90976

Функциональные ряды и последовательности. Общие понятия теории функциональных рядов

Лекция

Математика и математический анализ

Сумму 8 называют nй частичной суммой ряда 6 а предел последовательности частичных сумм сходящегося на множестве Е ряда 6 называют его суммой: 9 Множество всех значений x при которых сходятся ряды 6 и 7 называют соответственно областью сходимости и областью абсолютной сходимости ряда 6. Эта сумма определится предельным равенством вида 2 если под разуметь частичную сумму 4 Обратно вопрос...

Русский

2015-07-12

429.5 KB

2 чел.

ЛЕКЦИЯ №13

6.1. Функциональные ряды и последовательности. Общие понятия теории функциональных рядов.

Пусть функции  определены на множестве E и  Ряд

     (6)

называется сходящимся в точке если сходится ряд  и абсолютно сходящимся в точке  если при  сходится ряд

     (7)

Если ряд (6) сходится в каждой точке  то этот ряд называют сходящимся на множестве Е, а если в каждой точке  сходится ряд (7), то ряд (6) называют абсолютно сходящимся на множестве Е. Сумму

    (8)

называют n-й частичной суммой ряда (6), а предел последовательности частичных сумм сходящегося на множестве Е ряда (6) называют его суммой:

     (9)

Множество всех значений x, при которых сходятся ряды (6) и (7), называют соответственно областью сходимости и областью абсолютной сходимости ряда (6).

Предположим, что дана последовательность, элементами которой являются  функции

         

                                                                                                           (1)

от одной и той же переменной х, определенные в некоторой области ее изменения Х . Пусть для каждого х из Х эта последовательность имеет конечный предел; так как он вполне определяется значением х, то также  представляет собой функцию от х (в Х):      

 

                                                                                                                     (2)

которую  мы будем называть предельной функцией для последовательности  (1)   .

Рассмотрим теперь ряд, членами которого являются функции от одной и той же переменной  х    в некоторой области  Х:

                                                                                       (3)

Пусть этот ряд сходится при каждом значении х в Х; тогда его сумма  также представляет собой некоторую функцию от х: f(x). Эта сумма определится предельным равенством вида (2),  если под  разуметь частичную сумму

                                                                                               (4)  

                           

Обратно, вопрос о предельной функции для произвольно заданной последовательности (1) можно рассматривать под видом ряда (3), если положить

                                          

                                          

Чаще придется иметь дело именно с функциональными рядами, так как эта форма исследования предельной функции на практике обычно удобнее.  

Как оказывается, функциональные свойства предельной функции(или – что то же самое – суммы ряда) f(x) существенно зависят от самого характера приближения  к  при различных значениях х.

Определение. Ряд, членами которого являются функции  от , называется функциональным рядом:

                                  .

Функциональный ряд при определенном значении  дает числовой ряд  ,  который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Функциональный ряд  будет сходящимся, если существует предел последовательности  частичных сумм ;

 

Если полученный числовой ряд  сходится, то точка  называется точкой сходимости ряда . Если же ряд расходится при , то  называется точкой расходимости функционального ряда.

Областью сходимости функционального ряда называется множество числовых значений аргумента , при которых функциональный ряд сходится.

В области сходимости функционального ряда сумма ряда является некоторой функцией от  и определяется стандартным образом как предел последовательности частичных сумм:                     , где  

- частичная сумма ряда.

 

6.2. Мажорируемость и равномерная сходимость функциональных рядов.

Функциональный ряд  называется мажорируемым в области , если существует такой сходящийся числовой ряд  с положительными членами, что для всех  выполняется неравенство <.

 

Рассмотрим последовательность вида

 ,   

Это значит, что                          

Но для каждой точки х номер может оказаться свой, т.е. для  разных значений х    разные значения N.

Геометрический смысл:

При  последовательность будет сходящейся и для неё существует  - номер

существует  

 

Определение : Последовательность  сходится на множестве X равномерно, если

           для всех х одновременно.

