95513

Оптимальное управление в электрических схемах

Курсовая

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Цель работы: систематизация, закрепление и расширение теоретических знаний, и получение практических навыков при расширении конкретных технических задач, развитие навыков самостоятельной работы с технической литературой в ходе расчета. Объект исследования: в курсовой работе предлагается разработать алгоритмы изменения режима...

Русский

2015-09-24

558.5 KB

2 чел.

Федеральное агентство по образованию ФГБОУ ВПО

«Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.»

Кафедра «Техническая кибернетика и информатика»

Пояснительная записка к курсовой работе

по дисциплине

“ Основы теории оптимального управления ”

на тему:

«Оптимальное управление в электрических схемах»

Выполнил: студент группы УИТ-31

        Алеев Н.Р.

Проверила:      Торгашова О. Ю.

Саратов  2012

Задание на курсовую работу

Задача 1

Оптимальное управление в RL-цепи

Для электрической схемы содержащей источник питания e(t), активные сопротивления r, R  и индуктивность L

необходимо :

а) определить оптимальный закон изменения напряжения источника питания e(t), приводящий к изменению тока через сопротивление R и индуктивность L в схеме от заданного начального значения  i(t0)=i0  до заданного конечного значения i(t1)=i1 , такой, чтобы суммарная энергия активных потерь (затрачиваемая на нагрев) при этом изменении была минимальной;

б) определить оптимальный закон изменения тока i(t) , соответствующий оптимальному закону изменения e(t);

в) вычислить энергию активных потерь в схеме при оптимальном режиме изменения напряжения и тока ( e(t), i(t) ) и сравнить ее с энергией активных потерь, затрачиваемой на нагрев при линейном изменении тока в схеме от начального до конечного значения;

г) построить графики оптимальных и линейных изменений ЭДС и токов.

Значения параметров элементов схемы в зависимости от варианта задания приведены в таблице 1.

                                                                            Таблица 1

Номер     варианта

r

[Ом]

R

[Ом]

L

[Г ]

i(t0)

[А]

i(t1)

[А]

11

5

55

0,015

0,11

0,8

 Полагать t0=0 , t1=10-3 c .

Реферат

Цель работы: систематизация, закрепление и расширение теоретических знаний, и получение практических навыков при расширении конкретных  технических задач, развитие навыков самостоятельной работы с технической литературой в ходе расчета.

        

        Объект исследования: в курсовой работе предлагается разработать алгоритмы изменения режима работы электрической схемы, содержащей активные и реактивные элементы, обеспечивающие минимизацию энергии активных потерь при переходе от одного режима работы схемы к другому. Необходимо определить вид закона изменения ЭДС источника питания (управляющего воздействия) и проанализировать работу схемы при действии этой ЭДС.


Введение

На протяжении долгих лет очень эффективно используются математические методы моделирования и изучения жизни. Самые различные специалисты вынуждены прибегать к математическим методам оптимального управления. В связи с этим возникает множество проблем и трудностей, которые приходится решать.

Курсовая работа имеет своей целью систематизацию, закрепление и расширение теоретических знаний и практических навыков путем решения конкретных технических задач, развитие навыков самостоятельной работы с литературой в ходе расчетов.

В процессе выполнения курсовой работы разрабатываются алгоритмы изменения режима работы электрической схемы, содержащей активные и реактивные элементы, которые обеспечивают минимизацию энергии активных потерь при переходе от одного режима работы схемы к другому. Также определяется вид закона изменения ЭДС источника питания (управляющего воздействия) и анализируется работа схемы при действии этой ЭДС.

  1.  Задача 1

Оптимальное управление в RL-цепи

Описание объекта управления

Математическая модель объекта получается на основе законов Кирхгофа:

и имеет вид дифференциального уравнения

 ,               (1)

где  x(t)=i(t) , u(t)=e(t) ,p, b – числа, равные p = – R/L, b = 1/L  

              

1.2. Конструирование функционала – критерия оптимальности.

Критерий оптимальности – квадратичный функционал

                       

где  - симметричная, неотрицательно-определенная матрица чисел, размерами ;  - симметричная, положительно-определенная матрица чисел размерами .

В данном случае вместо матриц используются числа, поэтому критерий оптимальности будет иметь другой вид:

,  (2)

Это выражение представляет собой суммарную энергию активных потерь в схеме за время  t1–t0.         

