95779

Ряды Маклорена и Тейлора

Лекция

Математика и математический анализ

Найдём интервал сходимости ряда. Для этого последовательно определяем коэффициент при общем члене ряда, отношение коэффициентов соседних членов, радиус сходимости ряда. Таким образом, биномиальный ряд сходится внутри интервала и расходится вне его.

Русский

2015-09-29

259 KB

1 чел.

Лекция 32. Ряды Маклорена и Тейлора

32.1. Ряд Маклорена

Предположим, что функция  может быть разложена в степенной ряд:

,     (32.1)

причём интервал сходимости , где .

,

,

,

.

Полагаем  и получаем: , , , , , ….

Отсюда , , , , , ….

Подставим в (32.1):

.   (32.2)

Это формула Маклорена.

32.2. Применение ряда Маклорена к разложению в степенные ряды некоторых функций

1) Разложение функции .

Для функции  производные . Так как значения коэффициентов

,

то разложение имеет вид

.      (32.3)

Общий член ряда , . Следовательно, степенной ряд сходится для любого x. Интервал сходимости .

2) Разложение функции .

Для  производные , , , …. При

,  ,  ,  ,  …,

поэтому

.     (32.4)

Этот ряд сходится при любом x.

3) Разложение функции .

Для  производные , , , …. При

,  ,  ,  ,  …,

поэтому

.      (32.5)

Этот ряд тоже сходится при любом x. Разложение (32.5) можно получить из разложения (32.4) почленным дифференцированием.

4) Разложение бинома Ньютона .

Для  производные , , …, . Полагая , получим значения коэффициентов:

,  ,  ,  …,  .

Разложение имеет вид

.  (32.6)

Найдём интервал сходимости ряда. Для этого последовательно определяем коэффициент при общем члене ряда , отношение коэффициентов соседних членов , радиус сходимости ряда . Таким образом, биномиальный ряд сходится внутри интервала  и расходится вне его.

32.3. Применение ряда Маклорена к приближённым вычислениям

Пример 32.1. 1) Вычислить . Для ряда (32.4) берём :  с любой точностью. Значение  определено с точностью до .

2) Вычислить . Преобразуем  и по формуле (32.6) для биномиального ряда при ,  получим: .

32.4. Ряд Тейлора

Некоторые функции не могут быть разложены в ряд Маклорена, так как теряют смысл при . Например, , . Тогда пользуются разложениями в более общие степенные ряды:

,    (32.7)

которые справедливы в некотором интервале .

Положим . Тогда ряд Маклорена (32.2) перепишется в виде:

,   где   .

Так как , то , , , …, . Подставим коэффициенты в (32.7):

. (32.8)

Ряд (32.8) называется рядом Тейлора.

Ограничиваясь конечным числом членов, получим многочлен Тейлора:

.     (32.9)

Если ряд (32.8) сходится в некоторой окрестности  точки  и его сумма равна функции , то многочлен  даёт приближённое представление функции  в окрестности .

Пример 32.2. 1) Разложить многочлен  по степеням .

,  ,  ,   при .

,  ,  ,  ,   при .

.

2) Разложить функцию  по возрастающим степеням .

, , , .

для .

