95758

Позиционные задачи

Лекция

Математика и математический анализ

Позиционные задачи Построение точки пересечения прямой с плоскостью. Построение прямой пересечения двух плоскостей. Общий случай пересечения поверхностей. Построение точки пересечения прямой с плоскостью Решается с помощью вспомогательной секущей плоскости.

Русский

2015-09-29

353 KB

0 чел.

3. Позиционные задачи

  1.  Построение точки пересечения прямой с плоскостью.
  2.  Построение прямой пересечения двух плоскостей.
  3.  Пересечение поверхности плоскостью.
  4.  Пересечение линии с поверхностью.
  5.  Взаимное пересечение поверхностей. Общий случай пересечения поверхностей.
  6.  Метод вспомогательных секущих плоскостей.

  1.  Построение точки пересечения прямой с плоскостью

Решается с помощью вспомогательной секущей плоскости.

Алгоритм решения:

1) Заданная прямая заключается во вспомогательную плоскость. В качестве вспомогательной чаще всего используются проецирующие плоскости.

2) Строится прямая пересечения вспомогательной плоскости с заданной плоскостью.

3) Построенная прямая и заданная прямая будут лежать во вспомогательной плоскости, будут пересекаться. Точка их пересечения будет являться искомой точкой пересечения заданной прямой и заданной плоскости.

4) После нахождения точки пересечения нужно определить видимость прямой относительно плоскости.

Пример.

Построить точку пересечения прямой l и плоскости (АВС).

  1.  Построение прямой пересечения двух плоскостей

Две плоскости пересекаются по прямой.

Т.к. прямая определяется двумя точками, достаточно найти  2 точки прямой пересечения. Для этого надо провести 2 вспомогательные секущие плоскости.

1) Проводится вспомогательная плоскость (проецирующая или уровня).

2) Строятся прямые пересечения вспомогательной плоскости с каждой из заданных плоскостей.

3) Находится точка пересечения построенных прямых,

4) Для нахождения второй точки прямой пересечения нужно провести вторую вспомогательную плоскость и выполнить аналогичные построения.

Пример.

Построить прямую пересечения плоскости () и ()

1) H(H2)

2)

   

3)

4)

5)

  

6)

  1.  Пересечение поверхности плоскостью

При пересечении плоскости с поверхностью искомая линия пересечения будет представлять собой плоскую кривую. Сложность решения задачи зависит от того, какая задана плоскость – частного положения или общего.

Построение линии пересечения поверхности с плоскостью частного

положения

В этом случае решение задачи значительно упрощается, т.к. нам сразу становится известна одна проекция линии пересечения. Она будет совпадать с вырожденной проекцией плоскости и лежать внутри очерка поверхности, поэтому остаётся построить лишь вторую проекцию искомой линии пересечения. Для этого нужно воспользоваться вспомогательными линиями, лежащими на поверхности (параллелями или образующими).

Пример.

Построить линию пересечения сферы с фронтально проецирующей плоскостью .

  1.  Построение точки пересечения линии с поверхностью

Данная задача решается с помощью вспомогательной секущей поверхности.

Алгоритм решения:

  1.  заданную линию заключаем во вспомогательную поверхность .
    1.  строим линию пересечения вспомогательной поверхности с заданной поверхностью F.
    2.  построенная линия n и заданная линия  лежат на поверхности , а, значит, будут пересекаться. Точка их пересечения будет являться искомой точкой пересечения линии  с поверхностью F.

В качестве вспомогательной поверхности обычно используют:

  1.  плоскость (если заданная линия является прямой или плоской кривой);
  2.  проецирующая цилиндрическая поверхность (если заданная линия является пространственной кривой).

Пример.

Построить точку пересечения линии  с конической поверхностью общего вида

  1.  Взаимное пересечение поверхностей. Общий случай пересечения поверхностей

Линия пересечения двух поверхностей в общем случае является пространственной кривой, порядок которой = произведению порядков пересекающихся поверхностей.

Графически порядок кривой и поверхности определяется числом возможных точек пересечения с произвольной прямой.

Чтобы построить эту линию, необходимо воспользоваться вспомогательными секущими поверхностями.

