96

Решение логических задач на уроках математики в 5-6-х классах

Дипломная

Педагогика и дидактика

Особенности мышления учащихся на уроках математики в 5-6 классах. Научно-методические основы организации обучения решению задач в основной школе. Психолого-педагогические основы формирования умений решать задачи.

Русский

2012-11-14

719.5 KB

1079 чел.

МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕССКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра алгебры и геометрии

Дипломная работа

По теме: «Решение логических задач на уроках математики в 5-6-х классах»

Студентки

5 курса д/о

Малаховой М.Е.

Научный Руководитель: Ведерников В.А.

Москва, 2012

Содержание

Введение

Глава 1. Психолого-педагогический анализ учащихся

1.1. Возрастные особенности учащихся 5-6 классов

1.2. Психолого-педагогические особенности учащихся 5-6 классов 

1.3. Особенности мышления учащихся на уроках математики в 5-6 классах

1.3.1. Мышление

1.3.2. Виды мышления

1.3.3. Логическое мышление

1.3.4. Особенности мышления

Глава 2. Научно-методические основы организации обучения решению задач в основной школе

2.1. Задачи в истории математического образования

2.1.1. Понятие «задача»

2.1.2. Функции решения задач 

2.1.3. Процесс решения задачи

2.1.4. Задачи в истории математического образования

2.2. Психолого-педагогические основы формирования умений решать задачи

2.3. Роль и функции задач в обучении математике

2.3.1. О роли задач в обучении математике

2.3.2. Функции математических задач

2.3.3. Как учит решать задачи современная школа

2.4. Логическая задача. Способы решения логической задачи

2.4.1. Понятие «логическая задача

2.4.2. Типология логических задач

  2.4.2.1.  Задачи, решаемые методом «здравых рассуждений

  2.4.2.2.  Задачи, решаемые с помощью таблиц

  2.4.2.3.  Задачи, решаемые с помощью высказываний

  2.4.2.4.  Задачи, решаемые построением графов

Глава 3. Методика обучения решению логических задач в 5 - 6 классах  на факультативных занятиях

3.1.  Содержание обучения

3.2. Анализ программы и учебников по математике

3.3. Методы обучения

3.3.1. Наглядные методы обучения

3.3.2. Словесные методы обучения

3.3.3. Практические методы обучения

3.4. Этапы решения логических задач. Приёмы их выполнения

3.4.1. Анализ условия задачи

3.4.2. Поиск пути решения задачи и составление плана пути ее решения

3.4.3.  Осуществление плана решения задачи

3.4.4.  Проверка решения логической задачи

3.5.  Применение методики обучения решению логических задач в математическом кружке в 5 классе средней общеобразовательной школе № 872

3.5. Система логических задач для 5-6 классов

Заключение

Библиография


Введение

Ещё в древности люди задумывались над многими вещами: почему земля круглая, откуда взяли огонь…

Шли годы,- люди стали умнее; их мозг эволюционировал. Интересовало уже людей не то, что они могут сделать, а то - «как они делают это продуктивнее?».

Чтобы ответить на этот вопрос и другие вопросы, народ стал искать какие-то взаимосвязи; стал сравнивать какие-то ситуации с жизненными, решив тем самым какую-нибудь житейскую проблему, стал вычленять способ её решения.

И что же было одной из важных проблем того времени (не будем говорить о веках), когда люди начали «действительно мыслить», а не механически выполнять какие-либо необходимые движения, действия? А одной из этих проблем, на мой взгляд, было строительство. Но строительство не только жилища, а храма и т.п. Ведь дом – необходимое место для любого человека – это очаг, возле которого создаётся всё остальное и без которого всё остальное теряет всякий смысл.

Ещё с давних времён, когда люди строили дома из пальмовых веток и тростника (бамбука) до воздвижения каменных сооружений, они испытывали ряд трудностей, которые были связаны с планированием, точнее сказать, с проектированием «зданий».

Люди знали, что хотели увидеть в результате, но в итоге не получали желаемого.

Народ стал осознавать постепенно: если расположить что-то одним образом - получится то, если иным другое. Люди начали учитывать эти закономерности. Те же,  в свою очередь, стали определёнными «законами», правилами, которые, так или иначе, приходилось соблюдать и признавать за истину.

Так были открыты первые теоремы практически необходимого тогда содержания, например: теорема Пифагора, теорема Фалеса и др. Не все, конечно, занимались такими «открытиями».

Сначала были философы, затем выделились из них и математики. Но чем дальше развивались потребности людей, тем глубже звала их неизведанная наука на пути открытий. Решались какие-то жизненно необходимые задачи (строительство дорог, каналов, пирамид и др.), возникали споры, дебаты.

Учителя (математики) – самые умнейшие в этой области – брали учеников с целью передачи опыта новым поколениям. Помимо открытых тайн, перед учениками ставились определенные задачи, которые впоследствии становились аксиомами и теоремами. Появились школы. Математика в каждой из них была далеко не последним предметом. Учили детей применять полученные знания на практике. А как? Сначала, конечно же, «зубрежкой» правил и канонов, затем глупым повторением частей определенного алгоритма при решении определенного вида задач и только потом дело дошло до того, что (после учебника Магницкого) именно умением систематизировать знания, умением ими оперировать в любых ситуациях, в задачах с любыми меняющимися условиями. Люди осознали наконец ценность мыслительной деятельности человека.

Со времён учебника Магницкого (18 в.) стали издаваться многие труды подобного содержания: учебники с задачами, с правилами…

И уже тогда задачи, именно, решение задач стало играть огромную роль в формировании и развитии интеллекта и общей культуры людей того времени.

Осмысление, понятие выходят на первый план.  Появляются   задачи   занимательного

и развлекательного характера. Позже задачи, уже направленные на развитие пространственного представления и восприятия (в частности, геометрические). Вычленяются различные методы, приёмы решения задач, разрабатываются различные виды классификаций задач и алгоритмов их решения.

И тут непоследнюю роль играют задачи логические, задачи логического характера и, соответственно, способы и методы их решения.

Не забудем и то, что решение задачи требует умения мыслить, в данном случае, мыслить логически. А логическое мышление, в свою очередь, невозможно развить только посредством математики. Необходимо было связать математику с другими науками и, естественно, с жизнью.

Другими словами, надо было полностью менять и развивать мыслительные процессы человека, адаптировать его к восприятию нового; менять общую культуру людей, которая впоследствии должна была идти вперёд и вперёд.

 Мы остановимся в своей работе именно на логическом мышлении школьников; задачах логического и занимательного характера, рассмотрим различные их виды и классификации последних, а также способы и методы решения таких задач.

Целью данной работы является разработка системы формирования умений решать логические задачи на уроках математики в 5-6-х классах.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

           -    Изучить психолого-педагогическую литературу по данной теме.

-  Проанализировать действующие учебники по математике для 5-6-х классов и программу по математике для общеобразовательных школ.

-    Разработать систему логических упражнений и задач, которые можно использовать на уроках математики, а также в качестве программного материала для внеклассных или кружковых занятий.

-  Провести эксперимент, основной целью которого является обучение учащихся решению логических задач.

Работа состоит из двух глав. В первой главе определено понятие «логическая задача»,  рассмотрена типология логических задач:

1. Задачи, решаемые методом «здравых рассуждений»;

2. Задачи, решаемые с помощью таблиц;

3. Задачи, решаемые с помощью алгебры высказываний;

4. Задачи, решаемые построением графов.

Приводятся примеры логических задач, которые решаются соответствующим методом.

Во второй главе рассмотрены содержание и методы обучения, представлены этапы решения логической задачи, приемы их выполнения. Также разработана программа обучения решению логических задач в математическом кружке в пятом классе средней общеобразовательной школы 872 и представлена система логических задач.


Глава 1. Психолого-педагогический анализ учащихся

1.1. Возрастные особенности учащихся 5-6 классов

Подростковый возраст - это возраст от 10 –11 до 15 лет,  что  соответствует  возрасту учащихся 5-8 классов. Этот возраст связан с перестройкой всего организма ребенка-половым созреванием. Одни дети вступают в подростковый возраст раньше, другие - позже (в 13 лет). Начинаясь с кризиса, весь период протекает трудно и для ребенка, и для взрослых.
           Подростковый возраст называют переходным возрастом. В этом смысле подросток  – полуребенок и полувзрослый: детство уже ушло, но зрелость еще  не   наступила. Переход  к взрослости пронизывает все стороны развития подростка: и его анатомо-физиологическое,  и интеллектуальное, и нравственное развитие – и все виды его деятельности.
           Существенные   изменения   происходят в   эмоциональной  сфере  подростка.  Эмоции  подростка  отличаются большой силой  и  трудностью в их  управлении.  Подростки отличаются    большой    вспыльчивостью, слабостью самоконтроля, резкостью  в поведении. С этим связано неумение сдерживать себя.

Подросткам  свойственно  бурное   проявление  своих  чувств.  Если   они   чувствуют малейшую несправедливость к себе, они способны взорваться, хотя потом могут сожалеть об этом.
           Эмоциональные переживания подростков приобретают большую устойчивость. Нередко чувства подростка бывают противоречивы. Очень  важно,  чтобы  эти  противоречия разрешались в пользу положительных, общественно значимых чувств.

Особенно заметным в этом возрасте становится рост сознания и самосознания детей. Последнее находит свое выражение в измерении мотивации основных видов деятельности: учения, общения и труда.  

Учение для подростка является главным видом деятельности. И от того, как учится подросток, во многом зависит его психическое развитие. В подростковом возрасте происходят существенные сдвиги в развитии мыслительной деятельности учащихся, главным образом в процессе обучения.

Подростков очень привлекает возможность расширить, обогатить свои знания, проникнуть в сущность изучаемых явлений, установить причинно-следственные связи.
Подростки испытывают большое эмоциональное удовлетворение от исследовательской деятельности. Им нравится мыслить, делать самостоятельные открытия. Наряду с познавательными интересами существенное значение при положительном отношении подростков к учению имеет понимание значимости знаний. Для подростка очень важно осознать, осмыслить жизненное значение знаний и, прежде всего их значение, для развития личности. Это связано с усиленным ростом самосознания современного подростка.
Многие учебные предметы нравятся подросткам потому, что они отвечают его потребностям не только много знать, но и уметь, быть всесторонне развитым человеком.

Если же подросток не видит жизненного значения знаний, то у него могут сформироваться негативные убеждения и отрицательное отношение к существующим учебным предметам. Эмоциональное благополучие во многом зависит также от оценки его
учебной деятельности взрослыми.

В подростковом возрасте появляются новые мотивы учения, связанные с расширением знаний, с формированием нужных умений и навыков, позволяющих заниматься интересной работой, самостоятельным творческим трудом. Учителю необходимо знать эти мотивы, условия их формирования, так как отношение подростков к учению обусловлено, прежде всего, качеством работы учителя и его отношением к учащимся.

1.2. Психолого-педагогические особенности учащихся 5-6 классов 

Пятиклассник, шестиклассник, ученик которому 10-13 лет, находится в подростковом возрасте. Подростковый возраст называют переходным возрастом, потому что в течение этого периода происходит своеобразный переход от детского к взрослому состоянию, от незрелости к зрелости.

В подростковом возрасте серьезно изменяются условия жизни и деятельности школьника, что приводит к перестройке психики, ломке старых сложившихся форм взаимодействия с людьми.

В 5 классе ученики переходят к систематическому изучению наук. А это требует от психической деятельности более высокого уровня: глубоких обобщений и доказательств, понимания более сложных абстрактных отношений между объектами, формирование отвлеченных понятий.

В подростковом возрасте, в частности в 5-6 классах, существенно перестраивается характер учебной деятельности. Причем не только усложняется сама учебная деятельность: увеличивается количество учебных предметов, вместо одного учителя с классом работает уже несколько учителей, у которых различные требования, стиль ведения урока, отношение к учащимся.

Главное, постепенно нарастающая взрослость подростка, делает неприемлемым для него, привычные младшему школьнику, старые формы и методы обучения.

Расширение связей с окружающим миром, широкое общение со сверстниками, личные интересы и увлечения также часто снижают непосредственный интерес подростков к учению. Сознательно - положительное отношение ребят к учению возникает тогда, когда учение удовлетворяет их познавательные потребности, благодаря чему знания приобретают для них определенный смысл как необходимое и важное условие подготовки к будущей самостоятельной жизни. Однако здесь иногда наблюдается расхождение: стремление к приобретению знаний может сочетаться с безразличным или даже отрицательным отношением к школьному учению. Это может быть своеобразной реакцией на те или иные неудачи в учении, на конфликте с учителем. Подросток обычно остро переживает учебные неудачи и из-за самолюбия иногда маскирует подлинное отношение к этим неудачам: делает вид, что к успехам в учении он совершенно безразличен и равнодушен.

Наиболее существенную роль в формировании положительного отношения подростка к учению, в том числе и к математике, играют научная содержательность учебного материала, его связь с жизнью и практикой, проблемный и эмоциональный характер изложения, организация поисковой, познавательной деятельности, которая дает учащимся возможность переживать радость самостоятельных открытий, знакомство  подростков с  рациональными приемами учебной работы, навыками самовоспитания, являющимися непременной предпосылкой для достижения успеха.

1.3. Особенности мышления учащихся на уроках математики в 5-6 классах

1.3.1. Мышление

Важнейшей задачей обучения математике является развитие мышления учащихся.

Мышление является высшим познавательным процессом. Мышление человека- это творческое преобразование имеющихся в памяти представлений и образов. Мышление всегда направлено на решение какой-либо задачи.

Мышление - сложная форма психической деятельности. В процессе мыслительной деятельности человек познает окружающий мир с помощью особых умственных операций. Эти операции составляют различные взаимосвязанные, переходящие друг в друга стороны мышления. Основными мыслительными операциями являются анализ, синтез, сравнение, абстракция, конкретизация и обобщение.

Анализ — это мысленное разложение целого на части или мысленное выделение из целого его сторон, действий, отношений. В элементарной форме анализ выражается в практическом разложении предметов на составные части. Анализ бывает практическим (когда мыслительный процесс непосредственно включен в речевую деятельность) и умственным (теоретическим). Если анализ оторван от других операций, он становится порочным, механистичным. Элементы такого анализа наблюдаются у ребенка на первых этапах развития мышления, когда ребенок разбирает, ломает игрушки на отдельные части, никак не используя их дальше.

Синтез — это мысленное объединение частей, свойств, действий в единое целое. Операция синтеза противоположна анализу. В его процессе устанавливается отношение отдельных предметов или явлений как элементов или частей к их сложному целому, предмету или явлению. Синтез не является механическим соединением частей и поэтому не сводится к их сумме. И синтез и анализ занимают важное место в учебном процессе. Так, при обучении чтению звуков и букв составляются слоги, из слогов — слова, из слов — предложения.

Сравнение — это установление сходства или различия между предметами и явлениями или их отдельными признаками. Практически сравнение наблюдается при прикладывании одного предмета к другому; например, одного карандаша к другому, линейки к парте и т.п. Так происходит процесс сравнения, когда мы измеряем пространство или взвешиваем тяжести. Сравнение бывает односторонним (неполным, по одному признаку) и многосторонним (полным, по всем признакам); поверхностным и глубоким; неопосредствованным и опосредованным. Основное требование к операции сравнения, чтобы оно проводилось в одном отношении. Для более глубокого и точного познания деятельности особенно большое значение такое качество мышления как способность находить различие в наиболее сходных предметах и сходство — в различных.

Абстракция состоит в том, что субъект, вычленяя какие-либо свойства, признаки изучаемого объекта, отвлекается от остальных. Так мы можем говорить о зеленом цвете как о благотворно действующем на зрение человека, не указывая конкретно предметов, имеющих зеленый цвет. В этом процессе признак, отделяемый от объекта, мыслится независимо от других признаков предмета, становится самостоятельным предметом мышления. Абстрагирование обычно осуществляется в результате анализа. Именно путем абстрагирования были созданы отвлеченные, абстрактные понятия длины, широты, количества, равенства, стоимости и т.д. Абстракция — сложный процесс, зависящий от своеобразия изучаемого объекта и целей, стоящих перед исследователем. Благодаря абстракции человек может отвлечься от единичного, конкретного. В то же время абстракция не существует без чувственной опоры, иначе она становится бессодержательной, формальной. Среди видов абстракции можно выделить практическую, непосредственно включенную в процесс деятельности; чувственную или внешнюю; высшую, опосредованную, выраженную в понятиях.

Конкретизация предполагает возвращение мысли от общего и абстрактного к конкретному с целью раскрыть содержание. К конкретизации обращаются в том случае, если высказанная мысль оказывается непонятной другим или необходимо показать проявление общего в единичном. Когда нас просят привести пример, то, по сути дела, просьба заключается в конкретизации предшествующих высказываний.

Обобщение — мысленное объединение предметов и явлений по их общим и существенным признакам. Мыслительная деятельность всегда направлена на получение результата. Человек анализирует предметы с тем, чтобы выявить в них общие закономерности и предсказать их свойства. Повторяемость определенной совокупности свойств в ряде предметов указывает на более или менее существенные связи между ними. При этом обобщение вовсе не предполагает отбрасывания специфических особенных свойств предметов, а заключается в раскрытии их существенных связей. Существенное, т.е. необходимо между собой связанное и именно в силу этого неизбежно повторяющееся. Простейшие обобщения заключаются в объединении объектов на основе отдельных, случайных признаков. Более сложным является комплексное обобщение, при котором объекты объединены по разным основаниям. Наиболее сложно обобщение, в котором четко выделяются видовые и родовые признаки и объект, включается в систему понятий.

Все указанные операции не могут проявляться изолированно вне связи друг с другом. На их основе возникают более сложные операции, такие как классификация, систематизация и прочие. Каждая из мыслительных операций может быть рассмотрена как соответствующее умственное действие. При этом подчеркивается активность, действенный характер человеческого мышления, возможность творческого преобразования действительности. Мышление человека не только включает в себя различные операции, но и протекает на различных уровнях, в различных формах, что в совокупности позволяет говорить о существовании разных видов мышления. В психологии сложилось несколько подходов к проблеме классификации видов мышления.

Задача мышления заключается в том, чтобы выявить существенные, необходимые связи, основанные на реальных зависимостях, отделив их от случайных совпадений. Всякое мышление совершается в обобщениях. Мышление — это движение мысли, раскрывающее связь, которая ведет от отдельного к общему и от общего к отдельному. Поэтому мышление опосредствованно, основанное на раскрытии связей, отношений, опосредований, и обобщенное познание объективной реальности.

1.3.2. Виды мышления

В психологии принята и распространена следующая несколько условная классификация видов мышления по таким различным основаниям как:

1) генезису развития;

2) характеру решаемых задач;

3) степени развернутости;

4) степени новизны и оригинальности;

5) средствам мышления;

6) функциям мышления и т.д.

1. По генезису развития различают мышление:

наглядно-действенное;

наглядно-образное;

словесно-логическое;

абстрактно-логическое.

Наглядно - действенное     мышление   –    вид     мышления,     опирающийся      на непосредственное восприятие предметов в процессе действий с ними. Это мышление есть наиболее  элементарный  вид  мышления,  возникающий  в  практической  деятельности и являющийся основой для формирования более сложных видов мышления.
  Наглядно - образное   мышление  -   вид  мышления,   характеризующийся    опорой   на представления и образы. При наглядно-образном мышлении ситуация преобразуется в плане образа   или представления.
           Словесно-логическое   мышление –  вид мышления, осуществляемый при   помощи логических  операций  с  понятиями.  При  словесно  - логическом   мышлении,   оперируя логическими  понятиями,  субъект  может   познавать  существенные   закономерности    и ненаблюдаемые взаимосвязи исследуемой реальности.
          Абстрактно-логическое (отвлеченное) мышление - вид мышления,  основанный на выделении существенных свойств и связей предмета и отвлечении  от  других,  несущественных.
             2.
По характеру решаемых задач различают мышление:

теоретическое;

практическое.

Теоретическое мышление -  мышление  на  основе   теоретических   рассуждений  и умозаключений.   Практическое    мышление   -    мышление    на    основе     суждений     и  умозаключений, основанных на решении практических задач.
            Теоретическое мышление - это познание законов и правил.

Основная  задача  практического  мышления  -  разработка   средств   практического преобразования действительности: постановка цели, создание плана, проекта, схемы.
            3.
По степени развернутости различают мышление:

дискурсивное;

интуитивное.

Дискурсивное (аналитическое)  мышление -   мышление,    опосредованное     логикой рассуждений,  а  не  восприятия.  Аналитическое  мышление  развернуто  во  времени,  имеет четко  выраженные  этапы,   представлено  в   сознании   самого   мыслящего   человека. Ин-    туитивное мышление - мышление на основе  непосредственных  чувственных  восприятий  и непосредственного отражения воздействий предметов и  явлений  объективного мира. Инту- итивное мышление характеризуется быстротой протекания, отсутствием четко выраженных этапов, является минимально осознанным.
            4.
По степени новизны и оригинальности различают мышление:

репродуктивное

продуктивное (творческое).

Репродуктивное мышление  -   мышление   на   основе   образов   и   представлений, почерпнутых   из каких - то   определенных   источников.   Продуктивное    мышление  - мышление на основе творческого воображения.
            5.
По средствам мышления различают мышление:

вербальное;

наглядное.

Наглядное мышление - мышление на основе образов и представлений предметов. Вербальное мышление - мышление, оперирующее отвлеченными знаковыми структурами.
            Установлено,  что   для   полноценной    мыслительной     работы   одним     людям  необходимо  видеть   или  представлять  предметы,   другие   предпочитают   оперировать   отвлеченными знаковыми структурами.
            6.
По функциям различают мышление:

критическое;

творческое.

Критическое мышление направлено на выявление недостатков в суждениях других людей. Творческое мышление связано с открытием принципиально нового знания, с гене-рацией собственных оригинальных идей, а не с оцениванием чужих мыслей.

1.3.3. Логическое мышление

Одной из наиболее распространенных в психологии является классификация видов мышления в зависимости от содержания решаемой задачи. Выделяют предметно-действенное, наглядно-образное и словесно-логическое мышление. Следует отметить, что все виды мышления тесно взаимосвязаны между собой. Приступая к какому-либо практическому действию, мы уже имеем в сознании тот образ, которого предстоит еще достигнуть. Отдельные виды мышления постоянно взаимо переходят друг в друга. Так, практически невозможно разделить наглядно-образное и словесно-логическое мышление, когда содержанием задачи являются схемы и графики. Поэтому, пытаясь определить вид мышления, следует помнить, что этот процесс всегда относительный и условный. Обычно у человека задействованы все возможные компоненты и следует говорить об относительном преобладании того или иного вида мышления. Только развитие всех видов мышления в их единстве может обеспечить правильное и достаточно полное отражение действительности человеком.

