91330

Проявления свойств многогранников на примере молекул фуллеренов

Курсовая

Математика и математический анализ

Фуллерены - достаточно новое понятие в мире химии. Они очень интересны, свойства фуллеренов очень разнообразны, по строению молекулы фуллеренов - многогранники. Предварительный анализ литературы показал, что материала по свойствам и строению фуллеренов не много, он очень разрознен

Русский

2015-07-14

781 KB

3 чел.

Содержание:

Введение.

§1 Фуллерены – аллотропная модификация углерода.

  1.  История открытия фуллеренов
    1.  Геометрическое строение фуллеренов.
    2.  Свойства фуллеренов
    3.  Фуллерены в природе.
    4.  Получение фуллеренов
    5.  Применение фуллеренов

§2 Многоугольники и многогранники

2.1.  Многоугольники.

2.2. Правильный пятиугольник

2.3. Способы построения правильного пятиугольника

2.4. Определение многогранников и виды многогранников

2.5. Тела Платона

2.6. Теорема Эйлера

2.7. Теорема Александрова

2.8. Дуальность

§3.Правило изолированных пентагонов

(пятиугольников)

Заключение

Литература


Введение.

Можно указать несколько причин выбора данной темы для написания реферата.

Во-первых, на уроках геометрии мы познакомились с многогранниками - абстрактными математическими фигурами. При изучении многогранников нам стало интересно, как подобные объекты проявляются в природе. Во-вторых, на уроках химии, при изучении явления аллотропии углерода, мы кратко познакомились с необычными молекулами – фуллеренами.

Фуллерены - достаточно новое понятие в мире химии. Они очень интересны, свойства фуллеренов очень разнообразны, по строению молекулы фуллеренов - многогранники. Предварительный анализ литературы показал, что материала по свойствам и строению фуллеренов не много, он очень разрознен. Поэтому нам пришлось проанализировать много материала, относящегося и к математической части работы, и к химической части работы.

Цель работы: 

Выяснить, как проявляются свойства многогранников на примере молекул фуллеренов.

Задачи:

1) дать определение фуллеренам;

2) кратко описать строение и свойства фуллеренов;

3) дать определение многоугольникам и  многогранникам;

4) определить виды многоугольников и многогранников;

5) Рассмотреть какие виды многогранников проявляются на примере молекул фуллеренов

6) Рассмотреть как связана устойчивость фуллеренов с их геометрическим строением.


§1 Фуллерены – аллотропная модификация углерода.

В настоящее время понятие "фуллерены" применяется к широкому классу многоатомных молекул углерода Cn , где n = 60. Твердые тела, образованные этими молекулами обычно называют фуллеритами. фуллерен является третьей  аллотропной формой углерода (первые две - алмаз и графит). Молекула фуллерена является органической молекулой, а сам фуллерен представляет собой молекулярный кристалл, являющийся связующим звеном между органической и неорганической материей.

  1.  История открытия фуллеренов

В 1973 году русские учёные Д. А. Бочвар и Е. Н. Гальперн опубликовали результаты квантово-химических расчётов, из которых следовало, что должна существовать устойчивая форма углерода, содержащая в молекуле 60 углеродных атомов и не имеющая никаких заместителей. В той же статье была предложена форма такой гипотетической молекулы. Выводы этой работы казались в то время совершенно фантастическими. Никто не мог себе представить, что такая молекула может существовать, и тем более – как взяться за её получение. Эта теоретическая работа несколько опередила своё время и была вначале попросту забыта.

В 1980-х годах астрофизические исследования позволили установить, что в спектрах некоторых звёзд, так называемых «красных гигантах», обнаружены полосы, указывающие на существование чисто углеродных молекул различного размера.

В 1985 году Г. Крото. И Р. Смоли начали проводить исследования уже в «Земных» условиях. Они провели исследования, которые, указывали на существование крупных агрегатов из углеродных атомов – С60 и С70. В итоге была предложена структура многогранника, собранного из пяти- и шестиугольников. Это было точное повторение структуры, предложенной 12 лет назад Бочваром.

