91626

Алгоритм RSA

Доклад

Информатика, кибернетика и программирование

Они воспользовались тем фактом, что нахождение больших простых чисел в вычислительном отношении осуществляется легко, но разложение на множители произведения двух таких чисел практически невыполнимо. Доказано (теорема Рабина), что раскрытие шифра RSA эквивалентно такому разложению.

Русский

2015-07-21

43.06 KB

0 чел.

Алгоритм RSA

Несмотря на довольно большое число различных СОК, наиболее популярна - криптосистема RSA, разработанная в 1977 году и получившая название в честь ее создателей: Рона Ривеста, Ади Шамира и Леонарда Эйдельмана.

Они воспользовались тем фактом, что нахождение больших простых чисел в вычислительном отношении осуществляется легко, но разложение на множители произведения двух таких чисел практически невыполнимо. Доказано (теорема Рабина), что раскрытие шифра RSA эквивалентно такому разложению. Поэтому для любой длины ключа можно дать нижнюю оценку числа операций для раскрытия шифра, а с учетом производительности современных компьютеров оценить и необходимое на это время.

Возможность гарантированно оценить защищенность алгоритма RSA стала одной из причин популярности этой СОК на фоне десятков других схем. Поэтому алгоритм RSA используется в банковских компьютерных сетях, особенно для работы с удаленными клиентами (обслуживание кредитных карточек).

В настоящее время алгоритм RSA используется во многих стандартах, среди которых SSL, S-HHTР, S-MIME, S/WAN, STT и РCT.

Рассмотрим математические результаты, положенные в основу этого алгоритма.

Теорема 1. (Малая теорема Ферма.)

Если р - простое число, то

xр-1 = 1 (mod р) (1)

для любого х, простого относительно р, и

xр = х (mod р) (2)

для любого х.

Доказательство. Достаточно доказать справедливость уравнений (1) и (2) для хZр. Проведем доказательство методом индукции.

Очевидно, что уравнение (8.2.2) выполняется при х=0 и 1. Далее

xр=(x-1+1)р= C(р,j)(x-1)j=(x-1)р+1 (mod р),

0jр

так как C(р,j)=0(mod р) при 0<j<р. С учетом этого неравенства и предложений метода доказательства по индукции теорема доказана.

Определение. Функцией Эйлера (n) называется число положительных целых, меньших n и простых относительно n.

n

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

(n)

1

2

2

3

2

6

4

6

4

10

4

Теорема 2. Если n=рq, (р и q - отличные друг от друга простые числа), то

(n)=(р-1)(q-1).

Теорема 3. Если n=рq, (р и q - отличные друг от друга простые числа) и х - простое относительно р и q, то

x(n) = 1 (mod n).

Следствие . Если n=рq, (р и q - отличные друг от друга простые числа) и е простое относительно (n), то отображение

Еe,n: xxe (mod n)

является взаимно однозначным на Zn.

Очевиден и тот факт, что если е - простое относительно (n), то существует целое d, такое, что

ed = 1 (mod (n)) (3)

На этих математических фактах и основан популярный алгоритм RSA.

Пусть n=рq, где р и q - различные простые числа. Если e и d удовлетворяют уравнению (8.2.3), то отображения Еe,n и Еd,n являются инверсиями на Zn. Как Еe,n, так и Еd,n легко рассчитываются, когда известны e, d, р, q. Если известны e и n, но р и q неизвестны, то Еe,n представляет собой одностороннюю функцию; нахождение Еd,n по заданному n равносильно разложению n. Если р и q - достаточно большие простые, то разложение n практически не осуществимо. Это и заложено в основу системы шифрования RSA.

Пользователь i выбирает пару различных простых рi и qi и рассчитывает пару целых (ei, di), которые являются простыми относительно (ni), где ni=рi qi . Справочная таблица содержит публичные ключи {(ei ,ni)}.

Предположим, что исходный текст

x =(x0, x1, ..., xn-1), xZn , 0 i < n,

сначала представлен по основанию ni :

N = c0+ci ni+....

Пользователь i зашифровывает текст при передаче его пользователю j, применяя к n отображение Edi,ni :

N Edi,ni n = n'.

Пользователь j производит дешифрование n', применяя Eei,ni :

N' Eei,ni n'= Eei,ni Edi,ni n = n .

Очевидно, для того чтобы найти инверсию Edi,ni по отношению к Eei,ni, требуется знание множителей n=рi qi. Время выполнения наилучших из известных алгоритмов разложения при n=10100 на сегодняшний день выходит за пределы современных технологических возможностей.

Рассмотрим небольшой пример, иллюстрирующий применение алгоритма RSA.

Пример Зашифруем сообщение "САВ". Для простоты будем использовать маленькие числа (на практике применяются гораздо большие).

  1. Выберем р=3 и q=11.
  2. Определим n=3*11=33.
  3. Найдем (р-1)(q-1)=20. Следовательно, в качестве d, взаимно простое с 20, например, d=3.
  4. Выберем число е. В качестве такого числа может быть взято любое число, для которого удовлетворяется соотношение (е*3) (mod 20) = 1, например 7.
  5. Представим шифруемое сообщение как последовательность целых чисел с помощью отображения: А1, В2, С3. Тогда сообщение принимает вид (3,1,2). Зашифруем сообщение с помощью ключа {7,33}.

