91146

Классический метод безусловной оптимизации функции многих переменных

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Для функции многих переменных условия оптимальности формулируются следующим образом. Определить точки локальных экстремумов функции . Итерационные методы поиска точек экстремума функций одной переменной Принято разделять итерационные методы поиска точек экстремума на: Пассивные; Активные Пассивные методы поиска Метод оптимизации называется пассивным когда все точки вычислений характеристик задачи в данном случае значения целевой функции выбираются одновременно до начала вычислений.

Русский

2015-07-13

1.23 MB

3 чел.

PAGE  21

Лекция 4

Классический метод безусловной оптимизации функции многих переменных

Для функции f(x) многих переменных точка х представляет собой вектор, f'(x) - вектор первых производных (градиент) функции f(x), f " (x) - симметричную матрицу вторых частных производных (матрицу Гессе - гессиан) функции f(x).

Для функции многих переменных условия оптимальности формулируются следующим образом.

Необходимое условие локальной оптимальности. Пусть f(x) дифференцируема в точке . Если - точка локального экстремума, то

. (1.3)

Как и ранее, точки, являющиеся решениями системы уравнений (1.3), называются стационарными. Характер стационарной точки  связан со знакоопределенностью матрицы Гессе .

Достаточное условие локальной оптимальности. Пусть F(x) дважды дифференцируема в точке , причем F'(x*)=0. т.е. x* - стационарная точка. Тогда, если матрица F"(x*) является положительно (отрицательно) определенной, то x* - точка локального минимума (максимума); если матрица F"(x*) является неопределенной, то x* - седловая точка.

Если матрица F"(x*) является неотрицательно (неположительно) определенной, то для определения характера стационарной точки x* требуется исследование производных более высокого порядка.

Для проверки -знакоопределенности матрицы, как правило, используется критерии Сильвестра. Согласно этому критерию, симметричная матрица А является положительно определенной в том и только том случае, если все ее угловые миноры положительны. При этом угловым минором матрицы А называется определитель матрицы, построенной из элементов матрицы А. стоящих на пересечении строк и столбцов с одинаковыми (причем первыми) номерами. Чтобы проверить симметричную матрицу А на отрицательную определенность, надо проверить матрицу (-А) на положительную определенность.

Пример. Определить точки локальных экстремумов функции

.

Решение.

Находим первые частные производные F(x):

.

Решаем систему уравнений

Разрешаем уравнение (2) относительно

Подставляя полученное выражение в уравнение (1). Находим .

Соответственно

.

Таким образом, получили две стационарные точки (N = 2):

.

Находим вторые частные производные F(x):

Составляем матрицу Гессе

.

Дальнейшее рассмотрение будем вести для одной стационарной точки – Х2

Находим :

Вычисляем угловые миноры :

M1=|10|>0,

Поскольку матрица является положительно определенной, то  является точкой локального минимума.

Ответ: функция  имеет в точке x=(5/3,8/3) локальный минимум.

Итерационные методы поиска точек экстремума 

функций одной переменной

Принято разделять итерационные методы поиска точек экстремума на:

  •  Пассивные;
  •  Активные

Пассивные методы поиска ()

Метод оптимизации называется пассивным, когда все точки вычислений характеристик задачи (в данном случае значения целевой функции) выбираются одновременно до начала вычислений.

Метод перебора

Разобьем отрезок [a,b] на котором ищется экстремум на n равных частей точками деления xi=a+i(b-a)/n. Вычислив значение функции в точках xi, путем сравнения  найдем точку xm для которой значение функции минимальное (максимальное).

Кол-во точек можно выбирать исходя из погрешности определения экстремума .

n>=(b-a)/

Активные методы поиска экстремума

Метод оптимизации называется активным, если точки xi, , вычислений характеристик задачи (в данном случае значений целевой функции) выбираются последовательно, с учетом информации, полученной на предыдущих шагах.

Методы дихотомии (половинного деления)

Суть метода заключается в том, что заданный отрезок [а; b] делится пополам:

.

Затем в каждой из половин отрезка [а; с] и [с; b] выбираются по одной точке x1 и х2, в них вычисляются значения функций, производится сравнение полученных значений, и в результате сравнения устанавливается отрезок, в котором минимума быть не может. Откинув его, продолжаем ту же процедуру с полученным отрезком до тех пор, пока вновь полученный отрезок не станет меньше по длине некоторой наперед заданной величины:

.

