9341

НОРМАЛЬНОЕ ПОЛЕ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНОМАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА

Конспект

География, геология и геодезия

НОРМАЛЬНОЕ ПОЛЕ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНОМАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА текст лекций по геодезической гравиметрии ГЛАВА 1. НОРМАЛЬНОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ §1.1 ПОНЯТИЕ О НОРМАЛЬНОМ ПОЛЕ И СПОСОБАХ ЕГО ВЫБОРА При изучении гравитационного поля Земли обыч...

Русский

2015-02-01

428.5 KB

16 чел.

НОРМАЛЬНОЕ ПОЛЕ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНОМАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА

текст лекций по геодезической гравиметрии

ГЛАВА 1. НОРМАЛЬНОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ

§1.1 ПОНЯТИЕ О НОРМАЛЬНОМ ПОЛЕ И СПОСОБАХ ЕГО ВЫБОРА

При изучении гравитационного поля Земли обычно используют фиктивное поле силы тяжести или притяжения, уровенные поверхности которых близки к уровенным поверхностям реального земного поля, но имеют более простую по сравнению с ними форму. Такое поле и описывающие его потенциал U  силы тяжести  или потенциал Vн притяжения называют нормальными.  После введения нормального потенциала действительный потенциал W силы тяжести можно записать в виде

                                                 W=U+T,                                                              (1.1)

Т- аномальный или возмущающий потенциал.

Смысл введения нормального потенциала заключается в переходе от изучения потенциала W силы тяжести реальной Земли к изучению малой  величины

                                               Т = W – U.                                                            (1.2)

 

Введение нормального потенциала преследует две цели: в одном случае нормальное поле рассматривают как модель, приближенно представляющую реальное  поле Земли; во втором нормальное поле используют как отсчетное, относительно которого находят аномальный потенциал. Т.е. в первом случае речь идет об использовании  нормального поля вместо реального, а во втором - об определении отличия реального поля от нормального. В обоих случаях стараются выбирать нормальное поле так, чтобы аномальный потенциал был мал. Тогда в первом случае величиной  Т просто пренебрегают, а во втором  появляется возможность строить теорию ее определения в линейном приближении, не учитывая члены порядка квадрата аномального потенциала. В качестве нормального всегда стараются выбрать потенциал, который можно описать по возможности простыми аналитическими выражениями, с тем, чтобы в нормальном поле легко решались задачи геодезии, геофизики, небесной механики.  

Таким образом, нормальный потенциал можно определить как потенциал достаточно простого вида, по возможности близкий к действительному

Существует несколько способов задания нормального потенциала. В одних используют понятие Нормальной Земли – модели Земли, обладающей теми или иными свойствами. Так, в геофизике задают поверхность и модель внутреннего строения нормальной Земли. Подобная модель впервые была введена А. Клеро(1713-1765), который полагал, что Земля состоит из однородных жидких слоев и находится в состоянии гидростатического равновесия. 

В топографии и инженерно-геодезических работах не очень высокой точности поле силы тяжести полагают однородным – все уровенные поверхности считают параллельными плоскостями, а силовые линии – параллельными прямыми. Это означает, что потенциал силы тяжести является линейной функцией

                                                         U=Uо -h                                                     (1.3)

высоты h над исходной уровенной плоскостью U=Uо, а нормальная сила тяжести

       

                                                                                                                   (1.4)

постоянна по величине и направлению.

Еще один способ введения нормального поля основан на разложении потенциала притяжения в ряд шаровых функций, которое в сферических координатах r,L имеет вид

               ,                     (1.5)

r – радиус-вектор, - геоцентрическая широта, L –долгота, Рпк() –присоединенная функция Лежандра первого рода степени n и порядка k. Нормальный потенциал получают, оставляя конечное число членов этого ряда. Так, оставляя только член нулевого порядка, т.е. полагая  в (1.5) n=k =0, получают

 

                                             A00=GM                                                                   (1.6)

и

                                      .                                                                  (1.7)

Это означает, что за нормальную Землю принят шар с центрально-симметричным распределением плотности. Произведение GM постоянной тяготения G на массу М Земли называют геоцентрической гравитационной постоянной.

 Обычно в ряде (1.5) оставляют только четные зональные члены, не зависящие от долготы. Тогда нормальный потенциал притяжения получит вид

                                                                               (1.8)

и будет симметричен относительно оси Z вращения Земли и плоскости экватора. Коэффициент А2по этого ряда  при п=0 совпадает с (1.6) и является геоцентрической гравитационной постоянной, при п=1

                                                  А2о= G(Am-C),                                                  (1.9)

Ат- средний экваториальный, С – полярный моменты инерции Земли соответственно.

Для получения нормального потенциала силы тяжести к (1.8) добавляют потенциал Q центробежной силы

                                                   (1.10)                    

и находят

                                                     U=Vн+Q                                          (1.11)

или

                                .          (1.12)            

                                

В геодезии обычно используют Нормальную Землю в виде идеальной планеты, имеющей форму эллипсоида вращения, причем эта поверхность является уровенной поверхностью ее потенциала силы тяжести, т.е. на поверхности эллипсоида выполняется условие

                                                     U= Uо ,                                         (1.13)

Uо - постоянная. Такой эллипсоид называют уровенным. Использование поля силы тяжести уровенного эллипсоида в качестве нормального поля удобно в геодезии потому, что в этом случае одна и та же поверхность является отсчетной при решении и геометрических и физических задач.

Особенно удобно объединение двух последних подходов к выбору нормального поля, когда потенциал уровенного эллипсоида представляют в виде ряда шаровых функций, а коэффициенты разложения (1.8) подбирают так, чтобы одна из уровенных поверхностей потенциала (1.12) силы тяжести была эллипсоидом вращения. Это позволяет построить непротиворечивую модель нормального поля, объединяющую геометрический и физический подходы к изучению Земли. 

§1.2. ВНЕШНИЙ ПОТЕНЦИАЛ  ПРИТЯЖЕНИЯ УРОВЕННОГО ЭЛЛИПСОИДА

 

Выберем Нормальную Землю в виде эллипсоида вращения

                                            ,                                          (1.14)

на поверхности U=Uо, которого потенциал притяжения равен Vо, ao, bo – большая и малая полуоси соответственно.     Зададим массу М этого эллипсоида и угловую скорость    его вращения. В теории потенциала доказано, что этих данных достаточно для определения внешнего гравитационного поля эллипсоида.

Центробежный потенциал Qо

                                               Qо=  ,                                    (1.15)

на поверхности эллипсоида изменяется в зависимости от расстояния хо2о2 до оси вращения, поэтому потенциал Vо притяжения на уровенном эллипсоиде не постоянен,

                                       Vо  =Uo-Qо= Uo- ,                               (1.16)

 хо, уо- координаты точки поверхности эллипсоида.

Потенциал эллипсоида удобно определять в специальной системе координат b,u, где b- малая полуось эллипсоида, софокусного эллипсоиду (1.14), u – приведенная широта (см. рис.1.1).В этой системе координат для потенциала притяжения уровенного эллипсоида получают замкнутое выражение

                .                                  (1.17)

                                                     Z

 

                                                 

 

                                   b

                                                 bо

                                                  u

                                            О       F

Рис.1.1. Система координат сжатого эллипсоида

Здесь  Елинейный эксцентриситет, равный отрезку ОF на рис.1.1, F- фокус эллипсоидов, функция q определена выражением

                             q=                                           (1.18)

или

                            ,                                        (1.19)

qо – функция q при b=bо.

На поверхности эллипсоида при q= qо из (1.17) находим

                                                (1.20)

Обратим внимание, что, согласно (1.17) и (1.20) потенциал притяжения зависит от угловой скорости вращения эллипсоида. Этот парадоксальный факт объясняется тем, что на поверхности эллипсоида (1.14) потенциал Uо силы тяжести должен быть постоянен, и изменение потенциала Qо (1.15) центробежной силы должно компенсироваться изменением потенциала Vо притяжения, как следует из условия (1.16).

Представим (1.17) в виде

                 .                 (1.21)

Используем ряд

             =                         (1.22)

и разложение(1.19), согласно которому

                                                                                          (1.23)

и напишем

          .   (1.24)                                                     

Теперь преобразуем потенциал (1.8), записав в явном виде члены с п=0 и 1 и вынесем за скобки член нулевого порядка.  Тогда

                        ,               (1.25)

где принято во внимание выражение полинома Лежандра второй степени

                                        .                                (1.26)

Сопоставим потенциалы (1.24) и (1.25). Возьмем произвольную точку на оси Z вращения эллипсоида (рис.1.1). Для точек на оси вращения геоцентрическая широта совпадает с приведенной широтой u, причем обе они равны , а полуось b совпадает с радиусом-вектором r,

                     = u=  r=b                                                               (1.27)

Приравняв потенциалы (1.24) и (1.25) при условии (1.27), находим

   . (1.28)

Равенство (1.28) будет выполняться, только если будут равны коэффициенты при одинаковых степенях b. Отсюда следует фундаментальное равенство, устанавливающее связь геометрических параметров эллипсоида с физическими параметрами  (стоксовыми постоянными) Земли

                                                     (1.29)

Введем в (1.29) безразмерный эксцентриситет е. По определению Е=ае=const, поэтому для отсчетного эллипсоида Е=аоео и (1.29) получает вид

                        .                                    (1.30)

Введем обозначения

                           ,              .                         (1.31)

С этими обозначениями напишем

                                           ;                                            (1.32)

параметр J2 называют зональный гармонический коэффициент второй степени.

Выясним физический смысл параметров т и J2.Запишем  параметр т в виде

                                                                                                   (1.33)

Произведение ao – это центробежная сила на экваторе уровенного эллипсоида, а - сила притяжения массы М, находящейся в центре эллипсоида, также на его экваторе. Произведение Мао2 представляет собой момент инерции массы М относительно оси вращения эллипсоида. Это максимально возможное значение полярного момента инерции, которое было бы в том случае, если бы вся масса эллипсоида находилась на  его экваторе, на расстоянии ао от оси вращения. Таким образом

тотношение центробежной силы к силе притяжения на экваторе;

J2- отношение разности полярного и экваториального моментов инерции к максимальному моменту инерции.

