90976

Функциональные ряды и последовательности. Общие понятия теории функциональных рядов

Лекция

Математика и математический анализ

Сумму 8 называют nй частичной суммой ряда 6 а предел последовательности частичных сумм сходящегося на множестве Е ряда 6 называют его суммой: 9 Множество всех значений x при которых сходятся ряды 6 и 7 называют соответственно областью сходимости и областью абсолютной сходимости ряда 6. Эта сумма определится предельным равенством вида 2 если под разуметь частичную сумму 4 Обратно вопрос...

Русский

2015-07-12

429.5 KB

2 чел.

ЛЕКЦИЯ №13

6.1. Функциональные ряды и последовательности. Общие понятия теории функциональных рядов.

Пусть функции  определены на множестве E и  Ряд

     (6)

называется сходящимся в точке если сходится ряд  и абсолютно сходящимся в точке  если при  сходится ряд

     (7)

Если ряд (6) сходится в каждой точке  то этот ряд называют сходящимся на множестве Е, а если в каждой точке  сходится ряд (7), то ряд (6) называют абсолютно сходящимся на множестве Е. Сумму

    (8)

называют n-й частичной суммой ряда (6), а предел последовательности частичных сумм сходящегося на множестве Е ряда (6) называют его суммой:

     (9)

Множество всех значений x, при которых сходятся ряды (6) и (7), называют соответственно областью сходимости и областью абсолютной сходимости ряда (6).

Предположим, что дана последовательность, элементами которой являются  функции

         

                                                                                                           (1)

от одной и той же переменной х, определенные в некоторой области ее изменения Х . Пусть для каждого х из Х эта последовательность имеет конечный предел; так как он вполне определяется значением х, то также  представляет собой функцию от х (в Х):      

 

                                                                                                                     (2)

которую  мы будем называть предельной функцией для последовательности  (1)   .

Рассмотрим теперь ряд, членами которого являются функции от одной и той же переменной  х    в некоторой области  Х:

                                                                                       (3)

Пусть этот ряд сходится при каждом значении х в Х; тогда его сумма  также представляет собой некоторую функцию от х: f(x). Эта сумма определится предельным равенством вида (2),  если под  разуметь частичную сумму

                                                                                               (4)  

                           

Обратно, вопрос о предельной функции для произвольно заданной последовательности (1) можно рассматривать под видом ряда (3), если положить

                                          

                                          

Чаще придется иметь дело именно с функциональными рядами, так как эта форма исследования предельной функции на практике обычно удобнее.  

Как оказывается, функциональные свойства предельной функции(или – что то же самое – суммы ряда) f(x) существенно зависят от самого характера приближения  к  при различных значениях х.

Определение. Ряд, членами которого являются функции  от , называется функциональным рядом:

                                  .

Функциональный ряд при определенном значении  дает числовой ряд  ,  который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Функциональный ряд  будет сходящимся, если существует предел последовательности  частичных сумм ;

 

Если полученный числовой ряд  сходится, то точка  называется точкой сходимости ряда . Если же ряд расходится при , то  называется точкой расходимости функционального ряда.

Областью сходимости функционального ряда называется множество числовых значений аргумента , при которых функциональный ряд сходится.

В области сходимости функционального ряда сумма ряда является некоторой функцией от  и определяется стандартным образом как предел последовательности частичных сумм:                     , где  

- частичная сумма ряда.

 

6.2. Мажорируемость и равномерная сходимость функциональных рядов.

Функциональный ряд  называется мажорируемым в области , если существует такой сходящийся числовой ряд  с положительными членами, что для всех  выполняется неравенство <.

 

Рассмотрим последовательность вида

 ,   

Это значит, что                          

Но для каждой точки х номер может оказаться свой, т.е. для  разных значений х    разные значения N.

Геометрический смысл:

При  последовательность будет сходящейся и для неё существует  - номер

существует  

 

Определение : Последовательность  сходится на множестве X равномерно, если

           для всех х одновременно.

