91626

Алгоритм RSA

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Они воспользовались тем фактом, что нахождение больших простых чисел в вычислительном отношении осуществляется легко, но разложение на множители произведения двух таких чисел практически невыполнимо. Доказано (теорема Рабина), что раскрытие шифра RSA эквивалентно такому разложению.

Русский

2015-07-21

43.06 KB

0 чел.

Алгоритм RSA

Несмотря на довольно большое число различных СОК, наиболее популярна - криптосистема RSA, разработанная в 1977 году и получившая название в честь ее создателей: Рона Ривеста, Ади Шамира и Леонарда Эйдельмана.

Они воспользовались тем фактом, что нахождение больших простых чисел в вычислительном отношении осуществляется легко, но разложение на множители произведения двух таких чисел практически невыполнимо. Доказано (теорема Рабина), что раскрытие шифра RSA эквивалентно такому разложению. Поэтому для любой длины ключа можно дать нижнюю оценку числа операций для раскрытия шифра, а с учетом производительности современных компьютеров оценить и необходимое на это время.

Возможность гарантированно оценить защищенность алгоритма RSA стала одной из причин популярности этой СОК на фоне десятков других схем. Поэтому алгоритм RSA используется в банковских компьютерных сетях, особенно для работы с удаленными клиентами (обслуживание кредитных карточек).

В настоящее время алгоритм RSA используется во многих стандартах, среди которых SSL, S-HHTР, S-MIME, S/WAN, STT и РCT.

Рассмотрим математические результаты, положенные в основу этого алгоритма.

Теорема 1. (Малая теорема Ферма.)

Если р - простое число, то

xр-1 = 1 (mod р) (1)

для любого х, простого относительно р, и

xр = х (mod р) (2)

для любого х.

Доказательство. Достаточно доказать справедливость уравнений (1) и (2) для хZр. Проведем доказательство методом индукции.

Очевидно, что уравнение (8.2.2) выполняется при х=0 и 1. Далее

xр=(x-1+1)р= C(р,j)(x-1)j=(x-1)р+1 (mod р),

0jр

так как C(р,j)=0(mod р) при 0<j<р. С учетом этого неравенства и предложений метода доказательства по индукции теорема доказана.

Определение. Функцией Эйлера (n) называется число положительных целых, меньших n и простых относительно n.

n

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

(n)

1

2

2

3

2

6

4

6

4

10

4

Теорема 2. Если n=рq, (р и q - отличные друг от друга простые числа), то

(n)=(р-1)(q-1).

Теорема 3. Если n=рq, (р и q - отличные друг от друга простые числа) и х - простое относительно р и q, то

x(n) = 1 (mod n).

Следствие . Если n=рq, (р и q - отличные друг от друга простые числа) и е простое относительно (n), то отображение

Еe,n: xxe (mod n)

является взаимно однозначным на Zn.

Очевиден и тот факт, что если е - простое относительно (n), то существует целое d, такое, что

ed = 1 (mod (n)) (3)

На этих математических фактах и основан популярный алгоритм RSA.

Пусть n=рq, где р и q - различные простые числа. Если e и d удовлетворяют уравнению (8.2.3), то отображения Еe,n и Еd,n являются инверсиями на Zn. Как Еe,n, так и Еd,n легко рассчитываются, когда известны e, d, р, q. Если известны e и n, но р и q неизвестны, то Еe,n представляет собой одностороннюю функцию; нахождение Еd,n по заданному n равносильно разложению n. Если р и q - достаточно большие простые, то разложение n практически не осуществимо. Это и заложено в основу системы шифрования RSA.

Пользователь i выбирает пару различных простых рi и qi и рассчитывает пару целых (ei, di), которые являются простыми относительно (ni), где ni=рi qi . Справочная таблица содержит публичные ключи {(ei ,ni)}.

Предположим, что исходный текст

x =(x0, x1, ..., xn-1), xZn , 0 i < n,

сначала представлен по основанию ni :

N = c0+ci ni+....

Пользователь i зашифровывает текст при передаче его пользователю j, применяя к n отображение Edi,ni :

N Edi,ni n = n'.

Пользователь j производит дешифрование n', применяя Eei,ni :

N' Eei,ni n'= Eei,ni Edi,ni n = n .

Очевидно, для того чтобы найти инверсию Edi,ni по отношению к Eei,ni, требуется знание множителей n=рi qi. Время выполнения наилучших из известных алгоритмов разложения при n=10100 на сегодняшний день выходит за пределы современных технологических возможностей.

Рассмотрим небольшой пример, иллюстрирующий применение алгоритма RSA.

Пример Зашифруем сообщение "САВ". Для простоты будем использовать маленькие числа (на практике применяются гораздо большие).

