95779

Ряды Маклорена и Тейлора

Лекция

Математика и математический анализ

Найдём интервал сходимости ряда. Для этого последовательно определяем коэффициент при общем члене ряда, отношение коэффициентов соседних членов, радиус сходимости ряда. Таким образом, биномиальный ряд сходится внутри интервала и расходится вне его.

Русский

2015-09-29

259 KB

2 чел.

Лекция 32. Ряды Маклорена и Тейлора

32.1. Ряд Маклорена

Предположим, что функция  может быть разложена в степенной ряд:

,     (32.1)

причём интервал сходимости , где .

,

,

,

.

Полагаем  и получаем: , , , , , ….

Отсюда , , , , , ….

Подставим в (32.1):

.   (32.2)

Это формула Маклорена.

32.2. Применение ряда Маклорена к разложению в степенные ряды некоторых функций

1) Разложение функции .

Для функции  производные . Так как значения коэффициентов

,

то разложение имеет вид

.      (32.3)

Общий член ряда , . Следовательно, степенной ряд сходится для любого x. Интервал сходимости .

2) Разложение функции .

Для  производные , , , …. При

,  ,  ,  ,  …,

поэтому

.     (32.4)

Этот ряд сходится при любом x.

3) Разложение функции .

Для  производные , , , …. При

,  ,  ,  ,  …,

поэтому

.      (32.5)

Этот ряд тоже сходится при любом x. Разложение (32.5) можно получить из разложения (32.4) почленным дифференцированием.

4) Разложение бинома Ньютона .

Для  производные , , …, . Полагая , получим значения коэффициентов:

,  ,  ,  …,  .

Разложение имеет вид

.  (32.6)

Найдём интервал сходимости ряда. Для этого последовательно определяем коэффициент при общем члене ряда , отношение коэффициентов соседних членов , радиус сходимости ряда . Таким образом, биномиальный ряд сходится внутри интервала  и расходится вне его.

32.3. Применение ряда Маклорена к приближённым вычислениям

Пример 32.1. 1) Вычислить . Для ряда (32.4) берём :  с любой точностью. Значение  определено с точностью до .

2) Вычислить . Преобразуем  и по формуле (32.6) для биномиального ряда при ,  получим: .

32.4. Ряд Тейлора

Некоторые функции не могут быть разложены в ряд Маклорена, так как теряют смысл при . Например, , . Тогда пользуются разложениями в более общие степенные ряды:

,    (32.7)

которые справедливы в некотором интервале .

Положим . Тогда ряд Маклорена (32.2) перепишется в виде:

,   где   .

Так как , то , , , …, . Подставим коэффициенты в (32.7):

. (32.8)

Ряд (32.8) называется рядом Тейлора.

Ограничиваясь конечным числом членов, получим многочлен Тейлора:

.     (32.9)

Если ряд (32.8) сходится в некоторой окрестности  точки  и его сумма равна функции , то многочлен  даёт приближённое представление функции  в окрестности .

Пример 32.2. 1) Разложить многочлен  по степеням .

,  ,  ,   при .

,  ,  ,  ,   при .

.

2) Разложить функцию  по возрастающим степеням .

, , , .

для .

PAGE  48


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67316. ОСТРАЯ НЕСПЕЦИФИЧЕСКАЯ ХИРУРГИЧЕСКАЯ ИНФЕКЦИЯ. ЗАНЯТИЕ ПЕРВОЕ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ, НАИБОЛЕЕ ЧАСТЫЕ ФОРМЫ ХИРУРГИЧСКОЙ ИНФЕКЦИИ 309.5 KB
  Знать: определение классификацию микробиологию иммунологию хирургической инфекции Уметь: диагностировать острые гнойные заболевания кожи и подкожной клетчатки маститы тромбофлебиты лимфадениты лимфангоиты; производить перевязки ран после вскрытия гнойников.
67317. ЗЛОЧИНИ ПРОТИ ВЛАСНОСТІ 22.72 KB
  Питання про безпосередні об'єкти конкретних злочинів проти власності у літ. також вирішується по різному: значна частина авторів, вказує, що безпосередній об'єкт конкретного злочину проти власності є частиною (складовою) родового об'єкта. Олнпк видається що у данному випадку...
67318. Безопасность жизнедеятельности в специальных условиях 25.64 KB
  Мероприятия по предотвращению загрязнения окружающей среды в результате судоходства направлены прежде всего на предотвращение загрязнения моря и внутренних водоемов нефтью и другими вредными веществами которые перевозятся в качестве грузов а также сточными водами мусором и веществами...
67319. СИСТЕМА ПРАВА 168 KB
  Под системой права понимается определенная внутренняя его структура строение организация которая складывается объективно как отражение реально существующих и развивающихся общественных отношений. Фактический социальный строй общества государства определяет в конечном счете ту или иную систему права...
67321. Наслідування. Повторне використання коду 224.5 KB
  Повторне використання коду План Поняття про наслідування в класах Управління механізмом доступу до членів базового класу Наслідування один з трьох фундаментальних механізмів об'єктноорієнтованого програмування оскільки саме завдяки йому уможливлюється створення ієрархічних класифікацій.
67322. Планирование машинных экспериментов с моделями систем 236 KB
  Методы планирования эксперимента на модели. Эффективность машинных экспериментов существенно зависит от выбора плана эксперимента т. проведения с ней эксперимента. При планировании машинных экспериментов возникает целый ряд проблем взаимно связанных как с особенностью функционирования моделируемого...
67323. ОСТРАЯ НЕСПЕЦИФИЧЕСКАЯ ХИРУРГИЧЕСКАЯ ИНФЕКЦИЯ. ЗАНЯТИЕ ВТОРОЕ. СЕПСИС, ГНОЙНЫЕ ЗАБОЛЕВАНИЯ КОСТЕЙ И СУСТАВОВ, ГНОЙНЫЕ ЗАБОЛЕВАНИЯ КИСТИ 354.5 KB
  Крайне редко гнойные артриты развиваются в результате гематогенного заноса возбудителей инфекции в полость сустава. При попадании возбудителей инфекции в полость сустава первоначально инфекционный процесс разворачивается в синовиальной жидкости выработка которой...
67324. Организация и методы сопровождения программных средств 287.5 KB
  Организация и методы сопровождения программных средств В процессе эксплуатации версий программного продукта у каждого пользователя могут появляться некоторые претензии к функционированию которые квалифицируются им как ошибки или дефекты эталонной базовой или собственной версии.