90912

Определение скорости звука в воздухе

Лабораторная работа

Физика

Определение скорости звука в воздухе Цель работы: Используя для определения скорости звука явление акустического резонанса воздушного столба когда частота вынужденных колебаний будет практически совпадать с собственной частотой воздушного столба определить скорость распространения звука в воздухе. Энергия гармонических колебаний. Разложение колебаний в гармонический спектр...

Русский

2015-07-10

1.44 MB

5 чел.

Задание для студентов по лабораторной работе №2.

« Определение скорости звука в воздухе»

Цель работы: Используя, для определения скорости звука явление акустического резонанса воздушного столба, когда частота вынужденных колебаний будет практически совпадать с собственной частотой воздушного столба, определить скорость распространения звука в воздухе.

Вопросы теории (исходный уровень):

Механические колебания: гармонические, затухающие, вынужденные. Резонанс. Автоколебания. Энергия гармонических колебаний. Разложение колебаний в гармонический спектр. Теорема Фурье. Применение гармонического анализа для обработки диагностических данных. Механическая волна их виды и скорость распространения. Уравнение волны .Энергетические характеристики волны., поток энергии волны, интенсивность (плотность потока энергии). Эффект Доплера и его применение для неинвазивного измерения скорости кровотока. ( Лекция №3)

Содержание занятия:

1.Выполнить работу по указаниям в руководстве к данной работе.

2.Оформить отчет.

3.Защитить работу с оценкой.

  1.  Решить задачи.

Задачи.

  1.  Дифференциальное уравнение гармонических колебаний имеет вид: . Найти период и частоту этих колебаний.
  2.  Тело массой m = 5 кг совершает гармонические колебания с амплитудой А = 4 см. Найти период колебаний, если максимальная кинетическая энергия колеблющегося тела Ек.макс = 0,98 Дж.
  3.  Логарифмический декремент затухания камертона,  колеблющегося с частотой   = 100 Гц, равен = 0,002. Через какой промежуток времени амплитуда колебаний камертона уменьшится в 100 раз?
  4.  Точка, находящаяся на расстоянии у = 0,5 м от источника колебаний, имеет в момент t = 1/3 T смещение, равное половине амплитуды. Найти длину волны, если при t = 0 смещение источника равно нулю.
  5.  Определить разность фаз в пульсовой волне между двумя точками артерии, расположенным на расстоянии  у = 20 см друг от друга. Скорость пульсовой волны считать равной = 10 м/с, а колебаний сердца – гармоническими с частотой = 1,2 Гц.
  6.  Разность хода звуковых волн, приходящих в левое и правое ухо человека, составляет 1 см. Определить сдвиг фаз между обоими звуковыми ощущениями для тона с частотой = 1000 Гц.

Лабораторная работа № 2

«Определение  скорости   звука  в воздухе и собственных частот воздушного столба»

Краткая теория. Звуковые волны характеризуются частотой v, длиной волны λ и скоростью распространения с. Между собой они связаны соотношением

c = .

Для определения скорости звука в большинстве случаев измеряют частоту звука и соответствующую длину волны. Для измерения длины волны можно воспользоваться явлением акустического резонанса. Пусть имеется труба, закрытая с одного конца. Если к отверстию трубы поднести источник звука, то в столбе воздуха, находящегося в трубе, возникнут колебания с частотой, создаваемой источником звука. Явление резонанса будет наблюдаться всякий раз, когда частота вынужденных колебаний будет практически совпадать с собственной частотой воздушного столба. Собственные же частоты колебаний воздушного столба определяются его длиной и скоростью распространения звука в воздухе. Теоретические расчеты показывают, что собственные частоты воздушного столба могут быть вычислены по следующей формуле:

  (1 )

где п = 1, 3, 5,...; L — длина воздушного столба; R — радиус воздушного столба, т. е. радиус трубы, в которой находится столб воздуха. Если радиус воздушного столба по сравнению с его длиной мал, т. е. R < L, то

Рис. 1

В случае резонанса на длине воздушного столба или, точнее, на длине L + 0,8R укладывается нечетное число четвертей волн (рис. I.):

При заданном значении частоты звуковых колебаний явление резонанса наблюдается при плавном изменении длины воздушного столба всякий раз, когда выполняется равенство (1). Наименьшая разность длин воздушных столбов, при которых наблюдается явление резонанса, равна половине длины волны. Именно это свойство и используется для измерения длины волны звуковых колебаний.

Рис. 1.2

Экспериментальная установка и методика измерений. Установка (рис. 2) состоит из стеклянного цилиндра (трубы), соединенного резиновой трубкой с резервуаром, наполненным водой. Поднимая или опуская резервуар, можно менять уровень воды в цилиндре и тем самым изменять длину воздушного столба. В качестве источника звука используется звуковой генератор cv телефоном. Звуковой генератор вырабатывает электромагнитные колебания звуковой частоты, которые телефоном преобразуются в механические. Звуковая волна, идущая от мембраны телефона, и волна, отраженная от поверхности воды, интерферируют в столбе воздуха над водой. Если высота столба воздуха такая, что в ней укладывается нечетное число четвертей волн, то в нем возникают стоячие волны с узлом на поверхности воды и с пучностью у открытого конца цилиндра. В этот момент воздушный столб в цилиндре звучит наиболее интенсивно, так как у открытого конца цилиндра лежит пучность смещений и скоростей частиц. Поэтому условия отдачи энергии в окружающее пространство в этом случае наивыгоднейшие. При изменении уровня воды в цилиндре звук ослабляется. Он вновь усиливается до максимума, когда уровень воды смещается на расстояние полуволны и в воздушном столбе опять укладывается нечетное число четвертей волн. Зная частоту колебаний мембраны и измерив длину полуволны как расстояние между двумя последовательными максимумами усиления звука, нетрудно вычислить скорость звука в воздухе.

