95629

Основные теоремы дифференциального исчисления. Понятие о производных высших порядков

Лекция

Математика и математический анализ

В ряде случаев для нахождения производных функций целесообразно сначала прологарифмировать исходную функцию. Особенно это эффективно, когда исходная функция разлагается на достаточно большое число сомножителей или является одновременно степенной и показательной, т. е. имеет вид...

Русский

2015-09-25

44.58 KB

0 чел.

Основные теоремы дифференциального исчисления. Лекция 14.

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Понятие о производных высших порядков.

    Пусть дана функция . Ее производная  так же является функцией от  и называется производной первого порядка. Если   дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается .

    Производной – го порядка (или  – ой производной) функции  называется производная от ее производной  – го порядка, т. е.

    Пример 52. Пусть . Найти производную 5 – го порядка

    Решение. Найдем последовательно производные до 5 – го порядка.

    Пример 53. Найти производную  – го порядка функции .

    Решение. Находим последовательно производные

    Продолжая этот процесс дальше, замечаем следующую закономерность

Логарифмическое дифференцирование.

    В ряде случаев для нахождения производных функций целесообразно сначала прологарифмировать исходную функцию. Особенно это эффективно, когда исходная функция разлагается на достаточно большое число сомножителей или является одновременно степенной и показательной, т. е. имеет вид

    Пример 54. Найти производную функции



    Решение. Прологарифмируем функцию

    Продифференцируем обе части этого равенства

    Пример 55. Найти производную функции

    Решение. Прологарифмируем функцию

    Продифференцируем обе части этого равенства

Дифференциалы высших порядков.

    Так как дифференциал функции  является так же функцией, то от него так же можно находить дифференциал.

    Вторым дифференциалом (дифференциалом второго порядка) функции  называется дифференциал от ее дифференциала. Обозначается как

   Так как величина  не зависит от  и является при дифференцировании по  постоянной, то

    Таким образом, . Аналогично  и т. д.

Основные теоремы дифференциального исчисления.

    Теорема 27 (теорема Ролля). Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале  и на концах отрезка принимает одинаковые значения , то найдется хотя бы одна точка , в которой производная функции равна нулю, т. е. .

    Доказательство. Так как  непрерывна на , то она достигает на нем своего наибольшего () и наименьшего () значений. Если , то  постоянна на  и  для любой точки  из отрезка . Пусть  и , . Тогда для всех  верно неравенство  и

    Так как  всегда , то при , получаем а при , получаем . Но функция  дифференцирована в точке , следовательно ее пределы слева и справа должны  совпадать. Это возможно лишь в случае . Аналогично доказывается и случай когда .

    Замечание. Теорема Ролля означает, что на графике функции  найдется такая точка, в которой касательная к графику будет параллельна оси  (рис. 61). 

    Теорема 28 (теорема Коши). Если функции  и  непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , причем  для , то найдется хотя бы одна точка , такая, что

    Доказательство. Заметим, что , так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы такая точка , что , что противоречит условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию

    Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , так как является линейной комбинацией функций  и , кроме того

    По теореме Ролля найдется такая точка , что . А так как


    Отсюда


    Теорема 29 (теорема Лагранжа). Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то найдется хотя бы одна точка ,что  

    Доказательство. Пусть , тогда

Подставим эти значения в формулу теоремы Коши, получим

    Следствие 1. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке , то функция постоянна на этом промежутке.

