90945

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Лекция

Математика и математический анализ

Если в некотором интервале содержащем точку при любом выполняется неравенство где положительная постоянная то и функция разложима в ряд Тейлора.

Русский

2015-07-11

709 KB

15 чел.

 Лекция 57

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

    Всякая функция, бесконечно дифференцируемая в интервале , т.е. , может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней бесконечный степенной ряд Тейлора

          ,

если в этом интервале выполняется условие , где  - остаточный член формулы Тейлора, .

    При  получаем так называемый ряд Маклорена:                                     .

    Если в некотором интервале, содержащем точку , при любом  выполняется неравенство , где - положительная постоянная, то  и функция  разложима в ряд Тейлора.

    Приведем разложения в ряд Тейлора следующих функций:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) биномиальный ряд:

          .

    Это последнее разложение применимо в следующих случаях:

                  при                         если  

                  при                 если  

                  при                        если   .

    В общем случае разложение функций в степенные ряды основано на использовании рядов Тейлора или Маклорена. На практике степенные ряды многих функций можно найти формально, используя ряды (1-8) или формулу для суммы членов геометрической прогрессии. Иногда при разложении полезно пользоваться почленным дифференцированием или интегрированием рядов. В интервале сходимости ряды сходятся к соответствующим функциям.

    1.Разложить по степеням разности  функцию .

    Решение. Для того, чтобы воспользоваться формулой Тейлора при , найдем:

и т.д.

Следовательно,

    2.Разложить  в ряд по степеням .

    Решение. Воспользуемся равенством . Правую часть этого равенства можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом  и знаменателем . Отсюда получаем

          ,   т.е.

          .

    Так как , то

    3. Разложить в ряд Маклорена функцию

    Решение. Разложим данную функцию на сумму простейших рациональных дробей:

                        

Поскольку то

                          

Так как ряд  сходится при , а ряд сходится при , то ряд сходится к данной функции при .

    4.Разложить в степенной ряд функцию .

    Решение. Найдем значения функции и ее производных при

                     

                    

    Так как , то при фиксированном  имеет место неравенство  при любом . Следовательно, функция может быть представлена в виде суммы ряда Тейлора:

                     .

    В данном случае                                      

     

    Это разложение можно получить и иначе: достаточно в разложении  заменить  на .

    5. Разложить в степенной ряд функцию .

    Решение. В разложении

              

заменяем на , получаем

             .

    6. Разложить  в ряд по степеням .

    Решение. В разложении  

             

заменяем  на , получаем

                           

         .

    7. Разложить в степенной ряд функцию .

    Решение. Заметим, что .Рассмотрим ряд                     

        .

Данный ряд сходится при , значит, его можно почленно интегрировать на любом отрезке . Следовательно,

             , т.е  получили ряд, сходящийся к данной функции при

8. Разложить по степеням   многочлен

    Ответ:

9. Разложить по степеням  функцию   и найти область сходимости полученного ряда.

    Ответ:

10. Разложить по степеням  функцию  и найти область сходимости этого ряда.

    Ответ:

11. Разложить по степеням  функцию . Найти область сходимости этого ряда.

    Ответ   

    Разложить в ряд Маклорена функцию . Указать область сходимости полученного ряда к этой функции.   

12. .            Ответ:         

13.          Ответ:  .   

14. .           Ответ:      .

15.  .            Ответ:          

16.                Ответ:    .        

17. .                Ответ:    .

18.          Ответ:

19.  .         Ответ: .

6.16. Применение степенных рядов в приближённых вычислениях

    Вычисление значений функции. Пусть дан степенной ряд функции. Задача вычисления значения этой функции заключается в отыскании суммы ряда при заданном значении аргумента. Ограничиваясь определенным числом членов ряда, находим значение функции с точностью, которую можно установить путем оценивания остатка числового ряда либо остаточного члена  формул Тейлора или Маклорена. Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. В случае знакочередующегося ряда используется оценка, где    - первый из отброшенных членов ряда.   

Пример 1. Вычислить с точностью  до 0,0001  значение ln1,1.

Решение.

Для вычисления приближённых значений функции с заданной точностью удобно пользоваться рядами в том случае, когда соответствующий ряд является знакочередующимся; для знакочередующегося сходящегося ряда легко оценить погрешность приближённого значения суммы – она меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов.

  1.  Возьмём ряд для функции ln(1+x):

  ,

Который сходится к ln(1+x) в интервале (-1,1], и, полагая, x=0,1 , получим ряд для вычисления ln1,1 с любой точностью.

Абсолютное значение четвёртого члена этого ряда меньше 0,0001. Поэтому, согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда, для вычисления приближённого значения ln1,1 с точностью до 0,0001 достаточно взять сумму трёх первых членов ряда

.

