90894

Динаміка. Закони Ньютона

Лекция

Физика

Перший закон Ньютона виконується не у всіх системах відліку. Характер руху залежить від вибору системи відліку. Розглянемо дві системи відліку, які рухаються одна відносно одної з деяким прискоренням. Якщо відносно однієї з них тіло знаходиться в стані спокою, то відносно іншої воно буде рухатися з прискоренням.

Украинкский

2015-06-12

983 KB

0 чел.

Херсонський національний технічний університет

Кафедра енергетики, електротехніки і фізики

Лекція №2

Динаміка  

Лекція №2 Динаміка

  1.  Закони Ньютона
  2.  Закон всесвітнього тяжіння. Закони Кеплера
  3.  Основне рівняння динаміки обертального руху
  4.  Момент інерції. Теорема Штейнера
  5.  Енергія тіла що обертається
  •  ЗАКОНИ НЬЮТОНА

Перший закон динаміки був встановлений ще Галілеєм [1,3-7], який на основі своїх дослідних даних дійшов до висновку, що коли на тіло не діють інші тіла, то воно зберігає стан відносного спокою або прямолінійного рівномірного руху. Такі тіла називатимемо вільними, а їхній рух – вільним.

Перший закон Ньютона має наступне формулювання:

будь-яке тіло знаходиться в стані спокою або рівномірного та прямолінійного руху, до тих пір, поки дія з боку інших тіл не змінить цього стану.

Сформулювати перший закон Ньютона можна інакше:

швидкість будь-якого тіла лишається сталою = (або рівною нулю =0), доки дія на це тіло з боку інших тіл не змінить її.

Перший закон Ньютона виконується не у всіх системах відліку. Характер руху залежить від вибору системи відліку. Розглянемо дві системи відліку, які рухаються одна відносно одної з деяким прискоренням. Якщо відносно однієї з них тіло знаходиться в стані спокою, то відносно іншої воно буде рухатися з прискоренням. Отже, перший закон Ньютона не може виконуватися одночасно в обох системах відліку.

Системи відліку, в яких виконується перший закон Ньютона мають назву інерціальних, а сам закон іноді називають законом інерції. Системи відліку, в яких перший закон Ньютона не виконується називатимемо неінерціальними. Кількість інерціальних систем відліку встановити неважко – їх безліч. Будь-яка система відліку, яка рухається відносно деякої інерціальної системи відліку прямолінійно і рівномірно (зі сталою швидкістю) також буде інерціальною. Класична механіка таким чином постулює існування систем відліку, в яких вільні тіла рухаються прямолінійно і рівномірно. Дослідним шляхом було встановлено, що система відліку, центр якої сполучений із Сонцем, а осі напрямлені на відповідним чином обрані зірки, є з дуже високим ступенем точності інерціальною. Вона має назву – геліоцентричної системи відліку [1,3-7]. Будь-яка система відліку, яка рухається рівномірно і прямолінійно відносно геліоцентричної системи, є інерціальною.

Земля рухається відносно Сонця та зірок по криволінійній траєкторії, яка має форму еліпсу. Криволінійний рух завжди відбувається із певним прискоренням. Окрім того, Земля обертається навколо власної осі. За цих причин система відліку, пов’язана із земною поверхнею, рухається з прискоренням відносно геліоцентричної системи відліку і не є інерціальною. Однак, прискорення такої системи настільки мале, що у більшості випадків її можна вважати практично інерціальною. Але іноді неінерціальність системи відліку, пов’язана із Землею, суттєво впливає на характер механічних явищ, що розглядаються.

Для кількісної оцінки дії одного тіла на інше в класичній механіці введено поняття сили. Під силою в механіці ми розумітимемо фізичну причину, яка виникає внаслідок взаємодії двох тіл і зумовлює стан їхнього руху. Взаємодія тіл може проявлятися не тільки в наданні їм прискорення (зміни їхньої швидкості), а й у зміні форми або об’єму тіл, тобто в їх деформації. Таким чином, силами називатимемо взаємодії тіл, в результаті яких вони набувають прискорення або деформуються, чи одночасно має відбуватися одне й друге. Отже, про наявність і дію сили можна робити висновок за її динамічним проявом, тобто за тими прискореннями (змінами швидкостей), яких сила надає тілам, що взаємодіють, а також за статичним проявом сили, тобто за результатом, який виникає в цих тілах. Сила, що діє на тіло, визначається числовим значенням, напрямом дії і точкою прикладання. Отже, сила – векторна величина. Пряму, вздовж якої напрямлена сила, називатимемо лінією дії сили.

