90945

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Лекция

Математика и математический анализ

Если в некотором интервале содержащем точку при любом выполняется неравенство где положительная постоянная то и функция разложима в ряд Тейлора.

Русский

2015-07-11

709 KB

17 чел.

 Лекция 57

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

    Всякая функция, бесконечно дифференцируемая в интервале , т.е. , может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней бесконечный степенной ряд Тейлора

          ,

если в этом интервале выполняется условие , где  - остаточный член формулы Тейлора, .

    При  получаем так называемый ряд Маклорена:                                     .

    Если в некотором интервале, содержащем точку , при любом  выполняется неравенство , где - положительная постоянная, то  и функция  разложима в ряд Тейлора.

    Приведем разложения в ряд Тейлора следующих функций:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) биномиальный ряд:

          .

    Это последнее разложение применимо в следующих случаях:

                  при                         если  

                  при                 если  

                  при                        если   .

    В общем случае разложение функций в степенные ряды основано на использовании рядов Тейлора или Маклорена. На практике степенные ряды многих функций можно найти формально, используя ряды (1-8) или формулу для суммы членов геометрической прогрессии. Иногда при разложении полезно пользоваться почленным дифференцированием или интегрированием рядов. В интервале сходимости ряды сходятся к соответствующим функциям.

    1.Разложить по степеням разности  функцию .

    Решение. Для того, чтобы воспользоваться формулой Тейлора при , найдем:

и т.д.

Следовательно,

    2.Разложить  в ряд по степеням .

    Решение. Воспользуемся равенством . Правую часть этого равенства можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом  и знаменателем . Отсюда получаем

          ,   т.е.

          .

    Так как , то

    3. Разложить в ряд Маклорена функцию

    Решение. Разложим данную функцию на сумму простейших рациональных дробей:

                        

Поскольку то

                          

Так как ряд  сходится при , а ряд сходится при , то ряд сходится к данной функции при .

    4.Разложить в степенной ряд функцию .

    Решение. Найдем значения функции и ее производных при

                     

                    

    Так как , то при фиксированном  имеет место неравенство  при любом . Следовательно, функция может быть представлена в виде суммы ряда Тейлора:

                     .

    В данном случае                                      

     

    Это разложение можно получить и иначе: достаточно в разложении  заменить  на .

    5. Разложить в степенной ряд функцию .

    Решение. В разложении

              

заменяем на , получаем

             .

    6. Разложить  в ряд по степеням .

    Решение. В разложении  

             

заменяем  на , получаем

                           

         .

    7. Разложить в степенной ряд функцию .

    Решение. Заметим, что .Рассмотрим ряд                     

        .

Данный ряд сходится при , значит, его можно почленно интегрировать на любом отрезке . Следовательно,

             , т.е  получили ряд, сходящийся к данной функции при

8. Разложить по степеням   многочлен

    Ответ:

9. Разложить по степеням  функцию   и найти область сходимости полученного ряда.

    Ответ:

10. Разложить по степеням  функцию  и найти область сходимости этого ряда.

    Ответ:

11. Разложить по степеням  функцию . Найти область сходимости этого ряда.

    Ответ   

    Разложить в ряд Маклорена функцию . Указать область сходимости полученного ряда к этой функции.   

12. .            Ответ:         

13.          Ответ:  .   

14. .           Ответ:      .

15.  .            Ответ:          

16.                Ответ:    .        

17. .                Ответ:    .

18.          Ответ:

19.  .         Ответ: .

6.16. Применение степенных рядов в приближённых вычислениях

    Вычисление значений функции. Пусть дан степенной ряд функции. Задача вычисления значения этой функции заключается в отыскании суммы ряда при заданном значении аргумента. Ограничиваясь определенным числом членов ряда, находим значение функции с точностью, которую можно установить путем оценивания остатка числового ряда либо остаточного члена  формул Тейлора или Маклорена. Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. В случае знакочередующегося ряда используется оценка, где    - первый из отброшенных членов ряда.   

Пример 1. Вычислить с точностью  до 0,0001  значение ln1,1.

Решение.

Для вычисления приближённых значений функции с заданной точностью удобно пользоваться рядами в том случае, когда соответствующий ряд является знакочередующимся; для знакочередующегося сходящегося ряда легко оценить погрешность приближённого значения суммы – она меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов.

  1.  Возьмём ряд для функции ln(1+x):

  ,

Который сходится к ln(1+x) в интервале (-1,1], и, полагая, x=0,1 , получим ряд для вычисления ln1,1 с любой точностью.

Абсолютное значение четвёртого члена этого ряда меньше 0,0001. Поэтому, согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда, для вычисления приближённого значения ln1,1 с точностью до 0,0001 достаточно взять сумму трёх первых членов ряда

.

Точность: 0,001.

В прикладных задачах важна оценка погрешности приближения.

Определение: Точность вычисления не превышает первого из отброшенных элементов ряда.  

 

    1.Оценить погрешность приближенного равенства

                              

    Решение. Погрешность этого приближенного равенства определяется суммой членов, следующих после  в разложении :

                   ,        

или

            

    Заменив каждый из сомножителей ,… меньшей величиной , получим неравенство   

    Просуммируем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, получим:

                               , т.е.      