PAGE  48


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14896. АДАСТЫРУШЫ ДІНИ АҒЫМДАР 64 KB
  Мұртаза БҰЛҰТАЙФилософия ғылымдарыныңкандидаты дінтанушыАДАСТЫРУШЫ ДІНИ АҒЫМДАРБүгінгі археология антропология ғылымдары діни сенімнаным жолдары мен жүйелерінің тым ерте дәуірлерден бері адамзаттың даму өркендеу және кемелдену барысымен біте қайнаса жалғасып ке
14897. Дін және мәдениет 74 KB
  Мұртаза БҰЛҰТАЙФилософия ғылымдарының кандидатыДінтанушы мәдениеттанушыДІН ЖӘНЕ МӘДЕНИЕТ[1]Дін және мәдениеттің арақатынасы жөнінде қыруар пікірлер айтылуда. Соңғы кездері діни экспансия алаңына айналған елімізде дініміз өзгерсе өзгерсін мәдениетіміз өзгермесін...
14898. Діни экстремизм мен терроризм 90.5 KB
  ДІНИ ЭКСТРЕМИЗМ МЕН ТЕРРОРИЗМ Мұртаза Жүнісұлы БҰЛҰТАЙ Философия ғылымдарының кандидаты дінтанушы ДІНИ ЭКСТРЕМИЗМ МЕН ТЕРРОРИЗМ Ғылым және технология дамудың шырқау шегіне шыққанына және адамзат бірінбірін оңайлықпен тани алатын мүмкіншіліктерге ие б...
14899. Заманауи тұлғалардың ислам дінін қабылдау себептері 50.5 KB
  Мұртаза БҰЛҰТАЙФилософия ғылымдарының кандидатыДінтанушы мәдениеттанушыЗАМАНАУИ ТҰЛҒАЛАРДЫҢ ИСЛАМДIНIН ҚАБЫЛДАУ СЕБЕПТЕРI [1]Ғылым және информация ғасыры деп аталған өткен жүз жылда дамыған мемлекеттердiң азаматтарынан бек көп адам ислам дiнiн өз еркiмен қабылдаған. Ол...
14900. Ислам - әлемдегі бейбітшіліктің кепілі 103.5 KB
  Мұртаза БҰЛҰТАЙФилософия ғылымдарының кандидатыДінтанушы мәдениеттанушыИСЛАМ ӘЛЕМДЕГІ БЕЙБIТШIЛIКТIҢ КЕПIЛI[1]Өткен жолғы Ислам және өркениет газеті №4 Сәуір 2001 ж. Дiни экстремизм мен терроризм деп аталатын мақаламда хақ дін исламның Батыс елдерінде пайда болған әл...
14901. Ислам дініндегі хош көрушілік 79.5 KB
  Мұртаза БҰЛҰТАЙ ҚР Білім қайраткерлері одағының мүшесі ИСЛАМ ДIНIНДЕГI ХОШКӨРУШIЛIК Дін деген ұғымның негізінде зорлықзомбылық болмауы керек бұл хақ діннің ғайрихақ хақ емес діндерден ажырасатын айқын парқы. Дін дегеніміз негізінде иман яғни сенім жататын рух...
14902. Ислам 68 KB
  Мұртаза БҰЛҰТАЙФилософия ғылымдарының кандидатыДінтанушы мәдениеттанушыИСЛАМ [1]Жаратушы ұлық тәңiр Аллаһ Тағалаға иманды және мойынсұнуды бiлдiретiн нағыз бiртәңiрлi монотеист тәухид нанымы негiзiнде пайғамбарымыз Мұхаммед Абдұллаһұлы с.а.у. 569632 тарапынан 609632 жылда
14903. Исламтану және ислам философиясы 95 KB
  Мұртаза БҰЛҰТАЙ Философия ғылымдарының кандидатыДінтанушы мәдениеттанушы ИСЛАМТАНУ Тәухид нанымы негiзiндегi ислам дiнi уә мәдениетiн әдебиетi уә өркениетiн зерттейтiн ғылымдардың жыйынтық аты. Аллаһ Тағалаға тәсiлiм болу берiлу мойынсұну; сәлеметтiлiкте һәм бейбiтшiлiк
14904. ҚАЗАҚСТАНДАҒЫ ДІН ЖӘНЕ МЕМЛЕКЕТ ҚАТЫНАСТАРЫ 68.5 KB
  ҚАЗАҚСТАНДАҒЫ ДІН ЖӘНЕ МЕМЛЕКЕТ ҚАТЫНАСТАРЫ[1]Тәуелсіздік жылдарында елімізде орын алған күрделі саясиэкономикалық жаңарулар мен өзгерулер ағымында мемлекет билігінің қайнар көзі болып табылатын халқымыздың рухани өмірі мен діни көзқарастары да бір жағынан толығып