Дія на тіло з боку інших тіл змінює його швидкість, тобто надає даному тілу прискорення. Досліди показують, що однакова дія надає різним тілам різні за величиною прискорення [3,5,6]. Будь-яке тіло „протидіє” зовнішнім змінам, які намагаються змінити стан руху тіла. Ця властивість тіл має назву інертності. В якості кількісної характеристики інертності використовується величина, яка має назву маси тіла. Для визначення маси деякого тіла необхідно порівняти її з масою тіла, яке є еталонним. Також можна порівняти масу даного тіла з вже відомою масою деякого тіла.

Порівняти маси  та  двох матеріальних точок (частинок) можна наступним чином. Нехай частинки знаходяться в таких умовах, що їх взаємодією з іншими тілами ми можемо знехтувати. Систему тіл, які взаємодіють тільки поміж собою і не взаємодіють з іншими тілами називатимемо замкненою. Отже, ми розглядатиме замкнену систему двох частинок. Якщо ми спричинимо взаємодію цих частинок (наприклад, їх зіткнення), їх швидкості отримають зростання  і . Дослідами встановлено, що ці зростання завжди протилежні за напрямом, отже, відрізняються знаком. Відношення модулів зростань швидкостей не залежить від способу і інтенсивності взаємодії даних двох тіл (але це справедливо тільки при умові, що швидкості цих тіл малі у порівнянні із швидкістю світла ). Це відношення приймається рівним оберненому відношенню мас тіл, що розглядаються:

=,

(1)

швидкість більш інертного тіла, тобто тіло з більшою масою, менше змінюється. Якщо ми врахуємо напрям векторів  і , співвідношення (1) отримає наступний вигляд:

=-.

(2)

В ньютонівській механіці маса тіла вважається постійною величиною, такою що не залежить від швидкості тіла. При швидкостях менших за швидкість світла  (при ) це припущення виконується практично повністю. Отже, якщо вважати, що маса тіла не змінюється, то рівність (2) можна переписати у такому вигляді:

()=-().

(3)

Добуток маси тіла на його швидкість отримав назву імпульсу тіла:

=.

(4)

Визначення (4) є справедливим як для матеріальних точок так и для протяжний тіл, які рухаються поступально. У випадку протяжного тіла, що рухається не поступально, необхідно представити тіло як сукупність матеріальних точок з масами , визначити імпульси  цих точок, та додати ці імпульси за правилами векторного додавання:

=.

(5)

При поступальному русі тіла всі  однакові і формула (5) переходить у (4).

Маса – величина адитивна, тобто маса системи тіл дорівнює сумі їхніх мас [3-5]:

==++...+.

(6)

Про відмінність гравітаційної та інертної маси а також про принцип еквівалентності дізнайтеся самостійно з [3,5].

З першого закону Ньютона випливає, що при дії на тіло незрівноваженої сили його рух не буде рівномірним і прямолінійним. На запитання, яким буде рух тіла під дією сили, дає відповідь другий закон динаміки. Другий закон Ньютона стверджує, що:

швидкість зміни імпульсу тіла дорівнює діючій на тіло силі :

=.

(7)

Рівняння (7) має назву основного рівняння динаміки матеріальної точки. Якщо ми виконуємо таке просте перетворення: =, то отримаємо величину (), яку ще називають імпульсом сили. Замінимо  добутком () з урахуванням, що масу тіла вважаємо постійною:

=, де =.