  1. Выберем р=3 и q=11.
  2. Определим n=3*11=33.
  3. Найдем (р-1)(q-1)=20. Следовательно, в качестве d, взаимно простое с 20, например, d=3.
  4. Выберем число е. В качестве такого числа может быть взято любое число, для которого удовлетворяется соотношение (е*3) (mod 20) = 1, например 7.
  5. Представим шифруемое сообщение как последовательность целых чисел с помощью отображения: А1, В2, С3. Тогда сообщение принимает вид (3,1,2). Зашифруем сообщение с помощью ключа {7,33}.

ШТ1 = (37) (mod 33) = 2187 (mod 33) = 9,

ШТ2 = (17) (mod 33) = 1 (mod 33) = 1,

ШТ3 = (27) (mod 33) = 128 (mod 33) = 29.

  1. Расшифруем полученное зашифрованное сообщение (9,1,29) на основе закрытого ключа {3,33}:

ИТ1 = (93) (mod 33) = 729 (mod 33) = 3,

ИТ2= (13) (mod 33) = 1 (mod 33) = 1,

ИТ3 = (293) (mod 33) = 24389 (mod 33) = 2.

Итак, в реальных системах алгоритм RSA реализуется следующим образом: каждый пользователь выбирает два больших простых числа, и в соответствии с описанным выше алгоритмом выбирает два простых числа e и d. Как результат умножения первых двух чисел (р и q) устанавливается n.

{e,n} образует открытый ключ, а {d,n} - закрытый (хотя можно взять и наоборот).

Открытый ключ публикуется и доступен каждому, кто желает послать владельцу ключа сообщение, которое зашифровывается указанным алгоритмом. После шифрования, сообщение невозможно раскрыть с помощью открытого ключа. Владелец же закрытого ключа без труда может расшифровать принятое сообщение.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85070. Виды террористических актов, их цели и способы осуществления 30 KB
  Обобщить знания учащихся о терроризме как идеологии насилия и террористической деятельности. Познакомить с основными видами террористической деятельности и основными чертами современного терроризма. Изучаемые вопросы Терроризм и террористическая деятельность. Основные виды терроризма.
85071. Законодательная и нормативно-правовая база по организации борьбы с терроризмом 29.94 KB
  Изучаемые вопросы Правовые основы противодействия терроризму. Основные принципы противодействия терроризму. Сообщить учащимся о том что правовую основу борьбы с терроризмом составляют Конституция РФ Уголовный кодекс РФ Федеральный закон О противодействии терроризму и другие федеральные законы общепризнанные принципы и нормы международного права международные договоры РФ указы и распоряжения Президента РФ постановления и распоряжения Правительства РФ а также принимаемые в соответствии с ними другие нормативные правовые акты...
85072. Система борьбы с терроризмом 29.31 KB
  Силы и средства привлекаемые для проведения контртеррористической операции. Единое управление силами и средствами входящими в состав группировок включая переподчинение представителей и подразделений федеральных органов исполнительной власти осуществляет руководитель контртеррористической операции. Все военнослужащие сотрудники и специалисты привлекаемые для проведения контртеррористической операции с момента начала контртеррористической операции и до ее окончания подчиняются руководителю контртеррористической операции. В заключение...
85073. Правила поведения при угрозе террористического акта 32.57 KB
  Правила поведения при угрозе террористического акта Цель урока. Обсудить с учащимися правила безопасного поведения в различных ситуациях террористического характера. Изучаемые вопросы Правила безопасного поведения при угрозе взрыва и при взрыве. Не прикасайтесь к находке и не давайте этого делать другим Далее обсудить с учащимися правила безопасного поведения при следующих ситуациях.
85074. Государственная политика противодействия наркобизнесу. Профилактика наркомании 32.58 KB
  Профилактика наркомании. Привлечь внимание учащихся к факту губительного распространения наркомании среди молодежи познакомить их с нормативноправовой основой противодействия наркомании; обсудить статью Уголовного кодекса РФ в которой предусмотрены наказания за действия связанные с наркотическими и психотропными веществами. Сформировать у учащихся убеждение в том что самая эффективная профилактика наркомании это индивидуальная система самовоспитания. Познакомить учащихся с психологической основой по формированию индивидуальной системы...
85077. Вредные привычки, их влияние на здоровье. Профилактика вредных привычек 34.63 KB
  Профилактика вредных привычек. Одна из таких угроз возникновение а главное глобальное распространение вредных привычек. Назовите социальные причины вредных привычек и их последствия. Ощущаем ли мы эти последствия в повседневной жизни Как ты сам борешься с вредными привычками Учитель предлагает обсудить проблему таких вредных привычек как пьянство и алкоголизм табакокурение и наркомания.
85078. Алкоголизм и курение, их профилактика 44.7 KB
  Познакомить учащихся с физиологическими и социальными последствиями употребления алкоголя. К сожалению употребление алкоголя давно стало элементом человеческой культуры и так же давно передовые представители человечества говорили о пагубности этой привычки. Токсическое воздействие алкоголя прежде всего сказывается на деятельности нервной системы. Если содержание алкоголя в крови принять за 1 единицу то в печени оно будет равно 145 а в головном мозге 175.