9134

Временной анализ. Временные характеристики

Реферат

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Временной анализ. Временные характеристики При изучении систем ищут реакцию системы на входные сигналы, к которым предъявляются противоречивые требования. С одной стороны, сигналы должны быть ближе к реальным сигналам на входе системы. С другой сто...

Русский

2013-02-24

294.5 KB

9 чел.

Временной анализ. Временные характеристики

При изучении систем ищут реакцию системы на входные сигналы, к которым предъявляются противоречивые требования. С одной стороны, сигналы должны быть ближе к реальным сигналам на входе системы. С другой стороны, сигналы должны быть проще, чтобы было легче построить реакцию.

Поэтому обычно ищут реакцию на так называемые тиковые сигналы, примерами которых является единичное ступенчатое воздействие l(t); дельта функция (t); линейно изменяющийся сигнал at (с постоянной скоростью = a); сигнал с постоянным ускорением ; экспоненциальный сигнал e , синусоидальный (гармонический) сигнал (X - амплитуда, - круговая частота, - начальная фаза) и т. д.

Временной метод анализа основан на применении временных характеристик и интеграла Дюамеля. К временным характеристикам относятся переходная функция и функция веса, или импульсная переходная функция.

Переходной функцией h(t) называется реакция звена или системы при нулевых начальных условиях на единичный скачок (функцию Хевисайда), или единичное ступенчатое воздействие 1(t). Эта функция определяется следующим выражением                                              (2.3.1)

В зарубежной литературе функцию Хевисайда обычно обозначают через .

Примером подобного воздействия является скачкообразное изменение сигнала (изменение тока, напряжения при включении и выключении, приложение тормозящего момента к двигателю и т.д.). Если высота скачка равна Х0, то его можно представить в виде Х0.

Функцией веса w(t) называется реакция звена или системы при нулевых начальных условиях на дельта-функцию (функцию Дирака, или функцию) , определяемую следующим выражением: 

                                                              (2.3.2)

На функцию дополнительно накладывается условие нормировки, заключающееcя к приравниванию площади под кривой единице, т.е.

                                                   .         (2.3.3)

Примером подобного воздействия является короткое замыкание, устраняемое быстрым перегоранием плавкого предохранителя. функция является математической абстракцией, так как реальные сигналы имеют конечную длительность. На практике сигнал по отношению к данной системе можно считать   функцией, если за время его действия реакция системы изменяется незначительно. Рассмотрим прямоугольный импульс высотой Х0 и малой длительностью . Тогда сигнал можно записать в виде Х0, где  Х0- площадь под кривой сигнала (представленного функцией с неединичной площадью). Очевидно, что функция, кроме размерности физической величины (Х0)  имеет размерность времени : [размерность физической величины  с].

Важным свойством функции является фильтрующее свойство, заключающееся в равенстве              .                      (2.3.4)

При вычислении интеграла учтем, что функция отлична от нуля в узкой окрестности точки t = . Левее и правее этой точки интегралы (площади под кривыми произведения функций х(t) и (t- ) равны нулю. В окрестности точки функция x(t) постоянна, равна x( ) и ее можно вынести за знак  интеграла, а интеграл от функции по условию нормировки равен единице, откуда и следует фильтрующее свойство (2.3.4). Смысл названия свойства в том, что благодаря операции (2.3.4) из множества точек функции х(t) выделяется (фильтруется) единственная точка .

Сказанное можно записать следующим образом ()

.

Пример 2.3.1. Найдем реакцию звена с прередаточной функцией W(p) на    -функцию т.е. на x(t) = при нулевых начальных условиях.

Найдем изображение функции

                               .

Здесь при вычислении мы по существу воспользовались фильтрующим свойством функции, и можно было сразу записать ответ Х(р) = 1. Согласно определению передаточной функции Y(p) = X(р)W(p) = W(p). Но реакцией на -функцию  является  функция веса. Поэтому между функцией веса и передаточной функцией простая связь. Функция веса – это оригинал, а передаточная функция – это ее изображение по Лапласу, т.е. . Поэтому функцию веса обозначают строчной буквой по аналогии с обозначениями оригинала и изображения  в (2.2.11).

Пример 2.3.2. Найдем реакцию звена с прередаточной функцией W(p) на единичный скачок, т.е. на  x(t) = при нулевых начальных условиях.

Найдем изображение единичного скачка.

