95603

Матрицы и определители

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Числа называются элементами матрицы где - указывает номер строки - указывает номер столбца. Матрица полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером называется транспонированной. Другими словами строки матрицы умножаются на столбцы матрицы Пример...

Русский

2015-09-24

60.5 KB

0 чел.

Матрицы и определители. Лекция 4.

Матрицы.

Основные понятия.

    Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

    Пример 13. ,   , , .

    В общем случае матрица может содержать  строк и  столбцов

.

    Числа  называются элементами матрицы, где  - указывает номер строки, - указывает номер столбца.

    Элементы  образуют главную диагональ матрицы.
    Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется
квадратной. Квадратная матрица размеров  называется матрицей  – го порядка.

    Матрицы называются равными, если у них равны элементы, стоящие на соответствующих местах, т. е.  тогда и только тогда, когда , для всех , .

    Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме главной диагонали равны 0, называется диагональной.

    Пример 14. .

    Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой.

    Пример 15.  .

    Диагональная матрица, у которой каждый элемент диагонали равен 1, называется единичной.

    Пример 16. ,  .

   Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от диагонали, равны нулю.

    Пример 17.  ,  .

    Матрица, содержащая одну строку (столбец), называется вектором (вектор-строкой, вектор-столбцом).

    Пример 18. , .

    Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной .

    Пример 19.    ;

Очевидно, что  .

Действия над матрицами.

    Матрицы одинаковых размерностей можно складывать и вычитать. Если

, , то , причем

, для всех  .

    Пример 20. ,

.

Умножение матрицы на число.

    Чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый ее элемент умножить на это число.

    Пример 21. Пусть , тогда  .
    Матрица  называется
противоположной к матрице.

Умножение матриц.

    Умножение матриц  можно только в том случае, когда число столбцов  матрицы  равно числу строк матрицы  В этом случае справедливо соотношение , причем элементы матрицы  равны ,  , . Другими словами строки матрицы  умножаются на столбцы матрицы

    Пример 22. Пусть   , . Тогда

,

.

    Видим, что в общем случае  . Если же выполняется условие , то матрицы  и  называются перестановочными друг с другом.

    Матрица называется ступенчатой, если для её элементов выполняются условия:

  1.  под первым не нулевым элементом каждой строки находится 0;
  2.  первый ненулевой элемент любой строки находится правее первого не нулевого элемента любой строки, расположенной выше.

Пример 23. Следующая матрица является ступенчатой.

.

Элементарные преобразования матриц.

    Элементарными преобразованиями матриц являются:

  1.  Перестановка местами двух любых её строк (столбцов).
  2.  Умножение элементов какой-нибудь строки (столбца) на некоторое не нулевое число.
  3.  Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

    Две матрицы  называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований

    Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.

Определители.

    Определителем называется квадратная числовая таблица, вычисляемая по определенным правилам.

    Пример 24. Если , то  . Так .

Если , то .

Так .

Если  , то

. Так

.

    При  вычислении определителей 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников. С плюсом берутся произведения элементов стоящих на главной диагонали и элементы, стоящие в вершинах следующих треугольников.

   

     С минусом берутся произведения элементов, стоящих на второй диагонали и в вершинах следующих треугольников.

  

     Второй метод заключается в том, что рядом с определителем справа записываются первый и второй столбцы и тогда с плюсом берутся произведения элементов, стоящих на главной диагонали и двух ей параллельных, с минусом – произведения элементов, стоящих на второй диагонали и двух ей параллельных.   

    

    

Вычисление определителей более высоких порядков осуществляется путем использования их свойств.


Свойства определителей.

    Пусть дана квадратная матрица


    Из элементов этой матрицы можно составить определитель, который называется детерминантом матрицы  и обозначается


    Минором некоторого элемента определителя  называют определитель, который получается вычеркиванием из него строки и  столбца. Например

, .

    Алгебраическим дополнением элемента  определителя называют число . Например

,  .

Свойства определителей.

    1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот, т. е. .

    2. Определитель меняет знак при перестановке любых двух его строк (столбцов).

3. Определитель, имеющий две равные строки (столбца), равен 0.