Равенства (1.29) и (1.32)  между геометрическими ао, Е, qо, е и физическими GM, G(C-Am), mJ2 параметрами уровенного эллипсоида точные. Часто используют приближенные соотношения между ними.  Если в (1.23) не учитывать отличие между осями эллипсоида, можно принять с точностью порядка сжатия эллипсоида

                                                                                                  (1.34)

тогда

                                        ео2=3 J2+т,                                                       (1.35)

и для сжатия эллипсоида с учетом зависимости e2

                                      .                                                        (1.36)

Параметры, определяющие поле силы тяжести Нормальной Земли, называют фундаментальными геодезическими постоянными.   Соотношения между фундаментальными постоянными и методами их определения рассматривают в курсе высшей геодезии.

Введем  в (1.8) новые безразмерные коэффициенты J2п  по правилу

                                           .                                              (1.37)

Потенциал притяжения примет вид

                                                 (1.38)

Этот ряд сходится очень быстро. Его коэффициенты

                                 ,

   или                                                                                                             (1.39)

                                     

зависят только от коэффициента J2 и эксцентриситета  ео уровенного эллипсоида, убывают пропорционально eo2п-2 и уже для  п=3 составляют около 10-6 J2 . Поэтому в ряде (1.38) обычно удерживают члены только до п=4.

§1.3. ПОТЕНЦИАЛ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ УРОВЕННОГО ЭЛЛИПСОИДА

 

Так как потенциал U силы тяжести равен сумме потенциала V притяжения и потенциала Q  центробежной силы, для его определения нужно добавить к (1.17) или (1.38) центробежный потенциал (1.10). Для получения потенциала силы тяжести в эллипсоидальной системе координат b,u выразим в этой системе центробежный потенциал

                          

=.                            (1.40)

  После этого, суммируя (1.17) и (1.40), получаем внешний потенциал силы тяжести уровенного эллипсоида вращения

               

               (1.41)

В этом выражении постоянными параметрами являются GM, ao, E, qo .Так как большая полуось и параметр qo определяются через постоянные Е и bо, для определения потенциала силы тяжести уровенного эллипсоида (Нормальной Земли) нужно знать постоянные GM, bo, E,.

На поверхности эллипсоида,  полагая в (1.41) b=bo, находим

                              .                                 (1.42)

На любом другом эллипсоиде при  b ≠ bo потенциал зависит от широты u. Это означает, что только одна уровенная поверхность U = Uo потенциала силы тяжести является эллипсоидом вращения.

Для нахождения потенциала силы тяжести в полярной сферической системе координат к потенциалу притяжения (1.38) нужно добавить центробежный потенциал(1.10), также выраженный в координатах r,. После небольших преобразований потенциал силы тяжести будет выглядеть так

                            

 .                   (1.43)

 

Найдем выражение для потенциала Uо силы тяжести на поверхности эллипсоида. Так как в этом случае потенциал постоянен, для нахождения Uо достаточно вычислить потенциал (1.43) в любой точке эллипсоида. Если выбрать точку на экваторе, то r=aо,Ф=0 и

                              .                                    (1.44)

Поскольку коэффициенты J2п зависят от J2 и ео, для нахождения потенциала на поверхности уровенного эллипсоида нужно знать постоянные GM, ао, J2, ео.

Таким образом, на поверхности уровенного эллипсоида (Нормальной Земли) потенциал силы тяжести можно найти или по замкнутой формуле (1.42), используя постоянные GM,E,bo,, или с помощью ряда (1.44), зная GM, ао, J2, ео. 

§1.4. СИЛА ТЯЖЕСТИ НА ПОВЕРХНОСТИ УРОВЕННОГО ЭЛЛИПСОИДА

Согласно определению потенциала, сила является производной потенциала. Чтобы найти силу тяжести о на эллипсоиде,  нужно получить производную потенциала U по нормали   п к  уровенной поверхности эллипсоида

                                      .                                                                  (1.45)

Знак «минус» в этой формуле означает, что дифференцирование потенциала выполняют по направлению внешней нормали, противоположному направлению силы тяжести.

В системе координат b,u, для силы тяжести можно написать

                                                    .              (1.46)

После дифференцирования (1.41) можно найти выражение, определяющее нормальную силу тяжести в любой точке эллипсоида. Так как (1.41) содержит только независящие от широты и и поэтому постоянные на поверхности эллипсоида члены и член, содержащий sin2u, производная потенциала на поверхности эллипсоида также должна быть функцией такого же вида, и поэтому  можно написать

                                                             =Во+ В2 sin2u,

В и Во постоянные, подлежащие определению. На основании двух последних равенств для силы тяжести р на полюсе эллипсоида при u=/2 имеем

                                                  ,

а при u=0  е=-,  е сила тяжести на экваторе эллипсоида (экваториальная постоянная).. С этим значением Во и выражением для р находим В2=. Подставив полученные коэффициенты Во и В2 в выражение для производной потенциала и затем в формулу (1.46), после небольших преобразований  для силы тяжести в произвольной точке эллипсоида  с широтой  и можно получить

                             .

Обычно выражают силу тяжести как функцию геодезической широты В, для чего используют известное из курса высшей геодезии соотношение между геодезической В и приведенной и широтами

                                           tgB=1-e2 tgu.

Тогда

                                  .                        (1.47)

  

Формула (1.47) получена в 1929 г. итальянским геодезистом  К. Сомильяна(1860-1955). Ее часто записывают в виде

                                  ,                                                    (1.48)

                                         .                                                        (1.49)

Введем в (1.47) сжатие  уровенного эллипсоида и коэффициент , равный отношению разности силы тяжести на полюсе и экваторе к силе тяжести на экваторе

                                               .                                                           (1.50)

Используя зависимости bо=aо(1-,ре ), получим приближенную формулу

                           ,                                      (1.51)

где                                                .                                                      (1.52)

Формулы (1.47)-(1.48) и  (1.51) называют формулами распределения нормальной силы тяжести или нормальными формулами. С точностью порядка сжатия формула (1.51) была известна уже Ньютону и Клеро. Член sin22B второго порядка относительно сжатия в нормальную формулу включил  Гельмерт.

Из формул (1.47)-(1.48) и  (1.51) следует, что на поверхности уровенного эллипсоида нормальная сила тяжести не постоянна и зависит от широты.   Максимальное значение сила тяжести имеет на полюсе, где

                                         р =983,5гал.                                               (1.53)

На экваторе сила тяжести минимальна

                

                                           е=978,03гал                                              (1.54)

Увеличение силы тяжести на полюсе объясняется тем, что здесь центробежная сила равна нулю, а из-за сжатия точка на полюсе находится ближе к центру масс Земли по сравнению с точкой на экваторе, что вызывает увеличение силы притяжения. На экваторе центробежная сила максимальна и направлена прямо противоположно силе притяжения.

Изменение силы тяжести вызывает непараллельность уровенных поверхностей нормального поля. Напряженность поля  выше на полюсе и здесь расстояние между уровенными поверхностями меньше, чем между этими же поверхностями на экваторе.

Представим согласно (1.45) разность dU потенциалов между эллипсоидом и близкой к нему уровенной поверхностью в виде

                                                dU = -о H,

H- расстояние между уровенными поверхностями. Дифференцируя при dU постоянном, найдем изменение dH этого расстояния при перемещении вдоль меридиана

                                                    dН= .

Используем для нахождения dо формулу (1.51) и ограничимся только первыми двумя членами правой части

                                             dо = еsin2BdB.                                                        (1.55)

Полагая ое, получим

                                             dH=Hsin2BdB.

Найдем с помощью этой формулы разность Нре высоты уровенной поверхности на полюсе и экваторе

                                  Нре = .

Для Н=100м Нре =-0,53 м, т.е. уровенная поверхность, проходящая на экваторе на высоте 100 м над эллипсоидом, на полюсе находится на 53 см ниже.

                                 

Примем dB =dх/R,  dх- расстояние между точками вдоль меридиана, R- средний радиус Земли, тогда 

                                            dН=( /R) Нsin2Bdх.

На широте 45о при H=100м и  = 10км dН=0,8мм. Непараллельность нормальных уровенных поверхностей ощутима при точных нивелировках.

От долготы нормальная сила тяжести не зависит, поэтому при перемещении вдоль параллели расстояние между уровенными поверхностями нормального поля не меняется.

                                                    

§1.5. НОМАЛЬНАЯ СИЛА ТЯЖЕСТИ ВО ВНЕШНЕЙ ТОЧКЕ. КРИВИЗНА СИЛОВОЙ ЛИНИИ

Формулы (1.47)-(1.48) и (1.51) позволяют получить силу тяжести только на поверхности эллипсоида. Во внешнем пространстве силу тяжести можно найти, дифференцируя выражения (1.17) или (1.38) по нормали к внешней уровенной поверхности. Однако в этом случае уровенная поверхность не является эллипсоидальной и потенциал зависит от широты. Поэтому нормальную силу тяжести вне эллипсоида следует находить из выражения

                                   ,                                             (1.56)

h1 и h2 коэффициенты.

Для вычисления нормальной силы тяжести на физической поверхности Земли, вблизи  эллипсоида, удобнее использовать ряд Тейлора

                      ,                                        (1.57)

Н – высота точки над эллипсоидом, производные относятся к поверхности эллипсоида. Если ограничиться только первыми членами ряда, для внешней силы тяжести можно написать

                              

                                                    .                                               (1.58)

Производную  называют вертикальным градиентом нормальной силы тяжести. 

Оценим приближенное значение вертикального градиента, приняв за нормальную силу тяжести силу притяжения сферической Земли

                                                  .

Для Земли сферической направление высоты Н совпадает с направлением радиуса-вектора r, поэтому для вертикального градиента можно написать

                                       .                      (1.59)

Вертикальный градиент зависит от расстояния r до центра Земли. На поверхности Земли для средних значений  = 980 гал,  r= 6371 км  =0,308 мгл/м.

Найдем точное значение градиента на поверхности эллипсоида. Используем прямоугольную топоцентрическую систему координат x,y,z. Если направить ось z по касательной к силовой линии нормального поля, противоположно высоте Н, то вертикальный градиент будет второй производной нормального потенциала

                                                                                                 

Нормальный потенциал вне эллипсоида удовлетворяет дифференциальному уравнению

                                           ,                                           (1.60)

из которого получим

                                                 .

