92210

Описание статических систем с исп-ем полиномиальных моделей

Доклад

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Регрессией в статистических исследованиях называют усреднение по результатам этого исследования, т.е. по множеству статистических данных. Модель, которая будет найдена путем обработки этих статистических данных путем усреднения, называется регрессионной моделью и описывается уравнением регрессии.

Русский

2015-07-28

78.5 KB

1 чел.

11,1 Описание статических систем с исп-ем полиномиальных моделей.

Построение полиномиальных моделей с использованием регрессионного анализа

С помощью полинома можно аппроксимировать любую функцию это следует из того, что любую функцию можно разложить в ряд Тейлора.

Регрессией в статистических исследованиях называют усреднение по результатам этого исследования, т.е. по множеству статистических данных. Модель, которая будет найдена путем обработки этих статистических данных путем усреднения, называется регрессионной моделью и описывается уравнением регрессии.

Пусть имеется некоторая  система, имеющая два входа и один выход (рис.2.2).

Рис.2.2

Модели этой системы могут быть описаны следующими уравнениями.

Простейшая математическая модель этой системы:

Y = b0 + b1X1 + b2X2,

где b0, b1, b2  – весовые коэффициенты.  При проверке может оказаться, что данная модель неадекватна реальной системе. Тогда ее усложняют, дополнительно вводя взаимно для входных переменных в виде произведения:

Y=b0+b1X1+b2X2+b12X1X2.

Если и данная модель неадекватна, то вводят новые составляющие, например:

Y=b0+b1X1+b2X2+b12X1X2+b11X12+b22X22.

Можно ещё более усложнить модель, увеличивая порядок полинома, и таким образом добиться адекватности модели.

Для нахождения коэффициентов b применяют экспериментальное исследование системы или её физической модели, и сводят экспериментальные данные в таблицу, (таблица 2.1), в которой X1i, X2i, Yi – величины входных и выходных воздействий в опыте i (i = 1, N).

Таблица 2.1

X1

X2

Y

X11

X21

Y1

X12

X22

Y2

X1N

X2N

YN

 

Входные значения X1, X2 должны задаваться из той области значений, для которой строится модель. Обработав табличные данные, находят коэффициенты b.

Найдем формулы для вычисления коэффициентов b для системы с одним входом и одним выходом (рис.2.3).

Рис.2.3

Будем искать модель этой системы в виде линейного уравнения регрессии: Yx=b0+b1X.

Для наглядности смысла вычислений нанесем опытные Xi Yi i(i=1,N).значения на плоскость X,Y (рис.2.4).

Рис.2.4

Для каждого значения Xi имеет место ошибка εi=Yi-YXi , где Yi – опытное наблюдение, а YXi=b0+b1Xi, т. о. εi = Yi-b0-b1Xi  Ошибка зависит от коэффициентов b0 и b1.

Наилучшим уравнением регрессии с точки зрения метода наименьших квадратов будет такое, которое обеспечивает минимум суммы

Значения b0 и b1 можно найти из условия минимума суммы U:

Соответствующие производные равны

Приравнивая производные к нулю, и, решая систему двух уравнений с двумя неизвестными, получим

,

.

Оказывается, что b2 и b1 являются функциями среднего арифметического  и , среднеквадратического отклонения X и Y  и коэффициента корреляции r. Преобразуя выражение для b0, b1, получим

,

.

Тогда уравнение регрессии преобразуется к простому виду

,

где

11,2. Формирование случайных величин с произвольным законом распределения методом Неймана

Имеем генератор, формирующий равномерно распределённые числа Xk. Требуется сформировать Yk , распределенные по закону wY(Y) (рис.5.8). Алгоритм формирования чисел Yk следующий. На шаге k выводим из генератора пару чисел X1k, X2k . Число X1k , которое находится в интервале (0,1), преобразуем в число Yk , лежащее в интервале (a, b) линейным преобразованием Yk = Xk.(ba) + a.