Подробнее рассмотрим словесно-логическое мышление. Этот вид мышления функционирует на базе языковых средств и представляет собой наиболее поздний этап исторического и онтогенетического развития мышления. Для словесно-логического мышления характерно использование понятий, логических конструкций, которые иногда не имеют прямого образного выражения (например, стоимость, честность, гордость и т.д.). Благодаря словесно-логическому мышлению человек может устанавливать наиболее общие закономерности, предвидеть развитие процессов в природе и обществе, обобщать различный, наглядный материал.

В то же время даже самое отвлеченное мышление никогда полностью не отрывается от наглядно-чувственного опыта. И любое абстрактное понятие имеет у каждого человека свою конкретную чувственную опору, которая, конечно, не может отразить всей глубины понятия, но в то же время позволяет не отрываться от реального мира. При этом чрезмерное количество ярких запоминающихся деталей в объекте может отвлекать внимание от основных, существенных свойств познаваемого объекта и тем самым затруднять его анализ.

Наряду с задачей развития логического мышления  в 5-6-ом классе уже должна решаться и более общая задача — воспитание логической грамотности, которая, в свою очередь, является необходимым условием полноценного формирования интеллектуальной культуры человека и ее базовым компонентом.  

Под логической грамотностью понимаются логические знания и умения, которые дают возможность для успешного обучения в школе, для дальнейшего обучения и самообразования, для успешной общественно полезной практической деятельности в повседневной жизни. Эти знания и умения – также необходимое условие развития логического мышления.

Ответственность за формирование логической грамотности учащихся лежит на преподавателях всех предметов. Но отвечают за нее учителя математики, поскольку в математике логические формы и отношения проявляются в наиболее чистом виде. Более того, логика - это основной инструмент математики, с помощью которого упорядочиваются, приводятся в систему имеющиеся математические знания и получаются новые.

Поиску путей развития логического мышления учащихся в процессе обучения математике посвящены методические исследования А. К. Артемова, И. Л. Никольской, А. А. Столяра и др. Ими были разработаны общие программы, содержание и методика логической подготовки школьников в процессе обучения математике.

Во всех общих программах четко прослеживаются в качестве основных одни и те же блоки, которые условно могут быть обозначены как "классификация", "определения", "умозаключения". Эти основные логические действия не могут быть полноценно сформированы без предварительной работы с признаками предметов: дети должны научиться мысленно выделять в предметах их признаки (форма, размер, цвет и пр.) и оперировать ими как абстрактными объектами.

Учитывая целесообразность непрерывного формирования логических умений на протяжении всего периода обучения в школе, необходимость преемственности между различными ступенями обучения и возрастные особенности познавательной деятельности школьников,  выделим те знания и умения, формирование которых следует начинать уже в начальной школе.

Приведем перечень, в котором указаны основные группы умений и действия, их составляющие.

I. Выделение признаков предметов и оперирование ими:

1. Выделение признаков предметов (конкретных и абстрактных).

2. Сравнение двух и более предметов: а) выявление общих признаков двух, трех и более предметов; б) выявление отличительных признаков двух, трех и более предметов.

3. Выявление общего свойства группы предметов: а) подбор общего названия (собирательного имени) для группы предметов; б) выявление "лишнего" предмета в данной группе; в) нахождение недостающего предмета в данной группе; г) сравнение групп предметов.

4. Выявление закономерностей расположения предметов в ряду.

5. Узнавание предметов по их признакам.

6. Описание предмета по его признакам.

П. Классификация:

1. Словесная характеристика классов в готовой классификации.

2. Деление на классы по заданному основанию. Отнесение объекта к классу.

3. Выделение основания для самостоятельно проводимой классификации.

4. Проверка результатов проведенной классификации

III. Понимание и правильное употребление логических слов ("и", "или", "все", "некоторые" и др.).

IV. Определения:

1. Выделение признаков объекта.

2. Выделение характеристических совокупностей признаков объекта.

3. Описание объектов по их признакам.

4. Выделение родо-видовых отношений.

5. Построение определений через род и видовое отличие.

V. Простейшие умозаключения и доказательства:

1. Умозаключения по индукции.

2. Умозаключения по аналогии.

3. Дедуктивные умозаключения: а) на основе свойств отношений эквивалентности и порядка; б) по правилам заключения, отрицания и силлогизма.

4. Доказательство или опровержение утверждений с помощью примера или контрпримера.

Исследования показали, что от выпускников средней школы требуется овладение следующими логическими знаниями и умениями:

1)   умение определить известное понятие;

2)   знание правил классификации;

3)   понимание смысла логических связок «и», «или», «не», «если... то»,   «следует»,   «эквивалентно»   (логически);

4)     умение выделить логическую форму математического предложения;

5)   понимание   смысла   терминов   «необходимо»   и   «достаточно» (и их отрицания), а также их сочетаний;

6)   умение проводить доказательства утверждений, знать наиболее   употребительные   приемы   доказательства,   обнаруживать грубые логические ошибки;

7)  умение правильно организовывать и рационализировать свою деятельность  в  соответствии  с  внутренней  логикой  ситуации;

8)   умение   мыслить    критически,    последовательно,    четко    и   полно;

9) владение основными мыслительными приемами (анализ, синтез, обобщение, сравнение и т. п.) в простейших случаях и т. д.[36]

Исходя из выше сказанного следует, что именно в подрастковом возрасте закладывается фундамент формирования перечисленных  логических знаний и умений.

Анализ исследований,  проведенных  зарубежными и  отечественными специалистами

( Выготский Л.С. и др.), показал, что наиболее эффективно логическое мышление развивается в среднем и старшем школьном возрасте, когда развивается способность к абстракции и дедукции. В результате анализа была выдвинута гипотеза о том, что снижения уровня логического мышления можно избежать за счет занятий с ребятами играми с головоломками. Поскольку логическое мышление в течение жизни развивается под воздействием внешних факторов, то в процессе дополнительного воздействия возможен дополнительный прирост уровня развития логического мышления. Данная гипотеза была в дальнейшем подтверждена в ходе педагогического эксперимента, во время которого ребята занимались с головоломками из набора "ЛОГО", специально созданного нами для этих целей.

Проведенная опытно-экспериментальная работа показала целесообразность использования головоломок и логических задач для развития логического мышления. При исследовании шестидесяти детей в возрасте 10-12 лет был выявлен прирост (30-32%) уровня логического мышления (на 30-32%) и это тогда, когда по статистике в этом возрасте наблюдается спад в развитии логического мышления.

Результаты экспериментальной работы оценивались по изменению уровня логического мышления детей, который, в свою очередь оценивался при помощи апробированной методики "ШТУР" - Школьный Тест Умственного Развития. Тест был разработан учеными Научно-исследовательского института Общей и педагогической психологии АПН СССР и учитывает такие критерии, как: адекватность, точность, своевременность, скорость, целесообразность, экономичность, инициативность и стабильность.

В результате работы было установлено, что  логическое мышление развивается наиболее эффективно, когда в работу подключена мелкая моторика рук; занятия комплексны и  регулярны; применяются игры с головоломками, сочетающие в себе способность развивать логическое мышление со способностью вызвать интерес ребенка к занятиям.

1.3.4. Особенности мышления

Обычно когда говорят о развитии мышления в процессе обучения математике, имеют в виду развитие математического мышления. Конечно, это верно: в процессе обучения математике следует в первую очередь беспокоиться не вообще о развитии мышления, а именно о развитии математического мышления. Весь вопрос только в том, что понимать под математическим мышлением, в чем его специфика.

К сожалению, рассматривая сущность математического мышления, или, как еще говорят, математического стиля мышления, обычно указывают такое большое число отличительных его качеств, что всякая специфика этого вида мышления теряется. Так, например, указывают такие качества математического стиля мышления: гибкость, активность, целенаправленность, готовность памяти к воспроизведению усвоенного, широта, глубина, критичность и самокритичность, ясность, точность, лаконичность, оригинальность, доказательность.

В процессе учения заметно совершенствуется логика математического мышления подростка. Содержание и логика изучаемых в школе предметов, изменения характера и форм учебной деятельности формируют и развивают у него способность активно, самостоятельно мыслить, рассуждать, сравнивать, делать выводы и обобщения.

На уроках математики учитель предъявляет ученику уже более высокие требования. На занятиях школьник проявляет больше самостоятельности при решении различных заданий как при работе у доски, так и при работе в тетради. Содержание условия задач существенно отличается от того содержания, к которому ученик привык в начальной школе. Для понимания текста условия задачи теперь необходим более глубокий анализ. У ученика развивается умение логически мыслить, делать определенные выводы.

Основная особенность мыслительной деятельности подростка — нарастающая с каждым годом способность к абсолютному мышлению, изменение соотношения между конкретно - образным и абстрактным мышлением в пользу последнего. Конкретно-образные компоненты мышления не исчезают, а сохраняются и развиваются, продолжая играть существенную роль в общей структуре мышления. Поэтому однообразие, односторонность или ограниченность наглядного опыта тормозит развитие мышления. Например, младшие подростки иногда не узнают прямоугольный треугольник при положении прямого угла вверху, когда гипотенуза является основанием треугольника и т. п. 

Еще одной чертой, которая впервые полностью раскрывается именно в подростковом возрасте,  является   склонность  к  экспериментированию,  проявляющаяся,  в  частности,  в нежелании  все   принимать  на  веру.  Подростки  обнаруживают  широкие  познавательные интересы,   связанные   со   стремлением   все   самостоятельно   перепроверить,   лично удостоверится в истинности.

В процессе учения подросток приобретает способность к сложному аналитико-син-тетическому восприятию предметов и явлений. Восприятие становится плановым, последовательным и всесторонним. Подросток воспринимает уже не только то, что лежит на поверхности явлений, хотя здесь многое зависит от его отношения к воспринимаемому объекту. Отсутствие интереса, равнодушие к материалу — и ученик поражает поверхностностью своего восприятия. Подросток может добросовестно смотреть и слушать, но восприятие его будет случайным.

В подростковом возрасте продолжает развиваться теоретическое рефлексивное мышление. Приобретенные в младшем школьном возрасте операции становятся формально-логическими операциями. Подросток, абстрагируясь от конкретного, наглядного материала, рассуждает в чисто словесном плане. На основе общих посылок он строит гипотезы и проверяет их. При решении задач подросток не только дает правильное решение, но и логически обосновывает его.

Ученик умеет оперировать гипотезами, решая интеллектуальные задачи. Кроме того, он способен на системный поиск решений. Сталкиваясь с новой задачей, он старается отыскать разные возможные подходы к ее решению, проверяя логическую эффективность каждого из них. Им находятся способы применения абстрактных правил для решения целого класса задач. Эти умения развиваются в процессе школьного обучения, при овладении знаковыми системами, принятыми в математике. Например, решая задачу: «Найти число, которое равняется удвоенному самому себе минус тридцать», подростки, используя сложную операцию - алгебраическое уравнение =2х — 30), быстро находят ответ (х = 30). В то же время младшие школьники пытаются решить эту задачу подбором — умножают и вычитают разные числа, пока не придут к правильному результату.

Развиваются такие операции, как классификация, аналогия, обобщение и др. Устойчиво проявляется рефлексивный характер мышления: дети анализируют операции, которые они производят, способы решения задач.

Особенности теоретического рефлексивного мышления позволяют подросткам анализировать абстрактные идеи, искать ошибки и логические противоречия в суждениях. Подросток приобретает взрослую логику мышления.

В подростковом возрасте существенные изменения претерпевают также память и внимание. Нарастает умение организовывать и контролировать свое внимание, процессы памяти, управлять ими. Память и внимание постепенно приобретать характер организованных, регулируемых и управляемых процессов.

Отсюда следует, что для обучения учеников данного возраста необходим тщательный анализ форм и видов деятельности, которые предполагает учитель в классе.

Итак, математика дает реальные предпосылки для развития логического мышления, а задача учителя  – полнее использовать эти возможности при обучении детей математике. Но определенной программы логических приемов мышления, которые должны быть сформированы при изучении данного предмета, нет. В результате, работа над развитием логического мышления идет без знания системы необходимых приемов и последовательности их формирования.

Сначала математические знания усваиваются детьми в системе, приспособленной к их пониманию, в которой отдельные положения логически связаны и одно вытекает одно из другого. Ученики пользуются при этом основными операциями мышления: анализом, синтезом  и др.  Такое сознательное усвоение знаний и развивает логическое мышление учащихся.

Глава 2. Научно-методические основы организации обучения решению задач

в основной школе

2.1. Задачи в истории математического образования

2.1.1. Понятие «задача»

Термин "задача" включает в себя довольно широкий круг понятий. Когда мы говорим о задаче, то в большинстве случаев подразумеваем, что речь идет о текстовой задачей. Но на самом деле любое задание типа: "Вычислите", "Упростите", "Решите уравнение " также является задачей. Во всех заданиях такого типа есть вопрос, на который мы отвечаем в процессе решения. Задания типа "Докажите что ..." также относятся к математическим задачам, однако, как известно, доказывать приходится не только в математике, но и во многих областях человеческой деятельности.

На сегодняшний день нет единого определения понятия «задачи». В Большой Советской Энциклопедии под задачей понимается один из методов обучения проверки знаний и практических навыков учащихся, применяемых в начальной, средней и высшей школе. Задача является средством развития логически правильного мышления учащихся и обязательно содержит условие, ясно выраженное или подразумеваемое, и главный вопрос, ответ на который и составляет ее решение.[6]

Еще одной из известных трактовок понятия является трактовка Фридмана Л. М.:

« Задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, учитывая и опираясь на те условия, которые указаны в задаче». Другими словами,  задача - это проблема, которую необходимо разрешить.

Задача может быть сложной или простой. В первом случае найти ее решение трудно, во втором - легко. Заметим, что трудность решения в какой-то мере входит в само понятие задачи: там, где нет трудности, нет и задачи.

Задача является надежным средством контроля и проверки глубины и прочности знаний учеников и их осмысленности, умения применять полученные знания на практике.

Решить математическую задачу —  значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, теорем, правил, тождеств, формул и т.д.), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется вопросом задачи.

Процесс  решения задач тесно связан с мышлением.  «Решение задачи, — пишет А. В. Брушлинский, — осуществляется только с помощью мышления и никак иначе не осуществимо. Но мышление совершается не только в связи с решением задачи». Вместе с тем он же высказывает мысль о том, что мышление лучше всего формировать «именно в ходе решения  задач,  когда человек сам наталкивается на посильные для него проблемы и вопросы, формулирует их и затем решает».[1]

2.1.2. Функции решения задач 

1. Решение задач используется для формирования у учащихся нужной мотивации их учебной деятельности, интереса и склонности к этой деятельности.

Прежде чем приступить к изучению какой-либо новой темы, учитель обычно дает учащимся какую-то интересную  задачу, для решения которой и нужно изучить предстоящую тему, овладеть новыми знаниями. Тем самым, у учащихся возникает значимый учебно-познавательный мотив — изучить новый учебный материал, овладеть новыми теоретическими знаниями, чтобы уметь решать подобные задачи.

При решении достаточно большого числа задач, если только методика решения разумная, психологически обоснованная, у учащихся постепенно формируется стойкий интерес, а затем и склонность к решению задач как к особой деятельности.

О влиянии решения задач на мотивацию учения учащихся свидетельствует  использование задач для организации проблемного обучения, которое применяется главным образом для углубления внутренней мотивации учебной деятельности учащихся.

2. Решение задач используется для иллюстрации и конкретизации изучаемого учебного материала.

Действительно, сущность той или иной теоремы, формулы нельзя проиллюстрировать, не показав применение их для решения каких-либо задач. Поэтому знакомство учащихся с теоретическим материалом всегда сопровождается решением соответствующих задач, в процессе которого учащиеся более наглядно и конкретно осознают сущность этого материала.

  1.  Решение задач, процесс длительных упражнений в решении задач используется для формирования у учащихся определенных умений и навыков (счета, измерения, пре-
    образования различных выражений, вычислений и т.д.).
  2.  Решение задач используется как наиболее адекватное и удобное средство для контроля и оценки учебной работы учащихся.  Решение специально подобранных задач, характер их решения и ошибки, которые допускают учащиеся в решении, четко и правильно показывают уровень усвоения и овладения учащимися изученным учебным материалом. Устный опрос, ответы учащихся на теоретические вопросы показывают лишь, что и как запомнили учащиеся. А вот самостоятельное решение ими тех или иных задач наглядно показывает, как учащиеся усвоили, а не просто запомнили изученные понятия, теоремы, формулы.

5. Решение задач довольно часто используется для приобретения учащимися новых знаний. Вместо того чтобы излагать ту или иную теорему, выводить формулу, можно предложить учащимся самостоятельно решить соответствующую задачу на доказательство, на вывод формулы, установление некоторой закономерности. Конечно, предполагается, что учащиеся подготовлены для такой самостоятельной работы. Многие теоремы и формулы можно и нужно изучать именно в процессе решения задач. Ведь всякая задача на доказательство, в некотором роде, есть некоторая теорема, доказательство которой должен найти сам ученик.

Решение задач используется и для некоторых других целей: для закрепления и повторения изученного учебного материала и т.д.

2.1.3. Процесс решения задачи

Процесс решения задачи заключается в следующем:

-1-й этап — анализ задачи;

-2-й этап — построение модели задачи;

-3-й этап — поиск способа решения задачи;

-4-й этап — осуществление решения задачи;

-5-й этап — проверка решения задачи;

-6-й этап — исследование задачи;

-7-й этап — формулирование ответа задачи;

-8-й этап — познавательный анализ задачи и ее решения.

Другими словами, прежде всего, надо разобраться в том, каковы  условия задачи, в чем состоит ее требование (вопрос), т.е. провести ее анализ. Надо также установить, не является ли данная задача стандартной. Если же она нестандартная, то какая она:  математическая или прикладная. Если прикладная, то надо провести еще и содержательный анализ, т.е. установить, моделью какой проблемной ситуации она является. Все это входит в первичный анализ задачи.

Результаты анализа в ряде случаев необходимо как-то оформить, записать, т.е. построить модель задачи в виде схематической записи, таблицы, графика, рисунка и т.д. Построение модели задачи есть второй этап процесса решения.

После этого следует приступать к поиску способа решения. Этот поиск проводится на третьем этапе процесса решения.

Когда способ решения найден или кажется, что он найден, надо этот способ применить к данной задаче, т.е. осуществить решение. Это уже четвертый этап процесса решения.

После того как решение задачи осуществлено и изложено (письменно или устно), необходимо убедиться, что это решение правильное, что оно удовлетворяет всем условиям задачи. Для этого проводят проверку решения, что составляет пятый этап процесса решения.

При решении многих задач, кроме проверки, необходимо еще произвести исследование задачи, т.е. установить, при каких условиях задача имеет решение и сколько различных решений она имеет в каждом отдельном случае; при каких условиях задача вообще не имеет решения и т.д. Это составляет шестой этап процесса решения.

Убедившись в правильности решения и, если нужно, произведя исследование задачи, можно уже четко сформулировать ответ задачи — это будет седьмой этап процесса решения.

Наконец, в учебных целях полезно также произвести познавательный анализ задачи и ее решения: нет ли другого способа ее решения, нельзя ли задачу обобщить, какие выводы можно сделать из этого решения и т.д. Все это составляет восьмой, заключительный этап процесса решения.

Что же касается схемы поиска способа решения нестандартной задачи, то дело обстоит таким образом:

 Получив задачу, следует произвести тщательный ее анализ и построить какую-то ее вспомогательную модель.

             Затем установить, нельзя ли вычленить из нее путем расчленения условий, требования или области задачи какую-то более простую задачу. Если можно, то надо разбить исходную задачу на подзадачи, решив которые будет либо полностью решена эта задача  или существенно упрощена.

          Если разбить задачу на подзадачи не удается, то надо выяснить,
нельзя ли ее преобразовать в равносильную задачу, способ решения которой нам известен.

 Если такое преобразование невозможно, то нельзя ли построить какую-то другую задачу, являющуюся моделью данной задачи, способ решения которой нам известен.

 Если задача плохо определенная, в ней имеются неопределенные неизвестные или неясна связь между данными и искомыми, то надо ввести столько вспомогательных элементов,  чтобы задача стала строго определенной, и тогда применить один из указанных выше методов.

2.1.4. Задачи в истории математического образования

Первоначально обучение математике велось через обучение решению практических задач. Ученики, подражая учителю, решали задачи на определенное «правило». При этом учащиеся не могли сознательно усваивать тот или иной способ действия. По мнению старинных авторов, «понимать-то едва ли нужно было...».

«...Это ничего, что ты ничего не понимаешь, ты и впереди также многого не будешь понимать», - так утешали учеников их наставники. Вместо понимания в то время рекомендовалось выучивать все наизусть, а потом стараться применять это к делу.

Иначе и быть не могло, так как первые российские учебники во многом подражали европейским, в которых обучение слабо опиралось на понимание. Для подтверждения приведем пример из книги И. Бененштейна (1514 год), в котором дается определение тройного правила, формулируется само правило, приводится задача и рецепт ее решения по правилу: «Тройным правилом называется regula magistralis, то есть магистерское правило, или regula aurea, то есть золотое правило, с помощью которого совершаются все торговые расчеты всех ремесленников и купцов; оно называется в гражданском обиходе de try или de tree, ибо содержит в себе три величины, при помощи которых можно вычислить все:

«... Заметь еще числа, стоящие сзади и спереди. Надо стоящее сзади число помножить на среднее и разделить на переднее».

Далее приведен пример на применение этого правила: «Я купил 100 фунтов шерсти за 7 гульденов. Что стоят 29 фунтов?

Фунты    гульдены   фунты

 100             7             29

Помножь 29 на 7, затем раздели на 100, что получится, и будет стоимостью 29 фунтов».

Аналогично обучали решению задач по одному из первых и самому известному в России учебнику «Арифметика» Л.Ф. Магницкого (1703 год). Следы «обучения по правилам» находили и в «Арифметике» А.П. Киселева. Но у него правила давались как обобщение подробно разобранных и обоснованных способов решения.

Подробнее остановимся на сочинении Магницкого.

В «Арифметике» Магницкого впервые в русской учебной литературе делается попытка систематического определения основных понятий арифметики и алгебры. Таким образом, Магницкий явно выделяет понятийный аппарат.

Что касается доказательств математических предложений, то они в строгом смысле слова в «Арифметике» Магницкого отсутствуют. Но в очень многих случаях он, растолковывая правила, подводит к их сознательному применению, привлекая все возможные аналогии. От ученика требовалось только заучить наизусть правила и уметь их применять в решении задач.

