95779

Ряды Маклорена и Тейлора

Лекция

Математика и математический анализ

Найдём интервал сходимости ряда. Для этого последовательно определяем коэффициент при общем члене ряда, отношение коэффициентов соседних членов, радиус сходимости ряда. Таким образом, биномиальный ряд сходится внутри интервала и расходится вне его.

Русский

2015-09-29

259 KB

3 чел.

Лекция 32. Ряды Маклорена и Тейлора

32.1. Ряд Маклорена

Предположим, что функция  может быть разложена в степенной ряд:

,     (32.1)

причём интервал сходимости , где .

,

,

,

.

Полагаем  и получаем: , , , , , ….

Отсюда , , , , , ….

Подставим в (32.1):

.   (32.2)

Это формула Маклорена.

32.2. Применение ряда Маклорена к разложению в степенные ряды некоторых функций

1) Разложение функции .

Для функции  производные . Так как значения коэффициентов

,

то разложение имеет вид

.      (32.3)

Общий член ряда , . Следовательно, степенной ряд сходится для любого x. Интервал сходимости .

2) Разложение функции .

Для  производные , , , …. При

,  ,  ,  ,  …,

поэтому

.     (32.4)

Этот ряд сходится при любом x.

3) Разложение функции .

Для  производные , , , …. При

,  ,  ,  ,  …,

поэтому

.      (32.5)

Этот ряд тоже сходится при любом x. Разложение (32.5) можно получить из разложения (32.4) почленным дифференцированием.

4) Разложение бинома Ньютона .

Для  производные , , …, . Полагая , получим значения коэффициентов:

,  ,  ,  …,  .

Разложение имеет вид

.  (32.6)

Найдём интервал сходимости ряда. Для этого последовательно определяем коэффициент при общем члене ряда , отношение коэффициентов соседних членов , радиус сходимости ряда . Таким образом, биномиальный ряд сходится внутри интервала  и расходится вне его.

32.3. Применение ряда Маклорена к приближённым вычислениям

Пример 32.1. 1) Вычислить . Для ряда (32.4) берём :  с любой точностью. Значение  определено с точностью до .

2) Вычислить . Преобразуем  и по формуле (32.6) для биномиального ряда при ,  получим: .

32.4. Ряд Тейлора

Некоторые функции не могут быть разложены в ряд Маклорена, так как теряют смысл при . Например, , . Тогда пользуются разложениями в более общие степенные ряды:

,    (32.7)

которые справедливы в некотором интервале .

Положим . Тогда ряд Маклорена (32.2) перепишется в виде:

,   где   .

Так как , то , , , …, . Подставим коэффициенты в (32.7):

. (32.8)

Ряд (32.8) называется рядом Тейлора.

Ограничиваясь конечным числом членов, получим многочлен Тейлора:

.     (32.9)

Если ряд (32.8) сходится в некоторой окрестности  точки  и его сумма равна функции , то многочлен  даёт приближённое представление функции  в окрестности .

Пример 32.2. 1) Разложить многочлен  по степеням .

,  ,  ,   при .

,  ,  ,  ,   при .

.

2) Разложить функцию  по возрастающим степеням .

, , , .

для .

PAGE  48


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39670. Социология труда 173 KB
  Социология труда Содержание процесса трудовой деятельности. Труд как предмет социологии труда. Предметная область социологии труда. особенности социологического исследования труда Содержание труда как социального процесса.
39671. Предмет и задачи социологии 147.5 KB
  Предмет и задачи социологии Лекция Череповец 2005 Содержание лекции Причины появления социологии как науки. Материальные социальнополитические и теоретические предпосылки возникновения социологии. Развитие взаимодействия людей возрастание роли субъективного фактора в общественной жизни возникновение коллективных форм сознания преодоление границ локальных общностей развитие символического и культурного взаимодействия сотрудничество сотворчество в деле реализации всеобщих интересов человеческого рода как причины институализации...
39672. Основные этапы развития социологии 229 KB
  Основные этапы развития социологии Лекция Череповец Содержание лекции Предпосылки возникновения социологии: материальноэкономические социальные духовные теоретические. Институализация социологии: О. Развитие социологии на Западе в 19 нач. Французская школа в социологии: Э.
39673. Организация социологического исследования 275 KB
  Организация социологического исследования Лекция Череповец 2007 Тема 1. Организация социологического исследования Содержание лекции Назначение роль и виды социологических исследований. Классификация методов: по масштабу применения по уровню знания по методической стратегии по этапам исследования. Содержание организационного раздела: рабочий план инструкция по организации полевого исследования инструкция анкетеру правила работы и этические нормы.
39674. Цели, задачи и механизм социологического исследования 83.5 KB
  Цели задачи и механизм социологического исследования Вопросы лекции: Назначение и виды социологических исследований. Содержание программы социологического исследования Назначение роль и виды социологических исследований. Классификация методов: по масштабу применения по уровню знания по методической стратегии по этапам исследования. Содержание организационного раздела: рабочий план инструкция по организации полевого исследования инструкция анкетеру правила работы и этические нормы.
39675. Стратегии аргументации 22.42 KB
  Стратегии аргументации направлены на то чтобы взять верный курс при постановке ключевых задач а методы и приемы чтобы одержать верх при обсуждении ключевых вопросов переговорного процесса. Высказывание Конфуция или указание на историческую аналогию может в рамках такой аргументации нести в себе элемент воздействия который недоступен носителю другой культурной традиции. Европейская аналитическая система аргументации вырастает из рационалистической философии для которой характерно расчленение основного содержания на части в...
39676. Культура полемики и дискуссии 24.19 KB
  Виды публичных споров. Требования к ведению спора. Доказательство в споре.
39677. ТЕОРИЯ КОММУНИКАЦИИ 2.92 MB
  Под коммуникацией мы будем понимать процессы перекодировки вербальной в невербальную и невербальной в вербальную сферы. Исторически коммуникацией было именно это: принуждение другого к выполнению того или иного действия. То есть для коммуникации существенен переход от говорения Одного к действиям Другого
39678. СОДЕРЖАНИЕ КОММУНИКАЦИИ. СЕМИОТИКА ЯЗЫКА 55 KB
  СОДЕРЖАНИЕ КОММУНИКАЦИИ. Важнейшая функция социальной коммуникации прагматическую. Или иначе знак имеет большое значение для реализации целей коммуникации. Это в то же время приблизило семиотику к проблемам коммуникации в человеческом Проблема заключается в том как следует понимать высказывание Являются ли высказываниями например знак череп и скрещенные кости или предписывающие и запрещающие Дорожные знаки или актуализированное в речи слово Берегись Конечно данные знаки не отвечают определению высказывания как семиотической ячейки...