Сходимость функционального ряда означает, что в каждой точке частичная сумма мало отличается от ,  при этом в другой точке для достижения такой же малой разности потребуется, возможно, большее количество слагаемых. Т.е. одного N недостаточно для всех х. Такая сходимость называется поточечной и не является равномерной.

Пример. .Частичная сумма этого ряда равна, а  и 1,если х=1.

Определение: Функциональный ряд  называется равномерно сходящимся в области , если для любого сколь угодно малого положительного  найдется такое значение , что для всех > будет выполняться неравенство < для всех  из области .

Критерий Коши: Для того , чтобы  равномерно сходилась на X, необходимо и достаточно 

      и        

Доказательство.  Необходимость:

        ,

А значит и для любого

  

Докажем, что это выполняется

,

Т.к.   и

Достаточность:  

Докажем, что из данного неравенства следует, что последовательность сходится.

Зафиксируем n, а m пусть стремится к .

,

Следовательно, существует предел.

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости  функциональных рядов:

Если функциональный ряд  мажорируется числовым рядом , то он сходится равномерно, т.е. для любого >0 найдется такой номер , что для всех > будет выполняться неравенство < для всех  из области .

Доказательство.  

Используем критерий Коши.

Но ряд  является сходящимся, а значит,  для него выполняется критерий сходимости числовых рядов. Это значит, что и   

Критерий Коши выполняется и для ряда.

Следует отметить, что равномерно сходящийся функциональный ряд не обязательно мажорируем.

Пример 1. Исследовать сходимость функционального ряда .

Решение: Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда:

.

При любом действительном  имеет место неравенство . Ряд с общим членом  представляет собой сходящуюся геометрическую прогрессию. По признаку сравнения ряд  сходится при всех действительных .

6.3. Непрерывность суммы функционального ряда

Оказывается, что функциональные свойства суммы ряда зависят  от характера приближения  к  при .

Теорема 1. Пусть функции определены в промежутке  Х=[a,b] и все непрерывны в некоторой точке  этого промежутка. Если ряд   в промежутке Х сходится равномерно, то и сумма ряда f(x) в точке  также  будет непрерывна.

Доказательство. Сохраняя прежние обозначения, имеем при любом n=1,2,3,… и любом х из Х:

                                                                                                    (5)

и, в частности,

                                                                                                           

Откуда

                               .                                  (6)

Зададим теперь произвольное . Ввиду равномерной сходимости ряда можно фиксировать номер n так, чтобы неравенство

                                                                                                                                  (7)

выполнялось для всех значений х в промежутке Х(в том числе и для ). Отметим, что при фиксированном n функция  есть сумма определенного конечного числа функций , непрерывных в точке . Поэтому она также непрерывна в этой точке, и по заданному  найдется такое   , что при   будет

                                                                                                                    (8)

Тогда, ввиду (5),(6) и (7), неравенство  || <  влечет за собой

                                                     

что и доказывает теорему.

Естественно, если функции  непрерывны во всем промежутке Х=[a,b], то при наличии равномерной сходимости и сумма ряда ,

 f(x), будет непрерывна во всем промежутке.

 

 Теореме 2.(Дини) Пусть члены ряда  непрерывны во всем промежутке  Х=[a,b] и положительны. Если ряд имеет сумму f(x), также непрерывную во всем промежутке, то он сходится в этом промежутке равномерно.

Доказательство. Рассмотрим остатки ряда :

                               

Функция    от х, как разность двух непрерывных функций, также непрерывна. Ввиду положительности членов ряда последовательность {}, при постоянном х, является убывающей (невозрастающей):

                                       

                                         

Наконец,поскольку ряд  сходится в промежутке Х, при любом постоянном х

                                                

Для того чтобы установить равномерную сходимость ряда, достаточно доказать, что для каждого числа  существует хоть одно значение n, при котором     одновременно для всех х (ибо тогда для больших значений n это неравенство выполнялось бы и подавно).

