9199
ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ
Лекция
Математика и математический анализ
ТЕМА 19. ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ Теорія ймовірностей - математична наука, яка вивчає закономірності випадкових явищ. Фундаментальними поняттями теорії ймовірностей є випадкова подія та випадковий експеримент (випробування). Випробування (випадковий...
Русский
2013-02-26
325.36 KB
5 чел.
ТЕМА 19. ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ
Теорія ймовірностей математична наука, яка вивчає закономірності
випадкових явищ.
Фундаментальними поняттями теорії ймовірностей є випадкова подія та
випадковий експеримент (випробування).
Випробування (випадковий експеримент) це багатократне повторення
певного комплексу умов, в яких відбувається деяке явище, та фіксується той чи
інший результат, але цей результат не можна напевно передбачити.
Випадковою подією називається будь-який факт, що може відбутися в
результаті випробування чи ні.
Наприклад: поява Г або Р при підкиданні монети; вихід бракованої деталі
з конвеєру; виграшний білет в лотереї і т.п.
Вірогідною або достовірною називають подію, яка обовязково
відбудеться у випадковому експерименті. Неможливою називається подія, яка
ні в якому разі не може відбутися в результаті випробування.
Нехай в результаті випробування відбувається одна і тільки одна з подій
1 , 2 , ..., n , ..., які є найпростішими результатами випробування і
називаються елементарними випадковими подіями. Множина всіх можливих
наслідків випробування називається простором елементарних подій і
позначаються ; 1 , 2 , ..., n , ....
Випадкові події позначаються: А, В, С, ...
Випадкова подія А є підмножина простору . Елементарні наслідки
випробування, які утворюють А, називаються сприятливими для А.
Операції над подіями аналогічні операціям над множинами, для
ілюстрації яких будемо користуватися діаграмами Ейлера-Венна.
Теоретико-множинна інтерпретація випадкових подій
№
Теорія множин
Теорія ймовірностей
Діаграми
1
- універсальна - простір елементарних
множина
подій, вірогідна подія
2
порожня - неможлива подія
множина
A , A
3
А випадкова подія
підмножина
А
A B, A
4
Якщо відбудеться А, то
відбудеться і В
підмножина В
АВ
5
6
A B
множин
переріз A B . Відбудеться і А, і В;
тобто А і В відбудеться
одночасно
A B множини A B ; Події А і В
А
і
В
не несумісні, тобто не можуть
перетинаються
відбутися одночасно
1
А
A B
А
В
В
7
A B
обєднання A B сума подій, коли а)
A B
події
відбувається принаймні одна несумісні.
множин
з них
А
В
б) A B події сумісні
A B
А
8
9
A\ A
доповнення до А,
тобто різниця між
та А
А\В різниця між А і
В
A A протилежна
подія, тобто А не
відбувається
А В різниця подій,
відбувається А, але не
відбувається В
В
A B
А
А
A
В
A B
Деякі властивості операцій над подіями
1) A ;
2) A A;
3) A A;
4) A ;
5)
A A ;
7) A A A;
8) A A A це закони поглинання;
6) A A ;
9) A B B A;
10) A B B A;
11) A B C A B C ;
12) A B C A B C ;
13) A B C A B A C ;
14) A B C A B A C це властивості операцій суми та добутку;
16) A B A B закони де Моргана для відшукання
15) A B A B;
протилежних подій.
Основні правила і формули комбінаторики
Комбінаторика розділ математики, який вивчає розташування обєктів
у відповідності з певними правилами та методи підрахунку кількості таких
розташувань.
Правило суми. Нехай i i 1,2,..., n елементи деякої скінченої множини .
Якщо елемент 1 може бути обраний n1 способами, ..., k nk способами, то
вибір одного з елементів 1 , 2 або wk здійснюється n1 n2 ... nk
способами.
Основний принцип комбінаторики правило добутку. Якщо елемент 1 може
бути обраний n1 способами, ... wk nk способами, то вибір всіх елементів
1 , 2 , ..., k у вказаному порядку здійснюється n1 n2 ... nk способами.
2
Розміщення. Нехай є множина з п різних елементів. З цієї множини можуть
бути утворені підмножини з k елементів. Якщо ці підмножини відрізняються
або складом елементів, або порядком їх розташування (або тим і іншим), то такі
підмножини називаються розміщеннями з п елементів по k , тобто розміщення
це будь-яка впорядкована k - елементів підмножина множини з п елементів.
Число розміщень обчислюється за формулою
n!
k
(1)
An n n 1 n k 1
; n! 1 2 n.
n k !
Комбінації (сполучення). Якщо підмножини з k елементів п - елементної
множини відрізняється тільки складом елементів, то їх називають сполученнями
з п елементів по k , тобто сполучення це будь-яка невпорядкована множина з
k елементів п - елементної множини. Число сполучень обчислюється за
формулою
k
An
n n 1 n k 1
n!
k
k
.
(2)
Cn
; тобто C n
k!
k!
k!n k !
0
1.
За означенням 0! = 1, отже C n
Перестановки. Якщо множини з п елементів відрізняються лише порядком
розташування, то їх називають перестановками. Число перестановок
обчислюється за формулою
n
.
(3)
Pn n! тобто Pn An
Означення та властивості ймовірності
Імовірність події це базове поняття теорії ймовірностей.
Імовірність події характеризує міру обєктивної можливості появи події в
умовах випробування. Існує декілька означень імовірності, які застосовуються
в різних випадках (класичне, геометричне, статистичне та ін.). Всі ці означення
узгоджені між собою і ймовірності мають такі основні властивості:
1. P 1 ймовірність вірогідної події дорівнює 1;
2. P 0 ймовірність неможливої події дорівнює 0;
3. 0 P A 1 ймовірність випадкової події невідємна і не перевищує 1.
Класичне означення ймовірності. Нехай простір елементарних подій
1 , 2 , ..., n є скінчена множина рівноможливих елементарних подій.
Подія A . . Імовірність події А дорівнює відношенню числа т наслідків, які
сприяють події А до числа п наслідків, що складають простір , тобто
m
P A .
