95513

Оптимальное управление в электрических схемах

Курсовая

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Цель работы: систематизация, закрепление и расширение теоретических знаний, и получение практических навыков при расширении конкретных технических задач, развитие навыков самостоятельной работы с технической литературой в ходе расчета. Объект исследования: в курсовой работе предлагается разработать алгоритмы изменения режима...

Русский

2015-09-24

558.5 KB

0 чел.

Федеральное агентство по образованию ФГБОУ ВПО

«Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.»

Кафедра «Техническая кибернетика и информатика»

Пояснительная записка к курсовой работе

по дисциплине

“ Основы теории оптимального управления ”

на тему:

«Оптимальное управление в электрических схемах»

Выполнил: студент группы УИТ-31

        Алеев Н.Р.

Проверила:      Торгашова О. Ю.

Саратов  2012

Задание на курсовую работу

Задача 1

Оптимальное управление в RL-цепи

Для электрической схемы содержащей источник питания e(t), активные сопротивления r, R  и индуктивность L

необходимо :

а) определить оптимальный закон изменения напряжения источника питания e(t), приводящий к изменению тока через сопротивление R и индуктивность L в схеме от заданного начального значения  i(t0)=i0  до заданного конечного значения i(t1)=i1 , такой, чтобы суммарная энергия активных потерь (затрачиваемая на нагрев) при этом изменении была минимальной;

б) определить оптимальный закон изменения тока i(t) , соответствующий оптимальному закону изменения e(t);

в) вычислить энергию активных потерь в схеме при оптимальном режиме изменения напряжения и тока ( e(t), i(t) ) и сравнить ее с энергией активных потерь, затрачиваемой на нагрев при линейном изменении тока в схеме от начального до конечного значения;

г) построить графики оптимальных и линейных изменений ЭДС и токов.

Значения параметров элементов схемы в зависимости от варианта задания приведены в таблице 1.

                                                                            Таблица 1

Номер     варианта

r

[Ом]

R

[Ом]

L

[Г ]

i(t0)

[А]

i(t1)

[А]

11

5

55

0,015

0,11

0,8

 Полагать t0=0 , t1=10-3 c .

Реферат

Цель работы: систематизация, закрепление и расширение теоретических знаний, и получение практических навыков при расширении конкретных  технических задач, развитие навыков самостоятельной работы с технической литературой в ходе расчета.

        

        Объект исследования: в курсовой работе предлагается разработать алгоритмы изменения режима работы электрической схемы, содержащей активные и реактивные элементы, обеспечивающие минимизацию энергии активных потерь при переходе от одного режима работы схемы к другому. Необходимо определить вид закона изменения ЭДС источника питания (управляющего воздействия) и проанализировать работу схемы при действии этой ЭДС.


Введение

На протяжении долгих лет очень эффективно используются математические методы моделирования и изучения жизни. Самые различные специалисты вынуждены прибегать к математическим методам оптимального управления. В связи с этим возникает множество проблем и трудностей, которые приходится решать.

Курсовая работа имеет своей целью систематизацию, закрепление и расширение теоретических знаний и практических навыков путем решения конкретных технических задач, развитие навыков самостоятельной работы с литературой в ходе расчетов.

В процессе выполнения курсовой работы разрабатываются алгоритмы изменения режима работы электрической схемы, содержащей активные и реактивные элементы, которые обеспечивают минимизацию энергии активных потерь при переходе от одного режима работы схемы к другому. Также определяется вид закона изменения ЭДС источника питания (управляющего воздействия) и анализируется работа схемы при действии этой ЭДС.

  1.  Задача 1

Оптимальное управление в RL-цепи

Описание объекта управления

Математическая модель объекта получается на основе законов Кирхгофа:

и имеет вид дифференциального уравнения

 ,               (1)

где  x(t)=i(t) , u(t)=e(t) ,p, b – числа, равные p = – R/L, b = 1/L  

              

1.2. Конструирование функционала – критерия оптимальности.

Критерий оптимальности – квадратичный функционал

                       

где  - симметричная, неотрицательно-определенная матрица чисел, размерами ;  - симметричная, положительно-определенная матрица чисел размерами .

В данном случае вместо матриц используются числа, поэтому критерий оптимальности будет иметь другой вид:

,  (2)

Это выражение представляет собой суммарную энергию активных потерь в схеме за время  t1–t0.         