Точность: 0,001.

В прикладных задачах важна оценка погрешности приближения.

Определение: Точность вычисления не превышает первого из отброшенных элементов ряда.  

 

    1.Оценить погрешность приближенного равенства

                              

    Решение. Погрешность этого приближенного равенства определяется суммой членов, следующих после  в разложении :

                   ,        

или

            

    Заменив каждый из сомножителей ,… меньшей величиной , получим неравенство   

    Просуммируем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, получим:

                               , т.е.      

    2.Вычислить  с точностью до 0,00001.   

    Решение. Используя разложение  в ряд, получаем

           .   

    Определим число  так, чтобы погрешность приближенного равенства

         

не превышала 0,00001. Воспользуемся оценкой погрешности, данной в предыдущем примере. Полагаем , тогда:

   т.е. .

    Путем подбора определим, при каком значении  будет выполняться неравенство . Пусть , тогда , т.е. . Пусть , тогда , т.е. . Принимаем .                                       .

Вычисляем каждое слагаемое с точностью до 0,000001, для того чтобы при суммировании не получить погрешность, превышающую 0,00001. Окончательно получаем .

    3. Вычислить  с точностью до 0,00001.

    Решение. Имеем

           .

Получен знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям сходимости признака Лейбница, поэтому допускаемая погрешность по абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных членов ряда. Нетрудно видеть, что , поэтому первый из отброшенных членов равен  и   . Вычисляем сумму и получаем   .

    4. Пользуясь разложением  в ряд, вычислить  с точностью до 0,0001 .

    Решение. .

Достаточно взять три члена ряда, так как  Тогда

         

    5. Вычислить  с точностью до 0,0001.

    Решение. Воспользуемся разложением  в ряд, полагая . Имеем

   

                                  

                  .

    Четвертый и следующие за ним члены отбрасываем, так как четвертый член меньше 0,0001. Итак

    6. Вычислить  с точностью до 0,001.

    Решение. Так как  является ближайшим к числу 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде суммы двух слагаемых: . Тогда

        

   Четвертый член меньше , поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить. Итак, , т.е. .

    7. Вычислить с точностью до 0,0001.

    Решение. Воспользуемся разложением  в ряд:

                            ,

или , откуда  

    Вычислить указанную величину приближенно с заданной степенью точности , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции.

8..    Ответ: 3,017.

9.    Ответ: 0,340.

10..   Ответ: 0,84147.            

11. .     Ответ: 1,3956.

12. , .    Ответ: 1,140.                  

13.       Ответ: 0,302.

14.   Ответ: 0,464.                

15.      Ответ: 1,0986.

16.,     Ответ: 0,999.                   

17.         Ответ: 0,3679.

    Вычисление интегралов. Так как степенные ряды сходятся равномерно на любом отрезке, лежащем внутри их интервала сходимости, то с помощью разложений функций в степенные ряды можно находить неопределенные интегралы в виде степенных рядов и приближенно вычислять соответствующие определенные интегралы.

    18. Вычислить с точностью

    Решение. Воспользуемся разложением  . Заменив в нем  на   , получим ряд  .

    Данный ряд сходится на всей числовой прямой, поэтому его можно всюду почленно интегрировать. Следовательно,

              

                

      

,

поскольку уже третий член полученного знакочередующегося ряда меньше

    19. Найти интеграл в виде степенного ряда и указать область его сходимости.

    Решение. Воспользуемся разложением , получим ряд для подынтегральной функции

                                                

               .

Он сходится на всей числовой прямой, и, следовательно, его можно почленно интегрировать:

 .

    Поскольку при интегрировании степенного ряда его интервал сходимости не изменяется, то полученный ряд сходится также на всей числовой прямой.

    Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до .

20. . Ответ: 0,070.                  

21. . Ответ: 0,223.

               

22. . Ответ: 0,162.                       

23. . Ответ: 0,480.

24. . Ответ: 0,054.                            

25. . Ответ: 0,484.

26. . Ответ: 0,487.                           

27. . Ответ: 0,156.

28. . Ответ: 0,059.                          

29.  Ответ: 0,103.

   Приближенное решение дифференциальных уравнений.

В случае, когда точно проинтегрировать дифференциальное уравнение с помощью элементарных функций не удается, его решение удобно искать в виде степенного ряда, например ряда Тейлора или Маклорена.

    При решении задачи Коши , используется ряд Тейлора , где, а остальные производные находятся путем последовательного дифференцирования уравнения      и подстановки начальных данных в выражения для этих производных.

