90976

Функциональные ряды и последовательности. Общие понятия теории функциональных рядов

Лекция

Математика и математический анализ

Сумму 8 называют nй частичной суммой ряда 6 а предел последовательности частичных сумм сходящегося на множестве Е ряда 6 называют его суммой: 9 Множество всех значений x при которых сходятся ряды 6 и 7 называют соответственно областью сходимости и областью абсолютной сходимости ряда 6. Эта сумма определится предельным равенством вида 2 если под разуметь частичную сумму 4 Обратно вопрос...

Русский

2015-07-12

429.5 KB

4 чел.

ЛЕКЦИЯ №13

6.1. Функциональные ряды и последовательности. Общие понятия теории функциональных рядов.

Пусть функции  определены на множестве E и  Ряд

     (6)

называется сходящимся в точке если сходится ряд  и абсолютно сходящимся в точке  если при  сходится ряд

     (7)

Если ряд (6) сходится в каждой точке  то этот ряд называют сходящимся на множестве Е, а если в каждой точке  сходится ряд (7), то ряд (6) называют абсолютно сходящимся на множестве Е. Сумму

    (8)

называют n-й частичной суммой ряда (6), а предел последовательности частичных сумм сходящегося на множестве Е ряда (6) называют его суммой:

     (9)

Множество всех значений x, при которых сходятся ряды (6) и (7), называют соответственно областью сходимости и областью абсолютной сходимости ряда (6).

Предположим, что дана последовательность, элементами которой являются  функции

         

                                                                                                           (1)

от одной и той же переменной х, определенные в некоторой области ее изменения Х . Пусть для каждого х из Х эта последовательность имеет конечный предел; так как он вполне определяется значением х, то также  представляет собой функцию от х (в Х):      

 

                                                                                                                     (2)

которую  мы будем называть предельной функцией для последовательности  (1)   .

Рассмотрим теперь ряд, членами которого являются функции от одной и той же переменной  х    в некоторой области  Х:

                                                                                       (3)

Пусть этот ряд сходится при каждом значении х в Х; тогда его сумма  также представляет собой некоторую функцию от х: f(x). Эта сумма определится предельным равенством вида (2),  если под  разуметь частичную сумму

                                                                                               (4)  

                           

Обратно, вопрос о предельной функции для произвольно заданной последовательности (1) можно рассматривать под видом ряда (3), если положить

                                          

                                          

Чаще придется иметь дело именно с функциональными рядами, так как эта форма исследования предельной функции на практике обычно удобнее.  

Как оказывается, функциональные свойства предельной функции(или – что то же самое – суммы ряда) f(x) существенно зависят от самого характера приближения  к  при различных значениях х.

Определение. Ряд, членами которого являются функции  от , называется функциональным рядом:

                                  .

Функциональный ряд при определенном значении  дает числовой ряд  ,  который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Функциональный ряд  будет сходящимся, если существует предел последовательности  частичных сумм ;

 

Если полученный числовой ряд  сходится, то точка  называется точкой сходимости ряда . Если же ряд расходится при , то  называется точкой расходимости функционального ряда.

Областью сходимости функционального ряда называется множество числовых значений аргумента , при которых функциональный ряд сходится.

В области сходимости функционального ряда сумма ряда является некоторой функцией от  и определяется стандартным образом как предел последовательности частичных сумм:                     , где  

- частичная сумма ряда.

 

6.2. Мажорируемость и равномерная сходимость функциональных рядов.

Функциональный ряд  называется мажорируемым в области , если существует такой сходящийся числовой ряд  с положительными членами, что для всех  выполняется неравенство <.

 

Рассмотрим последовательность вида

 ,   

Это значит, что                          

Но для каждой точки х номер может оказаться свой, т.е. для  разных значений х    разные значения N.

Геометрический смысл:

При  последовательность будет сходящейся и для неё существует  - номер

существует  

 

Определение : Последовательность  сходится на множестве X равномерно, если

           для всех х одновременно.

Сходимость функционального ряда означает, что в каждой точке частичная сумма мало отличается от ,  при этом в другой точке для достижения такой же малой разности потребуется, возможно, большее количество слагаемых. Т.е. одного N недостаточно для всех х. Такая сходимость называется поточечной и не является равномерной.

Пример. .Частичная сумма этого ряда равна, а  и 1,если х=1.

Определение: Функциональный ряд  называется равномерно сходящимся в области , если для любого сколь угодно малого положительного  найдется такое значение , что для всех > будет выполняться неравенство < для всех  из области .

