95602

Линии 2-го порядка на плоскости

Лекция

Математика и математический анализ

Перенесем второй корень вправо Возведем обе части в квадрат и раскроем скобки Приведя подобные сократив обе части на 4 получим или Обозначив получим или Это и есть каноническое уравнение эллипса. Числа и называются большой и малой осями эллипса.

Русский

2015-09-24

126.62 KB

0 чел.

Линии 2-го порядка на плоскости. Лекция 3.

Линии 2-го порядка на плоскости.

Основные понятия.

    Рассмотрим линии, уравнения которых задаются в виде выражений, в которых переменные  и  входят с степенью не выше второй, т. е. имеют вид

где, по крайней мере один из коэффициентов  не равен нулю. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка.

Окружность.

    Окружностью с центром в точке  радиуса называется множество всех точек плоскости, удаленных от точки  на расстояние .

  Пусть центр окружности имеет координаты ,  – некоторая её точка (рис. 23). Тогда по определению расстояние  или . Возведя обе части равенства в квадрат, получим каноническое уравнение окружности

    Если , то центр окружности находится в начале координат и каноническое уравнение имеет вид  .

Эллипс.

    Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

    Выберем фокусы эллипса  и , лежащие на оси . Тогда расстояние между ними будет равно  Пусть произвольная точка эллипса и   (рис. 24). Тогда  т. е.

    Перенесем второй корень вправо

    Возведем обе части в квадрат и раскроем скобки

 

    Приведя подобные, сократив обе части на 4, получим

или

    Обозначив  получим  или

    Это и есть каноническое уравнение эллипса. Если , то эллипс превращается в окружность . Числа  и  называются большой и малой осями эллипса. Величина  называется эксцентриситетом эллипса. Заметим, что у эллипса всегда . Если , (случай окружности) то , следовательно и  . Если , то фокусы эллипса расположены на оси  (рис. 24). Прямые  называются директрисами эллипса (рис. 25).

Гипербола.

    Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между этими фокусами.

    Выберем фокусы эллипса  и , лежащие на оси . Тогда расстояние между ними будет равно  Пусть  произвольная точка гиперболы и   (рис. 26). Тогда  т. е.

   После преобразований, аналогичных выводу уравнений эллипса, мы  получим следующее каноническое уравнение гиперболы.

где . Если , то , если , то  и, следовательно, график не пересекает ось  (рис. 27). Гипербола, задаваемая уравнением

не пересекает ось  (рис. 28). Диагонали прямоугольника, задаваемого уравнениями  являются асимптотами гиперболы, т. е. прямыми, к которым неограниченно приближается график функции при удалении к бесконечности (рис. 29). Уравнения этих асимптот имеют вид . Если , то гипербола называется равносторонней, а направляющий прямоугольник является квадратом.

    Эксцентриситет гиперболы . Прямые  называются директрисами гиперболы.

Парабола.

    Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной  точки, называемой фокусом и от прямой, называемой директрисой.

    Расстояние от этой точки до директрисы называется параметром параболы.

    Выберем фокус параболы,  лежащим на оси  а директрису проведем перпендикулярно к этой оси. Пусть начало координат находится посередине между фокусом и директрисой. Тогда расстояние между ними будет равно p Если  произвольная точка параболы и  расстояние от  до директрисы равно  (рис. 30), то  т. е.

, или

, окончательно . Это и есть каноническое уравнение параболы.   

    Так как расстояние от любой точки параболы до фокуса равно расстоянию до директрисы, то эксцентриситет параболы всегда равен 1.

    Пример 12.  Построить график параболы .  

    Решение. Так как , то уравнение директрисы имеет вид . Тогда фокус имеет координаты  и искомый график изображен на рис. 31.    

    Таким образом, все кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола в некоторой системе координат могут быть записаны с помощью уравнения  

, причем

    Если при этом:

  1.  , то уравнение задает окружность;
  2.   – уравнение определяет эллипс;
  3.    – уравнение определяет гиперболу;
  4.   , то линия является параболой.