Звуковой генератор вырабатывает электромагнитные колебания, частоты которых находятся в интервале частот слышимого звука (20—20000 гц).

Задание и изменение частоты производится ручкой, снабженной круглым лимбом, на котором нанесены деления от 20 до 200. Если ручка, под которой стоит подпись «частота», стоит в положении 1, то частота генерируемых колебаний равна значениям, нанесенным на лимбе. При постановке этой ручки в положение X 10 или X 100 значения частоты, указываемой на лимбе, увеличиваются соответственно в 10 или 100 раз. Регулировка громкости звука производится поворотом ручки, под которой имеется подпись «per. вых. напр.».

Задание. 1. Задайте определенную частоту звуковых колебаний в интервале 300—500 гц, измерьте длину волны и вычислите скорость распространения звука в воздухе.

                            , где L2,   L1 расстояния уровня воды при двух последующих резонансах звука в воздушном столбе.

Измерения повторите не менее чем для трех различных частот.

2. Найдите собственные частоты колебаний воздушного столба заданной длины, изменяя для этого частоту, задаваемую генератором. Сверьте полученные данные с рассчитанными по формуле


3. Найдите погрешности измерения скорости звука в воздухе и укажите возможные их причины.

Контрольные вопросы. 1. Как изменяется скорость звука в воздухе при изменении его температуры? 2. Что понимают под интенсивностью звука и от чего она зависит? 3. Чем объясняется «потеря полуволны» при отражении звука от воды в цилиндре установки? 4. Какие звуковые колебания называют основным тоном и какие называют гармоническими обертонами? 5. Каковы условия, необходимые для интерференции волн? 6. С какими волнами работали: продольными, поперечными, плоскими или сферическими?

Лекция 3.

Вопросы:

Механические колебания: гармонические, затухающие, вынужденные. Резонанс. Автоколебания. Энергия гармонических колебаний. Разложение колебаний в гармонический спектр. Применение гармонического анализа для обработки диагностических данных. Механические волны, их виды и скорость распространения. Уравнение волны. Энергетические характеристики волны. Эффект Доплера и его применение для неинвазивного измерения скорости кровотока.

Механические колебания и волны.

Повторяющиеся движения или изменения состояния называют колебаниями (переменный электрический ток, движение маятника, работа сердца и т. п.). Всем колебаниям, независимо от их природы, присущи некоторые общие закономерности. В зависимости от характера взаимодействия колеблющейся системы с окружающими телами различают колебания свободные, вынужденные и автоколебания. Колебания распространяются в среде в виде волн. В данной главе рассматриваются механические колебания и волны.

5.1. Свободные механические колебания (незатухающие и затухающие)

Свободными (собственными) колебаниями называют такие, которые совершаются без внешних воздействий за счет первоначально полученной телом энергии. Характерными моделями таких механических колебаний являются материальная точка на пружине (пружинный маятник) и материальная точка на нерастяжимой нити (математический маятник).

В этих примерах колебания возникают либо за счет первоначальной потенциальной энергии (отклонение материальной точки от положения равновесия и движение без начальной скорости), либо за счет кинетической (телу сообщается скорость в начальном положении равновесия), либо за счет и той и другой энергии (сообщение скорости телу, отклоненному от положения равновесия). Рассмотрим пружинный маятник. В положении равновесия (рис. 5.1, а) упругая сила  уравновешивает силу тяжести . Если оттянуть пружину на расстояние х (рис. 5.1, б), то на материальную точку будет действовать большая упругая сила. Изменение значения упругой силы (F), согласно закону Гука, пропорционально изменению длины пружины или смещению х точки:

F = -kx,       (5.1)

где k — коэффициент пропорциональности между силой и смещением, который в данном случае является жесткостью пружины; знак минус показывает, что сила всегда направлена в сторону положения равновесия: F < 0 при х > 0, F > 0 при х < 0.

Другой пример. Математический маятник (рис. 5.2) отклонен от положения равновесия на такой небольшой угол а, чтобы можно было считать траекторию движения материальной точки прямой линией, совпадающей с осью ОХ. При этом выполняется приближенное равенство:

      (5.2)

где х — смещение материальной точки относительно положения равновесия,  l — длина нити маятника.

На материальную точку (рис. 5.2) действуют сила натяжения нити  сила тяжести , модуль их равнодействующей равен

         (5.3)

где k — коэффициент пропорциональности между силой и смещением, который в данном случае равен

       (5.4)

Сравнивая (5.3) и (5.1), видим, что в этом примере равнодействующая сила подобна упругой, так как пропорциональна смещению материальной точки и направлена к положению равновесия. Такие силы, неупругие по природе, но аналогичные по свойствам силам, возникающим при малых деформациях упругих тел, называют квазиупругими.