Рассмотрим подробнее методические особенности системы задач. Система задач и упражнений «Арифметики» самая интересная из предложенных Магницким методических новаций. Он помещает в книге очень большое количество подробно разобранных примеров и детально решенных задач на различные правила. Таких задач в «Арифметике» было значительно больше, чем в соответствующих заграничных математических руководствах. Прежде всего, обратим внимание на большое количество объяснительных примеров, которые иллюстрируют основные положения теории. Очень часто они прямо включаются даже в формулировки определений. В основном, это не отвлеченные, а содержательные примеры.

Таким образом, с помощью удачно подобранных примеров основные понятия излагаются, ассоциируясь у читателя с привычными житейскими образами, что облегчает их восприятие.

Эта тенденция обнаруживается и в системе задач: каждая задача облекается автором в практическую или просто интересную форму. Так, например, извлечение квадратного корня он иллюстрирует задачами, подобными следующей:

Задача. «Некий генерал хочет с 5000 человек баталлию учинить, и чтобы та была в лице вдвое, нежели в стороне и ведательно есть колико оная баталлия будет в лице и в стороне человек.»

Решение. «Раздели на 2 все 5000, будет 2500, из него же извлеки квадратный радикс, будет 50 человек в стране и сие умнож через 2, придет 100».

Самая яркая характеристика задач «Арифметики» — прикладной характер задач. Особенно убедительно это проявляется в удовлетворении запросов основного потребителя арифметических познаний — купечества. Практически вся третья часть «Арифметики политики» посвящена тройному правилу и представляет из себя решение задач торговли. Приведем некоторые названия и примеры содержащихся в статьях задач.

Первая статья — «тройная торговая». Для нее типична такая задача: «5 аршин стоят 2 рубля 2 гривны, сколько стоят 15 аршин?». Третья статья — «тройная торговая в товарных овощах и с вывескою». Типичная задача: «Куплено для пороха 22 бочки селитры весом с тарой 702 пуда, а платили за селитру с тарой 1404 рубля, а за пуд селитры по 2руб. 16коп., при этом от 108 пудов снижали 8 пудов. Найти стоимость пуда селитры без тары, вес селитры и сколько уплачено за селитру».

В одиннадцатой статье «Торговой складной со времени» объединены задачи делового характера. В последней, тринадцатой статье «О соединении вещей» Магницкий впервые в отечественной учебной литературе вводит задачи на смешение. Прикладные геометрические задачи - еще один тип задач в сочинении Магницкого.

Часть задач в книге разбиралась ясно и подробно, другие решались чисто формально.

           Отметим еще одну методическую особенность задач «Арифметики» Магницкого — наличие задач занимательного характера. Так, он дает примеры умножения «с некоим удивлением», в которых произведения состоят из одних единиц, двоек и т.д. (777 х 143; 777 х 286 .. .).

Четвертая часть «Арифметики политики» заканчивается специальной статьей «О утешных неких действах через арифметику употребляемых», которая содержит шесть занимательных задач (в основном они взяты из русских арифметических рукописей XVIIв.).

Основной тенденцией развития учебной литературы постепенно стало стремление перейти к современным по содержанию, систематически изложенным курсам математики, в которых приоритетное значение отдавалось логической составляющей, и строгой доказательности математических предложений. Наиболее законченную форму эта тенденция приобрела в Германии в учебниках математики, созданных X. Вольфом.

В то же время, выступая против практических курсов математики, когда правила давались без всяких обоснований, заучивались механически, Вольф считал, что главное в обучении — развитие мышления, и выдвигал на первый план логическую тренировку ума, что предполагает усиление доказательности.

Уже к середине XX века сложилась развитая типология задач, включавшая задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу и пр. Методика обучения решению задач была разработана достаточно хорошо, но возникали проблемы с ее реализацией на практике. Критики традиционной методики обучения решению задач в то время отмечали, что учителя, стремясь ускорить процесс обучения, попросту натаскивали учащихся на решения типовых задач, как бы следуя своим давним предшественникам. Они учили школьников выделять задачи данного типа из массы других и разучивали способы их решения.

Методика и школьная практика нуждались в совершенствовании. Это и предполагалось осуществить в ходе реформы школьного математического образования конца 60-х годов. Тогда считалось, что раннее введение уравнений позволит по-новому организовать обучение решению задач, что учащимся будут раскрыты преимущества алгебраического способа решения задачи перед арифметическим, и в дальнейшем предполагалось предоставить право выбора способа решения задач самими учащимися. Это написано в объяснительной записке к программе по математике для 4-5 классов на 1971/72 уч. г.

На практике новые идеи не реализовались потому, что способ решения задачи выбирали не сами ученики, а авторы единственного тогда учебника. Традиционных арифметических способов решения задач больше не изучали. В самом начале 4(теперь 5) класса учащихся ориентировали на решение задач с помощью уравнений. Такое отношение к арифметическим способам решения задач отражало мнение многих методистов и авторов учебников того времени.

Однако роль алгебраического способа решения задач в учебном процессе была явно преувеличена, так как из школьной практики были удалены арифметические способы их решения.

Но практика показывает, что раннее введение этого способа решения задач без достаточной подготовки мышления учащихся не дает большого эффекта. Ведь исторически люди пришли к применению уравнений, обобщая решения задач, в которых приходилось иметь дело с неизвестным числом, называемым словами «куча», «часть» и т.п.

Что же мы имеем теперь? На сегодняшний день типовых задач стало меньше, а опыт мыслительной деятельности школьников - беднее. А дети, как и раньше, все равно выделяют для себя типы задач, чтобы решать их «по образцу».

2.2. Психолого-педагогические основы формирования умений решать задачи

Умение решать задачи образует сложный комплекс, который содержит активно действующие математические знания, опыт в применении знаний и определенную совокупность сформированных свойств мышления, называемую мыслительными умениями, проявляющимися в процессе решения задач.

Последние представляют собой органическое сочетание качеств научного мышления, определенных нравственных качеств личности (увлеченность, настойчивость, волю, уверенность в своих силах и т, д.) с определенными проявлениями математического мышления.

К числу основных мыслительных умений, функционирование которых характерно для процесса решения нестандартных  задач, относятся следующие умения:

1)  Анализировать   данную ситуацию с целью выявления существенного (данные, известные, искомые, неизвестные элементы, свойства и отношения); с целью установить полноту (достаточность,   недостаточность,   избыточность),  непротиворечивость (или противоречивость), независимость (или зависимость) условия задачи или ее элементов.

2)  Соотносить   неизвестные элементы задачи с известными (данные с искомыми); распознавать  известные или данные элементы в различных сочетаниях; сопоставлять    данную   задачу   с   известными    задачами.

3)  Выявлять   скрытые свойства задачной ситуации; реорганизовывать известные элементы (свойства или отношения) для их функционирования в новом качестве, новых сочетаниях; создавать новые комбинации известных понятий и фактов, относящихся к элементам данной задачи, соотнося их с ее условием и целью.

4)  Конструировать простейшие математические модели данной задачной ситуации (а также графические, схематические и т. п. изображения задачи); отождествлять элементы задачи с элементами модели; устанавливать изоморфность модели и данной задачной ситуации в существенных для решения задачи свойствах и отношениях,

5)  Обнаруживать    структуру  данной  задачной  ситуации, задачи и ее элементов; воспроизводить   эту структуру  в  различных  состояниях;    выявлять   детали, полезные с точки зрения общей структуры задачи или ведущей идеи поиска ее решения.

6)  Осуществлять     мысленный    эксперимент,    предвидеть его промежуточные и конечный результаты; индуктивно строить    гипотезы,   высказывать    разумные   догадки; расчленять данную задачу на подзадачи (последовательное решение которых приводит к решению основной), выявлять частные задачи (решение которых ведет к установлению элементов, важных для решения основной).

7)  Ограничивать    индуктивный   поиск   соображениями интуиции, логики и здравого смысла; проверять   выдвигаемые   гипотезы  дедуктивным  путем,   опровергать   контрпримером; скрупулезно, уверенно и грамотно проводить соответствующие выкладки.

8)  Интерпретировать    результаты   работы   над  моделью данной задачной ситуации.

9) Оформлять свои мысли (найденное решение задачи) кратко и четко (символически, текстом, графически и т. д.); наглядно иллюстрировать ведущие идеи.

10)   Критически  оценивать    результаты   решения   задачи с различных  точек  зрения   (правильности,   экономичности,  значимости и т. д.); обобщать  результаты решения  задачи (или специализировать их); исследовать   возможные частные и особые случаи.

11)  Эффективно осуществлять отбор полезной информации, содержащейся в самой задаче и в процессе ее решения или результатах; систематизировать эту   информацию,   соотнося ее с имеющимися знаниями и опытом.

Умение решать задачи формируется в процессе обучения математике, если методика обучения направлена на всестороннее развитие у учащихся соответствующих мыслительных умений; если в процессе решения учебных математических задач учащиеся ориентируются на усвоение соответствующих общих приемов решения; если они обучаются им целенаправленно и систематически.

Эффективность формирования тех или иных мыслительных умений существенно зависит от степени нестандартности поставленной задачи (от того типа, по разработанной нами типологии, к которому она принадлежит), а также от того, на каком этапе процесса решения задачи акцентируется внимание при ее постановке и решении учащимися.

  Формирование у учащихся общего умения решать любые задачи - цель обучения математике, которая меньше всего достигается в процессе обучения.

 Ведь действительно, частные способы решения отдельных видов задач на основе изучаемых в школьном курсе алгоритмов, могут быть скоро забыты, и в этом нет ничего страшного, а вот общее умение, общий подход к решению любых задач должен сохраняться у каждого выпускника школы надолго, на всю жизнь. Ибо общий подход к решению любых математических задач есть, по сути дела, модель разумного подхода к решению любых бытовых, практических, научных, технических и иных задач, которые будут повседневно встречаться человеку в его деятельности на протяжении всей его жизни.[46]

 Почему же ученики не научаются решать задачи, не научаются разумному общему подходу к поиску способа решения незнакомой задачи? Все дело в традиционной методике решения задач в школе.

Анализ опыта работы учителей показывает, что в нем в разной пропорции используются несколько методов обучения.

Первый метод состоит в том, что все задачи, которые считается необходимым перерешать с учащимися, разбиваются на многочисленные типы. Число этих типов может быть различным. Так, в прошлом веке в ряде пособий выделялось более 100 типов задач, в настоящее время их, конечно, меньше, но тоже немалое число. Эта типология задач шла как по линии сюжета задач (задачи на покупку и продажу, на движение, на совместную работу и т.д.), так и по линии изучаемых в школьном курсе математики алгоритмов (задачи на приведение алгебраических выражений к нормальному виду, на разложение на множители многочленов с помощью формул сокращенного умножения, решение линейных уравнений и систем уравнений,  вычисление сторон треугольника, площади некоторых многоугольников и т.д.).

Для каждого такого типа задач имеется иторически сложившийся типовой способ решения, который учитель подробно демонстрирует на нескольких примерах. Затем учащиеся решают большое число задач этого типа у доски или самостоятельно в классе и дома.

Все эти задачи образуют класс стандартных задач, для обучения решению которых этот метод можно, конечно, использовать. Надо только сделать одно очень важное замечание.

Дело в том, что все алгоритмы решения задач, изучаемых в школе, даны в учебных пособиях и в изложении учителей в свернутом виде. Между тем, человек может решать задачу по известному алгоритму лишь в развернутом виде алгоритма — в форме пошаговой программы. Учителю, хорошо владеющему математикой, не представляет никакого труда в уме, как бы автоматически развернуть свернутый алгоритм  и  пошаговую  программу. Но ученику, особенно слабому, недостаточно обученному, развернуть свернутый алгоритм в пошаговую программу в уме - трудно.

Свернутые алгоритмы в курсе математики могут быть даны в разных видах: в виде словесного правила, формулы, тождества, теоремы и т.д. Учеников нужно научить каждый такой свернутый алгоритм развернуть в пошаговую программу, сначала явно — с формулировкой каждого шага, а затем, по мере овладения этим действием — неявно, в уме.

Большинство же задач, решаемых в школе являются нестандартными, т.е. такими, для решения которых в самой математике нет алгоритма (правила, формулы), нет готового способа решения: он должен быть найден, сконструирован самим решающим. Если учитель дает учащимся способ решения задачи в готовом виде, то как учащиеся могут научиться самостоятельно искать решение какой-либо нестандартной задачи? Вот почему, наряду с первым способом, который может использоваться в очень ограниченном виде, следует использовать и другие способы обучения.

Второй способ состоит в том, что учащимся предлагается решить разнообразные так называемые развивающие задачи, т.е. нестандартные. При этом некоторые методисты и учителя считают, что "наибольшая польза от этих задач получается тогда, когда они решаются без предварительной подготовки, когда они достаточно разнообразны по содержанию и способам решения". Этот способ аналогичен тому способу обучения плавать, который, как известно, состоит в очень простом правиле: надо бросить человека в воду и он сам постепенно научится плавать. Д. Пойя так и советовал: "Если хотите научиться решать задачи, то решайте их!".

Авторы и последователи такого способа обучения уповают на природные способности учащихся (авось сами учащиеся найдут способ решения и сами овладеют общим подходом, общим умением искать и находить способ решения нестандартных задач). Да, такие учащиеся находятся, а поэтому этот способ пригоден только для школьников с природными математическими способностями, а учащихся с менее развитыми или вовсе неразвитыми способностями ставит в унизительное положение наблюдателей чужих успехов.

Следует, во-первых, иметь в виду, что умение решать задачи, находить способ решения нестандартных задач, несопоставимо сложнее умения плавать. Для последнего умения не нужна особая мыслительная работа, между тем как умение решать задачи, способность к этому — это творческая, сложная способность, и для ее формирования нужны годы обучения (имеется в виду обычное плавание, а не спортивное).

Во-вторых, основная цель состоит не в том, чтобы ученики просто решили предложенные задачи, а выработали у себя способность к анализу задачи и поиску способа решения, выработали общий разумный подход к решению любых задач, развили свою интуицию в проникновении в сущность решаемой задачи, "видели" за этой задачей ту реальную проблемную ситуацию, моделью которой она является, развили свою способность "догадываться", как можно разрешить эту ситуацию, решить данную задачу. Всего этого достигнуть путем решения многих задач методом "проб и ошибок", конечно, невозможно.[46]

Третий метод обучения начал широко применяться не так давно, главным образом под воздействием книг Д. Пойя. Состоит он в том, что учащимся даются общие эвристические правила решения задач подобные тем, которые приведены в виде общей схемы решения в конце книги Д. Пойя "Как решать задачу". Применение этого метода в сочетании с первыми двумя явилось большим шагом вперед в разработке методики обучения решению нестандартных задач.

Однако и этот метод не дал ощутимых результатов, так как эвристические схемы, которые в разных вариантах давались учащимся, настолько общие и абстрактные, что их использование приносило пользу лишь наиболее способным ученикам, а остальные ученики просто не научились их применять. Ведь математические задачи очень разнообразные и указания типа "понять предложенную задачу", "сформулировать отношение (или отношения) между неизвестными и данными"  мало помогают в поиске способа их решения.

Но сама по себе идея широкого использования эвристических схем, несомненно, разумная, и чтобы эту идею эффективно использовать, надо проанализировать более глубоко причины основных затруднений учащихся в решении нестандартных задач.

Итак, для того чтобы научить учащихся самостоятельно решать нестандартные задачи, выработать у учащихся общий подход к решению любых задач, сформировать способность разумного поиска способа решения задач незнакомого вида нужно:

  1.   Дать учащимся элементарные знания теории задач. Эти знания не следует выделять в особую тему, а можно давать попутно с решением задач в течение всех лет обучения, возвращаясь к одному и тому же понятию неоднократно. Например, первое понятие о задаче и ее структуре следует дать учащимся еще в начальной школе, но затем в средних и старших
    классах это понятие необходимо уточнять и углублять многократно.
  2.   Выработать у учащихся прочные умения и навыки в выполнении от
    дельных элементарных действий, входящих в процесс решения сложных задач: умение производить анализ задачи, построение различных ее моделей, осуществлять планомерный поиск способа решения, производить проверку решения, исследование задачи и ее решения и учебно-познавательный анализ задачи и найденного решения. Это достигается с помощью выполнения учениками особой системы упражнений.

3) Познакомить учащихся с основными эвристическими методами решения школьных математических задач и выработать у них прочное умение использовать эти методы для решения разнообразных задач.

Как показывают результаты многолетних и достаточно многочисленных апробаций такой методики обучения решению задач, она является довольно эффективной.

2.3. Роль и функции задач в обучении математике

2.3.1. О роли задач в обучении математике

В обучении математике задачам всегда отводилась достаточно большая, если не решающая, роль.

Сейчас всё большее распространение получает прогрессивный метод обучения через задачи как реализация системы проблемного обучения. Основные идеи этого метода находят в какой–то мере отражение в новых учебниках. Задачи становятся не только и не столько целью, сколько средством обучения.

Исторически сложилось, что на ранних этапах развития математики решение задач было целью обучения. Ученик должен был заучить образцы и затем подводить под эти образцы решения задач. В основном решались типовые, стандартные задачи, принадлежащие классам алгоритмически разрешимых задач, т.е. таких, для которых существует общий метод (алгоритм) решения.

Многообразные ситуации, возникающие на математическом и нематематическом материале, приводят как к стандартным, так и нестандартным задачам, алгоритм решения которых либо неизвестен, либо не существует.

В последние десятилетия постепенное изменение целей обучения математике приводит к необходимости учить детей решению не только стандартных, но и нестандартных задач, которые нельзя отнести к классу алгоритмически разрешимых. Именно по отношению к нестандартной задаче возникает необходимость в вариативном поиске решения.

Задача предполагает необходимость сознательного поиска соответствующего средства для достижения ясно видимой, но непосредственно не доступной цели. Решение задач означает нахождение этого средства.

Определённые группы задач, предназначенных для классных и внеклассных занятий, вполне пригодны для выработки "надлежащих навыков мысли", навыков, направленных на поиски решения задач.

В книге [31] М. И. Махмутов рассказывает об исследовании, проведённом группой учёных, математиков и психологов с целью выявления закономерностей активизации познавательной деятельности учащихся. Вот что он пишет в книге:

"Теоретическое осмысление работ лучших учителей помогло обнаружить в учебном процессе общую закономерность активизации познавательной деятельности учащихся: напряжение интеллектуальных сил ученика вызывается главным образом постановкой проблемных вопросов, проблемных познавательных задач и учебных заданий исследовательского характера. Это напряжение рождается в столкновении с трудностью в понимании и осмыслении нового факта или понятия и характеризуется наличием проблемной ситуации, высокого интереса учащегося к теме, его эмоционального настроя и волевого усилия".

Роль задач в обучении математике невозможно переоценить. Через задачу естественно ввести проблемную ситуацию. Разрешив систему специально подобранных задач, ученик знакомится с существенными элементами новых алгоритмов, овладевает новыми техническими элементами.

Итак, как видно из приведённого выше обзора мнений различных специалистов в области образования и обучения математике, задача является основным звеном внутри процесса обучения, а тем более такого, как проблемное и развивающее.

Математические  задачи являются очень эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики. Велика роль задач в развитии мышления и в математическом воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в практических применениях математики. Решение задач хорошо служит достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением математике. Правильная методика обучения решению математических задач играет существенную роль в формировании высокого уровня математических знаний, умений и навыков учащихся.

2.3.2. Функции математических задач

При обучении математике задачи имеют большое и многостороннее значение.

Образовательная функция математических задач. Решая математическую задачу, человек познает много нового: знакомится с новой ситуацией, описанной в задаче, с применением математической теории к ее решению, познает новый метод решения или новые теоретические разделы математики, необходимые для решения задачи, и т. д. Иными словами, при решении математических задач человек приобретает математические знания, повышает свое математическое образование. При овладении методом решения некоторого класса задач у человека формируется умение решать такие задачи, а при достаточной тренировке - и навык, что тоже повышает уровень математического образования.

Практическая функция математических задач. При решении математических задач ученик обучается применять математические знания к практическим нуждам, готовится к практической деятельности в будущем, к решению задач, выдвигаемых практикой, повседневной жизнью. Почти во всех конструкторских расчетах приходится решать математические задачи, исходя из запросов практики. Исследование и описание процессов и их свойств невозможно без привлечения математического аппарата, т. е. без решения математических задач. Математические задачи решаются в физике, химии, биологии, сопротивлении материалов, электро- и радиотехнике, особенно в их теоретических основах, и др.

Это означает, что при обучении математике учащимся следует предлагать задачи, связанные со смежными дисциплинами (физикой, химией, географией и др.), а также задачи с техническим и практическим, жизненным содержанием.

Значение математических задач в развитии мышления. Решение математических задач приучает выделять посылки и заключения, данные и искомые, находить общее, и особенно в данных, сопоставлять и противопоставлять факты. При решении математических задач воспитывается правильное мышление,  учащиеся приучаются к полноценной аргументации. Решение задачи должно быть полностью аргументированным, т. е. не допускаются незаконные обобщения, необоснованные аналогии, предъявляется требование полноты дизъюнкции (рассмотрение всех случаев данной в задаче ситуации), соблюдаются полнота и выдержанность классификации. При решении математических задач у учащихся формируется особый стиль мышления: соблюдение формальнологической схемы рассуждений, лаконичное выражение мыслей, четкая расчлененность хода мышления, точность символики.

Воспитательная функция математических задач. Прежде всего, задача воспитывает своей фабулой, текстовым содержанием. Поэтому фабула многих математических задач существенно изменяется в различные периоды развития общества. Так, в русских дореволюционных задачниках и в задачах, которые решают современные школьники капиталистических стран, сюжетное содержание многих математических задач связано с вопросами получения выгоды при купле и перепродаже товара, расчетов выигрышапроигрыша в азартной игре и т. п. Совсем иное сюжетное содержание у задач, помещенных в современных советских учебниках, учебниках по математике социалистических стран: в них сюжет направлен на воспитание у у учащихся высоких моральных качеств, научного мировоззрения, интернационализма, коллективизма, гордости за свою социалистическую Родину, на ознакомление с достижениями народного хозяйства.

Воспитывает не только фабула задачи, воспитывает весь процесс обучения решению математических задач. Правильно поставленное обучение решению математических задач воспитывает у учеников честность и правдивость, настойчивость в преодолении трудностей, уважение к труду своих товарищей. С введением в школу элементов математического анализа выявились более широкие возможности воспитания у учеников в процессе решения задач диалектико-материалистического мировоззрения.

2.3.3.  Как учит решать задачи современная школа?

Однако использование задач в процессе обучения математике и в настоящее время ещё далеко от совершенства.

Как пишет А.Эсаулов [55] в психологии и педагогике обращается внимание  на то, как решаются уже кем–то найденные и вполне чётко сформулированные задачи, а не на то, как они обнаруживаются и ставятся. В результате получается, что человек, привыкший видеть перед собой чётко и корректно сформулированную задачу, просто теряется в незнакомой ситуации, будь то хоть обычная некорректная математическая задача или некая задача, возникшая как следствие из практики (прикладная).