(8)

Зверніть увагу вектори  і  колінеарні. Переформулюємо другий закон Ньютона: добуток маси тіла на його прискорення дорівнює діючій на тіло силі

Рівняння (8) дає можливість обрати одиницю сили. Оскільки одиниці довжини, часу і маси встановлено, то з рівняння (8) випливає, що за одиницю сили слід взяти таку силу, яка одиниці маси надає прискорення, що дорівнює одиниці. В СІ за одиницю маси взяли ньютон (Н):

==.

(9)

Якщо на тіло (точку) масою  одночасно діє  сил, то сумарна їх дія еквівалентна дії однієї – так званої рівнодійної силі , яка є геометричною сумою всіх діючих сил [4,с.23;5,с.27] (наприклад, так як показано для трьох сил на рис.1):

=

(10)

Перепишемо рівняння (8) з вигляді:

==,

(11)

яке в скалярній формі має наступний вигляд:

===.

(12)

===

(13)

===.

(14)

Система рівнянь (12-14) має назву рівнянь руху матеріальної точки (системи).

Зверніть увагу ще раз на те, що другий закон Ньютона (також як і перший і третій) є експериментально встановленими законами. Він виник за рахунок узагальнення дослідних даних та спостережень.

У частинному випадку, коли =0 (тобто під дією інших тіл), прискорення, як це випливає з (8) також дорівнює нулю (=0). Цей висновок співпадає з твердженням першого закону Ньютона. Проте, вираз (7), який виражає другий закон Ньютона, справджується лише в інерціальних системах відліку. Існування таких систем відліку стверджує саме перший закон Ньютона. Отже, по суті, перший закон Ньютона не можна розглядати, як окремий випадок другого закону. Зв’язок між ними більш глибокий.

Досі ми з вами вважали, що маса тіл лишається постійною. Але в реальності досить часто приходиться стикатися із випадками, коли тіло, яке рухається ще й втрачає масу. Дослідження цих випадків виконали І.В.Мещерський та К.Е.Ціолковський [5,7].

У перших двох законах Ньютона йдеться тільки про силу, що діє на тіло (матеріальну точку), але нічого не сказано про інші тіла, з боку яких ця сила діє. Сила характеризує взаємодію щонайменше двох тіл. Роль другого тіла в динамічних явищах відображена в третьому законі Ньютона.

Будь-яка дія тіл одне на одне носить характер взаємодії: якщо тіло 1 діє на тіло 2 з силою , то і тіло 2 діє на тіло 1 із силою . Отже, третій закон Ньютона стверджує, що

сили, з якими діють одне на одне взаємодіючі тіла рівні за величиною та протилежні за напрямом:

=-.

(15)

З третього закону випливає, що сили діють парами: будь-якій силі, яка діє на деяке тіло, можна співставити рівну їй за величиною та протилежну за напрямом силу, яка діє на друге тіло, взаємодіюче з першим. Отже, третій закон нічого не говорить про величину сил, а тільки про те, що вони дорівнюють одна одній. Зауважимо, що у даному законі мова йде про сили, прикладені до різних тіл, тому їх не можна розглядати як сили, що зрівноважують одна одну.

ЗАКОН ВСЕСВІТНЬОГО ТЯЖІННЯ. ЗАКОНИ КЕПЛЕРА

Аналізуючи результати багаторічних спостережень Тихо Браге за рухом планет (понад 36 років спостережень), Йогану Кеплеру вдалося встановити основні закони руху планет (приблизно так, як показано на рис.3 на прикладі супутника, який обертається навколо Землі).

Ці закони названо його ім’ям і формулюються вони так.

  1.  Кожна з планет рухається по еліпсу, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце.
  2.  Радіус-вектор планети за однакові проміжки часу описує рівні площі (закон постійності секторної швидкості).
  3.  Квадрати періодів обертань планет навколо Сонця відносяться як куби великих півосей їхніх еліптичних орбіт.

При обертанні планет навколо Сонця їхня відстань до Сонця змінюється. Точку П орбіти, що знаходиться найближче до Сонця, називають перигелієм, а діаметрально протилежну їй точку А називають афелієм (рис.4) [5]. Із закону рівності площ випливає, що швидкість руху планет біля перигелію найбільша, а біля афелію – найменша. Зауважимо, що еліптичність орбіт різних планет Сонячної системи різна. Кількісно еліптичність орбіти характеризують ексцентриситетом, під яким розуміють відношення фокусної відстані  до великої півосі  (рис.4). Переважна більшість планет має ексцентриситет орбіт, менший ніж 0,1. так для Венери ексцентриситет 0,006, для Нептуна – 0,008, а для Землі – 0,016. це вказує на те, що орбіти планет Сонячної системи майже колові.