Запишем выражение для активной мощности потерь на сопротивлениях  r и R :

 или    ,

Таким образом,  q = R=55,  m = 1/r =1/5 =0,2,  n = 0.

1.3. Формулировка задачи как вариационной задачи на условный экстремум.

Для этого необходимо рассматривать в качестве уравнения связей уравнение системы (1), а в качестве функционала – функционал (2).

Таким образом, получаем следующую вариационную задачу:

Определить функции x(t) и u(t) доставляющие экстремум функционалу  

,         

при граничных условиях

      ,                       

и при дополнительном условии (уравнении связи)

накладываемом на функции x(t), u(t) , в классе которых ищется экстремум.

1.4. Синтез оптимального алгоритма управления.

1.4.1. Получение уравнений вариационной задачи.

Введем вспомогательную функцию (функцию Лагранжа)

                      

где  - пока неизвестная функция называемая неопределенным множителем Лагранжа.

Рассматриваемая задача называется задачей Лагранжа.

 

(t) – неопределенный множитель Лагранжа, Φ – функция Лагранжа.

Запишем уравнения Эйлера для функции  (они называются уравнениями Эйлера – Лагранжа)

                 

Решим совместно уравнения Эйлера – Лагранжа  и уравнение связи.  Это система трех уравнений для определения трех неизвестных x(t), u(t), (t).

В итоге получаем систему уравнений

         (3)

                      (4)

      (5)

 Здесь (3), (4) – уравнения Эйлера – Лагранжа. К этим уравнениям добавлено уравнение объекта  (5) (уравнение связи).

1.4.2. Отыскание решения уравнений вариационной задачи.

Уравнения (3) – (5) решаются в следующем порядке:

1)  Выразим u(t) из (4):

 

Затем подставим его в  (5).

При этом получается система уравнений

,          (6)

с коэффициентами

a11 = pnb/2m = - 3666.666 ,                

a12 = b2/2m =  11111.111,  

a21 = 2q – n2/2m =110,      

a22 = nb/2m – p =  3666.666.

Получим систему уравнений:

 

              

2) Запишем систему (6) в матричной форме

,        (7)       

где

        ,

        .

3) Запишем решение уравнения (7) в соответствии с формулой Коши в виде:

,                       (8)           

где

    – вектор начальных условий, а матричная экспонента  определяется по формуле Лагранжа – Сильвестра

  ,

где 1 , 2 – собственные числа матрицы А. Е - единичная матрица.

Найдем собственные числа матрицы А из условия. Получим:

,

,

Из системы следует, что для нахождения  и  необходимо знать начальные значения  и .

(начальное положение объекта) задано,  неизвестно.

Для определения неизвестного начального значения множителя Лагранжа (t0), входящего в (8) необходимо:

а) запишем (8) для момента времени  t1

или

  ,  

  ,                  (9)

где  e11 , е12 , е21 , е22  – элементы матрицы (числа):

  

        

б) определим (t0) из первого уравнения системы (9)

Получили, что  

Решаем уравнение (7):

 

4) Решив уравнение (7), запишем выражения для оптимальной траектории и оптимального управления:

- оптимальная траектория

- оптимальное управление

1.5.  Анализ процессов в системе.

  1.  Анализ процессов при оптимальном режиме

Анализ процессов при оптимальном режиме построим графики x(t) , u(t)  на  интервале  t[t0,t1]. Этот интервал разбивается на 10 частей и вычисляются значения x(t) и u(t) в этих точках.

t

x(t)

u(t)

0

0,1099

1,122

0,0001

0,088432

1,766424

0,0002

0,080093

2,673106

0,0003

0,083646

3,976659

0,0004

0,099617

5,870618

0,0005

0,130379

8,636176

0,0006

0,180497

12,68393

0,0007

0,257414

18,61484

0,0008

0,372548

27,30946

0,0009

0,542994

40,05866

0,001

0,794057

58,75529

  1.  
    Анализ процессов при линейном изменении тока i(t)

Полагая, что ток изменяется линейно от заданного начального состояния до заданного конечного состояния

xЛ(t) = kt + d        ( iЛ(t) = kt + d),

(величины k , d  найдем из условия прохождения iЛ(t) и uЛ(t) через заданные начальное и конечное значения)

xЛ(0) = d=0,11  ,      xЛ(0.001) = 0.001k + 0,11 = 0,8

                                                   k=690

                                        xЛ(t) = 690t + 0,11

запишем на основе (1)    

выражение для закона управления uЛ(t) , обеспечивающее такое линейное изменение

.

