95779

Ряды Маклорена и Тейлора

Лекция

Математика и математический анализ

Найдём интервал сходимости ряда. Для этого последовательно определяем коэффициент при общем члене ряда, отношение коэффициентов соседних членов, радиус сходимости ряда. Таким образом, биномиальный ряд сходится внутри интервала и расходится вне его.

Русский

2015-09-29

259 KB

3 чел.

Лекция 32. Ряды Маклорена и Тейлора

32.1. Ряд Маклорена

Предположим, что функция  может быть разложена в степенной ряд:

,     (32.1)

причём интервал сходимости , где .

,

,

,

.

Полагаем  и получаем: , , , , , ….

Отсюда , , , , , ….

Подставим в (32.1):

.   (32.2)

Это формула Маклорена.

32.2. Применение ряда Маклорена к разложению в степенные ряды некоторых функций

1) Разложение функции .

Для функции  производные . Так как значения коэффициентов

,

то разложение имеет вид

.      (32.3)

Общий член ряда , . Следовательно, степенной ряд сходится для любого x. Интервал сходимости .

2) Разложение функции .

Для  производные , , , …. При

,  ,  ,  ,  …,

поэтому

.     (32.4)

Этот ряд сходится при любом x.

3) Разложение функции .

Для  производные , , , …. При

,  ,  ,  ,  …,

поэтому

.      (32.5)

Этот ряд тоже сходится при любом x. Разложение (32.5) можно получить из разложения (32.4) почленным дифференцированием.

4) Разложение бинома Ньютона .

Для  производные , , …, . Полагая , получим значения коэффициентов:

,  ,  ,  …,  .

Разложение имеет вид

.  (32.6)

Найдём интервал сходимости ряда. Для этого последовательно определяем коэффициент при общем члене ряда , отношение коэффициентов соседних членов , радиус сходимости ряда . Таким образом, биномиальный ряд сходится внутри интервала  и расходится вне его.

32.3. Применение ряда Маклорена к приближённым вычислениям

Пример 32.1. 1) Вычислить . Для ряда (32.4) берём :  с любой точностью. Значение  определено с точностью до .

2) Вычислить . Преобразуем  и по формуле (32.6) для биномиального ряда при ,  получим: .

32.4. Ряд Тейлора

Некоторые функции не могут быть разложены в ряд Маклорена, так как теряют смысл при . Например, , . Тогда пользуются разложениями в более общие степенные ряды:

,    (32.7)

которые справедливы в некотором интервале .

Положим . Тогда ряд Маклорена (32.2) перепишется в виде:

,   где   .

Так как , то , , , …, . Подставим коэффициенты в (32.7):

. (32.8)

Ряд (32.8) называется рядом Тейлора.

Ограничиваясь конечным числом членов, получим многочлен Тейлора:

.     (32.9)

Если ряд (32.8) сходится в некоторой окрестности  точки  и его сумма равна функции , то многочлен  даёт приближённое представление функции  в окрестности .

Пример 32.2. 1) Разложить многочлен  по степеням .

,  ,  ,   при .

,  ,  ,  ,   при .

.

2) Разложить функцию  по возрастающим степеням .

, , , .

для .

PAGE  48


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68716. Система управления охраной труда на предприятии (организации) 793 KB
  Проблема исследования относится к стратегическому менеджменту и может быть сформулирована как неопределенность, связанная с разработкой инвестиционной стратегии покупки действующего бизнеса и повышения его конкурентоспособности в интересах формирования сети.
68717. Системы счисления 87.49 KB
  Большинство кодов основано на системах счисления причем использующих позиционный принцип образования числа при котором значение каждой цифры зависит от ее положения в числе. Тогда полное число получается по формуле: где l количество разрядов числа уменьшенное на 1 i порядок разряда m...
68718. Специфика СсО в политике, коммерческом секторе, общественных объединениях, государственных учреждениях 26.5 KB
  ПР подразделения создаются в министерствах других органах управления. В региональных и муниципальных органах практикуется постоянное общение с гражданами в федеральных органах власти больший упор делают на взаимодействие с прессой на аналитическую и прогностическую деятельность.
68719. Акты толкования права 23.5 KB
  Акт толкования официальный юридически значимый документ направленный на установление действительного смысла нормы права Акты толкования делятся на письменные могут облекаться в форму НПА приказы инструкции и т. Они могут облекаться в ту же форму что и нормативно-правовые акты издаваемые соответствующими...
68722. ОРФОЭПИЧЕСКИЕ НОРМЫ РУССКОГО ЛИТЕРАТУРНОГО ЯЗЫКА 44.03 KB
  Орфоэпия (от греческих слов: orthos - прямой, правильный и epos - речь) - это совокупность правил, устанавливающих единообразное произношение. Орфоэпия указывает, как должны произноситься те или иные звуки в определенных фонетических положениях, в определенных сочетаниях с другими звуками, а также в определенных...
68723. Традиционалистский и техногенный типы цивилизационного развития 25.5 KB
  Понятие цивилизации впервые возникло в 18 веке во Франции для обозначения общества, в котором господствует свобода, равенство и братство. Позднее в исторической и философской литературе под цивилизацией стали понимать различные культурно-исторические типы обществ, объединявших несколько государств...
68724. Инновационный рынок 20.58 KB
  Классификация научных организаций по секторам науки Сектор Содержание Государственный Организации министерств и ведомств которые осуществляют управление государством и удовлетворение потребностей общества в целом: государственная оборона общественный порядок здравоохранение культура социального обеспечения и пр.