На материальные точки, рассмотренные в этих примерах, кроме упругой и квазиупругой силы действует и сила сопротивления (трения), модуль которой обозначим Fc (на рисунках не показана).

Дифференциальное уравнение, описывающее движение материальной точки, получаем на основании второго закона Ньютона (произведение массы тела на его ускорение равно сумме всех действующих сил):

      (5.5)

Выражение для смещения материальной точки, которое получается из решения этого уравнения, рассмотрим для некоторых частных случаев.

Незатухающие колебания. Рассмотрим модель, в которой пренебрегают силой сопротивления (Fc = 0). Из (5.5) имеем: . Заменяя

       (5.6)

и преобразуя, получаем следующее дифференциальное уравнение второго порядка:

       (5.7)

Его решение, в чем можно убедиться подстановкой, приводит к гармоническому колебанию:

       (5.8)

где— фаза колебаний,    0  — начальная фаза (при t = 0),

0  —  круговая частота колебаний, А— их амплитуда.

Амплитуда и начальная фаза колебаний определяются начальными условиями движения, т. е. положением и скоростью материальной точки в момент t = 0.

Среди различных видов колебаний гармоническое колебание является наиболее простой формой.

Таким образом, материальная точка, подвешенная на пружине (пружинный маятник) или нити (математический маятник), совершает гармонические колебания, если не учитывать силы сопротивления.

При преобразовании дифференциального уравнения гармонического колебания величина была введена формально [см. (5.6)], однако она имеет важный физический смысл, так как определяет частоту колебаний   системы и показывает, от каких факторов (параметров) эта частота зависит: от жесткости пружины и массы в одном примере, длины нити и ускорения свободного падения в другом.

Период колебаний может быть найден из формулы

       (5.9)

Используя (5.6), получаем период колебаний пружинного маятника

       (5.10)

подставляя вместо k выражение (5.4), находим период колебаний математического маятника

       (5.11)

Очень удобно изображать гармонические колебания с помощью векторных диаграмм. Этот метод состоит в следующем. Из начала оси абсцисс проведем вектор  (рис.5.3), проекция которого на ось ОХ равна Acos . Если вектор  будет равномерно вращаться с угловой скоростью 0 против часовой стрелки, то где— начальное значение , и проекция вектора  на ось ОХ будет изменяться со временем по закону (5.8). В таком представлении амплитуда колебаний есть модуль равномерно вращающегося вектора , фаза колебаний — угол между вектором  и осью ОХ, начальная фаза — начальное значение этого угла, круговая частота колебаний — угловая скорость вращения вектора ,  смещение х колеблющейся точки — проекция вектора  на ось ОХ.

Чтобы найти скорость материальной точки при гармоническом колебании, нужно взять производную от выражения (5.8) по времени:

На основании тригонометрических формул преобразуем (5.12):

     (5.13)

Сравнивая (5.13) и (5.8), замечаем, что фаза скорости на больше фазы смещения,     т. е. скорость опережает по фазе смещение на

Продифференцировав (5.12), найдем ускорение:

    (5.14)

где— максимальное ускорение (амплитуда ускорения).

Вместо (5.14) запишем

      (5.15)

Из сравнения (5.15) и (5.8) следует, что фазы ускорения и смещения различаются на л, т. е. эти величины изменяются в противофазе. Графики зависимости смещения, скорости и ускорения от времени показаны на рис. 5.4, а их векторные диаграммы — на рис. 5.5.

Затухающие колебания. В реальном случае на колеблющееся тело действуют силы сопротивления (трения), характер движения изменяется, и колебание становится затухающим. Для того чтобы из уравнения (5.5) найти временную зависимость затухающего колебания, необходимо знать, от каких параметров и как зависит сила сопротивления. Обычно предполагают, что при не очень больших амплитудах и частотах эта сила пропорциональна скорости движения и, естественно, направлена противоположно скорости: , где r — коэффициент трения (сопротивления), характеризующий свойства среды оказывать сопротивление.

Применительно к одномерному движению последней формуле придадим следующий вид:

      (5.16)

Подставим выражение (5.16) в уравнение (5.5) и получим:

      (5.17)

Разделив обе части уравнения на т, запишем его в стандартной форме:

     (5.18)

После замены  и  получаем окончательную запись дифференциального уравнения свободных колебаний с учетом сил сопротивления:

     (5.19)

где - коэффициент затухания, 0 – круговая частота собственных колебаний системы (без затухания).

Решение (5.19) существенно зависит от знака разности , где - круговая частота затухающих колебаний. При 2 -  2  0 круговая частота является действительной величиной и решение уравнения (5.19) будет следующим:

     (5.20)

График этой функции показан на рис. 5.6 сплошной кривой 1; штриховой линией 2 изображено изменение амплитуды:

     (5.21)

где значение А0 приведено на рисунке.

