95628

Производная и дифференциал. Производная функции и ее геометрический смысл

Лекция

Математика и математический анализ

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента когда приращение аргумента стремится к нулю т. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Величину называют приращением функции и обозначают...

Русский

2015-09-25

84.95 KB

1 чел.

Производная и дифференциал. Лекция 13.

Производная и дифференциал.

Производная функции и ее геометрический смысл.

    Пусть функция  определена на некотором интервале  и .

    Производной функции  в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, т. е.

    Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой на этом интервале. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Величину

называют приращением функции и обозначают .

    Пример 43. Найти производную функции .

    Решение. По определению производной

.

Геометрический смысл производной.

    Пусть задана функция , непрерывная в некоторой окрестности точки  (рис. 58). Построим на осях координат точки  и . Тогда длина , , . При  точка  стремится к точке  и в пределе совпадает с ней. Угол  стремится к углу наклона касательной  и в пределе совпадает с ним. Секущая  превращается в касательную к графику функции  в точке . Таким образом,

    Производная функции  в точке  есть тангенс угла наклона к оси  касательной к графику функции в этой точке. Это является геометрическим смыслом производной.

    Так как общее уравнение касательной в точке  имеет вид , , , то окончательно уравнение касательной (рис. 59) можно записать в виде

    Пример 44. Написать уравнение касательной к графику функции  в точке

    Решение. Так как , то вычислим значения , , . Окончательно получим  или .

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функций.

    Теорема 19. Если функция  дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

    Доказательство. Пусть функция дифференцируема в некоторой точке . Тогда существует предел

    По теореме 8 о связи предела и бесконечно малой, имеем

где  при . Отсюда Тогда

Это означает, что

    Теорема доказана.

    Обратная теорема неверна. Непрерывная функция может не иметь производной, что показывает следующий пример.

    Пример 45. Пусть . Тогда в точке  функция непрерывна, но не имеет производной. Действительно

    Пределы справа и слева не совпадают, следовательно, производной в точке   не существует.

Основные формулы и правила дифференцирования функций.

    Пусть функции  и  дифференцируемы в некотором интервале .

    Теорема 20. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций, т. е.

    Доказательство.

    Теорема 21. Числовой множитель (константу) можно выносить за знак производной, т. е.

    Доказательство.

    Теорема 22. Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т. е.

    Доказательство.

    Теорема 23. Производная частного двух функций , если , равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя, т. е

    Доказательство.

    Теорема 24. Производная константы равна нулю, т. е. .

Доказательство. Пусть , тогда

Таблица основных производных.

Степенные функции.

   


Показательные функции.

    1) ;  2) .

Логарифмические функции.

   

Тригонометрические функции.

    


Дифференциал и его геометрический смысл.

Основные понятия.

    Пусть функция  имеет в точке  отличную от нуля производную 

    Тогда по теореме 8 о связи функции, ее предела и бесконечно малой, ее можно представить в виде суммы

где   , при , отсюда  Таким образом,  является суммой двух бесконечно малых  и . Величину называют главной частью приращения функции .

    Дифференциалом функции  в точке  называется главная часть ее приращения в этой точке. Обозначается  или , . Так как для функции   справедливы равенства

то  и  Отсюда следует выражение производной через дифференциалы

    Пример 46. Найти дифференциалы функций  и .

    Решение. Для первой функции , для второй

Геометрический смысл дифференциала.

    Пусть дана некоторая дифференцируемая в точке  функция  (рис. 60). По построению  Тогда из прямоугольного треугольника  следует

Отсюда  

    Таким образом, дифференциал функции в точке  равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке при приращении аргумента . В этом заключается геометрический смысл дифференциала.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

    Пусть дана функция . Тогда , где   , при . Отсюда , и .  В итоге получаем формулу приближенного вычисления функции

    Пример 47. Вычислить приближенное значение .

    Решение. Рассмотрим функцию . Пусть  Так как

то

Производная сложной функции.

    Пусть  некоторая функция, где  так же функция, тогда выражение  является функцией, которая называется сложной функцией от переменной . Переменная  в этом случае называется промежуточной.

    Теорема 25. Если функция  имеет производную  в точке , а функция  имеет производную  в точке , то сложная функция  имеет производную  в точке , которая находится по формуле .

    Доказательство. Пусть

    Отсюда по теореме 8 о связи функции, ее предела и бесконечно малой, имеем , или , где  при . Функция  имеет производную в точке

поэтому   или , где  при . Отсюда

. Разделим обе части на


где  и , при . По теореме 9 (обратной к теореме 8) о связи функции, ее предела и бесконечно малой, имеем

    Рассмотрим примеры на применение теоремы 25.

    Пример 48. Найти производную функции .

    Решение. В нашем случае , . По теореме 25 имеем

.

    Пример 49. Найти производную функции

    Решение. В нашем случае , . По теореме 25 имеем

    Пример 50. Найти производную функции .

    Решение. В нашем случае , , . По теореме 25 имеем

Производная обратной функции.

