92210

Описание статических систем с исп-ем полиномиальных моделей

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Регрессией в статистических исследованиях называют усреднение по результатам этого исследования, т.е. по множеству статистических данных. Модель, которая будет найдена путем обработки этих статистических данных путем усреднения, называется регрессионной моделью и описывается уравнением регрессии.

Русский

2015-07-28

78.5 KB

1 чел.

11,1 Описание статических систем с исп-ем полиномиальных моделей.

Построение полиномиальных моделей с использованием регрессионного анализа

С помощью полинома можно аппроксимировать любую функцию это следует из того, что любую функцию можно разложить в ряд Тейлора.

Регрессией в статистических исследованиях называют усреднение по результатам этого исследования, т.е. по множеству статистических данных. Модель, которая будет найдена путем обработки этих статистических данных путем усреднения, называется регрессионной моделью и описывается уравнением регрессии.

Пусть имеется некоторая  система, имеющая два входа и один выход (рис.2.2).

Рис.2.2

Модели этой системы могут быть описаны следующими уравнениями.

Простейшая математическая модель этой системы:

Y = b0 + b1X1 + b2X2,

где b0, b1, b2  – весовые коэффициенты.  При проверке может оказаться, что данная модель неадекватна реальной системе. Тогда ее усложняют, дополнительно вводя взаимно для входных переменных в виде произведения:

Y=b0+b1X1+b2X2+b12X1X2.

Если и данная модель неадекватна, то вводят новые составляющие, например:

Y=b0+b1X1+b2X2+b12X1X2+b11X12+b22X22.

Можно ещё более усложнить модель, увеличивая порядок полинома, и таким образом добиться адекватности модели.

Для нахождения коэффициентов b применяют экспериментальное исследование системы или её физической модели, и сводят экспериментальные данные в таблицу, (таблица 2.1), в которой X1i, X2i, Yi – величины входных и выходных воздействий в опыте i (i = 1, N).

Таблица 2.1

X1

X2

Y

X11

X21

Y1

X12

X22

Y2

X1N

X2N

YN

 

Входные значения X1, X2 должны задаваться из той области значений, для которой строится модель. Обработав табличные данные, находят коэффициенты b.

Найдем формулы для вычисления коэффициентов b для системы с одним входом и одним выходом (рис.2.3).

Рис.2.3

Будем искать модель этой системы в виде линейного уравнения регрессии: Yx=b0+b1X.

Для наглядности смысла вычислений нанесем опытные Xi Yi i(i=1,N).значения на плоскость X,Y (рис.2.4).

Рис.2.4

Для каждого значения Xi имеет место ошибка εi=Yi-YXi , где Yi – опытное наблюдение, а YXi=b0+b1Xi, т. о. εi = Yi-b0-b1Xi  Ошибка зависит от коэффициентов b0 и b1.

Наилучшим уравнением регрессии с точки зрения метода наименьших квадратов будет такое, которое обеспечивает минимум суммы

Значения b0 и b1 можно найти из условия минимума суммы U:

Соответствующие производные равны

Приравнивая производные к нулю, и, решая систему двух уравнений с двумя неизвестными, получим

,

.

Оказывается, что b2 и b1 являются функциями среднего арифметического  и , среднеквадратического отклонения X и Y  и коэффициента корреляции r. Преобразуя выражение для b0, b1, получим

,

.

Тогда уравнение регрессии преобразуется к простому виду

,

где

11,2. Формирование случайных величин с произвольным законом распределения методом Неймана

Имеем генератор, формирующий равномерно распределённые числа Xk. Требуется сформировать Yk , распределенные по закону wY(Y) (рис.5.8). Алгоритм формирования чисел Yk следующий. На шаге k выводим из генератора пару чисел X1k, X2k . Число X1k , которое находится в интервале (0,1), преобразуем в число Yk , лежащее в интервале (a, b) линейным преобразованием Yk = Xk.(ba) + a.

