95630

Формула Тэйлора

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть дана функция, определенная в некоторой окрестности точки и имеющая в ней производную до порядка включительно. Для любого из этой окрестности представим функцию в виде суммы степеней, т. е. Найдем коэффициенты. Для этого в равенстве положим. Продифференцируем исходное равенство...

Русский

2015-09-25

38.89 KB

0 чел.

Правила Лопиталя. Лекция 15.

Формула Тэйлора.

    Пусть дана функция , определенная в некоторой окрестности точки  и имеющая в ней производную до  порядка включительно. Для любого  из этой окрестности представим функцию в виде суммы степеней , т. е.

 

    Найдем коэффициенты . Для этого в равенстве  положим . Тогда . Продифференцируем исходное равенство

.

    Приравняем опять  , получим . Продолжая этот процесс дальше, найдем , , …, . Таким образом,

    Окончательно выражение для  примет вид

    Можно показать, что

    Точка  находится между  и , т. е. . Это равенство называется формулой Тэйлора. При , получим  и формула совпадет с формулой Лагранжа.

    Пример 56. Разложить функцию  по степеням .

    Решение. По формуле Тэйлора для  имеем

    Найдем производные и их значения в точке

    Пятая и все последующие производные будут равны нулю, поэтому  и получаем разложение

    Если в формуле Тэйлора положить  получим частный случай - формулу Маклорена

где .

    С помощью формулы Маклорена можно находить приближенные значения трансцендентных функций, разложение которых известно

где

где

где   – числа Бернулли

Правила Лопиталя.

    Теорема 30. Пусть функции  и  непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки  и . Если  в окрестности точки , то

    Доказательство. Применим к функциям и  теорему Коши для отрезка , лежащего в окрестности точки . Тогда

где . Учитывая, что , получаем

    При , величина , тогда

    Замечание 1. Теорема верна и в случае, когда  и  не определены в точке , но выполняется условие

    Замечание 2. Теорема верна и для случая, когда . Действительно, положим  получим

    Теорема 31 (Без доказательства). Если функции  и  непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки  ( кроме может быть, самой точки ) и в этой окрестности

    Если существует предел

    Пример 57. Вычислить предел


используя правила Лопиталя.

    Решение.

    Пример 58. Вычислить предел


используя правила Лопиталя.

    Решение. Предел имеет неопределенность вида , поэтому

    Пример 59. Вычислить предел


используя правила Лопиталя.

    Решение. Обозначим искомый предел через  и найдем

    Таким образом, , отсюда

    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73777. Важнейшие требования к личности практического психолога 14.66 KB
  Иными словами превалирующая роль отводится психологическому и психотерапевтическому а также психокоррекционному и психодиагностическому инструментарию при этом личностные характеристики психолога считаются чемто вторичным. Подобная позиция присуща теоретическим концепциям рассматривающим психологическую помощь как воздействие психолога на клиента. Обобщая многочисленные исследования профессионально важных личностных черт психотерапевтов и психологов можно выделить следующие личностные черты желательные для практического психолога: ...
73778. Проблема «модели специалиста» и индивидуального стиля деятельности психолога 22.45 KB
  Обычно приводится примерно такое обоснование: невозможно втиснуть в модель все характеристики профессиональной деятельности вместе с необходимостью импровизировать в труде а также невозможно выделить общепризнанный стандартнообразцовый профиль личностных и профессиональных качеств специалиста под который можно было бы подгонять будущих психологов. Маркова выделяет следующие основные составляющие модели специалиста: 1 профессиограмму то есть описание самой деятельности психолога; 2 профессиональнодолжностные требования...
73779. Профессиональные деструкции в развитии психолога 22.97 KB
  Работа может способствовать личностному развитию но может иметь и отрицательные для личности последствия. Проблема в балансе соотношении позитивных и негативных изменений личности работника. Профессиональные деструкции проявляются в снижении эффективности труда в ухудшении взаимоотношений с окружающими в ухудшении здоровья и главное в формировании отрицательных личностных качеств и даже в распаде целостной личности работника. Специалисты обычно выделяют и анализируют негативные качества формирующиеся в работе школьных учителей: ...
73780. Эффективность труда психолога 20.5 KB
  Сложность оценки эффективности труда психолога связана с тем что основной результат его работы существует сокрыт во внутреннем мире других людей. Центральные вопросы связанные с оценкой эффективности деятельности профессионального психолога состоят в следующем: кто и по каким критериям может и должен производить эту оценку По всей видимости официально оценивать эффективность работы психолога должны четыре типа лиц или общественных групп: администрация организации где психолог работает профессиональное сообщество клиенты сам...
73781. Работа психолога в образовании: цели и направления работы 20.26 KB
  В рамках актуального направления обсуждаются и решаются злободневные проблемы и вопросы связанные с конкретными трудностями в обучении и воспитании детей с нарушениями в их поведении с трудностями в обшении в той или иной системе отношений и т. Разработано и используется много программ комплексного обследования детей. Психологическое просвещение направлено на приобщение взрослых и детей к психологическим знаниям. Психо-профилактическая работа формирование педагогов детей родителей или лиц их заменяющих общей психологической культуры...
73782. Работа психолога в производственных организациях 21.12 KB
  Эта цель достигается посредством решения следующих задач: Планирование и маркетинг персонала: Разработка кадровой политики и стратегии управления персоналом; анализ кадрового потенциала предприятия; анализ рынка труда; планирование и прогнозирование потребности в персонале; организация рекламы предприятия как работодателя поддержание его благоприятного имиджа; поддержка взаимосвязи с внешними источниками персонала...
73783. Работа психолога в здравоохранении 19.33 KB
  Важная роль медицинского психолога в лечебном процессе заключается в том что он способствует лучшему пониманию психологических причин и проявлений болезни человека. Многие психические болезни имеют психологические причины: конфликты психические травмы внушения самовнушения закрепившиеся патогенные реакции и состояния. Таким образом психолог оказывается очень полезен при составлении истории болезни больного. Психокоррекция направлена на исправление относительно стойких аномальных черт психики обусловливающих повышенный риск...
73784. Организация рабочего места психолога 24.72 KB
  Рабочего кабинета психолога с сейфом для хранения материалов. Рабочее место психолога должно быть автоматизировано: персональный компьютер с программным обеспечением; фонд психологических методик; закрытые шкафы для хранения психологической информации и документов конфиденциального характера; учебно-методические материалы психологический календарь почтовый ящик психолога психологические советы дня рекомендации для педагогов родителей и учащихся разного возраста; тематический стенд по актуальным проблемам социальной возрастной и...
73785. Специфика подготовки практических психологов 56.21 KB
  Психологическая структура учебной деятельности. Для того чтобы студенты могли более эффективно организовывать свою учебу им полезно уже с первых дней обучения познакомиться с основными положениями психологической теории учебной деятельности. Оно является процессом и результатом активной познавательной прежде всего мыслительной деятельности самого учащегося по поиску добыванию и умственной переработке научных знаний а также по применению этих знаний в жизни. При преобладании деловой мотивации мотивы учебной деятельности совершенно не...