9131

Методы анализа непрерывных линейных систем

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Методы анализа непрерывных линейных систем В теории управления, как и во многих других дисциплинах, рассматриваются две противоположные задачи - анализа и синтеза. Первая задача связана с описанием работы системы, определением ее характеристик...

Русский

2013-02-24

304.5 KB

1 чел.

Методы анализа непрерывных линейных систем

В теории управления, как и во многих других дисциплинах, рассматриваются две противоположные задачи – анализа и синтеза. Первая задача связана с описанием работы системы, определением ее характеристик. Применительно к теории управления в задаче анализа необходимо найти реакцию системы на входной сигнал или найти показатели качества, в косвенной форме характеризующие характер реакции системы на входные сигналы. Задача синтеза заключается в построении системы, удовлетворяющей заданным показателям качества (например, по быстродействию, динамическим свойствам). Задачу синтеза можно формулировать и решать, если хорошо отработаны методы анализа.

При анализе используются уравнения и характеристики, позволяющие судить о процессах в системе. Различают статические и динамические характеристики.

Первые характеризуют соотношение между выходом и входом в установившемся режиме.

Вторые, динамические характеристики определяют динамические свойства звена или системы, т.е. поведение в переходных режимах. Динамические свойства определяются дифференциальным уравнением или передаточной функцией (по Лапласу или частотной, т.е. по Фурье), а также временными характеристиками. О них речь пойдет в следующем разделе.

Статическая характеристика - это зависимость выхода от входа в установившемся режиме, т.е. после окончания переходного процесса, или, другими словами, по истечении достаточно большого времени ().

Отсюда усматривается способ экспериментального определения статической характеристики. Подадим на вход сигнал x(t) = const и после окончания переходного процесса измерим значение сигнала на выходе у(t) = const. В результате получим одну точку на статической характеристике (рис.2.1.1.). Повторим опыт для ряда точек х . Совокупность точек (х,у) образует экспериментально снятую статическую характеристику. Может оказаться, например, что при х(t) = const выходная величина изменяется по линейному закону у(t) = at, где a = dy/dt = const. В этом случае под статической характеристикой понимают зависимость а(х) в установившемся режиме.

Различают коэффициенты усиления по постоянному и по переменному сигналу  (рис.2.1.1)

По виду статической характеристики различает три типа звеньев: статического (позиционного), интегрирующего и дифференцирующего. Они показаны на рис.2.1.2 для линейных звеньев.

В зависимости от выбранной входной или выходной величины звено может быть того или иного типа. Например, напряжение на выходе тахогенератора пропорционально скорости вращения n его вала (звено позиционного типа).

Если за входную величину принять угол поворота  , то напряжение следует признать пропорциональным величине d/dt (звено дифференцирующего типа). У двигателя скорость вращения вала n пропорциональна напряжению питания (звено позиционного типа). Если за выходную величину принять угол поворота вала , то двигатель должен быть отнесен к звеньям интегрирующего типа.

Динамическая характеристика непрерывной линейной системы с постоянными параметрами.

Непрерывные линейные системы описываются обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами вида

        ,   (2.2.1)

где x(t) - входная величина (сигнал);   y(t) - выходная величина (реакция, или отклик системы).

Как видно из (2.2.1), дифференциальным уравнением называют уравнение, которое связывает выходную величину (или ошибку) и ее производные с входной величиной и ее производными (в частном случае только со входной переменной).

Если обозначить оператор дифференцирования буквой р:

                                 (2.2.2)

то уравнение (2.2.1) можно записать в символической форме

                                     (anpn +…+ a0)y(t) = (bmpm +…+ b0)x(t),       (2.2.3)

или                                                   A(p)y(t) = В(p)x(t),         (2.2.4)

где                              А(p) = anpn +…+ a0 ;      B(p) = bmpm +…+ b0 .

Следует иметь в виду, что в левой части уравнения принято записывать слагаемые, соответствующие выходной величине (зависимой переменной), а в правой  входной (независимой переменной). На структурной схеме звено или систему  изображают прямоугольником с сигналом (стрелкой в звено слева) на входе и сигналом (стрелкой из звена справа) на выходе. В сложной системе или, например, в случае обратной связи передача сигнала может быть показана в противоположном направлении (справа налево). Но в любом случае есть вход и выход и в дифференциальном уравнении слева все относится к входу, а справа – к выходу. Следует также иметь ввиду, что оператор дифференцирования р применяется к функциям x(t), y(t) и поэтому полиномы (операторы) В(р) и А(р) должны предшествовать этим функциям. Хотя формально в (2.2.3) и (2.2.4) имеются произведения функций (величин)  на операторы, а сомножители можно менять местами. Но в данном случае это не произведения, а условная запись применения операторов к функциям (величинам) и менять местами недопустимо. Это будет грубейшей ошибкой.

