95779

Ряды Маклорена и Тейлора

Лекция

Математика и математический анализ

Найдём интервал сходимости ряда. Для этого последовательно определяем коэффициент при общем члене ряда, отношение коэффициентов соседних членов, радиус сходимости ряда. Таким образом, биномиальный ряд сходится внутри интервала и расходится вне его.

Русский

2015-09-29

259 KB

2 чел.

Лекция 32. Ряды Маклорена и Тейлора

32.1. Ряд Маклорена

Предположим, что функция  может быть разложена в степенной ряд:

,     (32.1)

причём интервал сходимости , где .

,

,

,

.

Полагаем  и получаем: , , , , , ….

Отсюда , , , , , ….

Подставим в (32.1):

.   (32.2)

Это формула Маклорена.

32.2. Применение ряда Маклорена к разложению в степенные ряды некоторых функций

1) Разложение функции .

Для функции  производные . Так как значения коэффициентов

,

то разложение имеет вид

.      (32.3)

Общий член ряда , . Следовательно, степенной ряд сходится для любого x. Интервал сходимости .

2) Разложение функции .

Для  производные , , , …. При

,  ,  ,  ,  …,

поэтому

.     (32.4)

Этот ряд сходится при любом x.

3) Разложение функции .

Для  производные , , , …. При

,  ,  ,  ,  …,

поэтому

.      (32.5)

Этот ряд тоже сходится при любом x. Разложение (32.5) можно получить из разложения (32.4) почленным дифференцированием.

4) Разложение бинома Ньютона .

Для  производные , , …, . Полагая , получим значения коэффициентов:

,  ,  ,  …,  .

Разложение имеет вид

.  (32.6)

Найдём интервал сходимости ряда. Для этого последовательно определяем коэффициент при общем члене ряда , отношение коэффициентов соседних членов , радиус сходимости ряда . Таким образом, биномиальный ряд сходится внутри интервала  и расходится вне его.

32.3. Применение ряда Маклорена к приближённым вычислениям

Пример 32.1. 1) Вычислить . Для ряда (32.4) берём :  с любой точностью. Значение  определено с точностью до .

2) Вычислить . Преобразуем  и по формуле (32.6) для биномиального ряда при ,  получим: .

32.4. Ряд Тейлора

Некоторые функции не могут быть разложены в ряд Маклорена, так как теряют смысл при . Например, , . Тогда пользуются разложениями в более общие степенные ряды:

,    (32.7)

которые справедливы в некотором интервале .

Положим . Тогда ряд Маклорена (32.2) перепишется в виде:

,   где   .

Так как , то , , , …, . Подставим коэффициенты в (32.7):

. (32.8)

Ряд (32.8) называется рядом Тейлора.

Ограничиваясь конечным числом членов, получим многочлен Тейлора:

.     (32.9)

Если ряд (32.8) сходится в некоторой окрестности  точки  и его сумма равна функции , то многочлен  даёт приближённое представление функции  в окрестности .

Пример 32.2. 1) Разложить многочлен  по степеням .

,  ,  ,   при .

,  ,  ,  ,   при .

.

2) Разложить функцию  по возрастающим степеням .

, , , .

для .