                             .

Согласно определению передаточной функции имеем Y(p) = X(р)W(p) = . Но реакцией на единичный скачок является  переходная функция. Поэтому между переходной функцией и передаточной функцией простая связь. Переходная функция – это оригинал, а    –  это ее изображение по Лапласу.

Чтобы установить связь между временными характеристиками, обратим внимание на то, что изображение функции веса в р раз больше изображения переходной функции. Следовательно, функция веса является производной от переходной функции. Обратно переходная функция является интегралом от функции веса. Таким образом:

            ;   ;             (2.3.5)

                            .             (2.3.6)

В литературе по теории автоматического управления до сих пор встречается преобразование Карсона-Хевисайда, связанное с преобразованием Лапласа формулой:       .

Переходная и передаточная функции являются парой преобразования Карсона-Хевисайда, т.е. h(t)W(p).

Реакцию на произвольное воздействие можно найти с помощью интеграла Дюамеля, если известны временные характеристики. Вывод интеграла Дюамеля основан на принципе суперпозиции (наложения), справедливом для линейных систем и заключающемся в том, что реакция такой системы на сумму сигналов равна сумме реакций на эти сигналы.

Реальная система не может реагировать на сигнал до момента его возникновения. Поэтому на функцию веса накладывается ограничение, называемое условием физической осуществимости системы:

                                                   w(t)  0,  t < 0 .                            (2.3.9)

В реальных инерционных системах с ограниченной полосой пропускания h(0) = 0, и поэтому вместо (2.3.7) интеграл Дюамеля имеет вид

                                .              (2.3.10)

Временные характеристики типовых звеньев (табл.2.3.1.) можно найти с помощью обратного преобразования Лапласа, имея в виду, что исходя из определений функции веса и переходной функции вытекают отношения

                                   ;      .

Одну временную характеристику можно определить по другой, используя соотношения               ;     .

 

Временные характеристики типовых звеньев        Таблица 2.3.1

,

,     

Временные характеристики можно найти, решая непосредственно диф-ференциальное уравнение при нулевых начальных условиях.

Рассмотрим переходную функцию системы, имеющую вид, изображенный на рис.2.3.2. Время регулирования найдем как время, по истечении которого кривая переходного процесса не выходит за пределы зоны шириной , причем  

( 5 % от установившегося значения). Склонность к колебаниям и, соответственно, степень устой-чивости системы характеризуется динамической ошибкой, или перерегулированием - относительной величиной (в процентах) выброса выходной величины сверх установившегося значения, т.е.

             .                 (2.3.13)

На практике динамическая ошибка обычно составляет 20 - 30%. Максимальное допустимое значение динамической ошибки составляет 50%. В ответственных случаях динамическая ошибка вообще не допускается, т.е. переходный процесс должен быть монотонным (без колебаний, или без перерегулирования, как у инерционного звена, например).

Для сравнения звеньев и систем друг с другом под полосой пропускания понимается диапазон частот, в котором амплитуда A() сохраняет величину не меньше 0.707 Amax.

Пример 2.4.1. Найти полосу пропускания инерционного звена с передаточной функцией по уровню 0.707 от максимальной величины.

Заменяя р на j , получим частотную передаточную функцию   .

Найдем модуль как модуль дроби, равный модулю числителя, деленному на модуль знаменателя. При этом считаем  . Имеем   .

Отсюда Аmax =А(0) = k. На частоте сопряжения имеем . Следовательно, полосой пропускания инерционного звена по уровню является отрезок [ ], а ширина полосы пропускания (длина отрезка) равна .

Так как в линейной системе теоретически переходный процесс заканчивается при t  , то на практике под временем регулирования (или переходного процесса) понимают время tп = tр, по истечении которого график переходной характеристики h(0) не выходит за пределы зоны шириной ± = ±0,05h() от установившегося значения h() как было показано на рис.2.3.2.

Пример 2.4.2. Найти время регулирования инерционного звена из предыдущего примера, принимая за время регулирования момент времени при котором переходная функция достигает  95% от установившегося значения.

Изображение по Лапласу реакции звена на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях равно  .

Оригинал этого изображения есть .