Период затухающих колебаний зависит от коэффициента трения и определяется формулой:

     (5.22)    

При очень малом трениипериод затухающего колебания близок к периоду незатухающего свободного колебания:

Быстрота убывания амплитуды колебаний определяется коэффициентом затухания: чем сильнее тормозящее действие среды, тем больше и тем быстрее уменьшается амплитуда. На практике, однако, степень затухания часто характеризуют логарифмическим декрементом затухания, понимая под этим величину, равную натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, разделенных интервалом времени, равным периоду колебаний:

 

следовательно, коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания связаны достаточно простой зависимостью:

       (5.23)

Рис. 5.6       Рис. 5.7

При сильном затухании (2  2) из формулы (5.22) видно, что период колебания является мнимой величиной. Движение в этом случае уже не будет периодическим и называется апериодическим*.

Возможные апериодические движения представлены в виде графиков на рис. 5.7. Этот случай применительно к электрическим явлениям рассматривается в гл. 14.

* Заметим, что если некоторая физическая величина принимает мнимые значения, то это означает какую-то необычность, экстраординарность соответствующего явления. В рассмотренном примере экстраординарность заключается в том, что процесс перестает быть периодическим.

5.2. Кинетическая и потенциальная энергии колебательного движения

Кинетическую энергию материальной точки, колеблющейся по гармоническому закону, можно вычислить по известной формуле, используя выражение (5.12):

  (5.24)

Потенциальную  энергию  колебательного движения  найдем, исходя из общей формулы для потенциальной энергии упругой деформации и используя выражение (5.8):

     (5.25)

Суладывая кинетическую (5.24) и потенциальную (5.25) энергии, получаем полную механическую энергию материальной точки, колеблющейся по гармоническому закону:

  (5.26)

При отсутствии сил трения полная механическая энергия системы не изменяется:

     (5.27)

Графически зависимости кинетической, потенциальной и полной механической энергий колеблющейся системы от времени показаны на рис. 5.8.

5.3. Сложение гармонических колебаний

Материальная точка может одновременно участвовать в нескольких колебаниях. В этом случае, чтобы найти уравнение и траекторию результирующего движения, следует сложить колебания. Наиболее просто выполняется сложение гармонических колебаний. Рассмотрим две такие задачи.

Сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой. Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях, происходящих вдоль одной линии. Аналитически такие колебания выражаются следующими уравнениями:

Допустим, что частоты складываемых колебаний одинаковы тогда результирующее смещение точки

Выполним такое сложение с помощью векторной диаграммы. Изобразим положение векторов и  в начальный момент времени (рис. 5.9), углы между этими векторами и осью ОХ равны начальным фазам слагаемых колебаний 01 и 02. Вектор    — амплитуда результирующего колебания. Так как  и  вращаются с одинаковой угловой скоростью, то и сумма их — вектор  — будет вращаться с той же угловой скоростью, т. е. результирующее движение является гармоническим с круговой частотой

      (5.29)

Выразим амплитуду А этого колебания и начальную фазу 1 через заданные значения Применяя теорему косинусов к треугольнику, заштрихованному на рис. 5.9, получаем

Так как  –cos  = -cos [ - (02 - 01)] = cos (02 - 01), то

    (5.30)

Как видно из рис. 5.9, tg   равен отношению проекции   на ось OY к проекции  на ось ОХ, т. е. Аух. Учитывая, что проекция суммы равна сумме проекций, имеем

    (5.31)

Таким образом, поставленная задача решена: по формулам (5.30) и (5.31) можно найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Из выражения (5.30) вытекают следующие частные случаи:

 

и тогда  

 

т. е. амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд слагаемых колебаний, если разность начальных фаз равна четному числу (рис. 5.10, а);

тогда

т. е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд слагаемых колебаний, если разность начальных фаз равна нечетному числу (рис. 5.10, б). В частности, при A1 = A2 имеем А = О, т. е. колебания нет (рис. 5.10, в). Это достаточно очевидно: если материальная точка участвует одновременно в двух колебаниях, имеющих одинаковую амплитуду и совершающихся в противофазе, то точка неподвижна. Если частоты складываемых колебаний не одинаковы, то сложное колебание уже не будет гармоническим.

Интересен случай, когда частоты слагаемых колебаний мало отличаются друг от друга:

Результирующее колебание при этом подобно гармоническому, но с медленно изменяющейся амплитудой (амплитудная модуляция). Такие колебания называются биениями (рис. 5.11).

Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях: одно направлено вдоль оси ОХ, другое — вдоль оси OY. Колебания заданы следующими уравнениями:

      (5.34)

Допустим, что частоты колебаний одинаковы, т. е. тогда

    (5.35)

Уравнения (5.35) задают траекторию движения материальной точки в параметрической форме. Если в эти уравнения подставлять разные значения t, то можно определить координаты х и у, а совокупность координат и есть траектория. Более наглядно траекторию можно представить в виде зависимости у = f(x), для получения которой следует исключить время из уравнений (5.35). Произведя математические преобразования, получим уравнение эллипса:

   (5.36)

Таким образом, при одновременном участии в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях одинаковой частоты материальная точка движется по эллиптической траектории (рис. 5.12).

