9124

Сложение гармонических колебаний

Контрольная

Физика

Тема: Сложение гармонических колебаний Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты, условия усиления и ослабления. Биения. Уравнение биений и его анализ. Сложение взаимно перпендикулярных колеба...

Русский

2013-02-24

170.5 KB

93 чел.

Тема: Сложение гармонических колебаний

  1.  Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты,

условия усиления

и ослабления.

  1.  Биения. Уравнение биений и его анализ.

 

  1.  Сложение взаимно перпендикуляр-ных колебаний.

  1.  Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты, условия усиления и ослабления.

Под сложением колебаний понимают нахождение уравнения результирующих колебаний системы в тех случаях, когда эта система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах. Пример таких колебаний приведен на рисунке. В этом случае грузик 2 одновременно колеблется относительно грузика 1 на пружине b и вместе с ним на пружине a.

 

Для получения уравнения результирующих колебаний используем метод вращающегося вектора амплитуды. На рисунке показаны векторы А1 и А2, положения которых заданы фазами Ф1 и Ф2 в некоторый момент времени. Проекции этих векторов на выбранную ось определяют смещения S1(t) и S2(t), которые изменяются по гармоническому закону

 

(1)

Амплитуда Ар результирующих колебаний равна векторной сумме амплитуд А1 и А2. Для определения  амплитуды Ар результирующих колебаний запишем теорему косинусов для треугольника ОАА1

. (2)

Учитывая то, что ,  получим формулу для амплитуды Ар результирующих колебаний

, (3)

где ΔФ – разность фаз складываемых колебаний.

Фаза Фр результирующих колебаний определяется следующей формулой

. (4)

Уравнение результирующих колебаний записывается в следующем виде

, (5)

где Ар и Фр определяются формулами (3) и (4).

Таким образом, амплитуда Ар результирующих колебаний (и результирующее смещение) определяется разностью фаз складываемых колебаний

. (6)

Из формулы (6) видно, что если частоты складываемых колебаний равны (ω1=ω2), то разность их фаз не зависит от времени и определяется разностью начальных фаз

. (7)

Тогда и амплитуда результирующих колебаний не будет зависеть от времени, т.е. будет постоянной. В этом случае два колебания совершаются согласованно во времени и их называют когерентными.

Когерентными называются колебания, для которых разность фаз постоянна.

Гармонические колебания с одинаковыми частотами являются когерентными.

При сложении гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты результирующее колебание также является гармоническим.

Различают два случая.

  1.  Разность фаз складываемых колебаний равна нулю или четному числу π

, где n = 0, 1, 2, 3… (7)

В этом случае  при любом целочисленном значении n и по формуле (3) получим для результирующей амплитуды

Ар = А1 + А2.

Таким образом, при выполнении условия (7) колебания совершаются в одинаковой фазе и усиливают друг друга. Поэтому условие (7) называют условием усиления колебаний одного направления при их сложении.

  1.  Разность фаз складываемых колебаний равна нечетному числу π

, где n = 0, 1, 2, 3… (8)

В этом случае  при любом целочисленном значении n и по формуле (3) получим для результирующей амплитуды

Ар = |А1  А2|.

Таким образом, при выполнении условия (8) колебания совершаются в противофазе и ослабляют друг друга. Поэтому условие (8) называют условием ослабления колебаний одного направления при их сложении.

Читателю предлагается самому посмотреть как влияют амплитуды А1 и А2 и начальные фазы φ01 и φ02 гармонических колебаний на результат сложения гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты.

Для этого необходимо навести курсор на диаграмму и двойным «клик» активизировать ее. Затем в открывшемся окне изменять значения указанных величин, приведенных в цветных ячейках. По окончанию работы с графиком таблицу EXEL закрыть с сохранением или без сохранения данных.

  1.  Биения. Уравнение биений и его анализ.

При сложении колебаний одного направления, но с неодинаковыми частотами разность фаз ΔФ (формула 6) будет изменяться с течением времени. Каждый из векторов А1 и А2 будет вращаться с разной скоростью и амплитуда результирующих колебаний будет изменяться с течением времени. В этом случае колебания не будут когерентными,  и результирующее колебание не будет гармоническим. При большом отличии значений частот ω1 и ω2 получается довольно сложное результирующее колебание. Например, при ω1=9ω2 график результирующего колебания имеет вид, показанный на рисунке.

Большой практический интерес представляет собой сложение гармонических колебаний одного направления с близкими частотами. Для простоты рассмотрим колебания с одинаковыми амплитудами А1 = А2 = А и начальными фазами, равными нулю . В этом случае уравнение результирующих колебаний будет иметь следующий вид (уравнение биений)

. (9)

При близких значениях частот ω1 и ω2 первый сомножитель

(10)

будет медленно и периодически изменяться с течением времени, и график результирующих колебаний будет иметь следующий вид (для одного периода биений).