Название «фуллерен» было дано в честь известного американского архитектора Бакминстера Фуллера, предложившего строить ажурные куполообразные конструкции сочетанием пяти- и шестиугольников (рис 2 и 3). На первый взгляд кажется, что конструкция собрана из треугольников, однако чередование пяти - и шестилучёвых центров как раз и соответствует строению фуллерена.

  1.  Геометрическое строение фуллеренов.

В самом общем виде молекулы фуллеренов представляют собой многогранник, построенный из многоугольников двух видов: шестиугольников (гексагонов) и пятиугольников (пентагонов). Вершины всех многоугольников - атомы углерода. Поверхность многогранника, составленного из многоугольников, подчиняется формуле Эйлера.

Откуда следует, что фуллерен должен содержать 12 пентагонов и произвольное число гексагонов. Действительно, все полученные или смоделированные фуллерены имеют 12 "обязательных" пятиугольников. В зависимости же от количества гексагонов состав сферических молекул может быть различным. Простейший фуллерен теоретически имеет формулу С20 и состоит только из 12 пентагонов, образующих правильный многогранник – додекаэдр (рис 4). Однако ввиду неустойчивости такой молекулы выделить фуллерен-20 практически не удавалось.

Согласно существующим воззрениям на структуру фуллеренов, устойчивыми могут быть только те из них, в которых 12 "обязательных" пентагонов разделены гексагонами и не имеют между собой общих вершин или ребер. Наиболее исследованный фуллерен С60 имеет форму усеченного икосаэдра и по внешнему сходству с футбольным мячом чаще называется футболенном (рис. 5). Молекула С60 имеет 32 грани (12 пентагонов и 20 гексагонов).

Высшие фуллерены (например, С78 или С80) допускают различный порядок "выкладывания" поверхности пентагонами и гексагонами при сохранении их общего числа и принципа изоляции пентагонов, т.е. имеют изомеры.

  1.  Свойства фуллеренов

Фуллерены образуют молекулярные кристаллы - фуллериты. Их строение и физико-химические свойства хорошо изучены. Кристаллическая решетка С60 гранецентрированная кубическая, каждая молекула имеет 12 «соседей», молекулы слабо связаны между собой. Для подобной молекулярной решетки характерны низкие температуры возгонки (800 °С), причем в пар переходят молекулы C60. которые прекрасно «живут» в газовой фазе вплоть до температуры 1500 К

Фуллерит Сб0— твердое вещество горчичного цвета. С70 - твердое вещество красновато-коричневого цвета.

Фуллериты растворяются в органических растворителях. Наиболее известные растворители можно расположить в следующем порядке уменьшения растворимости фуллеритов: сероуглерод, толуол, бензол, тетрахлорметан, декан, гексан, пентан.

Образцы С60 чувствительны  к воздействию ультрафиолетового излучения в отсутствии кислорода, и могут вступать в реакции разложения. Поэтому их следует хранить в темноте и под вакуумом или в азоте.

Чистый фуллерен при комнатной температуре является изолятором или полупроводником с очень низкой проводимостью.

Фуллериды щелочных металлов, имеющие состав А3С60 , становятся сверхпроводящими при температуре ниже определенного значения

Фуллерены обладают различными магнитными свойствами.

Кристаллические фуллены обладают фотопроводимостью. При облучении видимым светом электрическое сопротивлении кристалла фуллерита уменьшается. Фотопроводимостью обладают не только чистый фуллерит, но и его различные смеси.

Результаты исследований процессов с участием фуллеренов свидетельствует об их аномально высокой стабильности. Причем, стабильность молекул с четными значениями атомов углерода n значительно превышает стабильность молекул с нечетными значениями n. У молекул Сn (n-нечетное) наиболее вероятно отщепление атома углерода, поэтому доля кластеров с нечетными n не превышает 1 %. Как показывают эксперименты, твердый фуллерен С60 без разложения сублимируется при 400 ° С.

Молекулы фуллеренов обладают высокой электроотрицательностью и способны присоединять к себе до шести свободных электронов. Это делает их сильными окислителями, способными образовывать множество новых химических соединений с новыми интересными свойствами. Данное свойство фуллеренов обнаружилось уже в одном из первых экспериментов по их химическому превращению, где была осуществлена гидрогенизация С60. Продуктом этой реакции стала молекула С60Н36.

