95603

Матрицы и определители

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Числа называются элементами матрицы где - указывает номер строки - указывает номер столбца. Матрица полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером называется транспонированной. Другими словами строки матрицы умножаются на столбцы матрицы Пример...

Русский

2015-09-24

60.5 KB

0 чел.

Матрицы и определители. Лекция 4.

Матрицы.

Основные понятия.

    Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

    Пример 13. ,   , , .

    В общем случае матрица может содержать  строк и  столбцов

.

    Числа  называются элементами матрицы, где  - указывает номер строки, - указывает номер столбца.

    Элементы  образуют главную диагональ матрицы.
    Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется
квадратной. Квадратная матрица размеров  называется матрицей  – го порядка.

    Матрицы называются равными, если у них равны элементы, стоящие на соответствующих местах, т. е.  тогда и только тогда, когда , для всех , .

    Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме главной диагонали равны 0, называется диагональной.

    Пример 14. .

    Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой.

    Пример 15.  .

    Диагональная матрица, у которой каждый элемент диагонали равен 1, называется единичной.

    Пример 16. ,  .

   Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от диагонали, равны нулю.

    Пример 17.  ,  .

    Матрица, содержащая одну строку (столбец), называется вектором (вектор-строкой, вектор-столбцом).

    Пример 18. , .

    Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной .

    Пример 19.    ;

Очевидно, что  .

Действия над матрицами.

    Матрицы одинаковых размерностей можно складывать и вычитать. Если

, , то , причем

, для всех  .

    Пример 20. ,

.

Умножение матрицы на число.

    Чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый ее элемент умножить на это число.

    Пример 21. Пусть , тогда  .
    Матрица  называется
противоположной к матрице.

Умножение матриц.

    Умножение матриц  можно только в том случае, когда число столбцов  матрицы  равно числу строк матрицы  В этом случае справедливо соотношение , причем элементы матрицы  равны ,  , . Другими словами строки матрицы  умножаются на столбцы матрицы

    Пример 22. Пусть   , . Тогда

,

.

    Видим, что в общем случае  . Если же выполняется условие , то матрицы  и  называются перестановочными друг с другом.

    Матрица называется ступенчатой, если для её элементов выполняются условия:

  1.  под первым не нулевым элементом каждой строки находится 0;
  2.  первый ненулевой элемент любой строки находится правее первого не нулевого элемента любой строки, расположенной выше.

Пример 23. Следующая матрица является ступенчатой.

.

Элементарные преобразования матриц.

    Элементарными преобразованиями матриц являются:

  1.  Перестановка местами двух любых её строк (столбцов).
  2.  Умножение элементов какой-нибудь строки (столбца) на некоторое не нулевое число.
  3.  Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

    Две матрицы  называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований

    Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.

Определители.

    Определителем называется квадратная числовая таблица, вычисляемая по определенным правилам.

    Пример 24. Если , то  . Так .

Если , то .

Так .

Если  , то

. Так

.

    При  вычислении определителей 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников. С плюсом берутся произведения элементов стоящих на главной диагонали и элементы, стоящие в вершинах следующих треугольников.

   

     С минусом берутся произведения элементов, стоящих на второй диагонали и в вершинах следующих треугольников.

  

     Второй метод заключается в том, что рядом с определителем справа записываются первый и второй столбцы и тогда с плюсом берутся произведения элементов, стоящих на главной диагонали и двух ей параллельных, с минусом – произведения элементов, стоящих на второй диагонали и двух ей параллельных.   

    

    

Вычисление определителей более высоких порядков осуществляется путем использования их свойств.


Свойства определителей.

    Пусть дана квадратная матрица


    Из элементов этой матрицы можно составить определитель, который называется детерминантом матрицы  и обозначается


    Минором некоторого элемента определителя  называют определитель, который получается вычеркиванием из него строки и  столбца. Например

, .

    Алгебраическим дополнением элемента  определителя называют число . Например

,  .

Свойства определителей.

    1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот, т. е. .

    2. Определитель меняет знак при перестановке любых двух его строк (столбцов).

3. Определитель, имеющий две равные строки (столбца), равен 0.

4. Общий множитель строки (столбца) можно выносить за знак определителя, например

.

    5. Если элементы какой-нибудь строки (столбца) представимы в виде суммы двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, например

    6. Определитель не изменится, если к какой-нибудь строке (столбцу) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на некоторое ненулевое число.

(I=I+II).

    7. Определитель треугольной матрицы равен произведению её диагональных элементов.

8. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Например

.

Для вычисления определителя мы использовали разложение по второй строке, так как она содержит большее число нулевых элементов.

9. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на соответствующее алгебраическое дополнение другой строки (столбца) равна 0.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53954. Технічна експлуатація систем передачі і апаратури, каналів, трактів СЦІ 987.43 KB
  Системи передачі (СП) - це комплекс технічних засобів, що забезпечує створення типових трактів та каналів передачі первинних мереж.
53955. Wireless Java 1.55 MB
  This book is divided into three parts. Part I gives an overview of the J2ME and includes information about its architectural components: namely, configurations and profiles. Part I also presents detailed coverage of the CLDC and the MIDP.
53956. Learning Foreign Language 25 KB
  I study English. Nowadays English has become the world’s most important language in politics, science, trade and culture relations. Over 300 million people speak English as a mother tongue. To know English today is absolutely necessary for every educated person, for every good specialist. English language is a wonderful language.
53958. Культурология как наука: объект и предмет исследования, структура 29 KB
  Термин «культурология» был предложен в 1949 году известным американским антропологом Лесли Уайтом (1900—1975) для обозначения новой научной дисциплины как самостоятельной науки в комплексе социальных наук. Культурология является интегративной сферой знания, рожденной на стыке философии, истории, психологии, языкознания, этнографии, религии, социологии культуры и искусствоведения.
53959. Легенди та перекази рідного краю 72.5 KB
  Обладнання: книги Хуст над Тисою легенди рідного краю Замки Закарпаття довідник для туристів Хуст альбом Наше місто альбом Легенди нашого краю малюнки учнів. Повідомлення теми та мети уроку Сьогодні ми проводимо виховну годину на тему Легенди й перекази рідного краю на якій ми краще дізнаємось про минуле рідного краю зокрема Хустський замок від чого пішла назва нашого міста річок мікрорайонів; будемо розвивати своє звязне мовлення; вчитися шанувати і берегти історичні памятки природу. Друга сторінка нашого журналу...
53960. Легкая атлетика в 4-м классе 100 KB
  В работе представлен конспект для проведения урока по физкультуре в системе государственных средних общеобразовательных школ. Тема урока: Легкая атлетика в 4м классе. Конспект урока по физической культуре.
53961. Geburtstag und Geschenke 1.59 MB
  Sch?n ist es im Herbstwald. Die Birken bekommen goldene, rote, dunkelbraune Bl?tter. Der Espenwald steht wie im Flammen da, und nur die Tannen bleiben immer dunkelgr?n. Die Pappeln haben braune Kleidung an. Ab und zu fliegt ein Vogel vorbei. Meisen, Spechte
53962. Стилістичні шари лексики. Практичне заняття клубу любителів української словесності 85.5 KB
  Мета заняття: 1 навчальна: закріпити й розширити знання учнів із зазначеної теми; 2 розвивальна: розвивати вміння й навички повязані зі стилістичною диференціацією лексики української мови; сприяти розвитку вмінь аналізувати порівнювати мовні явища конструювати мовні одиниці; сприяти розвитку логічного мислення; 3 виховна: виховувати повагу до слова естетичні смаки учнів. Большой энциклопедический...