(4)
n
Статистичне означення ймовірності. Припустимо, що проведено п
випробувань, в результаті яких k n разів відбулася подія А. Відносною
k
частотою події А називають відношення Wn A n і тоді границя
n
lim Wn A P A називається ймовірністю події А.
n
Геометричне означення ймовірності. Нехай область простору, А
3
підобласть відповідного виміру. Випробування полягає в тому, що навмання
обирається точка, яка належить області ; подія А полягає в тому, що ця точка
потрапляє в А. Імовірність події А визначається
A
P A
,
де A є деякою з геометричних мір: довжина, площа, обєм.
Теореми суми та добутку ймовірностей. Умовна ймовірність
Т.1. Якщо A B , то
P A B P A P B .
(5)
Наслідок 1. P A1 A2 An P A1 P An , якщо Ai A j для
всіх i j.
Наслідок 2. P A P A 1.
Т.2.
(5´)
P A B P A P B P A B ,
якщо А і В сумісні.
Якщо ймовірність події А залежить від того, чи відбулася подія В, то така
ймовірність називається умовною і позначається P A / B чи PB A; а подія А та
В залежними.
Т.3.
P A B P B P A / B P A P B / A .
(6)
P A B
P A B
Наслідок 1. P A / B
, якщо PB 0 та PB / A
, якщо
P B
P A
P A 0.
Наслідок
2.
P A1 A2 An P A1 P A1 P A1 / A2 P An / A1 A2 An 1 .
Подія А називається незалежною від події В, якщо поява події В не
впливає на ймовірність події А, тобто P A / B P A.
Т.4. Якщо події А і В незалежні, то
P A B P A PB .
(7)
Події A1 , ..., An називаються незалежними в сукупності, якщо
P A1 ... An P A1 P A2 P An .
Т.5. Якщо A1 , ..., An є незалежними в сукупності, то ймовірність появи
принаймні однієї з них обчислюється за формулою
P A1 A2 ... An 1 P A1 P A2 P An .
(8)
Події H1 , H 2 , ..., H n складають повну групу подій, якщо:
1) H i H j для всіх i j , тобто вони попарно несумісні;
2) H1 H 2 ... H n , тобто в результаті випробування відбудеться одна з
них.
Як випливає з Т.1. PH1 PH 2 PH n 1.
Якщо подія А може відбутися тільки при умові, що відбудеться одна з подій
4
H1 , H 2 , ..., H n , які складають повну групу подій, то ймовірність події А
обчислюється за формулою повної ймовірності
n
P A P H i P A / H i P H 1 P A / H 1 P H n P A / H n ,
(9)
i 1
Н1
Н2
Н5
Н
P H i / A
Н
а події H1 , H 2 , ..., H n називаються гіпотезами,
а їх ймовірності апріорними. Проілюструємо
A, H1 , ..., H n на діаграмі: Для переоцінки
(уточнення)
ймовірностей
гіпотез
H i i 1,2, ..., n , якщо внаслідок випробування
відбулася подія А, застосовують формулу
Байєса
P H i A
P H i P A / H i
.
n
P A
PH i P A / H i
(10)
i 1
Умовні ймовірності PH i / A називають апостеріорними.
Повторні незалежні випробування. Схема Бернулі
Нехай проводиться п незалежних однотипних випробувань, в кожному з
яких подія А може відбутися („успіх”) або не відбутися („невдача”). В кожному
випробуванні ймовірність події А постійна і не залежить від результатів
попередніх випробувань, P A P, тоді P A 1 p q. Така постанова задачі
називається схемою Бернуллі. Позначимо Pn k ймовірність того, що подія А
відбудеться при п випробуваннях рівно k разів. k n , тоді вона обчислюється
за формулою Бернуллі
k
Pn k C n
pk qnk .
(11)
Нехай Pn k1 , k 2 це ймовірність того, що подія А в п випробуваннях
відбудеться від k1 до k 2 разів, тоді
Pn k1 , k 2
k2
k2
k k1
k k1
Pn k Cnk p k q n k .
(11´)
Значення m0 , при якому Pn k набуває найбільшого значення,
називається найбільш ймовірним числом успіхів та знаходиться з нерівності
np q m0 np p.
(12)
Якщо число випробувань досить велике, то застосування формули
Бернуллі стає дуже громіздким, і тоді користуються наближеними формулами,
які дають граничні теореми Муавра-Лапласа та Пуассона.
ЛОКАЛЬНА ТЕОРЕМА МУАВРА-ЛАПЛАСА
Pn k
k np
1
;
npq
npq
(13)
5
x2
2
1
e
це функція Гаусса, що подана в таблиці 1.
2
x x , та x 0, при x .
Інтегральна теорема Муавра-Лапласа
k 2 np
k np
1
Pn k1 k k 2
(14)
npq
npq ,
де x
x
u2
1
де x
e 2 du функція Лапласа, подана в таблиці 2.
2
0
x x та x 0,5, при x .
Найкращі наближення ці формули дають при npq 20 або при n 200 та
np 10.
Наслідок теореми Муавра-Лапласа
n
m
P n p P p 2
.
pq
n
Формула Пуассона застосовується для так званих „рідких” подій, тобто
коли р дуже мале, а п дуже велике так, щоб np 10, і тоді
Pn k
k e
(15)
k!
Pn k1 , k 2
k2
k1
Pn k
k k1
k k1
k e
k!
.
Випадкові величини
Поняття випадкові величини є основним в теорії ймовірностей та її
застосуваннях.
Випадковою називають величину, яка в результаті випробування приймає
одне з можливих значень, яке наперед не можна передбачити. Випадкові
величини позначаються грецькими літерами , , або великими латинськими
X , Y , Z , ...; значення, які приймають випадкові величини, позначають малими
латинськими літерами x1 , x2 , ..., y1 , y 2 , ..., z1 , z 2 , ... .
Випадкова величина це є дійсна функція на просторі елементарних
подій, тобто X X .
Розглядатимемо дискретні і неперервні випадкові величини. Якщо
значення, які приймає випадкова величина, можна перелічити або
пронумерувати, - її називають дискретною. Можливі значення неперервної
випадкової величини заповнюють деякий числовий проміжок.