Вторые производные потенциала в горизонтальных направлениях связаны с кривизной уровенной поверхности. Если ось х направлена по касательной к меридиану на север, а ось у по касательной к параллели на восток, то

                                           ,                                    

M и N – радиусы кривизны меридиана и первого вертикала соответственно. Используя эту формулу, получаем для вертикального градиента силы тяжести на поверхности эллипсоида

                                                 .                 (1.61)

Радиусы кривизны меридиана и первого вертикала определены формулами, известными из курса высшей геодезии

              ,                                    (1.62)             

Оценим величину члена 22. Приняв  = 7,292*10-5с-1, получим 22=10,6*10-9с-2 или 10,6 Е (Е – этвеш – единица измерения вторых производных потенциала; 1Е=10-9с-2 =1мгл/10км).

Нормальная сила тяжести о и радиусы кривизны M,N на поверхности эллипсоида изменяются с широтой, поэтому  вертикальный градиент также зависит от широты, изменяясь от 3084Е на полюсе до 3088Е на экваторе. Сила тяжести на полюсе медленнее убывает с высотой, чем на экваторе, где, помимо убывания силы притяжения, возрастает пропорционально высоте центробежная сила. Вследствие этого с возрастанием высоты растет разность расстояния между двумя близкими уровенными поверхностями на полюсе и экваторе и сжатие нормальной уровенной поверхности увеличивается. Уровенные поверхности вблизи Нормальной Земли  изображены на рис.1.2.

                                                                       Силовые линии нормального поля

                                                                                         Уровенные поверхности

Рис.1.2. Силовые линии и уровенные поверхности нормального поля вблизи Земли

           Уровенные поверхности                                 силовые линии

Приближенно для средних значений силы тяжести и радиусов кривизны

                                      -0,3086мгл/м =-3086 Е.                                   (1.63)

Таким образом, нормальную силу тяжести на высоте Н над эллипсоидом можно найти  по формуле

                                                 0,3086 Н.                                                     (1.64)

Здесь высота выражена в метрах, сила тяжести в миллигалах. Формула обеспечивает вычисление нормальной силы тяжести с точностью выше 0.1 мгл для высот, меньших 1 км. При более точных вычислениях следует в ряде (1.57) удерживать член, содержащий Н2, и учитывать зависимость градиента (1.63) от широты. На значительных расстояниях от эллипсоида нормальную силу тяжести нужно находить с использованием(1.56).

Для определения кривизны силовой линии нормального поля воспользуемся формулой (1.10). Нормальный потенциал и нормальная сила тяжести не зависят от долготы, поэтому нормальная силовая линия – это плоская кривая, лежащая в плоскости меридиана, и ее кривизна определяется выражением

                                                                        (1.65)

Полагая   е, получим

     

                                                                                                        

Силовые линии нормального поля обращены вогнутостью к оси вращения эллипсоида. Наибольшую кривизну они имеют на широте 45о (рис.1.2)

 

§ 1.6. СИСТЕМА КООРДИНАТ В НОРМАЛЬНОМ ПОЛЕ

Силовые линии и уровенные поверхности нормального поля можно использовать в качестве координатных линий и поверхностей, аналогично тому, как это было сделано в натуральной системе координат   Wo - W.  Назовем  координатами точки в нормальном поле нормальную широту В, долготу L и нормальное геопотенциальное число Uо-U. Дадим определение этих понятий:

нормальная широта В – угол между направлением нормальной силы тяжести и плоскостью экватора;

долгота L - угол между плоскостью  начального меридиана и меридиана данной точки; поскольку нормальная силовая линия лежит в плоскости геодезического меридиана, долгота в нормальном поле совпадает с геодезической;

нормальное геопотенциальное число Uо-U -разность нормальных потенциалов между эллипсоидом и данной точкой.

Наряду с геопотенциальным числом в качестве третьей координаты можно использовать высоту в нормальном поле– отрезок нормальной силовой линии от точки Р1 пересечения  силовой  линии с поверхностью уровенного эллипсоида до точки Р.

Высота и широта в нормальном поле и геодезические широта и высота показаны на рис.1.3. Из-за кривизны нормальной силовой линии широта и высота в нормальном поле отличаются от геодезических. Сравним эти координаты.

Обратимся к рис 1.3.  Нормальная широта как внешний угол треугольника Ррр2 равна сумме геодезической широты и угла  между нормалью РРо к эллипсоиду и отвесной линией Рр2. Оценим угол . Будем считать отрезок Р1Р =НН  силовой линии от эллипсоида до точки Р дугой окружности радиуса 1/К. Проведем касательную р1р1 к этой окружности в точке Р1 пересечения силовой линии с эллипсоидом; эта касательная является нормалью  

                                      

                        о                                      1/К

                                                                                       Р

     

                                                                             Н        р1  

                                                                                    НН

                                                                      Ро       Р1

                                                                           р1     

                                                                         

                                                                    В         В

                                                            р          р2

                                                                    

Рис.1.3.  Кривизна силовой линии  и система координат в нормальном поле

к эллипсоиду в точке Р1. Угол между касательной р1р1 и вектором нормальной силы тяжести отличается от угла  из-за отличия направлений нормалей к эллипсоиду в точках Ро и Р1. Поскольку точки Ро и Р1 .близки между собой, можно не учитывать это отличие и считать угол между отвесной линией Рр2  и линией р1р1 равным . Так как угол между  касательными  равен центральному углу окружности, соответствующему дуге НН, получаем

                                             .                                    (1.66)

Для среднего значения радиуса кривизны

                                           =0,171Нsin2В,                                                     (1.67)

высота Н выражена в километрах. Поскольку угол  мал, в этой формуле вместо высоты НН использована геодезическая высота Н.

 Согласно  (1.67), угол между нормальной силой тяжести и нормалью к эллипсоиду достигает значения 0,2 на широте 45о, если высота точки над эллипсоидом равна 1 км.

Используя полученное для выражение, находим связь широты в нормальном поле с геодезической

                                         В+ 0,171Нsin2В .                                                (1.68)

Нормальная широта всегда больше геодезической. Их отличие существенно и учитывается при точных вычислениях.

Рассмотрим отличие геодезической высоты от высоты в  нормальном поле. Установим предварительно связь высоты в нормальном поле с нормальным геопотенциальным числом. На рис.1.4. dHН отрезок силовой линии РР1 между двумя близкими уровенными поверхностями нормального поля. Между разностью dU потенциалов на этих поверхностях, нормальной силой тяжести и расстоянием dHН существует зависимость

                                                    dU=-Н                                                (1.69)

Интегрируя это выражение вдоль силовой линии РР1, получим                          

                                                               Р       U=Up

                                                                  dHН

                                                        НН 

                                                                                        

                                                                      U=Uо

                                                               Р1                                эллипсоид

                              Рис. 1.4. Высота в нормальном поле.

                     

откуда

                                                   НН= ,                                                   (1.70)

т – среднее интегральное значение нормальной силы тяжести на отрезке РР1 силовой линии.

 Определим разность геодезической высоты и высоты в нормальном поле. Считаем опять отрезок РР1 силовой линии дугой окружности, тогда

             НН=,                     Н = ,  поэтому

                                         ННН=                                    (1.71)

Максимальной величины разность высот достигает на широте 45о. Но даже в этом случае отличие высоты в нормальном поле и геодезической высоты составит всего 0,01 мм при Н = 10 км, поэтому практически можно считать высоты  одинаковыми.

Оценим расстояние между точками Ро и Р1. Если не принимать во внимание несовпадение точки Ро и точки пересечения нормали к эллипсоиду с линией оР1, то

                                    РоР1= оР1-оРо=cos  ,

о- центр кривизны дуги РР1. Подставив сюда выражение для угла , найдем

                                                 РоР1      = .                                           (1.72)

Для среднего радиуса Земли R=6371 км

 

                                                  РоР1=0,392 Н2,

где высота Н выражена в километрах, а расстояние РоР1 – в миллиметрах. Для высоты в 1км расстояние между пересечением нормали к эллипсоиду и силовой линией составит всего 0,4 мм, а для максимально возможной на Земле высоты  10 км – 4 см. Поэтому практически проекции точки Р на эллипсоид по нормали к его поверхности и по силовой линии нормального поля неразличимы.

Таким образом, долгота и высота в нормальном поле совпадают с геодезическими, а для перехода от одной системы широт к другой следует учитывать поправку (1.67) за кривизну нормальной силовой линии и пользоваться формулой (1.68).

ГЛАВА 2.   АНОМАЛЬНОЕ ПОЛЕ.

АНОМАЛИЯ ВЫСОТЫ, УКЛОНЕНИЕ ОТВЕСА И АНОМАЛИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

В главе 1 введено понятие аномального потенциала Т  как разности потенциалов действительной и нормальной Земли.

                                                  Т=W-U.                                                   (2.1)

Этот потенциал образует аномальное гравитационное поле – разностное поле, возникающее из-за отличия поля реальной Земли от нормального. Наряду с аномальным потенциалом аномальное поле представляют и другие величины, используемые в геодезии. Рассмотрим некоторые из них.

§ 2.1. АНОМАЛЬНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И ЧИСТАЯ АНОМАЛИЯ ВЫСОТЫ

В первой части курса мы выяснили физический смысл разности потенциалов: это работа, которую совершает сила тяжести при перемещении единичной массы с одной уровенной поверхности на другую.

Возьмем произвольную точку Р в поле силы тяжести. Через эту точку проходят уровенные поверхности реального и нормального поля, на которых потенциалы равны Wр и Uр соответственно (рис.2.1)

                                                     Р                  W= Wр

                                   U= Uр                                            уровенная поверхность

                                                            с                               реального поля

                                  U= Wр

                                                                  Уровенные поверхности

                                                                                 нормального поля

               Рис. 2.1. Чистая аномалия высоты

Проведем также уровенную поверхность U=Wр нормального поля, на которой нормальный потенциал равен действительному потенциалу Wр в точке Р. Конечно, эта уровенная поверхность не пройдет через точку Р, если только аномальный потенциал в этой точке не будет равен нулю. Во всех остальных случаях разность нормальных потенциалов между уровенными поверхностями U=Uр и U=Wр равна аномальному потенциалу Т в точке Р.