Фуллерены обладают высокой химической инертностью к процессу разложения на простые вещества: молекула С60 сохраняет стабильность в инертной атмосфере до 1700 К. Однако в присутствии кислорода окисление наблюдается при значительно более низких температурах (около 500 К). При этом образуется аморфная структура, в которой на одну молекулу С60 приходится 12 атомов кислорода. Повышение температуры сопровождается потерей формы молекулы С60.

  1.  Фуллерены в природе.

 

Открытие фуллеренов обусловило и поиск фуллереновых структур в углеродсодержащих породах.

Фуллерены были найдены в природе. Сделали подобное поразительное открытие геохимики. Они обнаружили присутствие фуллерена в образцах, собранных в осадочных отложениях кратера Садбури, образовавшегося в результате метеоритного удара 1,85 млрд. лет назад. В параллельных и независимых исследованиях фуллерены были обнаружены также в образцах из участков границы мелового и третичного периодов в Новой Зеландии. Нахождение фуллеренов в отложениях объясняют тем, что примерно 65 млн. лет назад в результате удара гигантского метеорита на Земле возник мощный пожар, что способствовало образованию подобных структур.

Известно, что шунгитовая порода сформировалась около 2 млрд. лет тому назад и содержит некристаллический углерод, микроэлементы, минеральную составляющую, небольшое количество органики и воду. Содержание углерода, определяющего основные свойства шунгитовых пород, колеблется от 1 до 70 %., но на отдельных участках может достигать 98 % . Электронно-микроскопическими исследованиями было установлено, что для всех образцов характерен один основной структурный элемент - углеродные глобулы размером 10 нм, внутри которых было установлено наличие пустот. Также была установлена схожесть искажения графитоподобных слоев шунгитового углерода (ШУ) и фуллеренов. Основываясь на этих данных, авторы предложили фуллереноподобную структуру ШУ. Проведенные опыты показали присутствие фуллеренов С60 и С70 в количестве 0.0001 %. На основании этого была предложена фуллеренная модель шунгитового углерода.

  1.  Получение фуллеренов

Структура фуллерена близка к структуре графита, поэтому наиболее эффективный способ их получения основан на термическом испарении графита либо в результате омического нагрева графитового электрода, либо лазерного облучения. При умеренном нагреве графита происходит разрушение связей между отдельными слоями и из фрагментов,  включающих шестиугольные конфигурации происходит сборка фуллеренов. Полученный угольный конденсат наряду с кластерами С-60 и С-70 содержит большое количество более мелких молекул, значительная часть которых переходит в С60 и С70 при выдержке в течение нескольких часов при 500-600° С, либо при более низкой температуре в неполярном растворителе.

Кроме перечисленных способов получения фуллеренов, являющихся термическими процессами разложения углеродсодержащих веществ, разработан каталитический метод синтеза фуллеренов из каменноугольной смолы. Отличительной чертой данного метода является низкая температура процесса, составляющая 200-400° С. Это на порядок ниже температуры термического разложения графита (3300° С)

  1.  Применение фуллеренов

Возникает перспектива использования фуллеренов в качестве основы для создания запоминающей среды со сверхвысокой плотностью информации. Если в качестве носителей информации использовать фуллереновые магнитные диски, расположенные на поверхности жёсткого диска на расстоянии 5 нм. Друг от друга, то плотность записи достигает значения- 4*1012 бит/см.2. Есть предложение использовать фуллерен в качестве основы для производства аккумуляторных батарей. Обсуждаются вопросы применения их в создании фотоприёмников и оптоэлектронных устройств, лекарственных препаратов, сверхпроводящих материалов. Известен метод получения алмазов из поликристаллического фуллерита.

§2 Многоугольники и многогранники

2.1.  Многоугольники.

Многоугольник - геометрическая фигура на плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией; линия, которая получается, если взять n любых точек А1, А2, ..., Аn и соединить прямолинейными отрезками каждую из них с последующей, а последнюю с первой.

