95630

Формула Тэйлора

Лекция

Математика и математический анализ

Пусть дана функция, определенная в некоторой окрестности точки и имеющая в ней производную до порядка включительно. Для любого из этой окрестности представим функцию в виде суммы степеней, т. е. Найдем коэффициенты. Для этого в равенстве положим. Продифференцируем исходное равенство...

Русский

2015-09-25

38.89 KB

0 чел.

Правила Лопиталя. Лекция 15.

Формула Тэйлора.

    Пусть дана функция , определенная в некоторой окрестности точки  и имеющая в ней производную до  порядка включительно. Для любого  из этой окрестности представим функцию в виде суммы степеней , т. е.

 

    Найдем коэффициенты . Для этого в равенстве  положим . Тогда . Продифференцируем исходное равенство

.

    Приравняем опять  , получим . Продолжая этот процесс дальше, найдем , , …, . Таким образом,

    Окончательно выражение для  примет вид

    Можно показать, что

    Точка  находится между  и , т. е. . Это равенство называется формулой Тэйлора. При , получим  и формула совпадет с формулой Лагранжа.

    Пример 56. Разложить функцию  по степеням .

    Решение. По формуле Тэйлора для  имеем

    Найдем производные и их значения в точке

    Пятая и все последующие производные будут равны нулю, поэтому  и получаем разложение

    Если в формуле Тэйлора положить  получим частный случай - формулу Маклорена

где .

    С помощью формулы Маклорена можно находить приближенные значения трансцендентных функций, разложение которых известно

где

где

где   – числа Бернулли

Правила Лопиталя.

    Теорема 30. Пусть функции  и  непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки  и . Если  в окрестности точки , то

    Доказательство. Применим к функциям и  теорему Коши для отрезка , лежащего в окрестности точки . Тогда

где . Учитывая, что , получаем

    При , величина , тогда

    Замечание 1. Теорема верна и в случае, когда  и  не определены в точке , но выполняется условие

    Замечание 2. Теорема верна и для случая, когда . Действительно, положим  получим

    Теорема 31 (Без доказательства). Если функции  и  непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки  ( кроме может быть, самой точки ) и в этой окрестности

    Если существует предел

    Пример 57. Вычислить предел


используя правила Лопиталя.

    Решение.

    Пример 58. Вычислить предел


используя правила Лопиталя.

    Решение. Предел имеет неопределенность вида , поэтому

    Пример 59. Вычислить предел


используя правила Лопиталя.

    Решение. Обозначим искомый предел через  и найдем

    Таким образом, , отсюда

    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17890. ВИДІЛЕННЯ ПІДСИСТЕМ СВІТОВОГО ГОСПОДАРСТВА ТА ПОКАЗНИКИ ЙОГО РОЗВИТКУ 204 KB
  Тема 2 . ВИДІЛЕННЯ ПІДСИСТЕМ СВІТОВОГО ГОСПОДАРСТВА ТА ПОКАЗНИКИ ЙОГО РОЗВИТКУ ПЛАН Критерії виділення підсистем світового господарства. Основні показники розвитку світового господарства. Групи країн у світовій економіці. Класифікації країн за метод...
17891. ГЛОБАЛЬНА ЕКОНОМІЧНА СИСТЕМА: КОНЦЕПЦІЇ ТА МОДЕЛІ РОЗВИТКУ 101 KB
  Тема 3 . ГЛОБАЛЬНА ЕКОНОМІЧНА СИСТЕМА: КОНЦЕПЦІЇ ТА МОДЕЛІ РОЗВИТКУ ПЛАН 1. Концепції глобальної економічної системи 2. Головні елементи міжнародної економічної системи 3. Моделі економічного розвитку 1. Концепції глобальної економічної системи Світов...
17892. МІЖНАРОДНА ТОРГІВЛЯ 354.5 KB
  тема 4. Міжнародна торгівля 1. Сутність міжнародної торгівлі та її роль в системі світогосподарських зв’язків. Еволюція теорій міжнародної торгівлі 2. Види та методи сучасної міжнародної торгівлі 3. Міжнародна торгівля послугами 4. Показники міжнародної торгівлі 5.
17893. Світова економіка: суть, основні закономірності і тенденції її розвитку на рубежі ХХ-ХХ1вв 53 KB
  Лекція 1. Світова економіка: суть основні закономірності і тенденції її розвитку на рубежі ХХХХ1вв. Світова економіка є складною системою що включає безліч складових її елементів. Основу цієї системи утворюють міжнародне і обмежене рамками окремих держав національне в...
17894. Субєкти сучасного світового господарства і система показників, що характеризують їх місце в світовій економіці 45.5 KB
  Лекція 2. Суб'єкти сучасного світового господарства і система показників що характеризують їх місце в світовій економіці. 1. Основні типи держав і їх економічних об'єднань в світовій економіці У міжнародній практиці всі країни світу підрозділяються на три основні груп
17895. Міжнародна економічна інтеграція 54 KB
  Лекція 3. Міжнародна економічна інтеграція 1. Зміст і форми міжнародної економічної інтеграції Міжнародна економічна інтеграція це процес господарськийполітичного об'єднання країн на основі розвитку глибоких стійких взаємозв'язків і розподілу праці між націонал
17896. Глобальні проблеми в світовій економіці на рубежі XX - XXI вв 82 KB
  Лекція 4. Глобальні проблеми в світовій економіці на рубежі XX XXI вв. 1. Екологічна криза як глобальна проблема Екологічна проблема має багатовікову історію проте вона загострилася з другої половини XIX в. у міру індустріалізації планети. За останні 100 років було знищено б...
17897. Природно-ресурсний потенціал сучасного світового господарства 79 KB
  Лекція 5. Природноресурсний потенціал сучасного світового господарства 1. Територія сільськогосподарські угіддя До природних ресурсів що все ширше використовуються в ході розвитку суспільства і створюють умови його існування в першу чергу відноситься земля. Зем
17898. Людські ресурси світового господарства 90 KB
  Лекція 6. Людські ресурси світового господарства 1. Чисельність і темпи зростання населення Землі Дані про чисельність населення отримують на основі регулярних загальних переписів населення що проводяться зазвичай один раз в 10 років а в проміжках між ними шляхом р...