В данном случае модуль величины, определяемой формулой (10) условно рассматривают как амплитуду А(t) результирующего колебания

. (11)

Уравнение результирующих колебаний записывается в следующем виде

. (12)

Рассмотренные колебания называются биением, а (12) называется уравнением биений.

Биением называется явление периодического изменения амплитуды результирующих колебаний, возникающее при сложении двух гармонических колебаний одного направления с близкими частотами.

Значение частоты Ωб, равное разности частот ω1 и ω2 складываемых колебаний называется частотой биений

. (13)

Учитывая связь между циклической частотой и периодом   можно получить следующую формулу для периода биений

. (14)

Из формулы (13) видно, что по мере сближения частот ω1 и ω2 частота биений уменьшается, обращаясь в ноль при ω1=ω2. На этом основан один из точных методов определения частоты неизвестных колебаний. В этом методе неизвестные колебания складываются с колебаниями регулируемой частоты, и измеряется частота биений. Неизвестную частоту определяют по исчезновению биений.

Читателю предлагается самому посмотреть как влияют периоды Т1 и Т2 и начальные фазы φ01 и φ02 гармонических колебаний на результат сложения гармонических колебаний одного направления с близкими частотами.

Для этого необходимо навести курсор на диаграмму и двойным «клик» активизировать ее. Затем в открывшемся окне изменять значения величин, приведенных в цветных ячейках. По окончанию работы с графиком таблицу EXEL закрыть с сохранением или без сохранения данных.

 

  1.  Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

 Пусть точка одновременно участвует в гармонических колебаниях  вдоль двух взаимно перпендикулярных направлений. Например, такое движение будет совершать «изображение» электронного луча на экране осциллографа, если на горизонтальные и вертикальные отклоняющие пластины подать гармонически изменяющиеся напряжения.

Свяжем направления колебаний точки (светового пятна) с прямоугольной системой координат, начало которой совпадает с положением равновесия. Смещения точки вдоль осей ОХ и ОY обозначим буквами x и y соответственно. Тогда уравнения рассматриваемых колебаний можно записать в следующем виде

. (15)

Уравнение результирующего движения получают исключением времени t из уравнений (15). В случае, когда значения частот складываемых колебаний не одинаковые, уравнение результирующего движения имеет довольно сложный вид. Это уравнение упрощается при равенстве значений частот (ω1=ω2=ω). В этом случае уравнение результирующего движения (уравнение траектории) принимает следующий вид

. (16)

Вывод уравнения (16) можно найти в книгах (А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. Курс физики, или Т.И. Трофимова. Курс физики). Только нужно учесть, что в книге Т.И. Трофимовой в формуле (145.2) под величиной φ следует понимать разность начальных фаз складываемых колебаний.

Уравнение (16) показывает, что в общем случае, в результате сложения взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты точка будет описывать эллипс с произвольной ориентацией осей. Ориентация осей эллипса, а также его размеры определяются значениями амплитуд А1, А2 и разности начальных фаз (φ02φ01) складываемых колебаний.

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1) , где (17)

В этом случае третье слагаемое уравнения (16) обращается в ноль, правая часть равняется единице и получается уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат ОХ и ОY, а размеры полуосей равны амплитудам А1 и А2

. (18)

При этом, если А1 = А2, то уравнение (18) переходит в уравнение окружности. Т.е. точка будет описывать окружность

.(19)

2) , где (20)

В данном случае правая часть уравнения (16) обращается в ноль,  и уравнение (16) переходит в уравнение прямой

. (21)

Т.е. точка будет гармонически колебаться с частотой ω и амплитудой вдоль прямой, составляющей с осью ОХ угол α, равный .

Таким образом, в зависимости от значений амплитуд и разности фаз складываемых взаимно перпендикулярных колебаний результирующее колебание будет происходить по эллипсу, по окружности или вдоль прямой линии. Такие колебания называются эллиптически поляризованными, циркулярно поляризованными или линейно поляризованными соответственно.

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний не равны, то получаются замкнутые траектории сложной формы, которые называются фигурами Лиссажу (по фамилии французского физика Ж. Лиссажу (1822-1880)). Форма фигур Лиссажу определяется соотношением значений амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний. По форме фигуры Лиссажу можно определить значение частоты одного из колебаний, если известно значение частоты другого колебания.

Читателю предлагается самому посмотреть как влияют амплитуды А1 и А2, периоды Т1 и Т2 и начальные фазы φ01 и φ02 гармонических колебаний на результат сложения взаимно перпендикулярных колебаний.

Для этого необходимо навести курсор на диаграмму и двойным «клик» активизировать ее. Затем в открывшемся окне изменять значения величин, приведенных в цветных ячейках.

Сначала предлагается при равенстве периодов Т1 и Т2 изменять амплитуды и начальные фазы и проверить справедливость формул (17-21). После чего последовательно изменяя значения всех параметров наблюдать фигуры Лиссажу.

По окончанию работы с графиком таблицу EXEL закрыть с сохранением или без сохранения данных.

