9136

Составление уравнения системы

Контрольная

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Составление уравнения системы Классический способ составления уравнения системы Уравнение системы - это зависимость выходной (регулируемой) величины или ошибки (рассогласования) от команды и возмущающих воздействий...

Русский

2013-02-24

793 KB

10 чел.

Составление уравнения системы

Классический  способ  составления  уравнения  системы

Уравнение системы – это зависимость выходной (регулируемой) величины или ошибки (рассогласования) от команды и возмущающих воздействий.

Классический способ составления уравнения системы заключается в том, что ее разбивают на отдельные звенья и записывают уравнения звеньев и связей между ними. К связям относятся уравнения сумматоров и дополнительные уравнения, необходимые, скажем из-за  неудачных  (лишних) переменных при обозначениях.  Например, сигнал с выхода генератора поступает на вход двигателя. При рассмотрении генератора мы обозначили его выходное напряжение через . При рассмотрении двигателя по традиции обозначили его входную величину через . Поэтому для совместного рассмотрения в системе необходимо ввести уравнение связи , которое потребовалось бы, если бы в обоих случаях использовалось одно и тоже обозначение, например .

Классический способ громоздок, при преобразованиях и записях длинных выражений не исключены ошибки.  Составление уравнения системы можно упростить и формализовать, если воспользоваться теорией графов или структурным методом. В теории управления, как правило, применяется структурный метод, основу которого составляют правила преобразования структурных схем,

которые мы рассмотрим. Они довольно просты и элементарно выводятся. Прокомментируем основные правила, составляющие основу структурного метода.

Основы  структурного  метода

Различают три основных способа включения (соединения) звеньев: последовательно, параллельно и антипараллельно (обратная связь).

1. Последовательное (каскадное) включение (соединение) звеньев (рис.2.7.1а).

В случае любой схемы задача заключается в определении результирующей передаточной функции W, т.е. в замене схемы одним звеном (рис.2.7.2).

Метод решения заключается в том, что изображение выхода выражается через изображение входа. При этом используется определение передаточной функции. Так для схемы рис.2.7.1а имеем

                      .

Отсюда результирующая передаточная функция, как отношение изображения выхода к изображению входа равна

                                  .                                    (2.7.1)

Следовательно, при последовательном соединении передаточные функции перемножаются.

2. Параллельное включение звеньев (рис.2.7.1б).

В этом случае имеем , откуда

                                 ,                                  (2.7.2)

т.е. при параллельном включении передаточные функции складываются.

3. Антипараллельное включение (обратная связь). 

Обратная связь бывает двух видов (рис.2.7.1в) – положительная (верхний знак «+») и отрицательная (нижний знак «–»).

Используя определение передаточной функции, последовательно находим          . Теперь разделим переменные. Обратим внимание на то, что при переносе члена из правой части в левую часть равенства знаки меняются местами, так, что верхний знак «–» будет соответствовать положительной обратной связи, а нижний знак «+» – отрицательной:                   .

Отсюда следует результирующая передаточная функция

                                   .                            (2.7.3)

Согласно этой передаточной функции справедливо следующее правило. Если мы входим в замкнутый контур, то результирующая передаточная функция будет дробью, в числителе которой стоит передаточная функция прямой цепи передачи сигнала от входа к выходу (прямо по стрелкам). Знаменатель формируется как единица «–» в случае положительной обратной связи или «+» в случае отрицательной, и далее произведение передаточных функций по замкнутому контуру от входа после сумматора до выхода из него перед сумматором.

Пример 2.7.1. Записать изображение реакции для схемы, изображенной на    рис.2.7.3.

Так как система линейная и справедлив принцип суперпозиции (наложения), то найдем изображение реакции как сумму изображений реакций на отдельные сигналы

Придерживаясь сформулированного правила, получим

                           

 Пример 2.7.2. Записать изображение реакции для схемы рис.2.7.4.

В схеме имеется два параллельных соединения с результирующими передаточными функциями        ;    .

Пользуясь принципом суперпозиции  получим

                  .

