9131

Методы анализа непрерывных линейных систем

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Методы анализа непрерывных линейных систем В теории управления, как и во многих других дисциплинах, рассматриваются две противоположные задачи - анализа и синтеза. Первая задача связана с описанием работы системы, определением ее характеристик...

Русский

2013-02-24

304.5 KB

1 чел.

Методы анализа непрерывных линейных систем

В теории управления, как и во многих других дисциплинах, рассматриваются две противоположные задачи – анализа и синтеза. Первая задача связана с описанием работы системы, определением ее характеристик. Применительно к теории управления в задаче анализа необходимо найти реакцию системы на входной сигнал или найти показатели качества, в косвенной форме характеризующие характер реакции системы на входные сигналы. Задача синтеза заключается в построении системы, удовлетворяющей заданным показателям качества (например, по быстродействию, динамическим свойствам). Задачу синтеза можно формулировать и решать, если хорошо отработаны методы анализа.

При анализе используются уравнения и характеристики, позволяющие судить о процессах в системе. Различают статические и динамические характеристики.

Первые характеризуют соотношение между выходом и входом в установившемся режиме.

Вторые, динамические характеристики определяют динамические свойства звена или системы, т.е. поведение в переходных режимах. Динамические свойства определяются дифференциальным уравнением или передаточной функцией (по Лапласу или частотной, т.е. по Фурье), а также временными характеристиками. О них речь пойдет в следующем разделе.

Статическая характеристика - это зависимость выхода от входа в установившемся режиме, т.е. после окончания переходного процесса, или, другими словами, по истечении достаточно большого времени ().

Отсюда усматривается способ экспериментального определения статической характеристики. Подадим на вход сигнал x(t) = const и после окончания переходного процесса измерим значение сигнала на выходе у(t) = const. В результате получим одну точку на статической характеристике (рис.2.1.1.). Повторим опыт для ряда точек х . Совокупность точек (х,у) образует экспериментально снятую статическую характеристику. Может оказаться, например, что при х(t) = const выходная величина изменяется по линейному закону у(t) = at, где a = dy/dt = const. В этом случае под статической характеристикой понимают зависимость а(х) в установившемся режиме.

Различают коэффициенты усиления по постоянному и по переменному сигналу  (рис.2.1.1)

По виду статической характеристики различает три типа звеньев: статического (позиционного), интегрирующего и дифференцирующего. Они показаны на рис.2.1.2 для линейных звеньев.

В зависимости от выбранной входной или выходной величины звено может быть того или иного типа. Например, напряжение на выходе тахогенератора пропорционально скорости вращения n его вала (звено позиционного типа).

Если за входную величину принять угол поворота  , то напряжение следует признать пропорциональным величине d/dt (звено дифференцирующего типа). У двигателя скорость вращения вала n пропорциональна напряжению питания (звено позиционного типа). Если за выходную величину принять угол поворота вала , то двигатель должен быть отнесен к звеньям интегрирующего типа.

Динамическая характеристика непрерывной линейной системы с постоянными параметрами.

Непрерывные линейные системы описываются обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами вида

        ,   (2.2.1)

где x(t) - входная величина (сигнал);   y(t) - выходная величина (реакция, или отклик системы).

Как видно из (2.2.1), дифференциальным уравнением называют уравнение, которое связывает выходную величину (или ошибку) и ее производные с входной величиной и ее производными (в частном случае только со входной переменной).

Если обозначить оператор дифференцирования буквой р:

                                 (2.2.2)

то уравнение (2.2.1) можно записать в символической форме

                                     (anpn +…+ a0)y(t) = (bmpm +…+ b0)x(t),       (2.2.3)

или                                                   A(p)y(t) = В(p)x(t),         (2.2.4)

где                              А(p) = anpn +…+ a0 ;      B(p) = bmpm +…+ b0 .

Следует иметь в виду, что в левой части уравнения принято записывать слагаемые, соответствующие выходной величине (зависимой переменной), а в правой  входной (независимой переменной). На структурной схеме звено или систему  изображают прямоугольником с сигналом (стрелкой в звено слева) на входе и сигналом (стрелкой из звена справа) на выходе. В сложной системе или, например, в случае обратной связи передача сигнала может быть показана в противоположном направлении (справа налево). Но в любом случае есть вход и выход и в дифференциальном уравнении слева все относится к входу, а справа – к выходу. Следует также иметь ввиду, что оператор дифференцирования р применяется к функциям x(t), y(t) и поэтому полиномы (операторы) В(р) и А(р) должны предшествовать этим функциям. Хотя формально в (2.2.3) и (2.2.4) имеются произведения функций (величин)  на операторы, а сомножители можно менять местами. Но в данном случае это не произведения, а условная запись применения операторов к функциям (величинам) и менять местами недопустимо. Это будет грубейшей ошибкой.