Запишем выражение для активной мощности потерь на сопротивлениях  r и R :

 или    ,

Таким образом,  q = R=55,  m = 1/r =1/5 =0,2,  n = 0.

1.3. Формулировка задачи как вариационной задачи на условный экстремум.

Для этого необходимо рассматривать в качестве уравнения связей уравнение системы (1), а в качестве функционала – функционал (2).

Таким образом, получаем следующую вариационную задачу:

Определить функции x(t) и u(t) доставляющие экстремум функционалу  

,         

при граничных условиях

      ,                       

и при дополнительном условии (уравнении связи)

накладываемом на функции x(t), u(t) , в классе которых ищется экстремум.

1.4. Синтез оптимального алгоритма управления.

1.4.1. Получение уравнений вариационной задачи.

Введем вспомогательную функцию (функцию Лагранжа)

                      

где  - пока неизвестная функция называемая неопределенным множителем Лагранжа.

Рассматриваемая задача называется задачей Лагранжа.

 

(t) – неопределенный множитель Лагранжа, Φ – функция Лагранжа.

Запишем уравнения Эйлера для функции  (они называются уравнениями Эйлера – Лагранжа)

                 

Решим совместно уравнения Эйлера – Лагранжа  и уравнение связи.  Это система трех уравнений для определения трех неизвестных x(t), u(t), (t).

В итоге получаем систему уравнений

         (3)

                      (4)

      (5)

 Здесь (3), (4) – уравнения Эйлера – Лагранжа. К этим уравнениям добавлено уравнение объекта  (5) (уравнение связи).

1.4.2. Отыскание решения уравнений вариационной задачи.

Уравнения (3) – (5) решаются в следующем порядке:

1)  Выразим u(t) из (4):

 

Затем подставим его в  (5).

При этом получается система уравнений

,          (6)

с коэффициентами

a11 = pnb/2m = - 3666.666 ,                

a12 = b2/2m =  11111.111,  

a21 = 2q – n2/2m =110,      

a22 = nb/2m – p =  3666.666.

Получим систему уравнений:

 

              

2) Запишем систему (6) в матричной форме

,        (7)       

где

        ,

        .

3) Запишем решение уравнения (7) в соответствии с формулой Коши в виде:

,                       (8)           

где

    – вектор начальных условий, а матричная экспонента  определяется по формуле Лагранжа – Сильвестра

  ,

где 1 , 2 – собственные числа матрицы А. Е - единичная матрица.

Найдем собственные числа матрицы А из условия. Получим:

,

,

Из системы следует, что для нахождения  и  необходимо знать начальные значения  и .

(начальное положение объекта) задано,  неизвестно.

Для определения неизвестного начального значения множителя Лагранжа (t0), входящего в (8) необходимо:

а) запишем (8) для момента времени  t1

или

  ,  

  ,                  (9)

где  e11 , е12 , е21 , е22  – элементы матрицы (числа):

  

        

б) определим (t0) из первого уравнения системы (9)

Получили, что  

Решаем уравнение (7):

 

4) Решив уравнение (7), запишем выражения для оптимальной траектории и оптимального управления:

- оптимальная траектория

- оптимальное управление

1.5.  Анализ процессов в системе.

  1.  Анализ процессов при оптимальном режиме

Анализ процессов при оптимальном режиме построим графики x(t) , u(t)  на  интервале  t[t0,t1]. Этот интервал разбивается на 10 частей и вычисляются значения x(t) и u(t) в этих точках.

t

x(t)

u(t)

0

0,1099

1,122

0,0001

0,088432

1,766424

0,0002

0,080093

2,673106

0,0003

0,083646

3,976659

0,0004

0,099617

5,870618

0,0005

0,130379

8,636176

0,0006

0,180497

12,68393

0,0007

0,257414

18,61484

0,0008

0,372548

27,30946

0,0009

0,542994

40,05866

0,001

0,794057

58,75529

  1.  
    Анализ процессов при линейном изменении тока i(t)

Полагая, что ток изменяется линейно от заданного начального состояния до заданного конечного состояния

xЛ(t) = kt + d        ( iЛ(t) = kt + d),

(величины k , d  найдем из условия прохождения iЛ(t) и uЛ(t) через заданные начальное и конечное значения)

xЛ(0) = d=0,11  ,      xЛ(0.001) = 0.001k + 0,11 = 0,8

                                                   k=690

                                        xЛ(t) = 690t + 0,11

запишем на основе (1)    

выражение для закона управления uЛ(t) , обеспечивающее такое линейное изменение

.

