95622

ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ

Лекция

Экономическая теория и математическое моделирование

Программирование в значительной мере связано с доказуемостью и с выводимостью. Мы должны иметь возможность понимать поведение программы во время ее выполнения. Для этого существует такая наука выводимости, как логика.

Русский

2015-09-25

30.83 KB

0 чел.

5

Лекция 4.   ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И

ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ

Программирование в значительной мере связано с доказуемостью и  с выводимостью. Мы должны иметь возможность понимать поведение программы во время ее выполнения. Для этого существует такая наука выводимости, как  логика.

Опр.: ЛОГИКА – это механизм, стоящий за способностью человека делать выводы, доказывать утверждения в соответствии с правилами логики. Логика – основа разработки программного обеспечения. Разработка ПО  требует доказуемости, а точные выводы требуют законов логики. (При изучении контрактов используются условия в форме булевских выражений).

Законы логики

Логика нужна  для понимания той части выводимости, которая базируется на условиях.

Рассмотрим булеву алгебру в форме пропозиционального исчисления (propositions - высказывания), которое имеет дело с базисными высказываниями, включающими специфические переменные. Далее расширим обсуждение до логики предикатов, которая позволяет выражать свойства произвольного множества значений.

Булевские значения, переменные, операции, выражения.

Булевские константы или истинностные значения – это 1,0 (true,false). Булевские переменные используем для того, чтобы выразить свойство, которое может иметь в качестве своего значения истину или ложь (1,0). Булевские операции  and,or,not, implies, = , которые задают правила вычисления значения результирующего выражения по заданным значениям ее операндов. Отдельно следует иметь ввиду операцию xor – «исключающее или».

Математические символы – аналоги булевским операциям:

not   –       ┐  или  ~

or     –       v  или  |

and   –      ^  или  &

 =     -       или  =

implies -      =>

xor   – исключающее или

                    Задание: Для всех операций составить Таблицу истинности.

Опр.: Истинностным присваиванием (assigment) для множества переменных  называется индивидуальный выбор значений 1 или 0 для каждой из переменных (например в каждой строке таблицы истинности).

Для выражения из n переменных существует 2n  истинностных присваиваний, а значит, 2n  строк в таблице истинности.

Опр.: ТАВТОЛОГИЯ – булевское выражение, принимающее значение 1 для всех возможных истинностных присваиваний переменным этого выражения.

Например, выражения:

              A or (not A),     not (A and (not A)),     (A and B) or ((not A) or (not B))

Опр.: ПРОТИВОРЕЧИЕ -  булевское выражение, принимающее значение 0 для каждого  истинностного присваивания его переменным.

Например,  A and (not A)

Опр.: Выражение, имеющее значение 1 хотя бы для одного истинностного присваивания, называется ВЫПОЛНИМЫМ.

Отсюда сделаем вывод, любая тавтология выполнима и никакое противоречие не является выполнимым.

Эквивалентность  ( = )

Равенство подразумевает эквивалентность.   Эквивалентность определяет общие правила для доказательства или опровержения тавтологий, противоречивости и выполнимости.

Выражение A = B имеет значение 1, если и только если переменные А и В имеют  одинаковые значения.

Теорема: «Подстановка»

 Для любых булевских выражений V1,V2 и V3, если V1 =  V2  является тавтологией и  V~  -  выражение, которое получено из V3 путем замены каждого вхождения V1 на V2 , то

                    V3  = V~    - это тавтология.                                                 (c.118).

Например,    (A and (not (not B))) = (A and B) – выражение есть тавтология.      (*)

Для доказательства сперва докажем, что для любого выражения  V следующие общие свойства являются тавтологиями:

 T1     not (not V)  = V

 T2     V = V   – эта тавтология  следует из рефлексивности тавтологии операции =.

Доказательство: Доказать утверждение Т1 просто через таблицу истинности. Далее, применим Т1 к выражению В в (*) используя теорему о подстановке, путем замены    not(not B)  на В,  в левой части выражения (*). После этого применим Т2 к  A and B и получим желаемый результат.

Можно использовать два символа  /= , означающий «не равно», «не эквивалентно», что эквивалентно выражению  not (A = B).

 Ассоциации между операциями  or  и  and

А1: Отрицание одной из операций эквивалентно применению другой операции над отрицаниями операндов.