Законом розподілу дискретної випадкової величини називаються перелік
всіх її можливих значень і відповідних їм ймовірностей, з якими вона приймає
кожне з цих значень. Закон розподілу подають, як правило, в таблиці
х x1 x2 ... xn ...
6
р p1 p2 ... pn ...
де Pi PX xi i 1, 2, ..., n, ... .
Очевидно, що p1 p2 pn 1.
Ламана лінія, що зєднує точки xi , pi на координатній площині є
графічним зображенням закону розподілу і називається багатокутником
розподілу, або полігоном.
у
x3 ,
p3
x1 , p1
p3
p1
x2 , p 2
p2
x 4 ,
p4
x1
0
x2
x3
x4
p4
х
Приклади дискретних розподілів
Біноміальний розподіл. Нехай проводяться випробування за схемою Бернуллі,
випадкова величина Х число появ „успіхів” серед п іспитів, тоді
k k
P X k Pn k Cn
p qnk ;
k 0, 1, 2, ..., n.
Розподіл Пуассона. Випадкова величина Х має розподіл Пуассона, з параметром
, якщо
PX k
k e
;
(k 0, 1, 2, ...) ,
0.
k!
Функцією розподілу F x випадкової величини Х називають таку, що для
кожного Х показує ймовірність того, що випадкова величина у випробуванні
прийме значення, менше за х, тобто F x PX x.
Властивості функції розподілу:
1) 0 F x 1;
2) F x неспадна функція, неперервна зліва;
3) lim F x 0; lim F x 1.
x
x
Крім того, функція розподілу повністю характеризує будь-яку випадкову
величину (дискретну чи неперервну).
4)
Pa X b F b F a .
(16)
5) Для неперервної випадкової величини PX b 0.
Графіком функції розподілу дискретної випадкової величини є
розривна ступінчата лінія, стрибки якої відбуваються в точках відповідних
можливих значень. Сума всіх стрибків дорівнює 1.
7
у
1
P
1 P2 Pn 1
P
1 P2
...
P
1
x1
x2
х
xn 1 xn
x3
Графіком функції розподілу неперервної випадкової величини є
неперервна лінія.
Кажуть, що випадкова величина має щільність розподілу f x , якщо
існує інтегровна функція f x така, що
F x
x
f u du, тобто F x f x .
(17)
Властивості щільності розподілу
1) f x 0;
2)
b
f x dx 1;
3) Pa X b f x dx.
a
Графік щільності розподілу називається кривою розподілу. Як випливає з
властивості 1), крива розподілу завжди розташована вище осі ОХ.
Приклади неперервних розподілів
Рівномірний розподіл
0, x a
0, x a
1
x a
F x
,
a xb
f x
,
a xb
b
a
b
a
1
,
x
b
xb
0,
у
1
у
F x
а
0
b
Показників розподіл.
0, x 0
F x
x
1 e , x 0
f x
1
ba
х
0
0, x 0
f x x
e , x 0
8
а
b
х
у
у
F x
1
f x
F x
x
1
2
e
х
х
0
Нормальний розподіл.
x a 2
2
2
f x
dx;
1
e
2
x a 2
2
2
.
у
f x
a 1
0,25
a 5; 2
х
Якщо дослідити криву нормального розподілу f x , матимемо, що f x
досягає максимуму при x a , а точки x a є точками перегину; вісь
абсцис ОХ - асимптота кривої.
Ймовірність того, що випадкова величина Х набуде значення з проміжку
x1 , x2 визначається за формулою
x a
x a
P x1 X x2 2
(18)
1
,
де u функція Лапласу, значення якої знаходимо в таблиці 2. Зокрема,
P X a 2 .
(19)
У випадку 3 , отримаємо відоме правило 3 для нормального закону
Pa 3 X a 3 0,997.
ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЧИСЛОВИХ ВЕЛИЧИН
Закони розподілу є повними і вичерпними характеристиками випадкових
величин. Однак, для багатьох задач практики немає необхідності в повному
описі випадкових величин, достатньо лише вказати певні невипадкові числові
параметри, що характеризують суттєві риси розподілу: наприклад, середнє,
навколо розсіяні значення випадкової величини та величину цього розсіювання.
Математичним сподіванням дискретної випадкової величини Х
називається число
M X xi pi .
(20)
i
Математичним
сподіванням
неперервної
9
випадкової
величини
Х
називається число
M X
xf x dx .
(21)
Математичне сподівання є середнім значенням випадкової величини.
Дисперсією випадкової величини називають математичне сподівання
випадкової величини X M X 2 , тобто
D X M X M X 2 .
(22)
Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини називається
число X D X , яке характеризує розсіювання навколо середнього
значення.
Властивості математичного сподівання та дисперсії
1. DC 0;
1. M C C const;
2. Якщо X 0, то M X 0;
2. D X 0 для будь-якої випадкової
величини;
3. DC X C 2 D X ;
3. M C X C M X ;
4. D X M X M X 2 ;
4. M X Y M X M Y ;
5. M X Y M X M Y ;
5. D X Y D X DY ;
якщо Х і Y незалежні
якщо Х і Y незалежні
випадкові величини.
випадкові величини.
Для дискретної та неперервної випадкових величин
обчислюється за формулою (відповідно)
2
D X xi M X 2 pi xi pi M X 2 ;
2
D X
i
i
x M X f x dx x f x dx M X .
2
2
2
дисперсія
(23)
Двовимірні випадкові величини
В багатьох випадках результат випробування характеризується не однією
випадковою величиною, а деякою системою випадкових величин X 1 , ..., X n ,
яку називають випадковим вектором X X 1 , X 2 , ..., X n .
x1 х2 ... хп ру
X
Y
р11 р21 ... рп1 ро1
y1
р12 р22 ... рп2 ро2
y2
...
... ... ... ...
р1т р2т ... рпт рот
ym
р1о р2о ... рпо 1
px
Нехай X X , Y двовимірна випадкова величина, компоненти якої є
дискретні, тоді закон її розподілу можна представити у вигляді таблиці
10
розподілу в кожній клітинці якої pij P X xi Y y j , причому
n
m
pij 1
i 1 j 1
та
m
n
j 1
i 1
P X xi pio pij ; PY yi poj pij . (24)
Перший та останній рядок таблиці складають закон розподілу компоненти Х; а
перший та останній стовпці розподіл компоненти У. Можна відповідно
обчислити числові характеристики M X , D X , M Y , DY .
