95628

Производная и дифференциал. Производная функции и ее геометрический смысл

Лекция

Математика и математический анализ

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента когда приращение аргумента стремится к нулю т. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Величину называют приращением функции и обозначают...

Русский

2015-09-25

84.95 KB

1 чел.

Производная и дифференциал. Лекция 13.

Производная и дифференциал.

Производная функции и ее геометрический смысл.

    Пусть функция  определена на некотором интервале  и .

    Производной функции  в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, т. е.

    Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой на этом интервале. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Величину

называют приращением функции и обозначают .

    Пример 43. Найти производную функции .

    Решение. По определению производной

.

Геометрический смысл производной.

    Пусть задана функция , непрерывная в некоторой окрестности точки  (рис. 58). Построим на осях координат точки  и . Тогда длина , , . При  точка  стремится к точке  и в пределе совпадает с ней. Угол  стремится к углу наклона касательной  и в пределе совпадает с ним. Секущая  превращается в касательную к графику функции  в точке . Таким образом,

    Производная функции  в точке  есть тангенс угла наклона к оси  касательной к графику функции в этой точке. Это является геометрическим смыслом производной.

    Так как общее уравнение касательной в точке  имеет вид , , , то окончательно уравнение касательной (рис. 59) можно записать в виде

    Пример 44. Написать уравнение касательной к графику функции  в точке

    Решение. Так как , то вычислим значения , , . Окончательно получим  или .

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функций.

    Теорема 19. Если функция  дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

    Доказательство. Пусть функция дифференцируема в некоторой точке . Тогда существует предел

    По теореме 8 о связи предела и бесконечно малой, имеем

где  при . Отсюда Тогда

Это означает, что

    Теорема доказана.

    Обратная теорема неверна. Непрерывная функция может не иметь производной, что показывает следующий пример.

    Пример 45. Пусть . Тогда в точке  функция непрерывна, но не имеет производной. Действительно

    Пределы справа и слева не совпадают, следовательно, производной в точке   не существует.

Основные формулы и правила дифференцирования функций.

    Пусть функции  и  дифференцируемы в некотором интервале .

    Теорема 20. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций, т. е.

    Доказательство.

    Теорема 21. Числовой множитель (константу) можно выносить за знак производной, т. е.

    Доказательство.

    Теорема 22. Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т. е.

    Доказательство.

    Теорема 23. Производная частного двух функций , если , равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя, т. е

    Доказательство.

    Теорема 24. Производная константы равна нулю, т. е. .

Доказательство. Пусть , тогда

Таблица основных производных.

Степенные функции.

   


Показательные функции.

    1) ;  2) .

Логарифмические функции.

   

Тригонометрические функции.

    


Дифференциал и его геометрический смысл.

Основные понятия.

    Пусть функция  имеет в точке  отличную от нуля производную 

    Тогда по теореме 8 о связи функции, ее предела и бесконечно малой, ее можно представить в виде суммы

где   , при , отсюда  Таким образом,  является суммой двух бесконечно малых  и . Величину называют главной частью приращения функции .

    Дифференциалом функции  в точке  называется главная часть ее приращения в этой точке. Обозначается  или , . Так как для функции   справедливы равенства

то  и  Отсюда следует выражение производной через дифференциалы

    Пример 46. Найти дифференциалы функций  и .

    Решение. Для первой функции , для второй

Геометрический смысл дифференциала.

    Пусть дана некоторая дифференцируемая в точке  функция  (рис. 60). По построению  Тогда из прямоугольного треугольника  следует

Отсюда  

    Таким образом, дифференциал функции в точке  равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке при приращении аргумента . В этом заключается геометрический смысл дифференциала.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

    Пусть дана функция . Тогда , где   , при . Отсюда , и .  В итоге получаем формулу приближенного вычисления функции

    Пример 47. Вычислить приближенное значение .

    Решение. Рассмотрим функцию . Пусть  Так как

то

Производная сложной функции.

    Пусть  некоторая функция, где  так же функция, тогда выражение  является функцией, которая называется сложной функцией от переменной . Переменная  в этом случае называется промежуточной.

    Теорема 25. Если функция  имеет производную  в точке , а функция  имеет производную  в точке , то сложная функция  имеет производную  в точке , которая находится по формуле .

