95779

Ряды Маклорена и Тейлора

Лекция

Математика и математический анализ

Найдём интервал сходимости ряда. Для этого последовательно определяем коэффициент при общем члене ряда, отношение коэффициентов соседних членов, радиус сходимости ряда. Таким образом, биномиальный ряд сходится внутри интервала и расходится вне его.

Русский

2015-09-29

259 KB

2 чел.

Лекция 32. Ряды Маклорена и Тейлора

32.1. Ряд Маклорена

Предположим, что функция  может быть разложена в степенной ряд:

,     (32.1)

причём интервал сходимости , где .

,

,

,

.

Полагаем  и получаем: , , , , , ….

Отсюда , , , , , ….

Подставим в (32.1):

.   (32.2)

Это формула Маклорена.

32.2. Применение ряда Маклорена к разложению в степенные ряды некоторых функций

1) Разложение функции .

Для функции  производные . Так как значения коэффициентов

,

то разложение имеет вид

.      (32.3)

Общий член ряда , . Следовательно, степенной ряд сходится для любого x. Интервал сходимости .

2) Разложение функции .

Для  производные , , , …. При

,  ,  ,  ,  …,

поэтому

.     (32.4)

Этот ряд сходится при любом x.

3) Разложение функции .

Для  производные , , , …. При

,  ,  ,  ,  …,

поэтому

.      (32.5)

Этот ряд тоже сходится при любом x. Разложение (32.5) можно получить из разложения (32.4) почленным дифференцированием.

4) Разложение бинома Ньютона .

Для  производные , , …, . Полагая , получим значения коэффициентов:

,  ,  ,  …,  .

Разложение имеет вид

.  (32.6)

Найдём интервал сходимости ряда. Для этого последовательно определяем коэффициент при общем члене ряда , отношение коэффициентов соседних членов , радиус сходимости ряда . Таким образом, биномиальный ряд сходится внутри интервала  и расходится вне его.

32.3. Применение ряда Маклорена к приближённым вычислениям

Пример 32.1. 1) Вычислить . Для ряда (32.4) берём :  с любой точностью. Значение  определено с точностью до .

2) Вычислить . Преобразуем  и по формуле (32.6) для биномиального ряда при ,  получим: .

32.4. Ряд Тейлора

Некоторые функции не могут быть разложены в ряд Маклорена, так как теряют смысл при . Например, , . Тогда пользуются разложениями в более общие степенные ряды:

,    (32.7)

которые справедливы в некотором интервале .

Положим . Тогда ряд Маклорена (32.2) перепишется в виде:

,   где   .

Так как , то , , , …, . Подставим коэффициенты в (32.7):

. (32.8)

Ряд (32.8) называется рядом Тейлора.

Ограничиваясь конечным числом членов, получим многочлен Тейлора:

.     (32.9)

Если ряд (32.8) сходится в некоторой окрестности  точки  и его сумма равна функции , то многочлен  даёт приближённое представление функции  в окрестности .

Пример 32.2. 1) Разложить многочлен  по степеням .

,  ,  ,   при .

,  ,  ,  ,   при .

.

2) Разложить функцию  по возрастающим степеням .

, , , .

для .

PAGE  48


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6983. Изучение потребностей, поведения потребителей и выбор целевых сегментов 133 KB
  Изучение потребностей, поведения потребителей и выбор целевых сегментов. Моделирование поведения покупателей с учетом факторов влияния. Потребительские рынки, процесс принятия решения о покупке. Рынок товаров промышленного назначения. Сущнос...
6984. Маркетинговая товарная политика 141 KB
  Маркетинговая товарная политика Сущность маркетинговой товарной политики и её структура. Атрибуты товара (упаковка, торговая марка). Конкурентоспособность товара и создание нового продукта. Товарный ассортимент и товарная номенклатура. Жи...
6985. Маркетинговая ценовая политика 63.5 KB
  Маркетинговая ценовая политика Сущность и роль ценовой политики в системе маркетинга. Алгоритм маркетингового расчета цен Сущность и особенности использования методов прямого ценообразования. Сущность и роль ценовой политики. Цены и ценова...
6986. Маркетинговая политика коммуникаций 114 KB
  Маркетинговая политика коммуникаций. Сущность маркетинговой политики коммуникаций, основные элементы. Алгоритм планирования комплекса маркетинговых коммуникаций. Реклама, пропаганда, личные продажи как элементы маркетинговой политики коммуни...
6987. Стратегии маркетинга предприятия 99 KB
  Стратегии маркетинга предприятия. Сущность стратегий маркетинга. Понятие внутреннего и внешнего конкурентного преимущества Стратегии маркетинга относительно товара и рынка. Сущность стратегий маркетинга Стратегия - это генера...
6988. Организация и контроль маркетинговой деятельности 171.5 KB
  Организация и контроль маркетинговой деятельности. Сущность и задания организации службы маркетинга на предприятии. Типы построения маркетинговых служб и их характеристика. Контроль маркетинговой деятельности. Сущность и задания орган...
6989. Сущность маркетинга. Современная концепция маркетинга 69.5 KB
  Сущность маркетинга. Современная концепция маркетинга. Теоретическая основа маркетинга, маркетинговая триада. Основные цели и принципы маркетинга. Модель маркетинговой деятельности. Концепции деятельности предприятия на рынке. Эволюция ра...
6990. Енергозбереження у теплоенергетичних процесах 164 KB
  Енергозбереження у теплоенергетичних процесах Державне управління енергозбереженням Державне управління енергозбереженням, на перший погляд, суперечить принципам ринкової економіки, до якої рухається господарство України. Але через надзвичайно велик...
6991. Формирование маркетинговой информационной системы на основе проведения маркетинговых исследований 69.5 KB
  Формирование маркетинговой информационной системы на основе проведения маркетинговых исследований. Формирование системы маркетинговой информации. Определение проблем и формулирование целей исследования. Отбор источников информации и м...