Якщо періоди обертання планет навколо Сонця відповідно дорівнюють  і , а великі півосі їхніх орбіт -  і , то третій закон Кеплера математично записується у такому вигляді:

=

(16)

Знайдені емпірично закони Кеплера, дали можливість Ньютону встановити закон всесвітнього тяжіння. Оскільки планети рухаються майже по колових орбітах, їхні доцентрові прискорення:

==

(17)

де  - період обертання,  - радіус колової орбіти планети. Відношення прискорень для будь-яких двох планет:

=

(18)

На основі закону (16) маємо:

=.

(19)

:=, або =:

(20)

Звідси випливає, що сила, яка діє з боку Сонця на планету, прямо пропорційна масі планети і обернено пропорційна квадрату її відстані до Сонця, тобто:

=

(21)

де  - коефіцієнт пропорційності, який однаковий для всіх планет Сонячної системи. Коефіцієнт  залежить тільки від властивостей тіла, яке викликає прискорення, в даному разі від Сонця. За третім законом динаміки планети діють на Сонце з силами, що дорівнюють за величиною силі:

=

(22)

де  - маса Сонця,  - коефіцієнт пропорційності, величина якого залежить тільки від маси планети. Оскільки співвідношення (21) і (22) виражають однакові природи сили взаємного притягання двох тіл, то можна зробити висновок, що сила взаємодії між планетою і Сонцем прямо пропорційна масі як одного, так і другого тіла, тобто пропорційна добутку їхніх мас і обернено пропорційна квадрату відстані поміж ними:

=

(23)

де = - коефіцієнт пропорційності, який має назву гравітаційна стала.

Перевірку припущення про те, що сила обернено пропорційна квадрату відстані, Ньютон здійснив на основі спостережень за рухом Місяця. Наступна перевірка цієї ідеї на рухах супутників Юпітера показала, що між планетами і їхніми супутниками також діють сили того самого характеру, що й між Сонцем і планетами. Це дало можливість Ньютону зробити висновок, що такого самого характеру сили діють між будь-якими тілами. Такі самі сили тяжіння діють з боку Землі на тіла, що знаходяться на її поверхні або поблизу неї.

Математичний запис закону всесвітнього тяжіння (23) справджується для випадку, коли тіла можна вважати матеріальними точками, тобто коли розмірами взаємодіючих тіл можна нехтувати порівняно з відстанню поміж ними. У векторній формі закон всесвітнього тяжіння записується у вигляді:

=

(24)

де  - сила притягання, що діє на матеріальну точку масою  з боку ,  - радіус-вектор, проведений з цієї точки в точку, де знаходиться маса . Розрахунки показують, що формулу (23) можна застосовувати не лише для точкових тіл, а й взаємодії тіл сферичної форми, в яких густина не залежить від радіуса кулі або є функцією тільки відстані від центра. У цьому разі тіла можна вважати точковими, маса яких зосереджена в їхніх геометричних центрах.

Характерним для сил тяжіння є те, що вони не залежать від проміжного середовища та від природи взаємодіючих тіл.

В часи Ньютона закон тяжіння підтверджувався тільки астрономічними спостереженнями за рухом планет та їхніх супутників. Тепер справедливість закону тяжіння перевірена для всіх випадків взаємодіючих тіл, починаючи від таких об’єктів, як елементарні частинки, і кінчаючи найбільшими астрономічними скупченнями. На основі закону всесвітнього тяжіння Ньютона вдалось оцінити відношення мас небесних тіл (маси Юпітера до маси Сонця, маси Землі до маси Сонця). Масу кожного з тіл окремо він не зміг визначити, оскільки на той час була невизначеною гравітаційна стала .  Дією сили тяжіння Ньютон пояснив виникнення припливів і відпливів, які відбуваються внаслідок дії сили тяжіння з боку Місяця [5,с.83]. Вперше експериментально довів справедливість закону гравітаційного притягання в земних умовах, а також визначив гравітаційну сталу  в 1798 р. лорд Генрі Кавендіш [1,4-7]. Про фізичний зміст гравітаційної сталої , про перші спроби визначити її значення та ще багато цікавого читайте у [1,4-8].

