95630

Формула Тэйлора

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть дана функция, определенная в некоторой окрестности точки и имеющая в ней производную до порядка включительно. Для любого из этой окрестности представим функцию в виде суммы степеней, т. е. Найдем коэффициенты. Для этого в равенстве положим. Продифференцируем исходное равенство...

Русский

2015-09-25

38.89 KB

0 чел.

Правила Лопиталя. Лекция 15.

Формула Тэйлора.

    Пусть дана функция , определенная в некоторой окрестности точки  и имеющая в ней производную до  порядка включительно. Для любого  из этой окрестности представим функцию в виде суммы степеней , т. е.

 

    Найдем коэффициенты . Для этого в равенстве  положим . Тогда . Продифференцируем исходное равенство

.

    Приравняем опять  , получим . Продолжая этот процесс дальше, найдем , , …, . Таким образом,

    Окончательно выражение для  примет вид

    Можно показать, что

    Точка  находится между  и , т. е. . Это равенство называется формулой Тэйлора. При , получим  и формула совпадет с формулой Лагранжа.

    Пример 56. Разложить функцию  по степеням .

    Решение. По формуле Тэйлора для  имеем

    Найдем производные и их значения в точке

    Пятая и все последующие производные будут равны нулю, поэтому  и получаем разложение

    Если в формуле Тэйлора положить  получим частный случай - формулу Маклорена

где .

    С помощью формулы Маклорена можно находить приближенные значения трансцендентных функций, разложение которых известно

где

где

где   – числа Бернулли

Правила Лопиталя.

    Теорема 30. Пусть функции  и  непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки  и . Если  в окрестности точки , то

    Доказательство. Применим к функциям и  теорему Коши для отрезка , лежащего в окрестности точки . Тогда

где . Учитывая, что , получаем

    При , величина , тогда

    Замечание 1. Теорема верна и в случае, когда  и  не определены в точке , но выполняется условие

    Замечание 2. Теорема верна и для случая, когда . Действительно, положим  получим

    Теорема 31 (Без доказательства). Если функции  и  непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки  ( кроме может быть, самой точки ) и в этой окрестности

    Если существует предел

    Пример 57. Вычислить предел


используя правила Лопиталя.

    Решение.

    Пример 58. Вычислить предел


используя правила Лопиталя.

    Решение. Предел имеет неопределенность вида , поэтому

    Пример 59. Вычислить предел


используя правила Лопиталя.

    Решение. Обозначим искомый предел через  и найдем

    Таким образом, , отсюда

    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15776. Виды рядов динамики 11.68 KB
  Виды рядов динамики.Для отображения динамики строят ряды динамикихронологическиевременные которые представляют собой ряды изменяющихся во времени значений статистического показателя расположенных в хронологическом проядке.Существуют различные виды рядов динам...
15777. Виды статистического наблюдения 14.68 KB
  Виды статистического наблюдения. Статистическое наблюдение это массовое планомерное научно организованное наблюдение за явлениями социальной и экономической жизни которое заключается в регистрации отобранных признаков у каждой единицы совокупности. Примерами с
15778. Выбор средней величины в экономических расчётах 15.6 KB
  Выбор средней величины в экономических расчётах. В экономических расчётах наиболее часто используют средние арифметические и средние гармонические. Выбор того или иного вида средней зависит от исходных данных и исходного отношения логической словесной формулы сре
15779. Вычисление среднеквадратического отклонения и дисперсии по преобразованной формуле 25.06 KB
  Вычисление среднеквадратического отклонения и дисперсии по преобразованной формуле. Среднее квадратичное отклонение определяет на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения и к тому же является абсолютной мерой колеблемости приз
15780. Индекс товарооборота фактических ценах 14.99 KB
  Индекс товарооборота фактических ценах Общий индекс товарооборота стоимости реализованных товаров: где p1q1 товарооборот отчётного периода; р0q0 товарооборот базисного периода. Знак означает что суммируются стоимости различных товаров. Количество с
15781. Индекс физического объёма товарооборота 15.02 KB
  Индекс физического объёма товарооборота также может быть построен по двум схемам: В этих индексах индексируемой величиной является количество товара q а весами цены базисного p0 или отчётного p1 периода. Индекс физического объёма това
15782. Индексы переменного состава, постоянного состава, структурных сдвигов 14.19 KB
  Индексы переменного состава постоянного состава структурных сдвигов. Индекс переменного состава показывает динамику среднего показателя как за счет применения индексируемой величины так и за счет изменения весов по которым взвешивается средняя т.е. влияние обоих ...
15783. Индивидуальные индексы и их свойства 39.33 KB
  Индивидуальные индексы и их свойства. Индивидуальные индексы рассчитываются для однородных совокупностей. Они представляют собой отношение уровня экономического явления в отчётном периоде к его уровню в базисном периоде. В общем виде этот индекс может быть записан в в...
15784. Компоненты уровня ряда динамики 11.64 KB
  Компоненты уровня ряда динамики. Ряд динамики может быть подвержен влиянию факторов эволюционного и осциллятивного характера а также находиться под влиянием факторов разного воздействия. Такие изменения динамического ряда называются тенденцией развития или трендо