В современном математическом образовании отмечается следующий актуальный аспект: изучение математики на всех этапах должно иметь развивающий характер и прикладную направленность. Ученикам  необходимо давать не просто конкретную сумму знаний, но и прививать им навыки творчества, приобщать к исследованию, открытию новых истин, проверке гипотез, ведь интерес к учебной деятельности является основным психологическим условием успешности изучения математики школьниками. А развить мышление на уроках математики, заинтересовать учеников математикой возможно только при условии использования на уроках задач нестандартных, задач, требующих известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности и изобретательности.

Школьные уроки математики по–прежнему нацелены на прохождение программы, а не на развитие мышления у детей. При обучении математике на решение задач отводиться бoльшая часть учебного времени. Но учащиеся не имеют систематических знаний о задачах и сущности их решения, главное внимание учащихся направлено на то, чтобы найти решение задачи и притом как можно быстрей. На заключительный анализ, на установление того, какие выводы можно сделать из выполненного решения, – на всё это уже не остаётся ни сил, ни времени, ни желания, а ведь это едва ли не главные аспекты решения задач. Получается, что учебное время, отводимое на решение задач в школе, используется неэффективно, а это отрицательно сказывается на качестве обучения математике в целом. Это происходит потому, что учитель видит свою задачу в том, чтобы школьники с его помощью усвоили ещё одну порцию материала. Хотя главная его задача –  содействовать развитию познавательных возможностей у учащихся.

На самом деле учащиеся испытывают затруднения  при решении задач в силу того, что математические задачи, содержащиеся в основных разделах школьных учебников, как правило, ограничены одной темой. Их решение требует от учащихся знаний, умений и навыков по какому-нибудь одному вопросу программного материала и не предусматривает широких связей между различными разделами школьного курса математики. Функция таких задач - иллюстрация изучаемого теоретического материала,  разъяснение его смысла. Поэтому учащимся нетрудно найти метод решения данной задачи. Этот метод иногда подсказывается названием раздела учебника или задачника, темой, изучаемой на уроке, указаниями учителя и т. д. Самостоятельный поиск метода решения учеником здесь минимален. Сам процесс решения задачи становится, таким образом, рутинным и оставляет школьнику мало возможностей для творчества. Даже задачи повышенной трудности из  специальных сборников, предназначенных для внеклассной работы, в основном, имеют целью закрепление умений и навыков учащихся в решении стандартных задач, задач определенного типа.  

Со временем такая специфика задач вырабатывает у ученика некоторый неправильный стереотип мышления, относящийся к решению задач. Ученик просто ищет стандартную ситуацию, к которой можно было бы применить известные формулы и теоремы, и теряется, когда предложенная задача требует даже несложного нестандартного подхода, например: задачи из сборника дидактических материалов.

По мнению Л.Фридмана, одной из основных в обучении математике функций задач является функция формирования и развития у учащихся общих умений решений любых математических, в том числе и прикладных,  задач.

Учащиеся же в настоящее время не получают никаких специальных знаний, на базе которых возможно такое формирование. Более того, в настоящее время эти общие умения формируются чисто стихийно, а не в результате целенаправленного, систематического обучения. Считается, что эти умения могут возникнуть лишь благодаря решению большого числа математических задач. [45]

Большинство учащихся, встретившись с задачей незнакомого или малознакомого вида, не знают, как к ней подступиться, с чего начать решение, и при этом обычно произносят печально известные слова: "А мы такие не решали".

Каковы же причины этого явления?

Метельский Н.В. видит основную причину в неудовлетворительной постановке задач в обучении математике. Он пишет: "Проблема постановки задач в процессе обучения математике до сих пор не нашла удовлетворительного решения ни с точки зрения содержания учебных задач, ни с точки зрения их целевого назначения, ни с точки зрения числа обязательных или необязательных задач или представления их в виде целостной системы".

В школе невозможно, да и не нужно, рассматривать все виды математических задач. Сколько бы задач ни решали в школе, всё равно учащиеся в своем будущем встретятся с новыми видами задач. Поэтому школа должна вооружать учащихся общим подходом к решению любых задач.

Осуществляя обучение школьников решению задач, с помощью специально подобранных упражнений, нестандартных задач, можно учить их наблюдать, пользоваться аналогией, индукцией, сравнениями, и делать соответствующие выводы, логически рассуждать. Необходимо прививать учащимся прочные навыки логического и творческого мышления,  формировать у них познавательный интерес и самостоятельность. Эффективное развитие математических способностей у учащихся невозможно без использования в учебном процессе задач на сообразительность, задач-шуток, математических ребусов, софизмов, логических задач.

Умение последовательно, логически рассуждать в незнакомой обстановке приобретается с трудом. На математических олимпиадах самые неожиданные трудности возникают именно при решении задач, в которых не предполагается никаких предварительных знаний из школьного курса, но требуется правильно уловить смысл вопроса и рассуждать последовательно. [23]

Итак, как показывает вышеизложенный анализ литературы, наборы задач имеющихся школьных учебников пока ещё не удовлетворяют требованиям, предъявляемым к результативности математического образования. Чаще всего, эти задачи относятся к алгоритмически разрешимым, не развивают у учеников вариативного мышления, не учат множеству навыков, столь необходимых для решения задач, как школьных, так и бытовых, производственных и т. д.

Рассмотрим задачи, представленные в школьных учебниках математики.

Все задачи, содержащиеся в них, внутри одной темы классифицированы по степени сложности и расположены, как правило, в порядке её возрастания.

Среди предлагаемых учащимся задач представлены задачи разных классификаций: по их назначению – тренировочные и развивающие, по наличию алгоритма решения – стандартные и нестандартные, по характеру требования – доказательные, вычислительные и конструктивные. Есть и другие классификации, находящие то или иное отражение в школьных учебниках.

2.4. Логическая задача. Способы решения логической задачи.

2.4.1. Понятие «логическая задача».

Педагогическая практика показывает, что у основной массы учащихся здравый смысл опережает математическую подготовку. Это обусловливает высокий интерес школьников к решению логических задач. От обычных задач они отличаются тем, что не требуют вычислений; в них мы не находим ни чисел, ни геометрических фигур; чаще всего в таких задачах создается ситуация, выход из которой может быть найден, если мы тщательно изучим ситуацию и сделаем ряд выводов, иначе говоря логическим методом, с помощью логических рассуждений. Можно сказать, что логическая задача — это особая информация, которую не только нужно обработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать. Но в учебниках, сборниках задач и в других учебных пособиях не дается точного определения логической задачи. В работе мы будем называть логическими следующие задачи: на упорядочивание множества; на нахождение соответствия между элементами различных множеств; задачи с ложными высказываниями; задачи на переправы и взвешивание, турнирные задачи.

Необходимо отметить, что решение и составление логических задач способствуют развитию мышления гораздо в большей степени, чем решение тривиальных задач, которые в основном развивают память учащихся. В результате различных попыток составления и решения логических задач мы остановились на следующем алгоритме. Его суть такова:

1.  Определение содержания текста (выбор объектов или субъектов).

2.   Составление   полной   информации   о происшедшем событии.

3.  Формирование задачи с помощью исключения части информации или ее искажения.

4.  Произвольное формулирование задачи. В случае необходимости (недостаток информации, искажение ее и т. д.) вводится дополнительное логическое условие.

5.  Проверка возможности решения с помощью рассуждений. Получение единственного непротиворечивого ответа означает, что условие   составлено   верно.   Если   нет,   то необходимо обратиться к дополнительному п. 6.

6.   В   составленном   условии   не   хватает информации, либо имеющаяся информация противоречиво   искажена.   Изменяем или дополняем условие задачи, после чего необходимо обратиться к п. 5.

Приведем пример составления задачи с использованием алгоритма.

  1.   Объекты:  газеты  «Лопух»,   «Фикус» «Крапива».

2.   Исходная   информация:   через   месяц прекращается выпуск газеты «Крапива».

3. Для составления задачи искажаем и формацию. Делаем ее логически противоречивой.

В газетах появились противоречивые сообщения:

«Лопух»: закрывается газета «Фикус».

«Фикус»: закрывается газета «Крапива».

«Крапива»: закрывается газета «Лопух».

4.  Записываем условие задачи: «Газеты   «Лопух»,   «Фикус»   и   «Крапива»

вышли с экстренными сообщениями:

«Лопух»: закрывается газета «Фикус».  

«Фикус»: закрывается газета «Крапива».

«Крапива»: закрывается газета «Лопух».

Какая газета не будет выпускаться, если закрывается только одна из них и известно,

что   одна   газета   сообщила   правду,   а   две солгали?»

5. Рассмотрев три варианта, нетрудно установить, что решение найти невозможно. Переходим  к  следующему действию  алгоритма.

6. Уточняем информацию. Во-первых, допускаем, что лгут все газеты, и, во-вторых, дополнительно изменяем сообщение газеты «Фикус»: «„Крапива" не закрывается».

Вернемся к п. 5.

5.  Рассмотрим три варианта.

а) Закрывается «Лопух». Составим таблицу:

«Лопух»

«Фикус»

«Крапива»

0

1

1

Не удовлетворяет условию задачи.

б) Закрывается «Фикус». Составим таблицу:

«Лопух»

«Фикус»

«Крапива»

1

1

0

Не удовлетворяет условию задачи.

в) Закрывается «Крапива». Составим таблицу:

«Лопух»

«Фикус»

«Крапива»

0

0

0

Это решение задачи.

Многолетний опыт использования алгоритма подобного рода показывает, что составление логических задач расширяет воспитательные возможности учителя, так как существенно сближает математику с гуманитарными предметами. Ребенок включается в составление задач, опираясь на свое воображение и личный жизненный опыт. Дети часто наполняют задачи психологическим подтекстом и пережитыми жизненными ситуациями. Некоторые задачи могут стать поводом для бесед.

Применять приведенный алгоритм можно, начиная со IIIII классов. Но особенно продуктивно его использование с учениками VIVIII классов, так как в этом возрасте у них пробуждается интерес к познавательной деятельности.

При решении логических задач можно использовать различные методы. В соответствии с использованным методом решения выделим следующие типы логических задач:

1) Задачи, решаемые методом «здравых рассуждений»;

2) Задачи, решаемые с помощью таблиц;

3) Задачи, решаемые с помощью алгебры высказываний;

4) Задачи, решаемые построением графов.

Заметим, что эта классификация весьма условна, потому что многие задачи могут решаться несколькими способами одновременно, как правило, это задачи, которые можно решить с помощью таблицы и с помощью графов.

2.4. 2. Типология логических задач

2.4. 2.1.  Задачи, решаемые методом «здравых рассуждений»

Многие логические задачи решаются методом «здравых рассуждений». Процесс решения представляет собой анализирование рассуждающим  всевозможных ситуаций, выбор подходящих и отбрасывание ненужных. В результате решения мы находим выход из создавшегося, затруднительного положения.

Метод «Здравых рассуждений» применим при решении задач на переправу (задача о волке, козе и капусте), на взвешивание и т. д. Рассмотрим примеры таких задач.

Пример. Задача о переправе козы, волка и капусты.

Через реку надо перевезти козу, волка и капусту. На лодке, кроме перевозчика, может поместиться только один из трех. Каким образом их можно перевезти, чтобы коза не съела капусту, а волк – козу.

Решение. Рассмотрим различные варианты переправы.

Если сначала перевезти волка, то коза съест капусту. А если капусту, то волк съест козу. Следовательно, вначале надо перевезти козу. Затем перевезем волка, но если оставим его там, то он съест козу. Значит, надо перевезти козу обратно и привезти капусту. И уже после козу.

Можно поступить иначе: не волка, а капусту. Но коза ее съест. Значит, козу обратно. Теперь волка и снова козу.

Ответ: сначала козу, затем волка (капусту). Потом вернем козу, перевезем капусту (волка). Затем козу.

Не одним способом можно решать и задачи на взвешивание, в частности задачи с весами.

Пример. Из восьми колец одно легче других. Каково число взвешиваний на чашечных весах для определения более легкого кольца?

Решение: 

Способ 1. Разобьем восемь колец по четыре. Взвесим ту группу колец, которая легче, разобьем ее по два кольца. Взвесим повторно. Кольца из более легкой пары подвергнем сравнительному взвешиванию. Таким образом, потребовались три взвешивания для выявления легкого кольца.

Способ 2. Разобьем восемь колец на три группы: 3, 3 и 2.

Первое взвешивание: если группы по три кольца весят одинаково, то легкое находится среди оставшихся двух колец.

Второе взвешивание: взвесим оставшиеся два кольца и найдем легкое кольцо.

Если группы по три кольца весят по-разному, то легкое содержится среди той группы, которая весит меньше. Из этой группы возьмем два кольца и взвесим, если они весят одинаково, то третье-легкое. Если же весят по-разному, то легкое кольцо найдено.

Ответ: способ 1 — три, способ 2 - два взвешивания.

2.4.2.2.   Задачи, решаемые с помощью таблиц

Часто при решении логических задач используют таблицы, в связи с тем, что задачи могут содержать много условий, которые все сразу трудно удержать в голове. Поэтому ученики должны составить таблицу. Она составляется при внимательном прочтении и анализе условии задачи, после чего вся содержащаяся информация в задаче отображается в таблице. Такая обработка условия данных задачи значительно облегчает ее решение, а иногда является единственным способом решения.

С помощью таблиц можно решать различные типы задач, например: задачи на соответствие между элементами различных множеств, задачи на упорядочение множеств, задачи с ложными высказываниями, турнирные задачи  и т. д.

1)  Задачи     на     установление     соответствия     между     элементами  различных множеств

Данный тип логических задач связан с рассмотрением нескольких конечных множеств, как правило, между элементами которых имеются некоторые зависимости.

Самым простым является случай, когда даны два множества с одинаковым числом элементов и требуется установить взаимно однозначное соответствие между ними. В более сложных случаях рассматривается большее число множеств, число элементов у которых одинаково и требуется установить взаимно однозначное соответствие между элементами каждой пары множеств. И, наконец, рассматривается несколько конечных множеств, между элементами которых имеются зависимости, но нет взаимно однозначного соответствия.

При решении перечисленных классов задач используются различного рода таблицы. В случае двух множеств с одинаковым числом элементов удобно пользоваться квадратной таблицей, состоящей из n X n клеток (n-число элементов в множестве). Данные задачи вносятся в соответствующие клетки таблицы, например: положительный результат знаком «+», а отрицательный - знаком «-». После использования всех условий задачи клетки, которые остались пустыми, заполняются знаком «+» или «-» путем логических рассуждений.

Если множеств более двух, то приходиться рассматривать несколько квадратных таблиц или одну прямоугольную таблицу.

1. Пример двух множеств:

Задача 1. Аня, Женя, Нина спросили, какие оценки им поставили за контрольную работу по математике. Учитель ответил: «Плохих оценок нет. У вас троих оценки разные. У Ани не «3». У Нины не «3» и не «5». Кто какую оценку получил?

Решение: В задаче можно выделить два множества: множество оценок и множество имен. Каждое множество состоит из трех элементов. Это «3», «4», «5» с одной стороны и Аня, Женя, Нина с другой. Составим таблицу исходных данных. Согласно тому, что у Ани не «3»,  значит в пересечение столбца «Аня» и строки «3» ставим знак «-».

Согласно тому, что У Нины не «3» и не «5», значит, поставим в пересечении столбца «Нина» и строк «3» и «5» знак «-».

 

Оценка

Аня

Женя

Нина

3

-

-

4

5

-

Из таблицы видно, что у Нины «4», значит, ставим в соответствующей ячейке знак «+». А также ставим знак «-» в пересечении строки «4» и столбцов «Аня» и «Женя».

Таким образом, у Ани не «3», но и не «4», значит у Ани «5», ставим соответствующие знаки в соответствующие ячейки.

Тогда, очевидно, у Жени «3» (не «4» и не «5»).

 

Оценка

Аня

Женя

Нина

3

-

+

-

4

-

-

+

5

+

-

-

О т в е т: у Ани «5», у Жени «3», у Нины «4».

3адача 2. Коля, Боря, Вова, Юра заняли первые четыре места в соревнованиях. На вопрос, какие места они заняли, трое ответили: Коля - не 1-е, не 4-е; Боря - 2-е; Вова - не 4-е. Какие места заняли мальчики?

Решение: Как и в предыдущей задаче, имеем два множества, каждое из которых состоит из трех элементов. Составим таблицу исходных данных.

Место

Коля

Боря

Вова

Юра

1-ое

-

2-ое

+

3-ое

4-ое

-

-

Между множеством имен мальчиков и множеством завоеванных мест должно быть взаимно однозначное соответствие.

У Бори 2-е место, значит, поставим в пересечении строки «2-е» и  столбцов «Коля», «Вова», «Юра» знак «-».

У Коли ни 1-е, ни 4-е, но и ни 2-е (оно у Бори), следовательно, у него 3-е место, значит,  в пересечении столбца «Коля» и строки «3-е»  знак «+». Поставим соответствующие знаки.

У Вовы ни 4-е, ни 3-е, ни 2-е, значит, - 1-е место. Поставим знаки.

Следовательно, у Юры 4-е место.

Место

Коля

Боря

Вова

Юра

1-ое

-

-

+

-

2-ое

-

+

-

-

3-ое

+

-

-

-

4-ое

-

-

-

+

Ответ: У Коли 3-е, у Бори 2-е, У Вовы 1-е, у Юры 4-е.

2. Пример трех множеств:

Задача: Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего — регби.

Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра — единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги.

Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен.

Определите, кто, чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия.

Решение: Выделяем в задаче три множества (имя — профессия — увлечение). Каждое множество состоит из трех элементов.  Множество имен содержит - Влад, Тимур и Юра. Множество профессий - врач, физик и юрист. А множество увлечений - туризм, бег и регби.

Из слов Юры ясно, что он не врач и он не увлекается туризмом. Из слов врача следует, что он турист.

Имя

Юра

Профессия

врач

Увлечение

туризм

Буква "а", присутствующая в слове "врач", указывает на то, что Влад тоже не врач, следовательно, врач - это Тимур. В его имени есть буквы "т" и "р", встречающиеся в слове "туризм", значит, второй из друзей, в названиях профессии и увлечения которого не встречается ни одна буква его имени — Юра. Юра не юрист и не регбист, потому что в его имени содержатся буквы "ю" и "р". Следовательно, окончательно имеем:

Имя

Юра

Тимур

Влад

Профессия

физик

врач

юрист

Увлечение

бег

туризм

регби

Ответ. Влад — юрист и регбист, Тимур — врач и турист, Юра — физик и бегун.

Частным случаем задач на нахождение соответствия межу элементами различных множеств являются задачи на упорядочение множеств. В задачах такого рода надо установить соответствие между элементами данного множества и элементами N. Такие задачи можно решать с помощью таблицы.

Пример: В семье четверо детей. Им 5, 8, 13, 15 лет. Детей зовут Катя, Ваня, Ира и Галя. Сколько лет каждому, если одна девочка ходит в детский сад, Катя старше Вани, и сумма лет Кати и Иры делится на три?

Решение:

      Возраст

Катя

Ваня

Ира

Галя

5

  -

  -

 +

 -

8

  -

  +

 -

 -

13

 +

  -

 -

 -

15

 -

  -

 -

 +

Если одна девочка ходит в детский сад, то есть ей пять лет, то Ване не пять лет. Ставим знак минус в соответствующей графе. Так как Катя старше Вани, то Ване не 15 лет, ставим знак минус в соответствующей графе.

Сумма лет Кати и Иры делится на три - это возможно в двух случаях: когда одной девочке 8 лет, а другой - 13 лет, или когда одной - 5 лет, а другой - 13 лет. Значит Ване не 13 лет, а 8. Заполним соответствующие графы.

Сумма лет Кати и Иры делится на три и это возможно в случае, когда одной девочке 5 лет, а другой 13. Но по условию задачи Катя старше Вани, поэтому, Кате 13 лет, а Ире - 5. Тогда Гале 15 лет. Заполним оставшиеся ячейки.

Эту задачу можно решить и с помощью прямой.

Младше  И В К Г Старше

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯'¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯'¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯'¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯'¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

Правее расположим точки, соответствующие детям более старшим по возрасту.

Отметим на прямой точку В. Девочка ходит в детский сад, поэтому ставим точку левее В. Так как Катя старше Вани, то точку К поставим правее точки В.

Так как Катя старше Вани, то ему не 15 лет, значит, ставим точку правее В. Определим нахождение этой точки. Она может находиться между В и К или правее К.

Сумма лет Кати и Иры делится на три и это возможно в случае, когда одной девочке 5 лет, а другой 13. Но согласно условию задачи Катя старше Вани, поэтому, Кате 13 лет,  Ире - 5.  Значит Гале 15 лет. Отметим на прямой, что левее В стоит точка И; точка К находиться сразу после В; крайняя права точка -  это Г.

Ответ: Кате 13 лет,  Ире  5 лет, Гале 15 лет, Ване 8 лет

2) Задачи с ложными высказываниями

Пример: Задача «Дело Брауна, Джонса и Смита». Один из них совершил преступление. В процессе расследования каждый из них сделал по два заявления:

Браун: 1.Я не преступник. 2.Джонс - тоже.

Джонс: 1. Браун не преступник. 2. Преступник - Смит.

Смит: 1. Преступник - Браун. 2. Я не преступник.

В процессе следствия было установлено, что один из них дважды солгал, другой дважды сказал правду, а третий - один раз солгал и один раз - сказал правду. Кто совершил преступление?

Решение: Предположим, что оба высказывания Брауна верны, тогда Джонс не преступник и сам Браун - тоже, отображаем  это в таблице, в соответствующих  ячейках. Тогда возможно, что Джонс один раз солгал и один раз - сказал правду, значит, Смит оба раза солгал. Из слов Джонса получаем: Браун-преступник и Смит-преступник, а по свидетельству Смита: Браун не является преступником – преступником является он сам. Отобразим полученные данные в соответствующих ячейках таблицы.

Версия

Брауна

Версия

Джонса

Версия

Смита

Преступник

Браун

-

+

-

Преступник

Джонс

-

Преступник

Смит

+

+

Итак, мы пришли к тому, что двое из них совершили преступление одновременно, чего не может быть. Рассмотрим другой вариант.

Допустим теперь, что Джонс ни разу не солгал, то есть Браун не преступник, а  преступник – Смит; Смит солгал оба раза, то есть Браун не преступник, преступником является Смит; тогда Браун солгал и сказал правду, то есть преступником является он сам, а Джонс - нет. Отметим результат в таблице.

