93311

Философия математики

Лекция

Логика и философия

Возникновение неевклидовых геометрий однако снова поставило ее и причем в значительно более глубокой форме: здесь впервые возник вопрос о непротиворечивости по отношению к математической теории в целом. С логической точки зрения этот метод сводится к тому что каждой аксиоме теории непротиворечивость которой доказывается ставится...

Русский

2015-08-29

24.39 KB

0 чел.

Лекция № 11.  Философия математики.

1. Принцип непротиворечивости  в структуре математического знания.

2.Теорема Геделя и ее методологические последствия.

3.Содержательное обоснование непротиворечивости.

1. Принцип непротиворечивости  в структуре математического знания.

Представление о непротиворечивости математических утверждений — часть общего идеала математики всех эпох. Но как методологическое требование оно стало выдвигаться только в XVIII веке в связи с противоречиями в исчислении бесконечно малых, с парадоксами при суммировании рядов и в операциях с отрицательными и комплексными числами. Математики того времени, однако, не выработали сколько-нибудь ясных критериев .непротиворечивости. В начале XIX века математики определили основные понятия анализа и установили строгие правила оперирования с рядами, что, как казалось, полностью устраняло источники противоречий в математике и снимало проблему непротиворечивости в целом. Возникновение неевклидовых геометрий, однако, снова поставило ее и причем в значительно более глубокой форме: здесь впервые возник вопрос о непротиворечивости по отношению к математической теории в целом.

В процессе поисков обоснования непротиворечивости неевклидовых геометрий в XIX веке был выработан общий метод такого обоснования, а именно, метод интерпретации. С логической точки зрения этот метод сводится к тому, что каждой аксиоме теории, непротиворечивость которой доказывается, ставится в соответствие (по определенному правилу) истинное утверждение в некоторой другой (базисной) теории, непротиворечивость которой предполагается гарантированной. Если такое соответствие установлено, то ясно, что каждому выводимому утверждению первой теории будет соответствовать выводимое утверждение во второй и каждому противоречию в первой — противоречие во второй. Из непротиворечивости базисной теории мы, таким образом, можем заключить, что рассматриваемая теория также непротиворечива.

Во всех доказательствах непротиворечивости неевклидовых геометрий, проведенных в XIX в., в качестве базисной теории выступала обычная геометрия, а в конце концов, арифметика, т. к. все утверждения евклидовой геометрии в соответствии с принципом, который лежит в основе аналитической геометрии, превращаются в утверждения о числах и операциях над ними.

Такой подход к обоснованию непротиворечивости математических теорий представляется естественным и достаточным при условии, что мы имеем основание верить в непротиворечивость некоторой базисной теории. События в математике в конце XIX века, однако, поставили под сомнение верования такого рода. Этот новый поворот событий связан с появлением теории множеств и с преодолением ее внутренних логических трудностей.

Новые факты математики породили потребность в более широких основаниях математического анализа и математики в целом. Задача состояла в том, чтобы: а) дать обоснование действительных чисел, независимое от понятия предела; б) строго обосновать те разделы анализа, где практически использовалось понятие актуальной бесконечности. Первую задачу в начале 70-х гг. разрешил Дедекинд своей теорией сечений.

Однако триумф теории множеств был прерван в начале XX в. открытием целого ряда противоречий (парадоксов) в ее основе. Все эти парадоксы связаны, в конечном итоге, с интуитивным пониманием множества. Парадокс Рассела—Цермело. Обозначим через M — множество всех нормальных . множеств, т. е. множеств, не включающих себя в качестве элемента. Допустим, что M — само нормальное множество, тогда оно будет включаться само в себя, т. е. будет ненормальным множеством. Если же мы предположим обратное, а именно, что M —. ненормальное множество, тогда то же рассуждение приводит нас к выводу, что оно нормальное. Мы, таким образом, не можем предположить без противоречия ни нормальности, ни ненормальности множества всех нормальных множеств.

Обнаружение парадоксов в теории множеств поставило перед математиками проблему обоснования математики в целом. В начале XX в. возможность абсолютно надежного обоснования математики не вызывала сомнений. Самые выдающиеся математики разделяли эту веру и предлагаемые им программы устранения парадоксов они рассматривали одновременно и как программы решения проблемы обоснования вообще.

Причина парадоксов, по Расселу, кроется в использовании суждений, которые оборачиваются сами на себя. Он исключает такого рода суждения из математического языка посредством своей теории типов или теории логических ступеней. Суть этой теории состоит в том, что математические высказывания делятся на классы в соответствии с областью определения.

В 20-х годах Д. Гильберт предложил свой подход к .обоснованию математики, который стал известен как формализм. Основная философская предпосылка Гильберта заключается в отрицании натурфилософии. Существование в математике понимается только логически: объект существует, если он может быть введен без противоречия в некоторую систему объектов и определяющих их аксиом. Гильберт указывал на то, что идеальные образы всегда играли существенную роль в математике наряду с реальными, конкретно интерпретируемыми образами. Бесконечно малые, иррациональные и мнимые числа, несобственные элементы геометрии, идеальные числа в теории чисел, воображаемые геометрии — все это примеры идеальных понятий, введение которых позволяет решать задачи, бывшие до того неприступными. Изъятие этих понятий из математики нанесло бы ей непоправимый ущерб. Введение идеальных элементов, по мнению Гильберта, есть основной творческий принцип математики для преодоления трудностей. В этом плане может быть понята и необходимость актуальной бесконечности в математике как особого идеального образа.

