95779

Ряды Маклорена и Тейлора

Лекция

Математика и математический анализ

Найдём интервал сходимости ряда. Для этого последовательно определяем коэффициент при общем члене ряда, отношение коэффициентов соседних членов, радиус сходимости ряда. Таким образом, биномиальный ряд сходится внутри интервала и расходится вне его.

Русский

2015-09-29

259 KB

3 чел.

Лекция 32. Ряды Маклорена и Тейлора

32.1. Ряд Маклорена

Предположим, что функция  может быть разложена в степенной ряд:

,     (32.1)

причём интервал сходимости , где .

,

,

,

.

Полагаем  и получаем: , , , , , ….

Отсюда , , , , , ….

Подставим в (32.1):

.   (32.2)

Это формула Маклорена.

32.2. Применение ряда Маклорена к разложению в степенные ряды некоторых функций

1) Разложение функции .

Для функции  производные . Так как значения коэффициентов

,

то разложение имеет вид

.      (32.3)

Общий член ряда , . Следовательно, степенной ряд сходится для любого x. Интервал сходимости .

2) Разложение функции .

Для  производные , , , …. При

,  ,  ,  ,  …,

поэтому

.     (32.4)

Этот ряд сходится при любом x.

3) Разложение функции .

Для  производные , , , …. При

,  ,  ,  ,  …,

поэтому

.      (32.5)

Этот ряд тоже сходится при любом x. Разложение (32.5) можно получить из разложения (32.4) почленным дифференцированием.

4) Разложение бинома Ньютона .

Для  производные , , …, . Полагая , получим значения коэффициентов:

,  ,  ,  …,  .

Разложение имеет вид

.  (32.6)

Найдём интервал сходимости ряда. Для этого последовательно определяем коэффициент при общем члене ряда , отношение коэффициентов соседних членов , радиус сходимости ряда . Таким образом, биномиальный ряд сходится внутри интервала  и расходится вне его.

32.3. Применение ряда Маклорена к приближённым вычислениям

Пример 32.1. 1) Вычислить . Для ряда (32.4) берём :  с любой точностью. Значение  определено с точностью до .

2) Вычислить . Преобразуем  и по формуле (32.6) для биномиального ряда при ,  получим: .

32.4. Ряд Тейлора

Некоторые функции не могут быть разложены в ряд Маклорена, так как теряют смысл при . Например, , . Тогда пользуются разложениями в более общие степенные ряды:

,    (32.7)

которые справедливы в некотором интервале .

Положим . Тогда ряд Маклорена (32.2) перепишется в виде:

,   где   .

Так как , то , , , …, . Подставим коэффициенты в (32.7):

. (32.8)

Ряд (32.8) называется рядом Тейлора.

Ограничиваясь конечным числом членов, получим многочлен Тейлора:

.     (32.9)

Если ряд (32.8) сходится в некоторой окрестности  точки  и его сумма равна функции , то многочлен  даёт приближённое представление функции  в окрестности .

Пример 32.2. 1) Разложить многочлен  по степеням .

,  ,  ,   при .

,  ,  ,  ,   при .

.

2) Разложить функцию  по возрастающим степеням .

, , , .

для .

PAGE  48


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5478. Общая характеристика стратегического управления 64 KB
  Общая характеристика стратегического управления Значение стратегического управления в общем менеджменте. Основные этапы развития менеджмента. Содержание и характеристика стратегического менеджмента. Значение стратегического у...
5479. Теория предела. Числовые последовательности. 227.5 KB
  Теория предела. Числовые последовательности. Функция, заданная на множестве натуральных чисел, называется числовой последовательностью. Т.е., если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие определенное число, то говорят, что зада...
5480. Информационно-коммуникационные сети. Курс лекций 2.23 MB
  Инфо-коммуникационные сети Лекция 1. Сети связи, их характеристики, место корпоративных сетей В соответствии с ФЗ О связи сеть связи – это технологическая система, включающая в себя средства и линии связи. В научной литературе дается др...
5481. Особенности организации труда 77.5 KB
  Теоретические основы организации труда. Основные понятия организации труда. Организация труда или организационные отношения - это форма, в которой реализуются экономические результаты трудовой деятельности. Поэтому организация труда...
5482. Анатомо-физиологические особенности и морфофункциональное обеспечение двигательной активности детей 102.5 KB
  Анатомо-физиологические особенности и морфофункциональное обеспечение двигательной активности детей План Закономерности роста и развития детей Анатомо-физиологические особенности Внутриутробное развитие двигательной активности...
5483. Атмосфера. Ее происхождение и ионизация 424.5 KB
  Атмосфера Атмосфера - воздушная оболочка Земли (самая внешняя из земных оболочек), находящаяся в непрерывном взаимодействии с остальными оболочками нашей планеты, постоянно испытывающая влияние космоса и прежде всего влияние Солнца. Масса атмос...
5484. С# и объектно-ориентированное программирование 236.5 KB
  С# и объектно-ориентированное программирование Формальное определение класса в С# Класс в С#, как и в других языках программирования, - это пользовательский тип данных (userdefinedtype, UDT), который состоит из данных (часто называе...
5485. Предмет и метод экономической науки. Основные этапы развития экономической мысли 41 KB
  Предмет и метод экономической науки. Основные этапы развития экономической мысли. Цели изучения темы: получить представление об экономической деятельности и экономических отношениях, о предмете и методе экономической науки, проследить основные этапы...
5486. История становления и развития социологии 148 KB
  История становления и развития социологии Предыстория социологии. Формирование основ социологической науки в трудах О.Конта (1798-1857). Классический период развития социологии. Социально-философские учения античности. Социал...