95603

Матрицы и определители

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Числа называются элементами матрицы где - указывает номер строки - указывает номер столбца. Матрица полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером называется транспонированной. Другими словами строки матрицы умножаются на столбцы матрицы Пример...

Русский

2015-09-24

60.5 KB

0 чел.

Матрицы и определители. Лекция 4.

Матрицы.

Основные понятия.

    Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

    Пример 13. ,   , , .

    В общем случае матрица может содержать  строк и  столбцов

.

    Числа  называются элементами матрицы, где  - указывает номер строки, - указывает номер столбца.

    Элементы  образуют главную диагональ матрицы.
    Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется
квадратной. Квадратная матрица размеров  называется матрицей  – го порядка.

    Матрицы называются равными, если у них равны элементы, стоящие на соответствующих местах, т. е.  тогда и только тогда, когда , для всех , .

    Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме главной диагонали равны 0, называется диагональной.

    Пример 14. .

    Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой.

    Пример 15.  .

    Диагональная матрица, у которой каждый элемент диагонали равен 1, называется единичной.

    Пример 16. ,  .

   Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от диагонали, равны нулю.

    Пример 17.  ,  .

    Матрица, содержащая одну строку (столбец), называется вектором (вектор-строкой, вектор-столбцом).

    Пример 18. , .

    Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной .

    Пример 19.    ;

Очевидно, что  .

Действия над матрицами.

    Матрицы одинаковых размерностей можно складывать и вычитать. Если

, , то , причем

, для всех  .

    Пример 20. ,

.

Умножение матрицы на число.

    Чтобы умножить матрицу на число, необходимо каждый ее элемент умножить на это число.

    Пример 21. Пусть , тогда  .
    Матрица  называется
противоположной к матрице.

Умножение матриц.

    Умножение матриц  можно только в том случае, когда число столбцов  матрицы  равно числу строк матрицы  В этом случае справедливо соотношение , причем элементы матрицы  равны ,  , . Другими словами строки матрицы  умножаются на столбцы матрицы

    Пример 22. Пусть   , . Тогда

,

.

    Видим, что в общем случае  . Если же выполняется условие , то матрицы  и  называются перестановочными друг с другом.

    Матрица называется ступенчатой, если для её элементов выполняются условия:

  1.  под первым не нулевым элементом каждой строки находится 0;
  2.  первый ненулевой элемент любой строки находится правее первого не нулевого элемента любой строки, расположенной выше.

Пример 23. Следующая матрица является ступенчатой.

.

Элементарные преобразования матриц.

    Элементарными преобразованиями матриц являются:

  1.  Перестановка местами двух любых её строк (столбцов).
  2.  Умножение элементов какой-нибудь строки (столбца) на некоторое не нулевое число.
  3.  Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

    Две матрицы  называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований

    Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.

Определители.

    Определителем называется квадратная числовая таблица, вычисляемая по определенным правилам.

    Пример 24. Если , то  . Так .

Если , то .

Так .

Если  , то

. Так

.

    При  вычислении определителей 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников. С плюсом берутся произведения элементов стоящих на главной диагонали и элементы, стоящие в вершинах следующих треугольников.

   

     С минусом берутся произведения элементов, стоящих на второй диагонали и в вершинах следующих треугольников.

  

     Второй метод заключается в том, что рядом с определителем справа записываются первый и второй столбцы и тогда с плюсом берутся произведения элементов, стоящих на главной диагонали и двух ей параллельных, с минусом – произведения элементов, стоящих на второй диагонали и двух ей параллельных.   

    

    

Вычисление определителей более высоких порядков осуществляется путем использования их свойств.


Свойства определителей.

    Пусть дана квадратная матрица


    Из элементов этой матрицы можно составить определитель, который называется детерминантом матрицы  и обозначается


    Минором некоторого элемента определителя  называют определитель, который получается вычеркиванием из него строки и  столбца. Например

, .

    Алгебраическим дополнением элемента  определителя называют число . Например

,  .

Свойства определителей.

    1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот, т. е. .

    2. Определитель меняет знак при перестановке любых двух его строк (столбцов).

3. Определитель, имеющий две равные строки (столбца), равен 0.

4. Общий множитель строки (столбца) можно выносить за знак определителя, например

.

    5. Если элементы какой-нибудь строки (столбца) представимы в виде суммы двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, например

    6. Определитель не изменится, если к какой-нибудь строке (столбцу) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на некоторое ненулевое число.

(I=I+II).

    7. Определитель треугольной матрицы равен произведению её диагональных элементов.

8. Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Например

.