А2:  Каждая из этих операций дистрибутивна (distribute - распределять) по отношению к другой операции.

                Теорема: « Дистрибутивность булевских операций »

Следующие два свойства являются тавтологиями:

                         (A and ( B or C)) = ((A and B) or (A and C))

      (A or (B and C)) = ((A or B) and (A or C))

Доказательство через таблицу истинности. В математике – дистрибутивность умножения по отношению к операции сложения – есть:

                         A * (B+C)  эквивалентно  (A * B) + (A * C).

 Приоритеты операций (слева - направо) – not, =, and, or, implies

Ассоциативность операций – это свойство, которое  упрощает нотацию написания булевских выражений.

Операции and и or – ассоциативны, что выражается следующими тавтологиями:

                      (A and (B and C)) = (( A and B) and C)

                      (A or ( B or C))  =  ((A or B) or C),

что позволяет писать выражения в форме:

A and B and C   или   A or B or C.

ИМПЛИКАЦИЯ

Импликация (implies - влечет) – базисная операция.

Опр.:  Значение выражения  А  implies  В   для любых булевских значений переменных А и В  является значением   (not A) or B.

A       B      A implies B

1        1            1

1        0            0

0        1            1

0        0            1

где А – это посылка (antecedent),  В –  следствие, заключение (consequent).

Импликация  имеет  истину  когда: посылка имеет 0, либо когда заключение имеет 1.

Теорема: «Импликация и вывод»

  1.  Если истинностное присваивание удовлетворяет как А, так и A implies B, то оно удовлетворяет и В.
  2.  Если оба А и A implies B являются тавтологиями, В – также тавтология.

В логике операция  implies  не  ассоциируется  с  причинностью!!!,  эта операция просто устанавливает, что когда одно свойство является истинным, таковым должно быть и другое свойство. Другими словами, если посылка верна, то это же верно и для заключения. Когда А ложно, то А implies В  истинно, НЕЗАВИСИМО от значения  В.

В логике импликация не ассоциируется с причинностью, а в практике - да.

Таким образом, базисными элементами исчисления высказываний (пропозициональным исчислением) являются высказывания (propositions), каждое устанавливающее единственное свойство Р, которое может принимать только два значения – 1 и 0. Например, «Число n - положительно», «Я - аким Алматы», «Сегодня ночью будет полная луна».

Единственность свойства Р в приведенных примерах означает, что Р характеризует ЕДИНСТВЕННЫЙ объект – это число, я, текущая ночь или конечное множество явно перечисленных объектов, как например в высказывании «Я – не аким, и сегодня ночью нет полной луны».

ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ

Другая теория, полезная в программах и при их обсуждениях – исчисление предикатов, которая рассматривает свойства, характеризующие не отдельные объекты, а множества объектов.  

В исчислении предикатов для этого вводятся выражения с кванторами объектов, позволяя ссылаться только на само множество.

Квантор существования -  exists  или  , в математической нотации    устанавливает что, по крайней мере, хотя бы один член множества обладает свойством Р. Квантор всеобщности – for_all или в математической нотации  , чтобы установить, что все без исключения члены множества обладают свойством Р.

Когда требуются булевские операции для произвольного числа операндов, exists обобщает операцию or, а  for_all  - обобщает операцию and.

Пусть  Х = {3,7,9,11,13,15}.   Пусть для любого целого n  свойство n.is_odd означает, что n - нечетно; свойство   n.is_even  - n - четно и   n.is_primen - простое число. Тогда

 n : X | n.is_odd   означает, что по крайней мере ОДИН из членов Х является нечетным. Для нашего множества значение выражения – есть истинна (true).

 n : X | n.is_evenозначает, что по крайней мере хотя бы один из Х является четным. Для нашего множества  выражение  имеет значение – ложь (false).  

Мы привели примеры того, как можно доказать или опровергнуть выражение с квантором существования     s: some_set | s.some_property (property - свойство).

Недостаточно найти один элемент, который не удовлетворяет заданному свойству, проверке должны подлежать  все члены множества.

Квантор всеобщности - , его значение равно 1, если каждый элемент множества, если он существует, удовлетворяет свойству Р.  Если хотя бы один элемент не удовлетворяет свойству Р, то  нет необходимости в анализе всех элементов множества.