Отсюда имеем            h() = k, .  (2.4.34)

Переходная функция, или реакция на единичный скачок при нулевых начальных условиях, построенная по (2.4.34), изображена на рис.2.4.10. В случае входного сигнала реакция плавно изменяется (по экспоненте) от нуля до . Т.е. реакция не является скачком высотой . Поэтому звено называют инерционным. Полагая  h(tp) = 0.95 h(), найдем

                                                   .                               (2.4.35)

Следовательно, время регулирования обратно пропорционально полосе пропускания звена . Таким обазом, чем шире полоса пропускания, тем больше быстродействие (меньше время регулирования).

Эта связь между полосой пропускания и временем регулирования вытекает из теоремы подобия, рассматриваемой в преобразовании Фурье (и Лапласа).


Рис.2.3.2. Определение динам
ической ошибки и времени регулирования  

(переходного процесса)

по переходной функции

ис.2.4.10. Переходная

функция инерционного

звена


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44617. Древняя Индия 72.5 KB
  Индостан и образовавшие первые государства. Развитие государства Древней Индии имеет особенности отличающий его от других стран Востока. Форма государственного устройства всего Древнего Востока Восточная деспотия Индии имела особенность – власть правителя была ограничена индийской общиной некоторая коллегиальность управления; Существенное влияние на развитие государства оказала религия. Центральная власть Глава государства царь власть которого обожествлялась.
44618. Спарта в период рабовладельческой аристократической республики (VIII в. до н.э. - середина II в. до н.э.) 60.5 KB
  Возникновения государства. Илоты Жители побежденных лаконийских племен превращенные в рабов были собственностью государства. Возникновения государства. Победа Спарты над Афинами в Пелопоннесской войне привел к появлению роскоши развитию товарноденежных отношений и гибели Спарты как военизированного аристократического рабовладельческого государства во II в.
44619. Афинское государство (VIII-IV вв. до н.э.) 105 KB
  Основные понятия Ареопаг Высший орган государственной и судебной власти в Афинах. Булевты Члены Совета пятисот булэ в Древних Афинах в компетенции которого находились вопросы управления внешних сношений финансов государства. Гелиасты Члены судебной коллегии гелиэи в Древних Афинах. Демы Территориальные округа в Древних Афинах со времен реформы Клисфена.
44620. Древний Вавилон 72 KB
  Законы Хаммурапи. Законы Хаммурапи Сборник законов Древнего Вавилона названный именем царя Вавилона. Мушкенум Жители покоренных Хаммурапи областей. Хаммурапи Царь Вавилона в период правления которого XVIII в.
44621. Французская буржуазная революция (1789-1794 гг.). Этапы революции, конституционное законодательство 88.5 KB
  Этапы революции конституционное законодательство. Первый этап революции фельяны. Второй этап революции жирондисты. Третий этап революции якобинцы.
44622. Французское государство в конце XVIII-XIX вв 67 KB
  Третья республика во Франции 18711940 гг. Первая империя 17941814 Во Франции 27 июля месяц термидор произошел переворот. Государственный строй первой империи во Франции стал республиканская монархия в Риме пример принципат. Напоминала Конституцию Франции образца 1791 г.
44623. Англия в Новое время 89 KB
  Буржуазная революция в Англии. Виги Представители промышленной буржуазии в парламенте Англии в 70х годах XVII в. Выступали за уничтожение монархии палаты лордов и сословных привилегий за превращение Англии в республику с однопалатным парламентом избранным на основе всеобщего избирательного права исключая рабочих и прислугу. Пуритане Последователи кальвинизма одного из направлений протестантизма в Англии XVIXVII вв.
44624. Соединенные Штаты Америки в XVIII-XIX вв 75.5 KB
  Гражданская война в США и отражение ее итогов в Конституции США. Первые 10 поправок к Конституции США 1787 г. Вашингтон Джордж 17321799 Государственный деятель США главнокомандующий американской армией во время войны за независимость в Северной Америке 17751783 гг. первый президент США 17891797 гг.
44625. Государство и право Франков (VI – IX вв.) 86.5 KB
  Государственный строй Салическая правда Основные понятия Аллод Наследственная свободно отчуждаемая земельная собственность в раннефеодальных государствах свободная от повинностей. Иммунитет Привилегии крупных земельных собственников в феодальных государствах Европы в период средневековья. Создал раннефеодальную монархию – государство с относительно сильной центральной властью издавал многочисленные капитулярии законы в целях укрепления государства. с его именем связано образование Франкского раннефеодального государства и...