95630

Формула Тэйлора

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть дана функция, определенная в некоторой окрестности точки и имеющая в ней производную до порядка включительно. Для любого из этой окрестности представим функцию в виде суммы степеней, т. е. Найдем коэффициенты. Для этого в равенстве положим. Продифференцируем исходное равенство...

Русский

2015-09-25

38.89 KB

0 чел.

Правила Лопиталя. Лекция 15.

Формула Тэйлора.

    Пусть дана функция , определенная в некоторой окрестности точки  и имеющая в ней производную до  порядка включительно. Для любого  из этой окрестности представим функцию в виде суммы степеней , т. е.

 

    Найдем коэффициенты . Для этого в равенстве  положим . Тогда . Продифференцируем исходное равенство

.

    Приравняем опять  , получим . Продолжая этот процесс дальше, найдем , , …, . Таким образом,

    Окончательно выражение для  примет вид

    Можно показать, что

    Точка  находится между  и , т. е. . Это равенство называется формулой Тэйлора. При , получим  и формула совпадет с формулой Лагранжа.

    Пример 56. Разложить функцию  по степеням .

    Решение. По формуле Тэйлора для  имеем

    Найдем производные и их значения в точке

    Пятая и все последующие производные будут равны нулю, поэтому  и получаем разложение

    Если в формуле Тэйлора положить  получим частный случай - формулу Маклорена

где .

    С помощью формулы Маклорена можно находить приближенные значения трансцендентных функций, разложение которых известно

где

где

где   – числа Бернулли

Правила Лопиталя.

    Теорема 30. Пусть функции  и  непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки  и . Если  в окрестности точки , то

    Доказательство. Применим к функциям и  теорему Коши для отрезка , лежащего в окрестности точки . Тогда

где . Учитывая, что , получаем

    При , величина , тогда

    Замечание 1. Теорема верна и в случае, когда  и  не определены в точке , но выполняется условие

    Замечание 2. Теорема верна и для случая, когда . Действительно, положим  получим

    Теорема 31 (Без доказательства). Если функции  и  непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки  ( кроме может быть, самой точки ) и в этой окрестности

    Если существует предел

    Пример 57. Вычислить предел


используя правила Лопиталя.

    Решение.

    Пример 58. Вычислить предел


используя правила Лопиталя.

    Решение. Предел имеет неопределенность вида , поэтому

    Пример 59. Вычислить предел


используя правила Лопиталя.

    Решение. Обозначим искомый предел через  и найдем

    Таким образом, , отсюда

    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18623. Общая характеристика б/у и требования, предъявляемые к б/у и методы 17.68 KB
  Общая характеристика б/у и требования предъявляемые к б/у и методы. Бух учет представляет собой упорядоченную систему сбора регистрации и обобщения инфы в денежном выражении об имуществе обязательствах организации и их движении. Объекты бух учета имущество организ
18624. Проблемы создания информационных систем управленческого учета 15.49 KB
  Проблемы создания информационных систем управленческого учета. Должен отражать динамику изменения всех процессов происходящих на предприятии отслеживание их При составлении отчетности руководителя заботит доверительное отношение к платежеспособности организаци
18625. Анализ предметной области для проектирования базы данных 16.56 KB
  Анализ предметной области для проектирования базы данных. Существует 2 подхода к выбору состава и структуры п.о. функциональный подход. Он реализует принцип движения от задачи т.е. анализируются и исследуются функции некоторой группы лиц и комплексы задач для обсл
18626. Типы стратегий 13.97 KB
  Типы стратегий. Выделяют несколько типов стратегий: Корпоративный Деловой Функциональный. Корпоративная портфельная стратегия это стратегия которая описывает общее направление роста предприятия развития его производственносбытовой деятельности. Она ...
18627. Функции операционной системы. Понятие расширенной виртуальной машины 15.95 KB
  Функции операционной системы. Понятие расширенной виртуальной машины. Функции: Обеспечивать загрузку пользовательских программ в оперативную память и их исполнение; Обеспечивать работу с устройствами долговременной памяти такими как магнитные диски ленты оптическ
18628. Правовое и методическое обеспечение б/у 15.24 KB
  Правовое и методическое обеспечение б/у. Система БУ на предприятии и работа бухгалтера организуется в соответствии с Положением о б/у и отчетности от 20 марта 1992 г. изданном в 1992 с послед измен. и допол. Это Положение устанавливает единые методологические основы б/у и отч...
18629. Связи объектов моделей 15.5 KB
  Связи объектов моделей. Каждая связь задается в модели определенным именем. Связь в графической форме представляется как линия между связанными объектами и обозначается идентификатором связи. Существует три вида связи: одинкодному одинкомногим и многиекомногим. С
18630. Определение и принципы тестирования 14.42 KB
  Определение и принципы тестирования. Тестирование является одним из этапов ЖЦ ПИ направленным на повышение качественных характеристик. Особенностями тестирования ПИ являются: отсутствие эталона программы которому должна соответствовать тестируемая программ...
18631. Основные производственные фонды 13.62 KB
  Основные производственные фонды. Основные производственные фонды состоят из машин и оборудования передаточных устройств транспортных средств зданий сооружений и т.д. Кроме машин или станков которые лежат на складе как готовая продукция в ожидании реализации и вх