Система находится в свободном состоянии, если входной сигнал равен нулю. Соответственно движение системы в свободном состоянии описывается однородным дифференциальным уравнением, т.е. уравнением с нулевой правой частью:                                     А(р) y(t) = 0.      (2.2.5)

Известно, что решение дифференциального уравнения (2.2.4) можно представить в виде суммы общего и частного, т.е. 

                         y(t) = yобщ(t)+yчас(t) = + ,              (2.2.6)

где yобщ(t) является решением однородного дифференциального уравнения (2.2.5) и поэтому характеризует собственное движение системы, находящейся в свободном состоянии. Поэтому в литературе по теории автоматического регулирования иногда используется обозначение . Второе слагаемое в (2.2.6) характеризует движение под действием вынуждающей силы – внешнего воздействия. Поэтому в теории автоматического регулирования иногда используется обозначение . Найдем общее решение, т.е. решение однородного дифференциального уравнения (2.2.5), полагая, что его можно представить в виде

                                       yобщ(t) = еpt,                           (2.2.7)

где р = а +jb  есть пока неизвестное в общем случае комплексное число ( - мнимая единица).

Подставляя (2.2.7) и производные … в уравнение (2.2.5) и сокращая на 0, получим тождество

                                               А(р) = an pn+…+a0  = 0,        (2.2.8)

которое характеризует общее решение и потому называется характеристическим уравнением (с переменной р = а + jb – комплексным в общем случае числом).

Заметим, что в математической литературе, как правило, переменную характеристического уравнения обозначают буквой , а в теории управления той же буквой , что и оператор дифференцирования, не давая при этом никаких пояснений. Поэтому надо самостоятельно ориентироваться по обстановке какой смысл имеет переменная в конкретном случае, как говорят, по контексту.

Обратим также внимание на то, что запись А(р) = anpn +…+ a0 означает характеристический полином. Здесь нет уравнения (тождества, когда левая часть равна правой). В записи характеристического полинома знак равенства является оператором присваивания. Выражению anpn +…+ a0  присвоено имя А(р). Кроме того, в теории управления принято вместо А(р) характерис-тическому полиному присваивать имя D(p), т.е. А(р) = D(p).

Характеристическое уравнение – это алгебраическое уравнение n-й степени, которое на основании основной теоремы алгебры имеет n корней       p1,…., pn.. Корни в общем случае являются комплексными. Так как коэффициенты уравнения действительные, а не комплексные числа, то комплексные корни могут быть только комплексно-сопряженными. То есть каждому корню вида рi = аi +jbi соответствует сопряженный корень (с противоположной по знаку мнимой частью) вида  рi+1 = аi - jbi.

По теореме Безу характеристический полином можно представить в виде

                                D(p) = anpn +…+ a0 = an(p - p1)(p - pn).                   (2.2.9)        

Два комплексно-сопряженных множителя дают трехчлен с действительными коэффициентами [р - (аi+ jbi)][р - (аi  - jbi)] = [(p  аi) - jbi][(p  аi) + jbi] =      = ( p  аi)2 +  bi2, или  p 2- 2 аi р + (аi2 + bi)2. Действительный корень дает двучлен (р аi). Следовательно, в случае действительных и комплексно-сопряженных корней произведение двучленов и трехчленов дает многочлен с действительными коэффициентами. Отсюда, обратно, следует наличие комплексно-сопряженных корней в случае характеристического полинома с действительными коэффициентами.

Так как характеристическое уравнение имеет n корней, то и сумма решений вида (2.2.7) с разными рi будет удовлетворять однородному дифференциальному уравнению, т.е. быть его решением. Поэтому окончательно общее решение следует представить в виде суммы линейно-независимых решений 

                                         ,    (2.2.10)

где  Сi  произвольные постоянные, зависящие от начальных условий.

Рис.2.1.1. Статические характеристики а), б) и коэффициенты

усиления:  по постоянному в) и переменному г) сигналам

EMBED Visio.Drawing.11  

Рис.2.1.2. Звенья: а) статического;

б) интегрирующего;