Решение:

1)

2)

3)

  1.  Обе заданные поверхности пересекаются вспомогательной поверхностью . В  качестве вспомогательной чаще всего используются плоскости, сферы или проецирующие цилиндрические поверхности.
  2.  Строятся линии пересечения вспомогательной поверхности с каждой из заданных поверхностей.
  3.  Построенные линии m и n лежат на одной и той же поверхности , а значит, пересекаются в точках M и N. Эти точки будут общими для трёх поверхностей: , а значит, будут принадлежать искомой линии пересечения заданных поверхностей.

Для построения других точек линии пересечения необходимо провести ещё несколько секущих поверхностей и выполнить аналогичные построения.

Найденные точки соединяются плавной линией по лекалу с учётом видимости. При этом нужно определить также и видимость очерковых линий поверхностей.

Выбор и расположение секущих вспомогательных поверхностей определяется следующими обстоятельствами:

  1.  желательно, чтобы линии пересечения вспомогательной поверхности с заданными были графически простыми линиями;
  2.  и чтобы они (эти линии) проецировались на какую-либо плоскость проекций без искажения.

  1.  Метод вспомогательных секущих плоскостей

Чаще всего в качестве вспомогательных используются проецирующие плоскости и плоскости уровня. Однако, в случае пересечения двух линейчатых поверхностей иногда используют плоскости общего положения.

Сложность решения задачи в многом определяется сложностью построения линий пересечения вспомогательной поверхности с заданной. Чем проще будут эти линии (прямые или окружности), тем проще будет решение задач.

Среди точек линии пересечения есть такие, которые выделяются своим особым положением среди остальных точек (самая верхняя и самая нижняя, крайняя правая и левая, точки – границы видимости и т.д.). Такие точки называются особыми или опорными, и строить их нужно в первую очередь.

Обычно эти точки находятся сразу без применения дополнительных построений. Остальные точки линии пересечения называются промежуточными, и все они строятся с помощью одного и того же приёма.

Пример.

Построить линию пересечения сферы с прямым круговым конусом.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

PAGE  6


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61728. Работа над ошибками. Упражнения в умении определять слова, обозначающие предмет, признак предмета 30.31 KB
  Цели урока: Образовательные: проверить прочность усвоения тем: имя существительное и имя прилагательное; отработка умения анализировать объекты с целью выделения признаков; Развивающие: развитие умений находить и исправлять ошибки при постановке вопросов к словам и поиске...
61730. Как делаются слова. Снова суффиксы слов, называющих предметы 17.83 KB
  Словарный диктант. Жук жучек Еж ежик Конь конек Кот котик Как образовались новые слова При помощи чего Что такое суффикс Для чего он служит Сообщение темы урока. Научимся находить и в словах и выделять.
61731. Раздельное написание предлогов со словами 20.72 KB
  Карандаши лежат где Яблони и груши растут где Медведь живёт где Получил посылку где Всё лето мы отдыхали где Моя мама работает где Получил письмо от кого Петя пошел в магазин за чем Упражнение 5 на стр. Карандаши лежат где...
61732. Сочинение по картине В.Д. Поленова «Первый снег» («Ранний снег») 16.17 KB
  Подготовка учащихся к восприятию картины а Какой сейчас месяц ноябрь К какому времени года относится ноябрь к поздней осени Какие изменения происходят в природе характерные поздней осени Небо солнце осадки почва...
61733. Образование глаголов из других частей речи 12.33 KB
  На какие вопросы отвечают выписанные глаголы Какую часть называем глаголом III Постановка темы урока Мы продолжим изучать глаголы будем упражняться в их распознавании среди других частей речи и образовывать глаголы...
61734. Употребление глаголов в неопределенной форме 14.27 KB
  Часы услышала она голос. Что Часы Я сказал: снимите часы В моё жилище запрещено входить в часах.Оля сняла часы и положила их под камень у входа.
61735. Однокоренные слова с чередующимися согласными звуками в корне 20.12 KB
  Что такое корень слова Какие слова называются однокоренными Что такое чередование согласных звуков Где оно наблюдается Почему появляются чередующиеся согласные в корне Какие согласные звуки могут чередоваться...
61736. Общеупотребительные и необщеупотребительные слова 19.44 KB
  Обогатить словарный запас учащихся новой лексикой; способствовать развитию устной и письменной речи. Задачи: обучающие: формулировать понятия различать общеупотребительные и необщеупотребительные слова в частности профессионализмы. развивающие: совершенствовать умение воспринимать новую информацию в обобщенном виде; работа с толковым словарем; развитие устной и письменной речи.