Проведем через точку Р нормальную силу тяжести . Так как аномальный потенциал мал, рассматриваемые нормальные уровенные поверхности близки между собой и вектор будет перпендикулярен к обеим поверхностям. Расстояние между уровенными поверхностями U=Uр и U=Wр в точке Р равно отрезку с нормали к уровенной поверхности. Назовем этот отрезок чистой аномалией высоты. Таким образом, чистая аномалия высоты – это расстояние между уровенными поверхностями нормального поля, для которых разность нормальных потенциалов равна аномальному потенциалу Т.

Выразим чистую аномалию высоты через аномальный потенциал. Из курса физики известно, что работа по перемещению единичной массы из одной точки в другую численно равна произведению проекции силы на направление перемещения на величину этого перемещения, поэтому работа, совершаемая силой при перемещении из точки Р на уровенную поверхность U=Wр равна произведению с ,  -модуль вектора  . Но эта работа равна разности потенциалов, т.е. потенциалу Т, значит

                                                                 Т=с,

Откуда следует                               

                                                                    .                                              (2.2)

Эту формулу называют формулой или леммой Брунса (Г.Брунс,1848-1919).. Она связывает физическую величину –разность потенциалов Т- с величиной геометрической – расстоянием с между уровенными поверхностями нормального поля и тем самым более наглядно представляет аномальный потенциал и аномальное поле.

Выясним теперь смысл первых производных аномального потенциала.

§ 2.2.  УКЛОНЕНИЕ ОТВЕСА И  ЧИСТАЯ  АНОМАЛИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

На рис.2.2 Р – точка поверхности Земли, х, у, z - топоцентрическая система координат, ось z совмещена с вектором нормальной силы тяжести,  ось х направлена по касательной к меридиану на север, ось у – на восток. Действительная сила тяжести g  не совпадает с нормальной по величине и направлению. Угол  между направлениями действительной и нормальной силы тяжести называют гравиметрическим уклонением отвеса, а разность модулей этих сил –аномалией силы тяжести.

Разложим вектор g действительной силы тяжести на составляющие gх, gу, gz по осям координат. На рис.2.2 составляющие по осям х и у противоположны направлениям осей, потому что вектор реальной силы тяжести отклонился к юго-западу от нормального. Условились считать, что при таком взаимном положении действительной и нормальной силы тяжести уклонение отвеса положительно.

                                                        х (N)

                       -gy    Р                           у (Е)                                 - gх    Р            х                     - gy     Р             у

                         -gx                                                                                                                                                                            

                                                                                                                                                                           

                                                                                              gz                                                        gz

                           gz

                                                                              

                                                                               g                                       g 

                                                                                                      -gх                                     -gy     

            g               (z)

                     

                 а)                                                                   б)                                     в)     

Рис.2.2.  а) Гравиметрическое уклонение отвеса. б) Составляющая уклонения отвеса в плоскости             меридиана; в) составляющая уклонения отвеса в плоскости первого вертикала

Установим связь уклонения отвеса с аномальным потенциалом. Линии Рg на рисунках 2.1 б и является проекцией вектора g силы тяжести на плоскости меридиана и первого вертикала. Поэтому углы между Рg и осью z  будут составляющими  уклонения отвеса  в плоскостях хРz   меридиана и уРz первого вертикала соответственно. Из рис.2.2 следует

                             ,                         .                       (2.3)

Согласно определению потенциала проекции gх и gу силы тяжести равны производным ее потенциала W на соответствующие координатные оси

                                    gх=                      gу=.

Но потенциал W равен сумме нормального U и аномального Т потенциалов, поэтому

                                           .                         (2.4)

Производные    - это составляющие нормальной силы тяжести вдоль осей х и у. Они равны нулю, так как ось z совмещена с нормальной силой тяжести (см. рис.2.2) и оси х и у перпендикулярны вектору  .

Нормальное поле всегда выбирают близким к действительному, поэтому составляющие уклонения отвеса невелики и не превышают нескольких секунд дуги, а действительная сила тяжести по величине близка к нормальной. В связи с этим в (2.3) можно разложить тангенсы углов в ряд и оставить только первые члены этих разложений, а в знаменателе равенств (2.3) составляющую gz действительной силы тяжести вдоль оси z заменить нормальной силой тяжести . Тогда, учитывая также, что в формулах (2.4) первые члены правых частей равны нулю, получаем

                                                                               (2.5)

Эти формулы устанавливают связь уклонения отвеса с аномальным потенциалом.

Выясним теперь смысл производной аномального потенциала по оси z. Дифференцируя (2.1), получим

                                              .

Но  - это проекция силы тяжести на ось z,  а - нормальная сила тяжести, поэтому

                                                   ,                                          (2.6)

где gz=gcos. Так как уклонение отвеса  мало, обычно считают cos =1 и gz=g. Тогда

                                                  .                                             (2.7)

Разность g  называют чистой аномалией силы тяжести.

Таким образом, мы установили, что первые производные аномального потенциала определяют составляющие уклонения отвесной линии и аномалию силы тяжести, т.е. отличие действительной силы тяжести от нормальной по величине и направлению.

§ 2.3. СВЯЗЬ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ В НОРМАЛЬНОМ ПОЛЕ С НАТУРАЛЬНОЙ

Натуральная система координат  , Wo-W связана с силовыми линиями и уровенными поверхностями реального поля Земли. Система координат в нормальном поле связана с нормальной силовой линией и нормальной уровенной поверхностью, проходящими через данный пункт. Так как нормальное поле не совпадает с действительным, координаты в нормальном поле отличаются от натуральных. Установим связь этих систем.

. Сравним широту и долготу в этих системах. Рассмотрим рис.2.3. Здесь Р – точка поверхности Земли, ось Z прямоугольной системы координат совмещена с осью вращения Земли, ось Х лежит в плоскости начального меридиана, ОХУ – плоскость экватора. Спроектируем точку Р на плоскость экватора по нормали к нему РРо. Проведем через точку Р векторы g и  действительной и нормальной силы тяжести, т.е. отвесные линии действительного и нормального поля соответственно. В натуральной системе широта и долгота определены направлением действительной силы тяжести  g, в нормальной системе нормальная широта В и долгота L направлением   нормальной силы тяжести .

                                              Z                                                    Zр            Zg 

                                                                                                                   Z 

                                                                                        Р

                                                                                               

                                               О

                                                                        В                                                                  У

                                                   L                                                   Ро

                    О1                                                                    L

                           

 Х

                                                            g

Рис.2.3. К связи натуральной и нормальной систем координат

Напомним определение  нормальных и натуральных координат. Плоскость, проходящая через отвесную линию нормального поля и ось OZ вращения Земли, является плоскостью геодезического меридиана, а угол между этой плоскостью и плоскостью ХОZ начального меридиана является геодезической долготой L. Нормальная   широта В - это угол в плоскости геодезического меридиана между направлением нормальной силы тяжести и плоскостью экватора. Плоскость РРоО1, проходящая через действительную отвесную линию и линию РРо, параллельную оси вращения Земли, является плоскостью астрономического меридиана. Так как в общем случае отвесная линия реального поля и ось вращения Земли являются скрещивающимися прямыми и не лежат в одной плоскости, плоскость астрономического меридиана не проходит через ось вращения и центр О Земли. Угол  между плоскостью астрономического меридиана точки Р и начального меридиана называют астрономической долготой, а угол  в плоскости астрономического меридиана между отвесной линией и плоскостью экватора – астрономической широтой.  

Установим связь уклонений отвеса с широтами и долготами в обеих системах. Проведем вокруг точки Р вспомогательную сферу единичного радиуса. На рис.2.2 продолжим вверх до пересечения с вспомогательной сферой нормаль РРо и отвесные линии действительного и нормального поля. Нормаль пересечет сферу в точке Zр, отвесная линия реального поля в точке Zg астрономического зенита, нормальная отвесная линия в точке Z зенита в нормальном поле. На рис. 2.4. изображен образовавшийся сферический треугольник ZрZgZ в увеличенном  масштабе. Сторона ZрZ этого треугольника является дополнением нормальной широты до 90о, сторона ZрZg – дополнение астрономической широты до 90о, а сторона ZgZ - гравиметрическое уклонение отвеса . Угол ZZрZg равен разности L астрономической и геодезической долготы. Поведем через вершину Zg дугу, перпендикулярную  стороне ZZр треугольника. Она пересечет сторону ZZр в точке а. Дуга аZ является проекцией уклонений отвеса на плоскость меридиана, т.е. составляющей уклонения отвеса в меридиане. Дуга аZg 

                                                                     90о-

                                          Zp             L

                                                                          Zg

                                                                                    

                                                                 90о- В     а       

                                                                               

                                                                     Z

Рис.2.4. Составляющие гравиметрического уклонения отвеса

это проекция уклонения отвеса на плоскость первого вертикала – составляющая уклонения отвеса в плоскости первого вертикала. Из прямоугольного треугольника аZZg следует

                                                     = 2 ,                                                                      (2.8)

 полная величина уклонения отвеса.

Из прямоугольного треугольника аZZg по теореме синусов напишем

                                         .                                   (2.9)

Составляющие уклонения отвеса и разности натуральных и нормальных координат малы и не превышают нескольких секунд дуги. Поэтому в (2.9) можно разложить в левой части синусы в ряд и ограничиться только первыми членами этих разложений. Тогда

                                                    (L)cos                                                   (2.10)

Теперь для того же треугольника  аZZg по теореме косинусов напишем

                            cos(90°- cos(90°- B) cos .

Так как угол мал, можно считать cos =1 и  написать

                                                   B  .                                                       (2.11)

                                                                                                                             

 Таким образом, разности широт и долгот в нормальном и реальном поле являются составляющими гравиметрического уклонения отвеса. Но составляющие гравиметрического уклонения отвеса являются производными аномального потенциала. Поэтому для перехода от астрономических координат к нормальным нужно определить аномальный потенциал.

Таким образом, определение и гравитационного поля и координат точек поверхности Земли сводится к нахождению аномального потенциала.

ГЛАВА 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНОМАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА

К настоящему времени сформировались два подхода к определению аномального потенциала, основанные на использовании разного вида измерений. В первом из них, более старом, который уже стал классическим, используют наземные измерения. Второй основан на использовании результатов спутниковых измерений. Поясним смысл обоих подходов.