Критерий Коши: Для того , чтобы  равномерно сходилась на X, необходимо и достаточно 

      и        

Доказательство.  Необходимость:

        ,

А значит и для любого

  

Докажем, что это выполняется

,

Т.к.   и

Достаточность:  

Докажем, что из данного неравенства следует, что последовательность сходится.

Зафиксируем n, а m пусть стремится к .

,

Следовательно, существует предел.

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости  функциональных рядов:

Если функциональный ряд  мажорируется числовым рядом , то он сходится равномерно, т.е. для любого >0 найдется такой номер , что для всех > будет выполняться неравенство < для всех  из области .

Доказательство.  

Используем критерий Коши.

Но ряд  является сходящимся, а значит,  для него выполняется критерий сходимости числовых рядов. Это значит, что и   

Критерий Коши выполняется и для ряда.

Следует отметить, что равномерно сходящийся функциональный ряд не обязательно мажорируем.

Пример 1. Исследовать сходимость функционального ряда .

Решение: Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда:

.

При любом действительном  имеет место неравенство . Ряд с общим членом  представляет собой сходящуюся геометрическую прогрессию. По признаку сравнения ряд  сходится при всех действительных .

6.3. Непрерывность суммы функционального ряда

Оказывается, что функциональные свойства суммы ряда зависят  от характера приближения  к  при .

Теорема 1. Пусть функции определены в промежутке  Х=[a,b] и все непрерывны в некоторой точке  этого промежутка. Если ряд   в промежутке Х сходится равномерно, то и сумма ряда f(x) в точке  также  будет непрерывна.

Доказательство. Сохраняя прежние обозначения, имеем при любом n=1,2,3,… и любом х из Х:

                                                                                                    (5)

и, в частности,

                                                                                                           

Откуда

                               .                                  (6)

Зададим теперь произвольное . Ввиду равномерной сходимости ряда можно фиксировать номер n так, чтобы неравенство

                                                                                                                                  (7)

выполнялось для всех значений х в промежутке Х(в том числе и для ). Отметим, что при фиксированном n функция  есть сумма определенного конечного числа функций , непрерывных в точке . Поэтому она также непрерывна в этой точке, и по заданному  найдется такое   , что при   будет

                                                                                                                    (8)

Тогда, ввиду (5),(6) и (7), неравенство  || <  влечет за собой

                                                     

что и доказывает теорему.

Естественно, если функции  непрерывны во всем промежутке Х=[a,b], то при наличии равномерной сходимости и сумма ряда ,

 f(x), будет непрерывна во всем промежутке.

 

 Теореме 2.(Дини) Пусть члены ряда  непрерывны во всем промежутке  Х=[a,b] и положительны. Если ряд имеет сумму f(x), также непрерывную во всем промежутке, то он сходится в этом промежутке равномерно.

Доказательство. Рассмотрим остатки ряда :

                               

Функция    от х, как разность двух непрерывных функций, также непрерывна. Ввиду положительности членов ряда последовательность {}, при постоянном х, является убывающей (невозрастающей):

                                       

                                         

Наконец,поскольку ряд  сходится в промежутке Х, при любом постоянном х

                                                

Для того чтобы установить равномерную сходимость ряда, достаточно доказать, что для каждого числа  существует хоть одно значение n, при котором     одновременно для всех х (ибо тогда для больших значений n это неравенство выполнялось бы и подавно).

Доказательство этого будем вести от противного. Предположим, что для некоторого  такого номера n не существует. Тогда при любом n=1,2,3,… в промежутке Х найдется такое значение , что .  К последовательности {}, все элементы которой содержатся в конечном промежутке Х, применим лемму Больцана-Вейерштрасса  и выделим из нее частичную последовательность { }, сходящуюся к пределу  .

Ввиду непрерывности, имеем:

                                             ,

каково бы ни было m. С другой стороны, при любом m, для достаточно больших k:

                                       так что .

Переходя здесь к пределу при   , получим

                                             .

А это неравенство, имеющее место при любом m, противоречит тому, что

                                                     .

Теорема доказана.

6.4. Интегрирование   равномерно сходящихся функциональных рядов

Перейдем теперь к рассмотрению вопроса об интегрировании суммы сходящегося функционального ряда.