  •  ОСНОВНЕ РІВНЯННЯ ДИНАМІКИ ОБЕРТАЛЬНОГО РУХУ

Тепер ми з вами докладніше спинимося на питаннях динаміки обертального руху твердого тіла. В загальному випадку тверде тіло може обертатися навколо нерухомої точки. При цьому його рух можна уявити як результат накладання трьох обертальних рухів відносно взаємно перпендикулярних осей, що проходять через нерухому точку.

Спинимося спочатку на обертальному русі твердого тіла навколо нерухомої осі. В цьому випадку траєкторії руху всіх частинок тіла будуть концентричними колами, центри яких знаходяться на осі обертання. Уявляючи тверде тіло як систему матеріальних точок, можна стверджувати, що всі його точки при обертальному русі здійснюють плоскі рухи з однаковими кутовими швидкостями. Дія зовнішніх сил на тверді тіла, які можуть обертатися навколо нерухомої осі, в загальному випадку приводить до зміни стану його руху, тобто зумовлює кутове прискорення.

На основі уявлень про тверде тіло як систему матеріальних точок розглянемо рух однієї з них (масою ), що знаходиться на відстані  від осі обертання і перебуває під дією сили  (рис.5). У загальному випадку напрям сили  може бути довільним. Розкладемо її на складові  і  так, щоб сила  лежала у площині перпендикулярній до осі обертання, а сила  була паралельна осі обертання. Оскільки сила  паралельна осі обертання, то вона не зумовлює обертального руху тіла навколо цієї осі. Ця сила зумовлює тиск в опорах підшипників, в яких знаходиться вісь .

Дія сили  зумовлює тангенціальне прискорення  матеріальної точки. За другим законом Ньютона:

=.

(25)

Оскільки кутове  і тангенціальне  прискорення пов’язані між собою виразом =, то (25) набуває наступного вигляду:

=.

(26)

Помножимо зліва обидві частини рівності (26) векторно на :

=.

(27)

Ліва частина рівняння (27) є відомий вам момент сил відносно нерухомої осі:

=

(28)

Нагадаємо, що момент сили визначається за правилом правого гвинта і вважатиметься додатним, якщо складова сили  змушує обертатися тіло за стрілкою годинника, а від’ємним – при обертанні тіла в протилежному напрямі.

Вираз (28) у скалярній формі має наступний вигляд:

=

(29)

Величина = - вже вам відома як плече сили  відносно осі обертання.

Зверніть увагу права частина (27) у скалярні формі матиме наступний вигляд:

=

(30)

Величину  називають моментом інерції матеріальної точки відносно осі обертання. Для кожної матеріальної точки тіла можна записати співвідношення (30). Сума по всіх матеріальних точках твердого тіла рівнянь (30):

=

(31)

Алгебраїчну суму  називатимемо моментом сил відносно осі обертання. Величину:

=,

(32)

що дорівнює сумі добутків мас матеріальних точок на квадрати їхніх відстаней від осі обертання, називатимемо моментом інерції тіла відносно цієї самої осі. Тоді і вираз (31) набуває вигляду:

=.

(33)

Рівняння (33) є основним рівнянням динаміки обертального руху. За формою воно подібне до рівняння динаміки поступального руху. Між ними можна провести аналогію: при обертальному русі роль сили відігріє момент сили, роль маси – момент інерції, а роль лінійного прискорення – кутове прискорення. У векторній формі основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла має вигляд:

=

(34)

У динаміці матеріальної точки рівняння другого закону Ньютона було узагальнене за допомогою введення поняття механічного імпульсу. Отже, ІІ закон динаміки для обертального руху твердого тіла має вигляд:

==

(35а)

=

(35б)

де  - момент імпульсу твердого тіла відносно осі обертання, окрім того, величина векторна. Вираз (35б) є іншим видом основного рівняння динаміки обертального руху твердого тіла. Для нерухомої осі обертання напрям вектора  збігається з напрямом вектора кутової швидкості . З рівняння (35б) також випливає, що результуючий момент сил  дорівнює швидкості зміни моменту імпульсу , аналогічно тому, як результуюча сила, що діє на матеріальну точку, дорівнює швидкості зміни її імпульсу.

