95630

Формула Тэйлора

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть дана функция, определенная в некоторой окрестности точки и имеющая в ней производную до порядка включительно. Для любого из этой окрестности представим функцию в виде суммы степеней, т. е. Найдем коэффициенты. Для этого в равенстве положим. Продифференцируем исходное равенство...

Русский

2015-09-25

38.89 KB

0 чел.

Правила Лопиталя. Лекция 15.

Формула Тэйлора.

    Пусть дана функция , определенная в некоторой окрестности точки  и имеющая в ней производную до  порядка включительно. Для любого  из этой окрестности представим функцию в виде суммы степеней , т. е.

 

    Найдем коэффициенты . Для этого в равенстве  положим . Тогда . Продифференцируем исходное равенство

.

    Приравняем опять  , получим . Продолжая этот процесс дальше, найдем , , …, . Таким образом,

    Окончательно выражение для  примет вид

    Можно показать, что

    Точка  находится между  и , т. е. . Это равенство называется формулой Тэйлора. При , получим  и формула совпадет с формулой Лагранжа.

    Пример 56. Разложить функцию  по степеням .

    Решение. По формуле Тэйлора для  имеем

    Найдем производные и их значения в точке

    Пятая и все последующие производные будут равны нулю, поэтому  и получаем разложение

    Если в формуле Тэйлора положить  получим частный случай - формулу Маклорена

где .

    С помощью формулы Маклорена можно находить приближенные значения трансцендентных функций, разложение которых известно

где

где

где   – числа Бернулли

Правила Лопиталя.

    Теорема 30. Пусть функции  и  непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки  и . Если  в окрестности точки , то

    Доказательство. Применим к функциям и  теорему Коши для отрезка , лежащего в окрестности точки . Тогда

где . Учитывая, что , получаем

    При , величина , тогда

    Замечание 1. Теорема верна и в случае, когда  и  не определены в точке , но выполняется условие

    Замечание 2. Теорема верна и для случая, когда . Действительно, положим  получим

    Теорема 31 (Без доказательства). Если функции  и  непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки  ( кроме может быть, самой точки ) и в этой окрестности

    Если существует предел

    Пример 57. Вычислить предел


используя правила Лопиталя.

    Решение.

    Пример 58. Вычислить предел


используя правила Лопиталя.

    Решение. Предел имеет неопределенность вида , поэтому

    Пример 59. Вычислить предел


используя правила Лопиталя.

    Решение. Обозначим искомый предел через  и найдем

    Таким образом, , отсюда

    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47545. Методические рекомендации.Организация обслуживания в общественном питании 500.5 KB
  Характеристика проектируемого предприятия Составление меню проектируемого предприятия Сервисная деятельность предприятия Маркетинговая деятельность предприятия
47548. ДЕРЖАВНА АТЕСТАЦІЯ ВИПУСКНИКІВ 282.5 KB
  Для бакалаврів надані рекомендації щодо виконання випускної атестаційної роботи державний іспит та кваліфікаційної дипломної роботи надана інформація щодо майбутнього вступу до магістратури. Структура та зміст дипломної роботи. Порядок захисту дипломної роботи. Критерії оцінки дипломної роботи.
47549. Методические рекомендации. Международные отношения 1.11 MB
  В пособии даны рекомендации необходимые студентам при прохождении производственной и преддипломной практик написания отчетов по практикам а также для обобщения и анализа собранных материалов и написания дипломной работы. Целью проведения преддипломной практики является закрепление навыков полученных в период производственной практики а также сбор анализ и обобщение материалов для написания дипломной работы. Перед студентами в период прохождения практики ставятся следующие задачи: изучение структуры организации в которую...
47550. Финансы и кредит. Методические указания 437 KB
  Выбор темы дипломной работы Формулировка названия дипломной работы План дипломной работы Последовательность оформления дипломной работы и подготовка к ее защите
47553. Методические рекомендации. Менеджмент организации 224 KB
  Выбор темы проекта Требования к структуре и содержанию проекта Процедура сдачи и защиты проекта ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ ДИПЛОМНЫХ ПРОЕКТОВ ПО СПЕЦИАЛИЗАЦИИ ИНВЕСТИЦИОННЫЙ МЕНЕДЖМЕНТ Приложение Образец титульного листа отчета по преддипломной практике Приложение Образец титульного листа дипломного проекта Приложение Образец задания на выполнение дипломного проекта