Якщо зафіксувати Y y j , тоді отриманий закон розподілу
компоненти Х називається умовним і ймовірності обчислюються
pij
pij
Y y j
X xi
(25)
P
; P
.
Y yj p
X xi
p
oj
io
Розглядаються також числові характеристики умовних розподілів.
Умовне математичне сподівання M Y / X xi M x Y f x називається
регресією Y по Х, аналогічно M X / Y y j M y X g y регресією Х по Y .
Графіки функцій M x Y та M y X називаються лініями регресії або кривими
регресії. Вони встановлюють форму звязку між випадковими величинами Х та
Y.
Функція F x; y P X x; Y y називається функцією розподілу
двовимірного вектора; вона має властивості:
1. 0 F x, y 1;
2. F x; F ; y F ; 0;
3. F ; 1, F x; y неспадна по обох аргументах.
4. F x; F1 x функція розподілу компоненти Х.
F ; y F2 y функція розподілу компоненти Y .
Випадкові величини Х та Y незалежні тоді і тільки тоді, коли
F x; y F1 x F2 y .
Для випадку неперервних компонент і коли F x, y неперервно
диференційовна по кожній змінній, розглядають щільність розподілу
2
F x, y
f x, y
і тоді
xy
y
x
1) F x, y
f x, y dxdy;
3) f1 x
2)
f x, y dxdy 1;
f x, y dy
щільність розподілу Х;
f2 y
f x, y dx щільність розподілу Y .
11
Якщо Х та Y незалежні, то f x, y f1 x f 2 y .
Кореляційним моментом (коваріацією) випадкових
називається величина
K xy M X M X Y M Y M X Y M X M Y
і обчислюється за формулами
n
m
K xy xi y j pij M X M Y
величин
(26)
i 1 j 1
для дискретного випадку;
та для неперервного випадку
K xy
xyf x, y dxdy M X M Y .
Величина, яка характеризує силу (тісноту) звязку між Х та Y називають
коефіцієнтом кореляції і обчислюють за формулою
K xy
xy
(27)
D X DY
причому xy 1.
Якщо Х та Y є незалежними, то K xy 0 та rxy 0.
Якщо rxy 0, то величини Х та Y називаються некорельованими.
Зразки розвязування задач
Задача 1. В урні 10 кульок, серед яких 5 білих, 3 чорних, а решта червоні.
Навмання вийняли одну кульку. Знайти ймовірність того, що вона: 1) біла; 2)
червона.
Розвязування. Позначимо події: А вийнята біла кулька; В вийнята
червона кулька. Кількість можливих наслідків випробування п = 10. Тоді за
формулою (4)
m
5 1
P A 1 ; де m1 5; тобто P A ;
n
10 2
m
2 1
PB 2 ; де m2 10 5 3 2; PB .
n
10 5
Задача 2. В урні 10 кульок, серед яких 5 білих, 3 чорних, решта червоні.
Навмання вийняли 3 кульки. Знайти ймовірність того, що вони: 1) всі білі; 2)
дві білі і одна чорна; 3) дві червоні і одна біла.
Розвязування. Позначимо події: А вийняли 3 білі кульки; В вийняли
дві білі і одну чорну; С вийняли 2 червоні і одну білу. Кількість можливих
наслідків випробування знайдемо за формулою (12)
10!
7!8 9 10
3
n C10
4 3 10 120.
3!10 3! 1 2 3 7!
5!
3
m1 C5
10,
тоді
1) кількість сприятливих до А подій
3!2!
12
P A
m1 10
1
.
n 120 12
2) кількість сприятливих до В подій
PB
3)
2
1
m2 C5 C3
5! 3!
15,
2!3! 1!2!
тоді
2! 5!
5,
2!0! 1!4!
тоді
m2 15
0,125.
n 120
кількість
сприятливих
до
С
подій
2
1
m3 C 2 C5
m3
5
1
.
n 120 24
Задача 3. Двоє студентів складають іспит. Імовірність скласти іспит для
першого студента дорівнює 0,9, а для другого 0,8. Знайти ймовірність того,
що іспит складуть: 1) обидва студенти; 2) один студент; 3) принаймні один
студент.
Розвязування. Позначимо події: А іспит складе перший студент; В
іспит складе другий студент; С іспит складуть обидва студенти; Д іспит
складе тільки один; Е іспит складе принаймні один студент; тоді E іспит не
складе жоден. Тоді C A B; D A B B A; E E ; E A B. Події
PC
A, B, A, B незалежні, тому для обчислення ймовірності події C , D, E
застосуємо
формули
(5´),
(7)
та
(8).
Маємо
PC P A PB 0,9 0,8 0,72; P A 1 P A 1 0,9 0,1;
P B 1 PB 1 0,8 0,2; PD P A P B PB P A 0,9 0,2 0,8 0,1 0,26.
PE 1 P E 1 P A P B 1 0,2 0,1 0,98.
Задача 4. Робота приладу обірвалася із-за виходу виходу з ладу одного з 5
уніфікованих блоків. Послідовно заміняють кожен блок новим доти, поки
прилад не почне працювати. Яка ймовірність того, що доведеться замінити 2
блоки?
Розвязання. Позначимо випадкові події Ai {і тий блок працює}, і = 1,
2, 3, 4, 5. В довелося замінити два блоки. З умови випливає, що B A1 A2 ,
тоді PB P A1 A2 . Тобто ми маємо скористатися формулою (6), де
4 1 1
1
P A2 / A1 . PB P A1 P A2 / A1 , оскільки ймовірність події A2
5 4 5
4
залежить від того, чи відбулася подія A1.
Задача 5. У складальний цех поступають однакові деталі, котрі
виготовляють три автомати, продуктивність яких відноситься як 1:2:3. Перший
автомат дає 5 % браку, другий 3 %, третій 2 %. Знайти ймовірність того, що
деталь, яку навмання взяв складальник буде: 1) бракованою; 2) виготовленою
третім автоматом, якщо вона виявилася бракованою.