Следующие два свойства обобщают закон Де Моргана:

  1.      not ( s: E | P)  =  s : E| not P- это следует из определения
  2.      not ( s: E| P)  =  s: E not P    -  следует из применения (1) к not P и отрицания обеих сторон.

Рассмотрим случай пустых множеств

 s : set | s.P – истинно, если и только  если некоторый член множества set удовлетворяет свойству Р. Если множество set пусто, и тем самым нет члена удовлетворяющего свойству Р, то значение выражения, независимо от Р, всегда ложь (0).

Другой способ выражения квантора существования для пустого множества, когда n = 0:

A1 or A2 or A3 …. or An дизьюнкция ложна, что следует из определения операции or: A or B истинно,  если и только  если  по меньшей мере один из элементов А или В истинен. Но в пустом множестве нет члена удовлетворяющего свойству Р, поэтому значение выражения независимо от свойства Р всегда есть ложь.

set | s.P ложно, если и только если некоторые члены множества set не удовлетворяют свойству Р. Если множество set пусто, то и нет члена, который бы играл роль «контрпримера», поэтому значение выражения всегда истинно.

Другой способ выражения квантора всеобщности – A1  and A2  … and An  - истинно, так как  А and B ложно, если и только если по крайней мере один из элементов А или В ложен.

Рассмотрим способ выражения квантора всеобщности через импликацию. Можно понимать   set | s.P    как следующую импликацию:

«s is a member of set»  implies s.P,  

так как посылка ложна, для каждого возможного s, что дает истинность импликации. Так как множество set пусто, то посылка ложна для каждого возможного s, поэтому импликация истинна.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73067. Этика долга Канта 33 KB
  Этическая стратегия Канта ориентирована не на то как должны вести себя индивиды в тех или иных ситуациях не на конкретные добродетели а на обязательства которые сохраняются при всех обстоятельствах и применительно ко всем разумным существам.
73068. Этика добродетелей Аристотеля 32.5 KB
  Структура души и виды добродетели. Страстная и разумная части имеют как свои добродетели так и свои пороки. У разумной души имеются свои дианоэтические или интеллектуальные добродетели и свои дианоэтические пороки..
73069. Происхождение и сущность нравственности 29.5 KB
  В морали отражены отношения человека к обществу отношения человека к человеку и требования общества к человеку. Основной функцией морали является регулирование взаимоотношений всех членов общества и социальных групп.
73070. Предмет, специфика и задачи этики 31.5 KB
  Этика относится к классу гуманитарных дисциплин объектом которых является человек.Термин этика впервые был употреблен Аристотелем для обозначения особого раздела философии представляющего собой учение о нравственной деятельности и добродетелях.
73071. Я и Другой, проблема коммуникации 31 KB
  Суть учения Бахтина вытекала из представления о незавершенности свободной открытости человека. Но единство бытия неизбежно превращается в единство сознания которое в конечном счете воплощается в единство одного сознания; важно то что рядом с этим единым одним сознанием уже не может сосуществовать...
73072. Жизнь и смерть 37.5 KB
  Различие живого и мертвого ни в одну историческую эпоху не вызывало затруднений: восприятие понимание и оценка жизни и смерти нечто осуществляющееся как правило совершенно автоматически. С одной стороны успехи реанимации эффективная пересадка органов а с другой стороны эвтаназия...
73073. Добро и зло, проблема насилия 31 KB
  В целом у Канта можно встретить двойственную оценку природы человека. С одной стороны нет никакой природы человека ибо он незавершен и не имеет готовых инстинктов. По мнению Канта природа человека означает его разумность. На самом деле Кант намеренно исходит из отрицательных качеств человека...
73074. Пол и возраст 37.5 KB
  В первую очередь речь идет об ускорении темпов развития и увеличении продолжительности жизни. Продолжительность жизни человека как и любого другого вида имеет свои характерные пределы. При этом видовая продолжительность жизни зависит только от генотипа.
73075. Биосоциальная природа человека: духовные и телесные практики формирования человека в процессе цивилизации 34 KB
  Декарт рассматривает тело как сложную машину, части которой находятся во взаимодействии и образуют неделимое целое. Тело – это машина, главной деталью которой является душа. Отсюда для Декарта столь важным был вопрос о месте, где она связана и сообщается с организмом.