2. Теоремы Гёделя и их методологические следствия

Все  программы обоснования математики, выдвинутые в начале века, достигли известных успехов, однако все они в дальнейшем столкнулись с большими затруднениями. Логическая природа этих затруднений в определенной мере стала ясной с появлением в 1931 г. статьи К. Гёделя «О формально неразрешимых утверждениях Principia Mathematica и родственных систем», где он доказал две широко известные в настоящее время логические теоремы, касающиеся внутреннего устройства математических теорий. Первая теорема Гёделя (о неполноте) утверждает, что если формальная система, содержащая арифметику, непротиворечива, то она неполна, т. е. она содержит истинные утверждения, формулируемые в ее исходных понятиях, которые недоказуемы и неопровержимы в этой системе. Вторая теорема (о непротиворечивости) утверждает, что если арифметика или система, включающая ее, непротиворечива, то доказательство этой непротиворечивости не может быть достигнуто в метаязыке, допускающем представление в арифметическом формализме.

Для уяснения смысла теорем Гёделя, нужно провести разделение между дедуктивным (синтаксическим) и смысловым (семантическим) уровнями формализованной теории. При построении формализованной теории мы задаем вид допустимых (правильно построенных) формул. Требования к правильности формулы отражают наши содержательные представления о структуре математических суждений и их возможных компонентов. Затем мы выделяем из них (основываясь также на содержательных признаках) систему истинных формул и, наконец, подыскиваем среди этих последних такое множество формул (систему аксиом), из которого все истинные формулы следовали бы по правилам логики. Система аксиом является полной, если каждая правильная и замкнутая формула дедуктивно охватывается системой аксиом в том смысле, что либо она сама, либо ее отрицание выводимы в этой системе аксиом. Смысл теоремы Гёделя о неполноте состоит в том, что для непротиворечивой и достаточно богатой формализованной теории (содержащей формализованную арифметику) такого рода дедуктивный охват не будет иметь места: для любой системы аксиом всегда найдется правильно построенная формула, такая, что ни она сама; ни ее отрицание не будут выводимы в этой аксиоматике. Но так как либо утверждение, либо отрицание формулы является истиной, то это значит, что в таких теориях существуют истинные, но не выводимые утверждения. Иначе говоря, такие теории всегда уже (беднее) на синтаксическом уровне, чем на семантическом.

3. Содержательное обоснование непротиворечивости

Говоря об обосновании математических теорий, мы должны четко разделять два уровня рассуждения, а именно логический и гносеологический. Реализация финитного доказательства непротиворечивости, там, где оно возможно, — это просто логический факт, состоящий в выводимости некоторой формулы, обозначающей утверждение о непротиворечивости данной теории. На каком основании мы можем утверждать, что вывод такой формулы означает фактическую непротиворечивость теории, абсолютную невозможность получения в ее рамках противоречия? Другими словами, на каком основании мы доверяем финитному рассуждению? Переход от финитного доказательства непротиворечивости как логического факта к убеждению фактической непротиворечивости теории, о которой идет речь, предполагает некоторое гносеологическое рассуждение, а именно обоснование того положения, что всякое финитное доказательство является достоверным. Обоснование математической теории, таким образом, никогда не сводится к чисто логической процедуре, оно предполагает гносеологическую концепцию достоверности, которая оправдывает нашу веру в определенные средства и заставляет смотреть на другие средства как на сомнительные.

Исходя из общих представлений праксеологической интуиции мы действительно можем оправдать финитное доказательство непротиворечивости как предельно достоверное, т. е. мы можем утверждать, что фактическое развитие теории, по отношению к которой такое доказательство проведено, никогда не столкнется с внутренним противоречием. Но можем ли мы утверждать обратное положение, а именно, что всякое достоверное рассуждение о непротиворечивости теории представляет собой рассуждение в финитном метаязыке. Другими словами, можем ли мы сказать, что не существует никаких логических рассуждений, не удовлетворяющих требованиям финитизма, но тем не менее достоверных, обеспечивающих абсолютную гарантию от противоречий. Общепринятая интерпретация второй теоремы Гёделя исходит, очевидно, из утвердительного ответа на этот, вопрос. Однако этот ответ нельзя признать хорошо обоснованным. Понятие достоверности и понятие финитности — разные понятия, и они не могут быть априори приняты, как имеющие один и тот же объем. Современный логический и гносеологический анализ совершенно определенно показывают, что класс достоверных рассуждений о математической теории не исчерпывается классом рассуждений, удовлетворяющих требованиям финитизма, а это значит, что теоремы Гёделя в принципе не закрывают путей к полному внутреннему (логическому) обоснованию математики.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74773. Колебания, виды колебаний, характеристики, энергия колебания. Гармонические колебания. Примеры (маятники) 97.5 KB
  Колебательные процессы широко распространены в природе и технике например качание маятника часов переменный электрический ток и т. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи.
74774. Затухающие колебания и их характеристики. Декремент затухания 35 KB
  Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах а также омических потерь и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.