Сходимость функционального ряда означает, что в каждой точке частичная сумма мало отличается от ,  при этом в другой точке для достижения такой же малой разности потребуется, возможно, большее количество слагаемых. Т.е. одного N недостаточно для всех х. Такая сходимость называется поточечной и не является равномерной.

Пример. .Частичная сумма этого ряда равна, а  и 1,если х=1.

Определение: Функциональный ряд  называется равномерно сходящимся в области , если для любого сколь угодно малого положительного  найдется такое значение , что для всех > будет выполняться неравенство < для всех  из области .

Критерий Коши: Для того , чтобы  равномерно сходилась на X, необходимо и достаточно 

      и        

Доказательство.  Необходимость:

        ,

А значит и для любого

  

Докажем, что это выполняется

,

Т.к.   и

Достаточность:  

Докажем, что из данного неравенства следует, что последовательность сходится.

Зафиксируем n, а m пусть стремится к .

,

Следовательно, существует предел.

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости  функциональных рядов:

Если функциональный ряд  мажорируется числовым рядом , то он сходится равномерно, т.е. для любого >0 найдется такой номер , что для всех > будет выполняться неравенство < для всех  из области .

Доказательство.  

Используем критерий Коши.

Но ряд  является сходящимся, а значит,  для него выполняется критерий сходимости числовых рядов. Это значит, что и   

Критерий Коши выполняется и для ряда.

Следует отметить, что равномерно сходящийся функциональный ряд не обязательно мажорируем.

Пример 1. Исследовать сходимость функционального ряда .

Решение: Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда:

.

При любом действительном  имеет место неравенство . Ряд с общим членом  представляет собой сходящуюся геометрическую прогрессию. По признаку сравнения ряд  сходится при всех действительных .

6.3. Непрерывность суммы функционального ряда

Оказывается, что функциональные свойства суммы ряда зависят  от характера приближения  к  при .

Теорема 1. Пусть функции определены в промежутке  Х=[a,b] и все непрерывны в некоторой точке  этого промежутка. Если ряд   в промежутке Х сходится равномерно, то и сумма ряда f(x) в точке  также  будет непрерывна.

Доказательство. Сохраняя прежние обозначения, имеем при любом n=1,2,3,… и любом х из Х:

                                                                                                    (5)

и, в частности,

                                                                                                           

Откуда

                               .                                  (6)

Зададим теперь произвольное . Ввиду равномерной сходимости ряда можно фиксировать номер n так, чтобы неравенство

                                                                                                                                  (7)

выполнялось для всех значений х в промежутке Х(в том числе и для ). Отметим, что при фиксированном n функция  есть сумма определенного конечного числа функций , непрерывных в точке . Поэтому она также непрерывна в этой точке, и по заданному  найдется такое   , что при   будет

                                                                                                                    (8)

Тогда, ввиду (5),(6) и (7), неравенство  || <  влечет за собой

                                                     

что и доказывает теорему.

Естественно, если функции  непрерывны во всем промежутке Х=[a,b], то при наличии равномерной сходимости и сумма ряда ,

 f(x), будет непрерывна во всем промежутке.

 

 Теореме 2.(Дини) Пусть члены ряда  непрерывны во всем промежутке  Х=[a,b] и положительны. Если ряд имеет сумму f(x), также непрерывную во всем промежутке, то он сходится в этом промежутке равномерно.

Доказательство. Рассмотрим остатки ряда :

                               

Функция    от х, как разность двух непрерывных функций, также непрерывна. Ввиду положительности членов ряда последовательность {}, при постоянном х, является убывающей (невозрастающей):

                                       

                                         

Наконец,поскольку ряд  сходится в промежутке Х, при любом постоянном х

                                                

Для того чтобы установить равномерную сходимость ряда, достаточно доказать, что для каждого числа  существует хоть одно значение n, при котором     одновременно для всех х (ибо тогда для больших значений n это неравенство выполнялось бы и подавно).

Доказательство этого будем вести от противного. Предположим, что для некоторого  такого номера n не существует. Тогда при любом n=1,2,3,… в промежутке Х найдется такое значение , что .  К последовательности {}, все элементы которой содержатся в конечном промежутке Х, применим лемму Больцана-Вейерштрасса  и выделим из нее частичную последовательность { }, сходящуюся к пределу  .