     Здесь, когда мы заменили параллельные соединения результирующими передаточными функциями (пунктирные звенья – прямоугольники на рис.2.7.4), по замкнутому контуру, оказалось четное число инверсий сигнала, т.е. положительная обратная связь. Соответственно в знаменателях поставлен знак «–». Однако, несмотря на это, в схеме по существу отрицательная обратная связь и схема имеет смысл как система с регулированием по отклонению. Третья инверсия сигнала здесь завуалирована в передаточной функции .

Правила переноса точки схемы или суммирования используются для освобождения от перекрестных связей, что проиллюстрируем примером.

Пример 2.7.3. Составить результирующую передаточную функцию для схемы рис.2.7.5.

В схеме два замкнутых контура. Если заменить эквивалентным звеном левый контур, то потеряем вход 1 второго контура. Если сначала заменить эквивалентным звеном правый контур, то потеряем точку съема 2 первого контура. Связи 1, 2 называются перекрестными. Для освобождения от них перенесем точку съема 2 с входа на выход. На выходе 3 один и тот же сигнал . Для наглядности изобразим точку съема правее точки 3. Тогда правый контур оказывается внутри левого контура, и мы его можем заменить эквивалентным звеном с передаточной функцией    .

После этого запишем эквивалентную передаточную функцию всей схемы

                                           .

Теперь в случае необходимости можно по передаточной функции записать дифференциальное уравнение системы.

Пример 2.7.4. По структурной схеме системы стабилизации оборотов двигателя рис.1.2.4, считая  Мн = 0, составить уравнение для рассогласования (ошибки).

В системе неединичная отрицательная обратная связь, но между сигналом обратной связи  и регулируемой величиной пропорциональная связь (). Эти переменные отличаются масштабом. Характер переходных процессов одинаков и по любой из них мы найдем одно и тоже время регулирования  и динамическую ошибку . Поэтому заменим физическую регулируемую величину на , по отношению к которой система замкнута единичной отрицательной обратной связью. В этом случае рассогласование  является ошибкой, а передаточная функция разомкнутой системы равна     ,

или                            ,

где  – общий коэффициент усиления разомкнутой системы.

Теперь по правилу антипараллельного соединения имеем передаточную функцию замкнутой системы для ошибки и для выходной величины

.

Знаменатели этих передаточных функций представляют собой характеристический полином замкнутой системы и, естественно, совпадают. В случае необходимости можно записать дифференциальное уравнение для ошибки.

Правила преобразования структурных схем                                 Таблица 2.7.1

Правило

Исходная схема

Преобразованная

схема

1.

Перестановка

точек

суммирования

2.

Перестановка

точек съема

3.

Перенос точки

суммирования с входа на

выход звена

4.

Перенос точки

суммирования с выхода на вход звена

5.

Перенос точки

съема со входа

на выход звена

6.

Перенос точки

съема с выхода

на вход звена

7.

Последовательное

(каскадное)

соединение

8.

Параллельное

соединение

звеньев

9.

Единичная

обратная связь

10.

Неединичная

обратная связь


Рис.2.7.1.  Схемы включения звеньев. а – последовательное;

б – параллельное; в – антипараллельное (обратная связь)

Рис.2.7.2. Эквивалентная

схема

EMBED Visio.Drawing.11  

Рис.2.7.3. Схема

замкнутой системы

с командой x(t)

и возмущениями fi(t).