Скорость достижения  очевидно зависит от величины откидываемого отрезка. Поэтому x1 и х2 выбираются симметрично на расстоянии :

 (4)

где δ> 0 - малое число.

В конце вычислений по методу дихотомии в качестве приближенного значения х* берут середину последнего из найденных отрезков [а; b], убедившись предварительно, что достигнуто неравенство .

Опишем алгоритм метода деления отрезка пополам.

Шаг 1. Определить середину отрезка и значения x1 и х2 по формулам (4). Вычислить f (x1) и f (x2).

Шаг 2. Сравнить f (x1) и f (x2). Если , то перейти к отрезку [а; x2], положив b = x2, иначе - к отрезку [x1; b], положив а = x1.

Шаг 3. Найти достигнутую точность . Если  то перейти к следующей итерации, вернувшись к шагу 1. Если , то завершить поиск х*, перейдя к шагу 4.

Шаг 4. Положить

.

Пример. Определить методом дихотомии минимум функции , заданной на отрезке =[1,3], при N=4 и =0,1

Поиск экстремума методом золотого сечения

В методе Деление отрезка пополам (для отыскания минимум: функции) представляется естественным, но явно не единственным путем решения задачи. Интуитивно ясно, что если последовательно делить отрезок на две части другим способом, то можно достичь того же результата. Возникает вопрос: какой способ деления отрезка наиболее эффективен для поиска минимума унимодальной функции? В связи с этим вопросом возникает метод та называемого золотого сечения.

Золотое сечение — это такое пропорциональное деление отрезка на части, при котором весь отрезок относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; другими словами, меньший отрезок относится к большему, как больший к всему.

АС2=АВ*СВ

АВ есть 1, больший член АС есть , тогда СВ=1-

2=1*1-

Откуда

 

1-=0,382

Обозначим Ф1=0,382  Ф2=0,618

В случае метода золотого сечения используются два условия окончания вычислений:

а) выполнение заданного количества вычислений N,

б) достижение заданной величины   уменьшения отрезка локализации.

Итак, алгоритм поиска минимума унимодальной функции методом золотого сечения заключается в следующем.

  1.  Задается N (либо ), получается j=1
  2.  На j–й итерации вычисляются

x1(j) = a(j-1) + Ф1(b(j-1) - a(j-1)),

x2(j) = a(j-1) + Ф2(b(j-1) - a(j-1)),

f1(j) = f(x1(j)),  f2(j) = f(x2(j)).  

Если  то

Если  то

Проверяется условие окончания вычислений

Если оно выполняется, то определяются итоговый отрезок локализации, оценки точки минимума х* и величины минимума f* и вычисления завершаются.

Если условие не выполняется, то полагается j=j+1 и осуществляется переход к п.2.

Пример. Определить методом золотого сечения минимум функции

f(x) = х4 - 6х2 +10 , заданной на отрезке =[1,3], при N=4.

Решение.

В данном случае будут выполнены N -1 = 3 итерации. Результаты вычислений заносим в табл. 4.5.

Таблица 4.5

Номер итерации

0

1

2

3

-

1,764* 1,472* 1,764

-

2,236* 1,764 1,944*

-

1,012 1,694 1,012

<

>

<

-

4,999 1,012 1,607

1

1

1,472 1,472

3

2,236 2,236 1,944


Поскольку j = N -1 = 3 , то вычисления завершаются.

Точка минимума локализована на отрезке = [1,472; 1,944], =1,764,   

= 1,012. Ответ: = [1,472; 1,944], х*  1,764,    f*  1,012.

В пересчете на одно измерение метод золотого сечения лучше метода дихотомии, ибо конечный диапазон изменения его минимума меньше нежели в методе дихотомии.

Поиск экстремума методом Фибоначчи 

Пусть нужно определить минимум с наименьшим возможным интервалом неопределенности (точность), но при этом можно выполнить только n вычислений функции. Как следует выбрать точки, в которых вычисляется функция?

Очевидно, что надо сделать так, чтобы значения функции, полученные в предыдущих экспериментах, определяли положение последующих точек.

Предположим, что имеется интервал неопределенности (x1,x3) и известно значение функции f(x2) внутри этого интервала. Если можно вычислить значение функции всего один раз в точке x4, то где следует поместить точку x4, чтобы получить наименьший возможный интервал неопределенности?

