95628

Производная и дифференциал. Производная функции и ее геометрический смысл

Лекция

Математика и математический анализ

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента когда приращение аргумента стремится к нулю т. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Величину называют приращением функции и обозначают...

Русский

2015-09-25

84.95 KB

1 чел.

Производная и дифференциал. Лекция 13.

Производная и дифференциал.

Производная функции и ее геометрический смысл.

    Пусть функция  определена на некотором интервале  и .

    Производной функции  в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, т. е.

    Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой на этом интервале. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Величину

называют приращением функции и обозначают .

    Пример 43. Найти производную функции .

    Решение. По определению производной

.

Геометрический смысл производной.

    Пусть задана функция , непрерывная в некоторой окрестности точки  (рис. 58). Построим на осях координат точки  и . Тогда длина , , . При  точка  стремится к точке  и в пределе совпадает с ней. Угол  стремится к углу наклона касательной  и в пределе совпадает с ним. Секущая  превращается в касательную к графику функции  в точке . Таким образом,

    Производная функции  в точке  есть тангенс угла наклона к оси  касательной к графику функции в этой точке. Это является геометрическим смыслом производной.

    Так как общее уравнение касательной в точке  имеет вид , , , то окончательно уравнение касательной (рис. 59) можно записать в виде

    Пример 44. Написать уравнение касательной к графику функции  в точке

    Решение. Так как , то вычислим значения , , . Окончательно получим  или .

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функций.

    Теорема 19. Если функция  дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

    Доказательство. Пусть функция дифференцируема в некоторой точке . Тогда существует предел

    По теореме 8 о связи предела и бесконечно малой, имеем

где  при . Отсюда Тогда

Это означает, что

    Теорема доказана.

    Обратная теорема неверна. Непрерывная функция может не иметь производной, что показывает следующий пример.

    Пример 45. Пусть . Тогда в точке  функция непрерывна, но не имеет производной. Действительно

    Пределы справа и слева не совпадают, следовательно, производной в точке   не существует.

Основные формулы и правила дифференцирования функций.

    Пусть функции  и  дифференцируемы в некотором интервале .

    Теорема 20. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций, т. е.

    Доказательство.

    Теорема 21. Числовой множитель (константу) можно выносить за знак производной, т. е.

    Доказательство.

    Теорема 22. Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т. е.

    Доказательство.

    Теорема 23. Производная частного двух функций , если , равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя, т. е

    Доказательство.

    Теорема 24. Производная константы равна нулю, т. е. .

Доказательство. Пусть , тогда

Таблица основных производных.

Степенные функции.

   


Показательные функции.

    1) ;  2) .

Логарифмические функции.

   

Тригонометрические функции.

    


Дифференциал и его геометрический смысл.

Основные понятия.

    Пусть функция  имеет в точке  отличную от нуля производную 

    Тогда по теореме 8 о связи функции, ее предела и бесконечно малой, ее можно представить в виде суммы

где   , при , отсюда  Таким образом,  является суммой двух бесконечно малых  и . Величину называют главной частью приращения функции .

    Дифференциалом функции  в точке  называется главная часть ее приращения в этой точке. Обозначается  или , . Так как для функции   справедливы равенства

то  и  Отсюда следует выражение производной через дифференциалы

    Пример 46. Найти дифференциалы функций  и .

    Решение. Для первой функции , для второй

Геометрический смысл дифференциала.

    Пусть дана некоторая дифференцируемая в точке  функция  (рис. 60). По построению  Тогда из прямоугольного треугольника  следует

Отсюда  

    Таким образом, дифференциал функции в точке  равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке при приращении аргумента . В этом заключается геометрический смысл дифференциала.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

    Пусть дана функция . Тогда , где   , при . Отсюда , и .  В итоге получаем формулу приближенного вычисления функции

    Пример 47. Вычислить приближенное значение .

    Решение. Рассмотрим функцию . Пусть  Так как

то

Производная сложной функции.

    Пусть  некоторая функция, где  так же функция, тогда выражение  является функцией, которая называется сложной функцией от переменной . Переменная  в этом случае называется промежуточной.

    Теорема 25. Если функция  имеет производную  в точке , а функция  имеет производную  в точке , то сложная функция  имеет производную  в точке , которая находится по формуле .

    Доказательство. Пусть

    Отсюда по теореме 8 о связи функции, ее предела и бесконечно малой, имеем , или , где  при . Функция  имеет производную в точке

поэтому   или , где  при . Отсюда

. Разделим обе части на


где  и , при . По теореме 9 (обратной к теореме 8) о связи функции, ее предела и бесконечно малой, имеем

    Рассмотрим примеры на применение теоремы 25.

