95602

Линии 2-го порядка на плоскости

Лекция

Математика и математический анализ

Перенесем второй корень вправо Возведем обе части в квадрат и раскроем скобки Приведя подобные сократив обе части на 4 получим или Обозначив получим или Это и есть каноническое уравнение эллипса. Числа и называются большой и малой осями эллипса.

Русский

2015-09-24

126.62 KB

0 чел.

Линии 2-го порядка на плоскости. Лекция 3.

Линии 2-го порядка на плоскости.

Основные понятия.

    Рассмотрим линии, уравнения которых задаются в виде выражений, в которых переменные  и  входят с степенью не выше второй, т. е. имеют вид

где, по крайней мере один из коэффициентов  не равен нулю. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка.

Окружность.

    Окружностью с центром в точке  радиуса называется множество всех точек плоскости, удаленных от точки  на расстояние .

  Пусть центр окружности имеет координаты ,  – некоторая её точка (рис. 23). Тогда по определению расстояние  или . Возведя обе части равенства в квадрат, получим каноническое уравнение окружности

    Если , то центр окружности находится в начале координат и каноническое уравнение имеет вид  .

Эллипс.

    Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

    Выберем фокусы эллипса  и , лежащие на оси . Тогда расстояние между ними будет равно  Пусть произвольная точка эллипса и   (рис. 24). Тогда  т. е.

    Перенесем второй корень вправо

    Возведем обе части в квадрат и раскроем скобки

 

    Приведя подобные, сократив обе части на 4, получим

или

    Обозначив  получим  или

    Это и есть каноническое уравнение эллипса. Если , то эллипс превращается в окружность . Числа  и  называются большой и малой осями эллипса. Величина  называется эксцентриситетом эллипса. Заметим, что у эллипса всегда . Если , (случай окружности) то , следовательно и  . Если , то фокусы эллипса расположены на оси  (рис. 24). Прямые  называются директрисами эллипса (рис. 25).

Гипербола.

    Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между этими фокусами.

    Выберем фокусы эллипса  и , лежащие на оси . Тогда расстояние между ними будет равно  Пусть  произвольная точка гиперболы и   (рис. 26). Тогда  т. е.

   После преобразований, аналогичных выводу уравнений эллипса, мы  получим следующее каноническое уравнение гиперболы.

где . Если , то , если , то  и, следовательно, график не пересекает ось  (рис. 27). Гипербола, задаваемая уравнением

не пересекает ось  (рис. 28). Диагонали прямоугольника, задаваемого уравнениями  являются асимптотами гиперболы, т. е. прямыми, к которым неограниченно приближается график функции при удалении к бесконечности (рис. 29). Уравнения этих асимптот имеют вид . Если , то гипербола называется равносторонней, а направляющий прямоугольник является квадратом.

    Эксцентриситет гиперболы . Прямые  называются директрисами гиперболы.

Парабола.

    Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной  точки, называемой фокусом и от прямой, называемой директрисой.

    Расстояние от этой точки до директрисы называется параметром параболы.

    Выберем фокус параболы,  лежащим на оси  а директрису проведем перпендикулярно к этой оси. Пусть начало координат находится посередине между фокусом и директрисой. Тогда расстояние между ними будет равно p Если  произвольная точка параболы и  расстояние от  до директрисы равно  (рис. 30), то  т. е.

, или

, окончательно . Это и есть каноническое уравнение параболы.   

    Так как расстояние от любой точки параболы до фокуса равно расстоянию до директрисы, то эксцентриситет параболы всегда равен 1.

    Пример 12.  Построить график параболы .  

    Решение. Так как , то уравнение директрисы имеет вид . Тогда фокус имеет координаты  и искомый график изображен на рис. 31.    

    Таким образом, все кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола в некоторой системе координат могут быть записаны с помощью уравнения  

, причем

    Если при этом:

  1.  , то уравнение задает окружность;
  2.   – уравнение определяет эллипс;
  3.    – уравнение определяет гиперболу;
  4.   , то линия является параболой.

