95602

Линии 2-го порядка на плоскости

Лекция

Математика и математический анализ

Перенесем второй корень вправо Возведем обе части в квадрат и раскроем скобки Приведя подобные сократив обе части на 4 получим или Обозначив получим или Это и есть каноническое уравнение эллипса. Числа и называются большой и малой осями эллипса.

Русский

2015-09-24

126.62 KB

1 чел.

Линии 2-го порядка на плоскости. Лекция 3.

Линии 2-го порядка на плоскости.

Основные понятия.

    Рассмотрим линии, уравнения которых задаются в виде выражений, в которых переменные  и  входят с степенью не выше второй, т. е. имеют вид

где, по крайней мере один из коэффициентов  не равен нулю. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка.

Окружность.

    Окружностью с центром в точке  радиуса называется множество всех точек плоскости, удаленных от точки  на расстояние .

  Пусть центр окружности имеет координаты ,  – некоторая её точка (рис. 23). Тогда по определению расстояние  или . Возведя обе части равенства в квадрат, получим каноническое уравнение окружности

    Если , то центр окружности находится в начале координат и каноническое уравнение имеет вид  .

Эллипс.

    Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

    Выберем фокусы эллипса  и , лежащие на оси . Тогда расстояние между ними будет равно  Пусть произвольная точка эллипса и   (рис. 24). Тогда  т. е.

    Перенесем второй корень вправо

    Возведем обе части в квадрат и раскроем скобки

 

    Приведя подобные, сократив обе части на 4, получим

или

    Обозначив  получим  или

    Это и есть каноническое уравнение эллипса. Если , то эллипс превращается в окружность . Числа  и  называются большой и малой осями эллипса. Величина  называется эксцентриситетом эллипса. Заметим, что у эллипса всегда . Если , (случай окружности) то , следовательно и  . Если , то фокусы эллипса расположены на оси  (рис. 24). Прямые  называются директрисами эллипса (рис. 25).

Гипербола.

    Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между этими фокусами.

    Выберем фокусы эллипса  и , лежащие на оси . Тогда расстояние между ними будет равно  Пусть  произвольная точка гиперболы и   (рис. 26). Тогда  т. е.

   После преобразований, аналогичных выводу уравнений эллипса, мы  получим следующее каноническое уравнение гиперболы.

где . Если , то , если , то  и, следовательно, график не пересекает ось  (рис. 27). Гипербола, задаваемая уравнением

не пересекает ось  (рис. 28). Диагонали прямоугольника, задаваемого уравнениями  являются асимптотами гиперболы, т. е. прямыми, к которым неограниченно приближается график функции при удалении к бесконечности (рис. 29). Уравнения этих асимптот имеют вид . Если , то гипербола называется равносторонней, а направляющий прямоугольник является квадратом.

    Эксцентриситет гиперболы . Прямые  называются директрисами гиперболы.

Парабола.

    Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной  точки, называемой фокусом и от прямой, называемой директрисой.

    Расстояние от этой точки до директрисы называется параметром параболы.

    Выберем фокус параболы,  лежащим на оси  а директрису проведем перпендикулярно к этой оси. Пусть начало координат находится посередине между фокусом и директрисой. Тогда расстояние между ними будет равно p Если  произвольная точка параболы и  расстояние от  до директрисы равно  (рис. 30), то  т. е.

, или

, окончательно . Это и есть каноническое уравнение параболы.   

    Так как расстояние от любой точки параболы до фокуса равно расстоянию до директрисы, то эксцентриситет параболы всегда равен 1.

    Пример 12.  Построить график параболы .  

    Решение. Так как , то уравнение директрисы имеет вид . Тогда фокус имеет координаты  и искомый график изображен на рис. 31.    

    Таким образом, все кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола в некоторой системе координат могут быть записаны с помощью уравнения  

, причем

    Если при этом:

  1.  , то уравнение задает окружность;
  2.   – уравнение определяет эллипс;
  3.    – уравнение определяет гиперболу;
  4.   , то линия является параболой.