Розвязання. Позначимо події: А деталь бракована; H i деталь
13
виготовлена і-тим автоматом, і = 1, 2, 3. H1 , H 2 , H 3 складають повну групу
1
1
3 1
2 1
; PH 2 ;
PH 3 . Відмітимо, що
подій, PH1
1 2 3 6
6 2
6 3
1 1 1
5
PH1 PH 2 PH 3 1. З умови маємо, що P A / H1
0,05;
6 3 2
100
3
2
P A / H 2
0,03; P A / H 3
0,02. Тоді за формулами (9) та (10)
100
100
маємо:
17
1
1
1
1) P A 0,05 0,03 0,02
0,028.
600
2
3
6
PH 3 P A / H 3 1 / 2 0,02 6
2) PH 3 / A
0,353.
P A
0,028
17
Задача 6. Імовірність попадання для стрільця дорівнює 0,8. По цілі було
зроблено 5 пострілів. Знайти ймовірність того, що: 1) було три попадання; 2)
було не більше двох промахів.
Розвязування. Для обчислення використаємо формули Бернуллі (11) та
(11´).
1)
5!
3
3
2
n 5; k 3; p 0,8; q 1 0,8 0,2. P5 3 C5 p q
0,83 0,2 2 0,2048.
3!2!
2)
n 5; k1 0; k 2 2; p 0,2; q 0,8. P5 0 k 2 P5 0 P5 1 P5 2 0,85 5
0,2 0,84 5 2 0,04 0,83 0,9421.
Задача 7. Посіяли 40 зерен деякого злаку. Знайти найбільш ймовірне
число зерен, які зійдуть, якщо сходжуваність таких зерен дорівнює 60%.
Розвязування.
Застосуємо
формулу
(12),
де
n 40; p 0,6; q 1 0,6 0,4. Одержимо
40 0,6 0,4 m0 40 0,6 0,6, тобто 24 0,4 m0 24 0,6. Ціле число із
цього проміжку 23,6; 24,6 є m0 24.
Задача 8. Контрольну роботу з теорії ймовірностей успішно виконують в
середньому 50 % студентів. Знайти ймовірність того, що серед 400 студентів
виконають роботу успішно: 1) 180 студентів; 2) не менше 180 студентів.
Розвязування. Тут застосовуватимемо формули (13) і (14). Оскільки
n 400; p q 0,5 і тому n p 200, а n p q 100 20 і краще скористатися
наближеними формулами Муавра-Лапласа. Значення функцій x та x
візьмемо з таблиць 1 і 2.
1
180 200 1
1) P400 180
2 0,0054.
100
100 10
14
180 200
400 200
2) P400 180 k 400
20 2
100
100
0,5 0,4772 0,9772.
Задача 9. Завод відправив на базу 10000 стандартних виробів. Середнє число
виробів, що пошкоджується при транспортуванні, складає 0,02 %. Знайти
ймовірність того, що серед відправлених виробів буде пошкоджено: 1) три; 2)
принаймні три.
0,02
Розвязування. За умовами задачі n 10000 (досить велике). p
0,0002
100
(досить мала). Крім того, n p 2 і тому слід використати формулу Пуассона
(15), де n p 2.
2
3
2 e
0,1804;
1) P
10000 3
3!
2) P
10000 k 3 1 P k 3 1 P
10000 0 P
10000 1 P
10000 2
1 0,1353 0,2709 0,2707 0,3233.
Задача 10. Серед 15 агрегатів, 6 необхідно додатково тестувати. Навмання
для перевірки відібрано 4 агрегати. Скласти закон розподілу числа агрегатів, які
необхідно додатково тестувати серед відібраних чотирьох. Знайти
M X , X .
Розвязування. Позначимо випадкову величину Х число агрегатів, які
необхідно додатково тестувати. Тоді вона може приймати значення 0, 1, 2, 3, 4.
Ймовірності прийняття цих значень обчислимо за формулою Бернуллі, де
6
9
n 4, p 0,4; q 0,6; тоді
15
15
4
9
P1 P4 0
p q q 0,6 4 0,1296;
15
1
3
P2 P4 1 4 p q 4 0,4 0,6 3 0,3456;
0
C4
0
4
4
2
P3 P4 2 C 4
0,4 2 0,6 2 6 0,16 0,36 0,3456;
3
P4 P4 3 C 4
0,4 3 0,6 0,1536.
P5 P4 p 4 0,4 4 0,0256, причому P
1 P2 P
3 P4 P
5 1.
Отримали закон розподілу
хі 0
1
2
3
4
рі 0,1296 0,3456 0,3456 0,1536 0,0256
Обчислимо M X за формулою (20).
M X 0 0,1296 1 0,3456 2 0,3456 3 0,1536 4 0,0256 1,6.
За
формулою
(23)
D X M X 2 M X 2 0 2 0,1296 12 0,3456
обчислимо
2 0,3456 3 0,1536 4 0,0256 1,62 0,96; тоді X D X 0,98.
Задача 11. Випадкова величина Х задана функцією розподілу
2
2
2
15
x 1;
0,
F x x 12 , 1 x 4;
1,
x 4.
Знайти M X , X , P1 X 2 . Побудувати графіки f x та F x .
Розвязування. Знайдемо щільність розподілу f x за формулою (17)
x 1;
0,
2
f x F x x 1, 1 x 4;
9
x 4.
0,
4
3
2 4
2
2
x
x
3.
Тоді M X xf x dx x x 1dx
9
9 3
2
1
1
4
4
3 4
x
x
2
2
2 2
2
2
9 0,5.
D X M X M X x x 1dx 3
4
9
3
9
1
1
Тоді X 0,5 0,707.
1
P1 X 2 F 2 F 1 x 12
9
2
1
1
1
0 .
9
9
Побудуємо графіки функцій f x та F x .
F x
1
f x
1
2/9
х
0
4
4
0
х
Задача 12. Відоме математичне сподівання a 16 та середнє квадратичне
відхилення 5 нормально розподіленої випадкової величини Х. Обчислити
ймовірність того, що: 1) Х прийме значення з інтервалу (13; 22), 2) абсолютна
величина відхилення X a буде менша за 10.
