95705

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Практическая работа

Математика и математический анализ

Из первого графика видно, что значения у(х) и Т2 почти совпадают и только Т2 сильно отклоняется, это говорит о точности полученого приближения от Х, от степени многочлена и от вида приближения. Во вотором графике – у(х) и L4 почти совпадают и L1 отклоняется. В данной работе использовалось два метода приближения фуенкции...

Русский

2015-09-29

1.52 MB

3 чел.

Санкт - Петербургский государственный технологический институт

(технический университет)

Кафедра системного анализа

 Факультет: 4

Курс: 2

Группа: 436

Учебная дисциплина: ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №1

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Вариант № 01

Работа выполнена:

Балахничева А.Д.

Руководители:

Чумаков С.И.

Санкт-Петербург

2015

Цель работы:  для заданной функции  определенной на [-1, 1] построить ее приближение:

1) с помощью формулы Тейлора в окрестности точки Х0 = 0 порядков n=2 и n=4

2) по интерполяционной формуле Лагранжа с узлами {-1; 0; 1} и {-1; -0,5; 0; 0,5; 1}

3) составить таблицы соответствующих функций в точках -0,1, -0,9 с шагом от 0,1… до 1, нарисовать графики и исследовать зависимости точности полученных приближений от Х, от степени многочлена и от вида приближения.

Ход работы.

1. Приближение заданной функции с помощью формулы Тейлора.

Дана формула Тейлора:

Задана функция с известными a и b:  

Для начала найдем производную этой функции, для этого воспользуемся Mathcad (рис.1 ):

Рисунок 1 - Вычисление производной

Полученые значения подставляем в формулу Тейлора и находим приближения Т1(х) и Т2(х) (рис.2):

Рисунок 2 – Нахождение приближения

Находим значения T1(xi), T2(xi), xi, y(xi) (рис.3):

Рисунок 3 – Интерполяционая формула Лагранжа и таблица соответствий функций

Получается график зависимости точности полученого приближения от Х, от степени многочлена и от вида приближения:  (рис.4):

Рисунок 4 - График зависимости точности полученого приближения от Х, от степени многочлена и от вида приближения

2.  Приближение заданной функции по интерполяционной формуле Лагранжа.

Формула на нахождения полинома Лагранжа:

Найдем :

Ввведем полученые функции в Mathcad (рис.5):

Рисунок 5 – Полученные данные

Построим график график зависимости точности полученого приближения от Х, от степени многочлена и от вида приближения (рис.6):

Рисунок 6 - График зависимости точности полученого приближения от Х, от степени многочлена и от вида приближения

3. Исследование графиков и вывод:

Из первого графика видно, что значения у(х) и Т2 почти совпадают и только Т2 сильно отклоняется, это говорит о точности полученого приближения от Х, от степени многочлена и от вида приближения.

Во вотором графике – у(х) и L4 почти совпадают и L1 отклоняется.

В данной работе использовалось два метода приближения фуенкции:

1) с помощью формулы Тейлора в окрестности точки Х0 = 0 порядков n=2 и n=4

2) по интерполяционной формуле Лагранжа с узлами {-1; 0; 1} и {-1; -0,5; 0; 0,5; 1}

Из обоих графиков следует, что два метода показывающие приближение функции  определенной на [-1, 1] почти совпадают.