Рис.5.8

Проверяется выполнение неравенства X2k wYmax < wY(Yk). Очевидно, что оно будет чаще выполняться для значений Yk , которые задают большее значение функции wY (что и требуется выполнить). Если неравенство выполняется, то число Yk принадлежит закону распределения wY , и оно сохраняется. В противном случае числа X1k, и X2k отбрасываются и генерируется новая пара чисел.


a

b

y

wYmax

(Y)

X1

X2

Y

Статическая

система

Y

Система

X

X

YX = b0+b1X

Y

Yi

YXi

εi

Xi


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72126. Русь и Орда (по книге Гумилева) 19.77 KB
  В 1237-1238 монголо-татарами был предпринят поход на Русь который по мнению Л. Русь не была завоевана монголами поскольку те и не ставили такой цели: они не облагали население постоянным налогом не заключали с князьями неравноправных договоров.
72127. Политизация еврейского вопроса в России на рубеже конца 19 – начала 20 вв.: внутренние и внешние факторы 20.23 KB
  Численность еврейского населения России составляла примерно половину евреев мира согласно переписи 1897г. В быстром экономическом подъеме начавшемся в России в результате реформ Александра II сыграли значительную роль еврейские предприниматели и во многом благодаря их усилиям Украина стал одним...
72128. Духовное противостояние православных и иудеев в русской истории (10-18 вв) 19.61 KB
  Согласно некоторым историкам мятежники побили многих евреев и разграбили их дома в связи с тем что многие из них были ростовщиками и пользуясь редкостью денег на тот момент брали высокий процент с должников. На съезде князей в Любече в начале XII века принято решение о недопущении...
72129. Положение русских подданных в Финляндии и «русификаторский» курс царского самодержавия в ВКФ на рубеже XIX-XX вв.: правда и вымысел 49.5 KB
  Положение русских подданных в Финляндии и русификаторский курс царского самодержавия в ВКФ на рубеже XIXXX вв. в Финляндии происходил быстрый экономический подъем связанный доступом на российские рынки кроме того были сняты ограничения на ремесло и легкую промышленность...
72130. Продажа Аляски: явный и скрытый механизм сделки 32 KB
  Великий Князь Константин в письме Горчакову из Ниццы впервые поднял вопрос об уступке Аляски США. В качестве доводов он указывал на 1 потенциальную внешнюю угрозу Русской Америки со стороны США 1. Константин также выступал за сближение с США и говорил о том что Россия должна укреплять...
72131. Открытие Русской Америки. Политика русских переселенцев по отношению к местному туземному населению 50 KB
  Для колонизаций новых территорий были необходимы рабочие руки, поэтому русские активно привлекали аборигенов, которых отправляли на добычу морского зверя. С приходом русских на Кадьяк началось формирование зависимого от них слоя населения – каюров.
72132. Проект создания «Большой нации» и «украинское возрождение» в России и за рубежом (19-начале 20 вв.) 22.63 KB
  Украинский вопрос в Российской империи изначально появился как производный от польского вопроса возникшего впервые после восстания 1830-31гг. Дело в том что польская шляхта выступила в ходе восстания с политическими лозунгами вроде за нашу и вашу свободу и намеревалась использовать...
72133. Присоединение к России Казахстана и Средней Азии 17.12 KB
  Во второй четверти XVIII века усилилось влияние России на Казахстан. Многочисленные племенные объединения казахского народа в то время составляли три жуза: Младший (имел более тесные связи с Россией), Средний( научная и культурная элита) и Старший (верхний слой - номенклатура).
72134. Присоединение к России Северного Кавказа. Кавказская война 21.81 KB
  С присоединением к России территорий Закавказья территория Северного Кавказа была как бы независимым анклавом внутри Российского государства. Кавказа вошла после присоединения Крыма. Кавказа вели очень независимую политику они вступали в Россию на условиях выполнения...