95629

Основные теоремы дифференциального исчисления. Понятие о производных высших порядков

Лекция

Математика и математический анализ

В ряде случаев для нахождения производных функций целесообразно сначала прологарифмировать исходную функцию. Особенно это эффективно, когда исходная функция разлагается на достаточно большое число сомножителей или является одновременно степенной и показательной, т. е. имеет вид...

Русский

2015-09-25

44.58 KB

0 чел.

Основные теоремы дифференциального исчисления. Лекция 14.

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Понятие о производных высших порядков.

    Пусть дана функция . Ее производная  так же является функцией от  и называется производной первого порядка. Если   дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается .

    Производной – го порядка (или  – ой производной) функции  называется производная от ее производной  – го порядка, т. е.

    Пример 52. Пусть . Найти производную 5 – го порядка

    Решение. Найдем последовательно производные до 5 – го порядка.

    Пример 53. Найти производную  – го порядка функции .

    Решение. Находим последовательно производные

    Продолжая этот процесс дальше, замечаем следующую закономерность

Логарифмическое дифференцирование.

    В ряде случаев для нахождения производных функций целесообразно сначала прологарифмировать исходную функцию. Особенно это эффективно, когда исходная функция разлагается на достаточно большое число сомножителей или является одновременно степенной и показательной, т. е. имеет вид

    Пример 54. Найти производную функции



    Решение. Прологарифмируем функцию

    Продифференцируем обе части этого равенства

    Пример 55. Найти производную функции

    Решение. Прологарифмируем функцию

    Продифференцируем обе части этого равенства

Дифференциалы высших порядков.

    Так как дифференциал функции  является так же функцией, то от него так же можно находить дифференциал.

    Вторым дифференциалом (дифференциалом второго порядка) функции  называется дифференциал от ее дифференциала. Обозначается как

   Так как величина  не зависит от  и является при дифференцировании по  постоянной, то

    Таким образом, . Аналогично  и т. д.

Основные теоремы дифференциального исчисления.

    Теорема 27 (теорема Ролля). Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале  и на концах отрезка принимает одинаковые значения , то найдется хотя бы одна точка , в которой производная функции равна нулю, т. е. .

    Доказательство. Так как  непрерывна на , то она достигает на нем своего наибольшего () и наименьшего () значений. Если , то  постоянна на  и  для любой точки  из отрезка . Пусть  и , . Тогда для всех  верно неравенство  и

    Так как  всегда , то при , получаем а при , получаем . Но функция  дифференцирована в точке , следовательно ее пределы слева и справа должны  совпадать. Это возможно лишь в случае . Аналогично доказывается и случай когда .

    Замечание. Теорема Ролля означает, что на графике функции  найдется такая точка, в которой касательная к графику будет параллельна оси  (рис. 61). 

    Теорема 28 (теорема Коши). Если функции  и  непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , причем  для , то найдется хотя бы одна точка , такая, что

    Доказательство. Заметим, что , так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы такая точка , что , что противоречит условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию

    Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , так как является линейной комбинацией функций  и , кроме того

    По теореме Ролля найдется такая точка , что . А так как


    Отсюда


    Теорема 29 (теорема Лагранжа). Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то найдется хотя бы одна точка ,что  

    Доказательство. Пусть , тогда

Подставим эти значения в формулу теоремы Коши, получим

    Следствие 1. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке , то функция постоянна на этом промежутке.

    Доказательство. Пусть  и . По теореме Лагранжа существует такая точка , что . Но по условию , следовательно,  или

    Следствие 2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке , то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