В классическом методе определения физической поверхности и внешнего гравитационного поля Земли исходными являются натуральные координаты Wо –W, сила тяжести  g и угловая скорость вращения Земли. По этим данным находят поверхность S Земли и потенциал W силы тяжести. Во втором случае измеренными являются геоцентрические прямоугольные координаты X,Y,Z, сила тяжести g и угловая скорость вращения. Т.е. в первом случае известны распределение потенциала на поверхности Земли и сила тяжести, а во втором – поверхность Земли и сила тяжести. В обоих случаях решение строят с использованием нормального поля, т.е. определяют действительный потенциал как сумму нормального и аномального. Для однозначного определения потенциала и поверхности  Земли нужно задать постоянные, определяющие отсчетное нормальное поле.

§ 3.1. ЗАДАЧА СТОКСА И ЗАДАЧА МОЛОДЕНСКОГО

Задача определения поверхности и поля  Земли по наземным измерениям рассмотрена  Дж. Стоксом (1819-1903) и М.С.Молоденским(1909-1991).

Стокс исследовал «связь между значениями силы тяжести и неправильностями формы той уровенной поверхности, которая представляет собою уровень моря» и доказал, что если известны изменения силы тяжести на уровенной поверхности, то форма уровенной поверхности определена. Это утверждение основано на установленной еще Клеро зависимости между формой уровенной поверхности и законом изменения силы тяжести на этой поверхности. Знаменитая в геодезии теорема Клеро гласит:  закон изменения силы тяжести и форма уровенной поверхности связаны между собой и «вопрос о фигуре Земли есть вопрос о ее силе тяжести». Исследования Стокса относится ко времени, когда в геодезии только что утвердилось понятие геоида и поэтому Стокс поставил задачу  определения поверхности Земли как задачу определения формы одной единственной уровенной поверхности -  геоида. Полученное Стоксом решение этой задачи было первым теоретическим определением поверхности геоида.

Решение Стокса предполагает, что геоид (уровень моря) является внешней уровенной поверхностью, а сила тяжести измерена на геоиде. Однако в действительности эти условия не выполняются, так как над уровнем моря возвышаются материки и острова и измерения силы тяжести внутри Земли невозможны. Многолетние усилия многих исследователей по преодолению этих препятствий к практическому применению решения Стокса оказались бесплодными.

Молоденский разрубил гордиев узел проблем, связанных с определением геоида, и доказал невозможность его определения по измерениям на поверхности Земли и исключил его из геодезии. Согласно Молоденскому, основной задачей геодезии является изучение физической поверхности и внешнего гравитационного поля Земли.

Задача Молоденского формулируется следующим образом: на неизвестной физической поверхности S Земли измерены приращения Wo-W потенциала силы тяжести и сила тяжести g как функции астрономических координат  . Известна угловая скорость вращения Земли. Определить физическую поверхность и внешнее гравитационное поле. Задача будет иметь единственное решение, если задана постоянная Wo .

Задача Молоденского значительно шире задачи Стокса. По Молоденскому определяется форма не одной единственной уровенной поверхности, как это было у Стокса, а внешнее гравитационное поле, т.е. форма всех уровенных поверхностей в их совокупности и физическая поверхность Земли, которая не является уровенной.

В свете теории Молоденского новый смысл приобрело решение Стокса. Теперь полученную Стоксом формулу рассматривают не как формулу, определяющую поверхность геоида, а как формулу,  определяющую аномалию высоты в любой точке поверхности Земли или внешнего пространства. Т.е. задачу Стокса теперь можно понимать следующим образом: на неизвестной внешней уровенной поверхности заданы значения силы тяжести.  Известна угловая скорость вращения. Определить форму уровенной поверхности и гравитационное поле вне этой поверхности

                                                                                                            g        g         g  

                                                   g       g        g       g      g                               S

                    g      g     Р                                                      g     g     g  W=Wр 

                                              g       g       g        g    g

                          g  

             g         g

 

                                                  gо         gо        gо     gо        W=Wo 

                gо          gо            gо                                                                             gо       gо          gо 

Рис. 3.1. Современная интерпретация задачи и решения Стокса

Поясним смысл решения Стокса с помощью рис. 3.1. В классической постановке Стокса его задача заключалась в определении поверхности W=Wo геоида по измерениям силы тяжести gо во всех его точках. Причем над геоидом не должно быть притягивающих масс, но его поверхность и сила тяжести gо  должны быть такими же, как у действительной Земли. В настоящее время формулу Стокса понимают как формулу, дающую  аномалию высоты в точке Р физической поверхности Земли по значениям  g силы тяжести во всех точках уровенной поверхности W=Wр, проходящей через точку Р. В равнинном районе физическая поверхность  S Земли близка к уровенной поверхности и значения g силы тяжести на уровенной поверхности близки к значениям g силы тяжести, измеряемой на поверхности Земли и их отличие можно не учитывать. Поэтому формула Стокса, в которой использованы измеренные значения g, в равнинных районах, а также на поверхности океана дает величину аномалии высоты с достаточной для практики точностью. Но в условиях холмистой и горной местности уже нельзя отождествлять поверхность Земли с уровенной поверхностью и значения величин g  и g, и  в этом случае решение Стокса непригодно. Его можно использовать в этом случае только как начальное, или, как говорят, нулевое приближение к решению Молоденского.

Рассмотрим теперь принципиальные основы задачи Молоденского и ее решения.

§ 3.2.  НОРМАЛЬНАЯ ВЫСОТА И ПОВЕРХНОСТЬ ЗЕМЛИ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

 

Как уже было сказано в предыдущем параграфе, задача Молоденского заключается в определении физической  поверхности и внешнего гравитационного поля по измерениям потенциала и силы тяжести, выполненным на этой поверхности. Определить одновременно и поверхность и поле  невозможно, поэтому задача решается приближениями.

В начальном приближении поле Земли считается известным – это нормальное гравитационное поле. Посмотрим, как в этом случае можно найти поверхность Земли.

По условиям задачи в каждой точке поверхности Земли измерено геопотенциальное число Wo-W , т.е. разность  потенциалов на уровне моря и в точке Р поверхности Земли.

Рассмотрим рис.3.2: Р – точка поверхности Земли, через которую проходит нормальная уровенная поверхность U=Uр,  Uр- нормальный потенциал в точке Р. Введем нормальное геопотенциальное число Uo Uр, равное разности потенциала Uo на уровенном эллипсоиде и потенциала в точке Р. Если бы гравитационное поле Земли совпадало с нормальным,  и потенциал Wо  на уровне моря был бы равен потенциалу Uo на уровенном эллипсоиде, нормальное и действительное геопотенциальное число точки Р тоже совпали бы. В действительности этого не происходит, и нормальное геопотенциальное число Uо - Uр точки Р в общем случае, конечно, не совпадает с ее геопотенциальным числом Wo-Wр. 

Однако на силовой линии Р1Р нормального поля, проходящей через точку Р, всегда найдется такая точка Р, в которой нормальное геопотенциальное число тождественно равно действительному

                                                Uо –U p    Wо- Wp  .                                                    (3.1)

Причем, поскольку нормальный потенциал всегда выбирают близким к действительному, точка Р будет расположена недалеко от точки Р.  

Точка Р  делит дугу Р1Р силовой линии на две части: отрезок Р1Р от эллипсоида до точки Р и отрезок РР. Первый из них определяет в нормальном поле высоту точки, в которой выполнено условие (3.1). Поэтому  отрезок нормальной силовой линии Р1Р от эллипсоида то точки Р называют нормальной высотой точки Р и обозначают Н ; индекс указывает на принадлежность к нормальному полю. Второй отрезок линии Р1Р  от точки Р до точки Р обозначают  и называют аномалией высоты. 

Подчеркнем отличие высоты в нормальном поле, рассмотренной в  § 1.6,  и нормальной высоты. Высота в нормальном поле – это расстояние, измеряемое вдоль силовой линии нормального поля от эллипсоида до любой точки Р (рис.1.3 и 1.4); она определяется по формуле (1.70) через разность нормальных потенциалов на эллипсоиде и в точке Р.   Нормальная высота – расстояние вдоль нормальной силовой линии от той же точки Р1 эллипсоида, но  не до точки Р, а до точки Р, в которой выполняется тождество (3.1). Таким образом, нормальная высота определяется в нормальном поле по разности действительных потенциалов.

Согласно рис.3.2, сумма отрезков Р1Р и РР нормальной силовой линии   дает в нормальном поле высоту точки Р над эллипсоидом

                                               НН = Н +.                                             (3.2)

Это равенство поясняет связь нормальной высоты точки Р и его высоты в нормальном поле.

Высота НН в нормальном поле отличается от геодезической высоты Н  только из-за кривизны нормальной силовой линии; как показано в § 1.6, практически это отличие не ощутимо. Поэтому на рис.3.1 отрезок Р1Р можно рассматривать как отрезок нормали к эллипсоиду и считать его равным геодезической высоте,  поэтому,  сумма отрезков Р1Р и РР  равна геодезической высоте Н

                                             Н = Н +.                                                 (3.3)

Если бы поле Земли было нормальным, аномалия высоты была бы равна нулю и нормальная высота Н была бы равна геодезической высоте Н.

                                                                    Р  U=Up==Wp-Tp

                                                                     

                                        g                                U=Up=Wp-(Wо -Uo)

                                                                      Р

                                                             Н

                             Wo

                                   О

                                                                 Р1           эллипсоид

                                                                                                 U=Uо

Рис 3.2. Нормальная высота и аномалия высоты

Нормальная высота и аномалия высоты были введены М.С.Молоденским в 1945 г.

Определим аномалию высоты. Ее получают как расстояние между уровенными поверхностями нормального поля, проходящими через точки Р и Р

                                               ,                                          (3.4)

- среднее значение нормальной силы тяжести на отрезке . Определим значения Uр и Up..  Нормальный потенциал в любой точке равен разности действительного и аномального потенциалов, поэтому

 

                                                     Up=Wp-Tp ,                                                                       (3.5)

                                  

а в точке Р на основании тождества (3.1)

                                U p   = Wp-( Wо- Uо).                                                        (3.6)

 

Таким образом, разность нормальных потенциалов в точках Р и Р  

                                   U p - Up = Тр(Wо- Uо)                                            (3.7)

зависит как от аномального потенциала в точке Р, так и от разности действительного потенциала на уровне моря и нормального потенциала на уровенном эллипсоиде. Подставив (3.7) в (3.4), находим для аномалии высоты

                                               .                                  (3.8)

Эта формула устанавливает зависимость между аномалией  высоты и аномальным потенциалом в одной и той же точке земной поверхности. Ее называют обобщенной формулой Брунса.