Розвязування. 1) Для нормально розподіленої випадкової величини Х
скористаємося формулою (18)
22 16
13 16
P13 X 22
1,2 0,6 0,3849 0,2257 0,61.
5
5
Значення x візьмемо з таблиці 2.
2) За формулою (19), матимемо
P X a 2 ,
тобто
16
10
P X 16 10 2 2 2 2 0,4772 0,9544.
5
Задача 13. Закон розподілу дискретної двовимірної випадкової величини
X , Y задано таблицею. Знайти закон розподілу та числові характеристики
компонент, умовний закон розподілу Х при умові Y 2 та Y при умові X 1,
умовні математичні сподівання.
У -1
0
1
2
Рх
Х
1
0,10 0,25 0,30 0,15 0,8
2
0,10 0,05 0
0,05 0,2
Ру
0,2 0,3 0,3 0,2 1
Розвязування. Розподіли компонент отримаємо з першого та останнього
стовпчиків, та першого і останнього рядків.
Х 1
2
У -1 0
1
2
Р 0,8 0,2
Р 0,2 0,3 0,3 0,2
Звідки
M X 1 0,8 2 0,2 1,2; D X 12 0,8 2 2 0,2 1,2 2 0,16; X 0,4.
Відповідно
M Y 1 0,2 0 0,3 1 0,3 2 0,2 0,5; DY 1 0,2 1 0,3 4 0,2
0,52 1,05; Y 1,025. Знайдемо K xy за формулою (26)
K xy 1 1 0,1 0 1 0,25 1 1 0,3 1 2 0,15 2 1 0,1 0 2 0,05 1 2 0
2 2 0,05 1,2 0,5 0,1.
Обчислимо тепер коефіцієнт кореляції за формулою (27)
0,1
rxy
0,244, який вказує, що Х та Y відємно корельовані.
0,4 1,025
Обчислимо умовні ймовірності:
0,15
0,05
0,75;
0,25;
P X 1
P X 2
Y 2 0,2
Y 2 0,2
0,1
0,25
0,125;
0,3125;
P Y 1
PY 0
X 1 0,8
X 1 0,8
0,3
0,15
PY 2
0,375;
0,1875.
P Y 1
X 1 0,8
X 1 0,8
Тоді умовні математичні сподівання
M X
1 0,75 2 0,25 1,25; M Y
1 0,125 0 0,31 25 1 0,375
X 1
Y 2
2 0,1815 0,625.
ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ
Математична статистика це наука, що займається обробкою та
аналізом результатів випробувань, проведених над випадковими подіями.
17
Теоретичною основою математичної статистики є теорія ймовірностей.
Генеральна сукупність це весь можливий набір однорідних даних, які
описують дане явище. Та частина обєктів (даних), що відібрана для вивчення з
генеральної сукупності називається вибірка. Обємом сукупності називають
число обєктів цієї сукупності.
Суть вибіркового методу полягає в тому, щоб по деякій частині
генеральної сукупності (вибірці) робити висновки про властивості і поведінку
сукупності в цілому. Теоретичною основою вибіркового методу служить закон
великих чисел, згідно якому при необмеженому зростанні обєму вибірки,
вибіркові характеристики наближаються до параметрів генеральної сукупності.
Нехай з генеральної сукупності вилучена вибірка, причому значення x1
спостерігалося n1 разів, x2 n2 , ..., xk nk разів. Обєм вибірки складає
n1 n2 nk n. Значення xi називають варіантами. Послідовність варіант,
записаних в порядку зростання, називають варіаційним рядом. Числа ni
n
називають частотами, а wi i відносними частотами.
n
Статистичним розподілом вибірки називають перелік варіант та відповідних
їм частот або відносних частот:
Варіанти
x1 x2 ... xk
Частоти ni
n1 n2 ... nk
Відносні частоти w1 w2 ... wk
,
причому
k
wi 1.
i 1
Приклад 1. Пятдесят абітурієнтів отримали на вступних іспитах такі бали: 12,
14, 19, 15, 14, 18, 13, 16, 17, 12, 20, 17, 15, 13, 17, 16, 20, 14, 14, 13, 17, 16, 15, 19,
16, 15, 18, 17, 15, 14, 16, 15, 15, 18, 15, 15, 19, 14, 16, 18, 18, 15, 15, 17, 15, 16, 16,
14, 14, 17.
Складемо варіаційний ряд: 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.
Найменше значення X min 12; найбільше значення X max 20.
Розмах вибірки R X max X min , R 20 12 8. Обєм вибірки n 50. Для
знаходження частот, підрахуємо, скільки разів кожне значення варіанти
зустрічається у вибірці, для знаходження відносних частот, поділимо кожну
знайдену частоту на обєм вибірки. Результати занесемо в таблицю і отримаємо
статистичний розподіл вибірки.
13
14
15
16
17
18
19
20
xi 12
ni 50
i
3
8
12
8
7
5
3
2
ni 2
wi 2/50 3/50 8/50 12/50 8/50 7/50 5/50 3/50 2/50 wi 1
i
Статистичний розподіл можна задати також у вигляді послідовності інтервалів і
відповідних їм частот, тобто у вигляді інтервального варіаційного ряду.
Якщо А деякий інтервал, то частотою n A називають кількість елементів
18
nA
. Згідно формули
n
Стерджеса рекомендують число інтервалів т: m 1 3,322 lg n і тоді довжина
xmin
R x
. Для зручності іноді рекомендують брати хпочаткове
інтервалу h max
m
m
h
h
= xmin та хкінцеве = xmax .