Система находится в свободном состоянии, если входной сигнал равен нулю. Соответственно движение системы в свободном состоянии описывается однородным дифференциальным уравнением, т.е. уравнением с нулевой правой частью:                                     А(р) y(t) = 0.      (2.2.5)

Известно, что решение дифференциального уравнения (2.2.4) можно представить в виде суммы общего и частного, т.е. 

                         y(t) = yобщ(t)+yчас(t) = + ,              (2.2.6)

где yобщ(t) является решением однородного дифференциального уравнения (2.2.5) и поэтому характеризует собственное движение системы, находящейся в свободном состоянии. Поэтому в литературе по теории автоматического регулирования иногда используется обозначение . Второе слагаемое в (2.2.6) характеризует движение под действием вынуждающей силы – внешнего воздействия. Поэтому в теории автоматического регулирования иногда используется обозначение . Найдем общее решение, т.е. решение однородного дифференциального уравнения (2.2.5), полагая, что его можно представить в виде

                                       yобщ(t) = еpt,                           (2.2.7)

где р = а +jb  есть пока неизвестное в общем случае комплексное число ( - мнимая единица).

Подставляя (2.2.7) и производные … в уравнение (2.2.5) и сокращая на 0, получим тождество

                                               А(р) = an pn+…+a0  = 0,        (2.2.8)

которое характеризует общее решение и потому называется характеристическим уравнением (с переменной р = а + jb – комплексным в общем случае числом).

Заметим, что в математической литературе, как правило, переменную характеристического уравнения обозначают буквой , а в теории управления той же буквой , что и оператор дифференцирования, не давая при этом никаких пояснений. Поэтому надо самостоятельно ориентироваться по обстановке какой смысл имеет переменная в конкретном случае, как говорят, по контексту.

Обратим также внимание на то, что запись А(р) = anpn +…+ a0 означает характеристический полином. Здесь нет уравнения (тождества, когда левая часть равна правой). В записи характеристического полинома знак равенства является оператором присваивания. Выражению anpn +…+ a0  присвоено имя А(р). Кроме того, в теории управления принято вместо А(р) характерис-тическому полиному присваивать имя D(p), т.е. А(р) = D(p).

Характеристическое уравнение – это алгебраическое уравнение n-й степени, которое на основании основной теоремы алгебры имеет n корней       p1,…., pn.. Корни в общем случае являются комплексными. Так как коэффициенты уравнения действительные, а не комплексные числа, то комплексные корни могут быть только комплексно-сопряженными. То есть каждому корню вида рi = аi +jbi соответствует сопряженный корень (с противоположной по знаку мнимой частью) вида  рi+1 = аi - jbi.

По теореме Безу характеристический полином можно представить в виде

                                D(p) = anpn +…+ a0 = an(p - p1)(p - pn).                   (2.2.9)        

Два комплексно-сопряженных множителя дают трехчлен с действительными коэффициентами [р - (аi+ jbi)][р - (аi  - jbi)] = [(p  аi) - jbi][(p  аi) + jbi] =      = ( p  аi)2 +  bi2, или  p 2- 2 аi р + (аi2 + bi)2. Действительный корень дает двучлен (р аi). Следовательно, в случае действительных и комплексно-сопряженных корней произведение двучленов и трехчленов дает многочлен с действительными коэффициентами. Отсюда, обратно, следует наличие комплексно-сопряженных корней в случае характеристического полинома с действительными коэффициентами.

Так как характеристическое уравнение имеет n корней, то и сумма решений вида (2.2.7) с разными рi будет удовлетворять однородному дифференциальному уравнению, т.е. быть его решением. Поэтому окончательно общее решение следует представить в виде суммы линейно-независимых решений 

                                         ,    (2.2.10)

где  Сi  произвольные постоянные, зависящие от начальных условий.

