9131

Методы анализа непрерывных линейных систем

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Методы анализа непрерывных линейных систем В теории управления, как и во многих других дисциплинах, рассматриваются две противоположные задачи - анализа и синтеза. Первая задача связана с описанием работы системы, определением ее характеристик...

Русский

2013-02-24

304.5 KB

1 чел.

Методы анализа непрерывных линейных систем

В теории управления, как и во многих других дисциплинах, рассматриваются две противоположные задачи – анализа и синтеза. Первая задача связана с описанием работы системы, определением ее характеристик. Применительно к теории управления в задаче анализа необходимо найти реакцию системы на входной сигнал или найти показатели качества, в косвенной форме характеризующие характер реакции системы на входные сигналы. Задача синтеза заключается в построении системы, удовлетворяющей заданным показателям качества (например, по быстродействию, динамическим свойствам). Задачу синтеза можно формулировать и решать, если хорошо отработаны методы анализа.

При анализе используются уравнения и характеристики, позволяющие судить о процессах в системе. Различают статические и динамические характеристики.

Первые характеризуют соотношение между выходом и входом в установившемся режиме.

Вторые, динамические характеристики определяют динамические свойства звена или системы, т.е. поведение в переходных режимах. Динамические свойства определяются дифференциальным уравнением или передаточной функцией (по Лапласу или частотной, т.е. по Фурье), а также временными характеристиками. О них речь пойдет в следующем разделе.

Статическая характеристика - это зависимость выхода от входа в установившемся режиме, т.е. после окончания переходного процесса, или, другими словами, по истечении достаточно большого времени ().

Отсюда усматривается способ экспериментального определения статической характеристики. Подадим на вход сигнал x(t) = const и после окончания переходного процесса измерим значение сигнала на выходе у(t) = const. В результате получим одну точку на статической характеристике (рис.2.1.1.). Повторим опыт для ряда точек х . Совокупность точек (х,у) образует экспериментально снятую статическую характеристику. Может оказаться, например, что при х(t) = const выходная величина изменяется по линейному закону у(t) = at, где a = dy/dt = const. В этом случае под статической характеристикой понимают зависимость а(х) в установившемся режиме.

Различают коэффициенты усиления по постоянному и по переменному сигналу  (рис.2.1.1)

По виду статической характеристики различает три типа звеньев: статического (позиционного), интегрирующего и дифференцирующего. Они показаны на рис.2.1.2 для линейных звеньев.

В зависимости от выбранной входной или выходной величины звено может быть того или иного типа. Например, напряжение на выходе тахогенератора пропорционально скорости вращения n его вала (звено позиционного типа).

Если за входную величину принять угол поворота  , то напряжение следует признать пропорциональным величине d/dt (звено дифференцирующего типа). У двигателя скорость вращения вала n пропорциональна напряжению питания (звено позиционного типа). Если за выходную величину принять угол поворота вала , то двигатель должен быть отнесен к звеньям интегрирующего типа.

Динамическая характеристика непрерывной линейной системы с постоянными параметрами.

Непрерывные линейные системы описываются обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами вида

        ,   (2.2.1)

где x(t) - входная величина (сигнал);   y(t) - выходная величина (реакция, или отклик системы).

Как видно из (2.2.1), дифференциальным уравнением называют уравнение, которое связывает выходную величину (или ошибку) и ее производные с входной величиной и ее производными (в частном случае только со входной переменной).

Если обозначить оператор дифференцирования буквой р:

                                 (2.2.2)

то уравнение (2.2.1) можно записать в символической форме

                                     (anpn +…+ a0)y(t) = (bmpm +…+ b0)x(t),       (2.2.3)

или                                                   A(p)y(t) = В(p)x(t),         (2.2.4)

где                              А(p) = anpn +…+ a0 ;      B(p) = bmpm +…+ b0 .

Следует иметь в виду, что в левой части уравнения принято записывать слагаемые, соответствующие выходной величине (зависимой переменной), а в правой  входной (независимой переменной). На структурной схеме звено или систему  изображают прямоугольником с сигналом (стрелкой в звено слева) на входе и сигналом (стрелкой из звена справа) на выходе. В сложной системе или, например, в случае обратной связи передача сигнала может быть показана в противоположном направлении (справа налево). Но в любом случае есть вход и выход и в дифференциальном уравнении слева все относится к входу, а справа – к выходу. Следует также иметь ввиду, что оператор дифференцирования р применяется к функциям x(t), y(t) и поэтому полиномы (операторы) В(р) и А(р) должны предшествовать этим функциям. Хотя формально в (2.2.3) и (2.2.4) имеются произведения функций (величин)  на операторы, а сомножители можно менять местами. Но в данном случае это не произведения, а условная запись применения операторов к функциям (величинам) и менять местами недопустимо. Это будет грубейшей ошибкой.