2
2
В розглядуваному прикладі 1 візьмемо m 6 і запишемо інтервальний
статистичний розподіл: h 1,5.
w Ai
Частота n Ai Відносна частота w Ai
№ інтервалу
Інтервал
n
1
(11,5 13)
2
2/50 = 0,04
0,02(6)
2
[13 14,5)
11
11/50 = 0,22
0,14(6)
3
[14,5 16)
12
12/50 = 0,24
0,16
4
[16 17,5)
15
15/50 = 0,3
0,2
5
[17,5 19)
5
5/50 = 0,1
0,0(6)
6
[19 20,5)
5
5/50 = 0,1
0,0(6)
6
6
Всього:
n Ai 50 wAi 1
вибірки, які попали в інтервал А; відносна частота w A
i 1
i 1
Дискретний та інтервальний статистичний розподіл можна представити
графічно, використовуючи полігон для дискретного, та гістограму для
інтервального.
Полігон частот (або відносних частот) це ламана, що зєднує точки з
координатами xi , ni або xi , wi .
Гістограма ступенева фігура, що складається з прямокутників з
w Ai
основою h і висотою
. Площа фігури дорівнює 1. Гістограма є аналог
h
кривої розподілу.
Побудуємо полігон та гістограму для прикладу
ni
w
12
полігон
h
частот
0,2
8
7
гістограма
0,14(6)
5
3
0,0(6)
2
0,027
12
14
16
20 0
0
18
xi 11, 1 14, 1617, 1 20,
х
Важливою характеристикою є емпірична функція розподілу. Позначимо
накопичені частоти n x число xi x, тоді емпірична функція розподілу
19
nx
, це є функція накопичених частот. Це є аналогія функції розподілу
n
для інтервального розподілу і за теоремою Бернуллі при n наближається
до функції розподілу.
*
Побудуємо F x для прикладу 1.
x 11,5
0,
*
F x
2 / 50 0,04, 11,5 x 13
1
13 / 50 0,26, 13 x 14,5
0,
0,8
*
F x 25 / 50 0,5, 14,5 x 16
40 / 50 0,8, 16 x 17,5
0,
0,2
45 / 50 0,9, 17,5 x 19
0,0
50 / 50 1, 1, x 19
0 11, 1 14, 1 17, 1 20,
х
До числових характеристик вибірки відносяться:
вибіркове середнє значення
1 n
1 k
x xi xi ni .
(1)
n i 1
n i 1
вибіркова дисперсія
2
2
2
1 n
1 n 2
1 k
Dв xi x xi x або Dв ni xi 2 x .
(2)
n i 1
n i 1
n i 1
вибіркове середнє квадратичне відхилення
в DB .
(3)
виправлена дисперсія
n
2
S
DB
(4)
n 1
та відповідне середнє квадратичне відхилення
F x
*
S S2.
(5)
Ці числові характеристики є оцінками відповідно математичного
сподівання та дисперсії генеральної сукупності.
Обчислимо числові характеристики вибірки прикладу 1. За дискретним
статистичним розподілом, маємо:
1
x 12 2 13 3 14 8 15 12 16 8 17 7 18 5 19 3 20 2 15,78.
50
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
DB
12 2 13 3 14 8 15 12 16 8 17 7 18 5 19 3 20 2
50
15,782 3,7316;
B 3,7316 1,9317.
50
2
3,7316 3,808; S 3,808 1,9513.
Тоді S
49
Для знаходження характеристик запишемо середини інтервалів і
відповідні частоти
20
хс
пі
12,25
2
13,75
11
15,25
12
16,75
15
18,75
5
19,75
5
1
12,25 2 13,75 11 15,25 12 16,75 15 18,75 5 19,75 5 16,05.
50
1
2
2
2
2
2
2
DB
12,25 2 13,75 11 15,25 12 16,75 15 18,75 5 19,75 5 16,052
50
261,7425 257,6025 4,14, тоді B 4,14 2,035. Відповідно
50
2
S
4,14 4,224, S 4,224 2,055.
49
Нехай для кожного обєкта вибірки спостерігаються дві ознаки Х та У, які
є випадкові величини. Необхідно зясувати чи існує між ними статистична
залежність, тобто чи впливають зміни закону розподілу однієї ознаки на закон
розподілу іншої, і як саме. Це зясовує кореляційний та регресійний аналіз.
Нехай xi , i 1, n значення ознаки Х, y j , i 1, m ознаки У. Тоді, так
само, як для двовимірних випадкових величин, ми можемо розглядати умовні
закони розподілу (тобто їх статистичні аналоги). Замість M x Y розглядають
x
y x умовне середнє значень Y при відповідних значеннях Х.
Якщо y x f x , то залежність між Y та Х називається кореляційною, а
y f x є рівняння регресії Y по Х. Аналогічно, замість M y X розглядають
x y g y .
Якщо функції f x та g y лінійні, тобто y x ax b; x y cy d , де
a, b, c, d сталі, то залежність називається лінійною кореляцією.
Величину лінійної залежності значень Х та Y вибірки характеризує
вибірковий коефіцієнт кореляції, який обчислюється за формулою
n
n xy xi y j n x y
b
i , j 1
n x y
,
(6)
де x, y вибіркові середні ознак Х та Y ,
x , y вибіркові середні
квадратичні відхилення Х та Y , п обєм вибірки; n xy частота значення
X xi ,
Y yj .
Вибірковий коефіцієнт кореляції є статистичною оцінкою теоретичного
коефіцієнту кореляції.
Вибіркове рівняння прямої лінії регресії Y по Х має вигляд:
yx y b
y
x x ,
x
(7)
де х змінна.
Вибіркове рівняння регресії дозволяє за значенням ознаки Х передбачити
значення ознаки Y .
Приклад 2. Нехай після спостережень за ознаками Х та Y маємо
21
кореляційну таблицю.
У
15
30
45
60
75
90
пх
Х
12
5
2
7
15
1
7
5
13
18
5
20
6
2
33
21
9
22
3
1
35
24
3
4
1
8
27
1
3
4
пу
6
13
34
31
10
5
п = 100
На перетині рядків та стовпчиків знаходяться частоти n xy пар значень
ознак, які спостерігаються. В останньому стовпчику частоти ознаки Х, в
останньому рядку частоти ознаки У. Складемо вибіркове рівняння прямої
регресії Y по Х. Скористаємося формулами (6) та (7). Для цього обчислимо всі
необхідні коефіцієнти.
