простягається умовно від частот  Гц, що відповідає довжинам хвиль порядку м, до частот приблизно у  Гц (довжини хвиль порядку  м.). Оптичний діапазон звичайно поділяють на трИ нерівні частини:

  •  Інфрачервона область частот (ІЧ-діапазон). Від  Гц до приблизно Гц, що відповідає довжинам хвиль від 100 до 1 мкм (м.). В цій області лежать теплове випромінювання Землі, теплове випромінювання людського тіла ( мкм), в цій області працюють всі прилади нічного бачення.
  •  Видиме світло. Вузенький діапазон частот та довжин хвиль, який сприймається людським оком. Довжини хвилі цього діапазоні простягаються лише від м, тобто від 0.3 мкм до приблизно 0.9 мкм. Щоправда саме на цей діапазон припадає довжина хвилі, що відповідає максимальній випромінювальній здатності Сонця ( мкм.)
  •  Ультрафіолетове випромінювання (УФ-діапазон). Лежить у межах приблизно до  Гц, що відповідає довжинам хвиль до м.

Закінчується оптичний діапазон ЕМ-випромінюванням прискорювачів заряджених частинок (циклотронне, синхротронне випромінювання, тощо). Це випромінювання займає досить вузький інтервал частот поміж ультрафіолетовим та рентгенівським.

Рентгенівська частина діапазону ЕМ-хвиль. Ця частина короткохвильового електромагнітного спектру починається з довжин хвиль порядку м., що відповідає приблизно частотам з  Гц і вище. В цьому діапазоні лежать електромагнітні хвилі, які випромінюються рентгенівськими трубками, атомними ядрами, під час радіоактивного розпаду та ядерних реакцій; а також космічними тілами, наприклад, під час вибуху супернових зірок; таке випромінювання приходить з космосу і може бути отримане у потужних прискорювачах заряджених частинок.

З рівнянь Максвела випливає, що швидкість розповсюдження електромагнітних хвиль у вакуумі повинна бути пов’язана зі сталими  наступним чином:

(26)

яку у фізиці називають швидкістю світла. Оскільки світло є електромагнітною хвилею певних частот, як це викладено у попередньому параграфі, фізичний зміст такої назви для константи  виявляється доволі прозорим. Фізичний вакуум не має дисперсії – електромагнітні хвилі різної довжини та частоти розповсюджуються в ньому з однаковою швидкістю.

Швидкість світла у середовищі відрізняється від швидкості у вакуумі. Згідно з електромагнітною теорією світла маємо для швидкості у середовищі:

(27)

де через  ми позначили величину, яка визначається електричною та магнітною проникливостями середовища, тобто його реакцією на зовнішнє електромагнітне поле:

(28)

Безрозмірний показник заломлення , з одного боку показує відношення швидкості світла у вакуумі до швидкості світла у середовищі, а з іншого — характеризує електромагнітні властивості середовища розповсюдження. Зауважимо, що цей показник точно дорівнює одиниці лише для вакууму, а для реальних середовищ він завжди більший одиниці. Що означає, що швидкість розповсюдження ЕМ-хвиль у середовищах (речовині) завжди менша від швидкості у вакуумі. Реальні середовища демонструють дисперсію: швидкість розповсюдження ЕМ-хвиль, отже, й показник заломлення залежить від їх довжини:  , на відміну від вакууму.

Інтенсивністю електромагнітної хвилі ми називатимемо кількість енергії, яку вона переносить в одиницю часу через одиницю площі хвильової поверхні у напрямі нормальному до цієї поверхні. Таке визначення передбачає векторний характер величини інтенсивності, цей вектор у теорії електромагнітних хвиль отримав назву вектора Пойнтинга.

Для модуля вектора Пойнтинга (інтенсивності) можна записати наступний вираз:

(29)

де - енергія електромагнітних коливань, яку переносить хвиля, - елемент площі хвильової поверхні (поверхня всі точки якої мають однакову фазу коливань), - інтервал часу. З огляду на те, що  - потужність випромінювання, інтенсивність хвилі можна визначати також як потужність, яку хвиля переносить крізь одиницю хвильової поверхні. Розмірність інтенсивності: Вт/м2.