 Теорема 3. Если функция (n=1,2,3,…) непрерывна в промежутке Х=[a,b], и составленный из них ряд  (3)   сходится в этом промежутке равномерно, то интеграл от суммы f(x) ряда (3) представляется следующим образом:

                                  (9)

Доказательство. Ввиду непрерывности функций и f(x) существование всех этих интегралов очевидно. Проинтегрировав тождество

                                    

в промежутке [a,b], получим:

                    

Таким образом, сумма n членов ряда(9) разнится от интеграла   дополнительным членом    . Для доказательства разложения ряда (9) нужно лишь установить, что

                                                                                                             (10)

В силу равномерной сходимости ряда (3), для любого  найдется номер N такой,что при n>N

                                                              

cразу для всех х в рассматриваемом промежутке. Тогда для тех же значений n будет:

                                        

что и доказывает предельное соотношение (10).

Равенство(9) может быть написано в виде

                                        ,

так что в случае равномерно сходящегося ряда интеграл от суммы ряда равен сумме ряда, составленного из интегралов  его членов, или, иными словами, допустимо почленное интегрирование ряда.

Укажем теперь обобщение теоремы 5, связанное с отказом от требований непрерывности рассматриваемых функций.

 

 Теорема 4. Если функция (n=1,2,3,…) интегрируема в промежутке X=[a,b], и составленный из них ряд (3) сходится равномерно, то сумма f(x) ряда также будет интегрируема, и имеет место разложение (9).

 Доказательство. Остановимся на интегрируемости функции f(x).

Ввиду равномерной сходимости ряда, по заданному наперед  , мы можем фиксировать n малое столь большим, чтобы во всех точках промежутка [a,b] было:

                              (11)

Возьмем какую нибудь часть [] промежутка,  [a,b], и пусть m, M будут точные границы функции  в  [],=M-m  -ее колебания; соответствующие колебанию функции f(x) обозначим через . Ввиду (11), в пределах промежутка [] :

                        

Разобьем теперь промежуток  [a,b] обычным образом на частичные промежутки [] и станем значком i отмечать колебания, относящиеся к i-му промежутку. Тогда, и

                                           

Так как второе слагаемое справа произвольно мало, а первое стремится к 0 вместе с , то это же справедливо и относительно выражения слева, откуда и следует интегрируемость функции f(x).

Что же касается равенства (9), то оно доказывается буквально так же, как и выше.

6.5  Дифференцирование равномерно сходящихся функциональных рядов

.

 

С помощью теоремы 5 предыдущего пункта легко доказывается следующее.

 Теорема 5. Пусть функции (n=1,2,3,…) определены в промежутке X=[a,b] и имеют в нем непрерывные производные  Если в этом промежутке не только сходится ряд (3), но и равномерно сходится ряд, составленный из производных:

                                                                   (12)

то и сумма f(x) ряда (3) имеет в Х производную, причем

                                         .                                                                    (13)

 Доказательство. Обозначим через f*(x) сумму ряда (12); ввиду теоремы 1(пункта 5.3), это будет непрерывная функция от х. Воспользовавшись теперь теоремой 3, проинтегрируем ряд (12)  почленно в промежутке от a до произвольного значения х из Х; мы получим

                                              .

Но, очевидно,     так что

Так как интеграл слева, ввиду непрерывности подинтегральной функции, имеет производную, равную f*(x), то ту же производную имеет и функция f(x), которая от интеграла отличается лишь на постоянную.

Равенство (13) можно переписать( если воспользоваться, следуя Коши, обозначениям D для производной) в виде

                                              

Таким образом, при указанных условиях, производная от суммы ряда оказывается равна сумме ряда, составленного из производных его членов, или, иными словами, допустимо почленное дифференцирование ряда.

Рассмотрим ряды

                                         

и

                  .

  Первый из них сводится к 0 при х=0 и к 1 в остальных точках, а сумма второго везде равна 0. Если продифференцировать их почленно, то получатся уже знакомые нам ряды(15), сходящиеся во всем промежутке [0,1] к 0, но оба неравномерно. В первом случае ряд из производных сходится и при х=0, где сумма первоначального ряда производной иметь не может, ибо разрывна в этой точке. Во втором случае, наоборот, почленное  дифференцирование повсюду приводит к верному результату. Этими примерами иллюстрируется роль требования, чтобы ряд производных сходился равномерно: оно существенно, но не необходимо.

 Теорема 6.Пусть функции (т=1,2,3,…) определены в промежутке Х=[a, b] и имеют в нём конечные производные . Если ряд (3) сходится хоть  в одной точке, например при х=а, а ряд (12), составленный из производных, равномерно сходится во всём промежутке Х, то тогда

1) ряд (3) сходится равномерно во всём промежутке

и

2) его сумма f(x) имеет в X производную, выражаемую равенством (13).

 Доказательство. Возьмём в промежутке [a,b] две различные точки  и х и составим ряд

                                                                                                                  (14)

Мы докажем,  что при любом фиксированном  этот ряд сходится для всех  и при том равномерно относительно х.