Система находится в свободном состоянии, если входной сигнал равен нулю. Соответственно движение системы в свободном состоянии описывается однородным дифференциальным уравнением, т.е. уравнением с нулевой правой частью:                                     А(р) y(t) = 0.      (2.2.5)

Известно, что решение дифференциального уравнения (2.2.4) можно представить в виде суммы общего и частного, т.е. 

                         y(t) = yобщ(t)+yчас(t) = + ,              (2.2.6)

где yобщ(t) является решением однородного дифференциального уравнения (2.2.5) и поэтому характеризует собственное движение системы, находящейся в свободном состоянии. Поэтому в литературе по теории автоматического регулирования иногда используется обозначение . Второе слагаемое в (2.2.6) характеризует движение под действием вынуждающей силы – внешнего воздействия. Поэтому в теории автоматического регулирования иногда используется обозначение . Найдем общее решение, т.е. решение однородного дифференциального уравнения (2.2.5), полагая, что его можно представить в виде

                                       yобщ(t) = еpt,                           (2.2.7)

где р = а +jb  есть пока неизвестное в общем случае комплексное число ( - мнимая единица).

Подставляя (2.2.7) и производные … в уравнение (2.2.5) и сокращая на 0, получим тождество

                                               А(р) = an pn+…+a0  = 0,        (2.2.8)

которое характеризует общее решение и потому называется характеристическим уравнением (с переменной р = а + jb – комплексным в общем случае числом).

Заметим, что в математической литературе, как правило, переменную характеристического уравнения обозначают буквой , а в теории управления той же буквой , что и оператор дифференцирования, не давая при этом никаких пояснений. Поэтому надо самостоятельно ориентироваться по обстановке какой смысл имеет переменная в конкретном случае, как говорят, по контексту.

Обратим также внимание на то, что запись А(р) = anpn +…+ a0 означает характеристический полином. Здесь нет уравнения (тождества, когда левая часть равна правой). В записи характеристического полинома знак равенства является оператором присваивания. Выражению anpn +…+ a0  присвоено имя А(р). Кроме того, в теории управления принято вместо А(р) характерис-тическому полиному присваивать имя D(p), т.е. А(р) = D(p).

Характеристическое уравнение – это алгебраическое уравнение n-й степени, которое на основании основной теоремы алгебры имеет n корней       p1,…., pn.. Корни в общем случае являются комплексными. Так как коэффициенты уравнения действительные, а не комплексные числа, то комплексные корни могут быть только комплексно-сопряженными. То есть каждому корню вида рi = аi +jbi соответствует сопряженный корень (с противоположной по знаку мнимой частью) вида  рi+1 = аi - jbi.

По теореме Безу характеристический полином можно представить в виде

                                D(p) = anpn +…+ a0 = an(p - p1)(p - pn).                   (2.2.9)        

Два комплексно-сопряженных множителя дают трехчлен с действительными коэффициентами [р - (аi+ jbi)][р - (аi  - jbi)] = [(p  аi) - jbi][(p  аi) + jbi] =      = ( p  аi)2 +  bi2, или  p 2- 2 аi р + (аi2 + bi)2. Действительный корень дает двучлен (р аi). Следовательно, в случае действительных и комплексно-сопряженных корней произведение двучленов и трехчленов дает многочлен с действительными коэффициентами. Отсюда, обратно, следует наличие комплексно-сопряженных корней в случае характеристического полинома с действительными коэффициентами.

Так как характеристическое уравнение имеет n корней, то и сумма решений вида (2.2.7) с разными рi будет удовлетворять однородному дифференциальному уравнению, т.е. быть его решением. Поэтому окончательно общее решение следует представить в виде суммы линейно-независимых решений 

                                         ,    (2.2.10)

где  Сi  произвольные постоянные, зависящие от начальных условий.

Рис.2.1.1. Статические характеристики а), б) и коэффициенты

усиления:  по постоянному в) и переменному г) сигналам

EMBED Visio.Drawing.11  

Рис.2.1.2. Звенья: а) статического;

б) интегрирующего;