    2.Вычислить  с точностью до 0,00001.   

    Решение. Используя разложение  в ряд, получаем

           .   

    Определим число  так, чтобы погрешность приближенного равенства

         

не превышала 0,00001. Воспользуемся оценкой погрешности, данной в предыдущем примере. Полагаем , тогда:

   т.е. .

    Путем подбора определим, при каком значении  будет выполняться неравенство . Пусть , тогда , т.е. . Пусть , тогда , т.е. . Принимаем .                                       .

Вычисляем каждое слагаемое с точностью до 0,000001, для того чтобы при суммировании не получить погрешность, превышающую 0,00001. Окончательно получаем .

    3. Вычислить  с точностью до 0,00001.

    Решение. Имеем

           .

Получен знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям сходимости признака Лейбница, поэтому допускаемая погрешность по абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных членов ряда. Нетрудно видеть, что , поэтому первый из отброшенных членов равен  и   . Вычисляем сумму и получаем   .

    4. Пользуясь разложением  в ряд, вычислить  с точностью до 0,0001 .

    Решение. .

Достаточно взять три члена ряда, так как  Тогда

         

    5. Вычислить  с точностью до 0,0001.

    Решение. Воспользуемся разложением  в ряд, полагая . Имеем

   

                                  

                  .

    Четвертый и следующие за ним члены отбрасываем, так как четвертый член меньше 0,0001. Итак

    6. Вычислить  с точностью до 0,001.

    Решение. Так как  является ближайшим к числу 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде суммы двух слагаемых: . Тогда

        

   Четвертый член меньше , поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить. Итак, , т.е. .

    7. Вычислить с точностью до 0,0001.

    Решение. Воспользуемся разложением  в ряд:

                            ,

или , откуда  

    Вычислить указанную величину приближенно с заданной степенью точности , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции.

8..    Ответ: 3,017.

9.    Ответ: 0,340.

10..   Ответ: 0,84147.            

11. .     Ответ: 1,3956.

12. , .    Ответ: 1,140.                  

13.       Ответ: 0,302.

14.   Ответ: 0,464.                

15.      Ответ: 1,0986.

16.,     Ответ: 0,999.                   

17.         Ответ: 0,3679.

    Вычисление интегралов. Так как степенные ряды сходятся равномерно на любом отрезке, лежащем внутри их интервала сходимости, то с помощью разложений функций в степенные ряды можно находить неопределенные интегралы в виде степенных рядов и приближенно вычислять соответствующие определенные интегралы.

    18. Вычислить с точностью

    Решение. Воспользуемся разложением  . Заменив в нем  на   , получим ряд  .

    Данный ряд сходится на всей числовой прямой, поэтому его можно всюду почленно интегрировать. Следовательно,

              

                

      

,

поскольку уже третий член полученного знакочередующегося ряда меньше

    19. Найти интеграл в виде степенного ряда и указать область его сходимости.

    Решение. Воспользуемся разложением , получим ряд для подынтегральной функции

                                                

               .

Он сходится на всей числовой прямой, и, следовательно, его можно почленно интегрировать:

 .

    Поскольку при интегрировании степенного ряда его интервал сходимости не изменяется, то полученный ряд сходится также на всей числовой прямой.

    Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до .

20. . Ответ: 0,070.                  

21. . Ответ: 0,223.

               

22. . Ответ: 0,162.                       

23. . Ответ: 0,480.

24. . Ответ: 0,054.                            

25. . Ответ: 0,484.

26. . Ответ: 0,487.                           

27. . Ответ: 0,156.

28. . Ответ: 0,059.                          

29.  Ответ: 0,103.

   Приближенное решение дифференциальных уравнений.

В случае, когда точно проинтегрировать дифференциальное уравнение с помощью элементарных функций не удается, его решение удобно искать в виде степенного ряда, например ряда Тейлора или Маклорена.

    При решении задачи Коши , используется ряд Тейлора , где, а остальные производные находятся путем последовательного дифференцирования уравнения      и подстановки начальных данных в выражения для этих производных.

    Решение задачи Коши для дифференциального уравнения можно также искать в виде разложения в степенной ряд

               

с неопределенными коэффициентами.

    30. Найти пять первых членов разложения в степенной ряд решения, если .

    Решение. Из данного уравнения находим, что. Дифференцируем исходное уравнение:

                                

                        

                      

и т.д. Подставляя найденные значения производных в ряд Тейлора, получаем

                .                

    31.Найти шесть первых членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям .        

    Решение. Подставим в уравнение начальные условия, получим:

                               

Дифференцируя исходное уравнение, последовательно находим:

               

     

      

Подставляя найденные значения производных в ряд Маклорена, получаем  

     .

    32.Используя ряд

        ,

записать четыре первых ненулевых члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши

    Решение. В ряде

          

полагаем , с учетом начального условия находим, что . Продифференцируем ряд   

       и подставим полученную производную, а также в виде ряда в данное дифференциальное уравнение. Тогда

        

                 +

Теперь в правой и левой частях последнего равенства приравняем коэффициенты при одинаковых степенях разности    (т.е. при . Получаем уравнения:

                   

из которых, учитывая, что , находим:

                   

    Следовательно, искомое разложение решения имеет вид

            .