Из выражения (5.36) вытекают некоторые частные случаи:

Это каноническая форма уравнения эллипса, соответствующая симметричному расположению его относительно осей координат (рис. 5.13, а). Из (5.37) при А1 = А2 = R (рис. 5.13, б) получаем уравнение окружности радиусом R:

       (5.38)

тогда

     (5.39)

и после преобразований

    (5.40)     

Это уравнение прямой линии, в которую вырождается эллипс [рис. 5.14, а соответствует знаку « + » в уравнении (5.40); рис. 5.14, б— знаку «-»].

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний разных частот получаются различные траектории материальной точки, названные фигурами Лиссажу.

Вид фигур Лиссажу зависит как от соотношения амплитуд А1 и А2, так и от отношения частот 1/2 и разности начальных фаз 01 -  02 слагаемых колебаний (рис. 5.15):

5.4. Сложное колебание и его гармонический спектр

Как видно из § 5.3, сложение колебаний приводит к более сложным формам колебаний. Для практических целей бывает необходимой противоположная операция: разложение сложного колебания на простые, обычно гармонические, колебания.

Ж.. Фурье показал, что периодическая функция любой сложности может быть представлена в виде суммы гармонических функций, частоты которых кратны частоте сложной периодической функции.

Такое разложение периодической функции на гармонические составляющие и, следовательно, разложение различных периодических процессов (механические, электрические и т. п.) на гармонические колебания называется гармоническим анализом. Существуют математические выражения, которые позволяют найти составляющие гармонические функции. Автоматически гармонический анализ колебаний, в том числе и для целей медицины, осуществляется специальными приборами — анализаторами.

Совокупность гармонических колебаний, на которые разложено сложное колебание, называется гармоническим спектром сложного колебания.

Гармонический спектр удобно представить как набор частот (или круговых частот) отдельных гармоник совместно с соответствующими им амплитудами. Наиболее наглядно такое представление выполняется графически. В качестве примера на рис. 5.16, а изображены графики сложного колебания (кривая 4) и составляющих его гармонических колебаний (кривые /, 2 и 3); на рис. 5.16, б показан гармонический спектр, соответствующий этому примеру. 

Гармонический анализ позволяет достаточно детально описать и проанализировать любой сложный колебательный процесс, он находит применение в акустике, радиотехнике, электронике и других областях науки и техники.

5.5. Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденными колебаниями называются колебания, возникающие в системе при участии внешней силы, изменяющейся по периодическому закону.

Предположим, что на материальную точку, кроме квазиупругой силы и силы трения, действует внешняя вынуждающая сила

где F0 — амплитуда,— круговая частота колебаний вынуждающей силы. Составим дифференциальное уравнение (второй закон Ньютона):

или

     (5.41)

Решение дифференциального уравнения (5.41) является суммой двух слагаемых. Одно из них, соответствующее уравнению затухающих колебаний (5.20), играет роль только при установлении колебаний (см. рис. 5.6). Со временем им можно пренебречь. Другое слагаемое описывает смещение материальной точки в установившихся вынужденных колебаниях

    (5.42)

где

       

       (5.43)

         

         (5.44)

Как видно из (5.42), установившееся вынужденное колебание, происходящее под воздействием гармонически изменяющейся вынуждающей силы, тоже является гармоническим. Частота вынужденного колебания равна частоте вынуждающей силы. Вынужденные колебания, график которых представлен на рис. 5.17, сдвинуты по фазе относительно вынуждающей силы.

Амплитуда вынужденного колебания (5.43) прямо пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и имеет сложную зависимость от коэффициента затухания среды и круговых частот собственного и вынужденного колебаний. Если 0 и для системы заданы, то амплитуда вынужденных колебаний имеет максимальное значение при некоторой определенной частоте вынуждающей силы, называемой резонансной. Само явление — достижение максимальной амплитуды вынужденных колебаний для заданных 0 и — называют резонансом.

Резонансную круговую частоту можно найти из условия минимума знаменателя в (5.43):

     (5.45)

Подставив (5.45) в (5.43), находим амплитуду при резонансе:

     (5.46)

Из (5.46) видно, что при отсутствии сопротивления амплитуда вынужденных колебаний при резонансе неограниченно возрастает. При этом из (5.45) следует, что  , т. е. резонанс в системе без затухания наступает тогда, когда частота вынуждающей силы совпадает с частотой собственных колебаний. Графическая зависимость амплитуды вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы при разных значениях коэффициента затухания показана на рис. 5.18.

Механический резонанс может быть как полезным, так и вредным явлением. Вредное действие резонанса связано главным образом с разрушением, которое он может вызвать. Так, в технике, учитывая разные вибрации, необходимо предусматривать возможное возникновение резонансных условий, в противном случае могут быть разрушения и катастрофы. Тела обычно имеют несколько собственных частот колебаний и соответственно несколько резонансных частот.

Если бы коэффициент затухания внутренних органов человека был невелик, то резонансные явления, возникшие в этих органах под воздействием внешних вибраций или звуковых волн, могли бы привести к трагическим последствиям: разрыву органов, повреждению связок и т. п. Однако такие явления при умеренных внешних воздействиях практически не наблюдаются, так как коэффициент затухания биологических систем достаточно велик. Тем не менее резонансные явления при действии внешних механических колебаний происходят во внутренних органах. В этом, видимо, одна из причин отрицательного воздействия инфразвуковых колебаний и вибраций на организм человека (см. § 6.7 и 6.8).