Для вычисления определителя мы использовали разложение по второй строке, так как она содержит большее число нулевых элементов.

9. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на соответствующее алгебраическое дополнение другой строки (столбца) равна 0.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39231. Электрические свойства 2.68 MB
  Удельная электрическая проводимость среды σ и ее удельное электрическое сопротивление ρ равны соответственно проводимости Σ и сопротивлению R единицы объема среды. У типичных проводников с электронной проводимостью металлов удельное сопротивление весьма мало ρ=104 ÷ 108 Омм. Наличие их в породах при ковалентнометаллической или ионнометаллической форме кристаллической связи существенно увеличивает электропроводность минералов удельное сопротивление которых изменяется в пределах 103 ÷ 106 Омм. Самородные металлы и их...
39232. ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА 1.76 MB
  Диагенез катагенез метаморфизм и метасоматизм пород образование всех видов полезных ископаемых тектонические и другие геологические процессы всё это связано с перераспределением тепла в земных недрах. Естественно что изучение тепловых процессов Земли тепловых свойств пород является весьма важной частью как в работах планетарного масштаба так и в прикладных исследованиях. Сведения о тепловых режимах земной коры в разное геологическое время широко используются при региональнозональном прогнозировании нефтегазоматеринских толщ зон...
39233. ЯДЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 2.37 MB
  Напротив ядро бериллия состоящее из 5 нейтронов и 4 протонов 2 αчастицынейтрон аномально неустойчиво распадается при облучении гаммаквантами относительно небольшой энергии. Гаммаизлучение это жесткое электромагнитное излучение сопровождающее ядерные превращения. Так при превращении радия в радон испускается гаммаквант энергии 019 МэВ поскольку именно такая разница между энергиями возбужденного и нормального состояний имеет место у радона. В сравнении с другими видами электромагнитного излучения гаммаизлучение...
39234. Петрофизические связи и петрофизические модели месторождений 3.99 MB
  Эти задачи можно было решить только при условии что будут установлены закономерные связи между параметрами получаемыми при интерпретации данных ГИС с одной стороны и параметрами характеризующими емкость нефтенасыщенность продуктивность породыколлектора с другой. Такое сопоставление проводят для решения следующих задач: поиска областей геофизических значений характерных для различных литотипов для использования их впоследствии при литологическом расчленении разреза по данным ГИС; определения областей соответствующих...
39235. Вещественная, структурная и фазовая неоднородность пород 873 KB
  Породы могут быть однофазными и многофазными. Компонентную неоднородность породы характеризуют составом твердой жидкой и газообразной фаз. Например находясь на уровне пор и скелетных зерен мы уделяем основное внимание исследованию геометрии пор и минерального скелета породы. Пористость Горные породы руды каменные угли и минералы слагающие земную кору не являются сплошными телами все они содержат полости поры.
39236. НЕФТЕ- И ГАЗОНАСЫЩЕННОСТЬ ПОРОД 1.94 MB
  НЕФТЕ И ГАЗОНАСЫЩЕННОСТЬ ПОРОД Породыколлекторы в условиях естественного залегания содержат воду нефть и газ. Сумма объемов пор занятых нефтью Vн газом Vг и водой Vв равна общему объему порового пространства пород Vпор: Vн Vг Vв = Vпор. Взаимное расположение нефти и воды в поровом пространстве нефтенасыщенных пород зависит от гидрофильности и гидрофобности.17 показано размещение воды и нефти в отдельно взятой поре гидрофильных и гидрофобных пород.
39238. Измерение пористости и проницаемости в поверхностных и пластовых условиях 2.08 MB
  Измерение пористости и проницаемости в поверхностных и пластовых условиях. Измерение пористости и проницаемости на установке PP608. Закон Дарси измерение проницаемости по газу абсолютная проницаемость лекция 2. Описание установки АPP608 АPP608 автоматизированный порозиметрпермеаметр предназначен для измерения проницаемости по газу и пористости образцов породы в условиях реальных напряжений.
39239. Получение капиллярной кривой и зависимости параметра насыщения Рн от коэффициента водонасыщения Кв 35 KB
  В условиях равновесия для набора капилляров насыщенных жидкостями будет иметь место определенное соотношение насыщенности и капиллярного давления. Результатом будет средний радиус пор на входе для каждой равновесной точки измерения капиллярного давления. Она носит название метод восстановленного давления. Образец керна подвергается действию известных капиллярных давлений денасыщения до тех пор пока гравиметрически не будет определено стабильное состояние насыщения затем для данного давления денасыщения вычисляется водонасыщенность.