    При этом возможны случаи, когда уравнение эллипса вырождается в точку или мнимый эллипс

    Гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых


    Парабола вырождается в пару параллельных прямых  

                      


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23701. Права ребенка 94.5 KB
  Перечень с надписями прав ребенка: Право на жизнь. Право на имя при рождении. Право на медицинскую помощь. Право на образование.
23702. Международное экологическое право 56.5 KB
  басня Крылова €œЛебедь рак и щука€ карта мира выставка литературы по теме €œМеждународное сотрудничество в области охраны окружающей среды€. Нормативные документы: Конституция РФ Федеральный закон РФ €œОб охране окружающей среды€ Указ Президента РФ €œО государственной стратегии РФ по охране окружающей среды и обеспечению устойчивого развития€ Рамочная Конвенция ООН об изменении климата Международное соглашение Киотский протокол к Рамочной конвенции ООН об изменении климата. Наше поколение стало свидетелем драматических событий...
23703. Программирование на языке Паскаль 67 KB
  На каждый теоретический слайд не более трёх минут. На слайды с заданиями от пяти до семи минут. Рассказываю слайд и отмечаю что язык низшего уровня состоит из нулей и единиц. Обсуждаем слайд и немного конспектируем.
23704. Линейные программы и арифметические действия 56.5 KB
  Развитие мышления фантазии памяти внимания и познавательных интересов; Оборудование урока: Компьютерный класс Интерактивная доска Ход урока: 1. Повторение материала предыдущего урока. Организационный момент Приветствие учеников Объявление темы целей и плана урока.
23705. Решение задач на сложные линейные программы 75.5 KB
  program my; var xyy1: integer; begin x:=3; y:=absxsqrsqrx; x:=3; y1:=absxsqrsqrx; writeln y; writeln y1; end. program my; var abc: integer; begin reada; b:=2012; c:=ba; writeln 'ваш примерный возраст 'c; end. program...
23706. Основы языка SQL 75.97 KB
  Баумана Кафедра САПР Основы языка SQL Федорук В.ru 2636526 АННОТАЦИЯ Данное учебное пособие предназначено для изучения основ языка SQL стандартного языка манипулирования данными в СУБД реализующих реляционную модель данных. Описывается синтаксис наиболее употребимых операторов языка SQL приводятся примеры. Учебная база данных реализована в среде СУБД mySQL средства доступа к ней встроены в учебное пособие.
23707. История Советского государства 1900-1991 3.37 MB
  Изменения и кризис в партии [4. XVII съезд партии. XVIII съезд партии. Полная трансформация партии [9.
23708. Перевод условия задачи на математический язык 51 KB
  Составьте выражения для ответа на вопрос задачи: 1 Автомобиль проходит расстояние х км за 2 ч а автобус − за 3 ч. Свой результат группы вывешивают на доску: 1 x : 2 – x : 3; 2 x : 2 – x : 3; 3 x : 2 – x : 3; 4 x : 2 – x : 3; – Что интересного вы замечаете Задачи все разные а выражения одинаковые. – Какое задание стояло перед вами Надо было составить выражение по условию задачи.
23709. Работа с математическими моделями 61 KB
  Количество в м Стоимость в руб. Шерсть d 3 420 000 Шёлк с Сначала надо найти стоимость шерсти: 3d затем стоимость шёлка: 420 000 – 3d что бы найти цену шёлка6 надо его стоимость разделить на количество купленного шёлка: 420000 – 3d : c Если d = 80 000 c = 2 420000 – 380 000 : 2 = 90 000 Ответ: цена шёлка 90 000 руб. Количество Стоимость в руб. Хлеб а 3 батона Яблоки b 2 кг Что бы найти стоимость всей покупки надо знать стоимость хлеба и стоимость яблок.