 

Версия

Брауна

Версия

Джона

Версия

Смита

Преступник

Браун

+

-

-

Преступник

Джон

-

Преступник

Смит

+

+

Получили аналогичный первому варианту результат. Рассмотрим следующий случай.

Пусть в этот раз оба раза солгал Джонс, Браун - солгал и сказал правду, а Смит дважды не соврал. По мнению Джонса получаем: Браун преступник, Смит - нет. Из свидетельства Брауна: Браун преступник, Джонс – нет. Из слов Смита: Браун преступник, а сам он нет. Отметим данные в таблице.

Версия

Брауна

Версия

Джона

Версия

Смита

Преступник

Браун

+

+

+

Преступник

Джон

-

Преступник

Смит

-

-

Итак, пришли к тому, что преступником является Браун.

 Ответ: преступление совершил Браун.

3) Турнирные задачи.

 Турнирные задачи - логические задачи, связанные с выяснением итогов турниров. В таких задачах приводятся неполные данные об итогах спортивных встреч. Путем логических рассуждений требуется получить полные данные о проведенных турнирах.

       Решению турнирной задачи способствует оформление турнирной таблицы по данным, приведенным в условии задачи,  затем по данным, полученным логическим путем.

Естественно, решая задачу ( о шахматном, футбольном или хоккейном турнире), нужно знать основные положения о таких турнирах.

В футбольном (хоккейном) турнире команда - победитель матча получает два очка. Ничейный исход оценивается для каждой команды в одно очко, а поражение оценивается в ноль очков. При распределении мест в футбольном турнире в случае равенства очков у двух команд во внимание принимается разница забитых и пропущенных голов.

Рассмотрим пример задачи о футбольном турнире.

Пример: В первенстве по футболу, который проводился по круговой системе, участвовали четыре команды: «Юниор», «ЦСК», «Динамо», «Спартак». Последняя встреча окончилась неожиданно: «Юниор» проиграл «Динамо», но это не улучшило турнирного положения Динамо», а «Юниору» не помешало стать чемпионом. Каков был исход игры между «Спартаком» и «ЦСК»?

Решение:

Команда

Юниор

ЦСК

Динамо

Спартак

Очки

Место

Юниор

-

2

0

2

4

1

ЦСК

0

-

2

1

3

2-3

Динамо

2

0

-

0

2

4

Спартак

0

1

2

-

3

2-3

 

По условию задачи «Юниор» занял первое место, проиграв последний матч «Динамо». Максимально число очков,  которое могла набрать команда в этом турнире, равно 6.

«Юниор» набрал не более, чем 4 очка. Но и меньше 4 очков он набрать не мог, потому что уже при 3 очках нашлась бы команда с не меньшим числом очков, чем у «Юниора», значит,  команда «Юниор» выиграла у команд «ЦСК» и «Спартак».

По условию задачи «Динамо», выиграв у «Юниора», не улучшил своего турнирного положения. Значит, если бы «Динамо» до последней встречи имел бы не менее 2 очков, то после выигрыша у «Юниора» он оказался бы победителем. Если бы «Динамо» до последней встречи имел бы 1 очко, то после победы над «Юниором» он имел бы 3 очка, это давало ему право на второе место, то есть улучшило бы его турнирное положение. Так как «Динамо» не улучшил своего турнирного положения, то он перед последней встрече имел бы 0 очков. Значит, «Динамо» проиграл и «ЦСК», и «Спартаку». Но турнирное положение «Юниора» и «Динамо» зависело от встречи «Спартака» и «ЦСК». При выигрыше одной из них, например «ЦСК», первое и второе места делили бы «Юниор» и «ЦСК», а третье и четвертое места делили бы «Спартак» и «Динамо». Турнирное положение команды «Динамо» не меняется, если «ЦСК» и «Спартак» сыграли вничью.

2.4.2.3. Задачи, решаемые с помощью высказываний

Решая задачи этим методом, мы используем элементы алгебры высказываний.

Под  высказыванием  понимают  повествовательное предложение, относительно которого  можно  сказать,  истинно  оно  или  ложно. Не всякое предложение является высказыванием, например: восклицательные,  вопросительные  предложения («Который час?»). Не являются высказываниями  и такие предложения, которые являются определениями чего-либо, например: «Квадратом  называется прямоугольник, у которого все стороны равны».

Нас будут интересовать только свойство высказывания: ложь или истина. Сопоставим число 1 – истинное высказывание, 0 –  ложное высказывание.

Пусть имеется некоторая совокупность высказываний, называющихся элементарными (исходными). Исходя из этих высказываний, с помощью так называемых логических операций строят новые (сложные) высказывания.

Перейдем к точному описанию этих операций.

  1.  Отрицательные высказывания.

Отрицательным высказыванием A называется новое высказывание, обозначаемое  Ā (неверно, что A), которое истинно, если A ложно, и ложно, если A – истинно.

Пример: для высказывания А: “5 является делителем числа 30”, построенное указанным способом высказывание Ā: “Число 5 не является делителем числа 30.”

  1.  Конъюнктивные высказывания.

Конъюнкцией высказываний P и Q называется новое высказывание, обозначаемое  P ۸ Q (и),  которое истинно, если истинны оба  высказывания P и Q, и ложно во всех остальных случаях.

Пример: Высказывание «Число 376 четное и трехзначное» - конъюнкция двух высказываний: «Число 376 четное»  и  «Число 376 трехзначное». Так как оба  высказывания – истинны, конъюнкция - истинна.

  1.  Дизъюнкция  высказывания.

Дизъюнкцией высказываний P и Q называется новое высказывание, обозначаемое  P ۷ Q (или), которое истинно в тех случаях, если истинно хотя бы одно из  высказываний P или Q, и ложно, если ложны оба высказывания P и Q.

Пример: Высказывание  «Шесть - число кратное трем или 19>37» - является дизъюнкцией двух высказываний: «6 - число кратное 3» и «19> 37». Дизъюнкция истинна, так как одно из высказываний истинно.

4. Импликация.

Импликацией высказываний P и Q,  называется новое высказывание, обозначаемое P => Q

(« если P, то Q»; из  Р следует Q»), которое ложно лишь в том  случае, если P – истинно, а Q – ложно.

Пример: Высказывание  “Если число n  делится на 4 , то оно делится на 2” –импликация высказываний «число n делится на 4» и «число n делится на 2». Оно истинно, так как истинны оба последовательные высказывания.

5. Эквивалентность.

Эквивалентностью высказываний P и Q,   называется   новое  высказывание,  обозначаемое

P <=> Q, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания P и Q одновременно истинны или одновременно ложны.

Пример: Высказывание «Число 15 делится на 3» эквивалентно высказыванию  «сумма цифр числа 15 делится на 3». Оно истинно, так как оба высказывания истинны.

При решении логических задач с помощью алгебры высказываний мы будем использовать некоторые формулы – тавтологии (тавтологией называется тождественно истинная  формула).

           Основные тавтологии,  используемые при решении логических задач:

 

 

Пример: Один из трех братьев поставил на скатерть кляксу.

Кто испачкал скатерть? - спросила бабушка.

Витя не ставил кляксу, - сказал Алеша. - Это сделал Боря.

Ну, а ты, что скажешь? - спросила бабушка Борю.

Это Витя поставил кляксу, - сказал Боря. - А Алеша не пачкал
скатерть.

Так я и знала, что вы друг на дружку сваливать будете, - рассердилась
бабушка. - Ну, а каков твой ответ? - спросила она Витю.

Не сердись, бабуля! Я знаю, что Боря не мог это сделать. А я сегодня
не готовил уроки, - сказал Витя.

Оказалось, что двое мальчиков в каждом из двух своих заявлений сказали правду, а один оба раза сказал неправду. Кто поставил на скатерть кляксу?

Решение: Пусть буква а обозначает, что Алеша поставил кляксу, тогда ā означает, что Алеша кляксу не ставил. Аналогичный смысл символов e,  ē  и u,  ū.

Запишем теперь высказывания мальчиков формулами. Алеша сказал, что Витя не ставил кляксу и что это сделал Боря. Это высказывание запишется формулой:

A = ē ۸ u.

Аналогично запишем высказывание Бори, а именно:

В = e ۸ ā.

Витя сказал, что Боря не ставил кляксу и что он не готовил уроки. Но последнее совершенно не значит, что Витя не мог поставить кляксу. Поэтому высказывание Вити запишется так:

C = ū ۸ (e ۷ ē) = ū.

(мы формулу С упростили, поскольку высказывание e v ē - тавтология).

По условию задачи, двое мальчиков оба раза сказали правду, а один мальчик оба раза сказал неправду. Поэтому среди записанных нами трех формул А, В, С две истинны (тавтологии), а одна ложна (противоречие). Мы не знаем, какая именно формула ложна. Но мы утверждаем, что если из этих формул образовать попарные дизъюнкции, то поскольку в каждую дизъюнкцию будет входить по крайней мере одна истинная формула, эти дизъюнкции будут истинными. Образуем их, получив новые формулы:

D = A ۷ B = (ē ۸ u) ۷ (e ۸ ā),

H = A ۷ C = (ē ۸ u)  ۷ ū = ē ۷ ū, 

N = B ۷ C = (e ۸ ā)  ۷ ū.

Найдем конъюнкцию формул Д и Н. Она, конечно же, истинна:

D ۸ H = ((ē ۸ u) ۷ (e ۸ ā)) ۸ (ē ۷ ū) = (ē ۸ u) ۷ (e ۸ ā ۸ ū).

Теперь найдем конъюнкцию трех формул Д, Н и N:

D ۸ H ۸ N = ((ē ۸ u) ۷ (e ۸ ā ۸ ū)) ۸ ((e ۸ ā)  ۷ ū) = e ۸ ā ۸ ū. 

Из этой истинной конъюнкции и заключаем, что кляксу поставил Витя.

Задача решена.

В связи со сложностью задач такого типа, их нежелательно давать ученикам на уроках математики в 5 - 6 классах. Для решения задач подобным способом необходимо знакомить детей с основами алгебры высказываний, который не может быть усвоен учениками в полном объеме в силу возрастных и индивидуальных особенностей школьников, а также из-за малого количества учебного времени при условии, что материал будет даваться только на уроках математики. Если ознакомление будет происходить на внеклассных и факультативных занятиях, то все будет зависеть от уровня подготовленности детей.

 2.4. 2.4. Задачи, решаемые построением графов

Задачи, которые можно решить с помощью таблиц, можно решить и с помощью графов (исключением являются турнирные задачи).

При решении логических задач обычно бывает достаточно трудно держать в памяти многочисленные факты, данные в условии, устанавливать связь между ними, высказывать гипотезы, делать частные выводы и пользоваться ими.

На помощь могут прийти графы. Граф - множество точек, изображенных на плоскости (листе бумаги, доске), некоторые пары из которых соединены отрезками. При изображении графы на рисунках или схемах могут быть прямоугольными или криволинейными, расположение точек произвольное. Точки называют вершинами графов, а отрезки - ребрами графов. Выделяя из словесных рассуждений главное - объекты и отношения между ними, графы представляют изучаемые факты в наглядной форме. Примеры решения логических задач с использованием графов подкупают своей естественностью и простотой, избавляют от лишних рассуждений, во многих случаях сокращают нагрузку на память. С одной стороны, графы позволяют проследить все логические возможности изучаемой ситуации, с другой, благодаря своей обозримости, помогают  в ходе решения задачи классифицировать логические возможности, отбрасывать неподходящие случаи, не доводя до полного перебора всех случаев.

Основой применения графов для решения логических задач служит выявление и последовательное исключение логических возможностей, задаваемых условиями задачи. Это выявление и исключение логических возможностей весьма часто может быть истолковано с помощью построения и рассмотрения получающихся графов. Такое применение графов и можно считать характерным для рассматриваемого приема решения логических задач.

Решение многих логических задач с помощью графов вполне доступно уже младшим школьникам. Для этого им достаточно иметь интуитивные представление о графах и самых очевидных их свойствах.

Рассмотрим примеры использования графов при решении некоторых известных задач. При этом объекты будем изображать точками, а отношение между ними - отрезками (положения точек и длины отрезков произвольны).

Выяснение структур логических задач с точки зрения применяемых методов решения дает возможность вычленить некоторые виды таких задач.

1) Построение графов - деревьев

Задача. Три ученицы — Аня, Варя и Клава — на первомайской демонстрации были: одна в красном, другая в белом, третья в синем платье. В высказывании: Аня была в красном платье, Варя не в красном, Клава не в синем — одна часть верна, а две неверны. В каком платье была каждая из учениц?

Решение: Будем исходить из двух возможностей: Аня была в красном платье (Ак) и Аня была не в красном (то есть в белом или синем) и изобразим эти возможности: первую ребром Ак, а вторую двумя ребрами Ас и Аб, исходящими из одной точки. Если Аня была в красном платье, то в синем могла быть или Варя, или Клава. Поэтому к ребру Ак присоединим 2 ребра Вс и Кс. Путь АкВс закончим Кб, а путь АкКс закончим Вб. Но из двух получившихся путей условию задачи ни один не удовлетворяет.

Обратимся ко второй возможности. К ребру Ас присоединим два ребра Вк и Кк, так как в красном платье в этом случае могла быть Варя или Клава. Такие же два ребра присоединим к Аб. Закончить каждый из получившихся путей очень просто: нужно присоединить последовательно ребра Кб, Вб, Кс и Вс. Имеем четыре логические возможности, но условию задачи удовлетворяет лишь путь АсВкКб, а остальные три пути — не удовлетворяют. Значит, Аня была в синем платье, Варя — в красном, а Клава—в белом.

2) Наличие двух множеств

Задача. «Красный, синий, желтый и зеленый карандаши лежат в четырех коробках по одному. Цвет карандаша отличается от цвета коробки. Известно, что зеленый карандаш лежит в синей коробке, а красный не лежит в желтой. В какой коробке лежит каждый карандаш?»

Обозначим точками карандаши и коробки. Сплошная линия будет обозначать, что карандаш лежит в соответствующей коробке, а пунктирная, что не лежит. Тогда с учетом задачи имеем граф G1.

   К К

  С С

  З З

 Ж Ж

           G1

Далее достраиваем граф по следующему правилу: поскольку в каждой коробке может лежать ровно один карандаш, то из каждой точки должны выходить одна сплошная линия и три пунктирные. Получается граф G2, дающий решение задачи.

  К К

  С      С

  З   З

 Ж Ж

           G2

3) Наличие трех множеств

Задача. Три товарища — Иван, Дмитрий и Степан — преподают различные предметы (химию, биологию, физику) в школах Москвы, Ленинграда и Киева. Известно:

1) Иван работает не в Москве, а Дмитрий не в Ленинграде; 

2) Москвич преподает не физику; 

3) Тот, кто работает в Ленинграде, преподает химию; 

4) Дмитрий преподает не биологию.

Какой предмет и в каком городе преподает каждый из товарищей?

Решение: Выделим три множества: множество имен, множество предметов и множество городов. Элемент каждого из множеств на рисунке 1 задан своей точкой (буквы на этом рисунке — первые буквы соответствующих слов). Если две точки из разных множеств характеризуют признаки разных людей, то будем соединять такие точки штриховой линией. Если же две точки из разных множеств соответствуют признакам одного человека, то такие точки будем соединять попарно сплошными линиями. Существенно, что по условию задачи для каждой точки любого множества в каждом из остальных множеств найдется одна и только одна точка, ей соответствующая. Таким образом, граф на рисунке 1 содержит все заданные в условии элементы множеств и отношения между ними. Задача на языке графов сводится к нахождению трех «сплошных» треугольников с вершинами в разных множествах.

Рассмотрим граф на рисунке 1. Напрашивается штриховой отрезок ХД. Действительно, Л соответствует X и, одновременно, Л не соответствует Д, то есть X не может соответствовать Д. Итак, используется типичная для такого рода задач операция на графе: если у треугольника с вершинами в трех разных множествах одна сторона сплошная, вторая — штриховая, то третья должна быть штриховой. Из условия задачи следует правомерность еще одной операции на графе: если какая-то точка соединена штриховыми отрезками с двумя точками во втором множестве, то ее следует соединить с третьей точкой этого множества сплошным отрезком. Так проводится сплошной отрезок ДФ. Далее проводится штриховой отрезок ДМ (в треугольнике ДФМ сторона ДФ сплошная, а ФМ — штриховая), ДК сплошным (ДМ и ДЛ штриховые). Теперь соединим точки Ф и К сплошным отрезком. Если в треугольнике с вершинами в разных множествах две стороны сплошные, то третья тоже будет сплошной. Найден первый «сплошной» треугольник ДФК.

                                              

                                    Рис. 1 Рис. 2

Так, не возвращаясь к тексту задачи, руководствуясь лишь естественными операциями на графе, описанными выше, мы находим решение (рис. 2). Отметим последовательность, в которой проводились отрезки: ХД, ДФ, ДМ, ДК, ФК, МС, ИЛ, ХИ, БМ, БС. Вершины каждого из трех полученных «сплошных» треугольников определяют ответ задачи: Иван преподает химию в Ленинграде, Дмитрий — физику в Киеве и Степан — биологию в Москве.

Использовать графы в процессе обучения можно, даже не читая специальных курсов и факультативов. С одной стороны, графовые задачи, без сомнения, нужно использовать для развития сообразительности учеников на математических кружках, при подготовке к олимпиадам. С другой стороны, использование графов как языка на уроках алгебры, геометрии, поможет решать методические задачи обучения и повысить качество этого обучения.

Глава 3. Методика обучения решению логических задач в 5 - 6 классах

на факультативных занятиях

3.1. Содержание обучения

Одна из основных причин сравнительно плохой успеваемости по математике – слабый интерес многих учащихся к этому предмету. Интерес к предмету зависит, прежде всего, от качества учебной работы на уроке. Но как сформировать и повысить этот интерес? Чтобы привить интерес к математике некоторым ученикам одних уроков недостаточно. Учителю необходимо проводить внеклассные занятия, тщательно продумав систему этих занятий. Тогда возникает другой вопрос: «Какой материал давать детям на внеурочных занятиях?». На наш взгляд, наиболее полезны здесь будут логические задачи, обучение решению различных  логических задач. Во-первых, потому, что логические задачи играют большую роль в формировании логического и творческого мышления; во-вторых, им отведена важная роль в развитии интереса к учебному предмету. И, наконец, само знание основ логики важно для каждого человека, ученика, так как умение правильно мыслить, доказывать истинность или ложность либо своих, либо чужих суждений, утверждений, высказываний, предположений является жизненной необходимостью.

Логические задачи отличаются от большинства математических задач тем, что для их решения часто не требуется запас каких - либо специальных математических знаний, а нужна, как правило, сообразительность. Учитель, который учит школьников решать логические задачи, должен сам уметь решать их, а также владеть необходимыми знаниями и умениями, чтобы учить этому других. Но в настоящее время не существует методических пособий, в которых можно найти рекомендации по методике обучения решению логических задач в 5 - 6 классах. Также в большинстве школьных учебников мало логических задач (см. ниже), и они не предусматривают использования различных методов решения (таблицы, графы и т.д.), поэтому учителям при подготовке к уроку решения логических задач приходится использовать дополнительную методическую литературу.

Логические задачи в 5 - 6 классах можно и нужно давать и на уроке, и на внеклассном занятии. Обычно в 5 – 6 классах (исключение составляют классы с углубленным изучением математики) 5 уроков математики в неделю, но, учитывая необходимость полноценного изучения программного материала, на решение логических задач времени может быть отведено недостаточно. Поэтому целесообразно изучать эти задачи на внеклассных занятиях.

Внеурочные занятия с успехом могут быть использованы для углубления знаний учащихся в области программного материала, развития их логического мышления, исследовательских навыков, смекалки, привития вкуса к чтению математической литературы, для сообщения учащимся полезных сведений из истории математики.

Внеклассные занятия с учащимися приносят большую пользу и самому учителю. Чтобы успешно проводить внеклассную работу, учителю приходится постоянно расширять свои познания по математике. Это благотворно сказывается и на качестве его уроков.

Выделяют два вида внеклассных работы по математике: работа с учащимися, отстающими от других  в изучении программного материала, т.е. дополнительные занятия по математике; работа с учащимися, проявляющими повышенный интерес к изучению математики. Но можно выделить ещё и третий вид работы. Это работа с учащимися по развитию интереса в изучении математики.

Учитывая тематическую направленность нашей работы, мы остановимся на втором и третьем видах, основные цели которых заключаются в развитии и углублении знаний по программному материалу, в привитии ученикам навыков исследовательской работы, в воспитании культуры математического мышления школьников, в развитии представлений о практическом применении математики и т. п. Заметим, что цели третьего вида внеклассной работы отличаются от второго тем, что их главная задача – это развитие интересов математики в соответствии с возможностями определенной группы учащихся.

Кроме того, внеклассная работа призвана способствовать углублению математических знаний, умений и навыков, усвоенных учащимися на уроках, формировать познавательную самостоятельность и приобщать их к творческой деятельности, выявлять учащихся с повышенными математическими способностями.

Существуют различные формы внеклассной работы по математике. К основным формам относятся:

1)    математические кружки;

2) спецкурсы, рассчитанные на учащихся математического и гуманитарного направлений;

3) факультативы, читаемые по отдельным разделам математики (финансовая математика, теория вероятностей, комбинаторика, нестандартные задачи по математике);

4)  работа      научного      общества      учащихся      (элементы      научно-исследовательской работы со школьниками: внеклассное чтение математической литературы, подготовка докладов, выступлений, рефератов на математические темы);

5)    олимпиады;

6) различные эпизодические формы внеклассной работы со школьниками: математические вечера, конкурсы, внеклассное чтение, выпуск регулярной стенной печати и др.

Наиболее распространенной формой внеклассной работы является математический кружок. В его основе лежит принцип добровольности. Содержание кружковых занятий определяет учитель. Считают, что в 5 - 6 классах основным в работе кружка является развитие мышления и формирование первоначального интереса к математике, а этой цели и служит обучение решению логических задач, как было сказано выше.

Обучение решению логических задач должно удовлетворять основным принципам дидактики:

1) принцип «от простого к сложному»;

Следовать в обучении от простого к сложному означает, что изучение учащимися фактов, явлений, понятий и т. п. должно начинаться с наиболее простых, с тем, чтобы подготовить их к пониманию более сложных. Это положение касается как теоретического, так и практического учебного материала.

В содержании обучения задачи подобраны с учетом данного принципа. Например, решая задачи методом построения графов, в начале процесса обучения дети знакомятся с простыми задачами, то есть два множества по три элемента в каждом множестве. С каждой следующей задачей условия усложняются увеличением числа множеств или увеличением числа элементов в каждом множестве.