ШТ1 = (37) (mod 33) = 2187 (mod 33) = 9,

ШТ2 = (17) (mod 33) = 1 (mod 33) = 1,

ШТ3 = (27) (mod 33) = 128 (mod 33) = 29.

  1. Расшифруем полученное зашифрованное сообщение (9,1,29) на основе закрытого ключа {3,33}:

ИТ1 = (93) (mod 33) = 729 (mod 33) = 3,

ИТ2= (13) (mod 33) = 1 (mod 33) = 1,

ИТ3 = (293) (mod 33) = 24389 (mod 33) = 2.

Итак, в реальных системах алгоритм RSA реализуется следующим образом: каждый пользователь выбирает два больших простых числа, и в соответствии с описанным выше алгоритмом выбирает два простых числа e и d. Как результат умножения первых двух чисел (р и q) устанавливается n.

{e,n} образует открытый ключ, а {d,n} - закрытый (хотя можно взять и наоборот).

Открытый ключ публикуется и доступен каждому, кто желает послать владельцу ключа сообщение, которое зашифровывается указанным алгоритмом. После шифрования, сообщение невозможно раскрыть с помощью открытого ключа. Владелец же закрытого ключа без труда может расшифровать принятое сообщение.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9338. Правовое регулирование инвестиционной деятельности в РФ 24.5 KB
  Тема: правовое регулирование инвестиционной деятельности в РФ. -1- Конституция РФ не содержит норм, прямо регулирующих инвестиционную деятельность, однако затрагивает вопросы финансового регулирования. В РФ гарантируется единое экономическое простра...
9339. ОБЩИЕ УСЛОВИЯ РАЗМЕЩЕНИЯ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНЫХ СИЛ 472.5 KB
  РАЗДЕЛ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ОБЩИЕ УСЛОВИЯ РАЗМЕЩЕНИЯ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНЫХ СИЛ 1.1. Предмет, методы и практическое значение размещения производительных сил 1.1.1. Предмет курса размещение производительных сил Размещение производительных сил (Р...
9340. ПРОКУРОРСКИЙ НАДЗОР ЗА ЗАКОННОСТЬЮ ИСПОЛНЕНИЯ ПОСТАНОВЛЕНИЙ ПО ДЕЛАМ ОБ АДМИНИСТРАТИВНЫХ ПРАВОНАРУШЕНИЯХ 520.5 KB
  В методическом пособии рассматриваются вопросы прокурорского надзора за законностью исполнения постановлений по делам об административных правонарушениях. Дана характеристика законодательных и иных нормативных правовых актов, регулирующих указанную ...
9341. НОРМАЛЬНОЕ ПОЛЕ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНОМАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА 428.5 KB
  НОРМАЛЬНОЕ ПОЛЕ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНОМАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА текст лекций по геодезической гравиметрии ГЛАВА 1. НОРМАЛЬНОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ §1.1 ПОНЯТИЕ О НОРМАЛЬНОМ ПОЛЕ И СПОСОБАХ ЕГО ВЫБОРА При изучении гравитационного поля Земли обыч...
9342. Гидравлический расчет нефтебазовых коммуникаций 294.5 KB
  Гидравлический расчет нефтебазовых коммуникаций Задание. Вариант 1. Выполнить гидравлический расчет технологических коммуникаций для слива нефтепродуктов из железнодорожных цистерн через нижнее сливное устройство при следующих исходных данных: Gмес....
9343. Разработка и расчет себестоимости автомобильных грузовых перевозок по маршруту Нерюнгри - Алдан - Томмот - Якутск 384 KB
  СОДЕРЖАНИЕ Введение Характеристика и основные структурно-экономические показатели ОАО НПАТП Обзорная характеристика исследуемого предприятия Эксплуатационные показатели работы предприятия Количественный и качественный состав водителей Организация тр...
9344. Краткий конспект лекций по дисциплине Теория бухгалтерского учета 523 KB
  Краткий конспект лекций по дисциплине «Теория бухгалтерского учета» для студентов ЗФО специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Тема 1 СУЩНОСТЬ УЧЕТА И ЕГО РОЛЬ В СИСТЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ ОБЩЕСТВОМ 1.1. Общее понятие хозяйственного учета. Историч...
9345. СТРОИТЕЛЬСТВО И РЕМОНТ ПРОМЫШЛЕННЫХ ПЕЧЕЙ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 665.5 KB
  КОСТЮК В.А., СУЩЕНКО А.В. Строительство и ремонт промышленных печей Учебное пособие Мариуполь, 2009 В учебном пособии описаны огнеупорные и строительные материалы используемые при ремонте и строительстве металлургических печей. Изложены правил...
9346. РЫНОК ЦЕННЫХ БУМАГ Словарь основных терминов и понятий 793 KB
  рынок ценных бумаг Словарь основных терминов и понятий А Аваль - вексельное поручительство, суть которого заключается в том, что какое-то лицо берет на себя ответственность за платеж по векселю одного или нескольких ответственных по векселю лиц...