    Пример 48. Найти производную функции .

    Решение. В нашем случае , . По теореме 25 имеем

.

    Пример 49. Найти производную функции

    Решение. В нашем случае , . По теореме 25 имеем

    Пример 50. Найти производную функции .

    Решение. В нашем случае , , . По теореме 25 имеем

Производная обратной функции.

    Теорема 26. Если функция  строго монотонна на интервале  и имеет неравную нулю производную  в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция  так же имеет производную  в соответствующей точке и


    Доказательство. Пусть для функции  и ее обратной  выполнены все условия теоремы. Дадим аргументу  обратной функции приращение . В силу монотонности исходной функции, соответствующее приращение будет так же не равно нулю, т. е. . Тогда справедливо равенство

    Если , то в силу непрерывности обратной функции, так же  и так как

то имеем

    Пример 51. Рассмотрим функцию . Ее обратная . Тогда по теореме 26


   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30077. Розрахунок і аналіз перехідних процесів у електроприводі системи генератор-двигун 502.89 KB
  За вихідними даними необхідно: виконати вибір генератора постійного струму ГПС та його привідного асинхронного двигуна АД; розрахувати та побудувати статичні характеристики ЕП визначити робочі точки на механічних характеристиках і на характеристиках намагнічування; визначити динамічні параметри ЕП; розрахувати коефіцієнт форсування збудження генератора; розрахувати опір резисторів у колі обмотки збудження генератора; виконати розрахунок перехідних процесів у колі збудження генератора та якірному колі системи ГД графоаналітичним...
30078. Расчет источника питания 396 KB
  Источник питания состоит из силового трансформатора, выпрямителей, сглаживающих фильтров и во многих случаях – стабилизаторов напряжения (или тока). Расчет начнём с конечного элемента – со стабилизатора, а затем рассчитаем трансформатор.
30079. ТРАНСФОРМАТОР ТМ – 630/10 1.46 MB
  1 Расчет винтовой обмотки 18 3.1 Расчет многослойной цилиндрической обмотки 23 из провода круглого сечения 4 Расчет параметров короткого замыкания 27 4.2 где UH – номинальное линейное напряжение обмотки кВ SH в кВА.8 кВА Классом напряжения трансформатора считают класс напряжения обмотки ВН.
30080. Общая психология: Учебник для вузов 6.29 MB
  Павлова 82 Исследования функциональной асимметрии мозга 112 Теория научения 128 Теории слуха 192 Теории цветового зрения 196 Феноменальная память 280 Патология воли 381 Это интересно Что является механизмами сознания 96 Существует ли явление пси 154 Как происходит передача информации от рецептора в мозг 166 Как человек распознает объект ы 204 Что позволяет человеку адекватно воспринимать окружающий мир 226 Можно ли изучать представления 237 Как происходит кодирование и сохранение информации в памяти 256 Амнезия детства...
30081. ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ПСИХОЛОГИЯ. УЧЕБНИК ДЛЯ ВУЗОВ 3.36 MB
  Учебник освещает современные подходы к психологическим проблемам воспитания и обучения выражающиеся прежде всего в характеристике предмета задач принципов и методов педагогической психологии науки и сферы практической деятельности. Этический кодекс психолога в России еще не стал регулятором его профессиональной деятельности. Объектом педагогической деятельности являются процессы учения и воспитания а предметом выступает ориентировочная часть деятельности учащихся [10]. В связи со сложностью образовательного процесса существуют тенденции...
30082. ФІЛОСОФІЯ ПРАВА. Навчальний посібник 1.54 MB
  За радянських часів філософія права вважалась буржуазною наукою. Філософія права як дисципліна не вивчалась на юридичних факультетах університетів що звужувало метологічну підготовку майбутніх юристів. На кафедрі філософії Національної академії внутрішніх справ України розроблено навчальну програму з філософії права яка стала основою цього навчального посібника.
30083. Дефектология. Рабочая программа 2.21 MB
  Признаки предметов Закрепить и обобщить представления о свойствах предмета цвет форма размер. Понятия спереди сзади перед за между Закрепить понятия спереди сзади перед за между в практической деятельности. Закрепить представление о цифрах 1 и 2 сформировать умение соотносить их с количеством. Сравнение предметов по одному и двум признакам Закрепить и обобщить представления о свойствах предмета цвет форма размер.