    Найти разложение в степенной ряд по степеням  решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения

33.  Ответ: .

34.  Ответ: .

35.  Ответ: .

36.  Ответ: .

37.  Ответ: .

    Методом последовательного дифференцирования найти первые  членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях.

38. Ответ: .

39.  Ответ: .

40.

 Ответ: .

41. Ответ: .

42.  

Ответ: .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27424. История художественного образования.Обучение искусству в древних цивилизациях:Др.Египет, др.Греция, Античный Рим 48 KB
  Общеобразовательная система художественного образования строилось на обучении рисунку так как написание иероглифов требовало определенных навыков. Система образования имела строгие требования к дисциплине. Система художественного образования в Древней Греции.
27425. Обучение искусству в эпоху Средневековья. Зависимость образовательность моделей с существующими в данной формации духовным (религиозным) идеалом и назначением человека.Школа-монастырь.Методы обучения рисованию в Древней Руси 34 KB
  Методы обучения рисованию в Древней Руси. Основа обучения в этот период механическое копирование. Итак в эпоху средневековья: основной метод обучения копирование по образцам способствовавшее развитию ремесленного труда; процесс обучения самостоятельная работа в составе артели мастеров. службы школыобщежития для подготовки мальчиков к монашеству школы обучения грамоте и церков.
27426. Методы обучения искусству в эпоху Просвещения. Влияние западной школы академического рисования на становление и развитие российской художественной школы 32.5 KB
  Методы обучения искусству в эпоху Просвещения. Хронологическими рамками Просвещения принято считать 16881789 гг. Русское Просвещение унаследовало проблематику Европейского Просвещения но осмысливало и развивало ее вполне самобытно в контексте с исторической ситуацией сложившейся в российском обществе того времени. Идеи Просвещения вначале были восприняты знаменитым царемреформатором Петром Великим и его сподвижниками.
27427. Становление и развитие методики обучения рисованию в российских школах XIX в.Школа А.Венецианова; училище технического рисования графа С.Строганова 40.5 KB
  Венецианова; училище технического рисования графа С.Строганова; курс рисования А.Чистякова; школа Ашбе: геометральный и натуральный методы рисования. он на свои деньги основал бесплатную Строгановскую школу рисования в которой училось искусствам и ремеслам 360 человек в том числе и бедные дети горожан и крепостные.
27428. Понятие образования и образовательных моделей. Историческая реконструкция образовательных моделей как форм организации содержания образования и технологии воспроизводства культуры 15.02 KB
  Историческая реконструкция образовательных моделей как форм организации содержания образования и технологии воспроизводства культуры Образование это процесс и результат приобщения человека к знаниям о мире ценностям опыту накопленному предшествующими поколениями.Модели образования История зафиксировала различные модели образования каждая из которых имеет свои положительные тенденции и сыграла определенную роль. Модель образования как государственноведомственной организации.
27429. Методика обучения как педагогическая наука. Предмет методики. Современное понимание содержания и структуры образования. Специфика художественного образования и обучения искусству 30 KB
  Современное понимание содержания и структуры образования. Специфика художественного образования и обучения искусству. Содержание образования это социальный опыт деятельности. В содержание образования входит 4 компонента: знания; умения навыки; опыт эмоциональноценностных отношений; опыт творческой деятельности.
27430. Методы обучения искусству в эпоху Возрождения. Школа-мастерская.Ченнино Ченнини, Альберта, Леонардо да Винчи, А.Дюрер.Методы обрубовки.Метод завесы 38 KB
  Методы обучения искусству в эпоху Возрождения. Постановка обучения в эпоху Возрождения представляла собой следующие этапы. После 6 8 лет обучения ученик мог остаться в мастерской в качестве помощника но мог и перейти к другому мастеру. Основа обучения рисунок.
27431. Особенности развития художественного образования в России и за рубежом конца 19-начала 20 в. История становления современной системы художественного образования в общеобразовательной школе. Истоки многообразия концепций и подходов 39 KB
  Особенности развития художественного образования в России и за рубежом конца 19начала 20 в. История становления современной системы художественного образования в общеобразовательной школе. определяется приоритетным значением в среде художественнопедагогической общественности как в нашей стране так и за рубежом идея всеобщего эстетического и художественного воспитания. Ведущим в данный период развития художественного образования становится лозунг от ребёнка к методу.
27432. Основные дидактические принципы, методы, средства и ресурсы обучения искусству, их взаимосвязь и взаимозависимость в педагогической практике 36 KB
  Основные дидактические принципы методы средства и ресурсы обучения искусству их взаимосвязь и взаимозависимость в педагогической практике. Основные дидактические положения методики преподния изоискусства. С методологической и методической точки зрения неверна теория утверждающая что раз все люди поразному видят и поразному воспринимают мир то и натуру они могут передавать поразному как видят. Принципы и методы обучения изоискусству концепции Приобщение к мировой художественной культуре как части духовной культуры Б.