Якщо момент зовнішніх сил дорівнює нулю (=0), то:

==

(36)

Рівняння (36) фактично виражає закон збереження моменту імпульсу для обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі.

Обертання тіла навколо нерухомої осі при =0, тобто обертання із сталим моментом імпульсу, аналогічне руху матеріальної точки за „інерцією”, коли =. Проте, існують деякі відмінності між цими випадками, а саме: рух матеріальної точки за інерцією є рух із сталою швидкістю, коли маса матеріальної точки залишається сталою; рух твердого тіла із сталим моментом імпульсу – це не завжди рух із сталою кутовою швидкістю, оскільки момент інерції тіла може змінитися під час обертального руху внаслідок переміщення маси всередині тіла. Прикладом може бути зміна моменту інерції Землі [7,с.54].

Прояви закону збереження моменту інерції можна показати на багатьох дослідах і прикладах. Різні прояви цього закону досить переконливо демонструються за допомогою лави Жуковського [7,с.55]. Закон збереження моменту імпульсу як векторної величини проявляється у збереженні напряму вектора. Збереження напряму осі при обертанні тіла широко застосовується у техніці.

  •  МОМЕНТ ІНЕРЦІЇ. ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА

З формули (31) випливає, що момент інерції = є величиною адитивною. Це означає, що момент інерції тіла дорівнює сумі моментів інерції його частинок.

Розподіл маси в тіла можна характеризувати за допомогою величини, відомої вам з шкільного курсу фізики, і яку називають густиною. Якщо тіло однорідне, тобто властивості його у всіх точках однакові, то густиною ми називатимемо величину, яка визначається:

=

(37)

де  - маса тіла, а  - його об’єм. Отже, у випадку однорідного тіла густина являє собою масу одиниці об’єму тіла.

Для тіла з нерівномірним розподілом маси за виразом (37) можна визначити лише середню густину. Густину в деякій точці в цьому випадку можна визначити так:

==

(38)

де  - маса в об’ємі , які в граничному переході стягується до точки, в якій визначається густина [4,с.141]. Граничний перехід в (38), тобто зменшення  відбувається до тих пір, доки не буде отримано фізично безкінечно малий об’єм.

Під фізично малим об’ємом ми розумітиме такий об’єм, який:

  •  достатньо малий для того, що макроскопічні (тобто властиві великої кількості атомів) в межах цього об’єму можна було вважати однаковими,
  •  достатньо великий для того, щоб не проявилася дискретність речовини.

У відповідності до (38) елементарні маса  дорівнює добутку густини тіла в даній точці  на відповідний елементарний об’єм :

=

(39)

Момент інерції в такому випадку визначатиметься так:

=.

(40)

Якщо густина тіла постійна, її можна винести за знак суми:

=

(41)

Співвідношення (40) та (41) є наближеними, причому їх точність тим більша, чим менші елементарні об’єми  і відповідні їм елементарні маси . Отже, задачу знаходження моментів інерції можна звести до інтегрування:

==

(42)

Інтеграли в (42) беруться по всьому об’єму тіла. Величини  і  в цих інтегралах є функціями точки, тобто, наприклад, декартових координат .

Момент інерції  характеризує інерційні властивості твердого тіла при його обертальному русі і залежить від розташування осі, відносно якої його визначають. Найменші значення моментів інерції тіло матиме тоді, коли вісь обертання проходитиме через його центр мас. Головні моменти інерції однорідних тіл (нагадаємо, що однорідним вважається тіло з однаковою по всьому його об’єму густиною)  правильної геометричної форми можна визначити за допомогою інтегрального числення. Розглянемо такі приклади.