Доказательство этого будем вести от противного. Предположим, что для некоторого  такого номера n не существует. Тогда при любом n=1,2,3,… в промежутке Х найдется такое значение , что .  К последовательности {}, все элементы которой содержатся в конечном промежутке Х, применим лемму Больцана-Вейерштрасса  и выделим из нее частичную последовательность { }, сходящуюся к пределу  .

Ввиду непрерывности, имеем:

                                             ,

каково бы ни было m. С другой стороны, при любом m, для достаточно больших k:

                                       так что .

Переходя здесь к пределу при   , получим

                                             .

А это неравенство, имеющее место при любом m, противоречит тому, что

                                                     .

Теорема доказана.

6.4. Интегрирование   равномерно сходящихся функциональных рядов

Перейдем теперь к рассмотрению вопроса об интегрировании суммы сходящегося функционального ряда.

 Теорема 3. Если функция (n=1,2,3,…) непрерывна в промежутке Х=[a,b], и составленный из них ряд  (3)   сходится в этом промежутке равномерно, то интеграл от суммы f(x) ряда (3) представляется следующим образом:

                                  (9)

Доказательство. Ввиду непрерывности функций и f(x) существование всех этих интегралов очевидно. Проинтегрировав тождество

                                    

в промежутке [a,b], получим:

                    

Таким образом, сумма n членов ряда(9) разнится от интеграла   дополнительным членом    . Для доказательства разложения ряда (9) нужно лишь установить, что

                                                                                                             (10)

В силу равномерной сходимости ряда (3), для любого  найдется номер N такой,что при n>N

                                                              

cразу для всех х в рассматриваемом промежутке. Тогда для тех же значений n будет:

                                        

что и доказывает предельное соотношение (10).

Равенство(9) может быть написано в виде

                                        ,

так что в случае равномерно сходящегося ряда интеграл от суммы ряда равен сумме ряда, составленного из интегралов  его членов, или, иными словами, допустимо почленное интегрирование ряда.

Укажем теперь обобщение теоремы 5, связанное с отказом от требований непрерывности рассматриваемых функций.

 

 Теорема 4. Если функция (n=1,2,3,…) интегрируема в промежутке X=[a,b], и составленный из них ряд (3) сходится равномерно, то сумма f(x) ряда также будет интегрируема, и имеет место разложение (9).

 Доказательство. Остановимся на интегрируемости функции f(x).

Ввиду равномерной сходимости ряда, по заданному наперед  , мы можем фиксировать n малое столь большим, чтобы во всех точках промежутка [a,b] было:

                              (11)

Возьмем какую нибудь часть [] промежутка,  [a,b], и пусть m, M будут точные границы функции  в  [],=M-m  -ее колебания; соответствующие колебанию функции f(x) обозначим через . Ввиду (11), в пределах промежутка [] :

                        

Разобьем теперь промежуток  [a,b] обычным образом на частичные промежутки [] и станем значком i отмечать колебания, относящиеся к i-му промежутку. Тогда, и

                                           

Так как второе слагаемое справа произвольно мало, а первое стремится к 0 вместе с , то это же справедливо и относительно выражения слева, откуда и следует интегрируемость функции f(x).

Что же касается равенства (9), то оно доказывается буквально так же, как и выше.

6.5  Дифференцирование равномерно сходящихся функциональных рядов

.

 

С помощью теоремы 5 предыдущего пункта легко доказывается следующее.

 Теорема 5. Пусть функции (n=1,2,3,…) определены в промежутке X=[a,b] и имеют в нем непрерывные производные  Если в этом промежутке не только сходится ряд (3), но и равномерно сходится ряд, составленный из производных:

                                                                   (12)

то и сумма f(x) ряда (3) имеет в Х производную, причем

                                         .                                                                    (13)

 Доказательство. Обозначим через f*(x) сумму ряда (12); ввиду теоремы 1(пункта 5.3), это будет непрерывная функция от х. Воспользовавшись теперь теоремой 3, проинтегрируем ряд (12)  почленно в промежутке от a до произвольного значения х из Х; мы получим

                                              .