По полученным данным построим графики процессов xЛ(t), uЛ(t).

 

t

xл(t)

uл(t)

0

0,11

16,4

0,0001

0,179

20,195

0,0002

0,248

23,99

0,0003

0,317

27,785

0,0004

0,386

31,58

0,0005

0,455

35,375

0,0006

0,524

39,17

0,0007

0,593

42,965

0,0008

0,662

46,76

0,0009

0,731

50,555

0,001

0,8

54,35


1.6. Сравнительная оценка процессов в схеме при оптимальном и линейном режимах.

1.6.1. Вычислим энергию активных потерь при оптимальном режиме, подставив в (2)  x(t) и u(t).

1.6.2. Вычислим энергию активных потерь при линейном режиме путем подстановки в (2) xЛ(t)  и  uЛ(t).

1.6.3. Сравнивая полученные величины, делаем вывод, что суммарная энергия активных потерь (затрачиваемая на нагрев) при линейном режиме больше, что говорит о целесообразности работы схемы в оптимальном режиме.

                         

Задача 2

Для электрической схемы, содержащей источники ЭДС e(t) и источник тока J(t), активные сопротивления R1, R2, R3, индуктивность L и емкость С

необходимо:

а) определить оптимальные законы изменения напряжения источника питания e0(t) и источника тока J0(t), приводящих к изменению тока через индуктивность L в схеме от заданного начального значения iL0  до заданного конечного значения iL1, и изменению напряжения на обкладках конденсатора С в схеме от заданного начального значения uC0 до заданного конечного значения uC1 так, чтобы суммарная энергия активных потерь (затрачиваемая на нагрев) при этом изменении была минимальной;

б) определить оптимальные законы изменения тока i0L(t) и напряжения на обкладках конденсатора u0C(t), соответствующие оптимальным законам изменения e0(t), J0(t);

в) вычислить энергию активных потерь в схеме при оптимальном режиме изменения напряжений источников питания, тока и напряжения на обкладках конденсатора (e0(t), J0(t), i0L(t), u0C(t)) и сравнить ее с энергией активных потерь, затрачиваемой на нагрев при линейных изменениях тока iЛL(t) и напряжения на обкладках конденсатора uЛC(t) в схеме от начальных значений до конечных;

г) построить графики оптимальных и линейных изменений ЭДС, источника тока, тока и напряжения на обкладках конденсатора.

Значения параметров элементов схемы в зависимости от варианта задания приведены в табл. 2.

Таблица 2

зад.

R1,

Ом

R2,

Ом

R3,

Ом

L,

Гн

С,

мкФ

iL0,

А

iL1,

А

uC0,

В

uC1,

В

11

55

20

50

0,015

3,5

0,11

0,8

40

75

Полагать   t0=0 , t1=10-3 c .

Описание объекта управления

Математическая модель объекта получается на основе законов Кирхгофа и имеет вид линейных дифференциальных уравнений, векторно-матричный вид которых

   ,                       

где    матрицы чисел размерами  и  соответственно.

Начальное положение (состояние) объекта:.               

Конечное положение (состояние) объекта: .                 

Уравнения электрической схемы можно получить в виде:

,   (1).                                 (2)

Эти уравнения записаны в форме Коши.   

Введем обозначения:

,.

Тогда выражения (1), (2) можно записать в виде: 

     (3)

Уравнения для выходных переменных

,  .           (4)

Объединяя (3) и (4), получаем математическую модель электрической схемы:

  (5)

Где при  Ф,  Гн, [1/Ом],  Ом соответствующие матрицы получают следующие численные значения:

.

Начальное положение объекта:

Конечное положение объекта:

Конструирование функционала (критерия оптимальности).

Находится выражение для суммарной энергии активных потерь в схеме за время  t1–t0 , которое в общем виде можно представить в виде квадратичного функционала

  (6)

где  – симметричная неотрицательно-определенная матрица чисел размерами ;  – симметричная положительно-определенная матрица чисел размерами .