Момент інерції однорідного тонкого стержня [7,с.56]. Нехай стержень масою  і довжиною  є однорідним і тонким. Визначимо момент інерції цього стержня відносно осі, яка перпендикулярна до стержня і проходить через його середину (рис.6). Поділимо подумки стержень на елементарні частини у вигляді пластинок, паралельних осі обертання, товщиною . Маса такої пластинки визначатиметься:

=

(43)

Момент інерції пластинки, що знаходиться від осі обертання на відстані :

==

(44)

З властивості адитивності моменту інерції випливає, що момент інерції стержня можна знайти інтегруванням:

=

(45)

=

(46)

Момент інерції однорідного диска, циліндра, кулі [4,с.142]. Тепер знайдемо момент інерції однорідного диска відносно осі, перпендикулярної до площі диска і такої, що проходить через його центр (рис.7). Подумки розіб’ємо диск на колові шари товщиною . Всі точки одного шару будуть знаходитися на одноковій відстані від осі - . Об’єм такого шару дорівнюватиме:

=

(47)

де  - товщина диску. Оскільки диск однорідний, густина його у всіх точках однакова і  - густину – можна винести за знак інтегралу:

==

(48)

де  - радіус диска. Винесемо за знак інтегралу постійний множник :

==

(49)

Врахувавши, що маса диску =, отримаємо:

=

(50)

Наведемо ще деякі формули моментів інерції тіл. Момент інерції однорідного циліндру (рис.8) визначається так само як і момент інерції однорідного диску – за формулою (50).

Момент інерції тонкого однорідного диску відносно осі , що лежить в площині самого диску і проходить через його центр мас (рис.9) визначається за формулою:

=

(51)

Момент інерції кулі відносно осі, що співпадає з одним із її діаметрів (рис.10):

=

(52)

де  - радіус кулі. Знаходження моменту інерції у цих прикладах значно простіше, саме завдяки тому, що тіло вважалося однорідним і симетричним, а момент інерції ми знаходили відносно осі симетрії.

Якщо ми б захотіли знайти момент інерції тіла відносно деякої осі, що не проходить через центр мас, тобто так як показано на рис.7 – вісь  (але момент інерції тіла відносно осі, що проходить через центр мас відомий), то момент інерції цього тіла відносно будь-якої осі, паралельній першій, визначається за теоремою Гюйгенса-Штейнера. Відповідно до неї момент інерції відносно будь-якої осі дорівнює сумі моменту інерції  відносно осі, що паралельна даній і проходить через центр мас тіла, і добутку маси тіла  на квадрат відстані  між осями:

=+

(53)

Доведення теореми Штейнера є у підручниках [4;7,с.56]. Теорема Гюйгенса-Штейнера, по суті, зводить обчислення моменту інерції відносно довільної осі до обчислення моменту інерції відносно осі, що проходить через центр мас тіла.

  •  ЕНЕРГІЯ ТІЛА ЩО ОБЕРТАЄТЬСЯ

При обертальному русі твердого тіла навколо нерухомої осі під дією зовнішніх сил виконується механічна робота. Давайте визначимо її. Для цього повернемося до рис.5. Як вже зазначалося, тільки складова  здатна змінювати швидкість тіла. Під час повертання тіла на кут  матеріальна точка  опише дугу =. Елементарна робота, що виконується силою  дорівнюватиме:

==

(54)

Оскільки величина = - є моментом сили, то при повертанні тіла на кут  робота:

==

(55)

Звідси знайдемо і потужність:

===

(56)

Під час обертання твердого тіла різні його точки мають різну лінійну швидкість, а отже, і різну кінетичну енергію. Кінетична енергія матеріальної точки:

==

(57)

Кінетична енергія обертального руху всього тіла дорівнює сумі кінетичних енергій його елементів:

=

(58)

Або:

==

(59)

Але не тільки тіло може здійснювати обертальний рух навколо осі, а й сама вісь також може переміщатися. Оскільки будь-який плоский рух твердого тіла можна уявити як рух, що складається з поступального руху центра мас і обертального руху навколо осі, яка проходить через центр мас і має незмінний напрям у просторі, то кінетична енергія тіла, що здійснює будь-який плоский рух, складається з кінетичних енергій поступального і обертального рухів, тому повна кінетична енергія тіла:

=+

(60)

де  - лінійна швидкість центра мас тіла. Вираз (60) справджується не тільки для руху тіла, а й для будь-якої системи тіл.

