95630

Формула Тэйлора

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть дана функция, определенная в некоторой окрестности точки и имеющая в ней производную до порядка включительно. Для любого из этой окрестности представим функцию в виде суммы степеней, т. е. Найдем коэффициенты. Для этого в равенстве положим. Продифференцируем исходное равенство...

Русский

2015-09-25

38.89 KB

0 чел.

Правила Лопиталя. Лекция 15.

Формула Тэйлора.

    Пусть дана функция , определенная в некоторой окрестности точки  и имеющая в ней производную до  порядка включительно. Для любого  из этой окрестности представим функцию в виде суммы степеней , т. е.

 

    Найдем коэффициенты . Для этого в равенстве  положим . Тогда . Продифференцируем исходное равенство

.

    Приравняем опять  , получим . Продолжая этот процесс дальше, найдем , , …, . Таким образом,

    Окончательно выражение для  примет вид

    Можно показать, что

    Точка  находится между  и , т. е. . Это равенство называется формулой Тэйлора. При , получим  и формула совпадет с формулой Лагранжа.

    Пример 56. Разложить функцию  по степеням .

    Решение. По формуле Тэйлора для  имеем

    Найдем производные и их значения в точке

    Пятая и все последующие производные будут равны нулю, поэтому  и получаем разложение

    Если в формуле Тэйлора положить  получим частный случай - формулу Маклорена

где .

    С помощью формулы Маклорена можно находить приближенные значения трансцендентных функций, разложение которых известно

где

где

где   – числа Бернулли

Правила Лопиталя.

    Теорема 30. Пусть функции  и  непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки  и . Если  в окрестности точки , то

    Доказательство. Применим к функциям и  теорему Коши для отрезка , лежащего в окрестности точки . Тогда

где . Учитывая, что , получаем

    При , величина , тогда

    Замечание 1. Теорема верна и в случае, когда  и  не определены в точке , но выполняется условие

    Замечание 2. Теорема верна и для случая, когда . Действительно, положим  получим

    Теорема 31 (Без доказательства). Если функции  и  непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки  ( кроме может быть, самой точки ) и в этой окрестности

    Если существует предел

    Пример 57. Вычислить предел


используя правила Лопиталя.

    Решение.

    Пример 58. Вычислить предел


используя правила Лопиталя.

    Решение. Предел имеет неопределенность вида , поэтому

    Пример 59. Вычислить предел


используя правила Лопиталя.

    Решение. Обозначим искомый предел через  и найдем

    Таким образом, , отсюда

    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46248. Основные закономерности развития ребенка в младенческом возрасте 13.83 KB
  Основные закономерности развития ребенка в младенческом возрасте. Социальная ситуация психического развития ребенка – ситуация мы Л. Ведущий тип деятельности: эмоционально непосредственное общение предметом которого для ребенка является взрослый человек. Дефицит общения в младенческом возрасте оказывает отрицательное влияние на дальнейшее психическое развитие ребенка Эриксон: базовое недоверие к миру.
46250. Виды взрослости в подростковом возрасте 13.76 KB
  Виды взрослости в подростковом возрасте. Подростковый период – переходный период от детства к взрослости. Центральное новообразование подросткового возраста – возникновение представления о себе как не о ребенке; подросток начинает чувствовать себя взрослым стремится быть и считаться взрослым но у него нет еще ощущения подлинной полноценной взрослости зато есть огромная потребность в признании его взрослости окружающими. Итак чувство взрослости по определению Д.
46251. Система права. Метод правового регулирования 38.5 KB
  Именно предмет и метод правового регулирования – основа разделения системы права на отрасли. Предметом правового регулирования являются те общественные отношения...
46252. Языковая просодия, уровни изучения. Фразовая интонация: составляющие факторы. Фразовое ударение в высказывании. Проблема экспрессивного выделения 13.67 KB
  Звуковой такт звуковая синтагма совокупность нескольких слогов объединённых одним ударением это часть звуковой фразы. Выделение голосом слов в предложении или во фразе называется фразовым ударением. В русском предложении cлова не выделяются так резко фразовым ударением и оно падает почти на каждое слово; русская речь по сравнению с английской производит впечатление более плавной. Конечно и в русской речи есть слова которые не выделяются ударением но их не так много.
46253. Понятие о постоянстве объекта в концепции Ж. Пиаже 13.64 KB
  Пиаже Поскольку объективное знание не может приобретаться посредством простой регистрации внешней информации а имеет свой источник во взаимодействиях между субъектом и объектами оно с необходимостью предполагает два типа активности: с одной стороны координацию самих действий и с другой стороны установление взаимоотношений между объектами. Эти два типа активности взаимозависимы поскольку данные отношения устанавливаются единственно через действия. Отсюда следует что объективное знание всегда подчинено определенным структурам действия. Но...
46255. Основные направления научного изучения языковой лексики 13.53 KB
  Лексиколо́гия наука о слове; это раздел языкознания изучающий словарный состав языка или лексику. В лексикологии рассматриваются: слово и его значение система взаимоотношений слов история формирования современной лексики функциональностилевое различие слов в разных сферах речи Объектом изучения является слово. Оно изучается также в морфологии и словообразовании. Однако если в них слова оказываются средством для изучения грамматического строя и словообразовательных моделей и правил языка то в лексикологии слова изучаются для...