Пусть x2-x1=L, x3-x2=R, L>R. Эти значения фиксированы, если известны x1,x2,x3.

Если x4 находится в интервале (x1,x2), то:

1) если f(x4)<f(x2), то новым интервалом неопределенности будет  (x1,x2)длиной x2-x1=L;

2) если  f(x4)>f(x2), то новым интервалом неопределенности будет  (x4,x3)длиной x3-x4.

Поскольку неизвестно, какая из этих ситуаций будет иметь место, выберем x4 таким образом, чтобы минимизировать наибольшую из длин x3-x4 и x2-x1. Достигается это тем, что x4 помещается в (x1,x3) симметрично относительно x4. В этом случае x3-x4 = x2-x1. В любом другом случае размещения x4 может быть так, что полученный интервал будет больше L.

Если окажется, что можно выполнить еще одно вычисление, то следует применить описанную процедуру к интервалу (x1,x2) или (x4,x3). Последовательное применение такой процедуры и образует итерационный процесс приближения к точке минимума, называемый поиском Фибоначчи.

Числа Фибоначчи определяются следующим образом:

F0=1, F1=1,Fk=Fk-1+Fk-2, k=2,3,...

то есть  (1,1,2,3,5,8,13,21,...)

Если начальный интервал (a,b) имеет длину L=(b-a),  ε - точность вычисления значения функции, то конечный интервал неопределенности будет равен

       

то есть уменьшится в Fn раз (пренебрегая ε) и это наилучший гарантированный результат.

Отметим, что в начале поиска, когда известны только a и b, необходимо правильно установить первую внутреннюю точку. Она размещается на расстоянии L2 от любого конца интервала

то есть тоже определяется с помощью чисел Фибоначчи.

 

Итак, алгоритм поиска минимума унимодальной функции методом Фибоначчи заключается в следующем.

1. Задается N, определяются числа Фибоначчи Fk, , выбирается  из условия

Полагается j= 1.

  1.  На j-й итерации вычисляются

Если  то

Если  то

  1.  Проверяется условие окончания вычислений

j = N -1.

Если оно выполняется, то определяются итоговый отрезок локализации, оценки точки минимума х* и величины минимума f* = f(x*) и вычисления завершаются.

Если условие не выполняется, то полагается j = j+1 и осуществляется переход к п.2.

Примечание. На j-й, j>1, итерации вычисляется только та точка , i= 1,2, которая не была определена на предыдущей итерации.

Отметим, что оценкой точки минимума х* является та из точек , i = 1,2, которая осталась внутри итогового отрезка локализации .

Пример. Определить методом Фибоначчи минимум функции f(х) = х4 - 6х2 +10, заданной на отрезке  =[1,3], при N=4.

Решение.

В данном случае будут выполнены N -1 = 3 итерации.

Определяем числа Фибоначчи Fk, k=:

F0 = F1, F2 = 2, F3 = 3, F4 = 5, F5 = 8.

Выбираем=0,1

Первая итерация

Вторая итерация

Третья итерация

Результаты вычислений заносим в табл. 4.4.

Таблица 4.4

Номер итерации

0

1

3

1

1,78*

2,22*

1,028

<

4,719

1

2,22

2

1,44*

1,78

1,858

>

1,028

1,44

2,22

3

1,78

1,88*

1,028

<

1,286

1,44

1,88

Примечание. Знаком * помечаем точки , , i=1,2, вычисляемые на j-й итерации.

Поскольку j=N-1=3, то вычисления завершаются.

Точка минимума локализована на отрезке  =[1,44; 1,88],

= 1,78, = 1,028 .

Ответ:  =[1,44; 1,88],  1,78, 1,028 .

График функции

Значение Х

Значение функции

1

5

1,2

3,4336

1,4

2,0816

1,6

1,1936

1,8

1,0576

2

2

2,2

4,3856

2,4

8,6176

2,6

15,1376

2,8

24,4256

3

37

Заключение

Асимптотически метод золотого сечения переходит в метод Фибоначчи. Окончательный интервал в методе «золотого» сечения всегда на 17% больше чем в методе Фибоначчи. Если количество измерений не задано, то чаще используется метод «золотого» сечения, если задано - то метод Фибоначчи.

Интерполяционные методы отыскания экстремума функции первого порядка

Рассмотренные выше методы позволяли найти малый интервал, в котором находится минимум функции, причем от самой функции мало что зависело, ее свойства вообще не принимались во внимание. Это выглядит довольно странным, что и приводит к идее о том, что возможен и другой подход: используется несколько значений функции в определенных точках.