Рис.2.1.1. Статические характеристики а), б) и коэффициенты

усиления:  по постоянному в) и переменному г) сигналам

EMBED Visio.Drawing.11  

Рис.2.1.2. Звенья: а) статического;

б) интегрирующего;

в) дифференцирующего типа


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36383. Дайте классификацию и поясните сущность интегральных критериев качества 35.68 KB
  Наибольшее распространение получили три интегральных критерия: А линейный Б квадратичный В квадратичная оценка отклонения от эталона А Линейный критерий качества 6 6 где отклонение переходного процесса от устойчивого значения; Уmt – функция веса ε1tmemtedttm Возможности критерия 7: 1У0t=t0=1 7 Критерий J10 7 – площадь под кривой переходного процесса с учетом знака рис. 2 Критерий J10 7 пригоден только для анализа апериодических процессов. В этом случае J10=min...
36384. Моделирование на ЭВМ типовых звеньев САУ 59.29 KB
  Моделирование на ЭВМ типовых звеньев САУ В состав структурных схем большинства систем автоматического управления САУ входит достаточно ограниченный набор типовых звеньев. В основу процедуры моделирования многих типовых звеньев положен метод РунгеКутта. Апериодическое звено первого порядка Реальное дифференцирующее звено Пропорциональноинтегральное звено Структурные схемы некоторых типовых звеньев. При моделировании более сложных звеньев таких как апериодическое пропорциональноинтегральное дифференциальное и т.
36385. Принцип действия термопары и термометра сопротивления 37.39 KB
  Термопара – два разнородных с различной концентрацией свободных электронов металлических проводника – термоэлектроды соединенных пайкой или сваркой на измерительном рабочем конце подвергаемом воздействию измеряемой температуры и разомкнутых на контрольном свободном конце находящемся под воздействием известной температуры и подключаемом к измерительному прибору. Принцип действия термопреобразователей сопротивления или резистивных детекторов температуры основан на способности металлов или полупроводниковых материалов изменять...
36386. Техническое обеспечение САПР 12.99 KB
  Выделяют автоматизированные рабочие места АРМ трех классов: микро АРМ для решения простых конструкторских и технологических задач в автономном режиме в составе средств двухуровневой САПР. Средние АРМ помимо задач выполняемых микро АРМ посредством графического процессора позволяют представлять объект проектирования в двух и трехмерном виде имеют пакеты прикладных программ инвариантные к различным видам объекта проектирования. Супер АРМ способны решать весь комплекс задач САПР в масштабе предприятия. Все вычислительные комплексы САПР в том...
36387. Универсальные CADCAMCAE-системы 12.71 KB
  Универсальные CDCMCEсистемы. Системы проектирования в масштабах предприятия за рубежом принято определять как CD CM CE – системы функции автоматизированного проектирования распределяются в них следующим образом: модули CD Computer ided Design – для геометрического моделирования и машинной графики модули подсистемы CM Computer ided Mnufcturing – для технологической подготовки производства а модули CE Computer ided Engineering – для инженерных расчетов и анализа с целью поверки проектных решений. Все универсальные CD CM CE –...
36388. Электрические принципиальные схемы систем и средств автоматизации. Назначение и правила выполнения 24.29 KB
  Электрические принципиальные схемы систем и средств автоматизации. Принципиальные электрические схемы определяют полный состав приборов аппаратов и устройств а также связей между ними действие которых обеспечивает решение задач управления регулирования защит измерения и сигнализации. Эти схемы служат для изучения принципа действия системы они необходимы при производстве наладочных работ и в эксплуатации. Схемы выполняются применительно к определенным самостоятельным элементам установкам или участкам автоматизированной системы...
36389. тема или АИС это совокупность различных программноаппаратных средств которые предназначены для автомат. 28.78 KB
  Учет снабжения Финансовый учет Информация опоставке информация об оплате Бухгалтерский учет Требования на отпускинформация о поступлении груза цены на ресурсы данные о качестве Учет производства и контроль качества Учет вспомогательно прва Управление и анализ Отчетность по снабжению указания и планы Подсистема Учет снабжения предназначена для ввода и обработки информации по обеспечению оборудованием и материалами предоставляемой отделами и службами предприятия. Данная подсистема осуществляет интенсивный обмен информацией с подсистемой...
36390. Перестроение импульсной характеристики в кривую разгона 887.85 KB
  На участке 1 переходная характеристика совпадает с импульсной. На последующем участке переходная характеристика получается путем суммирования ординат импульсной характеристики на этом участке с соответствующими значениями ординат на предыдущем участке.
36391. Приведите и поясните постановки задач синтеза линейных САУ 42.84 KB
  При синтезе задается множество М систем на котором производится выбор сист по заданному критерию оптимальности. Задача не тривиальна когда множество М содержит более 1го элемента т. 1 Параметрический синтез Элты мнва М различаются параметрами при этом мнва М2 второго ранга неопределенности представляет собой множество полностью определенных сист М3 и с допустимым диапазоном изменения параметров Q M2={ M3 Q} Пр: М2: Wpp=K1K21 p M3: K1 K2 G т. 2 Структурный синтез Элементы исходного множества отличаются...