95602

Линии 2-го порядка на плоскости

Лекция

Математика и математический анализ

Перенесем второй корень вправо Возведем обе части в квадрат и раскроем скобки Приведя подобные сократив обе части на 4 получим или Обозначив получим или Это и есть каноническое уравнение эллипса. Числа и называются большой и малой осями эллипса.

Русский

2015-09-24

126.62 KB

0 чел.

Линии 2-го порядка на плоскости. Лекция 3.

Линии 2-го порядка на плоскости.

Основные понятия.

    Рассмотрим линии, уравнения которых задаются в виде выражений, в которых переменные  и  входят с степенью не выше второй, т. е. имеют вид

где, по крайней мере один из коэффициентов  не равен нулю. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка.

Окружность.

    Окружностью с центром в точке  радиуса называется множество всех точек плоскости, удаленных от точки  на расстояние .

  Пусть центр окружности имеет координаты ,  – некоторая её точка (рис. 23). Тогда по определению расстояние  или . Возведя обе части равенства в квадрат, получим каноническое уравнение окружности

    Если , то центр окружности находится в начале координат и каноническое уравнение имеет вид  .

Эллипс.

    Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

    Выберем фокусы эллипса  и , лежащие на оси . Тогда расстояние между ними будет равно  Пусть произвольная точка эллипса и   (рис. 24). Тогда  т. е.

    Перенесем второй корень вправо

    Возведем обе части в квадрат и раскроем скобки

 

    Приведя подобные, сократив обе части на 4, получим

или

    Обозначив  получим  или

    Это и есть каноническое уравнение эллипса. Если , то эллипс превращается в окружность . Числа  и  называются большой и малой осями эллипса. Величина  называется эксцентриситетом эллипса. Заметим, что у эллипса всегда . Если , (случай окружности) то , следовательно и  . Если , то фокусы эллипса расположены на оси  (рис. 24). Прямые  называются директрисами эллипса (рис. 25).

Гипербола.

    Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между этими фокусами.

    Выберем фокусы эллипса  и , лежащие на оси . Тогда расстояние между ними будет равно  Пусть  произвольная точка гиперболы и   (рис. 26). Тогда  т. е.

   После преобразований, аналогичных выводу уравнений эллипса, мы  получим следующее каноническое уравнение гиперболы.

где . Если , то , если , то  и, следовательно, график не пересекает ось  (рис. 27). Гипербола, задаваемая уравнением

не пересекает ось  (рис. 28). Диагонали прямоугольника, задаваемого уравнениями  являются асимптотами гиперболы, т. е. прямыми, к которым неограниченно приближается график функции при удалении к бесконечности (рис. 29). Уравнения этих асимптот имеют вид . Если , то гипербола называется равносторонней, а направляющий прямоугольник является квадратом.

    Эксцентриситет гиперболы . Прямые  называются директрисами гиперболы.

Парабола.

    Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной  точки, называемой фокусом и от прямой, называемой директрисой.

    Расстояние от этой точки до директрисы называется параметром параболы.

    Выберем фокус параболы,  лежащим на оси  а директрису проведем перпендикулярно к этой оси. Пусть начало координат находится посередине между фокусом и директрисой. Тогда расстояние между ними будет равно p Если  произвольная точка параболы и  расстояние от  до директрисы равно  (рис. 30), то  т. е.

, или

, окончательно . Это и есть каноническое уравнение параболы.   

    Так как расстояние от любой точки параболы до фокуса равно расстоянию до директрисы, то эксцентриситет параболы всегда равен 1.

    Пример 12.  Построить график параболы .  

    Решение. Так как , то уравнение директрисы имеет вид . Тогда фокус имеет координаты  и искомый график изображен на рис. 31.    

    Таким образом, все кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола в некоторой системе координат могут быть записаны с помощью уравнения  

, причем

    Если при этом:

  1.  , то уравнение задает окружность;
  2.   – уравнение определяет эллипс;
  3.    – уравнение определяет гиперболу;
  4.   , то линия является параболой.

    При этом возможны случаи, когда уравнение эллипса вырождается в точку или мнимый эллипс

    Гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых


    Парабола вырождается в пару параллельных прямых  

                      


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55386. Ключи к познанию прошлого 47 KB
  Цели занятия: Знакомство обучающихся с новым предметом – история. Развивать у обучающихся интерес к предмету, умения анализировать, рассуждать, аргументировать свою точку зрения. Учить ребят работать с учебником, с текстом, работать в группе, высказывать свою точку зрения, слушать мнение других.
55387. Письмо другу 52 KB
  Цели урока: создание условий для того чтобы научить ребят писать сочинения; развитие устной и письменной речи памяти творческих способностей детей;...
55390. Міжнародні телекомунікаційні проекти як ефективний засіб формування комунікативної компетенції учнів 402 KB
  Життя ставить перед сучасною освітою завдання виховання та навчання учня, який може гнучко адаптуватися в життєвих ситуаціях, що динамічно змінюються, самостійно здобувати необхідні знання, уміло використовувати їх для вирішення різноманітних проблем на практиці, щоб протягом всього життя мати можливість знайти в ньому відповідне місце
55391. ПРОЕКТНА ДІЯЛЬНІСТЬ УЧНІВ НА УРОКАХ УКРАЇНСЬКОЇ МОВИ ТА ЛІТЕРАТУРИ 140 KB
  Метод проектів особливо на уроках української мови та літератури передбачає не тільки наявність суб’єктивно чи соціально значущої для учня проблеми не просто її дослідження пошук шляхів вирішення а й практичне впровадження отриманих результатів у тому чи іншому продукті діяльності.
55392. Проектная деятельность на уроке технологии 86 KB
  Обобщить знания о пищевом рационе режиме питания условиях приёма пищи и сформулировать правила рационального питания. Воспитывать бережное отношение к здоровью и продуктам питания.
55393. Метод проектов на уроках истории и во внеклассной деятельности 396 KB
  Материально-техническое обеспечение проекта: аудио видео стенд. Для подготовки учеников к настоящим проектам необходимо начать их знакомство с данной технологией на уровне второй ступени обучения.
55394. Використання проектної технології як засіб активізації пізнавальної діяльності учнів на уроках інформатики 339.5 KB
  Мій досвід роботи в школі показав що в розвитку зацікавленості до предмета не можна покладатися тільки на зміст виучуваного матеріалу уникаючи залучення учня до активної діяльності.