Метод хорд (секущих)

Метод хорд относится к последовательным методам первого порядка. В основе данного метода лежит следующее обоснование. Необходимым и достаточным условием глобального минимума выпуклой непрерывно дифференцируемой функции является равенство f '(х) = 0. Если на концах промежутка [a,b] производная f '(х) имеет разные знаки, т.е. f '(a) f '(b) < 0, то на промежутке найдется точка, в которой f '(х) обращается в нуль, и поиск точки минимума f (х) на промежутке [a,b] эквивалентен решению уравнения

f '(х)=0, x [a,b]

Для приближенного решения данного уравнения можно использовать метод хорд. Этот метод основан на сокращении отрезков путем определения точки у пересечения с осью ОХ хорды графика функции f '(х). Координата точки у определяется по формуле 

Отрезок дальнейшего поиска [a; y] или [y; b]  выбирается в зависимости от знака f '(y). Если f '(y) > 0, то выбирается [a; y], если f '(y) < 0 - [y; b] .

Таким образом, метод используется при наличии информации об отрезке [a;b] таком, что f'(a) < 0, a f'(b) > 0.

Алгоритм

Шаг 1. Задать начальный промежуток неопределенности L0 = [a0,b0] и > 0  - требуемую точность. Положить k = 0.

Шаг 2. Вычислить .

Шаг 3. Вычислить f'(yk).

Шаг 4. Если  , то положить х* = ук, f (х*) = f(yk) и поиск завершить, иначе перейти к шагу 5.

Шаг 5. Если f'(yk)> 0, то положить b = уk, f'(b)= f'(yk), иначе положить       а = уk,  f'(a) = f'(yk). Положить k = k +1 и перейти к шагу 2.

В данном методе мы предполагали, что f'(a) f'(b) <0. При нарушении этого условия точку х* можно указать сразу. Так, если f'(a) > 0 и f'(b) > 0, то f(x) возрастает на [a,b] следовательно, х*=а, если f’(a)< 0 и f’(b)< 0, то f(x) убывает на [a,b] следовательно, х*=b. В случае, если производная равна 0 на одном из концов отрезка [a,b], то этот конец и является решением задачи.

Пример 4. Найти минимум функции f(x) = х4 +e-x  методом хорд.

Решение. В качестве начального промежутка неопределенности возьмем промежуток L0 = [a0,b0] = [0;1], положим  = 0,05.

 

На 6-й итерации получаем промежуток с концами a5=0.504, b5=1. На данном промежутке метод генерирует точку у5 =0.516, в которой f'(y5)= -0.046. Алгоритм завершает работу, поскольку достигнута требуемая точность | f'(y5)| <  = 0,05.

Существует и модификация метода хорд не связанная с вычислением производной. В зависимости от того, лежат ли точки xi-1 и xi по разные стороны от корня x* или же по одну и ту же сторону, получаем такие чертежи:

Рис.9.14.Построение последовательного приближения по методу хорд: два случая

И корень будем искать как функцию с угловым коэффициентом, равным разностному отношению

построенному для отрезка между точками xi-1 и xi

Решая уравнение l(x)=0, находим

 Пример 9.8   Решим уравнение x3+2x2+3x+5=0 методом хорд. Зададимся точностью =0.00001и возьмём в качестве начальных приближений x0 и x1 концы отрезка, на котором отделён корень: x0 =-2, x1=-1. Итерационная формула метода хорд при f(x)=x3+2x2+3x+5 имеет вид

По этой формуле последовательно получаем:

x2 = -1.75; x3 = -1.905660; x4 = -1.840182; x5 = -1.843603; x6 = -1.843735;

x7 = -1.843734; x8 = -1.843734

Седьмое приближение уже дало нам значение корня с нужной точностью; восьмая итерация понадобилась для того, чтобы убедиться: с заданной точностью значение перестало изменяться. Получаем, что  =-1.843734

Интерполяционные методы отыскания экстремума функции второго порядка

Метод Ньютона

Метод Ньютона является последовательным методом второго порядка. Предполагается, что функция f(x) дважды дифференцируема, причем f”(x) > 0 (это гарантирует выпуклость функции f(x)). В этом случае корень уравнения f’(x) = 0 можно приближенно искать методом касательных. В отличие от предыдущих методов, метод Ньютона не относится к методу сокращения промежутков. Для начала работы метода вместо задания начального промежутка неопределенности требуется задание начальной точки х0. в которой вычисляется f’(x0) и f”(x0). В процессе работы метода генерируется последовательность хk, k = 1,2... В очередной точке хk строится линейная аппроксимация функции f’(x) (касательная к графику f’(x)). Точка, в которой линейная аппроксимирующая функция обращается в нуль, используется в качестве следующего приближения xk+1.