5.6. Автоколебания

Как было показано в § 5.5, незатухающие колебания могут поддерживаться в системе даже при наличии сил сопротивления, если на систему периодически оказывается внешнее воздействие (вынужденные колебания). Это внешнее воздействие не зависит от самой колеблющейся системы, в то время как амплитуда и частота вынужденных колебаний зависят от этого внешнего воздействия.

Однако существуют и такие колебательные системы, которые сами регулируют периодическое восполнение растраченной энергии и поэтому могут колебаться длительное время.

Незатухающие колебания, существующие в какой-либо системе с затуханием при отсутствии переменного внешнего воздействия, называются автоколебаниями, а сами системы автоколебательными.

Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств самой автоколебательной системы, в отличие от вынужденных колебаний они не определяются внешними воздействиями.

Во многих случаях автоколебательные системы можно представить тремя основными элементами: 1) собственно колебательная система; 2) источник энергии; 3) регулятор поступления энергии в собственно колебательную систему. Колебательная система каналом обратной связи (рис. 5.19) воздействует на регулятор, информируя регулятор о состоянии этой системы.

 

 

 

Классическим примером механической автоколебательной системы являются часы, в которых маятник или баланс являются колебательной системой, пружина или поднятая гиря — источником энергии, а анкер — регулятором поступления энергии от источника в колебательную систему.

Многие биологические системы (сердце, легкие и др.) являются автоколебательными. Характерный пример электромагнитной автоколебательной системы — генераторы электромагнитных колебаний (см. гл. 18).

5.7. Уравнение механической волны

Механической волной называют механические возмущения, распространяющиеся в пространстве и несущие энергию.

Различают два основных вида механических волн: упругие волны (распространение упругих деформаций) и волны на поверхности жидкости.

Упругие волны возникают благодаря связям, существующим между частицами среды: перемещение одной частицы от положения равновесия приводит к перемещению соседних частиц. Этот процесс распространяется в пространстве с конечной скоростью.

Уравнение волны выражает зависимость смещения колеблющейся точки (s), участвующей в волновом процессе, от координаты ее равновесного положения и времени. Для волны, распространяющейся вдоль направления ОХ, эта зависимость записывается в общем виде:

Если s и х направлены вдоль одной прямой, то волна продольная, если они взаимно перпендикулярны, то волна поперечная.

Выведем уравнение плоской волны. Пусть волна распространяется вдоль оси ОХ (рис. 5.20) без затухания так, что амплитуды колебаний всех точек одинаковы и равны А. Зададим колебание точки с координатой х = 0 (источник колебаний) уравнением

До точки с некоторой произвольной координатой х возмущение от начала координат дойдет через время  , поэтому колебания этой точки запаздывают:

     (5.47)

Так как время и скорость распространения волны связаны зависимостью   то вместо (5.47) получаем

    (5.48)

Это и есть уравнение плоской волны, которое позволяет определить смещение любой точки, участвующей в волновом процессе, в любой момент времени. Аргумент при косинусе = (t - x/) называют фазой волны. Множество точек, имеющих одновременно одинаковую фазу, называют фронтом волны. Для рассмотренного случая фронтом волны будет плоскость          х = const (плоскость, перпендикулярная оси ОХ), всем точкам которой соответствует одновременно одинаковая фаза. Отсюда и название — плоская волна.

Скорость распространения фиксированной фазы колебаний называют фазовой. Предположим, что Продифференцировав это равенство, получим  откуда

Следовательно, скорость распространения фиксированной фазы колебаний и есть скорость распространения волны.

Кроме фазовой скорости различают еще групповую скорость, которую вводят тогда, когда реальная волна не может быть представлена одним гармоническим уравнением (5.48), а является суммой группы синусоидальных волн.

Длиной волны называют расстояние между двумя точками, фазы которых в один и тот же момент времени отличаются на 2. Она равна расстоянию, пройденному волной за период колебания:

      (5.49)

Уравнение волны (5.48) — одно из возможных решений общего дифференциального уравнения с частными производными, описывающего процесс распространения возмущения в среде. Такое уравнение называют волновым. Чтобы иметь представление о волновом уравнении, продифференцируем (5.48) дважды по времени t и дважды по координате х:.

   

   (5.50)

   (5.51)

 

Сравнивая вторые производные в (5.50) и (5.51), получаем одномерное волновое уравнение

     (5.52) 

Решение уравнений с частными производными выходит за пределы данного курса. Одно из решений (5.48) известно. Однако важно отметить следующее. Если изменение какой-либо физической величины: механической, тепловой, электрической, магнитной и т. д. — отвечает уравнению (5.52), то это означает, что соответствующая физическая величина распространяется в виде волны со скоростью .

5.8. Поток энергии и интенсивность волны

Волновой процесс связан с распространением энергии. Количественной характеристикой перенесенной энергии является поток энергии.

Поток энергии волн (Ф) характеризуется средней энергией, переносимой волнами в единицу времени через некоторую поверхность. Усреднение должно быть сделано за время, значительно большее периода колебаний.

Единицей потока энергии волн является ватт (Вт).