4. Общий множитель строки (столбца) можно выносить за знак определителя, например

.

    5. Если элементы какой-нибудь строки (столбца) представимы в виде суммы двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, например

    6. Определитель не изменится, если к какой-нибудь строке (столбцу) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на некоторое ненулевое число.

(I=I+II).

    7. Определитель треугольной матрицы равен произведению её диагональных элементов.

8. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Например

.

Для вычисления определителя мы использовали разложение по второй строке, так как она содержит большее число нулевых элементов.

9. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на соответствующее алгебраическое дополнение другой строки (столбца) равна 0.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19616. Складання виробів. Остаточна обробка виробів з фанери 22.53 KB
  Урок 20. Складання виробів. Остаточна обробка виробів з фанери 1 год. Мета уроку. Узагальнення і систематизація знань про з’єднання деталей за допомогою цвяхів клею ПВА; удосконалення набутих умінь готувати та склеювати деталі у виріб. Виховувати акуратність та органі...
19617. Оздоблення виробів. Випалювання на деревині 26.7 KB
  Урок 21. Оздоблення виробів. Випалювання на деревині 1 год. Мета уроку. Засвоєння знань про види оздоблення виробів з фанери принцип дії приладу для випалювання на деревині; формування прийомів випалювання на деревині. Виховувати акуратність під час виконання оздоблю...
19618. Оздоблення виробів. Лакування (фарбування) виробу 38.93 KB
  Урок 22. Оздоблення виробів. Лакування фарбування виробу 1 год. Мета уроку. Формування вмінь виконувати оздоблення лакуванням та фарбуванням дерев’яних виробів. Виховувати акуратність та організованість виконавчу дисципліну. Об’єкт навчальної праці: кухонна поли...
19619. Оцінка об’єкта і процесу технологічної діяльності 27.8 KB
  Урок 23. Оцінка об’єкта і процесу технологічної діяльності 1 год. Мета уроку. Засвоєння знань про витрати на виготовлення виробу. Формування умінь розраховувати витрати матеріалів на виконання виробу. Розвивати мислення. Виховувати бережливе ставлення до матеріаль
19620. Електрична енергія в господарстві держави і в побуті. Електричне коло 26.67 KB
  Урок 24. Електрична енергія в господарстві держави і в побуті. Електричне коло 1 год. Мета уроку. Засвоєння знань про електричне коло джерело струму з’єднувальні проводи споживач електромонтажні інструменти. Сприяти розвитку інтересів до електротехнічних робіт. О...
19621. ПРИКЛАДНЕ ПРОГРАМНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ. ПАКЕТ ПРИКЛАДНИХ ПРОГРАМ MICROSOFT OFFICE 51.5 KB
  Прикладне програмне забезпечення (ППЗ) - призначене для розробки і виконання на ПК практичних задач користувача. Прикладне програмне забезпечення працює під управлінням системного ПЗ, передусім операційних систем
19622. Будова і призначення електричної арматури. Проста електрична схема 36.43 KB
  Урок 26. Будова і призначення електричної арматури. Проста електрична схема 1 год. Мета уроку. Засвоєння знань про електричну арматуру ламповий патрон вимикач штепсельне з’єднання просту електричну схему. Формування вмінь виконувати найпростішу електричну схему.
19623. Електроосвітлювальна арматура. Правила безпечної роботи 22.4 KB
  Урок 27. Електроосвітлювальна арматура. Правила безпечної роботи 1 год. Мета уроку. Засвоєння знань про технологію монтажу освітлювальної мережі правила безпечної роботи під час ремонту та експлуатації електричної мережі. Формування умінь приєднувати проводи до ел...
19624. Процесс выполнения креативной стрижки «Шапочка» 400.5 KB
  Благодаря появляющимся новым силуэтам и формам стрижек, причесок, человек приобретает надежду на то, чтобы соответствовать критериями современной моды. В процессе написания дипломной работы мною было изучено рабочее место парикмахера, виды инструментов, применяемых при стрижке и была рассмотрена креативная стрижка «шапочка». Прогресс парикмахерского искусства возможен благодаря применению совершенно новых современных методов вы