Уравнение касательной к графику f’(x) в точке xk имеет вид

у = f’(xk) + f”(xk)(x- xk), поэтому точка xk+1, найденная из условия у = 0, определяется формулой

Процедура нахождения точек xk продолжается до тех пор. пока не будет достигнута требуемая точность, т.е. | f’(xk)|.

Алгоритм

Шаг 1. Задать начальную точку x0, > 0 - требуемую точность.

Положить k = 0.

Шаг 2. Вычислить f’(xk).

Шаг 3. Если  | f’(xk)|, то положить х* = хk, f(x*) = f(xk) и поиск завершить, иначе перейти к шагу 4.

Шаг 4. Вычислить

Шаг 5. Положить k= k +1. Перейти к шагу 2.

Исследования метода Ньютона показывают, что при достаточно близком к точке минимума х* выборе начального приближения х0, гарантируется скорость сходимости последовательности хk, k = 0,1,... к х* вида |хk х*|, , С>0, q и С зависят от функции f(x) и выбора точки x0. Если начальное приближение x0 выбрано не достаточно близко к точке х*, то последовательность хk, k = 0,1,... метода Ньютона может расходиться. В подобных случаях необходимо найти лучшее начальное приближение х0, например, с помощью нескольких итераций метода золотого сечения.

Пример 5. Найти минимум функции f(х) = xarctgx - ln(1 + x2 ) методом Ньютона.

Решение. Данная функция дважды дифференцируема и . В качестве начального приближения возьмем точку х0 = 1, положим =10-7.

1. Вычислим f’(x0)= 0,785.

2. Поскольку | f’(x0)| >= 10-7 , то перейдем к шагу 4.

3. Вычислим х1 = = -0,57.

4. Положим k = 1. Перейти к шагу 2.

5. Вычислим f ’(x1)= -0,519 .

6. Поскольку | f ’(x1)| > =10-7 , то перейдем к шагу 4.

7. Вычислим .

8. Положим k = 2. Перейти к шагу 2.

9. Поскольку | f ’(x2)| > =10-7, то перейдем к шагу 4.

10. Вычислим .

11. Положим k = 3. Перейти к шагу 2.

12. Вычислим  f ’(x3)= -1,061*10-3 .

13. Поскольку | f ’(x3)| > =10-7 , то перейдем к шагу 4.

14. Вычислим .

15. Положим k= 4. Перейти к шагу 2.

16. Вычислим f ’(x4) = 9*10-8 .

17. Поскольку | f ’(x3)| < =10-7, процесс поиска заканчивается. В качестве решения задачи принимается точка х* = x4 = 9* 10-8  0.

Быстрая сходимость метода Ньютона для рассмотренного примера объясняется хорошим выбором начального приближения х0. Если, например, для данной функции в качестве начального приближения выбрать х0 = 3, то методом будет генерироваться последовательность точек

