9131

Методы анализа непрерывных линейных систем

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Методы анализа непрерывных линейных систем В теории управления, как и во многих других дисциплинах, рассматриваются две противоположные задачи - анализа и синтеза. Первая задача связана с описанием работы системы, определением ее характеристик...

Русский

2013-02-24

304.5 KB

1 чел.

Методы анализа непрерывных линейных систем

В теории управления, как и во многих других дисциплинах, рассматриваются две противоположные задачи – анализа и синтеза. Первая задача связана с описанием работы системы, определением ее характеристик. Применительно к теории управления в задаче анализа необходимо найти реакцию системы на входной сигнал или найти показатели качества, в косвенной форме характеризующие характер реакции системы на входные сигналы. Задача синтеза заключается в построении системы, удовлетворяющей заданным показателям качества (например, по быстродействию, динамическим свойствам). Задачу синтеза можно формулировать и решать, если хорошо отработаны методы анализа.

При анализе используются уравнения и характеристики, позволяющие судить о процессах в системе. Различают статические и динамические характеристики.

Первые характеризуют соотношение между выходом и входом в установившемся режиме.

Вторые, динамические характеристики определяют динамические свойства звена или системы, т.е. поведение в переходных режимах. Динамические свойства определяются дифференциальным уравнением или передаточной функцией (по Лапласу или частотной, т.е. по Фурье), а также временными характеристиками. О них речь пойдет в следующем разделе.

Статическая характеристика - это зависимость выхода от входа в установившемся режиме, т.е. после окончания переходного процесса, или, другими словами, по истечении достаточно большого времени ().

Отсюда усматривается способ экспериментального определения статической характеристики. Подадим на вход сигнал x(t) = const и после окончания переходного процесса измерим значение сигнала на выходе у(t) = const. В результате получим одну точку на статической характеристике (рис.2.1.1.). Повторим опыт для ряда точек х . Совокупность точек (х,у) образует экспериментально снятую статическую характеристику. Может оказаться, например, что при х(t) = const выходная величина изменяется по линейному закону у(t) = at, где a = dy/dt = const. В этом случае под статической характеристикой понимают зависимость а(х) в установившемся режиме.

Различают коэффициенты усиления по постоянному и по переменному сигналу  (рис.2.1.1)

По виду статической характеристики различает три типа звеньев: статического (позиционного), интегрирующего и дифференцирующего. Они показаны на рис.2.1.2 для линейных звеньев.

В зависимости от выбранной входной или выходной величины звено может быть того или иного типа. Например, напряжение на выходе тахогенератора пропорционально скорости вращения n его вала (звено позиционного типа).

Если за входную величину принять угол поворота  , то напряжение следует признать пропорциональным величине d/dt (звено дифференцирующего типа). У двигателя скорость вращения вала n пропорциональна напряжению питания (звено позиционного типа). Если за выходную величину принять угол поворота вала , то двигатель должен быть отнесен к звеньям интегрирующего типа.

Динамическая характеристика непрерывной линейной системы с постоянными параметрами.

Непрерывные линейные системы описываются обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами вида

        ,   (2.2.1)

где x(t) - входная величина (сигнал);   y(t) - выходная величина (реакция, или отклик системы).

Как видно из (2.2.1), дифференциальным уравнением называют уравнение, которое связывает выходную величину (или ошибку) и ее производные с входной величиной и ее производными (в частном случае только со входной переменной).

Если обозначить оператор дифференцирования буквой р:

                                 (2.2.2)

то уравнение (2.2.1) можно записать в символической форме

                                     (anpn +…+ a0)y(t) = (bmpm +…+ b0)x(t),       (2.2.3)

или                                                   A(p)y(t) = В(p)x(t),         (2.2.4)

где                              А(p) = anpn +…+ a0 ;      B(p) = bmpm +…+ b0 .

Следует иметь в виду, что в левой части уравнения принято записывать слагаемые, соответствующие выходной величине (зависимой переменной), а в правой  входной (независимой переменной). На структурной схеме звено или систему  изображают прямоугольником с сигналом (стрелкой в звено слева) на входе и сигналом (стрелкой из звена справа) на выходе. В сложной системе или, например, в случае обратной связи передача сигнала может быть показана в противоположном направлении (справа налево). Но в любом случае есть вход и выход и в дифференциальном уравнении слева все относится к входу, а справа – к выходу. Следует также иметь ввиду, что оператор дифференцирования р применяется к функциям x(t), y(t) и поэтому полиномы (операторы) В(р) и А(р) должны предшествовать этим функциям. Хотя формально в (2.2.3) и (2.2.4) имеются произведения функций (величин)  на операторы, а сомножители можно менять местами. Но в данном случае это не произведения, а условная запись применения операторов к функциям (величинам) и менять местами недопустимо. Это будет грубейшей ошибкой.