Сравним аномалию высоты (3.8) и чистую аномалию высоты (2.2). В формуле для аномалии высоты по сравнению с (2.2) появился дополнительный член, содержащий разность (Wо- Uо) потенциала на уровне моря и на уровенном эллипсоиде. Следовательно, чистая аномалия высоты с зависит только от аномального потенциала, а аномалия  кроме того от выбора начала Wо счета геопотенциального числа и потенциала Uо на уровенном эллипсоиде.

Рассмотрим формулы (3.5) и (3.6). Согласно ним в точке Р физической поверхности Земли  нормальный потенциал отличается от действительного в этой же точке  на величину аномального потенциала Тр,  а в точке Р нормальный потенциал отличается от действительного потенциала в точке Р физической поверхности Земли на величину разности Wo- Uо потенциалов на уровне моря и отсчетном эллипсоиде. Согласно тождеству (3.1) разность действительного потенциала WР и нормального потенциала UР постоянна во всех точках и равна разности Wо- Uо потенциалов на уровне моря и эллипсоиде.

Если потенциал на уровенном эллипсоиде равен потенциалу на уровне моря, Wо= Uо, то разность нормальных потенциалов в точках Р и Р равна аномальному потенциалу Тр, и аномалия высоты становится чистой, а нормальная высота будет высотой над эллипсоидом такой точки, в которой действительный потенциал равен нормальному.

Получим формулу для нормальной высоты Н. Подставим в (1.70) разность (3.1) нормальных потенциалов  точек Р1 и Р 

                                      ,                                        (3.9)

т – среднее интегральное значение нормальной силы тяжести на отрезке Р1Р. Если использовать полученное в предыдущей части курса выражение геопотенциального числа

                                         ,                                       (3.10)

для нормальной высоты получаем

                                      .                                       (3.11)

В (3.10)-(3.11) интегрирование выполняется вдоль нивелирного хода ОР от исходного футштока О на уровне моря до точки Р поверхности Земли, g –сила тяжести вдоль нивелирной линии, а значение т нормальной силы тяжести относится к середине отрезка Р1Р (рис.3.1).

Нормальная высота (3.11) определяется по результатам измерений, и ее считают измеренной величиной. После ее введения в натуральной системе координат вместо разности потенциалов (геопотенциального числа) можно использовать нормальную высоту. Таким образом, в начальном приближении, используя в качестве потенциала Земли нормальный потенциал, определяют измеряемые координаты ,,Н точек поверхности Земли. Причем в теории Молоденского предполагается, что измерения выполнены в каждой точке поверхности Земли и ошибки измерений отсутствуют.

Если в каждой точке уровенного эллипсоида отложить по нормали к его поверхности нормальную высоту, получится поверхность (геометрическое место точек Р), которую называют поверхностью Земли первого приближения (рис.3.3). Для этой поверхности используют также названия теллуроид и гипсометрическая поверхность.

                                                              Р

                                                                    Н

     Гипсометрическая

     поверхность

                Рис.3.3. Гипсометрическая поверхность

Поверхность Земли первого приближения в общем повторяет рельеф действительной Земли и отстоит от нее на величину аномалии высоты.

§ 3.3. СВЯЗЬ АНОМАЛИИ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ С АНОМАЛЬНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

                 (КРАЕВОЕ УСЛОВИЕ ДЛЯ АНОМАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА)

После определения поверхности  Земли первого приближения сформулируем задачу определения поверхности и внешнего гравитационного поля. Определение поверхности Земли практически означает определение всех точек этой поверхности в единой системе координат. Итак, во всех точках поверхности S реальной Земли измерены астрономические координаты ,  нормальная высота Н и сила тяжести g. Известна угловая скорость вращения Земли. Известен также нормальный потенциал  U. Определить координаты точек поверхности и внешний потенциал.

Для определения потенциала W реальной Земли нужно определить аномальный потенциал Т. В §2.3 установлено, что для нахождения координат точек относительно эллипсоида нужно знать составляющие ,  гравиметрического уклонения отвеса (формулы 2.10-2.11), которые в свою очередь согласно (2.5) определяются через аномальный потенциал. Для перехода от нормальной высоты к геодезической нужно найти аномалию высоты (формула 3.3), которая также связана с аномальным потенциалом (формула 3.8).

Таким образом, задача определения и физической поверхности и гравитационного поля Земли сводится к определению аномального потенциала.

Аномальный потенциал Т находят из решения так называемой краевой задачи теории потенциала, смысл которой можно пояснить следующим образом. Если ось вращения и угловая скорость вращения  действительной и нормальной Земли совпадают, центробежный потенциал, центробежный потенциал будет исключен из разности W-U, и аномальный потенциал вне Земли будет относиться к классу гармонических функций. Эти функции обладают замечательным свойством: они не имеют экстремальных значений внутри области своего существования. Поэтому их можно найти по тем значениям, которые они принимают на границе области своего существования. Значит, аномальный потенциал вне Земли можно найти как гармоническую функцию, используя те условия, которым он подчиняется на границе области его определения, т.е. на поверхности Земли. Такими краевыми условиями могут быть любые формулы, связывающие аномальный потенциал с измеряемыми на Земле величинами. Так, например, в качестве краевых условий можно использовать формулы (2.5) связи аномального потенциала с уклонениями отвеса, формулы (2.2) и (3.8), связывающие аномальный потенциал с аномалиями высоты или формулу (2.7) чистой аномалии силы тяжести. Однако в классическом методе определения поверхности и поля Земли ни одна из величин, входящих в эти формулы, неизвестна; уклонения отвеса и аномалия высоты непосредственно не измеряют, а для вычисления чистой аномалии (2.7) силы тяжести нужно знать геодезическую высоту.

Установим связь аномального потенциала с измеренной на Земле силой тяжести g. Поскольку ось z в формуле (2.7) совпадает с направлением нормальной силы тяжести и противоположна направлению счета высоты, напишем ее в виде

                                          ,                                     (3.12)

gр  и  р – значения действительной и нормальной силы тяжести в точке Р поверхности Земли соответственно (рис.3.2.). Для вычисления нормальной силы тяжести в точке Р над уровенным эллипсоидом служат формулы (1.57) или (1.58), в которые входит высота этой точки. Используем (1.58) и напишем

                                          р    =- о+.                                           (3.13)

Поскольку поверхность Земли еще не определена и высот Н неизвестна, силу тяжести р вычислить невозможно. Заменим в (3.13) геодезическую высоту суммой нормальной высоты  и аномалии высоты согласно (3.3)

                                                 р    =- о+.                         (3.14)

Нормальная высота над эллипсоидом точки Р известна и поэтому можно вычислить нормальную силу тяжести в точке Р теллуроида:

                                             р    =- о+ ,                                   

а нормальную силу тяжести силу в точке Р поверхности Земли представить следующим образом  

                                         р=-р    +.                                              (3.15)

Но аномалия высоты согласно (3.8) связана с аномальным потенциалом, поэтому

                                   р =-р    +.                               (3.16)

Здесь ни Т, ни Wo -Uo  неизвестны. Подставив в (3.12) последнее равенство, получаем

                                        

                           .              (3.17)

В (3.17) в левую часть перенесен член, содержащий неизвестный потенциал Т. Все величины, входящие в (3.17), кроме нормальной силы тяжести р, относятся к точке Р физической поверхности Земли (рис.3.2); нормальная сила тяжести р относится к точке Р поверхности Земли первого приближения.

Разность

                                                  g= gр- р                                                                        (3.18)

      

действительной силы тяжести gр  в точке Р и нормальной силы тяжести  р в точке Рназывают смешанной аномалией силы тяжести. Используя зависимость  (3.15), для смешанной аномалии получаем

                                                    g= gр- р +.                                    (3.19)

Эта формула связывает смешанные g и чистые (gр- р) аномалии силы тяжести. Они отличаются на величину изменения нормальной силы тяжести при перемещении от  точки Р к точке Р.

Уравнение (3.17) связывает аномальный потенциал на поверхности Земли с определяемой по измерениям смешанной аномалией силы тяжести. Оно является краевым условием для определения аномального потенциала в классической задаче Молоденского.

§ 3.4. КРАЕВОЕ УСЛОВИЕ В НУЛЕВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Полученное в предыдущем параграфе краевое условие (3.17) относится к неизвестной физической поверхности Земли, а производная аномального потенциала по высоте Н является производной по наклонному к поверхности Земли направлению, так как высоты отсчитывают по нормали к поверхности эллипсоида, а не по нормали к  физической поверхности Земли. Это затрудняет решение задачи с условием (3.17). Однако, поскольку аномальный потенциал по определению является малой величиной, можно при решении задачи сделать ряд упрощающих предположений.

Во-первых будем решать задачу с точностью порядка сжатия Земли.  В сферическом приближении  согласно (1.59) вертикальный градиент нормальной силы тяжести имеет вид

                                           ,

а направление радиуса-вектора  совпадает с направлением высоты Н, поэтому вместо (3.17) можно написать

                                    .                                     (3.20)

Отвлечемся теперь от физического смысла условия (3.20) и будем рассматривать задачу определения потенциала Т как чисто математическую задачу нахождения гармонической функции, удовлетворяющей условию (3.20) на неизвестной поверхности S. Возьмем вместо этой неизвестной поверхности близкую к ней известную поверхность . Такая замена не может заметно повлиять на искомое решение вследствие близости поверхностей S и . После этой замены краевое условие запишем так

                                          .                        (3.21)

Так как сжатие Земли не учитывается, краевая поверхность в (3.21) -- это поверхность, получившаяся в результате откладывания от сферы радиуса Ro нормальных высот Н(рис.3.4).