x1 =-9,5; х2=124; х3 =-23905; х4 = 8,97*108; х5 =-1,27*101S;..., которая расходится.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45248. Деятельность корпоративной радиостанции и ТВ-центра: приоритеты, аудитория, содержание коммуникации 26.5 KB
  Обычно это организаци-ипартнеры со схожими корпоративными стандартами и принципами. Приоритеты: Главным приоритетом в деятельности корпоративной радиостанции и ТВ центра является формирование корпоративной культуры организации. Сообщения транслируемые по радио и ТВ должны отвечать на следующие вопросы: что происходит в организации почему это происходит в организации что должно произойти в организации Аудитория: Обычно эти самые радиостанции пли ТВ центры находятся на территории самой компании и вещают только на их территории то...
45249. Цели и содержание деятельности корпоративного сайта 28.5 KB
  Цели которые преследуют создатели сайтов: улучшение имиджа и поднятие престижа компании; продвижение торговой марки; доступность информации о продуктах и ценах для клиентов; поддержка дилерской сети доступность информации о продуктах и ценах для дилеров; прямая продажа продукции в Internet организация виртуального магазина; доступность внутренней информации для сотрудников работающих вне офиса; другое. служит дополнительным элементом фирменного стиля; укрепляет имидж и престиж поскольку в российских условиях не каждая...
45250. Информационное, организационное и финансовое обеспечение ПР- акции 28 KB
  Информационное организационное и финансовое обеспечение ПР акции 1. Формы опосредованной маркетинговой коммуникации нередко играют важнейшую роль в обеспечении акции. 3 этап формирование плана в основе которого лежат конкретные ПР-акции которые должны быть спланированы по времени и иметь свое отражение в СМИ репортажи интервью аналитический обзор и т. Организационное обеспечение также предполагает написание сценарного плана акции который включаете: а открытие акции включая представления гостей б содержание и последовательность...
45251. Представительские акции в ПР-технологиях: функции, формы, этапы подготовки 22.5 KB
  Представительский обед 7-8 часов вечера прибытие по приглашению не более чем за 10 минут до начала не опаздывать; 1 банкетный стол или несколько; приглашение с указанием места; правила рассадки – дамы и кавалеры сидят последовательно; приветственные тосты и рассадка от самых серьезных по убыванию. Время проведения около часа с переменой блюд: горячий стол музыкальная пауза сладкий стол кофе уход. Фуршет перед началом возможны некоторые объявления пока не сели за стол.
45252. Презентация как форма PR-акции: функции, этапы разработки и реализации 33 KB
  Полная готовность к проведению презентации –11 часов на час раньше назначенного времени – остается время на устранение мелких неполадок и недочетов. Приглашенных встречает первое лицо и ведущий презентации. Модератор ведущий выступает с предварительной речью приветствие и обращение к аудитории оглашение тем презентации представление участников президиума оглашение регламента проведения презентации представительский блок. Примечание: Все участники президиума имеют на руках специально подготовленные папки с материалами презентации...
45253. Ярмарка как форма ПР акции: функции, классификация, этапы разработки и реализации 29.5 KB
  Ярмарки –- это регулярно организуемые оптово-розничные рыночные мероприятия с ограниченным временем проведения где значительное количество экспонентов реализуют характерные услуги и товары одной или нескольких отраслей. Ярмарки имеют множество сходных признаков и характеристик деятельности с выставками однако на ярмарках производится не только демонстрация выставочных образцов но и прямая продажа продукции посетителям как оптом так и в розницу. Ярмарки зародились как мероприятие рыночного характера основной целью которого являлся сбыт....
45254. Выставка как форма ПР-акции: функции, классификация, этапы разработки и реализации 30.5 KB
  Выставки позволяют наглядно показать каких достижений добилась организация показать фирму с наиболее выгодной стороны и заинтересовать потенциальных потребителей. Функции: организация выставки вызывает у общественности мнение что фирма обладает положительными качествами: солидность успешность компетентность авторитетность. создание благоприятного общественного мнения о фирме в рамках выставки. Для чего проводятся мероприятия: освещение выставки в СМИ интервью доклады выступления с сообщением о деятельности фирмы качествах...
45255. Участие в выставке как В ПР акция: этапы организации, содержание информационной поддержки 31 KB
  Выбор конкретной выставки. стадия работы выставки работа в ходе функционирования выставки 5. Завязывание контактов в деловом мире страны-организатора выставки. Предоставление необходимой информации о самой фирме и ее продуктах формирование у потребителей знаний о конкретном товаре или услуге; формирование положительного имиджа фирмы доброжелательного отношения к ней поддержание репутации строительной фирмы на определенном этапе; поиск новых партнеров или агентов; формирование потребностей и стимулирование сбыта продукта; позиционирование...
45256. Выставочный стенд как форма ПР-коммуникаций: маркетинговые задачи, предметный формат, содержательное оформление 26 KB
  Маркетинговые задачи: Стенд это образ фирмы-экспонента в миниатюре воплощающий его общую предпринимательскую культуру. Отразить лицо фирмы.Иметь свое лицо название фирмы эмблема графическое изображение цвета что помогает идентификации фирмы и создает предпосылки для ее узнавания в будущем. Структура стенда: руководитель стенда документальное обеспечение представительские контакты с выставочным комитетом представление фирмы перед СМИ несколько стендистов рядовая публика привлечение к стенду и менеджер по продажам работа с...