Система находится в свободном состоянии, если входной сигнал равен нулю. Соответственно движение системы в свободном состоянии описывается однородным дифференциальным уравнением, т.е. уравнением с нулевой правой частью:                                     А(р) y(t) = 0.      (2.2.5)

Известно, что решение дифференциального уравнения (2.2.4) можно представить в виде суммы общего и частного, т.е. 

                         y(t) = yобщ(t)+yчас(t) = + ,              (2.2.6)

где yобщ(t) является решением однородного дифференциального уравнения (2.2.5) и поэтому характеризует собственное движение системы, находящейся в свободном состоянии. Поэтому в литературе по теории автоматического регулирования иногда используется обозначение . Второе слагаемое в (2.2.6) характеризует движение под действием вынуждающей силы – внешнего воздействия. Поэтому в теории автоматического регулирования иногда используется обозначение . Найдем общее решение, т.е. решение однородного дифференциального уравнения (2.2.5), полагая, что его можно представить в виде

                                       yобщ(t) = еpt,                           (2.2.7)

где р = а +jb  есть пока неизвестное в общем случае комплексное число ( - мнимая единица).

Подставляя (2.2.7) и производные … в уравнение (2.2.5) и сокращая на 0, получим тождество

                                               А(р) = an pn+…+a0  = 0,        (2.2.8)

которое характеризует общее решение и потому называется характеристическим уравнением (с переменной р = а + jb – комплексным в общем случае числом).

Заметим, что в математической литературе, как правило, переменную характеристического уравнения обозначают буквой , а в теории управления той же буквой , что и оператор дифференцирования, не давая при этом никаких пояснений. Поэтому надо самостоятельно ориентироваться по обстановке какой смысл имеет переменная в конкретном случае, как говорят, по контексту.

Обратим также внимание на то, что запись А(р) = anpn +…+ a0 означает характеристический полином. Здесь нет уравнения (тождества, когда левая часть равна правой). В записи характеристического полинома знак равенства является оператором присваивания. Выражению anpn +…+ a0  присвоено имя А(р). Кроме того, в теории управления принято вместо А(р) характерис-тическому полиному присваивать имя D(p), т.е. А(р) = D(p).

Характеристическое уравнение – это алгебраическое уравнение n-й степени, которое на основании основной теоремы алгебры имеет n корней       p1,…., pn.. Корни в общем случае являются комплексными. Так как коэффициенты уравнения действительные, а не комплексные числа, то комплексные корни могут быть только комплексно-сопряженными. То есть каждому корню вида рi = аi +jbi соответствует сопряженный корень (с противоположной по знаку мнимой частью) вида  рi+1 = аi - jbi.

По теореме Безу характеристический полином можно представить в виде

                                D(p) = anpn +…+ a0 = an(p - p1)(p - pn).                   (2.2.9)        

Два комплексно-сопряженных множителя дают трехчлен с действительными коэффициентами [р - (аi+ jbi)][р - (аi  - jbi)] = [(p  аi) - jbi][(p  аi) + jbi] =      = ( p  аi)2 +  bi2, или  p 2- 2 аi р + (аi2 + bi)2. Действительный корень дает двучлен (р аi). Следовательно, в случае действительных и комплексно-сопряженных корней произведение двучленов и трехчленов дает многочлен с действительными коэффициентами. Отсюда, обратно, следует наличие комплексно-сопряженных корней в случае характеристического полинома с действительными коэффициентами.

Так как характеристическое уравнение имеет n корней, то и сумма решений вида (2.2.7) с разными рi будет удовлетворять однородному дифференциальному уравнению, т.е. быть его решением. Поэтому окончательно общее решение следует представить в виде суммы линейно-независимых решений 

                                         ,    (2.2.10)

где  Сi  произвольные постоянные, зависящие от начальных условий.

Рис.2.1.1. Статические характеристики а), б) и коэффициенты

усиления:  по постоянному в) и переменному г) сигналам

EMBED Visio.Drawing.11  

Рис.2.1.2. Звенья: а) статического;

б) интегрирующего;

в) дифференцирующего типа


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

62830. Окружающий мир и музыка. Что такое музыка? Сказки и легенды о музыке и музыкантах 110.9 KB
  Музыка - это прежде всего звуки,которые нас окружают. Это и пение птиц, и шум моря (ветра),и шелест листьев, вобщем то - что имеет звук. А рёв машин или сигнализация - это музыка? Да, это тоже музыка.
62831. МИР ДЕТСТВА В МУЗЫКЕ. МУЗЫКА И ЖИВОТНЫЙ МИР 69.47 KB
  Правильно А играться вы любите да А какие ваши любимые игрушки куклы солдатики машинки мячики и др. О куклах есть пьесы русского композитора Петра Ильича Чайковского музыка из детского альбома...
62832. СКАЗКА В МУЗЫКЕ 16.04 MB
  Ребята помните на уроке музыка и другие виды искусства мы уже говорили что музыка подобно краскам в живописи тоже может рисовать картины. картинка Ребята Сейчас я включу музыку русского композитора Римского Корсакова но название композиций...