Многоугольники бывают двух типов: выпуклые и невыпуклые. Мы подробнее рассмотрим выпуклые многоугольники.  Многоугольник называют выпуклым, если никакая сторона многоугольника, будучи неограниченно продолженной, не разрезает многоугольник на две части. Выпуклые многоугольники бывают правильными и неправильными, но мы рассмотрим правильные. Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны. Центром правильного многоугольника называется точка, равноудаленная от всех его вершин и всех его сторон. Центральным углом правильного многоугольника называется угол, под которым видна сторона из его центра. Свойства правильного многоугольника:

  1.  Правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности, при этом центры этих окружностей совпадают;
  2.  Центр правильного многоугольника совпадает с центрами вписанной и описанной окружностей;
  3.  Сторона правильного n-угольника связана с радиусом R описанной окружности формулой ;
  4.  Периметры правильных n-угольников относятся как радиусы описанных окружностей.
  5.  Диагонали правильного n-угольника  делят его углы на равные части.

 

2.2. Правильный пятиугольник

Подробнее остановимся на правильном пятиугольнике – пентагоне.

Основные соотношения: угол при вершине пятиугольника равен 108°, внешний угол - 72°. Сторона пятиугольника выражается через радиусы вписанной и описанной окружности:

     

Построим правильный пятиугольник. Это легко сделать с помощью описанной окружности. Из ее центра надо последовательно отложить углы с вершиной в центре окружности, равные 72°. Стороны углов пересекут окружность в пяти точках, соединив их последовательно, получим правильный пятиугольник. А теперь проведем в этом пятиугольники все диагонали. Они образуют правильный звездчатый пятиугольник, т.е. знаменитую пентаграмму. Интересно, что стороны пентаграмм, пересекаясь,  образуют снова правильный пятиугольник, в котором пересечение диагоналей дает нам новую пентаграмму и так далее до бесконечности (см. рис. 6).

Пентаграмма - правильный невыпуклый пятиугольник, она же правильный звездчатый пятиугольник, или правильная пятиугольная звезда. Форму пятиконечной звезды имеют многие цветы, морские звезды и ежи, вирусы и т.д. Первые упоминания о пентаграмме относятся к Древней Греции. В переводе с греческого пентаграмма означает дословно пять линий. Пентаграмма была отличительным знаком школы Пифагора (580-500 гг. до н.э.). Они считали, что этот красивый многоугольник обладает многими мистическими свойствами. Благоговейное отношение к пентаграмме было характерно и для средневековых мистиков, которые многое заимствовали у пифагорейцев. В средние века считалось, что пентаграмма служит охранным знаком от сатаны.

2.3. Способы построения правильного пятиугольника

Приближенное построение правильного пятиугольника представляет собой интерес. А.Дюрером оно проводится при условии неизменности раствора циркуля, что повышает точность построения (рис. 7). Способ построения описан Дюрером так: "Однако пятиугольник, построенный неизменным раствором циркуля, делай так. Проведи две окружности так, чтобы каждая из них проходила через центр другой. Два центра  А и В соедини прямой линией. Это и будет стороной пятиугольника. Точки пересечения окружностей обозначь сверху С, снизу D и проведи прямую линию CD. После этого возьми циркуль с неизменным раствором и, установив одну его ножку в точку D, другой проведи через оба центра А и В дугу до пересечения её с обеими окружностями. Точки пересечения обозначь через E и F, а точку пересечения с прямой CD обозначь буквой G. Теперь проведи прямую линию через Е и G до пересечения с линией окружности. Эту точку обозначь Н. Затем проведи другую линию через F и G до пересечения с линией окружности и поставь здесь J. Соединив J,A и H,B прямыми, получим три стороны пятиугольника. Дав возможность двум сторонам такой длины достигнуть совпадения в точке K из точек J и H, получим некоторый пятиугольник".

Далее рассмотрим еще один способ построения правильного пятиугольника через построение правильного десятиугольника (рис. 8).

Пусть w- данная окружность радиуса R c центром О. Построим сначала правильный десятиугольник, вписанный в окружность w. Для этого проведем взаимно перпендикулярные радиусы ОА1 и ОВ окружности w и на отрезке ОВ как на диаметре построим окружность с центром С. Отрезок А1С пересекает эту окружность в некоторой точке D. Далее отметим на окружности w точки А2, А3, … , А10 так, что А1А2= А2А3=….

