95629

Основные теоремы дифференциального исчисления. Понятие о производных высших порядков

Лекция

Математика и математический анализ

В ряде случаев для нахождения производных функций целесообразно сначала прологарифмировать исходную функцию. Особенно это эффективно, когда исходная функция разлагается на достаточно большое число сомножителей или является одновременно степенной и показательной, т. е. имеет вид...

Русский

2015-09-25

44.58 KB

0 чел.

Основные теоремы дифференциального исчисления. Лекция 14.

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Понятие о производных высших порядков.

    Пусть дана функция . Ее производная  так же является функцией от  и называется производной первого порядка. Если   дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается .

    Производной – го порядка (или  – ой производной) функции  называется производная от ее производной  – го порядка, т. е.

    Пример 52. Пусть . Найти производную 5 – го порядка

    Решение. Найдем последовательно производные до 5 – го порядка.

    Пример 53. Найти производную  – го порядка функции .

    Решение. Находим последовательно производные

    Продолжая этот процесс дальше, замечаем следующую закономерность

Логарифмическое дифференцирование.

    В ряде случаев для нахождения производных функций целесообразно сначала прологарифмировать исходную функцию. Особенно это эффективно, когда исходная функция разлагается на достаточно большое число сомножителей или является одновременно степенной и показательной, т. е. имеет вид

    Пример 54. Найти производную функции



    Решение. Прологарифмируем функцию

    Продифференцируем обе части этого равенства

    Пример 55. Найти производную функции

    Решение. Прологарифмируем функцию

    Продифференцируем обе части этого равенства

Дифференциалы высших порядков.

    Так как дифференциал функции  является так же функцией, то от него так же можно находить дифференциал.

    Вторым дифференциалом (дифференциалом второго порядка) функции  называется дифференциал от ее дифференциала. Обозначается как

   Так как величина  не зависит от  и является при дифференцировании по  постоянной, то

    Таким образом, . Аналогично  и т. д.

Основные теоремы дифференциального исчисления.

    Теорема 27 (теорема Ролля). Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале  и на концах отрезка принимает одинаковые значения , то найдется хотя бы одна точка , в которой производная функции равна нулю, т. е. .

    Доказательство. Так как  непрерывна на , то она достигает на нем своего наибольшего () и наименьшего () значений. Если , то  постоянна на  и  для любой точки  из отрезка . Пусть  и , . Тогда для всех  верно неравенство  и

    Так как  всегда , то при , получаем а при , получаем . Но функция  дифференцирована в точке , следовательно ее пределы слева и справа должны  совпадать. Это возможно лишь в случае . Аналогично доказывается и случай когда .

    Замечание. Теорема Ролля означает, что на графике функции  найдется такая точка, в которой касательная к графику будет параллельна оси  (рис. 61). 

    Теорема 28 (теорема Коши). Если функции  и  непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , причем  для , то найдется хотя бы одна точка , такая, что

    Доказательство. Заметим, что , так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы такая точка , что , что противоречит условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию

    Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , так как является линейной комбинацией функций  и , кроме того

    По теореме Ролля найдется такая точка , что . А так как


    Отсюда


    Теорема 29 (теорема Лагранжа). Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то найдется хотя бы одна точка ,что  

    Доказательство. Пусть , тогда

Подставим эти значения в формулу теоремы Коши, получим

    Следствие 1. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке , то функция постоянна на этом промежутке.

    Доказательство. Пусть  и . По теореме Лагранжа существует такая точка , что . Но по условию , следовательно,  или

    Следствие 2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке , то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