    Доказательство. Пусть

    Отсюда по теореме 8 о связи функции, ее предела и бесконечно малой, имеем , или , где  при . Функция  имеет производную в точке

поэтому   или , где  при . Отсюда

. Разделим обе части на


где  и , при . По теореме 9 (обратной к теореме 8) о связи функции, ее предела и бесконечно малой, имеем

    Рассмотрим примеры на применение теоремы 25.

    Пример 48. Найти производную функции .

    Решение. В нашем случае , . По теореме 25 имеем

.

    Пример 49. Найти производную функции

    Решение. В нашем случае , . По теореме 25 имеем

    Пример 50. Найти производную функции .

    Решение. В нашем случае , , . По теореме 25 имеем

Производная обратной функции.

    Теорема 26. Если функция  строго монотонна на интервале  и имеет неравную нулю производную  в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция  так же имеет производную  в соответствующей точке и


    Доказательство. Пусть для функции  и ее обратной  выполнены все условия теоремы. Дадим аргументу  обратной функции приращение . В силу монотонности исходной функции, соответствующее приращение будет так же не равно нулю, т. е. . Тогда справедливо равенство

    Если , то в силу непрерывности обратной функции, так же  и так как

то имеем

    Пример 51. Рассмотрим функцию . Ее обратная . Тогда по теореме 26


   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47399. Особенности обработки зерна на примере ТОО “Пригородное” 586.5 KB
  Хозяйство расположено на территории со сложным рельефом: долины рек Шограш, Содимы, Емы и многочисленных ручьёв. По почвенно-геоботаническому районированию относится к подзоне средней тайги. Лесные массивы неоднородны, с преобладанием ели и берёзы; в подлеске – рябина, черёмуха и др.Почвенный покров хозяйства сложный.
47400. Современное положение пластиковых карт в России 731.5 KB
  Пластиковые карты как платежный инструмент. Держатель карты. Далее рассматривается процедура расчетов с использованием платежной карты. они выпускают и обслуживают карты международных национальных и локальных систем.
47401. Интернет-трейдинг в России и за рубежом: состояние и перспективы развития 335 KB
  Интернеттрейдинг в России и за рубежом: состояние и перспективы развития. Развитие Интернеттрейдинга в России. Функционирование систем Интернеттрейдинга: российский и зарубежный опыт. Интернеттрейдинг в России и за рубежом: состояние и перспективы развития.
47402. Банковские операции: состояние и перспективы развития 318.5 KB
  Роль коммерческого банка в развитии экономики. в Генуе âБанка ди Сан Джорджоâ. Через коммерческие банки осуществляются безналичные расчеты через корреспондентские счета в центральных банках. До 80 капитала акционерных коммерческих банков которых насчитывалось около 50 было сосредоточено в 18 банках.
47403. Оценка конкурентоспособности предприятий торговли и основные направления её повышения 441 KB
  Конкурентоспособность предприятия торговли. Сущность конкурентоспособности предприятия торговли и факторы ее определяющие. Методы оценки конкурентоспособности торгового предприятия. Управление конкурентоспособностью предприятия.
47404. Проектирование заготовочно-сборочного цеха 365 KB
  После вырубания стельку надсекают в носочнопучковой части для увеличения гибкости на ширину 2560 мм. Обычно удаляемые газы выводят по высоким трубам рассеивания и большой скоростью. Среднемесячная заработная плата одного работающего руб. Среднемесячная заработная плата одного рабочегосдельщика руб.
47405. Анализ работы технологии Тандем на Покамасовском месторождении НГДУ Лангепаснефть 1.27 MB
  Подсчет запасов нефти и растворенного газа по состоянию на 1. Начальные балансовые извлекаемые запасы нефти составляли по категории С1 163356 75920 тыс. Повышенный газовый фактор низкая продуктивность пластов существенная не стационарность процессов фильтрации тяжелый вывод скважин на режим после глушения и другие осложнения значительно затрудняют работу серийного насосного погружного оборудования для добычи нефти.
47406. Использование трудовых ресурсов и фонда оплаты труда на примере МУП «ПУ водопроводно-канализационного хозяйства» 149.67 KB
  Актуальность темы Анализ трудовых ресурсов и фонда оплаты труда так как считаю что она очень актуальна и к тому же трудовые ресурсы являются неотъемлемой частью каждого российского предприятия. И для того чтобы выявить и более эффективно использовать трудовые ресурсы на каждом предприятии необходимо проводить экономический анализ. Целью выпускнойквалификационной работы является проведение анализа использования трудовых ресурсов и фонда оплаты труда на примере МУП ПУ водопроводноканализационного хозяйства. Исходя из...