Щодо напряму вектора Пойнтингу можна зауважити, що енергія електромагнітного поля переноситься в напрямі розповсюдження хвилі, тобто у напрямі хвильового вектору : отже,   - вектор Пойнтінга та хвильовий вектор збігаються за напрямом. З іншого боку, ми знаємо, що вектор  є нормальним до векторів напруженостей магнітного та електричного поля: . Отже, нормальним є до цієї пари векторів також і вектор Пойнтинга . Більше того, виходячи з розмірностей вектора Пойнтінга  (Вт/м2), та векторів  (В/м та А/м) можна записати наступне співвідношення поміж ними:

(30)

Інтенсивність хвилі повинна бути прямо пропорційною до густини енергії електромагнітного поля: ~. Неважко збагнути, що коефіцієнтом пропорційності повинен бути вектор швидкості електромагнітної хвилі, іншими словами:

(31)

Рівняння (31) має назву рівняння Умова-Пойнтінга.

Рекомендована література:

Савельев И.В. Курс общей физики. Том II. Электричечтво – М.: Наука, 1988 – с.11-34.

Кучерук І.М., Горбачук І.Т. Загальна фізика: Електрика і магнетизм. – К.: Вища шк., 1995. – с.3-26.

Бушок Г.Ф., Левандовський В.В., Півень Г.Ф. Курс фізики. Кн. 1. Фізичні основи механіки. Електрика і магнетизм. – К.: Либідь, 2001. – с.220-230.

Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики: – М.: Высш.шк.., 1989. – с.154-162.

Калашников С.Г. Электричество. – М.:Наука, 1985. – 576 С.

Факультет машинобудування

група 1ТТ

Лектор Степанчиков Д.М.

стор. 7 з 7

C

L

K

Рис.3.

R

C

L

K

Рис.2.

Рис.1.

Рис.4.

Рис.5.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46915. Цикличность развития экономики и экономические кризисы 36.72 KB
  Учет готовой продукции Готовая продукция это изделия и полуфабрикаты полностью законченные обработкой соответствующие действующим стандартам или утвержденным техническим условиям принятые на склад или заказчиком. Планирование и учет готовой продукции ведут в натуральных условнонатуральных и стоимостных показателях. Условнонатуральные показатели используют для получения обобщенных данных об однородной продукции. В состав продукции работ услуг входят: готовая продукция и полуфабрикаты собственного производства; работы и услуги...
46917. Влияние Чернышевского на современников и на русскую молодежь 37 KB
  С точки зрения художественной ценности стиля роман можно оценить невысоко. Чернышевский получает мировое признание роман переведен на много языков. Каким образом роман вышел в печать 2 версии: 1 тюремная цензура понадеялась на внешнюю а внешняя решила что тюремная его уже проверила 2 цензор решил что раз роман написал таким ужасным стилем то он скомпрометирует сам идеи которые в нем изложены.
46920. Complex sentence, its definition and composition. The two approaches to the principles of classification of subordinate clauses. Connection of the clauses in a complex sentence 37 KB
  Subordination is usually defined as a non-symmetrical relation, that is, in a complex sentence with a minima composition of two clauses, one is the basic element, whereas the other is a constituent or part of the first. The first one is called the main (or principal) clause, the second the subordinate clause
46922. Subordinate clauses of primary nominal positions 37 KB
  Subordinte cluses of primry nominl positions. Cluses of primry nominl positions The subject cluse. The predictive cluse. The object cluse.
46923. Балканская война (1912-1913) 37 KB
  Слабость Османской империи проявлявшаяся в аннексии АвстроВенгрией Боснии и Герцеговины захвате Италией Триполитании и Киренаики нацосв движения в Македонии Албании и на о. Балканский союз направлен и против АвстроВенгрии освободительные задачи. АвстроВенгрия и Германия заинтересованности в сохранении Османской империи которая все в большей степени подпадала под германское влияние негативно. Россия поддержала образование Балканского союза Англии и Франции двойственным боязнью усиления позиций России на Ближнем Востоке...