=А9А10 = А1D. Десятиугольник А1А2…А10-искомый. Для того, чтобы построить правильный пятиугольник нужно соединить точки данного десятиугольника через одну, значит соединим точки А1,А3,А5,А7,А9. Пятиугольник А1А3А5А7А9- искомый.

Стороны пентаграммы, пересекаясь, делят друг друга на отрезки, длины которых образуют золотую пропорцию.

2.4. Определение многогранников и виды многогранников

Как указывалось ранее, молекулы фуллеренов представляют собой многогранники. Рассмотрим подробнее это понятие.

Какие фигуры называются правильными многогранниками? В курсе геометрии даётся определение: «Многогранник– это геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника, а концы ребер– вершинами многогранника»

Названия правильных многогранников пришли из Древней Греции. В дословном переводе с греческого они означают: четырёхгранник, шестигранник, восьмигранник, двенадцатигранник и двадцатигранник (рис. 10).


 

2.5. Тела Платона

Правильные многогранники часто называют Платоновыми телами, поскольку он первым упомянул их в своих научных трактатах, хотя они были известны задолго до него.

Платон (рис. 11) считал, что мир строится из четырёх «стихий»– огня, земли, воздуха и воды, а вид этих «стихий» имеет форму четырёх правильных многогранников. Итак, тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр– как самый обтекаемый– воду; куб– самая устойчивая из фигур– землю,  октаэдр– как самый «воздушный» по конструкции– воздух. Пятый

многогранник– додекаэдр– воплощал в себе «всё сущее», символизировал весь мир и небо и почитался главнейшим.

Правильный многогранник – это многогранник, у которого все грани – равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходятся одно и то же число рёбер.

Я начну своё рассмотрение с правильных многогранников, гранями которых являются равносторонние треугольники. Первый из них – это тетраэдр. В тетраэдре три равносторонних треугольника встречаются в одной вершине; при этом их основания образуют новый равносторонний треугольник. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел и является трехмерным аналогом плоского правильного треугольника, который имеет наименьшее число сторон среди правильных многоугольников.

Следующее тело, которое образуется равносторонними треугольниками, называется октаэдром. В октаэдре в одной вершине встречаются четыре треугольника; в результате получается пирамида с четырехугольным основанием. Если соединить две такие пирамиды основаниями, то получится симметричное тело с восемью треугольными гранями – октаэдр.

Теперь можно попробовать соединить в одной точке пять равносторонних треугольников. В результате получится фигура с 20 треугольными гранями – икосаэдр. Следующая правильная форма многоугольника – квадрат. Если соединить три квадрата в одной точке и затем добавить еще три, мы получим совершенную форму с шестью гранями, называемую кубом.

Наконец, существует еще одна возможность построения правильного многогранника, основанная на использовании следующего правильного многоугольника – пентагона. Если собрать 12 пентагонов таким образом, чтобы в каждой точке встречалось три пентагона, то получим еще одно Платоново тело, называемое додекаэдром.

Следующим правильным многоугольником является шестиугольник. Однако если соединить три шестиугольника в одной точке, то мы получим поверхность, то есть из шестиугольников нельзя построить объемную фигуру. Любые другие правильные многоугольники выше шестиугольника не могут образовывать тел вообще. Из этих рассуждений вытекает, что существует только пять правильных многогранников, гранями которых могут быть только равносторонние треугольники, квадраты и пентагоны.

Рассмотрим две теоремы из общей теории выпуклых многогранников, рассматриваемых как поверхности.

2.6. Теорема Эйлера

 

В таблице 1 представлено соотношение чисел граней, вершин и ребер для правильных многогранников.

 Таблица № 1.

Правильный многогранник

Число граней

Число вершин

Число рёбер

Тетраэдр

4

4

6

Куб

6

8

12

Октаэдр

8

6

12

Додекаэдр

12

20

30

Икосаэдр

20

12

30


Рассматривая таблицу № 1, зададимся вопросом: «Нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?» По–видимому, нет. В столбце «грани» сначала закономерность прослеживается (4+2=6, 6+2=8), а потом закономерность пропадает (8+2≠12, 12+2≠20). В столбце «вершины» нет даже стабильного возрастания. Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то убывает (от 8 до 6, от 20 до 12). В столбце «рёбра» закономерности даже не видно.