Ввиду непрерывности, имеем:

                                             ,

каково бы ни было m. С другой стороны, при любом m, для достаточно больших k:

                                       так что .

Переходя здесь к пределу при   , получим

                                             .

А это неравенство, имеющее место при любом m, противоречит тому, что

                                                     .

Теорема доказана.

6.4. Интегрирование   равномерно сходящихся функциональных рядов

Перейдем теперь к рассмотрению вопроса об интегрировании суммы сходящегося функционального ряда.

 Теорема 3. Если функция (n=1,2,3,…) непрерывна в промежутке Х=[a,b], и составленный из них ряд  (3)   сходится в этом промежутке равномерно, то интеграл от суммы f(x) ряда (3) представляется следующим образом:

                                  (9)

Доказательство. Ввиду непрерывности функций и f(x) существование всех этих интегралов очевидно. Проинтегрировав тождество

                                    

в промежутке [a,b], получим:

                    

Таким образом, сумма n членов ряда(9) разнится от интеграла   дополнительным членом    . Для доказательства разложения ряда (9) нужно лишь установить, что

                                                                                                             (10)

В силу равномерной сходимости ряда (3), для любого  найдется номер N такой,что при n>N

                                                              

cразу для всех х в рассматриваемом промежутке. Тогда для тех же значений n будет:

                                        

что и доказывает предельное соотношение (10).

Равенство(9) может быть написано в виде

                                        ,

так что в случае равномерно сходящегося ряда интеграл от суммы ряда равен сумме ряда, составленного из интегралов  его членов, или, иными словами, допустимо почленное интегрирование ряда.

Укажем теперь обобщение теоремы 5, связанное с отказом от требований непрерывности рассматриваемых функций.

 

 Теорема 4. Если функция (n=1,2,3,…) интегрируема в промежутке X=[a,b], и составленный из них ряд (3) сходится равномерно, то сумма f(x) ряда также будет интегрируема, и имеет место разложение (9).

 Доказательство. Остановимся на интегрируемости функции f(x).

Ввиду равномерной сходимости ряда, по заданному наперед  , мы можем фиксировать n малое столь большим, чтобы во всех точках промежутка [a,b] было:

                              (11)

Возьмем какую нибудь часть [] промежутка,  [a,b], и пусть m, M будут точные границы функции  в  [],=M-m  -ее колебания; соответствующие колебанию функции f(x) обозначим через . Ввиду (11), в пределах промежутка [] :

                        

Разобьем теперь промежуток  [a,b] обычным образом на частичные промежутки [] и станем значком i отмечать колебания, относящиеся к i-му промежутку. Тогда, и

                                           

Так как второе слагаемое справа произвольно мало, а первое стремится к 0 вместе с , то это же справедливо и относительно выражения слева, откуда и следует интегрируемость функции f(x).

Что же касается равенства (9), то оно доказывается буквально так же, как и выше.

6.5  Дифференцирование равномерно сходящихся функциональных рядов

.

 

С помощью теоремы 5 предыдущего пункта легко доказывается следующее.

 Теорема 5. Пусть функции (n=1,2,3,…) определены в промежутке X=[a,b] и имеют в нем непрерывные производные  Если в этом промежутке не только сходится ряд (3), но и равномерно сходится ряд, составленный из производных:

                                                                   (12)

то и сумма f(x) ряда (3) имеет в Х производную, причем

                                         .                                                                    (13)

 Доказательство. Обозначим через f*(x) сумму ряда (12); ввиду теоремы 1(пункта 5.3), это будет непрерывная функция от х. Воспользовавшись теперь теоремой 3, проинтегрируем ряд (12)  почленно в промежутке от a до произвольного значения х из Х; мы получим

                                              .

Но, очевидно,     так что

Так как интеграл слева, ввиду непрерывности подинтегральной функции, имеет производную, равную f*(x), то ту же производную имеет и функция f(x), которая от интеграла отличается лишь на постоянную.