Найдем связь потока энергии волн с энергией колеблющихся точек и скоростью распространения волны.

Выделим объем среды, в которой распространяется волна, в виде       прямоугольного параллелепипеда (рис. 5.21); площадь его основания S, а длина ребра численно равна скорости  и совпадает с направлением распространения волны. В соответствии с этим за 1с сквозь площадку S пройдет та энергия, которой обладают колеблющиеся частицы в объеме параллелепипеда Sv. Это и есть поток энергии волн:

           (5.53)

гдесредняя объемная плотность энергии колебательного движения (среднее значение энергии колебательного движения частиц, участвующих в волновом процессе и расположенных в  1 м3).

Поток энергии волн, отнесенный к площади, ориентированной перпендикулярно направлению распространения волн, называют плотностью потока энергии волн, или интенсивностью волн:

     (5.54)

Единицей плотности потока энергии волн является ватт на квадратный метр (Вт/м2).

Энергия, переносимая упругой волной, складывается из потенциальной энергии деформации и кинетической энергии колеблющихся частиц. Приведем без вывода выражение для средней объемной плотности энергии волн:

      (5.55)

где А — амплитуда колебаний точек среды, — плотность. Подставляя (5.55) в (5.54), имеем

Таким образом, плотность потока энергии упругих волн пропорциональна плотности среды, квадрату амплитуды колебаний частиц, квадрату частоты колебаний и скорости распространения волны.

5.9. Ударные волны

Один из распространенных примеров механической волны — звуковая волна (см. гл. 6). В этом случае максимальная скорость колебаний отдельной молекулы воздуха составляет несколько сантиметров в секунду даже для достаточно большой интенсивности, т. е. значительно меньше скорости распространения волны (скорость звука в воздухе около 300 м/с). Это соответствует, как принято говорить, малым возмущениям среды.

Однако при больших возмущениях (взрыв, сверхзвуковое движение тел, мощный электрический разряд и т. п.) скорость колеблющихся частиц среды может уже стать сравнимой со скоростью звука, возникает ударная волна.

При взрыве высоконагретые продукты, обладающие большой плотностью, расширяются и сжимают слои окружающего воздуха. С течением времени объем сжатого воздуха возрастает. Тонкую переходную область, которая отделяет сжатый воздух от невозмущенного, в физике называют ударной волной. Схематично скачок плотности газа при распространении в нем ударной волны показан на рис. 5.22, а. Для сравнения на этом же рисунке показано изменение плотности среды при прохождении звуковой волны (рис. 5.22, б).

Ударная волна может обладать значительной энергией, так, при ядерном взрыве на образование ударной волны в окружающей среде затрачивается около 50% энергии взрыва. Поэтому ударная волна, достигая биологических и технических объектов, способна причинить смерть, увечья и разрушения.

5.10. Эффект Доплера

Эффектом Доплера называют изменение частоты, волн, воспринимаемых наблюдателем (приемником волн), вследствие относительного движения источника волн и наблюдателя.

Представим себе, что наблюдатель приближается со скоростью н к неподвижному относительно среды источнику волн. При этом он встречает за один и тот же интервал времени больше волн, чем при отсутствии движения. Это означает, что воспринимаемая частота  больше частоты волны, испускаемой источником. Но так как длина волны, частота и скорость распространения волны связаны соотношениемили с учетом  

     (5.57)

Другой случай: источник волн И движется со скоростью и к неподвижному относительно среды наблюдателю (рис. 5.23, а). Так как источник движется вслед за испускаемой волной, то длина волны будет меньше, чем при неподвижном источнике. В самом деле, длина волны равна расстоянию между двумя точками с разностью фаз 2. За время Т, равное одному периоду, волна распространится на расстояние . (рис. 5.23, б), источник волн переместится на расстояние АВ = иТ. Фазы точек В и С при этом различаются на 2; следовательно, расстояние между ними равно длине волны ', образуемой при движении источника излучения. Используя рис. 5.23 и зная, что ,

выполним некоторые вычисления:

     (5.58) 

В этом случае наблюдатель воспринимает волну, частота колебаний которой

       (5.59)

При одновременном движении друг к другу наблюдателя и источника формула для воспринимаемой частоты получается подстановкой в формулу (5.59)  [см. (5.57)] вместо :

     (5.60)

Как видно из (5.60), при сближении источника волн и наблюдателя воспринимается частота больше испускаемой. Изменив знаки у н и и в (5.60), можно получить аналогичную формулу при удалении источника от наблюдателя (приемника). Таким образом, можно записать общую формулу

     (5.61)

где «верхние» знаки в формуле относятся к сближению источника и приемника волн, а «нижние» — соответственно к удалению.

Эффект Доплера можно использовать для определения скорости движения тела в среде. Для медицинских применений это имеет особое значение. Рассмотрим подробнее такой случай.

Пусть генератор ультразвука совмещен с приемником в виде некоторой технической системы (рис. 5.24). Техническая система неподвижна относительно среды. В среде со скоростью 0 движется объект (тело). Генератор излучает ультразвук с частотой г. Движущимся объектом, как наблюдателем, воспринимается частота 1, которая может быть найдена по формуле (5.57):

    (5.62) 

где v — скорость распространения механической волны (ультразвука).