Но, очевидно,     так что

Так как интеграл слева, ввиду непрерывности подинтегральной функции, имеет производную, равную f*(x), то ту же производную имеет и функция f(x), которая от интеграла отличается лишь на постоянную.

Равенство (13) можно переписать( если воспользоваться, следуя Коши, обозначениям D для производной) в виде

                                              

Таким образом, при указанных условиях, производная от суммы ряда оказывается равна сумме ряда, составленного из производных его членов, или, иными словами, допустимо почленное дифференцирование ряда.

Рассмотрим ряды

                                         

и

                  .

  Первый из них сводится к 0 при х=0 и к 1 в остальных точках, а сумма второго везде равна 0. Если продифференцировать их почленно, то получатся уже знакомые нам ряды(15), сходящиеся во всем промежутке [0,1] к 0, но оба неравномерно. В первом случае ряд из производных сходится и при х=0, где сумма первоначального ряда производной иметь не может, ибо разрывна в этой точке. Во втором случае, наоборот, почленное  дифференцирование повсюду приводит к верному результату. Этими примерами иллюстрируется роль требования, чтобы ряд производных сходился равномерно: оно существенно, но не необходимо.

 Теорема 6.Пусть функции (т=1,2,3,…) определены в промежутке Х=[a, b] и имеют в нём конечные производные . Если ряд (3) сходится хоть  в одной точке, например при х=а, а ряд (12), составленный из производных, равномерно сходится во всём промежутке Х, то тогда

1) ряд (3) сходится равномерно во всём промежутке

и

2) его сумма f(x) имеет в X производную, выражаемую равенством (13).

 Доказательство. Возьмём в промежутке [a,b] две различные точки  и х и составим ряд

                                                                                                                  (14)

Мы докажем,  что при любом фиксированном  этот ряд сходится для всех  и при том равномерно относительно х.

С этой целью, задавшись произвольным числом , ввиду равномерной сходимости ряда (12), найдём такой номер N , что при n>N и m=1,2,3,… неравенство

                                                                                                                            (15)

выполняется для всех значений х одновременно. Фиксируя на момент n и m, рассмотрим функцию

eё производная

В силу (15), по абсолютной величине всегда меньше . Но, очевидно,

где c содержится  между  и х (теорема Лагранжа).

Поэтому, окончательно, для всех

                                                    

так как это неравенство имеет место лишь только n>N, каково бы ни было m=1,2,3,…, то равномерная сходимость ряда (14) этим доказана. Отсюда уже вытекают все нужные нам заключения.

Прежде всего, взяв  из равномерной сходимости ряда

 а с ним и     

и из сходимости ряда  заключаем о равномерной же сходимости ряда .

Если через f(x) обозначить его сумму, то суммой ряда (14), где  есть снова любое значение х а промежутке [a,b], - очевидно, будет  .  Так как в равномерно сходящемся ряде можно переходить к пределу почленно( по теореме о почленном переходе к пределу*), то, устремляя х к , получим:

Замечание. Все эти теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании устанавливают аналогию между функциональными рядами и суммами конечного числа функций. Аналогия эта, однако, ограничена известными условиями, в характеристике которых равномерная сходимость занимает исключительное место.