Но не будем сдаваться. Ведь мы сравнивали числа внутри одного столбца. Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах «грани» и «вершины» (Г и В). Тогда составим новую таблицу подсчётов.

Таблица № 2.

Правильный многогранник

Число граней и вершин (Г и В)

Число рёбер (Р)

Тетраэдр

4+4=8

6

Куб

6+8=14

12

Октаэдр

8+6=14

12

Додекаэдр

12+20=32

30

Икосаэдр

20+12=32

30

Вот теперь закономерность видна невооружённым взглядом. Сформулируем её так: «Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на два»

Итак, мы доказали теорему Эйлера (1752).(число вершин минус число рёбер плюс число граней выпуклого многогранника — равно двум).

Как уже говорилось выше, простейший фуллерен С20 представляет собой додекаэдр, то есть для него выполняется теорема Эйлера. Молекула самого устойчивого фуллерена С60 имеет 60 вершин, 32 грани и   90 ребер, то есть 60 – 90 + 32 = 2, то есть теорема Эйлера также выполняется.

2.7. Теорема Александрова

Следующая теорема– это теорема Александрова (1939): Эта теорема есть теорема существования, то есть она показывает, с какими развёртками существуют выпуклые многогранники. Для этого чтобы развёртку превратить в поверхность выпуклого многогранника, необходимо, чтобы: а) удовлетворялось условие Эйлера и б) чтобы сумма плоских углов, сходящихся при склеивании в одной вершине, для любой вершины была меньше 360°.

На рисунке 12 приведены плоскостные развертки трех самых известных фуллерено: С60, С70 и С84 (напоминающий мяч для бейсбола, для наглядности на рисунке проведен шив мяча). При склеивании трехмерной модели развертка сначала увеличивается так, чтобы длина ребер многогранников составляла 2-3 см. Затем развертку вырезают по периметру. Шестиугольники с цифрой «5» вырезают со стороны вершины, помеченной точкой, и удаляют. Шестиугольники с буквой «Т» - язычки для склеивания. По мере склеивания модели на месте шестиугольников с цифрой «5» и образуются пятиугольники (вырезанные).

Если рассмотреть развертку молекул фуллеренов (рисунок  8), то видно, что в вершине соответствующей фигуры сходятся 2 шестиугольника и пятиугольник (тогда сумма плоских углов соответственно равна 1200+1200+720=3120<3600). То есть выполняется второе условие теоремы Александрова.

2.8. Дуальность

Существуют удивительные геометрические связи между всеми правильными многогранниками. Так, например, куб и октаэдр дуальны, то есть получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны икосаэдр и додекаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях, вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру, то есть из куба могут быть получены все остальные правильные многогранники. Следует отметить, что у пары дуальных многогранников число вершин одного равно числу граней другого, а рёбер у них поровну. Дуальные многогранники представлены на рисунке 13.

§3. Правило изолированных пентагонов (пятиугольников)

С точки зрения стабильности фуллерены могут быть разбиты на два типа: устойчивые и неустойчивые.

Грань между ними позволяет провести правило изолированных пентагонов (Izolated Pentagon Rule, IPR). Это правило гласит, что наиболее стабильными являются те фуллерены, в которых пентагоны не касаются друг друга, то есть каждый пентагон окружен пятью гексагонами и имеет общие ребра только с гексагонами. Бакминстерфуллерен является первым представителем фуллеренов, удовлетворяющим правилу изолированных пентагонов, С70 – вторым представителем.

В молекуле С60, которая является наиболее симметричным представителем семейства фуллеренов, число шестиугольников равно 20. При этом каждый пятиугольник граничит только с шестиугольниками, а каждый шестиугольник имеет три общие стороны с шестиугольниками и три - с пятиугольниками.

В фуллеренах с n > 70 всегда есть изомер, подчиняющийся IPR-правилу, и число таких изомеров быстро возрастает. Найдено 5 для С78 , 24 для С84 и 40 для С90 . Все остальные фуллерены с n от 22 до 68 имеют в своей структуре прилегающие друг к другу пентагоны и менее стабильны. Но несмотря на это правило удалось получить пленку черного цвета толщиной около 100 нм, состоящую в основном из молекул C36. Каждая молекула образована из 12 пятиугольных и двух шестиугольных углеродных колец и имеет ось симметрии шестого порядка.