    Доказательство. Пусть  для . Тогда получаем  . Из следствия 1 следует, что

 для . Но тогда .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14904. ҚАЗАҚСТАНДАҒЫ ДІН ЖӘНЕ МЕМЛЕКЕТ ҚАТЫНАСТАРЫ 68.5 KB
  ҚАЗАҚСТАНДАҒЫ ДІН ЖӘНЕ МЕМЛЕКЕТ ҚАТЫНАСТАРЫ[1]Тәуелсіздік жылдарында елімізде орын алған күрделі саясиэкономикалық жаңарулар мен өзгерулер ағымында мемлекет билігінің қайнар көзі болып табылатын халқымыздың рухани өмірі мен діни көзқарастары да бір жағынан толығып
14905. ҚҰРАНДЫ ТҮСІНУ 69.5 KB
  ҚҰРАНДЫ ТҮСІНУ Құран Кәрім Жаратушы тарапынан күллі адамзатқа және өзінен кейінгі замана атаулыға жіберілген ұқсасы жоқ қасиетті кітап. Құран – ислам дінінің бастауы бірегей бұлағы. Исламды түсіну үшін Құранды түсіну шарт. Құранды түсінбеген адам исламды да толықтай түс...
14906. ТАРАЗ ─ МҰСЫЛМАН ӨРКЕНИЕТІНІҢ ОРТА АЗИЯДАҒЫ ОРТАЛЫҒЫ 54 KB
  ТАРАЗ ─ МҰСЫЛМАН ӨРКЕНИЕТІНІҢ ОРТА АЗИЯДАҒЫ ОРТАЛЫҒЫ М.А. Утеуов М.С. Бегілдаева Тараз мемлекеттік педагогикалық институты жанындағы Кіші Ғылым Академиясы Жамбыл облыстық €œДарын€ мектепинтернаты Тараз қ. Тараз қазіргі жыл санауымыздан бұрынғы 4241 жылдары Т...
14907. ТҮРКIЛЕРДIҢ ИСЛАМ ТАРИХЫ ЖӘНЕ МӘДЕНИЕТIНДЕГI ЕРЕКШЕ ОРНЫ 72 KB
  ТҮРКIЛЕРДIҢ ИСЛАМ ТАРИХЫ ЖӘНЕ МӘДЕНИЕТIНДЕГI ЕРЕКШЕ ОРНЫ Исламият алып елдердің мәселен Әмәуи 66-1750 Аббаси 751-1258 Селжүк 1040-1157 Осман 1299-1922 патшалықтары сықылды әлемдiк мемлекеттердің ресми дiнi болған дәуiрде азат етiлген немесе олжаланған өңiрлердiң тұрғындарын жа...
14908. АУМАЛЫ-ТӨКПЕЛІ КЕЗЕҢДЕГІ ҚОҒАМ, ТҰЛҒА ЖӘНЕ ДІН 220 KB
  АУМАЛЫТӨКПЕЛІ КЕЗЕҢДЕГІ ҚОҒАМ ТҰЛҒА ЖӘНЕ ДІН Қоғам – адам баласын басқа махлұқаттан даралайтын басты қасиеттің бірі. Жеке тұлғалардан фәрдтер құралатын адам қоғамы кейде тұрақты әлеуметтік сипат танытса кейде экономикалық ықтисади саяси һәм әлеуметтік ижтим
14909. ҰЛТЫМЫЗДЫҢ БОЛАШАҒЫ - ДІНИ БІРЛІГІМІЗДЕ 105.5 KB
  ҰЛТЫМЫЗДЫҢ БОЛАШАҒЫ ДІНИ БІРЛІГІМІЗДЕ Бізді тура жолға баста Ізгілік бергендеріңнің жолынаАшуға ұшырағандар мен адасқандардың жолына емес Фатиха сүресіҚазақстан тәуелсіздік алғалы бері дәстүрлі және дәстүрлі емес діндердің көптеген уағызшылары үгітнасихат...
14910. ХРИСТИАНДЫҚ 25.43 KB
  ХРИСТИАНДЫҚ Христиан діні – әлемдегі ең көп тараған діндердің бірі қазіргі таңда оның 2 миллиардқа жуық ұстанушылары бар. Христиандық православие католицизм протестанттық болып үш негізгі бағытқа жіктеледі. €œХристос€ сөзі грек тілінен алынған мессия құтқарушы де
14911. АЛАШ ИДЕЯСЫ – ҚАЗАҚ ИДЕЯСЫ 68.5 KB
  АЛАШ ИДЕЯСЫ – ҚАЗАҚ ИДЕЯСЫ Алаш қозғалысының тарихи негізгі Ресей отаршылдығының қазақ жеріндегі аса асқынған кезеңінен басталды десек те Алаш идеясы одан әлдеқайда бұрын өмірге келіп күні бүгінге дейін елім жерім деп ұлт болашағын ойлаған әрбір қазақ ...
14912. «АЛАШ» ИДЕЯСЫ ЖӘНЕ ХАЛЫҚАРАЛЫҚ «ҚАЗАҚ ТІЛІ» ҚОҒАМЫ 41.5 KB
  АЛАШ ИДЕЯСЫ ЖӘНЕ ХАЛЫҚАРАЛЫҚ ҚАЗАҚ ТІЛІ ҚОҒАМЫ Қазақ халқының тарихында әр ғасырдың басы аласапыран оқиғаларға толы болды. Бұл өз кезегінде тарих сахнасына іріірі тұлғалар мен қайраткерлерді шығарып түбірлі өзгерістерге алып келіп отырды. Әсіресе ХХ ғасырд