По полученным данным построим графики процессов xЛ(t), uЛ(t).

 

t

xл(t)

uл(t)

0

0,11

16,4

0,0001

0,179

20,195

0,0002

0,248

23,99

0,0003

0,317

27,785

0,0004

0,386

31,58

0,0005

0,455

35,375

0,0006

0,524

39,17

0,0007

0,593

42,965

0,0008

0,662

46,76

0,0009

0,731

50,555

0,001

0,8

54,35


1.6. Сравнительная оценка процессов в схеме при оптимальном и линейном режимах.

1.6.1. Вычислим энергию активных потерь при оптимальном режиме, подставив в (2)  x(t) и u(t).

1.6.2. Вычислим энергию активных потерь при линейном режиме путем подстановки в (2) xЛ(t)  и  uЛ(t).

1.6.3. Сравнивая полученные величины, делаем вывод, что суммарная энергия активных потерь (затрачиваемая на нагрев) при линейном режиме больше, что говорит о целесообразности работы схемы в оптимальном режиме.

                         

Задача 2

Для электрической схемы, содержащей источники ЭДС e(t) и источник тока J(t), активные сопротивления R1, R2, R3, индуктивность L и емкость С

необходимо:

а) определить оптимальные законы изменения напряжения источника питания e0(t) и источника тока J0(t), приводящих к изменению тока через индуктивность L в схеме от заданного начального значения iL0  до заданного конечного значения iL1, и изменению напряжения на обкладках конденсатора С в схеме от заданного начального значения uC0 до заданного конечного значения uC1 так, чтобы суммарная энергия активных потерь (затрачиваемая на нагрев) при этом изменении была минимальной;

б) определить оптимальные законы изменения тока i0L(t) и напряжения на обкладках конденсатора u0C(t), соответствующие оптимальным законам изменения e0(t), J0(t);

в) вычислить энергию активных потерь в схеме при оптимальном режиме изменения напряжений источников питания, тока и напряжения на обкладках конденсатора (e0(t), J0(t), i0L(t), u0C(t)) и сравнить ее с энергией активных потерь, затрачиваемой на нагрев при линейных изменениях тока iЛL(t) и напряжения на обкладках конденсатора uЛC(t) в схеме от начальных значений до конечных;

г) построить графики оптимальных и линейных изменений ЭДС, источника тока, тока и напряжения на обкладках конденсатора.

Значения параметров элементов схемы в зависимости от варианта задания приведены в табл. 2.

Таблица 2

зад.

R1,

Ом

R2,

Ом

R3,

Ом

L,

Гн

С,

мкФ

iL0,

А

iL1,

А

uC0,

В

uC1,

В

11

55

20

50

0,015

3,5

0,11

0,8

40

75

Полагать   t0=0 , t1=10-3 c .

Описание объекта управления

Математическая модель объекта получается на основе законов Кирхгофа и имеет вид линейных дифференциальных уравнений, векторно-матричный вид которых

   ,                       

где    матрицы чисел размерами  и  соответственно.

Начальное положение (состояние) объекта:.               

Конечное положение (состояние) объекта: .                 

Уравнения электрической схемы можно получить в виде:

,   (1).                                 (2)

Эти уравнения записаны в форме Коши.   

Введем обозначения:

,.

Тогда выражения (1), (2) можно записать в виде: 

     (3)

Уравнения для выходных переменных

,  .           (4)

Объединяя (3) и (4), получаем математическую модель электрической схемы:

  (5)

Где при  Ф,  Гн, [1/Ом],  Ом соответствующие матрицы получают следующие численные значения:

.

Начальное положение объекта:

Конечное положение объекта:

Конструирование функционала (критерия оптимальности).

Находится выражение для суммарной энергии активных потерь в схеме за время  t1–t0 , которое в общем виде можно представить в виде квадратичного функционала

  (6)

где  – симметричная неотрицательно-определенная матрица чисел размерами ;  – симметричная положительно-определенная матрица чисел размерами .

    

Таким образом,

, N=0

Формулировка задачи как вариационной задачи на условный экстремум.