    При этом возможны случаи, когда уравнение эллипса вырождается в точку или мнимый эллипс

    Гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых


    Парабола вырождается в пару параллельных прямых  

                      


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85123. Тематичне опитування. Контроль навчальних досягнень учнів з теми Додавання і віднімання багатоцифрових чисел 33.89 KB
  На лісовій ділянці посадили 125 лип берізок на 75 більше ніж лип а дубів на 320 більше ніж беріз. Учні першої школи зібрали 12 кг 400 г шипшини другої на 5 кг 200 г менше ніж першої а третьої на 10 кг 700 г менше ніж учні першої і другої шкіл разом. У перших класах 180 учнів у других на 20 учнів більше ніж у перших а в третіх на 60 учнів менше ніж у других. Перша бригада відремонтувала 5 км 500 м дороги друга на 1 км 100 м більше ніж перша а третя на 4 км 900 м менше ніж перша і друга бригади разом.
85124. Аналіз тематичного опитування. Поняття про швидкість. Задачі на знаходження швидкості руху 86.98 KB
  Поняття про швидкість. Провести аналіз тематичного опитування; зясувати типові помилки; організувати роботу над помилками; ознайомити учнів з поняттям швидкість руху простими і складеними задачами на знаходження швидкості. Таблиця Швидкість. Щоб знайти швидкість треба відстань поділити на час.
85125. Задачі на знаходження відстані за даними швидкістю і часом. Знаходження значень виразів на додавання і віднімання 80.59 KB
  Ознайомити учнів зі способом визначення відстані за відомими швидкістю і часом; формувати вміння розвязувати задачі на основі творчих видів роботи; розвивати обчислювальні навички.
85126. Задачі на знаходження часу за швидкістю і відстанню. Дії над іменованими числами 104.28 KB
  Ознайомити учнів зі способом визначення часу за відомими швидкістю і відстанню; повторити виконання дій над іменованими числами.
85127. Прості і складені задачі на визначення швидкості, часу і відстані. Дії над іменованими числами. Ознайомлення з назвами геометричних тіл 43.93 KB
  Узагальнити зв\'язки між відстанню, часом і швидкістю; закріплювати вміння учнів розв\'язувати задачі на обчислення згаданих величин, виконувати дії над іменованими числами; ознайомити з назвами геометричних тіл.
85128. Дія множення. Переставний, сполучний і розподільний закони множення 57.4 KB
  Узагальнити уявлення учнів про дію множення; повторити взаємозвязки між величинами відстань, швидкість, час; перевірити обчислювальні навички та вміння розвязувати задачі, рівняння, нерівності.
85129. Нумерація трицифрових чисел. Табличне множення. Задачі на зведення до одиниці 224.36 KB
  Нумерація трицифрових чисел. Ознайомити учнів з підручником математики для 4 класу; повторити нумерацію трицифрових чисел зв\'язок дій додавання і множення таблицю множення; удосконалювати вміння розвязувати задачі на зведення до одиниці. Повторення нумерації трицифрових чисел. Назвіть цифру спільну для чисел кожного стовпчика і поясніть що вона означає в тому чи іншому випадку.
85130. Нумерація трицифрових чисел. Записування чисел під диктовку. Розкладання чисел на розрядні доданки 38.96 KB
  Повторити способи читання і записування трицифрових чисел, значення цифри залежно від її місця у запису числа, розкладання чисел на розрядні доданки, таблицю ділення; розвивати уміння розвязувати задачі двома способами, знаходити значення виразів зручним способом.
85131. Письмове додавання і віднімання трицифрових чисел. Знаходження значень буквених виразів. Розміщення відрізків на площині і в просторі 69.07 KB
  Письмове додавання і віднімання трицифрових чисел. Повторити прийоми письмового додавання і віднімання трицифрових чисел ділення і множення круглих чисел; удосконалювати вміння знаходити значення буквених виразів розвязувати задачі на знаходження третього доданка; закріпити поняття про вертикальне і горизонтальне положення відрізків. Заміни додавання множенням. З даного виразу на додавання склади ще один вираз на множення.