9125

Затухающие и вынужденные колебания

Контрольная

Физика

Тема: Затухающие и вынужденные колебания Собственные колебания реальной системы. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Коэффициент затухания. Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний. Амплитуда и ...

Русский

2013-02-24

112 KB

51 чел.

Тема: Затухающие и вынужденные колебания

  1.  Собственные колебания реальной системы. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

Коэффициент затухания.

 

 

  1.  Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний.

Амплитуда

и частота затухающих колебаний.

  1.  Логарифмический декремент затухания.

Добротность колебательной системы.

Апериодический процесс.

  1.  Собственные колебания реальной системы. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Коэффициент затухания.

Раньше мы рассмотрели собственные колебания консервативных (идеальных) колебательных систем. В таких системах возникают гармонические колебания, которые характеризуются постоянством амплитуды и периода, и описываются следующим дифференциальным уравнением

. (1)

В реальных же колебательных системах всегда присутствуют силы, препятствующие колебаниям (силы сопротивления). Например, в механических системах всегда присутствует сила трения. В этом случае энергия колебаний постепенно расходуется на работу против силы трения. Поэтому энергия и амплитуда колебаний будет уменьшаться, и колебания будут затухать. В электрическом колебательном контуре энергия колебаний расходуется на нагревание проводников. То есть реальные колебательные системы являются диссипативными.

Собственные колебания в реальных системах являются затухающими.

Чтобы получить уравнение колебаний в реальной системе необходимо учесть силу сопротивления. Во многих случаях можно считать, что при небольших скоростях изменения величины S сила сопротивления пропорциональна скорости

, (2)

где r – коэффициент сопротивления (коэффициент трения при механических колебаниях), а знак минус показывает, что сила сопротивления противоположна скорости.

Подставив силу сопротивления в формулу (2), получим дифференциальное уравнение, описывающее колебания в реальной системе

. (3)

Перенесем все члены в левую часть, разделим на величину m и введем следующие обозначения

(4), и  (5).

Как и прежде величина ω0 определяет частоту собственных колебаний идеальной системы. Величина же β характеризует диссипацию энергии в системе и называется коэффициентом затухания. Из формулы (5) видно, что коэффициент затухания можно уменьшить, увеличив значение величины m при неизменном значении величины r.

С учетом введенных обозначений получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний

. (4)

  1.  Решение дифференциального уравнения затухающих колебаний. Амплитуда и частота затухающих колебаний.

Можно показать, что при небольших значениях коэффициента затухания общее решение дифференциального уравнения затухающих колебаний имеет следующий вид

, (5)

где величина, стоящая перед синусом называется амплитудой затухающих колебаний

. (6)

Частота ω затухающих колебаний определяется следующим выражением

. (7)

Из приведенной формулы (7) видно, что частота собственных колебаний реальной колебательной системы меньше частоты колебаний идеальной системы.

График уравнения затухающих колебаний приведен на рисунке. Сплошной линией показан график смещения S(t), а штрихпунктирной линией показано изменение амплитуды затухающих колебаний.

Следует иметь в виду, что в результате затухания не все значения величин повторяются. Поэтому, строго говоря, понятия частоты и периода не применимы к затухающим колебаниям. В этом случае под периодом понимают промежуток времени, по прошествии которого колеблющиеся величины принимают максимальные (или минимальные) значения.

  1.  Логарифмический декремент затухания. Добротность колебательной системы. Апериодический процесс.

Для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний вводится логарифмический декремент затухания δ.

Логарифмическим декрементом затухания называется натуральный логарифм отношения амплитуд в моменты времени t и t+T, т.е. отличающихся на период.

По определению логарифмический декремент определяется следующей формулой

. (8)

Если вместо амплитуд в формуле (8) подставить формулу (6), то получим формулу, связывающую логарифмический декремент с коэффициентом затухания и периодом

. (9)

Промежуток времени τ, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации  . С учетом этого получим, что , где N – это число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз. То есть логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз. Если, например, β=0,001, то это означает, что через 100 колебаний амплитуда уменьшится в е раз.

Добротностью колебательной системы называется безразмерная величина θ, равная произведению числа 2π и отношения энергии W(t) колебаний в произвольный момент времени и убыли этой энергии за один период затухающих колебаний

. (10)

Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний, то заменив энергии в формуле (10) квадратами амплитуд, определяемых формулой (6), получим

. (11)

При незначительных затуханиях ,  и . С учетом этого для добротности можно записать

. (12)

Приведенные здесь соотношения можно записать для различных колебательных систем. Для этого достаточно величины S, m, k и r заменить соответствующими величинами, характеризующими конкретные колебания. Например, для электромагнитных колебаний Sq, mL, k→1/C и rR.

Апериодический процесс.

При большом значении коэффициента затухания β происходит не только быстрое уменьшение амплитуды, но и увеличение периода колебаний. Из формулы (7) видно, что при циклическая частота колебаний обращается в нуль (Т = ∞), т.е. колебания не возникают. Это означает, что при большом сопротивлении вся энергия, сообщенная системе, к моменту возвращения ее в положение равновесия расходуется на работу против силы сопротивления. Система, выведенная из положения равновесия, возвращается в положение равновесия без запаса энергии. Говорят, что процесс протекает апериодически. При этом время установления равновесия определяется значением сопротивления.

Читателю предлагается самому посмотреть как влияют значения величин r, m, Т1 и φ0 на характер колебаний реальной колебательной системы.