 

y

x


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40659. Деньги, денежная система и ее регулирование 34.5 KB
  Но уже с самого зарождения товарного обмена начался процесс формирования будущих денег. Возникновение денег закономерный результат развития товарного обращения и форм стоимости. Сущность денег раскрывается в их функции. Без денег возможен только прямой обмен предполагающий что у каждого из партнеров есть то что нужно другому.
40660. Издержки производства и их виды. Динамика издержек производства 163.5 KB
  Издержки производства и их виды. С этой точки зрения можно утверждать что издержки которые следует учитывать при принятии экономических решений это всегда альтернативные издержки т. Как правило основная часть затрат фирмы представляет собой явные издержки денежные выплаты поставщикам факторов производства. Другими словами явные издержки фирмы это ее фактические расходы на оборудование сырье энергию полуфабрикаты заработную плату аренду помещения и т.
40661. Стратегии предприятия и процесс их разработки 64 KB
  Стратегии предприятия и процесс их разработки. Определение стратегии для фирмы принципиально зависит от конкретной ситуации в которой находится фирма. Однако существуют некоторые общие подходы к формулированию стратегии и некоторые общие рамки в которые вписываются стратегии. Такое понимание стратегии справедливо только при рассмотрении на верхнем уровне управления организации.
40662. Функция фирмы, измерение результатов производственной деятельности 40.5 KB
  Функция фирмы измерение результатов производственной деятельности. Коуз считают что появление фирмы объясняется необходимостью уменьшения трансакционных внешних издержек. Деятельность фирмы характеризуют: функции принципы целевая направленность оптимальный размер. Основные функции фирмы: мобилизующая состоящая в объединении различных факторов производства для создания благ и услуг; производственная связана с рациональным использованием ресурсов; инвестиционная связана с инвестированием денежных средств в развитие основного...
40663. Рынок труда. Региональные особенности рынка труда в современной России 38.5 KB
  Рынок труда. Региональные особенности рынка труда в современной России. Специфика рынка труда во многом определяется особенностями того товара который на нем представлен. Поэтому на рынке труда продается и покупается не сам труд а услуги труда количество и качество которых зависят от многих факторов уровня профессиональной подготовки работника его квалификации опыта добросовестности и других.
40664. Инфляция: особенности российской инфляции и антиинфляционная деятельность государства 115 KB
  Инфляция: особенности российской инфляции и антиинфляционная деятельность государства. Сущностью инфляции является дисбаланс между совокупным предложением и совокупным спросом в сторону превышения последнего сложившийся одновременно на всех рынках на товарном денежном и рынке ресурсов. Это открытая форма инфляции. Некоторые экономисты полагают что дефицит это антипод открытой инфляции: если отпустить цены то дефицит быстро исчезнет но за это придется заплатить повышением общего уровня цен.
40665. Социальная политика государства 35 KB
  Исходя из приоритета анализа экономики необходимо прежде всего остановиться на регулировании доходов непосредственных Участников хозяйственной деятельности. Дело в том что внутренние механизмы рыночной саморегуляции и распределения доходов не могут быть признаны социально удовлетворительными. Требуется государственное вмешательство с целью корректировки системы распределения и перераспределения доходов в обществе. При этом необходимо сознавать что регулирование доходов отношения найма занятости относятся не только к сфере...
40666. Многообразие форм собственности в рыночной экономике 49.5 KB
  Многообразие форм собственности в рыночной экономике. Так человек обладая собственностью на свою рабочую силу и вступая в отношения найма присваивает заработную плату и тем самым реализует экономическое отношение собственности. Право собственности закрепляет фиксирует и регулирует отношения людей к вещам и в этом смысле оно всегда производно от экономических отношений собственности. Но в то же время оно выступает и предпосылкой экономического присвоения ибо закрепленное право собственности на любые блага открывает путь к экономической...
40667. Конкуренция как условие функционирования рыночной экономики. Виды конкуренции 46 KB
  Конкуренция как условие функционирования рыночной экономики. Конкуренция это соперничество товаропроизводителей за выгодные условия хозяйствования и получение максимальной прибыли. Конкуренция основана на частной собственности и хозяйственной самостоятельности. По форме конкуренция представляет систему норм правил и методов хозяйствования рыночных субъектов.