2) принцип доступности;

Принцип доступности требует, чтобы объем и содержание учебного материала были по силам учащимся, соответствовали уровню их умственного развития и имеющемуся запасу знаний, умений и навыков. Доступность – это не учение без трудностей. Ее суть заключается не в том, чтобы обходить трудности, а в том, чтобы эти трудности не подрывали, а развивали силы ученика и способствовали повышению результатов учебных занятий.

Принцип доступности требует, чтобы обучение строилось на основе учета возрастных возможностей учащихся. Слишком упрощенное содержание обучения снижает его развивающие и воспитательные возможности. Поэтому рекомендуется (по Л. В. Занкову), чтобы содержание заданий для учащихся находилось в "зоне их ближайшего развития".

Поэтому материал подобран таким образом, чтобы ученикам было по силам овладеть различными методами решения логических задач. Исходя из принципа доступности, при решении задач на установление соответствия между элементами различных множеств рассматриваются только те задачи,  условия которых содержат не более трех множеств. По причине того, что теория алгебры высказываний сложна для понимания детей 10 -13 лет, то задачи, которые решаются с ее помощью, необязательно рассматривать в 5-6 классах.

3) принцип наглядности;

Принцип наглядности вытекает из сущности процесса восприятия, осмысления и обобщения учащимися изучаемого материала. Он означает, что в обучении необходимо, следуя логике процесса усвоения знаний, на каждом этапе обучения найти его исходное начало в фактах и наблюдениях единичного или в аксиомах, научных понятиях и теориях, после чего, определить закономерный переход от восприятия единичного, конкретного предмета к общему, абстрактному или, наоборот, от общего, абстрактного к единичному, конкретному. Наглядность обеспечивает связь между конкретным и абстрактным, содействует развитию абстрактного мышления, во многих случаях служит его опорой. Однако излишнее увлечение наглядностью в обучении может привести к нежелательным результатам. Конкретная наглядность (например, рассмотрение моделей геометрических тел) должна постепенно уступать место абстрактной наглядности (рассмотрению плоских чертежей).

Данный принцип применяется при обучении логическим задачам. Об этом свидетельствует широкое использование в процессе решения задач таблиц, графов, блок-схем.

4) принцип научности;

Исходя из принципа научности образовательный материал, составляющий содержание школьного обучения, должен в определенной мере соответствовать уровню современной науки.

Принцип научности требует знания общих методов научного познания, наиболее эффективным из которых является построение математических моделей изучаемых явлений.

Принцип научности требует также формирования у учащихся представлении о процессе познания и его закономерностях.

При обучении логическим задачам материал, с которым знакомит учитель учащихся, никак не расходится с научными знаниями, не противоречит им.

5) принцип прочности знаний;

Прочные знания, умения и навыки необходимы для формирования у учащихся научного мировоззрения, развития их способностей, подготовки к практической деятельности. А опираться на приобретенные знания, умения и навыки можно лишь в том случае, когда они усвоены твердо и длительное время удерживаются в памяти.

Так как решение логических задач является не самоцелью, а средством обучения, то поиск  способов решения, закрепление в памяти тех приемов, которые были использованы, выявление условий возможности применения этих приемов, обобщение задачи — все это дает возможность школьникам учиться на задаче; развивать навыки логического и творческого мышления в процессе решения задач, которые впоследствии будут необходимы ученикам не только в математики, но и в других областях.

И, наконец, решение логических задач на внеклассных занятиях повышает эффективность учебной деятельности, так как усиливает интерес к математике, развивает творческие способности учащихся.

Определим программу обучения решению логических задач на занятиях математического кружка исходя из выше приведенных дидактических принципов.

Название темы

Количество часов

1.   Знакомство с логическими задачами.                                  

2.   Задачи, решаемые методом «здравых рассуждений».      

A) затруднительные положения;                                               

Б) взвешивания;                                                                                

B) другие задачи.                                                                      

3.   Задачи, решаемые с помощью таблиц.                            

A)  задачи на установление соответствия между элементами различных

множеств;                                                                                

Б) задачи с ложными высказываниями;                                                               

B) турнирные задачи.                                    

3.   Задачи, решаемые построением графов.                          

4.   Решение логических задач различными методами.                                                                                     

А) Использование блок – схем;                                                    

Б) Использование других методов моделирования.

Всего: 1 час

Всего: 7 часов

3 часа

2 часа

2 часа

Всего: 10 часов

4 часа

4 часа

2 часа

Всего: 5 часа

Всего: 4 часа

2 часа

2 часа

Всего:

27 часов

3.2. Анализ программы и учебников по математике

Программа по математике для VVI классов ставит задачу обобщения и развития на новом материале полученных в начальной школе математических знаний, умений и навыков учащихся и проведения пропедевтического обучения с целью подготовки учащихся к изучению систематических курсов алгебры и геометрии. Большинство понятий в этом курсе вводится на примерах, задача научиться определять понятия не ставится, хотя ведется подготовка к ней на следующем этапе обучения и для некоторых понятий уже даются определения. Выводы относительно свойств изучаемых объектов (математические суждения) делаются, исходя из наглядного рассмотрения и опытного обоснования фактов, использования и обобщения жизненного опыта учащихся; сохраняется общий индуктивный характер изложения материала. Неполная индукция и аналогия (например, при доказательстве свойств арифметических действий, признаков делимости, геометрических фактов) являются основными видами умозаключений, но постепенно появляются и дедуктивные умозаключения, учащимся дается возможность почувствовать логику рассуждений и отличие дедуктивных доказательств от экспериментальных.

Постоянное обращение к опыту, практике, эксперименту дает возможность показать корни математических понятий в практической деятельности людей и их применение, что подготавливает воспитание элементов диалектико-материалистического мышления; в процессе обучения с развитием анализа, синтеза, обобщения, способности к конкретизации понятий обобщаются как образные, так и отвлеченные компоненты мышления, намечается постепенный переход от преобладания наглядно-образного и практически-действенного к преобладанию отвлеченного, понятийного мышления.

Анализ учебников

В подавляющем большинстве учебников и дидактических пособий для средней школы практически отсутствуют задачи, которые способствовали бы подготовке учеников к деятельности творческого характера (в различных областях) и формированию у них соответствующих интеллектуальных умений (таблица1). С одной стороны, развитие мышления школьников тесно связано с формированием приемов мышления, которые особенно ярко проявляются при обучении математике. С другой стороны, традиционно понимаемая учебная деятельность практически не в состоянии продвинуть нас в решении задачи формирования мышления. Математические знания учащихся слишком часто оказываются формальными и невостребованными, у основной массы учащихся не формируется разумный подход к поиску способа решения незнакомых задач.

Необходимо более активно заниматься разработкой методических пособий и рекомендаций, направленных на развитие навыков в применении общих форм математической деятельности, таких, как:

-  использование известных алгоритмов, формул, процедур;

-  кодирование, преобразование, интерпретация;

-   классификация и систематизация;

-  правдоподобные рассуждения;

-  выдвижение и проверка гипотез, доказательство и опровержение;

-   разработка алгоритмов.

Начнем рассмотрение учебников, начиная с начальных классов. В основном, это "развивающие учебники" такие, как учебник Л.Г. Петерсона и др.

Содержательная несогласованность этих учебников для начальной школы состоит в том, что учебники для начальной школы насыщены нестандартными, занимательными задачами, основанными на дополнительном теоретическом материале. В традиционных учебниках для основной школы содержание, продолжающее эту линию "развивающих задач" недостаточно.

Анализ учебников математики системы развивающего обучения для начальных классов показывает, что все они в той или иной мере сориентированы на развитие познавательной активности учащихся и их творческого потенциала, на формирование учебной деятельности и таких качеств мышления, как гибкость и критичность. Об этом свидетельствует вариативность учебных заданий, выполнение которых предполагает наблюдение, анализ, обобщение, выявление разнообразных зависимостей и закономерностей, установление соответствия между предметными, вербальными, схематическими и символическими моделями.

Перечисленные направления не получают должного логического продолжения в учебниках математики для 5-6 классов, используемых в массовой практике, в которых объяснительные тексты, содержащие примеры-образцы и система репродуктивных упражнений на закрепление новых знаний ориентируют учителя на информационно-сообщающий и объяснительный методы преподавания, а ученика - на исполнительский и репродуктивный методы учения.

Таким образом, с точки зрения организации деятельности учащихся, развивающие учебники математики для начальной школы и учебники математики для 5-6 классов моделируют учебные процессы разного характера.

 Таблица 1. Анализ учебников на наличие логических задач

     Учебник

Характеристика учебника

Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков,

С.И. Шварцбурд «Математика 5»

Текстовые задачи встречаются почти в каждом пункте учебника, но среди них нет ни одной логической задачи.

Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон «Математика 5»

В учебнике большое количество текстовых задач, также имеются и логические. Представлены логические задачи практически после каждого пункта.

Все логические задачи обозначаются буквой «С» - смекалка. Их количество более 30. Есть задачи, при решении которых используются  графы (задачи про лжецов, переливания и др.), таблицы и «метод здравых
рассуждений».

П.М. Эрдниев «Математика 5-6»

Текстовые задачи выделены в отдельные пункты (под названием «Задачи»). Логических задач очень мало: несколько задач на переливания, а также небольшое количество числовых ребусов.

 

Л.Н. Шеврин, А.Г. Гейн и др. «Математика 5»
учебник-собеседник

Большое количество текстовых задач, большинство из которых задано в шутливой форме. Есть и логические задачи, решаемые методом «здравых рассуждений». Но, в целом, логических задач немного.

Из представленных учебников только один обладает большим объемом разнообразных логических задач (Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон «Математика 5»). Все остальные учебники либо вообще не содержат логических задач (например, Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд «Математика 5»), либо содержат маленькое количество таких задач, причем однотипных.

В учебнике [2] задания более разнообразные и интересные, чем в остальных. Что, конечно, пробуждает у учеников желание учится.

Рассмотрим, к примеру, для сравнения формулировки заданий в учебниках:

Н.Я.Виленкин      

Выполни действия,  реши уравнения, вычисли, упрости.

Г.В.Дорофеев, Л.ГПетерсон  

Математические игры, кроссворды, расшифровка, числовые лабиринты, ребусы,                                                            заполни пропуски, загадки, блицтурниры, викторины, головоломки, старинные задачи, математические исследования, состязания, арифметические орешки, найди ошибку, восстанови, сравни, прочитай.

Неоценимую пользу в обучении несут такие задачи как: среди предложений, приведенных ниже найди определения и сформулируй их с помощью слова «называется»; посмотри внимательно на ряд рисунков в течение 5 секунд, закрой листом бумаги и воспроизведи в такой же последовательности; постройте график движения по рассказу и т.д., а также игровые моменты. Все это можно найти в учебниках Дорофеева.

Рассмотрим подробнее учебник по курсу математики, созданный авторами Л.Г. Петерсон и Дорофеевым для 5 класса. Он отличается от традиционных учебников математики для 5 класса Н.Я. Виленкина разнообразием изучаемых тем. По своей структуре отличен он и от учебников начальной школы, где ученики часть заданий выполняли прямо в книге, т.к. содержание было построено по принципу "рабочей тетради". В этой особенности учебника математике для начальной школы есть свои плюсы и минусы: ребята успевают за урок выполнить большее количество учебных заданий, однако не в состоянии грамотно их записать в тетради.

Учебник для 5 класса содержит изложение теоретического материала, необходимого для решения заданий. Материал построен таким образом, что, изучая его, можно обратить внимание обучающихся на решение не только задач обязательного минимума для соответствующего класса, но и разобрать упражнения, направленные на развитие математических способностей учащихся, т.е. более сложных, комбинированных.

В учебнике рассмотрено множество тем, например, вопросы математической логики, алгебры множеств, построения математических моделей для решения задач повседневной жизни, простого и сложного процентного роста, разнообразие дополнительного материала по геометрии пропедевтического характера, направленного на более полное его изучение в курсе геометрии.

Работать по такому учебнику интересно. Он ориентирован на формирование аналитической и синтетической функции мышления. Развитие внимания и воображения преднамеренной, оперативной и долговременной памяти, а также на развитие интуитивных качеств личности школьника. Учебник позволяет учитывать многие личностные особенности обучающихся на уроке, помогает на хорошем уровне структурировать изучаемый материал на концентрической основе, постоянно обращаясь от простого к сложному, рассматривая задачи повышенного уровня сложности, при этом дает возможность качественно организовать повторение изучаемого материала.

 Учебные программы школьных дисциплин предусматривают развитие логического мышления, но рассматривают  данную проблему в качестве цели, а механизм реализации в программах не просматривается и целенаправленной работы не ведется. Поэтому представляется целесообразным ведение предмета, на котором бы учащиеся получали элементарные знания законов логики и учились их использовать.

3.3. Методы обучения

Проблема классификации методов обучения всегда была одной из главных проблем дидактики. И сегодня нет единой точки зрения на данный вопрос.

Самой распространенной классификацией методов обучения в настоящее время является классификация по источнику получения знаний.

Согласно этой  классификации выделяют:

- наглядные методы обучения;

- словесные методы обучения;

- практические методы обучения.

Подробнее рассмотрим каждый из них.

3.3.1. Наглядные методы обучения

Источником знания являются наглядные пособия, наблюдаемые предметы и явления. Наглядные методы делятся на два вида: метод иллюстраций и метод демонстраций.

Метод иллюстраций предполагает показ учащимся различных иллюстративных пособий: плакатов, таблиц, схем, рисунков из учебника, зарисовок и записей на доске, моделей геометрических фигур, натуральных предметов и т. д.

Метод демонстраций обычно связан с демонстрацией приборов, опытов, показом кинофильмов, диафильмов, слайдов, кодопозитивов, использованием учебного телевидения, магнитофонных записей и т. д.

При обучении решению логических задач применяется метод иллюстраций (чего нельзя сказать про метод демонстраций). Это использование блок-схем, составление различных таблиц, построение графов.

 3.3.2. Словесные методы обучения

Источником знания является слово, устное или печатное.

Наиболее важными словесными методами являются рассказ, объяснение, лекция, беседа и др.

Рассказ. Метод рассказа предполагает устное повествовательное изложение содержания учебного материала. К рассказу обычно предъявляется ряд педагогических требований:

- рассказ должен обеспечивать идейно-нравственную направленность преподавания;

-содержать только достоверные и научно проверенные факты;

-включать достаточное количество ярких и убедительных примеров, фактов, доказывающих правильность выдвигаемых положений;

-иметь четкую логику изложения; быть эмоциональным;

-излагаться простым и доступным языком;

-отражать элементы личной оценки и отношения учителя к излагаемым фактам, событиям.

        Объяснение. Под объяснением следует понимать словесное истолкование
закономерностей, существенных свойств изучаемого объекта, отдельных понятий, явлений.
К объяснению чаще всего прибегают при изучении теоретического материала различных наук, решении задач, теорем.

Использование метода объяснения требует:

-     точного и четкого формулирования задачи, сути проблемы, вопроса;

- последовательного раскрытия причинно-следственных связей, аргументации и доказательств;

-     использования сравнения, сопоставления, аналогии;

-     привлечения ярких примеров;

-     безукоризненной логики изложения.

Беседа. Беседа - диалогический метод обучения, при котором учитель путем
постановки тщательно продуманной системы вопросов подводит учеников к пониманию нового материала или проверяет усвоение ими уже изученного.

В зависимости от конкретных задач, содержания учебного материала места беседы в
дидактическом процессе выделяют различные виды бесед. Широкое распространение имеет эвристическая. В ходе эвристической беседы учитель, опираясь на имеющиеся у учащихся знания и практический опыт, подводит их к пониманию и усвоению новых знаний, формулированию правил и выводов. Для сообщения новых знаний используются сообщающие беседы. Если беседа предшествует изучению нового материала, ее называют вводной или вступительной. Цель такой беседы состоит в том, чтобы вызвать у учащихся
состояние готовности к познанию нового. Закрепляющие беседы применяются после изучения нового материала.

При обучении решению логических задач используются метод объяснения и метод беседы, например: при изучении  задач, решаемых методом «здравых рассуждений» применим метод беседы.

3.3.3. Практические методы обучения

Практические методы обучения основаны на практической деятельности учащихся. Этими методами формируют практические умения и навыки.

Практические методы охватывают различные виды деятельности ученика: постановку практических заданий, планирование хода его выполнения, формулирование и анализ итогов практической работы. Практические работы при обучении математике обычно связываются с построениями, измерениями, вычислениями, изготовлением наглядных пособий. К практическим относятся письменные упражнения (тренировочные, комментированные), лабораторные работы, практические работы.

Упражнения. Под упражнениями понимают повторное (многократное) выполнение умственного или практического действия с целью овладения им или повышения его качества. Характер и методика упражнений зависит от особенностей учебного предмета, конкретного материала, изучаемого вопроса и возраста учащихся.

Упражнения по своему характеру подразделяются на устные, письменные,
графические и учебно-трудовые. Рассмотрим особенности применения упражнений.

Устные упражнения способствуют развитию логического мышления, памяти,
речи и внимания учащихся. Они отличаются динамичностью, не требуют
затрат времени на ведение записей.

Письменные упражнения используются для закрепления знаний и выработки
умений в их применении. Использование их способствует развитию логического мышления, культуры письменной речи, самостоятельности в работе.

К графическим упражнениям относятся работы учащихся по составлению схем,
чертежей, графиков, технологических карт, изготовление альбомов, плакатов, стендов, выполнение зарисовок при проведении лабораторно-практических работ, экскурсий и т.д.
Применение их помогает учащимся лучше воспринимать, осмысливать и запоминать учебный материал, способствует развитию пространственного воображения.

К учебно-трудовым упражнениям относятся практические работы учащихся,
имеющие производственно-трудовую направленность. Целью этих упражнений является применение теоретических знаний учащихся в трудовой деятельности. Такие упражнения способствуют трудовому воспитанию учащихся.

Лабораторные работы - это проведение учащимися по заданию учителя опытов
с использованием приборов, применением инструментов и других технических
приспособлений, т.е. это изучение учащимися каких-либо явлений с помощью
специального оборудования.

При изучении логических задач применим метод упражнений. Так, например, при обучении составлению таблиц, построению графов учитель дает ученикам хорошо продуманную систему упражнений.

3.4. Этапы решения логических задач. Приёмы их выполнения.

Этапы решения логической задачи (при любом методе решения):

- Анализ условия задачи;

- Поиск пути решения и составления плана решения;

- Осуществление плана решения задачи;

- Проверка решения задачи.

       При решении задач обязательно должны присутствовать все эти этапы, но они могут переплетаться. Рассмотрим каждый из них.

        3.4.1.  Анализ условия задачи

На данном этапе ученик должен осмыслить ситуацию, отраженную в задаче, выделить условия и требования, выделить величины и зависимости между ними.

На этапе анализа условия задачи используются следующие приёмы:

 а) представление жизненной ситуации, которая описана в задаче

      - Прием выполняется при слушании или чтении задачи. Цель этого воспроизведения – выявление количественных и качественных характеристик ситуации, представленной в задаче.

б) постановка специальных вопросов и поиск ответов на них

       - Прием содержит стандартный набор вопросов, ответы на которые помогают разобраться в содержании задачи:

1) О чём говориться в задаче?

2) Что известно в задаче?

3) Что требуется найти в задаче?

4) Что в задаче неизвестно?

и  другие.

 в) «Переформулировка» задачи.

        - Прием состоит в замене данного в задаче описания некоторой ситуации другим описанием, которое сохраняет все отношения, качественные характеристики, связи, но которое более явно их выражает. Вся лишняя информация при этом отбрасывается, текст задачи преобразуется в форму, облегчающую поиск пути решения. При необходимости строится вспомогательная модель задачи: краткая запись условия, чертеж, таблица, рисунок, и т.п.

г) Моделирование ситуации, описанной в задаче, с помощью реальных предметов, предметных или графических моделей и т.п.

         - Для решения многих научных и практических задач используется метод моделирования. Реальные объекты  иногда бывают настолько сложны, что их изучение невозможно без построения и исследования модели, отображающей лишь какую-то сторону этого объекта и потому более простую, чем эта реальность.

Модель - это система, исследование которой служит средством для получения информации о другой системе.

Под моделью понимается такая мысленно представляемая или материально реализованная система, которая отображает и воспроизводит объект так, что ее изучение дает новую информацию об этом объекте.

В широком же смысле модель - это мысленный или знаковый образ моделируемого объекта. В качестве модели могут выступать изображения, схемы, графики, планы, карты, описания, копии оригинала (уменьшенные или увеличенные) и т.п. Но модель является лишь отображением оригинала, она в каком - либо отношении должна быть не только удобна для изучения свойств исследуемого объекта, но и должна позволять перенос полученных при ее изучении знаний на исходный объект.

Обычно модель строится с таким расчетом, чтобы охватить только те свойства оригинала, которые существенны в данной ситуации и требуют изучения.

Моделирование – это метод и средство познания. Моделирование - это процесс построения моделей, а также изучение на них соответствующих явлений, процессов, систем объектов. Он заключается в том, что для исследования какого - либо объекта выбирается или строится другой объект - модель, в каком - то отношении подобный исследуемому оригиналу. Построенный или выбранный объект изучают, с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результаты решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект.

Моделирование применяется в тех случаях, когда по каким - либо причинам затруднительно изучить оригинал в естественных условиях, когда необходимо облегчить процесс исследования того или иного объекта. Модель всегда обладает только некоторыми условиями, существенными в данных условиях, свойствами моделируемого объекта.

При решении любой текстовой задачи неотъемлемой частью этого решения является построение модели задачи. Исследование этой модели служит средством для получения ответа на требование задачи. Как правило, это бывает математическая модель, под которой понимают описание задачи на языке математических понятий, формул и отношений. В ходе решения задачи выбранным методом строится «своя» математическая модель: запись решения по действиям с объяснением или выражение, если задача решается арифметическим методом; диаграмма или график, если она решается геометрическим методом; уравнение или система уравнений и неравенств, если задача решается алгебраическим методом и т.д.

Модели также являются эффективным средством поиска решения задачи, тем более что в процессе решения приходится переходить от одной формы записи к другой. Не всякая запись будет моделью задачи. Для построения модели, для ее дальнейшего преобразования необходимо выделить в задаче цель, данные величины, все отношения, чтобы с опорой на эту модель можно было продолжить анализ, позволяющий продвигаться в решении и искать оптимальные пути решения.

В процессе решения задачи выделяют три этапа математического моделирования.

Построение математической модели: анализ задачи и перевод условия
задачи на математический язык, то есть выделение исходных данных и
искомых величин, описание связей между ними.

Решение    задачи    в    рамках    выбранной    математической    модели: выполнение   действий, нахождение   значения   выражения.

Интерпретация    результатов:    перевод    полученных    решений    на естественный язык, получение значений искомых величин.