С этой целью, задавшись произвольным числом , ввиду равномерной сходимости ряда (12), найдём такой номер N , что при n>N и m=1,2,3,… неравенство

                                                                                                                            (15)

выполняется для всех значений х одновременно. Фиксируя на момент n и m, рассмотрим функцию

eё производная

В силу (15), по абсолютной величине всегда меньше . Но, очевидно,

где c содержится  между  и х (теорема Лагранжа).

Поэтому, окончательно, для всех

                                                    

так как это неравенство имеет место лишь только n>N, каково бы ни было m=1,2,3,…, то равномерная сходимость ряда (14) этим доказана. Отсюда уже вытекают все нужные нам заключения.

Прежде всего, взяв  из равномерной сходимости ряда

 а с ним и     

и из сходимости ряда  заключаем о равномерной же сходимости ряда .

Если через f(x) обозначить его сумму, то суммой ряда (14), где  есть снова любое значение х а промежутке [a,b], - очевидно, будет  .  Так как в равномерно сходящемся ряде можно переходить к пределу почленно( по теореме о почленном переходе к пределу*), то, устремляя х к , получим:

Замечание. Все эти теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании устанавливают аналогию между функциональными рядами и суммами конечного числа функций. Аналогия эта, однако, ограничена известными условиями, в характеристике которых равномерная сходимость занимает исключительное место.

 

y

x


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75402. Типы информации о числе предметов и выражение этой информации формамми единственного и множественного числа. Неноминативное употребление форм числа в русском языке 25.8 KB
  Характерны различия в ударении В зависимости от того к какому лексико-грамматическому разряду принадлежит существительное все существительные делятся на слова которые имеют формы ед. и слова имеющие формы только ед. Существительные лексические значения которых не предполагают противопоставления по признаку единичность – множественность названия отвлеченных качеств и действий веществ совокупностей предметов или лиц имеют формы или только ед. Существительные имеющие формы ед.
75404. Общая характеристика категории падежа. Количество падежей и принципы их выделения. Типы информации, передаваемой падежами. Особые падежные конструкции в русском языке 47.5 KB
  Общая характеристика категории падежа. Количество падежей и принципы их выделения. Типы информации передаваемой падежами. Особые падежные конструкции в русском языке.
75405. Типы склонения существительных 15.83 KB
  Изменение слова по падежам называется склонением. Склонение – 1) класс слов, объединенных общностью словоизменения, 2) отвлеченный образец, по которому изменяются слова этого класса. В современном русском языке существует три таких класса (три склонения) – первое, второе и третье
75406. Степени сравнения прилагательных. Проблема их включения в состав форм прилагательных. Вопрос о существовании простой превосходной степени 14.71 KB
  Степени сравнения прилагательных. Вопрос о существовании простой превосходной степени. Категория степени сравнения у прилагательных – это словоизменительная морфологическая категория образуемая двумя рядами противопоставленных друг другу форм с морфологическими значениями положительной и сравнительной степени. В формах положительной степени заключено морфологическое значение представляющее названный прилагательным признак вне сравнения по степени его проявления.
75407. Прилагательное как часть речи. Разряды прилагательных по значению и их влияние на изменение слов. Противопоставление кратких и полных форм и его функции 389.5 KB
  Ряд отличительных черт: имеют два ряда форм полные атрибутивные и краткиепредикативные образуют формы сравнит. У них всегда производная основа они склоняются но не образуют степеней сравнения и краткой формы у них отсутствуют все признаки свойственные качественным прилагательным. Полные склоняемые формы называются атрибутивными краткие несклоняемые предикативными. Соотносительные полные и краткие формы имеют только качественные прилаг.
75409. Вводные слова и основания для их выделения в особую часть речи 29 KB
  Вводные слова и основания для их выделения в особую часть речи. Как особая часть речи нередко рассматриваются вводные или модальные слова. Это неизменяемые слова производные от слов иных частей речи при помощи которых выражается субъективное отношение говорящего к высказыванию или его части с точки зрения достоверности недостоверности т. Как правило эти слова выступают в синтаксической функции вводного слова: вопервых итак разумеется вернее дескать всего подобных слов около трёхсот.
75410. Проблема местоимений как особой части речи. Особенности местоименной семантики и функции местоименных слов. Основания для их разведения по разным частям речи 12.67 KB
  Термин местоимение в грамматической науке употребляется также применительно к более широкому кругу слов, чем местоимения-существительные: местоимениями называются слова – существительные, прилагательные, числительные