95779

Ряды Маклорена и Тейлора

Лекция

Математика и математический анализ

Найдём интервал сходимости ряда. Для этого последовательно определяем коэффициент при общем члене ряда, отношение коэффициентов соседних членов, радиус сходимости ряда. Таким образом, биномиальный ряд сходится внутри интервала и расходится вне его.

Русский

2015-09-29

259 KB

1 чел.

Лекция 32. Ряды Маклорена и Тейлора

32.1. Ряд Маклорена

Предположим, что функция  может быть разложена в степенной ряд:

,     (32.1)

причём интервал сходимости , где .

,

,

,

.

Полагаем  и получаем: , , , , , ….

Отсюда , , , , , ….

Подставим в (32.1):

.   (32.2)

Это формула Маклорена.

32.2. Применение ряда Маклорена к разложению в степенные ряды некоторых функций

1) Разложение функции .

Для функции  производные . Так как значения коэффициентов

,

то разложение имеет вид

.      (32.3)

Общий член ряда , . Следовательно, степенной ряд сходится для любого x. Интервал сходимости .

2) Разложение функции .

Для  производные , , , …. При

,  ,  ,  ,  …,

поэтому

.     (32.4)

Этот ряд сходится при любом x.

3) Разложение функции .

Для  производные , , , …. При

,  ,  ,  ,  …,

поэтому

.      (32.5)

Этот ряд тоже сходится при любом x. Разложение (32.5) можно получить из разложения (32.4) почленным дифференцированием.

4) Разложение бинома Ньютона .

Для  производные , , …, . Полагая , получим значения коэффициентов:

,  ,  ,  …,  .

Разложение имеет вид

.  (32.6)

Найдём интервал сходимости ряда. Для этого последовательно определяем коэффициент при общем члене ряда , отношение коэффициентов соседних членов , радиус сходимости ряда . Таким образом, биномиальный ряд сходится внутри интервала  и расходится вне его.

32.3. Применение ряда Маклорена к приближённым вычислениям

Пример 32.1. 1) Вычислить . Для ряда (32.4) берём :  с любой точностью. Значение  определено с точностью до .

2) Вычислить . Преобразуем  и по формуле (32.6) для биномиального ряда при ,  получим: .

32.4. Ряд Тейлора

Некоторые функции не могут быть разложены в ряд Маклорена, так как теряют смысл при . Например, , . Тогда пользуются разложениями в более общие степенные ряды:

,    (32.7)

которые справедливы в некотором интервале .

Положим . Тогда ряд Маклорена (32.2) перепишется в виде:

,   где   .

Так как , то , , , …, . Подставим коэффициенты в (32.7):

. (32.8)

Ряд (32.8) называется рядом Тейлора.

Ограничиваясь конечным числом членов, получим многочлен Тейлора:

.     (32.9)

Если ряд (32.8) сходится в некоторой окрестности  точки  и его сумма равна функции , то многочлен  даёт приближённое представление функции  в окрестности .

Пример 32.2. 1) Разложить многочлен  по степеням .

,  ,  ,   при .

,  ,  ,  ,   при .

.

2) Разложить функцию  по возрастающим степеням .

, , , .

для .

PAGE  48


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39266. Управление каналами сбыта на «ОАО Беллакт» 214.5 KB
  Канал распределения — совокупность фирм или отдельных лиц, которые принимают на себя или помогают передать кому-то другому право собственности на конкретный товар или услугу на их пути от производителя к потребителю.
39267. Конструкция преобразователя напряжения 12/300В 743 KB
  Требования безопасности при производстве преобразователя напряжения Пожарная безопасность. Для питания электрооборудования от источников постоянного тока широко используются преобразователи напряжения. Наметившаяся тенденция микроминиатюризации в радиоэлектронике привела к тому что полупроводниковые преобразователи...
39268. Разработка конструкции печатного узла регулируемого двухполярного блока питания 950.5 KB
  1 Выбор типа печатной платы односторонняя двухсторонняя; 15 – 16 4.2 Выбор материала печатной платы; 16 – 18 4.3 Выбор метода изготовления печатной платы; 18 – 19 4.6 Расчет размеров печатной платы узла; 23 – 24 4.
39269. Технико-экономический расчет и проектирование участка изготовления печатных плат для сборки изделия: Реле времени с годовой программой 115000 штук 1.12 MB
  1 Расчет количества оборудования коэффициента загрузки. Технические данные оборудования 2.7 Расходы по содержанию и эксплуатации оборудования 2. По мере развития и совершенствования интегральных схем происходит увеличение сложности и стоимости оборудования для их производства и контроля качества.
39270. Рабочее место электромонтажника 134 KB
  В современных производственных условиях рабочие монтажники радиоэлектронной аппаратуры должны уметь пользоваться сборочномонтажными чертежами читать электрические схемы знать слесарносборочные монтажные и регулировочные операции маркировку современных электрорадиоэлементов обнаруживать и устранять неисправности в собираемых изделиях знать правила безопасности труда. 4 Перечень НТД по охране труда безопасности работы руководящим должностным и производственным инструкциям № № инструкций Наименование инструкций 1 489 По охране...
39271. Устройство защиты аппаратуры от аномальных напряжений сети 284.32 KB
  Котова Устройство защиты аппаратуры от аварийного напряжения сети Радио 2008 № 8 с. Из сетевого напряжения ограничительным диодом VD2 формируется переменное близкое к прямоугольному напряжение амплитудой около 18 В. Варистор RU1 защищает симистор VS1 от бросков напряжения при коммутации нагрузки индуктивного характера. Контроль величины сетевого напряжения осуществляет встроенный АЦП микроконтроллера DD1.
39272. Машиностроительный комплекс 425.17 KB
  Изменение структуры занятости по отраслям хозяйственного комплекса и сферам приложения труда свидетельствует о развитии рыночных структур в экономике. Повышение специализации производства требует использования высокопроизводительного оборудования; внедрения новых методов технологии механизации и автоматизации производственных процессов; повышения уровня квалификации персонала и увеличения производительности труда это снижает себестоимость при одновременном улучшении качества что приводит к увеличению реализации росту прибыли и...
39273. Социология труда и менеджмента. (Ф. Тейлор, Э. Мейо) 17.07 KB
  Социология труда (в развитых государствах Запада чаще она именуется индустриальной социологией) начала развиваться в 20-30-х гг. XX века. Исследуя проблемы, связанные с социальной сущностью труда, индустриальная социология важным объектом анализа ставит социально-трудовые отношения.