Рис.5.8

Проверяется выполнение неравенства X2k wYmax < wY(Yk). Очевидно, что оно будет чаще выполняться для значений Yk , которые задают большее значение функции wY (что и требуется выполнить). Если неравенство выполняется, то число Yk принадлежит закону распределения wY , и оно сохраняется. В противном случае числа X1k, и X2k отбрасываются и генерируется новая пара чисел.


a

b

y

wYmax

(Y)

X1

X2

Y

Статическая

система

Y

Система

X

X

YX = b0+b1X

Y

Yi

YXi

εi

Xi


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34956. Понятие, показатели и цели экономического роста 50 KB
  Краткосрочные колебания выпуска в научной литературе обычно относятся к теории деловых циклов и не являются предметом изучения для теории экономического роста. В отличие от экономического развития экономический рост количественный показатель. Изучение экономического роста проходит в рамках теорий экономического роста Общепринятой количественной мерой экономического роста являются показатели абсолютного прироста или темпов прироста реального объема выпуска в целом или на душу населения: где t индекс времени.
34957. Понятия и задачи экономической теории 31.5 KB
  Экономическая теория не стоит на месте и её развитием в исторической перспективе занимается история экономических учений. Экономическая теория состоит из ряда разделов: методологии экономической науки микроэкономики макроэкономики международной экономики эконометрики теории игр. Экономическая теория создана и развивается экономистами различных школ и направлений поэтому ее определения различны.
34958. Потребительский выбор и потребительская корзина 38.5 KB
  Потребительская корзина набор товаров и услуг необходимых для удовлетворения первоочередных потребностей человека за год в среднем. Потребительская корзина используется для расчета прожиточного минимума а также с целью сравнения интегральных цен на продовольствие в различных регионах. В 1992 по договорённости между Госкомстатом РФ и МВФ определено понятие потребительская корзина куда вошло 156 наименований товаров и услуг.
34959. Признаки и функции фирм 36 KB
  Фирма – основная хозяйственная единица экономики, зарегистрированная в соответствии с правовой формой, имеющая название, юридический адрес, устав, печать, баланс и счет в банке
34960. Проблемы и последствия экономического роста 27.5 KB
  Таким образом потребность перехода к интенсивному типу экономического роста вызвана природными условиями и интернационализации хозяйства в целом. Органической составной частью проблем связанных с повышением эффективности и качества экономического роста является увеличение инвестиций в человеческий капитал.
34961. Роль ЦП в регулировании денежно-кредитной системы 26.5 KB
  Основными целями деятельности банка России является: 1.Развитие и укрепление банковской системы Российской Федерации. Таким образом Центральный банк является одним из важнейших инструментов механизма государственного регулирования экономики и сочетает в той или иной степени функции банка и органа государственного управления.
34962. Рыночное равновесие. Установка равновесной цены 62 KB
  Рыночное равновесие устанавливается когда цена приводится к уровню который уравнивает объем спроса и объем предложения. Рыночное равновесие цены и объем продаваемого блага могут изменяться в ответ на изменения спроса и предложения. Когда потолок цен устанавливается ниже равновесной цены образуется дефицит иногда его называют избыточным спросом благ и объем спроса превышает объем предложения.
34963. Рыночные структуры и их типы 31 KB
  Рыночные структуры и их типы Рыночная структура – это совокупность отражающих отраслевые особенности признаков рыночной организации обусловливающих способ установления цены и объема выпуска а также определяющих характер взаимодействия фирм отрасли. Рынки несовершенной конкуренции в свою очередь представлены рынками чистой монополии монополистической конкуренции олигополистическими рынками; чистая монополия тип рыночной структуры характеризующийся отсутствием конкуренции что предполагает господство на закрытом входными барьерами...
34964. Свойства кривых безразличия 40 KB
  Через любую точку в графическом пространстве можно провести соответствующую кривую безразличия. Так мы получим карту кривых безразличия. Любая кривая безразличия лежащая выше и правее другой представляет собой высокий уровень полезности.