95602

Линии 2-го порядка на плоскости

Лекция

Математика и математический анализ

Перенесем второй корень вправо Возведем обе части в квадрат и раскроем скобки Приведя подобные сократив обе части на 4 получим или Обозначив получим или Это и есть каноническое уравнение эллипса. Числа и называются большой и малой осями эллипса.

Русский

2015-09-24

126.62 KB

1 чел.

Линии 2-го порядка на плоскости. Лекция 3.

Линии 2-го порядка на плоскости.

Основные понятия.

    Рассмотрим линии, уравнения которых задаются в виде выражений, в которых переменные  и  входят с степенью не выше второй, т. е. имеют вид

где, по крайней мере один из коэффициентов  не равен нулю. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка.

Окружность.

    Окружностью с центром в точке  радиуса называется множество всех точек плоскости, удаленных от точки  на расстояние .

  Пусть центр окружности имеет координаты ,  – некоторая её точка (рис. 23). Тогда по определению расстояние  или . Возведя обе части равенства в квадрат, получим каноническое уравнение окружности

    Если , то центр окружности находится в начале координат и каноническое уравнение имеет вид  .

Эллипс.

    Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

    Выберем фокусы эллипса  и , лежащие на оси . Тогда расстояние между ними будет равно  Пусть произвольная точка эллипса и   (рис. 24). Тогда  т. е.

    Перенесем второй корень вправо

    Возведем обе части в квадрат и раскроем скобки

 

    Приведя подобные, сократив обе части на 4, получим

или

    Обозначив  получим  или

    Это и есть каноническое уравнение эллипса. Если , то эллипс превращается в окружность . Числа  и  называются большой и малой осями эллипса. Величина  называется эксцентриситетом эллипса. Заметим, что у эллипса всегда . Если , (случай окружности) то , следовательно и  . Если , то фокусы эллипса расположены на оси  (рис. 24). Прямые  называются директрисами эллипса (рис. 25).

Гипербола.

    Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между этими фокусами.

    Выберем фокусы эллипса  и , лежащие на оси . Тогда расстояние между ними будет равно  Пусть  произвольная точка гиперболы и   (рис. 26). Тогда  т. е.

   После преобразований, аналогичных выводу уравнений эллипса, мы  получим следующее каноническое уравнение гиперболы.

где . Если , то , если , то  и, следовательно, график не пересекает ось  (рис. 27). Гипербола, задаваемая уравнением

не пересекает ось  (рис. 28). Диагонали прямоугольника, задаваемого уравнениями  являются асимптотами гиперболы, т. е. прямыми, к которым неограниченно приближается график функции при удалении к бесконечности (рис. 29). Уравнения этих асимптот имеют вид . Если , то гипербола называется равносторонней, а направляющий прямоугольник является квадратом.

    Эксцентриситет гиперболы . Прямые  называются директрисами гиперболы.

Парабола.

    Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной  точки, называемой фокусом и от прямой, называемой директрисой.

    Расстояние от этой точки до директрисы называется параметром параболы.

    Выберем фокус параболы,  лежащим на оси  а директрису проведем перпендикулярно к этой оси. Пусть начало координат находится посередине между фокусом и директрисой. Тогда расстояние между ними будет равно p Если  произвольная точка параболы и  расстояние от  до директрисы равно  (рис. 30), то  т. е.

, или

, окончательно . Это и есть каноническое уравнение параболы.   

    Так как расстояние от любой точки параболы до фокуса равно расстоянию до директрисы, то эксцентриситет параболы всегда равен 1.

    Пример 12.  Построить график параболы .  

    Решение. Так как , то уравнение директрисы имеет вид . Тогда фокус имеет координаты  и искомый график изображен на рис. 31.    

    Таким образом, все кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола в некоторой системе координат могут быть записаны с помощью уравнения  

, причем

    Если при этом:

  1.  , то уравнение задает окружность;
  2.   – уравнение определяет эллипс;
  3.    – уравнение определяет гиперболу;
  4.   , то линия является параболой.

    При этом возможны случаи, когда уравнение эллипса вырождается в точку или мнимый эллипс

    Гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых


    Парабола вырождается в пару параллельных прямых  

                      


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

49644. Определение центра тяжести составного плоского сечения 1.01 MB
  Создать штриховку каждого сечения. Вычертить в отдельном слое произвольные оси относительно которых будет определяться центр тяжести составного плоского сечения. Оси должны быть вычерчены таким образом чтобы оба профиля входящие в состав сечения находились в области положительных значений т...
49645. РАЗРАБОТКА ПРОЦЕДУРЫ АТТЕСТАЦИИ ПЕРСОНАЛА ДЛЯ СИСТЕМЫ МЕНЕДЖМЕНТА КАЧЕСТВА (на примере ООО «Уренгойгорстроймонтаж») 1.05 MB
  Изучить теоретические аспекты системы аттестации персонала: понятие, принципы и сущность аттестации персонала, а также методы аттестации персонала, принципы и этапы процесса аттестации персонала; дать краткую характеристику исследуемой организации...
49647. Республика как форма государственного правления 271.87 KB
  РЕСПУБЛИКАНСКАЯ ФОРМА ПРАВЛЕНИ СМЕШАННЫЕ РЕСПУБЛИКАНСКИЕ ФОРМЫ ПРАВЛЕНИЯ ЗАКЛЮЧЕНИЕ СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 35 ВВЕДЕНИЕ Прежде чем приступить к рассмотрению темы Республиканская форма правления нужно дать определение формы правления. Под формой правления мы понимаем систему формирования и взаимоотношений главы государства высших органов законодательной и исполнительной власти.
49648. Организация автоматизированной информационной системы налогообложения на предприятии ОАО «КЗПК» 169.5 KB
  Автоматизированная информационная технология АИТ в налоговой системе это совокупность методов информационных процессов и программнотехнических средств объединенных в технологическую цепочку обеспечивающую сбор обработку хранение распространение и отображение информации с целью снижения трудоемкости процессов использования информационного ресурса а также повышения их надежности и оперативности. В информационном аспекте система должна предоставлять достаточную и полную информацию для реализации ее основных функций иметь рациональные...
49650. Разработка программного продукта АИС «Название отдела (рабочего места)» 573.5 KB
  Проектирование информационно-логической модели БД Этапы создания информационной системы базы данных Типовой жизненный цикл информационной системы любого класса представляет собой последовательность этапов: анализа предметной области проектирования системы разработки и реализации системы тестирования и отладки сопровождения системы. Этап анализа предметной области включает: Формулировку требований к функциональности будущей системы; Определение объемов и структуры...