в) дифференцирующего типа


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84209. ПЕРВИЧНЫЙ ТУБЕРКУЛЕЗ 27.3 KB
  Морфологическим выражением первичного туберкулеза является первичный туберкулезный комплекс. Он состоит из трех компонентов: очага поражения в органе первичного очага или аффекта туберкулезного воспаления отводящих лимфатических сосудов лимфангита и туберкулезного воспаления регионарных лимфатических узлов лимфаденита. Образуется как бы дорожка от первичного очага к прикорневым лимфатическим узлам.
84210. ГЕМАТОГЕННЫЙ ТУБЕРКУЛЕЗ 22.97 KB
  Виды гематогенного туберкулеза Генерализованный гематогенный туберкулез Гематогенный туберкулез с преимущественным поражением легких Гематогенный туберкулез с преимущественными внелегочными поражениями Гематогенный туберкулез объединяет род проявления заболевания возникающего и развивающегося в организме человека через значительный срок после перенесенных первичных инфекций и представляет собой послепервичный туберкулез. Гематогенный туберкулез возникает у больных у которых первичная инфекция оставила изменения в виде очагов отсевов в...
84211. Вторичный туберкулез 25.48 KB
  Характеристики вторичного туберкулеза Патологическая анатомия. Осложнения Вторичный туберкулез реинфицированный развивается в организме взрослого человека перенесшего ранее первичную инфекцию которая обеспечила ему относительный иммунитет но не оградила от возможности повторного заболевания после первичного туберкулеза для которого характерны: избирательно легочная локализация процесса; контактное и интраканаликулярное бронхиальное дерево желудочнокишечный тракт распространение; смена клиникоморфологических форм. Выделяют...
84212. СИФИЛИС 25.13 KB
  Хроническое интерстициальное воспаление отмечается в печени стенке аорты легких ткани яичек. Развивается также сифилитический мезаортит; на интиме аорты появляются белесоватые бугристые бляшки с рубцевыми втяжениями. При сифилитическом мезаортите в стенке аорты обнаруживается воспалительный процесс распространяющийся со стороны vs vsovum и адвентиции на среднюю оболочку. Прочность стенки аорты уменьшается просвет ее расширяется образуется сифилитическая аневризма аорты.
84213. ОСТРЫЕ РЕСПИРАТОРНЫЕ ЗАБОЛЕВАНИЯ 26.36 KB
  Возбудители гриппа пневмотропные РНКсодержащие вирусы трех антигенно обусловленных серологических вариантов: А А 1 А 2 В С. Вирус гриппа оказывает цитопатическое цитолитическое влияние на эпителий бронхов и трахеи вызывает его дистрофию некроз дескавлизацию. Вирус гриппа обладает свойствами оказывать вазопатическое вазопалитическое действие полнокровие стазы плазмо и геморрагии и угнетение защитных систем организма нейтрофилов...
84214. ЭПИДЕМИЧЕСКИЙ СЫПНОЙ ТИФ И ТУЛЯРЕМИЯ 25.77 KB
  Источником заболевания и резервуаром риккетсии является больной человек а переносчиком платяная иногда головная вошь. Инкубационный период продолжается 10 12 дней затем начинается лихорадочный период заболевания который сопровождается поражением микроциркуляторного русла. В головном мозге сыпнотифозные узелки образуются на 2й недели и исчезают в начале 6й недели заболевания. Источником заболевания являются грызуны через которых контактным воздушнокапельным воздушным путем иногда пищевым передается Trncisell tulrense.
84215. ЧУМА И СИБИРСКАЯ ЯЗВА 25.86 KB
  Чума типичный антропозоопоз. Возможны 2 пути заражения человека: чаще от больных грызунов при укусе блох бубонная или кожнобубонная чума реже воздушнокапельным путем от больного человека с чумной пневмонии первичнолегочная чума. Характерна гематомная генерализация возбудителя чума течет как сепсис так как не хватает эндоцитобиоза и гуморального иммунитета.
84216. ДЕТСКИЕ ИНФЕКЦИИ. СКАРЛАТИНА 24.72 KB
  scrltum багровый пурпурный одна из форм стрептококковой инфекции в виде острого инфекционного заболевания с местными воспалительными изменениями преимущественно в зеве сопровождается типичной распространенной сыпью. Может развиться сеспис ведь аллергические изменения повышают проницаемость тканевых барьеров и сосудистого русла а это способствует инвазии стрептококка в органы. Общие изменения проявляются сыпью. В коже наблюдается полнокровие периваскулярные инфильтраты отек экссудация а в поверхностных слоях эпителия чаще...
84217. ДЕТСКИЕ ИНФЕКЦИИ. ДИФТЕРИЯ 24.34 KB
  ДИФТЕРИЯ Определение дифтерии. Палочка дифтерии относится к семейству коринобактерий выделяющих экзотоксин который подавляет биосинтез ферментов дыхательного цикла и поэтому парализует дыхание. Фибрикозная пленка долго не отторгается поэтому дифтерический тип воспаления при дифтерии всегда сопровождается общими изменениями зависящими от возможности длительного всасывания токсина. Выделяют ранний паралич сердца при дифтерии когда миокардит развивается в начале 2й недели болезни и приводит к смерти от острой сердечной недостаточности.