EMBED Visio.Drawing.11  

EMBED Visio.Drawing.11  

Рис.2.7.4. Схема замкнутой системы

с командой и помехами

EMBED Visio.Drawing.11  

Рис.2.7.5. Схема с перекрестными связями


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33528. Проблематика романа Б. Пастернака «Доктор Живаго», значение лирического дневника в идейной концепции романа 20.46 KB
  Пастернака Доктор Живаго значение лирического дневника в идейной концепции романа. Пастернак начал писать роман “Доктор Живаго†в 1945 году и закончил его в декабре 1955 года.Лихачев уверен что автор Пастернак пишет о самом себе но пишет как о постороннем он придумывает себе судьбу в которой можно было бы наиболее полно раскрыть перед читателем свою внутреннюю жизнь что жизнь Юрия Андреевича Живаго – это альтернативный вариант жизни самого Пастернака. Доктор Живаго – выразитель сокровенного лирический герой Пастернака который...
33529. Литературный процесс 30-х годов (ведущие темы, основные имена) 13.59 KB
  Печатались новые произведения Н. Новые сферы жизни человека новые конфликты новые характеры видоизменение традиционного литературного материала привели к появлению новых героев к возникновению новых жанров новых приемов стихосложения к поискам в области композиции и языка.
33530. Литературные объединения 20-х годов, их роль в развитии литературы 25.13 KB
  в литературной жизни продолжали существовать литературные организации и группы писателей: футуристы акмеисты Пролеткульт сложившиеся в начале 1910х годов. Одной из самых многочисленных и авторитетных литературных организаций объединивших пролетарских поэтов и писателей стал Пролеткульт. Его теория пролетарской культуры оказала большое влияние на русскую литературу 1920 1930х годов особенно на творчество пролетарских поэтов и писателей. Драматическим моментом в судьбе Пролеткульта стал раскол который произошел накануне Первого...
33531. Несвоевременные мысли» М.Горького как опыт национальной самокритики 20.06 KB
  Советское литературоведение отталкиваясь от определения Ленина Горький не политик толковало публицистику как отступление от правды большевизма. Это хорошо понимал и сам Горький. Горький подозревает крестьянство в тяжких грехах и противопоставляет ему рабочий класс напутствуя: Не забывайте что вы живете в стране где 85 населения – крестьяне и что вы среди них маленький островок среди океана. На крестьянство Горький не рассчитывает потому что оно жадное до собственности получит землю и отвернется изорвав на онучи знамя Желябова.
33532. Тема любви в лирике В.Маяковского и лирике С.Есенина 20-х гг. 21.61 KB
  Октябрьская революция раскрепостив человека создала условия для торжества любви любви как счастья как радости. Это произведение о человеческой любви во всех ее проявлениях о любви в самом широком смысле этого слова. Утверждая право человека ненавидеть во имя любви Маяковский по ходу эволюции своего лирического героя показывает как его чувства становятся социально осмысленными.
33533. Отражение истории в судьбе Г.Мелехова (по роману М.Шолохова «Тихий Дон») 14.64 KB
  Григорий Мелехов – это главный герой романа. На войне герой возмужал заслужил четыре георгиевских креста и четыре медали стал офицером поддержал казачью честь и славу но стал злым. После знакомства с большевистской философией герой чувствует себя зрячим. Трех коней убили под Григорием в пяти местах продырявлена его шинель но геройство оказывается напрасным – поток Красной армии затопляет Донскую землю.
33534. Проблематика и жанровые особенности романа М.Шолохова «Тихий Дон» 16.39 KB
  Действительно Шолохов в отличие от автора “Войны и мира†не дает в романе теоретического обоснования своей исторической концепции несмотря на то что его трактовка исторических событий нередко отличается от главенствовавшей тогда в исторической науке. В своем романе Шолохов рисует жизнь русского донского казачества. В этом романе Шолохов освещает проблемы связанные с войной и революцией начала 20 века. Но есть в романе и другое.
33535. Политическая лирика В.Маяковского 18.44 KB
  Февральская и Октябрьская революции явились для Маяковского началом реального воплощения его идей о новом свободном человеке и счастливом мироустройстве. Отныне романтический индивидуализм присущий лирическому герою Маяковского уступил место соборности единению с миллионами я сменилось на мы конфликт личности и общества был снят самой историей. Футуристическая эстетика Маяковского сменилась доктриной коммунистического футуризма и Левого фронта искусств с его идеями искусства как жизнестроения. Знаменитые Окна РОСТА регулярно...
33536. Идейно-тематические особенности рассказов М.Зощенко. Герои, конфликты 15.7 KB
  Несмотря на то что герой не считает себя удачливым в жизни так как выходит ему время от времени перетык и прискорбный случай он философствует Жизнь штука не простая а сложная имеет на все свои взгляды: и на мужицкую жизнь блекота и слабое развитие техники и на культуру иностранную которую он знает. Я всегда стремился к изображению положительных сторон жизни. которые проповедовали свободу искусства от политики изображали действительность исходя из фактов жизни быта. Главным фактом в то время была революция которую...