Вопросы для самопроверки:

  1.  Какие колебания называются когерентными?
  2.  При каких условиях сонаправленные колебания будут усиливать либо ослаблять друг друга?
  3.  Что называется биением? Какой формулой определяется частота биений?
  4.  При каких условиях получаются эллиптически, циркулярно или линейно поляризованные колебания

1

2

b

a

Ф2

Ф1

ΔФ=Ф2 – Ф1

А1

А2

А

0

S2(t)

S1(t)

X

x

y

·

  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27533. Презумпции и фикции в праве 27.5 KB
  Все приёмы законодательной техники делятся на 2 группы: 1 юридические средства это допустимые правом предметы и явления с помощью которых обеспечивается достижение поставленных целей и получения результатов юридические термины и понятия; юридические конструкции; юридические символы; перечисления; юридические презумпции; юридические фикции; 2 юридические способы пути достижения намеченных целей с помощью конкретных юридических средств и при наличие условий и предпосылок законодательной практики способы структуризации; способы...
27534. Приведите примеры юридических фактов-действий 30 KB
  Юридический факт конкретные социальные обстоятельства события действия вызывающие в соответствии с нормами права наступление определенных правовых последствий возникновение изменение или прекращение правовых отношений. Классификация: 1 по характеру наступающих последствий: а правообразующие поступление в вуз; б прамоприменяющие перевод с очной формы на заочную; в правопрекращающие окончание вуза; 2 по связи с волей участников правоотношений: а события обстоятельства независящие от воли субъекта стихийное бедствие...
27535. Принципы права: понятие, классификация и значение 28 KB
  Принципы права исходные нормативноруководящие начала императивные требования определяющие общую направленность правового регулирования общественных отношений. Принципы права обусловлены рядом факторов: уровень экономического развития; особенности политической системы; социальноклассовые природы государства. Принципы российского права: 1 принцип справедливости; 2 принцип равноправия равенство перед законом и судом; 3 единство прав и обязанностей; 4 гуманизм основан на уважении человека его достоинства и прав; 5...
27536. Проиллюстрируйте соотношение норм права и статьи закона на примере ст.8.13 КоАП РФ 30 KB
  Соотношение между статьей и нормой во многом зависит оттого что перед нами логическая норма или норма предписание. Если это норма предписание то она полностью содержится в статье. В одной статье может содержаться две или более нормы предписания. Логическая норма может находиться в составе трех ее элементов и одной целой статье но тогда диспозицию или санкцию нужно выводить в статье логическим путем.
27537. Публичная (политическая власть) признак государства 23.5 KB
  Имеется в виду то что: 1 государство является властью которая не сливается с обществом а выделяется из него будучи относительно самостоятельной по отношению к обществу в определенном смысле над ним; 2 государственная власть внешне и официально представляет все общество выступает в качестве особого органа управления обществом; 3 эта власть призвана обеспечить поддержание правопорядка нормальной жизнедеятельности людей; 4 публичная власть как разновидность политической власти означает наличие у нее особого аппарата включающего...
27538. Разделение власти как принцип организации деятельности правового государства 27 KB
  Правовое государство можно определить как организацию политической власти в обществе основанную на верховенстве правового закона. Государство возлагает на граждан юридические обязанности запрещая совершать противоправные и обязывая совершать правомерные действия и в случае их неисполнения привлекает их к юридической ответственности. В свою очередь государство приобретая ряд монопольных прав на правотворчество на применение государственного принуждения на сбор налогов на эмиссию денежных знаков и др. Государство должно не просто...
27539. Рассмотрите отличия государственной власти от власти общественной 28 KB
  Рассмотрите отличия государственной власти от власти общественной. Таким образом можно выделить две основные особенности общественной власти характерные для первобытнообщинного строя: 1. Главными органами власти являлись: род собрание старейшина при необходимости военачальник. Эта власть по существу сливалась с населением так как не существовало разграничения между субъектом и объектом власти общество одновременно было и объектом и субъектом власти.
27540. Рассмотрите соотношение права и религиозных норм 29.5 KB
  Рассмотрите соотношение права и религиозных норм. Сходство норм права и религиозных норм имеет практически те же черты что и сходство норм права и норм морали и выражается в нормативности совокупность определенных норм являющихся образцом масштабом поведения людей универсальности эти нормы распространяются на общественные отношения общности права и религии в нормативноценностных критериях правомерного и неправомерного. В настоящее время принято выделять семьи религиозного права где в качестве основных источников права выступают...
27541. Система права: понятие и основные элементы 31 KB
  Система права: понятие и основные элементы. Система права явление объективное хотя оно и находит свое проявление вовне через деятельность законодателя. Структура права предопределена в конечном счете характером общественных отношений на том или ином этапе общественного развития. Таким образом система права это внутреннее строение права деление его на отрасли подотрасли и правовые институты в соответствии с предметом и методом правового регулирования.