в) дифференцирующего типа


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84486. Рецептори, їх класифікація та збудження 45.25 KB
  Рецептори спеціалізовані структури що забезпечують: а сприйняття інформації про дію подразника; б первинний аналіз цієї інформації сила якість час дії новизна подразника. За наявністю спеціалізованої сенсорної клітини: первинні інформація про дію подразника сприймається безпосередньо нервовим закінченням; вторинні інформації про дію подразника сприймається спеціалізованою сенсорною рецепторною клітиною а далі передається на нервове закінчення. За наявністю чи відсутністю допоміжних структур: вільні нервові закінчення ...
84487. Пропріорецептори, їх види. Будова та функції м’язових веретен 43.25 KB
  Пропріорецептори Мязів мязові веретена Суглобових сумок Сухожилків тільця Гольджі Види рецепторів Адекватний подразник Деформація Розтягнення Розтягнення Ступінь та швидкість розтягнення мязів Ступінь згинання розгинання в суглобі Ступінь та швидкість скорочення мяза так як при скороченні сухожилки розтягуються Контролюють Мязові веретена первинні механорецептори що мають складну структуру. Адекватним подразником ІФВ є розтягнення центральної частини ядерної сумки. Таке розтягнення та збудження спіралевидного нервового...
84488. Механізми і закономірності передачізбудження в центральних синапсах 44.76 KB
  Аксосоматичні Аксоаксональні Аксодендритні Дендродендритичні Збудливі Гальмівні Хімічні Електричні Механізм передачі збудження через центральний аксосоматичний хімічний синапс полягає в наступному: ПД поширюється по мембрані аксона далі по мембрані пресинаптичній підвищення проникності пресинаптичної мембрани для іонів С2 вхід їх в нервове закінчення за градієнтом концентрації вихід медіатора в синаптичну щілину дифузія медіатора до постсинаптичної мембрани взаємодія з мембранними циторецепторами збільшення...
84489. Види центрального гальмування. Механізми розвитку пре- та постсинаптичного гальмування 43.78 KB
  Механізми розвитку пре та постсинаптичного гальмування. Гальмування активний фізіологічний процес. Гальмування в ЦНС Постсинаптичне Пресинаптичне За локалізацією За електрофізіологічною природою Гіперполяризаційне Деполяризаційне За будовою нейронних ланцюгів Зворотнє Пряме Постсинаптичне гіперполяризаційне гальмування.
84490. Сумація збудження і гальмування нейронами ЦНС 48.02 KB
  Взаємодія збудження та гальмування на тілі кожного окремого нейрона відбувається шляхом сумації просторової та часової. В залежності від переважання сумації ЗПСП чи ГПСП нейрон може перебувати в трьох станах: збудження характеризується генерацією ПД на мембрані аксонного горбика в результаті переважання сумації ЗПСП деполяризація мембрани дійшла до критичного рівня: чим інтенсивніше протікає сумація ЗПСП тим швидше деполяризація доходить до Екр тим частіше ПД в РРН тобто тим сильніше збудження нейрона. Таким чином за допомогою...
84491. Рухові рефлекси спинного мозку, їх рефлекторні дуги, фізіологічне значення 45.37 KB
  У складі задніх рогів спинного мозку переважають вставні нейрони. Біла речовина спинного мозку представлена волокнами висхідних та низхідних шляхів. Контроль на рівні спинного мозку Рецептори шкіри Вісцерорецептори ангіорецептори.
84492. Провідникова функція спинного мозку. Залежність спінальних рефлексів від діяльності центрів головного мозку. Спінальний шок 43.05 KB
  Біла речовина спинного мозку передні бокові та задні канатики складається з нервових волокон які формують провідні шляхи. Основними висхідними шляхами є: 1. Шлях Голя розташований в медіальній частині заднього канатика. Шлях Бурдаха розташований в латеральній частині заднього канатика.
84493. Рухові рефлекси заднього мозку, децеребраційна ригідність 48.79 KB
  Вони носять назву надсегментарних утворень так як впливають на мязи не прямо а через мотонейрони сегментарних структур рухові ядра спинного мозку і черепномозкових нервів. Задній мозок отримує і переробляє всю аферентну інформацію що надходить від спинного мозку оскільки всі специфічні висхідні шляхи від спинного мозку входячи в стовбур мозку задній та середній мозок віддають коллатералі гілочки до ретикулярної формації тут продовжується обробка аферентної інформації. В задньому мозку розміщені 4 вестибулярні ядра медіальне...
84494. Рухові рефлекси середнього мозку, їх фізіологічне значення 44.55 KB
  Середній мозок СрМ за участі сітчастої речовини опрацьовує аферентну інформацію яка поступає в спинний та задній мозок. Нова інформація поступає в СрМ від зорових та слухових рецепторів. На основі опрацьовання інформації від усіх цих рецепторів СрМ здійснює контроль за станом зовнішнього та внутрішнього середовища організма. Важливими надсегментарними руховими ядрами СрМ є: 1 червоні ядра від них інформація від нейронів спинного мозку передається по шляхах що перехрещуються руброспінальні шляхи елемент ЛНС; 2 ретикулярна формація;...