Для этого необходимо навести курсор на диаграмму и двойным «клик» активизировать ее. Затем в открывшемся окне изменять значения величин, приведенных в цветных ячейках. По окончанию работы с графиком таблицу EXEL закрыть с сохранением или без сохранения данных.

Вопросы для самопроверки:

  1.  Вывести уравнение затухающих колебаний. Какой вид имеет график уравнения затухающих колебаний?
  2.  Какой формулой определяется коэффициент затухания? Как можно уменьшить коэффициент затухания?
  3.  Записать закон изменения амплитуды затухающих колебаний.
  4.  Какой формулой определяется частота собственных колебаний реальной колебательной системы?
  5.  Что характеризует логарифмический декремент затухания?
  6.  Что понимают под добротностью колебательной системы?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30890. Методы оценки основных показателей гемодинамики 24 KB
  Методы оценки основных показателей гемодинамики Артериальное давление. Боковое измеряется некровавым косвенным методом: а пальпаторный метод РиваРоччи; б аускультативный метод Короткова; в осциллографический метод определяется количественно среднее давление а также систолическое и диастолическое давление. Метод позволяет оценить риск развития гипертонии ее тяжесть дать более точный прогноз развития болезни. Метод разведения красителя.
30891. Регуляция системной гемодинамики 51 KB
  Регуляция системной гемодинамики Система мониторинга АД и ОЦК В организме существует система слежения мониторинга артериального давления и объема циркулирующей крови. Мониторинг осуществляется афферентными системами нервные окончания которых способны воспринимать изменение давления а некоторые из них изменение объема циркулирующей крови. Они информируют об изменениях объема крови. Третья группа вибрационные рецепторы воспринимают изменения давления связанные с вихревым движение крови турбулентностью потока.
30892. Микроциркуляция 49.5 KB
  В зависимости от ультраструктуры стенки выделяют три типа капилляров: соматический висцеральный и синусоидный. Стенка капилляров соматического типа образована сплошным слоем эндотелиальных клеток в мембране которых имеется огромное количество мельчайших пор диаметром 45 нм этот тип капилляров характерен для кожи скелетных и гладких мышц миокарда легких. Стенки таких капилляров хорошо пропускают воду растворенные в ней кристаллоиды малопроницаема для белков. Такой тип капилляров в почках кишечнике эндокринных железах т.
30893. Особенности гемодинамики в различных сосудистых регионах. Легочное кровообращение 39.5 KB
  Очень низкий тонус легочных сосудов т. Мускулатура сосудов легких при снижении pO2 и повышении pCO2 в альвеолярном воздухе сокращается. В ответ на действие гистамина брадикинина дистантное влияние гладкая мускулатура легочных сосудов также сокращается вазоконстриктор ное действие т. пункт 2 Высокая растяжимость кровеносного русла Высокий базальный тонус коронарных сосудов.
30894. Особенности гемодинамики в различных сосудистых регионах. Почечный кровоток 42.5 KB
  Регуляция Миогенная регуляция ауторегуляция Даже небольшое увеличение объемной скорости портального кровотока приводит к повышению тонуса воротной вены и сопряженно констрикцию печеночной артерии. Оба этих механизма направлены на обеспечение постоянства кровотока и давления в синусоидах Гуморальная регуляция Дистантная регуляция Адреналин вызывают сокращение воротной вены в ней альфаадрено рецепторы и дилятации печеночной артерии в ней бетаадренорецепторы и усиливает печеночный кровоток. Норадреналин вызывает констрикцию воротной вены и...
30895. Лимфатическая система 42 KB
  В отличие от кровеносных сосудов по которым происходит как приток крови к тканям тела так и ее отток от них лимфатические сосуды служат лишь для оттока лимфы т. Состав и свойства лимфы Лимфа собираемая из лимфатических протоков во время голодания или после приема нежирной пищи представляет собой бесцветную почти прозрачную жидкость отличающуюся от плазмы крови в 3 4 раза меньшим содержанием белков. Вследствие малого содержания белков вязкость лимфы меньше а относительная плотность ниже чем плазмы крови. Реакция лимфы щелочная.
30896. Регуляция работы сердца 46 KB
  Регуляция работы сердца Регуляция деятельности сердца Механизм регуляции деятельности сердца: Саморегуляция. Законы саморегуляции деятельности сердца: Закон ФранкаСтарлинга сила сердечных сокращений пропорциональна степени растяжения миокарда в диастолу. Нервная регуляция деятельности сердца. Симпатическая нервная система: а перерезка волокон СНС нет изменений в деятельности сердца симпатические центры иннервирующие сердце исходно не обладают спонтанной активностью; б активация СНС хроно ино батмо и дромотропный...
30897. Дыхание 39.5 KB
  Внешнее дыхание вентиляция легких обмен газов между атмосферным воздухом и альвеолярным легочная вентиляция. Диффузия газов в легких обмен газов между альвеолярным воздухом и кровью в капиллярах легких.Вентиляция легких 2.Перфузия легких кровью интенсивность кровотока в легких .
30898. Биомеханика спокойного вдоха и выдоха 27 KB
  Биомеханика спокойного вдоха и выдоха Биомеханика спокойного вдоха В развитии спокойного вдоха играют роль: сокращение диафрагмы и сокращение наружных косых межреберных и межхрящевых мышц. Под влиянием нервного сигнала диафрагма наиболее сильная мышца вдоха сокращается ее мышцы расположены радиально по отношению к сухожильному центру поэтому купол диафрагмы уплощается на 1520 см при глубоком дыхании на 10 см растет давление в брюшной полости. Под влиянием нервного сигнала сокращаются наружные косые межреберные и межхрящевые мышцы. У...