Для этого необходимо рассматривать в качестве уравнения связей уравнение системы (1), а в качестве функционала – функционал (2).

Таким образом, получаем следующую вариационную задачу:

Определить функции x(t) и u(t) доставляющие экстремум функционалу  

,         

при граничных условиях

,

и при дополнительных условиях (уравнениях связи)

накладываемом на функции x(t), u(t) , в классе которых ищется экстремум.

Синтез алгоритма оптимального управления – решение вариационной задачи на условный экстремум.

Составляется функция Лагранжа:

.        

Записываются уравнения Эйлера-Лагранжа:

            (7)

Вычисляются составляющие соотношений (5.6):

;

                 

.

Тогда уравнения Эйлера-Лагранжа принимают вид:

                            (8)

К последним уравнениям добавляется уравнение связи (уравнение объекта) получается следующая система уравнений:

                          (9)

   (10)

Найдем U:

и подставим в первые два уравнения (10):

  (11)

Введем вектор . Тогда систему (10) с учетом (11) можно представить в виде:

  (12)

где Р – блочная матрица, имеющая вид:

(13)

Решение (12) в соответствии с формулой Коши:

  (14)

Вычислив , ее можно представить следующим образом:

  (15)

где  - функциональные матрицы размеров .

Тогда из выражений (14), (15):

  (16)

Для определения начального значения множителя Лагранжа запишем следующие соотношения:

  (17)

Из первого уравнения (17) можно определить начальное условие множителя Лагранжа:

  (18)

Теперь можно записать из выражений (16):

  (19)

Оптимальное управление определится выражением:

Таким образом найдены соотношения для оптимальной траектории и оптимального управления:

Анализ процессов в системе

Анализ процессов при оптимальном режиме

Анализ процессов при оптимальном режиме построим графики X(t) , U(t)  на  интервале  t[t0,t1]. Этот интервал разбивается на 1000 частей и вычисляются значения x(t) и u(t) в этих точках.

Рис. 1. График оптимального изменения напряжения uC(t)

Рис. 2. График оптимального изменения тока i2(t)

Рис. 3. График оптимального изменения  источника тока I(t)

Рис. 4. График оптимального изменения ЭДС e1(t)

Анализ процессов при линейном  режиме

Полагая, что ток и напряжения изменяются линейно от заданного начального состояния до заданного конечного состояния

xЛ(t) = kt + d        

(величины k , d  найдем из условия прохождения iЛ(t) и uЛ(t) через заданные начальное и конечное значения)

xЛ1(0.001) = 0.001k + 40 = 75,       k1=35000,          xЛ1(t) = 35000t + 40

xЛ2(0.001) = 0.001k + 0.11 = 0.8,     k2=690,          xЛ2(t) = 690t + 0.11

Запишем на основе (11)  

По полученным данным построим графики

Рис. 6. График линейного изменения напряжения uC(t)

Рис. 7. График линейного изменения тока iL(t)

Рис. 8. График линейного изменения источника тока I(t)

Рис. 9. График линейного изменения  ЭДС e(t)

Сравнительная оценка процессов в схеме при оптимальном и линейном режимах

Вычислим энергию активных потерь при оптимальном режиме

Вычислим энергию активных потерь при линейном режиме путем подстановки xЛ(t)  и  uЛ(t).

Сравнивая полученные величины, делаем вывод, что суммарная энергия активных потерь (затрачиваемая на нагрев) при линейном режиме больше, что говорит о целесообразности работы схемы в оптимальном режиме.

Заключение

В процессе выполнения курсовой работы были  разработаны алгоритмы изменения режима работы электрической схемы, содержащей активные и реактивные элементы, которые обеспечивают минимизацию энергии активных потерь при переходе от одного режима работы схемы к другому. Также был определен вид закона изменения ЭДС источника питания (управляющего воздействия) и была проанализирована работа схемы при действии этой ЭДС.

e(t)