Ультразвуковая волна с частотой 1 отражается движущимся объектом в сторону технической системы. Приемник воспринимает уже другую частоту (эффект Доплера), которую можно выразить, используя формулу (5.59)

, или с учетом (5.62)

         (5.63)

Таким образом, разница частот равна

  (5.64)

и называется доплеровским сдвигом частоты.

В медицинских приложениях скорость ультразвука значительно больше скорости движения объекта (  0). Для этих случаев из (5.64) имеем

Эффект Доплера используется для определения скорости кровотока (см. § 9.5), скорости движения клапанов и стенок сердца (доплеровская эхокардиография) и других органов.

Обратная связь

Источник энергии

Регулятор

Колебательная система

Рис. 5.19

х = 0

Рис. 5.20


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15056. Қазақ әдебиетіндегі терме жанрының қалыптасуы мен дамуы 77.5 KB
  ҚАЗАҚ ӘДЕБИЕТІНДЕГІ ТЕРМЕ ЖАНРЫНЫҢ ҚАЛЫПТАСУЫ МЕН ДАМУЫ М.Т. Мұқашева №8 Төле би атындағы гимназия Тараз қ. Қазақы сөз арнау дәстүрі түрлі жанрлық тақырыптық сипатымен өзге түрік халықтарына қарағанда өте бай. Ең бастысы байырғы рухан
15057. Қазақ әдебиетінің ежелгі дәуірі, көне Түркі ескерткіштері 83 KB
  Қазақ әдебиетінің ежелгі дәуірі: көне Түркі ескерткіштері Ежелгі дәуір әдебиет VIIXIV ғғ. деп аталатын жеті ғасырды қамтыған әдебиетіміздің ұзақ тарихына қатысты ескерткіштер шығармалар аз емес. Олардың алғашқылары деп түркі рутайпаларына ортақ Орхон ескерткішт...
15058. Қазақ әдебитеті пәні бойынша ҰБТ-ге дайындаудың тиімді жолдары 116.5 KB
  ҚАЗАҚ ТІЛІ МЕН ӘДЕБИЕТ ПӘНІ БОЙЫНША ОҚУШЫЛАРДЫ БІРІҢҒАЙ ҰЛТТЫҚ ТЕСТІЛЕУГЕ ДАЙЫНДАУДЫҢ ТИІМДІ ЖОЛДАРЫ Манабаева Гүлбайрам Рахымқызы қазақ тілі мен әдебиеті пәнінің мұғалімі №35 жалпы орта білім беру мектебі Қазақ әдебиетінде өзіндік айтулы із қалдырған белгі
15059. Қазақ мақал-мәтелдерінің гендерлік сипаты 44 KB
  УДК 4Ф Б 76 ҚАЗАҚ МАҚАЛМӘТЕЛДЕРІНІҢ ГЕНДЕРЛІК СИПАТЫ М.Б. Боранбай Қ. Жұбанов атындағы Ақтөбе мемлекеттік университеті Ақтөбе қ. Қазақ халқы рухани дүниеге қазынаға бай халық. Оның қай түрін алсақ та тәлімтәрбиесі мол ұрпақтанұрпаққа қалдырған өcие
15060. Қазақ поэзиясындағы домбыра бейнесі 77.5 KB
  ТІРКЕУ ФОРМАСЫ 1. Тегі аты жөні: Абсаттарова Айдана Рамазанқызы 2. Мекеме лауазымы: Ы.Алтынсарин атындағы дарынды балаларға арналған мамандандырылған обл...
15061. Қазақ поэзиясындағы жыраулық дәстүр 432.5 KB
  Қазақ поэзиясындағы жыраулық дәстүр Ордада ханның қасында әр уақытта ақылшы жыраулар болған. Жыраулар халық поэзиясын жасаған ақылғөй даналар. Олар заманының өздері куә болған елеулі уақиғаларын тарихи кезеңдерді жырға қосқан... Жыраулар поэзиясына дейінгі әдеби...
15062. Қазақ фольклорындағы тарихи өлеңдер 186 KB
  ӘОЖ 398. 574 821.512.122 Қолжазба құқығында Ахметжанова Жанар Балтабекқызы Қазақ фольклорындағы тарихи өлеңдер 10.01.09 – Фольклортану Филология ғылымдарының кандидаты ғылыми дәрежесін алу үшін дайындалған дис
15063. Қазақ фольклорының тарихы және оның зерттелуі 57.5 KB
  Қазақ фольклорының тарихы және оның зерттелуі Қазақ фольклорының тарихы деген ұғым мен зерттеу дәл өз мағынасында осы уақытқа дейін арнайы түрде күн мәселесіне қойылған емес. Оның бірнеше себебі болды. Біріншіден ғылымда фольклорды жеке көркем жүйесі бар көп өзін...
15064. Қазақтың батырлар жыры туралы 46.5 KB
  Ерлер мен пірлер: Төрт батырға тағы бір үңілгенде Күні кешеге дейін кезкелген дерлік қазақ азаматы баласының батыр болғанын қалап тілеп келді. Тіпті Кеңестің тұсында да балам өскенде бай болсыншы деген атаана некенсаяқ болған шығар. Әрине ешкім ұлқызының мұқ...