95629

Основные теоремы дифференциального исчисления. Понятие о производных высших порядков

Лекция

Математика и математический анализ

В ряде случаев для нахождения производных функций целесообразно сначала прологарифмировать исходную функцию. Особенно это эффективно, когда исходная функция разлагается на достаточно большое число сомножителей или является одновременно степенной и показательной, т. е. имеет вид...

Русский

2015-09-25

44.58 KB

0 чел.

Основные теоремы дифференциального исчисления. Лекция 14.

Основные теоремы дифференциального исчисления.

Понятие о производных высших порядков.

    Пусть дана функция . Ее производная  так же является функцией от  и называется производной первого порядка. Если   дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается .

    Производной – го порядка (или  – ой производной) функции  называется производная от ее производной  – го порядка, т. е.

    Пример 52. Пусть . Найти производную 5 – го порядка

    Решение. Найдем последовательно производные до 5 – го порядка.

    Пример 53. Найти производную  – го порядка функции .

    Решение. Находим последовательно производные

    Продолжая этот процесс дальше, замечаем следующую закономерность

Логарифмическое дифференцирование.

    В ряде случаев для нахождения производных функций целесообразно сначала прологарифмировать исходную функцию. Особенно это эффективно, когда исходная функция разлагается на достаточно большое число сомножителей или является одновременно степенной и показательной, т. е. имеет вид

    Пример 54. Найти производную функции



    Решение. Прологарифмируем функцию

    Продифференцируем обе части этого равенства

    Пример 55. Найти производную функции

    Решение. Прологарифмируем функцию

    Продифференцируем обе части этого равенства

Дифференциалы высших порядков.

    Так как дифференциал функции  является так же функцией, то от него так же можно находить дифференциал.

    Вторым дифференциалом (дифференциалом второго порядка) функции  называется дифференциал от ее дифференциала. Обозначается как

   Так как величина  не зависит от  и является при дифференцировании по  постоянной, то

    Таким образом, . Аналогично  и т. д.

Основные теоремы дифференциального исчисления.

    Теорема 27 (теорема Ролля). Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале  и на концах отрезка принимает одинаковые значения , то найдется хотя бы одна точка , в которой производная функции равна нулю, т. е. .

    Доказательство. Так как  непрерывна на , то она достигает на нем своего наибольшего () и наименьшего () значений. Если , то  постоянна на  и  для любой точки  из отрезка . Пусть  и , . Тогда для всех  верно неравенство  и

    Так как  всегда , то при , получаем а при , получаем . Но функция  дифференцирована в точке , следовательно ее пределы слева и справа должны  совпадать. Это возможно лишь в случае . Аналогично доказывается и случай когда .

    Замечание. Теорема Ролля означает, что на графике функции  найдется такая точка, в которой касательная к графику будет параллельна оси  (рис. 61). 

    Теорема 28 (теорема Коши). Если функции  и  непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , причем  для , то найдется хотя бы одна точка , такая, что

    Доказательство. Заметим, что , так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы такая точка , что , что противоречит условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию

    Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , так как является линейной комбинацией функций  и , кроме того

    По теореме Ролля найдется такая точка , что . А так как


    Отсюда


    Теорема 29 (теорема Лагранжа). Если функция  непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то найдется хотя бы одна точка ,что  

    Доказательство. Пусть , тогда

Подставим эти значения в формулу теоремы Коши, получим

    Следствие 1. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке , то функция постоянна на этом промежутке.

    Доказательство. Пусть  и . По теореме Лагранжа существует такая точка , что . Но по условию , следовательно,  или

    Следствие 2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке , то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

    Доказательство. Пусть  для . Тогда получаем  . Из следствия 1 следует, что

 для . Но тогда .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4258. Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплинам Алгоритмические языки и программирование 580.5 KB
  Введение Вычислительная техника в настоящее время широко применяется во всех областях человеческой деятельности. Существует устойчивая тенденция расширения круга решаемых ею проблем. В связи с этим возникает острая необходимость в подготовке специал...
4260. Программирование на языке ассемблера. Методические указания по выполнению лабораторных работ 472.5 KB
  Введение Современный специалист в области создания программного обеспечения для вычислительной техники и автоматизированных систем должен обладать достаточными знаниями по использованию средств вычислительной техники в организации и управлении проце...
4261. Изучение системных средств языка ассемблер 15.42 KB
  Изучение системных средств языка ассемблер Цель работы: научиться работать в среде программирования Ассемблера Выполнение работы: 1. Для вызова редактора нажать клавиши SHIFT + F4. В редакторе набрать текст программы и затем сохранить с расширением ...
4262. Парадигмы программирования 37.57 KB
  Парадигмы программирования Парадигма программирования — это система идей и понятий, определяющих стиль написания компьютерных программ, а также образ мышления программиста. Развитие парадигм программирования Знакомое нам из курса философии слов...
4263. Разница между CPU и GPU в параллельных расчётах 68.36 KB
  Разница между CPU и GPU в параллельных расчётах Рост частот универсальных процессоров упёрся в физические ограничения и высокое энергопотребление, и увеличение их производительности всё чаще происходит за счёт размещения нескольких ядер в одном чипе...
4264. Области применения параллельных расчётов на GPU 257.34 KB
  Области применения параллельных расчётов на GPU. Чтобы понять, какие преимущества приносит перенос расчётов на видеочипы, приведём усреднённые цифры, полученные исследователями по всему миру. В среднем, при переносе вычислений на GPU, во многих зада...
4265. Возможности NVIDIA CUDA 17.64 KB
  Возможности NVIDIA CUDA Технология CUDA — это программно-аппаратная вычислительная архитектура NVIDIA, основанная на расширении языка Си, которая даёт возможность организации доступа к набору инструкций графического ускорителя и управления его ...
4266. Решения с поддержкой NVIDIA CUDA 71.41 KB
  Решения с поддержкой NVIDIA CUDA Все видеокарты, обладающие поддержкой CUDA, могут помочь в ускорении большинства требовательных задач, начиная от аудио- и видеообработки, и заканчивая медициной и научными исследованиями. Единственное реальное огран...