Вибіркові середні обчислимо за формулою (1)
1
12 7 15 13 18 33 21 35 24 8 27 4 19,08.
x
100
1
15 6 30 13 45 34 60 31 75 10 90 5 50.
y
100
Знайдемо x та y , користуючись (2), (3).
DB X x
2
1
(7 12 19,082 1315 19,082 3318 19,082 3521 19,082
100
8 24 19,082 427 19,082 ) 11,794.
Отже x DB x 3,434.
1
(615 50 2 1330 50 2 3415 50 2
100
75 50 2 10 590 502 ) 307,5. y 307,5 17,536.
Аналогічно
3160 502
DB y y
2
Далі, щоб обчислити n xy x y, рухаємося послідовно по всім клітинам
таблиці і додаємо добутки частот на відповідні їм значення Х та У.
n xy xy 5 12 15 2 12 30 1 15 15 7 15 30 5 15 45 5 18 30 20 18 45
6 18 60 2 18 75 9 21 45 22 21 60 3 21 75 1 21 90 3 24 60
4 24 75 1 24 90 1 27 75 3 27 90 98685.
Підставимо отримані значення в формулу (6), отримаємо B 0,546, і
тоді скористаємося формулою (7), матимемо:
17,536
x 19,08, отже, остаточно, рівняння регресії має
y x 50 0,546
3,434
вигляд:
y x 2,786 x 3,151.
22
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать | |||
53093. | Систематизація, узагальнення, корекція знань, вмінь та навичок учнів з теми «Євразія» | 68.5 KB | |
Унаочнення: фізична карта Євразії атласи зошитипрактикуми робочі зошити. Коментарі учнів до карт Євразії в підручнику та атласі відповіді на запитання вчителя по ним. Унаочнення: фізична карта Євразії атласи робочі зошити або окремі листи з різнорівневими завданнями в 4х варіантах. Найбільший півострів Євразії: а Індостан б Скандинавський в Аравійський 2. | |||
53094. | Доцільність використання контурної карти та практичні завдання по ній у шостому класі | 35 KB | |
Використовуючи контурну карту 6 класу Фізична карта півкуль підписати назви материків земної кулі. Використовуючи контурну карту 6 класу Карта океанів вказати рисочками напрям подорожі Христофора Колумба. Використовуючи контурну карту 6 класу Фізична карта півкуль підписати назви материків які перетинає екватор та Грінвический меридіан. Використовуючи контурну карту 6 класу План місцевості підписати пару ліній які називаються горизонталі та позначити населений пункт словами Населений пункт. | |||
53095. | Методика проведення контрольних робіт на уроках географії в 10-му класі | 58.5 KB | |
Учні повинні знайти з географічних джерел інформацію про площу держави кількість населення її столицю форму правління та форму устрою. Аналізуючи політичну карту світу та карту історикогеографічних регіонів учні повинні описати положення держави на карті: на якому континенті в якому регіоні які сусіди моря та океани що омивають державу і після цього зробити висновок про ЕГП держави. Природні ресурси держави. Слід розпочати аналіз промисловості з частки держави у світовому промисловому виробництві. | |||
53096. | Шкільна бібліотека у формуванні інформаційної компетентності на уроках географії | 86 KB | |
Географічне сприйняття інформації ЗМІ це активна діяльність що протікає у взаємозвязку з різними психічними процесами: мисленням мовленням почуттям волею. З огляду на незначну кількість навчальних годин з географії в 6 х класах 2 години на тиждень і загальне навчальне перевантаження учнів в 6х класах важливу роль у формуванні інформаційної компетентності школярів відіграє шкільна бібліотека схема 2 Складаючи тематичне планування включаю ЗМІ в навчальний процес так щоб протягом однієї теми здійснювалася періодична робота з... | |||
53097. | ТЕСТИ З ГЕОГРАФІЇ 10 класу (профільний рівень) | 88.5 KB | |
Яка країна є лідером за кількістю користувачів Інтернету: а Китай; б Японія; в США. У якій країні знаходиться найбільша ТНК в світі: а США; б Велика Британія; в Японія. ТНК контролюють таку частку світової торгівлі: а 1 3; б 2 3 Найбільший експортер послуг в світі: а США; б Японія; в Велика Британія. Найбільша країна за кількістю іноземних туристів: а Іспанія; б США; в Франція. | |||
53098. | Використання інтерактивних технологій під час вивчення фізичної географії Донецької області | 82 KB | |
Мета:практичне застосування інтерактивних технологій під час вивчення фізичної географії Донецької області. Обладнання і матеріали: мультимедійна установка мікрофон роздавальні матеріали для п'яти уроків з теми Фізична географія Донецької області атлас Донецької області. Географічне положення межі розміри Донецької області Конструктор уроку Тема уроку Актуалізація... | |||
53099. | Брейн – ринг з географії для 7 класу. «По країнах і континентах» | 218 KB | |
Мета: поглибити інтерес до предмету, виховувати почуття колективізму, уміння працювати в команді. Обладнання : мультимедійний комплекс. Хід гри. Члени команд займають місця згідно проведеного жеребкування. Учитель об’являє правила проведення брейн – рингу та представляє журі. 1 конкурс. Розминка. Кожній команді учитель ставить питання. Протягом хвилини команда повинна дати відповідь. Кожна правильна відповідь оцінюється в 1 бал. | |||
53100. | КОНКУРС ЗНАТОКОВ ГЕОГРАФИИ | 38.5 KB | |
Вопросы к викторине по Китаю Китай на политической карте 1. По территории Китай занимает место в мире. Династия Цинь именно при ней велось строительство Китайской стены 4. С какой страной воевал Китай в 18941985 гг. | |||
53101. | СЦЕНАРІЙ ЗАГАЛЬНОШКІЛЬНОЇ ЛІНІЙКИ ДО ВІДКРИТТЯ ТИЖНЯ ГЕОГРАФІЇ | 92.5 KB | |
Андрій. Як же я не люблю середину лютого! Зимові канікули давно вже минули до весняних ще так довго... А кожен день одне й те ж саме: окисно-відновні реакції, рівняння, формули, задачі, вправи… Юлія. Увага! 11 лютого в школі розпочинається тиждень географії. Андрій. О, ні! Тільки не географії! | |||