L

R

i(t)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37759. ВЫБОР РАЦИОНАЛЬНОЙ ДЛИНЫ ПАКЕТА СЕТИ ЭВМ 2.41 MB
  2 Теоретическая часть Для сообщений передаваемых в сети ЭВМ длина пакета выбирается постоянной. Длина пакета не может быть слишком малой поскольку при фиксированной длине служебной части заголовка пакета снижается доля информации сообщения передаваемая в одном пакете. При большой длине пакета и заданной достоверности передачи данных в канале связи повышается вероятность передачи пакета с ошибкой и следовательно частота повторной передачи пакета что снижает эффективность сети ЭВМ а также возрастает доля потерь памяти изза...
37760. ОТРАВЛЯЮЩИЕ ВЕЩЕСТВА РАЗДРАЖАЮЩЕГО ДЕЙСТВИЯ. КЛИННИКА, ДИАГНОСТИКА, ЛЕЧЕНИЕ 70.5 KB
  Уже в первой мировой войне почти все воюющие страны применяет различные ОВ, избирательно действующие на окончания чувствительных нервов в верхних дыхательных путях с последующей реакцией организма в виде слезотечения, кашля, рвоты, затрудненного, дыхания и т.д
37761. Исследование разветвленной линейной электрической цепи постоянного тока 109.5 KB
  Цель работы Экспериментальная проверка законов Кирхгофа и основных свойств линейных цепей постоянного тока. Экспериментальная часть Схема установки R1 = 100 Ом R2 = 50 Ом R3 = 25 Ом Е1 = 75 В E2 = 10 В Проверка законов Кирхгофа Измерено Вычислено I1 I2 I3 Ik 009 016 0065 0005 I1 I2 I3 = 0.065 А Вывод: Экспериментально были проверены законы Кирхгофа. Выставив необходимые значения сопротивлений и проведя необходимые измерения и...
37762. Измерение вязкости жидкости по методу падающего шарика 45.5 KB
  Измерение температуры жидкости t= 0C Расчет искомой величины. Расчет плотности материала шариков 2. Расчет вязкости жидкости Расчет границы погрешностей. Расчет границы абсолютной погрешности результата измерения плотности материала шариков Расчет границы относительной погрешности результата измерения вязкости жидкости Расчет границы абсолютной погрешности результата измерений плотности Окончательный результат: вязкость жидкости при температуре t= 0C.
37763. Методы противодействия радиоэлектронным закладным устройствам, предназначенным для снятия конфиденциальной информации 48.88 KB
  Цели и учебные вопросы Цели лабораторной работы: ознакомление с возможностями комплекса Крона НМ и программного обеспечения Филин Ультра; получение практических навыков: по проведению радиомониторинга в контролируемой зоне по обнаружению поиску и блокированию радиозакладных устройств Учебные вопросы: классификация поисковых устройств для проведения радиомониторинга см. Место: лаборатория Технические средства обеспечения безопасности Используемые технические средства: автоматизированный комплекс обнаружения электронных...
37764. Безпека SMTP і спам 760.04 KB
  У результаті цього спам став практично нерозв'язною проблемою так як було неможливо визначити хто насправді є відправником повідомлення фактично можна відправити лист від імені будьякої людини. DT CRLF Вказує на початок повідомлення. Для завершення повідомлення вказується CRLF . Повідомлення доставляються клієнтові за протоколом POP а надсилаються як і раніше за допомогою SMTP.
37765. Робота з діалоговими компонентами 2.09 MB
  Виконавши лабораторну роботу, я освоїв роботу програм з такими діалоговими компонентами як OpenDialog та SaveDialog для зв’язку з файлами (їх створення, збереження або відкриття вже існуючих), PrinterSetupDialog для налагодження підключених принтерів для друку, FindDialog та ReplaceDialog для пошуку та заміни тексту. Також закріпив навички роботи з компонентами середовища Delphi TMemo та TMainMenu, зрозумів основні принципи створення текстового редактора.
37766. Безопасность жизнедеятельности. Чрезвычайные ситуации мирного и военного времени, организация защиты населения 262.51 KB
  Безопасность жизнедеятельности — это область научных знаний, изучающая общие опасности, угрожающие каждому человеку, и разрабатывающая соответствующие способы защиты от них в любых условиях обитания человека.
37767. Протокол для передачі файлів FTP 189.19 KB
  Для переходу в інший каталог використовую команду CWD: CWD incoming. Для того щоб створити в цій директорії вводжу команду STOR: STOR myfile. Переходжу в інший каталог за допомогою команди CWD: cwd incoming та вводжу команду PWD яка відображає вмістиме каталогу з яким встановлений звязок:. Вводжу команду LS що відображає файли і підкаталоги в даному каталозі.