    Решение задачи Коши для дифференциального уравнения можно также искать в виде разложения в степенной ряд

               

с неопределенными коэффициентами.

    30. Найти пять первых членов разложения в степенной ряд решения, если .

    Решение. Из данного уравнения находим, что. Дифференцируем исходное уравнение:

                                

                        

                      

и т.д. Подставляя найденные значения производных в ряд Тейлора, получаем

                .                

    31.Найти шесть первых членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям .        

    Решение. Подставим в уравнение начальные условия, получим:

                               

Дифференцируя исходное уравнение, последовательно находим:

               

     

      

Подставляя найденные значения производных в ряд Маклорена, получаем  

     .

    32.Используя ряд

        ,

записать четыре первых ненулевых члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши

    Решение. В ряде

          

полагаем , с учетом начального условия находим, что . Продифференцируем ряд   

       и подставим полученную производную, а также в виде ряда в данное дифференциальное уравнение. Тогда

        

                 +

Теперь в правой и левой частях последнего равенства приравняем коэффициенты при одинаковых степенях разности    (т.е. при . Получаем уравнения:

                   

из которых, учитывая, что , находим:

                   

    Следовательно, искомое разложение решения имеет вид

            .

    Найти разложение в степенной ряд по степеням  решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения

33.  Ответ: .

34.  Ответ: .

35.  Ответ: .

36.  Ответ: .

37.  Ответ: .

    Методом последовательного дифференцирования найти первые  членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях.

38. Ответ: .

39.  Ответ: .

40.

 Ответ: .

41. Ответ: .

42.  

Ответ: .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69677. ІНСТРУКЦІЯ SWITCH-CASE (КОНСТРУКЦІЯ ВИБОРУ) 52 KB
  Нами залишилася непоміченій дуже важлива конструкція — switch-case. Дана конструкція призначена для вибору дій, залежно від значення вказаного виразу. Конструкція switch-case чимось нагадує оператора if-else, який, по суті, є її аналогом.
69678. ОБРОБКА ПОМИЛОК 24 KB
  Інтерпретатор PHP дозволяє програмістові визначити, які повідомлення про помилки потрібно виводити, а які — ні. Поки ви відладжуєте програму, я рекомендую виводити всі повідомлення про помилки і всі попередження, а потім, коли програма нормально працює, виводити тільки повідомлення про помилки.
69679. ГІПЕРТЕКСТОВІ ПОСИЛАННЯ 119 KB
  Гіпертекстове посилання складається з двох частин: вказівника і адресної частини (URL). Вказівник - текст (або графічне зображення), на якому користувач повинен клацнути для того, щоб перейти в інше місце. URL - вказує адресу, з якої броузер буде завантажувати документ...
69680. ТЕГ TEXTAREA 113 KB
  Ми переходимо до розгляду багаторядкового поля введення. У HTML ця можливість реалізується за допомогою тега TEXTAREA. Поле, що створюється цим тегом, дозволяє вводити і відправляти не один рядок, а відразу декілька.
69681. Графіка Web-сторінок 101.5 KB
  Графіка Web-сторінок може містити як прості зображення, так і складні. Важливим у використанні графіки є не міра її складності, а ефективність у питаннях передавання тієї інформації, яку необхідно надати користувачам.
69682. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ МОВИ HTML 33.5 KB
  HTML (Hypertext Markup Language — Мова гіпертекстової розмітки) — це мова опису структури сторінок документів, яка дозволяє звичайний текст форматувати в абзаци, заголовки, списки та інші структури, створювати посилання на інші сторінки.
69683. РНР-СЦЕНАРІЇ В ТІЛІ HTML-ДОКУМЕНТІВ 28.5 KB
  Ми тільки що розглянули структуру РНР-програми, і можна було б перейти до розгляду змінних. Проте РНР-сценарії можна записувати і по-іншому. Щоб ви зайвий раз не перегортали книгу, нагадаю текст сценарію first.php:...
69684. КОНСТАНТИ 36 KB
  Константи містять постійні значення. На відміну від змінних, ви не можете змінити значення константи, яке було їй привласнено при її оголошенні. Константи зручно використовувати для зберігання значень, які не повинні змінювати під час роботи програми, наприклад, ім’я розробника програми.
69685. ТЕХНОЛОГІЯ СТВОРЕННЯ HTML-ДОКУМЕНТА 49.5 KB
  Створення HTML-документа відбувається розташуванням тегів (tags) мови HTML всередині звичайного неформатованого тексту. Теги HTML — це послідовності символів, які починаються знаком «менше» і закінчуються знаком «більше». Теги можуть мати атрибути, які, в свою чергу, можуть приймати певні значення.