    

Таким образом,

, N=0

Формулировка задачи как вариационной задачи на условный экстремум.

Для этого необходимо рассматривать в качестве уравнения связей уравнение системы (1), а в качестве функционала – функционал (2).

Таким образом, получаем следующую вариационную задачу:

Определить функции x(t) и u(t) доставляющие экстремум функционалу  

,         

при граничных условиях

,

и при дополнительных условиях (уравнениях связи)

накладываемом на функции x(t), u(t) , в классе которых ищется экстремум.

Синтез алгоритма оптимального управления – решение вариационной задачи на условный экстремум.

Составляется функция Лагранжа:

.        

Записываются уравнения Эйлера-Лагранжа:

            (7)

Вычисляются составляющие соотношений (5.6):

;

                 

.

Тогда уравнения Эйлера-Лагранжа принимают вид:

                            (8)

К последним уравнениям добавляется уравнение связи (уравнение объекта) получается следующая система уравнений:

                          (9)

   (10)

Найдем U:

и подставим в первые два уравнения (10):

  (11)

Введем вектор . Тогда систему (10) с учетом (11) можно представить в виде:

  (12)

где Р – блочная матрица, имеющая вид:

(13)

Решение (12) в соответствии с формулой Коши:

  (14)

Вычислив , ее можно представить следующим образом:

  (15)

где  - функциональные матрицы размеров .

Тогда из выражений (14), (15):

  (16)

Для определения начального значения множителя Лагранжа запишем следующие соотношения:

  (17)

Из первого уравнения (17) можно определить начальное условие множителя Лагранжа:

  (18)

Теперь можно записать из выражений (16):

  (19)

Оптимальное управление определится выражением:

Таким образом найдены соотношения для оптимальной траектории и оптимального управления:

Анализ процессов в системе

Анализ процессов при оптимальном режиме

Анализ процессов при оптимальном режиме построим графики X(t) , U(t)  на  интервале  t[t0,t1]. Этот интервал разбивается на 1000 частей и вычисляются значения x(t) и u(t) в этих точках.

Рис. 1. График оптимального изменения напряжения uC(t)

Рис. 2. График оптимального изменения тока i2(t)

Рис. 3. График оптимального изменения  источника тока I(t)

Рис. 4. График оптимального изменения ЭДС e1(t)

Анализ процессов при линейном  режиме

Полагая, что ток и напряжения изменяются линейно от заданного начального состояния до заданного конечного состояния

xЛ(t) = kt + d        

(величины k , d  найдем из условия прохождения iЛ(t) и uЛ(t) через заданные начальное и конечное значения)

xЛ1(0.001) = 0.001k + 40 = 75,       k1=35000,          xЛ1(t) = 35000t + 40

xЛ2(0.001) = 0.001k + 0.11 = 0.8,     k2=690,          xЛ2(t) = 690t + 0.11

Запишем на основе (11)  

По полученным данным построим графики

Рис. 6. График линейного изменения напряжения uC(t)

Рис. 7. График линейного изменения тока iL(t)

Рис. 8. График линейного изменения источника тока I(t)

Рис. 9. График линейного изменения  ЭДС e(t)

Сравнительная оценка процессов в схеме при оптимальном и линейном режимах

Вычислим энергию активных потерь при оптимальном режиме

Вычислим энергию активных потерь при линейном режиме путем подстановки xЛ(t)  и  uЛ(t).

Сравнивая полученные величины, делаем вывод, что суммарная энергия активных потерь (затрачиваемая на нагрев) при линейном режиме больше, что говорит о целесообразности работы схемы в оптимальном режиме.

Заключение

В процессе выполнения курсовой работы были  разработаны алгоритмы изменения режима работы электрической схемы, содержащей активные и реактивные элементы, которые обеспечивают минимизацию энергии активных потерь при переходе от одного режима работы схемы к другому. Также был определен вид закона изменения ЭДС источника питания (управляющего воздействия) и была проанализирована работа схемы при действии этой ЭДС.

e(t)