Первый этап математического моделирования, построение математической модели, связан с выявлением зависимостей между искомыми и данными и зависимостей данных между собой. Он является наиболее сложным и часто вызывает затруднения. Для облегчения процесса решения задачи и скорейшего нахождения пути решения сначала от словесной модели ситуации, описанной в задаче, переходят к вспомогательной, а именно: делают рисунки, составляют таблицы, строят схемы и т.п., а уже затем к математической модели.

При построении вспомогательных моделей задач происходит углубленный анализ задачи, а само построение вспомогательных моделей выступает в качестве эффективного средства такого анализа. Любая вспомогательная модель задачи должна:

1.  Строится   на   основании   анализа   текста   задачи   и   максимально
приближать абстрактные понятия к реальности;

  1.  Нести   информацию   лишь   о   существенных   в   данной   ситуации признаках объектов задачи;
  2.  Давать   возможность   непосредственно   обнаруживать   зависимости между величинами,   о   которых  идет  речь  в  задаче,   и  допускать практические преобразования. В качестве вспомогательных моделей могут выступать знаковые и схематизированные  модели.

Схематизированные модели делятся на вещественные и графические. Вещественные (предметные) модели обеспечивают физическое действие с предметами, например: с палочками и др. К этому виду относится мысленное воссоздание реальной ситуации, которая описывается в задаче. Графовой моделью является чертёж, рисунок, схема, условный рисунок, схематический чертёж.

Пример. У Вани 6 тетрадей, а у Вики – на 2 больше. Сколько тетрадей у Вики?

а) графовая модель

б) условный рисунок

           Ваня:

Вика:              

в) чертёж

       

          1т

 Ваня:           1т 1т 1т 1т 1т 1т

 Вика:

1т 1т 1т 1т 1т 1т 1т          1т

Примеры использования моделей при решении логических задач.

Приемы моделирования.

Моделью некоторого объекта  А называется объект В, в каком-то отношении подобный оригиналу А, но не совпадающий с ним. Рассмотрим различные приемы моделирования на конкретных задачах.

1. Прием моделирования с помощью таблицы

Если в процессе решения необходимо установить соответствие между элементами двух или нескольких различных множеств, то целесообразно использовать таблицу. Она делает рассуждение ученика более наглядным. Поле таблицы представляет собой декартово произведение этих множеств. Количество входов в таблицу определяется количеством выделенных в задаче множеств.

Задача. В одном из московских вузов на разных курсах учатся четыре студента. Определить фамилию, имя, курс, на котором учится каждый студент, если известно следующее:

Борис прошлую летнюю сессию сдал на «отлично»;

Виктор должен был летом ехать на практику в Омск;

Иванов собирался поехать домой в Челябинск;

Антон был курсом старше Петра;

Борис и Орлов коренные москвичи;

          Крылов в прошлом учебном году окончил школу и поступил на тот же факультет, на котором учился Зуев;

Борис иногда пользовался прошлогодними конспектами Виктора.

Решение. Построение модели начнем с выделения трех множеств: множество имен студентов, множество их фамилий и множество курсов. Таблица с четырьмя входами охватывает все возможные соотношения между именем и фамилией, между именем и курсом и между курсом и фамилией.

Если в таблице, в соответствии с условием, ставить знаки «минус» на заведомо невозможных  парах элементов, то можно прийти к решению задачи.

Отметим в таблице данные из условия задачи.

Борис прошлую сессию сдал на «отлично», следовательно, Борис не на 1 курсе — в клеточке (Борис; 1) ставим знак «минус».

Виктор летом едет в Омск, а Иванов в Челябинск, значит, фамилия Виктора не Иванов — в клеточке (Виктор; Иванов) прочерк.

Антон курсом старше Петра, значит, Антон учится не на 1 курсе — в клеточке (Антон; 1) появляется знак «минус». Так как Борис и Орлов коренные москвичи, то фамилия Бориса не Орлов - в клеточке (Борис; Орлов) ставим прочерк.

Имя,

курс

Фамилия

Курс

Зуев

Крылов

Иванов

Орлов

1

2

3

4

Борис

+

-

-

-

-

-

+

+

Виктор

-

-

-

+

-

-

-

+

Антон

-

-

+

-

-

+

-

-

Петр

-

+

-

-

+

-

-

-

1

-

+

-

-

2

-

-

+

-

3

+

-

-

-

4

-

-

-

+

Крылов в прошлом году окончил школу, то есть сейчас он учится на 1 курсе — знак «+» в клеточке (Крылов; 1). Ясно, что тогда ни Зуев, ни Иванов, ни Орлов не учатся на 1 курсе — в этих клеточках ставим прочерки.

Борис пользуется прошлогодними конспектами Виктора, значит, Виктор на один курс старше Бориса. Но мы знаем, что Борис уже не на 1 курсе, следовательно, Виктор учится не на 1 и не на 2 курсе - в клеточках (Виктор; 1) и (Виктор; 2) ставим прочерки.

По условию Иванов из Челябинска, а Борис коренной москвич, следовательно, Борис не Иванов — в клеточке (Борис; Иванов) прочерк.

Из таблицы видно, что на 1 курсе учится не Борис, не Виктор, не Антон. Следовательно, на 1 курсе учится Петр — в клеточке (Петр; 1) появляется знак «+». В клеточках (Петр; 2), (Петр;3) и (Петр; 4) прочерки.

Но на I курсе учится Крылов. Значит, Петр носит фамилию Крылов — в клеточке (Петр; Крылов) ставим знак «+». Ясно, что Петр не может быть ни Ивановым, ни Зуевым, ни Орловым, а также Крыловым не могут быть ни Борис, ни Виктор, ни Антон — во всех этих клеточках прочерки.

Обратим внимание на столбец «Иванов». Из него видно, что ни Борис, ни Виктор, ни Петр не носят фамилию Иванов. Следовательно, Ивановым может быть только Антон — в соответствующей клеточке ставим знак «+». Тогда ясно, что ни Орлов, ни Зуев не носят имя Антон — в этих клеточках появляются знаки «минус».

Обратим внимание на столбец «Орлов»: ни Борис, ни Антон, ни Петр не носят фамилию Орлов. Значит, только Виктор может быть Орловым - клеточку (Виктор; Орлов) помечаем знаком «+». Но тогда Виктор не может быть Зуевым — ставим минус в клетке (Виктор; Зуев). Тогда из таблицы видно, что только Борис может быть Зуевым.

Итак, Петр Крылов учится на 1 курсе, но Антон Иванов курсом старше Петра, значит, Антон Иванов на 1 курсе — отметим соответствующие клеточки.

Мы знаем, что Виктор Орлов курсом старше Бориса Зуева, значит, Борис Зуев учится на III, a Виктор Орлов — на 4 курсе.

Задача решена. Ответ наглядно представлен в таблице.

2. Прием моделирования с помощью графов

Ситуации, в которых требуется найти соответствие между элементами различных множеств, можно моделировать с помощью графов. В этом случае элементы различных множеств будем обозначать точками, а соответствия между ними — отрезками. Пунктирные линии будут обозначать указанное в задаче отсутствие соотношения.

Задача. Три товарища — Иван, Дмитрий и Степан преподают различные предметы (химию, биологию и физику) в школах Москвы, Тулы и Новгорода. О них известно следующее:

  1.  Иван работает не в Москве, а Дмитрий — не в Новгороде;

москвич преподает физику;

  1.  тот, кто работает в Новгороде, преподает химию;
  2.  Дмитрий и Степан преподают не биологию;

Какой предмет, и в каком городе преподает каждый?

Решение. В задаче можно выделить три множества: учебных предметов, городов, учителей. Каждое множество содержит по три элемента. Обозначим их точками — вершинами графа (рис.).

В зависимости от условий задачи будем соединять точки отрезками, если имеет место соответствие между данными элементами, или пунктирной линией, если соответствия нет.

Задача сводится к нахождению на графе трех сплошных треугольников с вершинами в разных множествах (на доске и в тетради их можно выделить разными цветами).

Так, используя условие 1), проведем пунктирную линию, соединяющую объекты Иван и Москва, Дмитрий и Новгород.

В соответствии с условием 2) соединим сплошной линией вершины Москва и физика, а условие 3) выразим сплошной линией от точки Новгород до точки химия.

Дмитрий и Степан преподают не биологию, соединим соответствующие вершины пунктирными линиями. Кто же преподает биологию? Если это не Дмитрий и не Степан, то получается, что биологию преподает Иван. Эти объекты соединяет сплошная линия.

Где же живет преподаватель биологии? Известно, что химик живет в Новгороде, а физик в Москве, следовательно, биолог живет в Туле. Обратим внимание на треугольник, образованный вершинами Иван, Тула, биология: в нем есть две сплошные стороны, значит, третью сторону также можно выделить сплошной линией. В самом деле, если Иван преподает биологию, а биолог живет в Туле, то Иван живет в Туле.

Что известно про Дмитрия? Дмитрий не живет в Новгороде (по условию) и не живет в Туле (там живет Иван), значит, Дмитрий живет в Москве - проведем соответствующую сплошную линию. Но москвич преподает физику - эта линия тоже сплошная. В треугольнике с вершинами в точках Дмитрий, Москва и физика две стороны сплошные, следовательно, третью сторону тоже можно выделить сплошной линией.

Что же известно про Степана? Степан не живет в Туле (там живет Иван) и не живет в Москве (там живет Дмитрий), следовательно, Степан живет в Новгороде - проведем сплошную линию. Но тот, кто живет в Новгороде, преподает химию — эта линия тоже сплошная. Так появляется третий треугольник из сплошных линий.

Ответ указан на графе треугольниками. Задача решена.

3. Прием моделирования на полупрямой

Если в задаче имеется множество объектов и требуется установить взаимоотношение между элементами этого множества, то задачу можно решать на полупрямой.

Задача. На вечеринку собрались четверо друзей: Аня, Вика, Миша и Коля. Коля пришел раньше Ани, но не был первым. Определите, в какой последовательности друзья приходили к месту встречи, если Вика пришла последней.

Решение. Построим модель описанной ситуации, считая обычный луч «линией времени». Друзья, пришедшие на вечеринку, обозначатся точками с соответствующими буквами. Условимся пришедшего на вечеринку раньше обозначать на полупрямой (первой буквой его имени) левее, пришедшего позже — правее. По порядку каждое условие отмечаем на полупрямой (а—г).

На рис. а показано, что Коля пришел раньше Ани. По рис. б мы видим, что кто-то из друзей опередил Колю, а, следовательно, и Аню. Появление еще одной правой точки на рис. в передает условие «Вика была последней». Тогда придется сделать вывод, что Миша пришел раньше всех. Последовательность явки друзей к месту встречи видна на рис. г.

4. Прием моделирования с помощью блок-схемы

Рассмотрим еще один способ моделирования — составление блок-схемы, в которой каждый шаг в рассуждении выделен отдельным изображением (прямоугольником).

Задача. На некотором острове отдельными селениями живут правдолюбы и шутники. Правдолюбы всегда говорят только правду, а шутники постоянно шутят, а поэтому всегда лгут. Жители одного племени бывают в селении другого, и наоборот. В одно из селений попал путешественник, но не знает: в какое именно. Доказать, что путешественнику достаточно первому встречному задать вопрос: «Вы местный?», чтобы по ответу определить, в селении какого племени он находится.

Решение. Путешественник может попасть в селение «правдолюбов» или в селение «шутников» — появляются два различных варианта. В селении «правдолюбов» путешественник может встретить как «правдолюба», так и «шутника». Аналогично, в селении «шутников» путешественник может встретить как «шутника», так и «правдолюба». Возможных вариантов стало уже четыре.

Блок-схема позволяет их представить наглядно и заметить, что положительный ответ в любом случае возможен только в селении «правдолюбов», а ответ «нет» — только в селении «шутников».

Рассмотрим задачу.

Катя, Аня и Лена купили три билета: в кино, на рок-концерт и в театр. Лена не увлекается громкой музыкой. Аня не любит рок-концерты, а от просмотра телефильмов у нее быстро устают глаза. Куда отправилась каждая из девочек?

1. Анализ условия задачи

- О чем говорится в задаче?

- В задаче говорится о трех девочках, которые купили билеты.

- Что известно про девочек в задаче?

- Известно, что Лена не увлекается громкой музыкой, Аня не любит рок-концерты, и от просмотра телефильмов у нее устают глаза.

- Что требуется узнать в задаче?

- В задаче требуется узнать: куда отправилась каждая из девочек.

- Мы можем сразу ответить на вопрос задачи?

- Нет, не можем.

- Как, каким способом (методом) мы будем искать ответ на вопрос задачи?

- Чтобы узнать: куда отправилась каждая из девочек, мы воспользуемся построением графа.

- Каким образом мы стоим граф в данной задаче?

- В задаче мы выделяем два множества: множество девочек и множество билетов. Каждое множество содержит по три элемента. Обозначим их точками — вершинами графа (рис.). В зависимости от условий задачи будем соединять точки отрезками, если имеет место соответствие между данными элементами, или пунктирной линией, если соответствия нет.

                   рис.

3.4.2. Поиск пути решения задачи и составление плана пути ее решения

На этом этапе решения задачи завершается установление связей между данными искомыми и искомыми величинами и указывается последовательность использования этих связей.

Проведя анализ условия задачи, мы не всегда можем сразу же найти путь ее решения. Основные приемы, используемые при поиске путей решения задачи:

1. Анализ задачи по тексту или по ее вспомогательной модели. Поиск путей решения задачи можно осуществлять от данных задачи к вопросу (синтетический путь) или от вопроса задачи к данным (аналитический путь).

Синтетический путь. Решающий выделяет в тексте задачи два каких - либо взаимосвязанных данных и определяет, какое неизвестное может быть найдено по этим данным и с помощью какого действия. Затем, считая полученное число данным, решающий опять выделяет два взаимосвязанных данных и определяет, какое неизвестное может быть найдено по ним и с помощью какого действия, и т.д., пока выполнение очередного действия не приведет к нахождению искомого.

Аналитический путь. На основе анализа задачи необходимо уточнить, что требуется найти в задаче и определить, что достаточно знать для ответа на этот вопрос. Для этого следует выяснить, какие из нужных данных имеются в условии задачи. Если они отсутствуют надо определить, что нужно знать, чтобы найти недостающие данные и т.д., пока для определения очередного неизвестного оба данных будут известны. Поиск пути решения заканчивается составлением плана решения задачи.

При решении задач анализ и синтез в рассуждении, как правило, переплетаются. Осуществляя поиск решения задачи синтетически, анализ часто производят «про себя». В то же время, каким бы приемом мы не вели поиск   пути   решения   составной   задачи,   ее   предварительный  анализ  неизбежен.

2. Поиск пути решения задачи (стр.79)

Поиск пути решения  задачи проходит в рамках работы с моделью. Рассмотрим граф. Так как Лена не увлекается громкой музыкой, то соединим пунктирной линией «Л» и «Р». Аня не любит рок-концерты, а от просмотра телефильмов у нее быстро устают глаза, то «А» и «Р», «А» и «К» соединим пунктирными линиями.

                   рис.

Таким образом, мы должны  ответить на вопросы:

               1)    Куда отправилась Лена?

         2)   Куда отправилась Аня?

         3)   Куда отправилась Катя?

Итак, путь решения найден.

         2. Еще одним приемом, помогающим осуществлять этап поиска решения задачи, является разбиение задачи на смысловые части, последовательное решение которых позволяет получить ответ на требование задачи.

Пример: Некий владыка, желая испытать трех своих мудрецов, сказал им: «Перед вами пять колпаков: три черных и два белых. Вам наденут по колпаку. Тот из вас, кто первым догадается, какого цвета на нем колпак, тот получит награду". Затем мудрецам  завязали глаза и надели им на голову по колпаку. После того, как с них сняли повязки,  мудрецы долго молчали. Наконец один из них сказал: « На мне черный колпак!» Как рассуждал этот мудрец?

 Решение. Задачу можно разбить на три подзадачи, на три варианта распределения колпаков: черный, белый, белый; черный, черный, белый; черный, черный, черный.

1. Два  белых колпака и один черный.

В этом случае тот из участников, на котором черный колпак, рассуждает так: «Я вижу два белых колпака, а их всего два. Значит на мне черный колпак!»

2. Один белый и два черных колпака.

В этом случае он рассуждает так: «Я вижу один белый колпак и один черный, значит, если бы на мне был белый колпак, то тот, у которого на голове черный, сказал бы какой на нем колпак (черный), но он молчит. Значит на мне черный колпак».

3. Три черных колпака.

Он рассуждает так: «Я вижу два черных колпака. На мне может быть белый или черный. Если на мне белый колпак, то один из мудрецов рассуждая (2-ой вариант), догадается, что на нем черный колпак. Но они молчат, значит на мне черный колпак!»

3.4.3. Осуществление плана решения задачи

План указывает лишь общий контур решения задачи. При осуществлении  плана решающий задачу рассматривает все детали, которые вписываются в этот контур. Эти детали надо рассматривать тщательно и терпеливо. Осуществление плана решения задачи может выполняться устно или письменно. Для нахождения ответа на требования задачи строится алгоритм, который может быть представлен в любой форме: словесной, в виде блок-схемы и т.д.

3. Решение задачи  (стр.79)

На предыдущем этапе решения мы соединили пунктирными линиями точки «Л» и «Р», «А» и «Р», «А» и «К». Осуществление плана решения задачи так же происходит в рамках работы с моделью.

                   рис.

Заметим, что к точке «Р» подходят две пунктирные линии от точек «Л» и «А», тогда третью линию к точке «К» проведем сплошную - она укажет на  правильный ответ. Так как Катя купила билет на рок-концерт,  то она не пойдет ни в кино, ни в театр – проведем соответствующие пунктирные линии.

                   рис.        

Рассмотрим точку «К». К ней подходят две пунктирные линии от точки «А» и от точки «К», т.е. Аня и Катя не ходили в кино. Тогда, фильм смотрела  Лена - проводим сплошную линию. Остается провести последнюю сплошную линию, соединив точки «А» и «Т», т.е. Аня направилась в театр. Ответ показан на рисунке сплошными линиями.

                   рис.        

3.4.4. Проверка решения логической задачи

Назначение данного этапа - установить правильно ли понята задача, выяснить, не противоречит ли полученный ответ всем другим условиям задачи. Этот этап является обязательным при решении задач. Следует помнить, что логичные рассуждения на других этапах решения задачи не гарантируют правильности ее решения: получение результата не означает еще, что задача решена правильно, что для решения выбран лучший, наиболее удачный  вариант.

Проверку решения логической задачи  можно  проводить разными способами.

1. Решение задачи различными методами

Данный способ проверки результата заключается в получении того же результата применением другого метода решения задачи. Если при решении задачи другим способом получен тот же результат, что и в первом случае, задачу можно считать решенной правильно. К тому же получение различных вариантов решения одной и той же задачи имеет важное обучающее значение.

4. Проверка решения задачи  (стр.79)

Так как задача была решена с помощью графа, то для проверки проведем решение методом заполнения таблицы. Как было рассмотрено выше, в задаче можно выделить два множества, множество девочек и множество билетов. В каждом множестве насчитывается по три элемента, тогда составим таблицу, состоящую из трех строк и трех столбцов.

Лена не увлекается громкой музыкой - ставим «минус» в клеточку, которая находиться на пересечении столбика «Лена» и строчки «рок-концерт». Аня не любит рок-концерты, а от просмотра телефильмов у нее быстро устают глаза, значит, ставим «минус» в две соответствующие клетки:

  Катя

Лена

Аня

театр

рок-концерт

-

-

кино

-

В столбике «Аня» осталась только одна свободная клеточка - отметим ее плюсом. Итак, Аня пойдет в театр. Следовательно, Катя и Лена туда не пойдут - вычеркнем соответствующие клеточки:

  Катя

Лена

Аня

театр

-

-

+

рок-концерт

-

-

кино

-

Видно, что в столбике «Лена» осталась одна свободная клеточка - отметим ее знаком «плюс». Итак, Лена пошла в кино. Но тогда туда не отправится Катя - поставим знак «минус» в соответствующую клеточку. Заметим, что и в столбике «Катя» осталась лишь одна свободная клеточка - отметим ее знаком «плюс». Итак, Катя пойдет на рок-концерт. Ответ считываем прямо с таблицы, он отмечен знаками «плюс».

  Катя

Лена

Аня

театр

-

-

+

рок-концерт

+

-

-

кино

-

+

-

Заметим, что ответ, полученный при решении задачи с помощью таблиц совпадает с ответом, полученным ранее (с помощью графа). Таким образом, задача решена правильно.

2. Прикидка (грубая проверка)

Проверка решения задачи прикидкой (грубой проверкой) правильного ответа состоит в установлении границ для искомого числа. Она позволяет грубо установить правильность решения задачи, и, если в результате такой проверки мы не выясним, что некоторые значения искомых не удовлетворяют условию задачи, то необходимо провести проверку каким-либо другим способом. Прикидка не позволяет проверить правильность полученного числового значения ответа, она позволяет только в некоторых случаях определить, что задача решена неверно.

Необходимо помнить, что, выполняя проверку задачи любым из указанных способов, надо выяснить, не противоречит ли полученный ответ всем условиям задачи. То есть, при решении обратной задачи или при решении задачи другими методами логика рассуждений должна быть отлична от логики рассуждений, которая применяется в ходе решения данной задачи. Если не следовать этому, то может оказаться так, что ошибочное решение не будет обнаружено.

Сравним, к примеру, результаты, которые были получены при решении задачи (см. стр.79) с данными в условии. Мы получили, что Аня пошла в театр. Это не противоречит условию, в котором говорится, что Аня не любит рок-концерты, а от просмотра телефильмов у нее быстро устают глаза. Далее получилось, что Лена – в кино. Это также не противоречит условию, в котором говорится, что Лена не увлекается громкой музыкой.

Таким образом, полученные нами результаты при прикидке указывают нам на их непротиворечивость с условием задачи. Итак, можно сделать вывод о том, что задача решена  верно.

3.5. Применение методики обучения решению логических задач в математическом кружке в 5  классе средней  общеобразовательной школы № 872.

В средней общеобразовательной школе № 872 проводился эксперимент на занятиях математического кружка в 5 «а» классе. Занятия проходили 2 раза в неделю по 2 часа. Наполняемость кружка составляла 14 человек. Образовательная цель проводимых занятий - обучение решению различных типов логических задач, развивающая цель - развитие логического и творческого мышления. Сроки проведения эксперимента: сентябрь 2004г. - январь 2005г.

В начале учебного года ученикам была предложена самостоятельная работа,  состоявшая из трех логических задач, которые можно отнести к задачам на «установление соответствия между элементами различных множеств».

1) Когда три подруги — Надя, Валя и Маша вышли гулять, на них были белое, красное и синее платья. Туфли их были тех же трех цветов, но только у Нади цвета туфель и платья совпадают. При этом у Вали ни платье, ни туфли не были синими, а Маша была в красных туфлях. Определите цвет платьев и туфель каждой из подруг.

