95628

Производная и дифференциал. Производная функции и ее геометрический смысл

Лекция

Математика и математический анализ

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента когда приращение аргумента стремится к нулю т. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Величину называют приращением функции и обозначают...

Русский

2015-09-25

84.95 KB

1 чел.

Производная и дифференциал. Лекция 13.

Производная и дифференциал.

Производная функции и ее геометрический смысл.

    Пусть функция  определена на некотором интервале  и .

    Производной функции  в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, т. е.

    Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой на этом интервале. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Величину

называют приращением функции и обозначают .

    Пример 43. Найти производную функции .

    Решение. По определению производной

.

Геометрический смысл производной.

    Пусть задана функция , непрерывная в некоторой окрестности точки  (рис. 58). Построим на осях координат точки  и . Тогда длина , , . При  точка  стремится к точке  и в пределе совпадает с ней. Угол  стремится к углу наклона касательной  и в пределе совпадает с ним. Секущая  превращается в касательную к графику функции  в точке . Таким образом,

    Производная функции  в точке  есть тангенс угла наклона к оси  касательной к графику функции в этой точке. Это является геометрическим смыслом производной.

    Так как общее уравнение касательной в точке  имеет вид , , , то окончательно уравнение касательной (рис. 59) можно записать в виде

    Пример 44. Написать уравнение касательной к графику функции  в точке

    Решение. Так как , то вычислим значения , , . Окончательно получим  или .

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функций.

    Теорема 19. Если функция  дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

    Доказательство. Пусть функция дифференцируема в некоторой точке . Тогда существует предел

    По теореме 8 о связи предела и бесконечно малой, имеем

где  при . Отсюда Тогда

Это означает, что

    Теорема доказана.

    Обратная теорема неверна. Непрерывная функция может не иметь производной, что показывает следующий пример.

    Пример 45. Пусть . Тогда в точке  функция непрерывна, но не имеет производной. Действительно

    Пределы справа и слева не совпадают, следовательно, производной в точке   не существует.

Основные формулы и правила дифференцирования функций.

    Пусть функции  и  дифференцируемы в некотором интервале .

    Теорема 20. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций, т. е.

    Доказательство.

    Теорема 21. Числовой множитель (константу) можно выносить за знак производной, т. е.

    Доказательство.

    Теорема 22. Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т. е.

    Доказательство.

    Теорема 23. Производная частного двух функций , если , равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя, т. е

    Доказательство.

    Теорема 24. Производная константы равна нулю, т. е. .

Доказательство. Пусть , тогда

Таблица основных производных.

Степенные функции.

   


Показательные функции.

    1) ;  2) .

Логарифмические функции.

   

Тригонометрические функции.

    


Дифференциал и его геометрический смысл.

Основные понятия.

    Пусть функция  имеет в точке  отличную от нуля производную 

    Тогда по теореме 8 о связи функции, ее предела и бесконечно малой, ее можно представить в виде суммы

где   , при , отсюда  Таким образом,  является суммой двух бесконечно малых  и . Величину называют главной частью приращения функции .

    Дифференциалом функции  в точке  называется главная часть ее приращения в этой точке. Обозначается  или , . Так как для функции   справедливы равенства

то  и  Отсюда следует выражение производной через дифференциалы

    Пример 46. Найти дифференциалы функций  и .

    Решение. Для первой функции , для второй

Геометрический смысл дифференциала.

    Пусть дана некоторая дифференцируемая в точке  функция  (рис. 60). По построению  Тогда из прямоугольного треугольника  следует

Отсюда  

    Таким образом, дифференциал функции в точке  равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке при приращении аргумента . В этом заключается геометрический смысл дифференциала.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

    Пусть дана функция . Тогда , где   , при . Отсюда , и .  В итоге получаем формулу приближенного вычисления функции

    Пример 47. Вычислить приближенное значение .

    Решение. Рассмотрим функцию . Пусть  Так как

то

Производная сложной функции.

    Пусть  некоторая функция, где  так же функция, тогда выражение  является функцией, которая называется сложной функцией от переменной . Переменная  в этом случае называется промежуточной.

    Теорема 25. Если функция  имеет производную  в точке , а функция  имеет производную  в точке , то сложная функция  имеет производную  в точке , которая находится по формуле .

    Доказательство. Пусть

    Отсюда по теореме 8 о связи функции, ее предела и бесконечно малой, имеем , или , где  при . Функция  имеет производную в точке

поэтому   или , где  при . Отсюда

. Разделим обе части на


где  и , при . По теореме 9 (обратной к теореме 8) о связи функции, ее предела и бесконечно малой, имеем

    Рассмотрим примеры на применение теоремы 25.

    Пример 48. Найти производную функции .

    Решение. В нашем случае , . По теореме 25 имеем

.