    Доказательство. Пусть  для . Тогда получаем  . Из следствия 1 следует, что

 для . Но тогда .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20082. Условия обеспечения качественной и производительной сборки. Исключение неправильной сборки 92 KB
  Исключение неправильной сборки. Для обеспечение правильной и быстрой сборки и разборки конструкций при проектировании нужно учитывать следующие условия: использовать где это возможно взаимозаменяемые детали и узлы; исключать подгоночные работы и и работы по обеспечению взаимного расположения деталей непосредственно при сборке; предусматривать удобный подход инструмента и оснастки используемой при сборке; использовать в конструкциях агрегатный способ сборки т. Так же увеличивается скорость сборки так как сборку узлов и агрегатов можно...
20083. Осевая и радиальная сборка. Особенности, достоинства и недостатки этих схем 420.5 KB
  В конструкциях с продольными и поперечными осями симметрии часто применяют схемы с осевой и радиальной сборки. При осевой сборке все детали устанавливают в осевом направлении при радиальной – в радиальном поперечном. При осевой сборке конструкция корпуса как правило простая удобно производить механическую обработку не сложно уплотнять внутренние полости при герметизации. НЕДОСТАТКИ: конструкция корпуса сложная следовательно механическая обработка более сложная чем в осевой сборке.
20084. Компоновка приборов. Моноблочные и др. конструкции. Схемы компоновки 138 KB
  конструкции. Если в конструкции прибора применен подход на основе функционального разделения на части то в этом случае говорят о блочно модульных конструкциях. Моноблочные конструкции монтируются в едином корпусе и применяют в следих случаях: когда изделие выполняет мало частных функций и разбиение на узлы не целесообразно; для миниатюрных конструкций медицинские зонды; для приборов которые изготавливаются в малом количестве либо имеет небольшой срок службы шариковая ручка. Блочно модульные конструкции – это конструкции которые...
20085. Разработка компактных конструкций. «Разнесение» конструкции в радиальном направлении и др. приемы конструирования. Проблемы миниатюризации 125.5 KB
  Разнесение конструкции в радиальном направлении и др.существенное уменьшение осевых размеров конструкции м.достигнуто за счет разнесения конструкции в радиальном направлении Основная идея не встраивать все элементы последовательно друг за другом а встраивать один элемент в другой Конструкция дифференциального винтовой передачи 4. незначительно увеличиваем диаметр и уменьшаем длину 5уменьшение размеров может быть достигнуто за стчет пустот имеющихся в конструкции или создания канавки Н2Н1 Проблема миниатюризации.
20086. Рабочая конструкторская документация. Основные этапы работ на данной стадии 22.5 KB
  При разработке рабочей документации возможны два варианта: Рабочая документация разрабатывается на единичное изделие или небольшую партию. документация разрабатывается без присвоения литеры все недостатки и ошибки устраняют в процессе сборки в чертеже вносят изменения. Документация разрабатывается для серийного или массового производства: 2.
20087. КОНСТРУИРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ РАЗДЕЛЕНИЯ И СОВМЕЩЕНИЯ ФУНКЦИЙ; ОСОБЕННОСТИ, ДОСТОИНСТВА И НЕДОСТАТКИ 229 KB
  Если конструкция отдельного узла обеспечивает выполнение нескольких функций то в узле осуществлен принцип объединения. уменьшение объема сборочных и регулировочных работ опоры на центрах со смещенным центром – регулировка в двух направлениях Решение на основе совмещения функций имеет отрицательные качества:1 не удается обеспечить оптимальное выполнение отдельных фий особенно это важно в отношении точности и надежности 2.появляется опасность взаимного отрицательного влияния отдельных частных функций друг на друга.
20088. Эскизный проект. Цели и задачи данной стадии разработки. Результаты разработки 22 KB
  Эскизный проект – это совокупность конструкторских документов которые разрабатываются с целью установления принципиальных конструктивных решений. Результат разработки – варианты конструкции соответствующие расчеты обязательная документация ведомость проекта пояснительная записка появляется чертеж общего вида. Эскизный проект и ТП не являются обязательными и выполняются если это предусмотрено в ТЗ а эскизный проект выполняется еще если если это предусмотрено техническим заданием.
20089. Техническое предложение 31.5 KB
  Техническое предложение. Техническое предложение ТП совокупность технических документов которые содержат техническое и техникоэкономическое обоснование целесообразности разработки. 2 – Техническое задание. 3 – Техническое предложение.
20090. Требования к элементам приборов. Эксплуатационные, конструктивно-технологические, специальные. Чувствительность. Линейность 185.5 KB
  Статическая характеристика может быть выражена аналитически уравнением типа y=fx связывающим выходную величину y с входной величиной х в числовой форме в виде таблицы или графически. такая характеристика выгодна для показывающих и особенно для регистрирующих приборов т. Линейная характеристика преобразователей в вычислительных устройствах упрощает осуществление математических операций. Вместе с тем иногда нужны преобразователи с нелинейными характеристиками например с логарифмическими или квадратичными.