95630

Формула Тэйлора

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть дана функция, определенная в некоторой окрестности точки и имеющая в ней производную до порядка включительно. Для любого из этой окрестности представим функцию в виде суммы степеней, т. е. Найдем коэффициенты. Для этого в равенстве положим. Продифференцируем исходное равенство...

Русский

2015-09-25

38.89 KB

0 чел.

Правила Лопиталя. Лекция 15.

Формула Тэйлора.

    Пусть дана функция , определенная в некоторой окрестности точки  и имеющая в ней производную до  порядка включительно. Для любого  из этой окрестности представим функцию в виде суммы степеней , т. е.

 

    Найдем коэффициенты . Для этого в равенстве  положим . Тогда . Продифференцируем исходное равенство

.

    Приравняем опять  , получим . Продолжая этот процесс дальше, найдем , , …, . Таким образом,

    Окончательно выражение для  примет вид

    Можно показать, что

    Точка  находится между  и , т. е. . Это равенство называется формулой Тэйлора. При , получим  и формула совпадет с формулой Лагранжа.

    Пример 56. Разложить функцию  по степеням .

    Решение. По формуле Тэйлора для  имеем

    Найдем производные и их значения в точке

    Пятая и все последующие производные будут равны нулю, поэтому  и получаем разложение

    Если в формуле Тэйлора положить  получим частный случай - формулу Маклорена

где .

    С помощью формулы Маклорена можно находить приближенные значения трансцендентных функций, разложение которых известно

где

где

где   – числа Бернулли

Правила Лопиталя.

    Теорема 30. Пусть функции  и  непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки  и . Если  в окрестности точки , то

    Доказательство. Применим к функциям и  теорему Коши для отрезка , лежащего в окрестности точки . Тогда

где . Учитывая, что , получаем

    При , величина , тогда

    Замечание 1. Теорема верна и в случае, когда  и  не определены в точке , но выполняется условие

    Замечание 2. Теорема верна и для случая, когда . Действительно, положим  получим

    Теорема 31 (Без доказательства). Если функции  и  непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки  ( кроме может быть, самой точки ) и в этой окрестности

    Если существует предел

    Пример 57. Вычислить предел


используя правила Лопиталя.

    Решение.

    Пример 58. Вычислить предел


используя правила Лопиталя.

    Решение. Предел имеет неопределенность вида , поэтому

    Пример 59. Вычислить предел


используя правила Лопиталя.

    Решение. Обозначим искомый предел через  и найдем

    Таким образом, , отсюда

    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44046. Социально-психологические барьеры построения карьеры женщины 336 KB
  Социальнопсихологические барьеры построения карьеры женщины. Образ женщины в массовом сознании. Значение карьеры в жизни женщины. Экспериментальные исследования карьеры женщины.
44048. Четырехэтажное здание с цокольным и техническим этажами и чердаком 1.05 MB
  Необходимые гигиенические условия воздушной среды в помещениях в основном обеспечиваются работой отопительных и вентиляционных устройств. Задача отопительных устройств – поддерживать в помещениях в холодный период года определенную и постоянную температуру воздуха. Для этого они должны снабжать помещение теплотой в количестве, равном потерям теплоты самого помещения в окружающую среду.
44049. Соціологія. Методичний посібник 353 KB
  Оформления пояснювальної записки дипломної роботи Зразок заяви випускника щодо теми такерівника дипломної роботи Зразки титульного аркушу пояснювальноїзаписки дипломної роботи Зразок бланка завдання на виконаннядипломної роботи
44050. Создание цифровых гипсометрических карт и 3-х мерных картографических изображений 10.87 MB
  Карты допускают единовременный обзор пространства в любых пределах – от небольшого участка местности до поверхности Земли в целом. Издавна было принято определять географическую карту как уменьшенное изображение земной поверхности на плоскости. Во-первых оно справедливо и в отношении любого фотоснимка земной поверхности и в отношении пейзажа – изображения местности средствами изобразительного искусства. Во-вторых оно ограничивает задачи карты изображением земной поверхности тогда как современные карты включают в свое содержание самые...
44051. Рассмотрение специфики сферы деятельности банковской системы 348.5 KB
  Деятельность банковских учреждений так многообразна что их действительная сущность оказывается действительно неопределенной. Целью нашей работы является рассмотрение специфики сферы деятельности банковской системы . Задачи исследования: Дать общую характеристику банковской системы рассмотреть историю возникновения и роль банковской системы Определить особенности развития и структуру современной банковской системы РФ 2. Выделить перспективы развития банковской системы в России также рассмотреть проблемы.
44052. Условия формирования культуры взаимоотношений у детей старшего дошкольного возраста в условиях детского клуба «Эрудит» 178.54 KB
  Границы старшего дошкольного возраста определяются исследователями как возраст 5 – 7 лет. Однако в то же время многие дети идут в школу с 6 лет, поэтому возраст 6 – 7 лет одновременно относят и к периоду младшего школьного возраста. Поскольку развитие детей происходит в индивидуальном темпе, мы будем ориентироваться на средние показатели, согласно которым период от 5 до 7 лет является периодом старшего дошкольного возраста.
44053. Повышение эффективности деятельности планово-экономического отдела предприятия ЗАО «Атлант» 1.52 MB
  Эконометрическое моделирование временных рядов. Моделирование объемов производства с использованием анализа временных рядов Построение модели объема выпуска продукции на основе временных рядов Программная поддержка эконометрического моделирования объема выпуска продукции.