    Доказательство. Пусть  и . По теореме Лагранжа существует такая точка , что . Но по условию , следовательно,  или

    Следствие 2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке , то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

    Доказательство. Пусть  для . Тогда получаем  . Из следствия 1 следует, что

 для . Но тогда .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29372. Синтаксические диаграммы 53 KB
  Каждое появление терминального символа x в цепочке ai изображается на диаграмме дугой помеченной этим символом x заключенным в кружок. Каждому появлению нетерминального символа A в цепочке ai ставится в соответствие на диаграмме дуга помеченная символом заключённым в квадрат.an изображается на диаграмме следующим образом: 5. an изображается на диаграмме так: 6.
29373. Языковые процессоры и их основные типы 29.5 KB
  Совмещение этих требований в одном языке оказалось трудной задачей поэтому появились средства для преобразования текстов с языка понятного человеку на язык устройства. В первом случае его называют интерпретатором входного языка а во втором компилятором. Интерпретатор последовательно читает предложения входного языка анализирует их и сразу же выполняет а компилятор не выполняет предложения языка а строит программу которая может в дальнейшем быть запущена для получения результата. Такое задание предполагает определение правил построения...
29374. Фазы трансляции программ 32.5 KB
  На вход лексического анализатора подаётся последовательность символов входного языка. ЛА выделяет в этой последовательности простейшие конструкции языка которые называют лексическими единицами лексемами. Генератор каждому символу действия поступающему на его вход ставит в соответствие одну или несколько команд выходного языка. В качестве выходного языка могут быть использованы команды устройства команды ассемблера либо операторы какоголибо другого языка.
29375. Основные функции сканера 34 KB
  Лексический анализ программ один из основных этапов фаз трансляции программ выделение в исходной программе элементарных единиц языка таких как идентификаторы константы ключевые слова символы операций разделители и др. Лексический анализ завершается преобразованием выделенных единиц языка в некоторую унифицированную форму обычно числовую.Часть транслятора которая выполняет лексический анализ называется сканером лексический анализатор. Лексический анализатор сканер должен распознать идентификаторы константы ключевые слова...
29376. Принципы работы сканера 95.5 KB
  Синтаксис целых констант представляется: целое ::=цифра знак цифра целое цифра знак ::= Для представления грамматики состояния целых констант диаграмма имеет вид:Вершины соответствуют состояниям автомата и определяются нетерминальными символами. Построим диаграмму состояний для автомата который распознает лексемы трех типов: целые константы десятичные константы идентификаторы идентр ::=буква идентр буква идентр цифра десятичная константа: дес.число цифра смеше число цифра смеше число ::= целое целое ::=цифра знак цифра целое цифра...
29377. Нисходящий грамматический разбор с возвратами 83 KB
  Суть данного метода можно представить в виде следующей последовательности шагов выполнение которых повторяется в процессе чтения входной цепи символов. Если активная вершина помечена а T то сравнить его с очередным символом входной цепочки. Сравниваемые символы совпали тогда сделать активной вершиной дерева лист правее а и перейти к следующим символам входной цепочки. Символы не совпали то выполним возврат к предыдущему уровню дерева разбора и соответствующему символу входной цепочки.
29378. Грамматический разбор методом операторного предшествования 68.5 KB
  Метод операторного предшествованияДанный метод относится к классу восходящих методов синтаксического анализа.Дерево разбора:Идея метода: входная цепочка символов просматривается слева направо пока не будет найдено подвыражение имеющее более высокий уровень предшествования чем соседние операторы. Для реализации метода необходимо установить отношение предшествования между всеми парами операторов грамматики.
29379. Основные функции и построение семантического анализатора программ 43 KB
  При работе семантических программ широко используется набор данных с организацией в виде стека. Операнды переписываются в выходную строку а операторы заносятся в стек. В зависимости от приоритета операторов при записи в стек оператор может вытолкнуть из стека другой оператор который последовательно записывается в выходную строку. Работа со стеком организуется так:1.
29380. Семантическое дерево как форма представления программ в языковых процессорах САПР 38 KB
  Семантическое дерево 2 польская запись 3 список тетрад. Семантическое дерево СД модифицированное дерево грамматического разбора из которого исключили вершины соответствующие нетерминальным символам.Пример: E→ET TT→TM MM→E a b cabcДерево разбора:При построении СД скобки не требуются т.