95779

Ряды Маклорена и Тейлора

Лекция

Математика и математический анализ

Найдём интервал сходимости ряда. Для этого последовательно определяем коэффициент при общем члене ряда, отношение коэффициентов соседних членов, радиус сходимости ряда. Таким образом, биномиальный ряд сходится внутри интервала и расходится вне его.

Русский

2015-09-29

259 KB

1 чел.

Лекция 32. Ряды Маклорена и Тейлора

32.1. Ряд Маклорена

Предположим, что функция  может быть разложена в степенной ряд:

,     (32.1)

причём интервал сходимости , где .

,

,

,

.

Полагаем  и получаем: , , , , , ….

Отсюда , , , , , ….

Подставим в (32.1):

.   (32.2)

Это формула Маклорена.

32.2. Применение ряда Маклорена к разложению в степенные ряды некоторых функций

1) Разложение функции .

Для функции  производные . Так как значения коэффициентов

,

то разложение имеет вид

.      (32.3)

Общий член ряда , . Следовательно, степенной ряд сходится для любого x. Интервал сходимости .

2) Разложение функции .

Для  производные , , , …. При

,  ,  ,  ,  …,

поэтому

.     (32.4)

Этот ряд сходится при любом x.

3) Разложение функции .

Для  производные , , , …. При

,  ,  ,  ,  …,

поэтому

.      (32.5)

Этот ряд тоже сходится при любом x. Разложение (32.5) можно получить из разложения (32.4) почленным дифференцированием.

4) Разложение бинома Ньютона .

Для  производные , , …, . Полагая , получим значения коэффициентов:

,  ,  ,  …,  .

Разложение имеет вид

.  (32.6)

Найдём интервал сходимости ряда. Для этого последовательно определяем коэффициент при общем члене ряда , отношение коэффициентов соседних членов , радиус сходимости ряда . Таким образом, биномиальный ряд сходится внутри интервала  и расходится вне его.

32.3. Применение ряда Маклорена к приближённым вычислениям

Пример 32.1. 1) Вычислить . Для ряда (32.4) берём :  с любой точностью. Значение  определено с точностью до .

2) Вычислить . Преобразуем  и по формуле (32.6) для биномиального ряда при ,  получим: .

32.4. Ряд Тейлора

Некоторые функции не могут быть разложены в ряд Маклорена, так как теряют смысл при . Например, , . Тогда пользуются разложениями в более общие степенные ряды:

,    (32.7)

которые справедливы в некотором интервале .

Положим . Тогда ряд Маклорена (32.2) перепишется в виде:

,   где   .

Так как , то , , , …, . Подставим коэффициенты в (32.7):

. (32.8)

Ряд (32.8) называется рядом Тейлора.

Ограничиваясь конечным числом членов, получим многочлен Тейлора:

.     (32.9)

Если ряд (32.8) сходится в некоторой окрестности  точки  и его сумма равна функции , то многочлен  даёт приближённое представление функции  в окрестности .

Пример 32.2. 1) Разложить многочлен  по степеням .

,  ,  ,   при .

,  ,  ,  ,   при .

.

2) Разложить функцию  по возрастающим степеням .

, , , .

для .

PAGE  48


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17914. Порядок погашения налогового долга 102.5 KB
  Лекция № 4. Порядок погашения налогового долга. План 1. Понятие налоговой обязанности 22.Возникновение изменение и прекращение налоговой обязанности 5 Исполнение налоговой обязанности 8 Понятие налогового долга 9 Порядок погашения налогового
17915. ВИДЫ ПРОВЕРОК НАЛОГОВЫХ ОРГАНОВ 269.5 KB
  ВИДЫ ПРОВЕРОК НАЛОГОВЫХ ОРГАНОВ План Виды налогового контроля. Программа проверки. Требования к документам проверяющих. Оформление результатов документальной проверки. Порядок изъятия документов. Обжалование действий налоговых органов. ...
17916. Упрощенная система налогообложения. Фиксированный налог с доходов вот предпринимательской деятельности 173.5 KB
  Упрощенная система налогообложения План Единый налог плательщики объект обложения. Условия перехода на упрощенную единую систему налогообложения. Ставки сроки уплаты и порядок учета единого налога СПД малого бизнеса Фиксированный налог...
17917. Таможенная пошлина, сбор 66.5 KB
  Тема № 14 Таможенная пошлина сбор. План Пошлина как источник доходов бюджета. Классификация пошлин их виды. Понятие единого таможенного тарифа. Элементы начисления и уплаты пошлины. Взимание пошлины и порядок перечисления в бюджет. Таможенный сбо...
17918. ПРЕДМЕТ, МЕТОДОЛОГІЯ І ЗАВДАННЯ КУРСУ РЕГІОНАЛЬНА ЕКОНОМІКА 145 KB
  Лекція 1 ТЕМА: ПРЕДМЕТ МЕТОДОЛОГІЯ І ЗАВДАННЯ КУРСУ План викладення і засвоєння матеріалу 1. Предмет і об'єкт регіональної економіки. 2. Метод і завдання регіональної економіки. 3. Регіональна економіка в системі наукових дисциплін. РЕКОМЕНДОВАНА
17919. ЗАКОНОМІРНОСТІ, ПРИНЦИПИ ТА ФАКТОРИ РОЗМІЩЕННЯ ПРОДУКТИВНИХ СИЛ 207 KB
  Лекція 2 ТЕМА: ЗАКОНОМІРНОСТІ ПРИНЦИПИ ТА ФАКТОРИ РОЗМІЩЕННЯ ПРОДУКТИВНИХ СИЛ План викладення і засвоєння матеріалу 1. Економічні закони і закономірності розміщення виробництва їх об’єктивний характер. 2. Закономірності розміщення продуктивних сил. 3. Прин...
17920. НАУКОВІ МЕТОДИ ТЕРИТОРІАЛЬНОЇ ОРГАНІЗАЦІЇ ГОСПОДАРСТВА 153 KB
  Лекція 3 ТЕМА: НАУКОВІ МЕТОДИ ТЕРИТОРІАЛЬНОЇ ОРГАНІЗАЦІЇ ГОСПОДАРСТВА План викладення і засвоєння матеріалу 1. Методичні основи наукових досліджень. 2. Загальнонаукові методи. 3. Специфічні методи. 4. Міждисциплінарні методи. 5. Структурний аналіз в РПС. ...
17921. ЕКОНОМІЧНЕ РАЙОНУВАННЯ І ТЕРИТОРІАЛЬНА ОРГАНІЗАЦІЯ ПРОДУКТИВНИХ СИЛ 148 KB
  Лекція 4 ТЕМА: ЕКОНОМІЧНЕ РАЙОНУВАННЯ І ТЕРИТОРІАЛЬНА ОРГАНІЗАЦІЯ ПРОДУКТИВНИХ СИЛ План викладу і засвоєння матеріалу 1. Територіальний поділ праці. 2. Економічне районування як метод регулювання територіальної організації господарства. 3. Фактори принципи...
17922. НАУКОВІ ОСНОВИ ДЕРЖАВНОЇ РЕГІОНАЛЬНОЇ ПОЛІТИКИ 175.5 KB
  Лекція 6 ТЕМА: НАУКОВІ ОСНОВИ ДЕРЖАВНОЇ РЕГІОНАЛЬНОЇ ПОЛІТИКИ План викладення і засвоєння матеріалу 1. Сутність обєкти і субєкти та принципи державної регіональної політики. 2. Цілі і завдання регіональної політики. 3. Рівні регіонального управління і їх фу