    Пример 49. Найти производную функции

    Решение. В нашем случае , . По теореме 25 имеем

    Пример 50. Найти производную функции .

    Решение. В нашем случае , , . По теореме 25 имеем

Производная обратной функции.

    Теорема 26. Если функция  строго монотонна на интервале  и имеет неравную нулю производную  в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция  так же имеет производную  в соответствующей точке и


    Доказательство. Пусть для функции  и ее обратной  выполнены все условия теоремы. Дадим аргументу  обратной функции приращение . В силу монотонности исходной функции, соответствующее приращение будет так же не равно нулю, т. е. . Тогда справедливо равенство

    Если , то в силу непрерывности обратной функции, так же  и так как

то имеем

    Пример 51. Рассмотрим функцию . Ее обратная . Тогда по теореме 26


   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32382. Общие представления о памяти 14.29 KB
  Никакое психическое или внешнее действие или процесс невозможны без участия процессов памяти. Виды памяти: По характеру психической активности: Двигательная – запоминание сохранение и воспроизведение различных движений и их систем служит основой для навыков ходьбы письма спортивных навыков. Образная – память на представления Словестнологическая – память на мысли специфически человеческий вид памяти в отличие от других ей принадлежит ведущая роль в усвоении знаний.
32383. Психология как наука 14.95 KB
  Все так называемые движения души: эмоции чувства мышление мотивы и другие процессы возможно зафиксировать лишь через их внешние проявления. Индивидуальные психологические явления Индивидуальные психические процессы: познавательные процессы ощущения восприятие внимание память воображение мышление; эмоциональные процессы чувственный тон эмоции аффекты чувства настроение эмоциональный стресс; волевые процессы воля принятие решений преодоление трудностей борьба мотивов управление своим поведением.
32384. Ощущения 13.15 KB
  Каждое из этих свойств отражается разными органами чувств по сути – это разные виды ощущений Психический образ каждого из этих свойств первоначально возникает в разных отделах мозга. Свойства ощущений: Качество – это качественная характеристика ощущений позволяющая отличать одни ощущения от других и осознавать их своеобразие в пределах одного вида. Качество ощущений очень тесно связано с их модальностью. Интенсивность – это количественная характеристика ощущений зависящая от силы действующего раздражителя и от функционального состояния...
32385. Развитие психики в филогенезе. Основные этапы развития поведения и психики животных 13.93 KB
  Основные этапы развития поведения и психики животных. Развитие психики в филогенезе качественное изменения психики происходящее в рамках эволюционного развития живых существ обусловлены осложнением их взаимодействия с окружающей средой. Происхождение психики: Раздражимость – избирательная реакция на воздействие внешней среды.
32386. Восприятие 14.1 KB
  Различие процессов восприятия и ощущения заканчиваются в том что ощущение – это отражение отдельных свойств предметов и явлений а восприятие – целостное отражение предметов в единстве и во взаимосвязи их свойств. Свойства восприятия Предметность – это способность отражать предметы и явления реального мира в соответствии с их функциональным значением. Она тесно связана с целостностью восприятия. В результате их взаимодействия и достраивания посредством памяти и мышления приобретает структурную целостность это не сумма ощущений это...
32387. Естественн-научные основы психологии. Физиологические механизмы психики 14.55 KB
  Физиологические механизмы психики. Изучая отдельные факты психической жизни человека выявляется закономерности их развития раскрываются механизмы лежащие в основе. 4 этап психологии наука изучает факты закономерности механизмы психики. Физиологические механизмы психики.
32388. Внимание 15.34 KB
  Успешность освоения систематизированных знаний и выполнение той или иной деятельности зависит в значительной степени от уровня развития и индивидуальных особенностей внимания человека. Наличие внимания является обязательным условием обеспечивающим успешность протекания каждого психического процесса. В качестве обоснования этой точки зрения указывается на то что в мозге человека можно обнаружить и выделить особого рода нервные структуры связанные именно с процессом внимания. Функции внимания: Отбор значимых воздействий которые...
32389. Содержание, задачи, функции, методы, основные направления и этические принципы работы практического психолога в системе образования 13.8 KB
  Осуществление работы по направлениям личности. Методы работы: Индивидуальная форма работы для детей – игра и рисунок. Групповая форма работы для детей – ролевые игры и психодрама.
32390. Общие представления о мышлении 16.24 KB
  Физиологические основы мышления выявить и исследовать достаточно трудно это объяснятся той специфической ролью которую мышление играет в психологической деятельности человека. Следовательно для функционирования мышления необходимы отделы коры головного мозга отвечающие за познавательные процессы. Установлено также что особую значимую роль для процессов мышления играет лобная доля и речевые центры коры головного мозга. Функции мышления: Понимание решение проблемы и задачи целеобразование рефлексия – деятельность человеческого...