ЛІТЕРАТУРА

  1.  Кудрявцев П.С. Курс истории физики. – М.: Просвещение, 1982.–448 С.
  2.  Храмов Ю.А. Физики: биографический справочник.–К.: Наукова думка, 1977.–511 с.
  3.  Савельев И.В. Курс общей физики. В 3-х томах. Т.1. Механика. Молекулярная физика.– М.: Наука, 1987. – 432 с.
  4.  Бушок Г.Ф., Левандовський В.В., Півень Г.Ф. Курс фізики. 1 кн. Фізичні основи механіки. Електрика і магнетизм. – К.: Либідь, 2001. – 448 с.
  5.  Кучерук І.М., Горбачук І.Т. Загальна фізика: у 3-х кн. Кн. 1. Фізичні основи механіки. Молекулярна ізика і термодинаміка. – К.: Вища шк., 1995. – 431 с.
  6.  Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. В 3-х томах. – М.: Наука, 1974.
  7.  Гершензон Е.М., Малов Н.Н. Курс общей физики. Механика. - М.: Просвещение, 1987. – 307 С.
  8.  Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. В 10-ти томах. – М.: Мир.
  9.  Киттель Ч., Найт У., Рудерман М. БКФ. Механика. - М.: Наука, 1975. – 480 С.
  10.  Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высш. шк.., 1989. – 608 с.
  11.  Иродов И.Е. Основы классической механики. – М.: Высш. шк.
  12.  Голдстейн Г. Классическая механика.

Факультет машинобудування

група 1ТТ

Лектор Степанчиков Д.М.

стор. 13 з 13

Рис. 6. 

Рис. 5. 

Рис. 4. 

Рис. 3. 

Рис. 2. 

Рис. 1. 

Рис.10.

Рис.9.

Рис.8.

Рис. 7. 

  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38136. Концептуальні засади соціального і гуманітарного забезпечення та виховної роботи в Збройних Силах України 188 KB
  Актуальність вивчення даної теми полягає в тому, що знання командиром (начальником) концептуальних засад гуманітарного та соціального забезпечення, змісту і основних напрямків соціальної і гуманітарної політики, основ морально-психологічного забезпечення, на сучасному етапі розвитку ЗС України виступає важливою передумовою ефективного навчання та виховання особового складу в підрозділі (частині).
38137. Організація морально-психологічного забезпечення окремих видів бойової підготовки підрозділів 157 KB
  Оголосити тему заняття, її актуальність та звязок з іншими темами, мету та навчальні питання, які будуть розглянуті. Особливу увагу на занятті необхідно звернути на те, що існує обєктивна потреба в оволодінні всім офіцерським складом загальними поняттями про психологію спілкування у військовому колективі, а також розкрити сутність, функції та структура спілкування,
38138. Організація заходів морально-психологічного забезпечення виконання миротворчих завдань 149 KB
  Географія міжнародних миротворчих операцій є практично необмеженою, оскільки жоден населений регіон світу не можна вважати абсолютно стабільним. Тому військові підрозділи, що призначаються для здійснення миротворчих операцій, мають бути готовими до дій у будь-яких географічних і кліматичних умовах. Водночас не викликає сумніву потреба диференційованої підготовки миротворчих підрозділів до дій в особливих умовах (наприклад, гірських або тропічних).
38139. Організація психологічної підготовки в збройних силах країн – членів НАТО 107.5 KB
  Організація моральнопсихологічного забезпечення Заняття №16: Організація психологічної підготовки в збройних силах країн – членів НАТО Час: 2 години Мета заняття: 1. У бундесвері концепцію виховного впливу формує цілий Апарат ідеологічної роботи збройних сил безпосередньо підпорядкований міністру оборони країни. На вищому рівні цим...