Равенство (13) можно переписать( если воспользоваться, следуя Коши, обозначениям D для производной) в виде

                                              

Таким образом, при указанных условиях, производная от суммы ряда оказывается равна сумме ряда, составленного из производных его членов, или, иными словами, допустимо почленное дифференцирование ряда.

Рассмотрим ряды

                                         

и

                  .

  Первый из них сводится к 0 при х=0 и к 1 в остальных точках, а сумма второго везде равна 0. Если продифференцировать их почленно, то получатся уже знакомые нам ряды(15), сходящиеся во всем промежутке [0,1] к 0, но оба неравномерно. В первом случае ряд из производных сходится и при х=0, где сумма первоначального ряда производной иметь не может, ибо разрывна в этой точке. Во втором случае, наоборот, почленное  дифференцирование повсюду приводит к верному результату. Этими примерами иллюстрируется роль требования, чтобы ряд производных сходился равномерно: оно существенно, но не необходимо.

 Теорема 6.Пусть функции (т=1,2,3,…) определены в промежутке Х=[a, b] и имеют в нём конечные производные . Если ряд (3) сходится хоть  в одной точке, например при х=а, а ряд (12), составленный из производных, равномерно сходится во всём промежутке Х, то тогда

1) ряд (3) сходится равномерно во всём промежутке

и

2) его сумма f(x) имеет в X производную, выражаемую равенством (13).

 Доказательство. Возьмём в промежутке [a,b] две различные точки  и х и составим ряд

                                                                                                                  (14)

Мы докажем,  что при любом фиксированном  этот ряд сходится для всех  и при том равномерно относительно х.

С этой целью, задавшись произвольным числом , ввиду равномерной сходимости ряда (12), найдём такой номер N , что при n>N и m=1,2,3,… неравенство

                                                                                                                            (15)

выполняется для всех значений х одновременно. Фиксируя на момент n и m, рассмотрим функцию

eё производная

В силу (15), по абсолютной величине всегда меньше . Но, очевидно,

где c содержится  между  и х (теорема Лагранжа).

Поэтому, окончательно, для всех

                                                    

так как это неравенство имеет место лишь только n>N, каково бы ни было m=1,2,3,…, то равномерная сходимость ряда (14) этим доказана. Отсюда уже вытекают все нужные нам заключения.

Прежде всего, взяв  из равномерной сходимости ряда

 а с ним и     

и из сходимости ряда  заключаем о равномерной же сходимости ряда .

Если через f(x) обозначить его сумму, то суммой ряда (14), где  есть снова любое значение х а промежутке [a,b], - очевидно, будет  .  Так как в равномерно сходящемся ряде можно переходить к пределу почленно( по теореме о почленном переходе к пределу*), то, устремляя х к , получим:

Замечание. Все эти теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании устанавливают аналогию между функциональными рядами и суммами конечного числа функций. Аналогия эта, однако, ограничена известными условиями, в характеристике которых равномерная сходимость занимает исключительное место.

 