L

R

i(t)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36403. Выведите уравнения гармонического баланса для нелинейной САУ и поясните их 525.87 KB
  Для этого необходимо решить уравнения гармонического баланса. Рассмотрим систему гармонического баланса: баланс амплитуд и баланс фаз Из уравнения баланса фаз определяется частота на которой сдвиг по фазе равен . Далее эта частота подставляется в 1ое уравнения в баланс амплитуд.
36404. Выведите условия возникновения автоколебаний в нелинейной САУ и поясните способ определения их устойчивости по частотному критерию Гольдфарба 969.33 KB
  Выведите условия возникновения автоколебаний в нелинейной САУ и поясните способ определения их устойчивости по частотному критерию Гольдфарба. Для определения устойчивости автоколебаний используется метод Dразбиения в соответствии с которым комплексная плоскость разбивается на 2 зоны: границей Dразбиения будет годограф. Рассмотрим устойчивость колебаний в точке 1 и точке 2. Пусть под действием внешних факторов амплитуда колебаний увеличится тогда по годографу параметры колебаний переместятся влево от точки то есть система окажется в...
36405. Приведите структурные схемы дискретных и цифровых САУ, поясните назначение звеньев и преобразования сигнала 78.25 KB
  Дискретной называется система, которая осуществляет обработку дискретных сигналов. Будем использовать понятия дискретная система и дискретный сигнал как синонимы, и мат. модели цифрового системы и цифрового сигнала с неограниченной разрядностью АЦП и неограниченной точностью обработки.
36406. Приведите классификацию, структурную схему импульсной САУ. Поясните преобразования сигнала при модуляции и демодуляции и формирование закона управления 66.39 KB
  Оно во многих случаях по эффективности совпадает с цифровыми то есть имеет те же преимущества но формирует на объект воздействие импульсное то есть электродвигатели работают в импульсном режиме что дает энергетические преимущества то есть делает САУ экономичными. ИМ – импульсный модулятор ВУ – вычислительное устройство ИД – импульсный демодулятор ИМ – импульсный модулятор АИМ: В САУ с АИМ в качестве демодулятора используются электродвигатели исполнительных механизмов которые являются обязательными элементами любой САУ.
36407. Разработайте и поясните эквивалентную расчетную схему дискретной САУ 20.14 KB
  При разработке расчетной схемы будем использовать допущения: Операция квантования по уровню нелинейна = ЦСАУ нелинейна. Операция дискретизации сигнала линейна поэтому в дальнейшем нелинейные ЦСАУ заменим дискретными линейными САУ. В этой схему удобно объединить два блока работающих в непрерывном режиме Получена расчетная схема ЦСАУ эквивалентная по дискретной составляющей исходной САУ с цифровым регулятором. Эта схема позволяет ввести понятие переходной функции ЦСАУ в дискретном пространстве.
36408. Поясните понятие устойчивости дискретной САУ. Дайте классификацию методов определения устойчивости и поясните их 64.92 KB
  Дайте классификацию методов определения устойчивости и поясните их. единичная окружность zплоскости представляет собой границу устойчивости. Такое состояние называется апериодическая граница устойчивости.
36409. Выведите формулы спектра дискретного сигнала и проанализируйте его свойства 27.04 KB
  Спектральная плотность дискретного сигнала xTjω будем называть спектром дискретного сигнала. Спектр дискретного сигнала в отличие от аналогового периодичен по частоте с периодом fдискр. k=0123∞ Периодизация спектра обусловлена дискретизацией сигнала по времени.
36410. Приведите алгоритм дискретной обработки и получите передаточные функции и импульсную характеристику дискретной САУ 535.95 KB
  При построении дискретной САУ реализуется 2 подхода: Частота с которой ПК рассчитывает процессы так велика что интервал гораздо меньше всех постоянных времен НЧ. Если при этом и шаг квантования мал то САУ практически не отличается от непрерывной системы и если исполнительный механизм и объект меняются то и цифровая САУ меняется. В этом случае САУ нужно считать дискретными и процессы в них необходимо описывать с применением специального математического аппарата.
36411. Поясните способы определения выходного сигнала в дискретной САУ 148.07 KB
  1 способ: Перейти от к можно несколькими способами 2 способ: представить zпреобразование выходного сигнала: по таблице Анализ: 1 Первый способ более простой однако он обладает двумя недостатками: При делении полиномов получаются бесконечные ряды. Для получения приемлемого резта необходимо рассчитать большое количество членов ряда Если интеграл дискретизации выбран неверно то произойдет наложение спектральных составляющих которые существенно исказит выходной сигнал 2Преимущество второго способа состоит в том что сразу получается...