95779

Ряды Маклорена и Тейлора

Лекция

Математика и математический анализ

Найдём интервал сходимости ряда. Для этого последовательно определяем коэффициент при общем члене ряда, отношение коэффициентов соседних членов, радиус сходимости ряда. Таким образом, биномиальный ряд сходится внутри интервала и расходится вне его.

Русский

2015-09-29

259 KB

1 чел.

Лекция 32. Ряды Маклорена и Тейлора

32.1. Ряд Маклорена

Предположим, что функция  может быть разложена в степенной ряд:

,     (32.1)

причём интервал сходимости , где .

,

,

,

.

Полагаем  и получаем: , , , , , ….

Отсюда , , , , , ….

Подставим в (32.1):

.   (32.2)

Это формула Маклорена.

32.2. Применение ряда Маклорена к разложению в степенные ряды некоторых функций

1) Разложение функции .

Для функции  производные . Так как значения коэффициентов

,

то разложение имеет вид

.      (32.3)

Общий член ряда , . Следовательно, степенной ряд сходится для любого x. Интервал сходимости .

2) Разложение функции .

Для  производные , , , …. При

,  ,  ,  ,  …,

поэтому

.     (32.4)

Этот ряд сходится при любом x.

3) Разложение функции .

Для  производные , , , …. При

,  ,  ,  ,  …,

поэтому

.      (32.5)

Этот ряд тоже сходится при любом x. Разложение (32.5) можно получить из разложения (32.4) почленным дифференцированием.

4) Разложение бинома Ньютона .

Для  производные , , …, . Полагая , получим значения коэффициентов:

,  ,  ,  …,  .

Разложение имеет вид

.  (32.6)

Найдём интервал сходимости ряда. Для этого последовательно определяем коэффициент при общем члене ряда , отношение коэффициентов соседних членов , радиус сходимости ряда . Таким образом, биномиальный ряд сходится внутри интервала  и расходится вне его.

32.3. Применение ряда Маклорена к приближённым вычислениям

Пример 32.1. 1) Вычислить . Для ряда (32.4) берём :  с любой точностью. Значение  определено с точностью до .

2) Вычислить . Преобразуем  и по формуле (32.6) для биномиального ряда при ,  получим: .

32.4. Ряд Тейлора

Некоторые функции не могут быть разложены в ряд Маклорена, так как теряют смысл при . Например, , . Тогда пользуются разложениями в более общие степенные ряды:

,    (32.7)

которые справедливы в некотором интервале .

Положим . Тогда ряд Маклорена (32.2) перепишется в виде:

,   где   .

Так как , то , , , …, . Подставим коэффициенты в (32.7):

. (32.8)

Ряд (32.8) называется рядом Тейлора.

Ограничиваясь конечным числом членов, получим многочлен Тейлора:

.     (32.9)

Если ряд (32.8) сходится в некоторой окрестности  точки  и его сумма равна функции , то многочлен  даёт приближённое представление функции  в окрестности .

Пример 32.2. 1) Разложить многочлен  по степеням .

,  ,  ,   при .

,  ,  ,  ,   при .

.

2) Разложить функцию  по возрастающим степеням .

, , , .

для .

PAGE  48


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42136. Особливості написання власних назв 55.5 KB
  З великої букви пишуться ремарки які вказуюсь на ставлення слухачів до якоїсь особи інші ремарки стоять після закінченого речення: Мова категорія Загальнонародна вона характеризує відмінності народів а не суспільних класів Сучасна українська літературна мова. З великої букви також пишеться перше слово рубрики тексту якщо кожна рубрика закінчується крапкою; перше слово прямої мови після двокрапок; початкове слово постанови резолюції протоколу; після двокрапки за словами Слухали Ухвалили в протоколі. З великої букви...
42138. Лаборатоные работы в пакете EViews 463.5 KB
  Появится окно группы в котором можно создавать и работать с рядами рис. Создание просмотр и редактирование ряда данных Ряды данных можно создавать двумя способами. Создание пустого ряда в группе. В этом случае для создания ряда необходимо в открытой группе щелчком мыши активировать в самой верхней строке obs первую пустую ячейку и ввести название ряда затем нажать Enter и OK рис.
42139. Создание HTML-страницы для ввода данных 31.5 KB
  Теория В целом для создания HTMLкода чаще всего используются следующие теги: Теги начала и окончания HTMLстраницы html html Теги начала и окончания заголовка HTMLстраницы hed hed Теги начала и окончания названия HTMLстраницы title title Тег для установки кодировки HTMLстраницы met httpequiv= ContentType content= text html; chrset=windows1251 Теги начала и окончания основного тела HTMLстраницы body body Теги начала и окончания абзаца параграфа в теле HTMLстраницы p p Тег пропуска строки br Теги начала и...
42140. ПОДГОТОВКА И АНАЛИЗ ДАННЫХ 444 KB
  Очень часто происходит ситуация когда анализ данных проводимый между этапом сбора данных и собственно эконометрическим моделированием позволяет сократить количество лишней работы связанной с фактическим выбором модели и анализом технической информации во время моделирования. Предварительный анализ данных можно условно разделить на три этапа: графический анализ данных; фильтрация очистка рядов данных; анализ выборочных характеристик рассматриваемых рядов. Эконометрическое исследование проводится как минимум для двух рядов...
42142. Задачі лінійної оптимізації в системі Maple 213 KB
  Задачі оптимізації в Maple розв’язуються за допомогою вбудованих функцій minimize та maximize, що входять до пакету Simplex.Класична задача лінійного програмування записується у такому форматі:minimize (цільова функція, {обмеження}, NONNEGATIVE).Останній параметр вказує на невід’ємність змінних, що входять до математичної моделі задачі. Для геометричної інтерпретації задачі оптимізації необхідно підключити пакет plots і задати систему лінійних нерівностей задачі, використовуючи процедуру inequal.