Решение задачи с условием (3.21) осложнено тем обстоятельством, что в него входит производная искомой функции Т по направлению радиуса-вектора , а не по  нормали п к краевой поверхности  (рис.3.4). Эти направления могут существенно различаться в тех частях поверхности    ,    где нормальные высоты быстро изменяются и краевая поверхность

                                                                                            

                                                                                     п

                                                            Н              

                                                                                            

                                                                                            

     Рис.3.4. Краевая поверхность в сферическом приближении

имеет значительные наклоны относительно радиуса-вектора. В нулевом приближении краевую поверхность сглаживают, полагая нормальную высоту постоянной и равной высоте Нр в той точке, где определяется функция Т 

                                                                 Н  = Нр .                                    

Тогда радиусы векторы всех точек краевой поверхности будут одинаковы

                                                                     Ro+Hр,

а краевая поверхность станет сферой радиуса R = Ro+Hр (рис.3.5)

                                                            Р

                                                                Нp                 r               п

                                                                              go    

                                                                                

                         Рис.3.5. Краевая поверхность в нулевом приближении

Теперь для краевой поверхности направление радиуса-вектора и нормали к ней совпадают, а краевое условие принимает вид

                                                 ,                   (3.22)

или, если  обозначить правую часть через gо,

                                                  .                                         (3.23)

Это и есть краевое условие в нулевом приближении. Оно отличается от точного краевого условия тем, что в нем не учтено сжатие Земли и наклоны физической поверхности.                               

§ 3.5. ПОНЯТИЕ ОБ  ОПРЕДЕЛЕНИИ АНОМАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА

                                          В НУЛЕВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Решением краевой задачи для сферы с условием (3.23) служит формула

                                     .                                  (3.24)

Если ввести в нее выражение go,

                                                     go=g-,                                  (3.25)

она примет вид

                                                Т=2(Wo-Uo)+ .                       (3.26)

Как видим, для получения потенциала Т нужно помимо аномалий силы тяжести g нужно знать постоянную разность Wo-Uo потенциалов на уровне моря и отсчетном эллипсоиде. Если эту разность не учитывать, формулы (3.24) и (3.26) получают вид

 

                                             .                                 (3.27)

Выражения (3.24) и (3.27) называют формулой Стокса. Формула (3.27) получена Стоксом в 1849г., а в форме (3.24) формула Стокса предложена В.В.Броваром  (1918-1999).

Как уже отмечалось в § 3.1, формула Стокса  приближенно определяет аномальный потенциал в точках физической поверхности Земли по смешанным аномалиям силы тяжести g. Формулы (3.24) и (3.27) были бы точными, если бы гипсометрическая поверхность совпала с уровенной поверхностью нормального поля, а физическая поверхность с уровенной поверхностью  W=Wр (рис.3.1),  сжатие обеих поверхностей отсутствовало и аномалии g были бы известны во всех точках  поверхности W=Wр. 

Для вычисления потенциала Т аномалии g  должны быть известны во всех точках сферы , по которой ведется интегрирование, т.е. во всех точках поверхности Земли. В формулах (3.24) и (3.27) стоящая под знаком интеграла функция S( углового расстояния между фиксированной точкой Р, в которой вычисляют потенциал Т и текущей точкой, в которой должна быть известна аномалия силы тяжести g  (см.рис.3.5), называется функцией Стокса. Функция Стокса имеет вид

          (3.28)

На практике с помощью в формулы (3.27) часто оценивают влияние только аномалий g силы тяжести в ближайших окрестностях вычислительной точки Р. В этом случае сферу интегрирования заменяют плоскостью, а угловое расстояние - линейным расстоянием r(рис.3.5). Краевое условие (3.22)-(3.23) для плоскости, когда радиус отсчетной сферы неограниченно возрастает, принимает вид

                                              ,   

или, если написать смешанную аномалию силы тяжести в развернутом виде (3.18),

                                                   .                                     (3.29)

В двух последних равенствах вместо переменного радиуса вектора использована  переменная z – высота над отсчетной плоскостью z=0, к которой относится краевое условие (3.29).

Напишем решение краевой задачи для плоскости с условием (3.29). Свяжем линейное и угловое расстояния с помощью рис. 3.6, согласно которому

                                                   r/2

                                                      /2     R 

      Рис.3.6. Связь углового и линейного расстояний

                                          ,                  .                       (3.30)

Для малых значений    и r, при которых Землю можно считать плоской, функцию Стокса можно написать в виде

                                             .                                        (3.31)

Подставив в (3.27) это выражение функции Стокса, получим формулу Стокса для плоской отсчетной поверхности

                                                         .                               (3.32)  

В этой формуле -плоскость z= 0. Выразим элемент плоскости в полярных координатах r, А; А – азимут направления из фиксированной вычислительной точки в текущую (рис.3.7).

                                      N

                                          север

                                                        d

                                                     А    dА            dr

                                                      r

                           Рис.3.7. Полярные координаты на плоскости и

                                          элемент поверхности

Согласно рис 3.7

                                                                    drdrdA,                                             (3.33)

и формула Стокса для плоской Земли принимает вид

                                                ,                                  (3.34)

rк- радиус области, в  которой выполняется интегрирование.

§ 3.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНОМАЛИИ ВЫСОТЫ И СОСТАВЛЯЮЩИХ УКЛОНЕНИЯ ОТВЕСА

           ДЛЯ   ПЛОСКОЙ ОТСЧЕТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

После нахождения аномального потенциала аномалию высоты и составляющие уклонения отвеса получают по формулам (3.8) и (2.5). Подставив в (3.8) потенциал (3.26), найдем

                                                                      (3.35)

Для плоской Земли, используя потенциал в форме (3.34), получим

                                                 (3.36)

Обратим внимание на формулы (3.29), (3.32) и (3.36). В краевое условие (3.29) разность Wo-Uo не входит, поэтому ее нет и в решении (3.32). Однако аномалия высоты, согласно (3.8), содержит разность потенциалов на уровне моря и уровенном эллипсоиде. Поэтому разность Wo-Uo появилась в выражении (3.36) для аномалии высоты. Если же положить потенциал на уровне моря равным потенциалу на отсчетном эллипсоиде, т.е. считать Wo-Uo=0, то для плоской Земли получим

                                         .                              (3.37)

Формулы (3.35)-(3.37) также называют формулами Стокса, поскольку в них входит тот же интеграл, что и в формулы для аномального потенциала.

Формулы для составляющих уклонений отвеса получим только для плоской отсчетной поверхности. Согласно (2.5) для их нахождения нужно дифференцировать выражение (3.33) для потенциала Т по направлениям х и у, причем ось х направлена вдоль меридиана на север, А ось у на восток. Но в формулу (3.32) переменные х и у в явном виде не входят. Напишем поэтому согласно рис.3.8. зависимости между полярными r,А и прямоугольными х и у координатами

r2=х2+у2,        х= rсоsА,       у=  rsinА,    х=хiр,    у=уiр.             (3.38)

В формулах (2.5) дифференцирование выполняется по координатам фиксированной точки Р, поэтому

,                 .

               х

                                   у            Рi(хi,уi)

                        х

                               А      r

                              Р(хрр)

                                                              у

Рис.3.8. Связь плоских прямоугольных и полярных координат на плоскости z=0; ось z

             перпендикулярна плоскости чертежа

Но согласно (3.38) , поэтому для составляющих уклонения отвеса находим

    .       (3.39)

Эти формулы называются формулами Венинг-Мейнеса(1887-1966).

Формулы (3.39) имеют особенность: расстояние r обращается в нуль если текущая точка Рi, к которой относится аномалия силы тяжести g, совпадает с фиксированной точкой Р, в которой вычисляют уклонения отвеса. Это означает, что подинтегральное выражение неограниченно возрастает. Эту особенность формул (3.39)  обязательно учитывают при разработке методики вычисления уклонения отвеса.

§ 3.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНОМАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА

           С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СПУТНИКОВЫХ НАБЛЮДЕНИЙ 

Рассмотрим теперь принципы определения внешнего гравитационного поля Земли с использованием спутниковых наблюдений. Исходными измеренными величинами в этом случае являются прямоугольные пространственные координаты Х,У,Z в общеземной (геоцентрической) системе и сила тяжести g на поверхности Земли. Иными словами, известны поверхность S Земли и сила тяжести; подлежит определению потенциал W на поверхности Земли и во внешнем пространстве.

Решение этой задачи  также ищут с использованием нормального поля. После введения отсчетного уровенного эллипсоида по координатам Х,У,Z находят геодезические координаты В, L, Н относительно выбранного эллипсоида. Их можно считать измеренными известными величинами. Поэтому в любой точке Р поверхности Земли можно вычислить нормальный потенциал Uр,  нормальную силу тяжести p   и чистую аномалию силы тяжести gp-p. А для получения действительного потенциала в точке поверхности Земли нужно найти аномальный потенциал Тр  и вычислить сумму (1.1)

                                                           Wр = Uр + Тр.                              (3.40)

Таким образом, и в этом случае задача сводится к определению аномального потенциала. Причем краевым условием теперь будет равенство (3.12), поскольку геодезическая высота и широта точки Р известны и значение p можно вычислить.

Задача определения аномального потенциала в этом случае также решается приближениями. В нулевом приближении опять считают уровенную поверхность нормального поля сферической, а физическую поверхность Земли – уровенной. Тогда в нулевом приближении краевое условие (3.12) примет вид

                                                    ,                                 (3.41)

а решением краевой задачи для сферы радиуса R с этим краевым условием является интегральная формула

                                               ;                                (3.42)

U() называют иногда функцией Неймана(1832-1925) (не путать  функцию U() с нормальным потенциалом U!). В явном виде функция U() выглядит так

                                              U()=.                        (3.43)

Согласно (2.2), зная аномальный потенциал, можно найти чистую аномалию высоты с 

 

                                              .                        (3.44)

Как выяснено в §2.1, чистая аномалия высоты определяет расстояние между уровенными поверхностями нормального поля, разность потенциалов для которых равна аномальному потенциалу в точке Р поверхности Земли.