По мере развития исследований фуллеренов были синтезированы и изучены молекулы фуллеренов, содержащие различное число атомов углерода - от 36 до 540. Однако до сих пор оставался нерешенным вопрос о возможности существования и способе получения минимально возможной молекулы фуллерена – С20. Поверхность такой молекулы должна состоять из одних пятиугольников и вовсе не содержать шестиугольников. Такая структура характеризуется существенно более острыми углами, чем у крупных молекул фуллеренов и не подчиняется правилу изолированных пентагонов, поэтому были основания сомневаться в химической стабильности, а стало быть и в возможности получения молекулы С20. В то же время без С20 семейство фуллеренов выглядело неполным.
Заключение

В работе мы рассмотрели понятие фуллеренов – фуллерены – сравнительно  недавно открытую аллотропную модификацию углерода. В отличие от других аллотропных модификаций углерода фуллерены имеют молекулярную структуру, а молекулы представляют собой полуправильные многогранники. Фуллерены представляют собой проявление изучаемых в математике абстрактных фигур – многогранников и  многоугольников – в природе. Фуллерены – вещества, имеющие большие перспективы в использовании для различных целей, поэтому их исследование и изучение их геометрической структура очень важно.

Рассматривая строение молекул фуллеренов сделали вывод, что они подчиняются теоремам, сформулированным для выпуклых многогранников: теореме Эйлера и теореме Александрова.


Литература:

  1.  Золотухин И. В.,  Фуллерит – новая форма углерода, Сорсовский Образовательный Журнал, №2, 1996, с. 51-56.
  2.  Сидоров Л. Н.,  Газовые кластеры и фуллерены, Сорсовский Образовательный Журнал, №3, 1998, с. 65-71.
  3.  Химия в школе, №1, 2001, ИССЛЕДОВАНИЯ, ОТКРЫТИЯ, ПРОГНОЗЫ: Фуллерен С36
  4.  Белов Д. В., Новые полиморфные МОДИФИКАЦИИ УГЛЕРОДА, Химия в школе, №2, 2003.
  5.  Семенов Е. Е. За страницами учебника геометрии, М, Просвещение, 1999.
  6.  Рывкин А., А, Рывкин А. З., Справочник по математике, М, Высшая школа, 1987
  7.  Атанасян Л. С., Геометрия 7-9, М. , Ппросвещение, 2005.
  8.  Шарыгин И. Ф., Геометрия 7-9, М., Дрофа, 2002.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

56386. Новелла «Тонио Крегер» Т. Манна 16.8 KB
  Новелла «Тонио Крегер» (1903) —выдающееся произведение раннего Т. Манна. В ней полнее всего отражается комплекс раздумий молодого писателя о судьбах цивилизации и искусства, о будущем человеческой культуры
56387. Критический реализм 15.43 KB
  Новый тип реализма складывается в 19 веке. Это критический реализм. Он существенно отличается и от ренессансного, и от просветительского. Расцвет его на Западе связан с именами Стендаля...
56388. Творчество Э. и Ж. Гонкуров 17.38 KB
  В 1834 братья потеряли отца, в 1848 — мать, оставившую скромное состояние, которое позволило им целиком посвятить свою жизнь творчеству. Сначала они решили испытать силы в качестве художников или драматургов, но все их попытки реализовать себя в живописи или на сцене окончились неудачно.
56390. «Ругон-Маккары» Э. Золя 20.45 KB
  Главным этапом в творчестве писателя стала серия «Ругон-Маккары». Грандиозный замысел романа-хроники о семье Ругон-Маккаров сразу же поставил Э. С 1868 по 1893 годы, за четверть века, Золя создал 20 томов естественной и социальной истории семьи во Второй империи
56391. Темперамент. Визначення типу темпераменту 163 KB
  Мета уроку: познайомити учнів з типами вищої нервової дiяльностi навчити встановлювати причинно-наслiдковi зв’язки між властивостями нервових процесів та типами темпераменту; продовжувати формувати уявлення...