    При этом возможны случаи, когда уравнение эллипса вырождается в точку или мнимый эллипс

    Гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых


    Парабола вырождается в пару параллельных прямых  

                      


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13112. Адольф Дистервегтің педагогикалық қызметі мен теориясы 53 KB
  Адольф Дистервегтің педагогикалық қызметі мен теориясы. 1790-1866 Дистервегтің педагогикалық қызметі мен ғұмырнамалық деректері. Немістің ғұлама педагогі Адольф Дистервег ХІХ ғасырдың орта кезіндегі герман буржуазиялықдемократиялық педагогикасының көрн
13113. Сыныптан тыс жұмыс «Алтын қақпа» интеллектуалдық ойыны 44 KB
  Сыныптан тыс жұмыс Алтын қақпа интеллектуалдық ойыны Сабақтың мақсаты: Оқушылардың қазақ тілі мен әдебиеті пәнінен алған білімдерін ел тарихы салтдәстүрлерін қаншалықты білетіндіктерін тексеру. Дамытушылық мақсаты: Оқушылардың ойөрісін тіл байлығын дамы...
13114. БАЛАБАҚШАЛАРДА ҰЛТТЫҚ ОЙЫНДАРДЫ ПАЙДАЛАНУ 101.5 KB
  БАЛАБАҚШАЛАРДА ҰЛТТЫҚ ОЙЫНДАРДЫ ПАЙДАЛАНУ І. Кіріспе Балалар фольклорын дамытушы негізгі бір сала – ойын. ІІ. Негізгі бөлім 1. Ойын – балалардың ойлау қабілетін арттыратын іс әрекет. 2. Ұлттық мұраның бай қазынасы – халықтық ұлттық ойындар. ІІІ. Қорытынды. ...
13116. Бастауыш сынып оқушыларының зерттеу-ізденушілік жұмыстарын ұйымдастыру 366.5 KB
  Бастауыш сынып оқушыларының зерттеуізденушілік жұмыстарын ұйымдастыру әдістемелік нұсқау Бұл кітапшада Өскемен қаласының № 44 мектеплицейінің бастауыш сыныптарында сыныптан тыс жүргізілетін Зерде ғылыми қоғамының этномәдениет секциясын ұйымдастырылу ү
13117. Батыс Еуропадағы орта ғасырдағы тәрбие және мектеп 43 KB
  Батыс Еуропадағы орта ғасырдағы тәрбие және мектеп. Мазмұны: 1. Орта ғасырдағы діни мектептердің пайда болуы. 2. Қайта өрлеу дәуіріндегі педагогика және мектеп. 1. Орта ғасырдағы діни мектептердің пайда болуы. Құлдық қоғамның ыдырауы және құлауы оны жаңа фео...
13118. Бұқар жырау мен Дулат Бабатайұлының тәлім тәрбиелік идеялары 47.5 KB
  Бұқар жырау мен Дулат Бабатайұлының тәлім тәрбиелік идеялары 1. Бұқар жыраудың тәлімтәрбиелік идеялары. 1668-1781 ХҮІІІ ғасырда Қазақстанда ағартушылық ойпікірдің дамуында өзіндік із қалдырған ақынжыраулар поэзиясының көрнекті өкілі Бұқаржырау Қалқаманұлы....
13119. Сухомлинскийдің В.А. педагогикалық идеясы 38.5 KB
  В.А.Сухомлинскийдің педагогикалық идеясы 1918-1970 В.А.Сухомлинскийдің шығармашылығы әрбір жыл өткен сайын біздің елімізде сол сияқты шетелде ғылыми және педагогикалық жұртшылықтың тарапынан бірденбір ерекше көңіл бөлініп келеді. Бұл кездейсоқтық емес. Оның талда...
13120. Белинский В.Г. мен А.И.Герценнің педагогикалық теориясы 44.5 KB
  В.Г.Белинский мен А.И.Герценнің педагогикалық теориясы. В.Г.Белинскийдің педагогикалық көзқарастары. 18111848 ХІХ ғасырдың 3040 жылдары орыстың прогрессивтік қоғамдықпедагогикалық ойпікірінің дамуына В.Г.Белинский мен А.Н.Герцен ерекше роль атқарды. Революциял