Напишем формулы для аномального потенциала и аномалии высоты для плоской отсчетной поверхности. Краевое условие (3.41) в этом случае примет вид

                                                     .                                   (3.45)

Полагая снова 0, для функции Неймана получаем

                                                     limU()=cosec2                                     

                                                     0

и, переходя к линейному расстоянию r, находим

                                                                                                           (3.46)

и для аномального потенциала получаем

                                                                                 (3.47)

Для плоской отсчетной поверхности функции S() Стокса и U() Неймана совпадают, поэтому формально совпадают и выражения (3.34) и (3.47) для аномального потенциала. Принципиальное отличие этих формул в том, что они являются решениями задач с разными краевыми условиями: формула (3.34) решает задачу с условием (3.29), в правой части которого стоит смешанная аномалия силы тяжести, а формула (3.47) задачу с условием (3.45), содержащем чистые аномалии силы тяжести. Более логичным являются краевое условие (3.45) и решение (3.47), потому что производная аномального потенциала по нормали к отсчетной уровенной поверхности является чистой аномалией силы тяжести, см.§2.2 и формулу (2.7). Результат (3.34) объясняется тем, что нормальные уровенные поверхности будут параллельными плоскостями только для однородного поля, в котором сила тяжести постоянна. В этом случае нормальная сила тяжести в точках Р и Р будет одна и та же и чистая аномалия не будет отличаться от смешенной. Но свободный член в краевом условии (3.29) для плоскости оставлен точно таким же, как и для сферической Земли. Это и привело к внутренней противоречивости решения (3.34) и его отличию от решения (3.47).

Получим теперь чистую аномалию высоты, подставив в (2.2) выражение (3.47) для аномального потенциала

 

                                           ,                                 (3.48)

индекс «с» в обозначении с подчеркивает, что аномалия высоты с получена с использованием спутниковых данных.

Сравним аномалию высоты (3.36), найденную по смешанным аномалиям силы тяжести, и чистую аномалию высоты с. Их отличие вызвано двумя  причинами. Во-первых они имеют разный физический смысл: аномалия высоты  определена как отрезок РР (рис.3.9) между уровенными поверхностями нормального поля, разность потенциалов между которыми равна Тр-(Wo-Uo), а чистая аномалия с – это расстояние между нормальными уровенными поверхностями, разность потенциалов между которыми равна аномальному потенциалу Тр. Это отличие выражает первый член  формулы (3.36). Во-вторых, аномалия (3.36) вычислена по смешанным аномалиям силы тяжести, а аномалия (3.48) по чистым. Оценим приближенно влияние  этого эффекта. Имеем

         ,

т.е.                                         = .

Высоты точек Р и Р над эллипсоидом отличаются на величину аномалии высоты, поэтому разность нормальных значений силы тяжести в этих точках равна 0.3086 и для  находим

                                               .

Формулы для плоской Земли всегда используют для учета влияния аномалий силы тяжести только в ближайших окрестностях вычислительной точки и поэтому радиус rk круга, по которому выполняется интегрирование в (3.36) и (3.48), не превышает нескольких километров. Положим  поэтому аномалию высоты в пределах этого круга постоянной и равной ее среднему значению ср. Тогда

                                                  

При ср=10м,  rk=5км   =15мм. Это сопоставимо с современной точностью вычисления аномалии высоты и при точных вычислениях следует учитывать отличие аномалии высоты и чистой аномалии высоты.

§ 3.8. НОРМАЛЬНАЯ ВЫСОТА ПО НАЗЕМНЫМ И ПО СПУТНИКОВЫМ ИЗМЕРЕНИЯМ

Нормальные высоты, введенные в  1945г. М.С.Молоденским как вспомогательные  высоты, необходимые для приближенного определения физической поверхности Земли, стали в последующем одним из основных понятий геодезии и широко применяются в геодезической практике. Напомним, что согласно Молоденскому нормальной высотой является высота над эллипсоидом в нормальном поле такой точки, для которой разность нормального потенциала относительно эллипсоида равна геопотенциальному числу точки поверхности Земли. Нормальные высоты не зависят практически от выбора эллипсоида и определяются по измерениям, выполняемым на физической поверхности Земли. Однако они связаны с выбором начальной точки, от которой выполняется геометрическое нивелирование и  ведется счет геопотенциальных чисел.

При использовании спутниковых измерений уже нет необходимости связывать начало счета нормальных высот с потенциалом на уровне моря. В этом случае нормальные высоты полностью определены выбором эллипсоида и потенциалом реальной Земли. В новых условиях нормальной высотой является высота над эллипсоидом той точки, в которой нормальный потенциал равен действительному. Поэтому для нахождения нормальной высоты в этом случае следует найти действительный потенциал в точке поверхности Земли. Для этой цели служит формула (3.40), причем нормальный потенциал Up можно считать известным, потому что нормальное поле задано, а координаты точки Р известны по спутниковым наблюдениям.

На рис. 3.9 показаны нормальные высоты, определяемые как по наземным, так и и по спутниковым данным. Разность этих высот равна расстоянию между уровенными поверхностями нормального поля, разность нормальных потенциалов между которыми равна Wo-Uo. Эта разность равна разности между аномалией высоты и чистой аномалией высоты и, таким образом, для связи нормальных высот можно написать

                                                Н - Нс = .

При использовании спутниковых данных нормальные высоты полностью освобождены от использования геоида.

Ниже приведены основные формулы для нормальных высот в обоих вариантах используемых исходных измерений:

Наземные измерения:                                                         спутниковые измерения:

геометрическое нивелирование                                       геодезические координаты

и сила тяжести                                                                    и сила тяжести

                                                                    

                                                                   

                                                                   Р            U=Up

                                                            с

                                                U=Wp         Р1

                                                                   Р                         U= Wp-(Wо- Uо)

                                                       Нс

  Уровенные поверхности                                                                    Н

  Нормального поля

                                                                             U = Uо

                                                                  Ро

Рис.3.9.     Нормальная высота по наземным и по спутниковым измерениям

Использование спутниковых измерений позволяет получать нормальные высоты, не выполняя геометрического нивелирования. Препятствием этому является недостаточная точность спутниковых определений геодезической высоты и, особенно, гравиметрический определений аномалии высоты.  В результате нормальная высота, найденная с использованием спутниковых данных, существенно уступает высоте, найденной из высокоточного нивелирования, которое является одним из наиболее точных видов геодезических работ.

Содержание

                                                                                                                                        Стр.

Глава 1. Нормальное гравитационное поле                                                                   2

         §1.1. Понятие о  нормальном поле и способах его выбора  . . . . .   . . . . . .. . .  .2

         §1.2. Внешний потенциал притяжения уровенного эллипсоида . . . . . . .  . . . ..4

         §1.3. Потенциал силы тяжести уровенного эллипсоида  . . . . . . . . . . . . . . . . . ..8

         §1.4. Сила тяжести на поверхности уровенного эллипсоида . . . . . . . . . . . . . .10

         §1.5. Нормальная сила тяжести во внешней точке. Кривизна силовой линии12

         § 1.6. Система координат в нормальном поле . . . . . .. . . . . .. . .. . . . . . . . . .. . . 15

Глава 2. Аномальное поле. Аномалия высоты, уклонение отвеса и

             аномалия силы тяжести . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . .  19

         §2.1.Аномальный потенциал и чистая аномалия высоты . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

         §2.2. Уклонение отвеса и чистая аномалия силы тяжести . . . . . . . . . . . .  . . . . 20

         §2.3. Связь системы координат в нормальном поле с натуральной . . . . . . . . . 22

         

Глава 3. Определение аномального потенциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

          §3.1. Задача Стокса и задача Молоденского . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . ..   25

          §3.2. Нормальная высота и поверхность Земли первого приближения . . . . . .26

          §3.3. Связь аномалии силы тяжести с аномальным потенциалом

                    (краевое условие для аномального потенциала)  . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 30  

          §3.4. Краевое условие в нулевом приближении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

          §3.5. Понятие об определении аномального потенциала

                   в нулевом приближении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

          §3.6. Определение аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса

                   для плоской отсчетной поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. 36

          §3.7. Определение аномального потенциала

                   с использованием спутниковых наблюдений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

          §3.8. Нормальная высота по наземным и по спутниковым измерениям  . . . . .41


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

64574. Реабилитация русской истории. Народы Поволжья в составе РФ. 16 – начало 20 веков 29 KB
  В Москву прибыли посланцы чувашей и горных марийцев которые просили великого князя Ивана IV о том чтобы государь пожаловал послал рать на Казань. Постепенно Расширение территории обитания чувашей. начинается переселение чувашей в Западную Сибирь.
64575. Фазы национального движения и национальный вопрос в программах и деятельности политических партий Закавказья на рубеже 19-20 веков 18.6 KB
  Существует три фазы национального движения. Первая фаза: энергия активистов национального движения была прежде всего направлена на тщательное исследование языковых, культурных, социальных и иногда исторических черт не доминирующей группы и на закрепление этих фактов в сознании соотечественников.
64576. Правоотношения. Понятия, структура и виды 28.5 KB
  Одна из ближайших целей органа издающего правовые нормы состоит в наделении участников общественных отношений правами и обязанностями установлении между ними определенных связей. Правовые отношения это особая юридическая связь между участниками социального общения...
64577. Стиль одежды 93.5 KB
  Стиль одежды является одним из основных элементов имиджа человека см. Основные стили 20 века Классический стиль Наиболее нейтральный стиль классический. Но это не значит что одеваться классически может любой – стиль диктует свои правила и им нужно следовать.
64578. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ЯЗЫК 33 KB
  Литературный язык ЛЯ это исторически сложившаяся высшая образцовая обработанная форма национального языка обладающая богатым лексическим фондом упорядоченной грамматической структурой и развитой системой стилей. Литературному языку присущи особые свойства...
64579. Советский союз в период правления Ю.В.Андропова и К.У.Черненко 112 KB
  Какие изменения произошли в советском союзе за период правления Ю.В.Андропова. Перемены в советском союзе в период правления К.У.Черненко. Рассмотреть итоги социализма...
64580. Инновационный процесс. Формы инновационного процесса 17.28 KB
  Натуральный инновационный процесс предполагает создание и использование новшества в рамках одной и той же организации. При товарном инновационном процессе новшество выступает как предмет купли-продажи как товар.
64581. Смешанные экономические системы: структура, виды, историческое место 110 KB
  Национально-государственные экономические системы. Под объектом экономической системы понимают все то на что направлена деятельность человека земля природные ресурсы факторы производства имущество деньги ценные бумаги информация и т.