    Теорема 26. Если функция  строго монотонна на интервале  и имеет неравную нулю производную  в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция  так же имеет производную  в соответствующей точке и


    Доказательство. Пусть для функции  и ее обратной  выполнены все условия теоремы. Дадим аргументу  обратной функции приращение . В силу монотонности исходной функции, соответствующее приращение будет так же не равно нулю, т. е. . Тогда справедливо равенство

    Если , то в силу непрерывности обратной функции, так же  и так как

то имеем

    Пример 51. Рассмотрим функцию . Ее обратная . Тогда по теореме 26


   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27135. Электронная коммерция: B2B. Виртуальные торговые площадки 16.68 KB
  Виртуальные торговые площадки B2B англ. Возможности Интернет позволяют совершать покупки продажи в режиме реального времени и благодаря доступности Интернет в торговой деятельности площадки могут участвовать компании из разных точек земного шара. Площадки типа buyerdriven. В качестве примера можно взять автомобильную промышленность где GM Ford и Daimler Chrysler объединились для создания глобальной онлайновой торговой площадки или здравоохранение где Tenant Healthcare объединила усилия с Ventro ранее Chemdex для создания...
27136. Электронная коммерция: B2C. Интернет-магазины 18.27 KB
  Интернетмагазины. Один из наиболее популярных инструментов B2C – это интернетмагазин. Полная автоматизация 3 Продвинутый Advanced – торговая интернетсистема. Предполагает что интернетмагазин интегрирован с внутренней информационной системой предприятия ERP система бух.
27137. Электронные платежные системы: основные виды и принцип функционирования 691.91 KB
  Кроме того следует различать виртуальные дебетовые карты выпускаемые некоторыми банками и реальные кредитные и дебетовые карты. Предоплаченные виртуальные дебетовые карты представляют собой полный аналог обычной Visa или подобной карты которую принимают в Интернете. Владельцу сообщают все платёжные реквизиты такой карты и с точки зрения стороннего наблюдателя платёж осуществляется с обычной пластиковой карты. Такую карту легче купить так как выпуск такой карты осуществляется без проверки личности владельца.
27138. Электронные финансовые структуры. Интернет-банкинг, Интернет-страхование, Интернет-трейдинг 17.72 KB
  Интернетбанкинг Интернетстрахование Интернеттрейдинг. Интернетбанкинг это общее название технологий дистанционного банковского обслуживания при котором доступ к счетам и операциям по ним предоставляется в любое время и с любого компьютера имеющего доступ в Интернет. Интернетбанкинг часто доступен по системе банкклиент с использованием технологии тонкого клиента. Как правило услуги интернетбанкинга включают: выписки по счетам предоставление информации по банковским продуктам депозиты кредиты ПИФ и т.
27139. Интернет-маркетинг. Маркетинговые исследования в Интернет. Проблемы конверсии и лояльности 22.07 KB
  Проблемы конверсии и лояльности. Механизмы повышения лояльности в электронном бизнесе. Повышение лояльности клиентов и выполняет эту важную функцию. Именно для этого существуют всевозможные программы повышения лояльности клиентов.
27140. Интернет-реклама, виды интернет-рекламы. Оценка эффективности интернет-рекламы 56 KB
  Интернетреклама виды интернетрекламы. Оценка эффективности интернетрекламы. Виды рекламы по целям а имиджевая брендинг длительно дорого трудно оценить эффективность бпродуктовая проинформировать заинтересовать клиента вторговая реклама направлена на продажу товара Медиапланирование – процесс планирования рекламной компании в сети интернет. Этапы медиапланирования: 1 определить цели 2определить целевую аудиторию для разн групп – свои способы рекламы 3определить средства и носителей рекламы 4определить бюджет 5выбор...
27141. Программная платформа электронного предприятия: фронт-офис и бэк-офис 20.59 KB
  любой интернетмагазин является синтезом двух составляющих: 1. Площадка сайт в интернете который предназначен для взаимодействия с покупателями. Сюда можно отнести IaaS PaaS SaaS infrastructure platform software as a service Cейчас в интернете ASP позиционируется как SaaS. Они являются лицом голосом и слухом интернетмагазина.
27142. Информационно-справочные системы. Бизнес-модели информационно-справочных систем 17.57 KB
  Информационносправочные услуги делятся на 3 типа: 1информационное посредничество: поисковые системы сет. Поставщики онлайновой информации начнут предлагать своим клиентам новые специализированные платные услуги которые не только дадут пользователям именно то что им нужно но и позволят информационным порталам выжить и развиваться дальше. Платные услуги коммерческие сервисы агентства интернетобучение консалтинг Плата за дополнительные услуги: индивидуальные услуги предоставляемые информационным сайтом могут стать мощным источником...
27143. Принципы построения систем, ориентированных на анализ данных 115.29 KB
  Принципы построения систем ориентированных на анализ данных В базах предназначенных для оперативной обработки запросов данные хранятся в нормализованных отношениях. Для обслуживания аналитических систем создаются специальные многомерные хранилища данных в которых накапливается информация из различных источников за большой период времени. Другое отличие аналитических систем иной способ хранения данных. Это объясняется следующими причинами: используются большие информационные массивы; данные практически не обновляются а лишь...