y

x


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22024. Свечение, сопровождающее биохимические реакции 131.5 KB
  В последнее время все больший интерес привлекает собственное сверхслабое свечение клеток и тканей животных и человека которое обусловлено реакциями свободных радикалов: радикалов липидов и кислорода а также окиси азота соединениями играющими огромную роль в жизни организма а при определенных условиях и развитии ряда патологических состояний. свечение сопровождающее химические реакции называется хемилюминесценцией ХЛ. Процессы жизнедеятельности как теперь стало известно практически всегда сопровождаются очень слабым...
22025. Собственное свечение клеток и тканей животных 78.5 KB
  Строение Фазовые переходы липидов в мембранах Диффузия как результат случайных блужданий частиц Диффузия ионов при наличии электрического поля Кинетика реакций цепного окисления липидов Cвечение сопровождающее биохимические реакции Активированная хемилюминесценция и биолюминесценция как инструмент в медикобиологических исследованиях Метод электронного парамагнитного резонанса Кинетика химических реакций Кальциевый насос животной клетки Реакции окисления восстановления .
22026. Метод ДСК 195 KB
  Температуры плавления некоторых синтетических фосфолипидов Жирные кислоты Название остатка жирной кислоты Сокращённое название фосффолипида Температура плавления Tc oC 14:0 Миристоил ДМЛ 23 16:0 Пальмитоил ДПЛ 41 18:0 Стеароил ДСЛ 58 18:1 Олеил ДОЛ 21цисформа Полное название фосфолипидов: ДМЛ 12димиристоилфосфатидилхолин еще одно возможное сокращение ДМФХ€ и так далее. На первом этапе нас будут интерессовать три из них: Температура фазового перехода плавления Tc. T полуширина фазового перехода Tc температура...
22027. Активированная хемилюминесценция и биолюминесценция 114 KB
  Так например комплекс редкоземельного иона европия Eu3 c антибиотиком хлортетрациклином усиливает ХЛ при окислении липидов почти в 1000 раз. Хемилюминесцентный иммунный анализ По идеологии хемилюминесцентный иммунный анализ не отличается от радиоиммунного с той только разницей что вместо радиоактивномеченных субстратов или антител используются субстраты и антитела меченные соединением которое вступает в реакции сопровождающиеся хемилюминесценцией в присутствии перекиси водорода и катализатора обычно это фермент пероксидаза....
22028. Биологические мембраны Строение, свойства, функции 403 KB
  Клеточная или цитоплазматическая мембрана окружает каждую клетку. Ядро окружено двумя ядерными мембранами: наружной и внутренней. Все внутриклеточные структуры: митохондрии эндоплазматический ретикулум аппарат Гольджи лизосомы пероксисомы фагосомы синаптосомы и т представляют собой замкнутые мембранные везикулы пузырьки.
22029. Мембранные потенциалы 232.5 KB
  Более подробно межфазные и поверхностные потенциалы будут рассмотрены позже а сейчас мы рассмотрим как повлияет на перенос ионов наличие на мембране трансмембранного потенциала. Однако липидная часть мембраны состоит всегото из двух слоёв молекул фосфолипидов причём размеры подвижных звеньев цепей жирных кислот в этих молекулах соизмеримы с размерами ионов которые передвигаются внутри мембраны. Это заставляет при рассмотрении переноса ионов в мембране отказаться от полностью макроскопического подхода к явлениям и рассматривать процессы на...
22030. Перемещения иона в мембране 347 KB
  В случа переноса ионов через биомембраны за ось Х можно принять ось нормальную к мембране и направленную изнутри везикулы например клетки наружу см. Как же перемещается ион в толще липидного слоя мембраны В разделе 1 говорилось о том что такое перемещение возможно благодаря перестройке конфигурации жирнокислотных цепей и образованию нового кинка . Движение иона поперёк мембраны путём перескакивания из одного кинка в другой. На рисунке показаны не разные молекулы фосфолипидов в бислое а разные стадии процесса переноса иона...
22031. Системы передачи с временным разделением каналов 139 KB
  Напомним что для преобразования аналогового сигнала в цифровой используются операции ДИСКРЕТИЗАЦИЯ КВАНТОВАНИЕ КОДИРОВАНИЕ. Значение шума квантования зависит от количества уровней квантования скорости изменения сигнала и от спосрба выбора шага квантования. не зависит от а } = где вероятность попадания сигнала в iю зону квантования. зависит лишь от шага квантования и не зависит от уровня сигнала.
22032. Дельта - модуляция (кодирование с предсказанием) (ДИКМ) 158.5 KB
  Основные параметры характеристики компрессии по А – закону приведены в таблице: № сегмента Вид кодовой комбинации P XYZ ABCD Относительный интервал изменения входного сигнала Значение шага квантования относительно Uогр 0 P 000 ABCD 0  1 128 1 2048 1 P 001 ABCD 1 128  1 64 1 2048 2 P 010 ABCD 1 64  1 32 1 1024 3 P 011 ABCD 1 32  1 16 1 512 4 P 100 ABCD 1 16  1 8 1 256 5 P 101 ABCD 1 8  1 4 1 128 6 P 110 ABCD 1 4  1 2 1 64 7 P 111 ABCD 1 2  1 1 32 Кодовая комбинация и есть код квантованного сигнала P  ABCD ...