PAGE  48


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32248. Скользящая опалубка 47.5 KB
  Основными элементами скользящей опалубки являются щиты домкратные рамы рабочий пол подвесные подмости домкратные стержни устанавливаемые по оси стен домкраты.Домкратные рамы являются основными несущими элементами на них устанавливают щиты опалубки которые воспринимают давление бетонной смеси. На домкратные рамы устанавливают домкраты которые опираясь на стержни поднимают всю конструкцию опалубки. Щиты опалубки устанавливают так чтобы расстояние между ними увеличивалось книзу образуя конусность в пределах высоты щитов или 5 7 мм на...
32249. Подъемно-переставная опалубка 21 KB
  Наружные и внутренние шиты опалубки закрепляют на подъемной головке которая устанавливается и поднимается по шахтоподъемнику. На подъемной головке закрепляют также рабочую площадку подвесные леса бункера для бетонной смеси лебедку лифтов и тепляк с юбкой тепляка. Щиты соседних ярусов закрепляют с помощью поперечных накладок.
32250. Объемно-переставная опалубка 49 KB
  Опалубка состоит из пространственных секций Побразной формы которые при соединении образуют туннели опалубки на квартиру или во всю ширину здания. Секции опалубки имеют переменную ширину в зависимости от принятого шага стен и различную длину. Бетонную смесь укладывают между туннелями опалубки для образования стен и на секции при бетонировании перекрытий. При демонтаже секции опалубки как бы сжимаются для чего сдвигают внутрь забетонированного туннеля боковые щиты опалубки щиты стен перемещают вниз горизонтальный щит перекрытий.
32251. Катучая опалубка 28.5 KB
  Каждый блок катучей опалубки состоит из нескольких металлических рам смонтированных на тележках передвигаемых на рельсах. Внешний контур металлических ферм и опалубки должен строго соответствовать очертанию бетонируемых конструкций.Применение подъемнокатучей опалубки снижает стоимость железобетонных работ по устройству покрытия здания на 20.Использование катучей опалубки прямоугольного сечения вдвое ускорило производство работ и позволило снизить трудоемкость 1 м3 железобетонных работ на 046 чел.
32252. ТЕХНОЛОГИЯ МОНТАЖА БОЛЬШЕПРОЛЕТНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ Возведение зданий с каркасом рамного типа 50 KB
  В производственных зданиях вместо мостовых кранов устанавливают один или два многоопорных подвесных крана грузоподъемностью по 3050 т передвигающихся вдоль пролета по монорельсовым путям подвешенным в узлах нижнего пояса ригеля. В связи с большими постоянными и подвижными нагрузками конструктивное решение ригеля принимают аналогично тяжелым мостовым фермам с поясами и решеткой из двухступенчатых Нобразных сечений. При пролетах более 50 м масса стропильной конструкции ригеля достигает 60 т и более монтаж ее может быть выполнен либо...
32254. Монтаж стальных конструкций укрупненными блоками 63 KB
  Высота конструкций центрального блока доменной печи доходит до 70 м при массе стальных конструкций сконструированных на сравнительно небольшой площади до 5000 т и более. Монтаж таких конструкций может быть выполнен либо частями с применением временных промежуточных опор либо целиком укрупненными блоками. Укрупнительную сборку стальных конструкций выполняют на строительной площадке если целесообразно собрать монтажный блок из нескольких элементов до подъема и полнее использовать грузоподъемность монтажного крана.
32255. Возведение зданий с перекрестно-стержневыми покрытиями 628 KB
  Структурные плитыграни собирали на стройплощадке из отдельных короткомерных стержневых трубчатых элементов поставляемых на стройку в пакетах. Перемещать отдельные грани из предмонтажного положения в проектное предлагалось по рельсовым направляющим уложенным на монтажной площадке и опорахпилонах. Грани покрытия монтировали с помощью двух кранов ДЭК50 и одного крана СКГ100. При монтаже структурных граней ПР1 ПР2 ПР3 основания каждой грани стропили по линии расположения опорных узлов за две точки к кранам ДЭК50 и крану...
32256. Монтаж зданий с арочными и купольными покрытиями 862.5 KB
  Наиболее часто проектируют арки следующих статических схем: с затяжкой воспринимающей усилие горизонтального распора благодаря которой колонны здания воспринимают только вертикальные нагрузки; двух либо трехшарнирные передающие вертикальные нагрузки и распор на железобетонные фундаменты. Число временных опор зависит от пролета арки объемнопланировочного решения не всегда есть возможность установки опор в любом месте и имеющегося монтажного оборудования. Минимальное количество монтажных элементов будет достигнуто в том случае если...