2) У каждого из четырех ребят живет какое-то одно любимое животное: кошка, собака, рыбка или канарейка (у всех разные). У Миши животное – с пушистой шерстью, у Феди – четвероногое, у Коли – пернатое. И Женя, и Миша не любят кошек. Какое из следующих утверждений неверно:

а) У Феди – собака, б) У Коли – канарейка, в) У Феди – кошка, г) У Жени – рыбка, д) У Миши – собака?

3)   В очереди в кассу за билетами на концерт стоят Юля, Маша, Вика, Даша и Оля. Известно, что:

1. Юля купит билет раньше, чем Маша, но позже Оли;

2. Вика и Оля не стоят рядом;

3.Даша не находится рядом ни с Олей, ни с Юлей, ни с Викой.

Кто за кем стоит в очереди?

По выполнению работы были получены следующие результаты: с первой задачей справились 2 ученика, со второй - 6, с третьей - 8.

По полученным результатам сделаем вывод, что ученики испытывали трудности при построении цепочки логических рассуждений, приходили к неправильным логическим выводам. Только с третьей задачей справилось больше половины учащихся.

После прохождения курса обучения  решению логических задач (см. стр.62) в конце января 2005 года была проведена самостоятельная работа, цель которой состояла в выявлении уровня освоенности учениками методов решения логических задач.

Работа содержала пять логических задач:

1) По лесу гуляли три папы со своими дочерьми. У первого папы было две дочери, а у второго и третьего по одной. Шумная компания подошла к речке и захотела переправиться на другой берег. В их распоряжении была всего одна двухместная лодка. Как им осуществить переправу, если капризные девочки наотрез отказались ехать в лодке или быть на берегу с одним или двумя чужими папами без своего папы?

2) Имеется 8 кг фасоли и чашечные весы без гирь. Как отвесить с их помощью 3 кг фасоли?

 3) Трое   соревновались,   кто   из   них   самый   сообразительный.   Они обратились  за  решением   спора  к  мудрецу.   Тот  показал   им   пять колпаков: три белых и два черных. Он завязал им глаза и надел на каждого по белому колпаку, а черные колпаки спрятал.  Затем он развязал им глаза и сказал: "Кто из вас первым догадается, какого цвета на нем колпак, тот самый сообразительный". Какие колпаки должен надеть мудрец на головы соревнующимся, чтобы все участники были в равных условиях?

 4) Десять мальчиков: Александр, Борис, Василий, Георгий, Дмитрий, Евгений, Зиновий, Иван, Кирилл и Леонид учатся  в разных классах одной школы. В каком классе учится каждый из них, если известно:

- старший брат Дмитрия оканчивает 7-ой класс, а младший брат Жени учится в 5-ом  классе;

- Саша старше Кирилла на один класс, А Леня старше Жени на два класса;

- Вася оканчивает школу в этом году;

- Ваня по окончании третьего класса получил награду;

- Боря – пионервожатый в 5-ом классе, а Вася – в 4-ом;

- Саша, Кирилл и шестиклассник живут на проспекте Мира, а Дима, первоклассник и восьмиклассник – на  Садовой;

- Боря помогает отстающему Жене, Дима помогает Ване, а Саше помогает Георгий.

(В задаче идёт речь о десятилетней школе).

5) Бабушка Варя с гордостью рассказывала о своих внучках: оказывается, каждая из них играет на каком-нибудь музыкальном инструменте и говорит на одном из иностранных  языков.

- На чём играет Маша? – спросил я.

- На рояле.

- А кто играет на скрипке?

- Что-то не могу вспомнить, но, по-моему, та девочка, которая говорит по-французски, - ответила бабушка.

Поговорив с бабушкой, я узнала, что Оля играет на виолончели, а Лена не говорит по-немецки. Маша не знает итальянского языка, а Оля не скрипачка и не знает английский язык. Валя не знает французского, Лена не играет на арфе, а виолончелистка не говорит по-итальянски. Определите, кто из девочек  играет на каком  инструменте, и говорит на каком языке.

По выполнению работы были получены следующие результаты: с первой задачей справились 10 учеников, со второй - 12, с третьей - 6, с четвертой - 9, с пятой – 10.

В целом, ученики хорошо справились с работой. Это говорит о том, что школьниками были освоены  различные  методы  решения  задач. Ученики научились их использовать на практике.

3.6. Система логических задач для 5-6 классов

Задачи, решаемые методом «здравых рассуждений»

  1.  Имеются 9 кг крупы и гири в 50 и 200 г. Как отмерить в три приема на чашечных весах 2 кг крупы?
  2.  Требуется разделить 7 одинаковых яблок поровну между 8 приятелями. Как сделать так, чтобы разрезов пришлось произвести возможно меньше? А если бы эти яблоки пришлось разделить между 12 приятелями?
  3.  Четырем колхозникам нужно было переправиться через реку. Подойдя к ней, они увидели небольшую лодку, в которой плыли два мальчика. Колхозники попросили мальчиков перевезти их через реку, но оказалось, что в лодку могут" сесть только два мальчика или же один взрослый. Мальчикам очень хотелось помочь колхозникам, и они придумали, как это можно сделать. Через некоторое время колхозники на этой лодке переправились через реку. Что же придумали мальчики?
  4.  Можно ли расставить на столе 4 пустые молочные бутылки так, чтобы горлышки их находились на одном и том же расстоянии друг от друга? (Бутылки можно ставить и вверх дном.)
  5.  Вот что рассказал один человек: «Проснувшись сегодня утром, я посмотрел на свои стенные часы. Они стояли. Других часов у меня не было. Радио молчало. Я подумал, как мне правильно поставить свои часы, и вот что я сделал. Встав, я отправился к приятелю, живущему через два квартала от меня. Придя к нему, я сразу же посмотрел на часы, которые шли правильно. Побеседовав немного с приятелем, я простился с ним, посмотрел на его часы еще раз и пошел домой. Как только пришел домой, я немедленно поставил свои часы и поставил их почти точно. Как я это сделал? Догадайтесь».
  6.  Как тремя взвешиваниями на чашечных весах без гирь найти одну фальшивую (более легкую) монету из 20 монет?
  7.  Трое   соревновались,   кто   из   них   самый   сообразительный.   Они обратились  за  решением   спора  к  мудрецу.   Тот  показал   им   пять колпаков: три белых и два черных. Он завязал им глаза и надел на каждого по белому колпаку, а черные колпаки спрятал.  Затем он развязал им глаза и сказал: "Кто из вас первым догадается, какого цвета на нем колпак, тот самый сообразительный". Какие колпаки должен надеть мудрец на головы соревнующимся, чтобы все участники были в равных условиях?
  8.  По лесу гуляли три папы со своими дочерьми. У первого папы было две дочери, а у второго и третьего по одной. Шумная компания подошла к речке и захотела переправиться на другой берег. В их распоряжении была всего одна двухместная лодка. Как им осуществить переправу, если капризные девочки наотрез отказались ехать в лодке или быть на берегу с одним или двумя чужими папами без своего папы?
  9.  Имеется 8 кг фасоли и чашечные весы без гирь. Как отвесить с их помощью 3 кг фасоли?
  10.  На двух чашах весов стояли 24 гири: на левой чаше — пятикилограммовые, а на правой — трёхкилограммовые. Весы находились в равновесии. Сколько гирь могло быть на каждой чаше?
  11.  Заходит в магазин покупатель, выбирает товар стоимостью 20 рублей, даёт продавцу сторублёвку. Смотрит продавец — нету сдачи. Пошёл в соседний отдел, разменял сотню. Отдал покупателю товар и сдачу. Ушёл покупатель. Вдруг прилетает продавец из соседнего отдела, приносит ту сотню. Фальшивка! Отдал наш продавец ему свою сотню. На сколько в итоге прогорел наш горе-продавец?
  12.  Мачеха, уезжая на бал, дала Золушке мешок, в котором были перемешаны мак и просо, и велела перебрать их. Когда Золушка уезжала на бал, она оставила три мешка: в одном было просо, в другом — мак, а в третьем — еще не разобранная смесь. Чтобы не перепутать мешки, Золушка к каждому из них прикрепила по табличке: "Мак", "Просо" и "Смесь". Мачеха вернулась с бала первой и нарочно поменяла местами все таблички так, чтобы на каждом мешке оказалась неправильная надпись. Ученик Феи успел предупредить Золушку, что теперь ни одна надпись на мешках не соответствует действительности. Тогда Золушка достала только одно-единственное зернышко из одного мешка и, посмотрев на него, сразу догадалась, где что лежит. Как она это сделала?
  13.  — У меня зазвонил телефон.
    — Кто говорит?
    — Слон.
    А потом позвонил Крокодил, а потом позвонили Зайчатки, а потом позвонили Мартышки, а потом позвонил Медведь, а потом позвонили Цапли...
    Итак, у Слона, Крокодила, Зайчаток, Мартышек, Медведя, Цапель и у меня установлены телефоны. Каждые два телефонных аппарата соединены проводом. Как сосчитать, сколько для этого понадобилось проводов?
  14.  Винни-Пух решил позавтракать. Он налил себе стакан чая и добавил сливок из большого кувшина. Но как только он перемешал сливки и чай, то понял, что хочет пить чай без сливок.
    Недолго думая, он вылил из стакана в кувшин столько же чая со сливками, сколько сначала взял оттуда сливок. Конечно же, при переливании чай от сливок не отделился, и у Винни-Пуха образовались две смеси чая и сливок — в стакане и в кувшине.
    Тогда Винни-Пух задумался: чего же получилось больше — чая в кувшине со сливками или сливок в стакане чая? А как думаете Вы?
  15.  Лиза на 8 лет старше Насти. Два года назад ей было втрое больше лет, чем Насте. Сколько лет Лизе?
  16.  Имеются чашечные весы, любые гири и десять мешков с монетами. Все монеты во всех мешках одинаковы по внешнему виду, но в одном из мешков все монеты фальшивые и каждая весит по 15 г, а в остальных девяти мешках все монеты настоящие и каждая весит по 20 г. Как при помощи одного взвешивания определить, в каком мешке фальшивые монеты?
  17.  Кузнецу принесли 5 обрывков цепи, по 3 звена в каждом, и попросили соединить их в одну цепь. Кузнец задумался, как выполнить этот заказ проще. Сколько же звеньев нужно разъединить, а затем вновь соединить, чтобы все обрывки образовали одну цепь? Подумав, кузнец приступил к делу и, раскрыв только три звена, выполнил заказ. Как это сделал кузней?
  18.  Из 5 кусков цепи, состоящих соответственно из 10, 9, 7, 4 и 3 звеньев, нужно составить одну цепь в 33 звена. Как это сделать так, чтобы пришлось возможно меньше сделать разрезов и последующих сварок?
  19.  На постоялый двор приехал путешественник. Денег у него с собой не было, но была серебряная цепочка из шести звеньев. Хозяин гостиницы согласился принять в оплату номера за каждый день одно звено этой цепочки, но так, чтобы распиленных звеньев он получил не более одного. Как путешественнику следует распилить цепочку, чтобы можно было расплатиться с хозяином постоялого двора в течение пяти дней?
  20.  На сборе одного пионерского отряда затейники взяли пять одинаковых по размерам квадратиков бумаги: два из них белого цвета, а три — красного. Затем поставили рядом трёх пионеров: Васю, Колю и Петю, — попросили каждого из них отвести одну руку за спину, и каждому так, чтобы он не видел, вложили в эту руку квадратик красного цвета, а остальные два квадратика убрали. После этого каждому из трех пионеров разрешили посмотреть, какого цвета квадратики в руках у двух остальных, а затем каждому было предложено быстро сообразить, не отводя руки из-за спины, какого цвета у них квадратик. Коля первым догадался. Как он рассуждал?
  21.  Требуется поджарить 3 ломтика хлеба. На сковороде умещаются лишь два ломтика. На поджаривание ломтика с одной стороны требуется 1 мин. За какое кратчайшее время можно поджарить с двух сторон все 3 ломтика? (Время на перевертывание и перекладывание ломтиков можно в расчет не принимать.)
  22.  Имеются неверные (неравноплечие) чашечные весы. Пользуясь ими, весовщик должен определить массу некоторого груза. Может ли весовщик достаточно точно найти массу этого груза с помощью двух измерений: кладя сначала груз на одну чашку весов и гири на другую, а затем груз на вторую чашку и гири на первую? (Массой чашек по сравнению с массой груза можно пренебречь.)
  23.  Чтобы отвесить 2 кг крупы на неверных чашечных весах, хозяйка поступила так: сначала гирю в 1 кг она положила на одну чашку весов и отвесила крупу, затем эту гирю положила на другую чашку и отвесила крупу. Ссыпав вместе отвешенную крупу, она решила, что масса ее в точности равна 2 кг. Так ли это?
  24.  На реке во время половодья оторвало от берега и унесло большую лодку, на которой перевозили через реку окрестных жителей. У перевозчика осталась лишь одна маленькая лодка, на которой можно переправить либо одного взрослого, либо двух мальчиков, которые всегда помогали перевозчику переправлять народ. В это время к реке подошла партия землекопов. Поразмыслив немного, все землекопы ухитрились переправиться через реку именно на этой лодке. Как им удалось это сделать?
  25.  Мужичку надо переправить через реку волка, козу и капусту.
  26.  Да вот беда: лодка так мала, что в ней может поместиться только мужичок, а с ним либо волк, либо коза, либо капуста. Дело усложняется еще тем, что при переправе волка нельзя оставить с козой, так  как он ее съест. Капусту также нельзя оставить с козой, так как коза съест капусту. Мужичок думал-думал, но все-таки перевез всех на другую сторону. Как мужику удалось это сделать?
  27.  Из трех одинаковых по виду колец одно несколько легче других. Как найти его одним взвешиванием на чашечных весах?
  28.  Имеются девять пластин и двухчашечные весы. Одна из пластин легче других, но по виду они одинаковы. Как с помощью двух взвешиваний найти более легкую пластину?
  29.  Среди 27 монет одна фальшивая. Как найти фальшивую монету с помощью трех взвешиваний на весах с чашечками без гирь, если известно, что фальшивая монета тяжелее, чем настоящая?
  30.  Известно, что из четырех одинаковых по виду колец одно несколько отличается по весу от других, но не известно, легче оно или тяжелее. Как найти его не более чем двумя взвешиваниями на чашечных весах?
  31.  Из 75 одинаковых по виду колец одно кольцо по весу несколько отличается от других. Как за два взвешивания на чашечных весах определить, легче или тяжелее это кольцо, чем остальные?
  32.  Имеются чашечные весы без гирь и 3 одинаковые по внешнему виду монеты, одна из которых фальшивая: она легче настоящих (настоящие монеты одного веса). Сколько надо взвешиваний, чтобы определить фальшивую монету? Решите ту же задачу в случаях, когда имеется 4 монеты и 9 монет.
  33.  Имеются чашечные весы без гирь и 3 одинаковые по внешнему виду монеты. Одна из монет фальшивая, причем неизвестно, легче она настоящих монет или тяжелее (настоящие монеты одного веса). Сколько надо взвешиваний, чтобы определить фальшивую монету? Решите ту же задачу в случаях, когда имеется 4 монеты и 9 монет.
  34.  Имеются чашечные весы, любые гири и десять мешков с монетами. Все монеты во всех мешках одинаковы по внешнему виду, но в одном из мешков все монеты фальшивые и каждая весит по 15 г, а в остальных девяти мешках все монеты настоящие и каждая весит по 20 г. Как при помощи одного взвешивания определить, в каком мешке фальшивые монеты?
  35.  Четыре рыцаря с оруженосцами должны переправиться через реку на лодке без гребца, которая вмещает не более двух человек. Посреди реки есть остров, на котором можно высаживаться. Спрашивается, как совершить эту переправу так, чтобы ни на берегах, ни на острове, ни в лодке ни один оруженосец не находился в обществе чужих рыцарей без своего хозяина?
  36.  На станции железной дороги поезд Б приближается к станции железной дороги, но его нагоняет быстрее идущий поезд Л, который необходимо пропустить вперед. У станции от главного пути отходит боковая ветка, куда можно отвести на время вагоны с главного пути, но ветка эта настолько короткая, что на ней не помещается  весь поезд Б. Спрашивается, как все-таки пропустить поезд Л вперед?
  37.  Разъезд шести пароходов. По каналу один за другим идут три парохода: Л, Б, В. Навстречу им показались еще три парохода, которые тоже идут один за другим: Г, Д, Е. Канал такой ширины, что два парохода в нем разъехаться не могут, но в канале с одной стороны есть залив, в котором может поместиться только один пароход. Могут ли пароходы разъехаться так, чтобы продолжать свой путь по-прежнему?
  38.  Дело было в Америке. Как-то раз подошли к реке англичанин, негр и индеец, каждый со своей женой. Всем нужно было переправиться на другой берег. В их распоряжении была только одна лодка (да и то без гребца), способная вместить лишь двоих. Договорившись между собой, мужчины решили было приступить к переправе, как вдруг выяснилось, что ни одна из жен не желает переправляться в лодке с чужим мужем или оставаться на берегу в мужском обществе без своего мужа. Мужья призадумались, но все же сумели догадаться, как выполнить желание своих жен. Как они сумели переправиться через реку?

Задачи, решаемые с помощью таблиц

  1.  В турнире участвовали шесть шахматистов. Каждые два участника турнира сыграли между собой по одной партии. Сколько всего было сыграно партий? Сколько партий сыграл каждый участник? Сколько очков набрали шахматисты все вместе?
  2.  В шахматном турнире участвовали восемь человек, и все они набрали разное количество очков. Шахматист, занявший 2-е место, набрал столько же очков, сколько четыре последних вместе. Как сыграли между собой шахматисты, занявшие 3-е и 7-е места?
  3.  Для Миши, Пети и Васи испекли три пирога: с яблоками, с капустой и с мясом. Вася не любит пироги с капустой, а Петя не любит пироги с мясом и не ест с капустой. Какой пирог съел каждый из мальчиков?
  4.  В бутылке, в стакане, кувшине и банке находиться молоко, лимонад, квас и вода. Известно:

Вода и молоко не в бутылке;

Сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом;

В банке не лимонад и не вода;

Стакан стоит около банки и сосуда с молоком.
Куда налита каждая жидкость?

  1.  Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего — регби. Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра — единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги. Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен. Определите, кто, чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия?

  1.  Трое друзей, болельщиков автогонок "Формула-1", спорили о результатах предстоящего этапа гонок.

— Вот увидишь, Шумахер не придет первым, — сказал Джон. Первым будет Хилл.

— Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, — воскликнул Ник. — А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым.

Питер, к которому обратился Ник, возмутился:

— Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину.

По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?

  1.  Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за закрытыми дверями проекты соглашения о полном разоружении, представленные каждой из стран. Отвечая затем на вопрос журналистов: "Чей именно проект был принят?", министры дали такие ответы:
    Россия — "Проект не наш, проект не США";
    США — "Проект не России, проект Китая";
    Китай — "Проект не наш, проект России".

Один из них (самый откровенный) оба раза говорил правду; второй (самый скрытный) оба раза говорил неправду, третий (осторожный) один раз сказал правду, а другой раз — неправду.

Определите, представителями каких стран являются откровенный, скрытный и осторожный министры.

  1.  Десять мальчиков: Александр, Борис, Василий, Георгий, Дмитрий, Евгений, Зиновий, Иван, Кирилл и Леонид учатся  в разных классах одной школы. В каком классе учится каждый из них, если известно:

- старший брат Дмитрия оканчивает 7-ой класс, а младший брат Жени учится в 5-ом  классе;

- Саша старше Кирилла на один класс, А Леня старше Жени на два класса;

- Вася оканчивает школу в этом году;

- Ваня по окончании третьего класса получил награду;

- Боря – пионервожатый в 5-ом классе, а Вася – в 4-ом;

- Саша, Кирилл и шестиклассник живут на проспекте Мира, а Дима, первоклассник и восьмиклассник – на Садовой;

- Боря помогает отстающему Жене, Дима помогает Ване, а Саше помогает Георгий.

(В задаче идёт речь о десятилетней школе).

  1.  Беседуют   трое:    Белокуров,    Чернов    и    Рыжов.    Брюнет    сказал Белокурову: «Любопытно, что один из нас русый, другой - брюнет, а третий - рыжий, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии».
    Какой цвет волос имеет каждый из беседующих?
  2.  Когда три подруги — Надя, Валя и Маша вышли гулять, на них были белое, красное и синее платья. Туфли их были тех же трех цветов, но только у Нади цвета туфель и платья совпадают. При этом у Вали ни платье, ни туфли не были синими, а Маша была в красных туфлях. Определите цвет платьев и туфель каждой из подруг.
  3.  Катя, Аня и Лена купили три билета: в кино, на рок-концерт и в театр. Лена не увлекается громкой музыкой. Аня не любит рок-концерты, а от просмотра телефильмов у нее быстро устают глаза. Куда отправилась каждая из девочек?
  4.  Треугольник, квадрат, круг и пятиугольник выложили в ряд. Цвета этих фигур различны. Красная фигура лежит между зелёной и синей. Справа от жёлтой фигуры лежит пятиугольник. Круг лежит правее, чем треугольник, и правее, чем пятиугольник. Треугольник лежит не с краю. Синяя фигура не лежит рядом с жёлтой. Нарисуйте, как лежат данные фигуры, указав их цвета.
  5.  Имеется три конверта, на один из которых нужно наклеить марку. В каждом конверте содержится листок с двумя утверждениями. В одном конверте оба утверждения истинны, в другом — оба ложны, а в третьем конверте одно утверждение истинно, а другое — ложно.

Вот эти утверждения:

Конверт 1

1.На этот конверт не нужно наклеивать марку.
2.Обязательно нужно наклеить марку на второй конверт.

Конверт 2

1. Не нужно наклеивать марку на первый конверт.
2. Необходимо наклеить марку на третий конверт.

Конверт 3

1. Не следует наклеивать марку на этот конверт.
2. Требуется наклеить марку на первый конверт.

Определите, на какой конверт нужно наклеить марку.

  1.  На автобусе ездил Андрей
    На кружок и обратно домой,
    Заплатив 115 рублей,
    Покупал он себе проездной.

В январе он его не достал,
И поэтому несколько дней
У шофёра билет покупал
Он себе за 15 рублей.

А в иной день кондуктор с него
Брал 11 только рублей.
Возвращаясь с кружка своего
Всякий раз шёл пешком наш Андрей.

За январь сколько денег ушло,
Посчитал бережливый Андрей:
С удивлением он получил
Аккурат 115 рублей!

Сосчитайте теперь поскорей,
Сколько раз был кружок в январе?

  1.  В Пустоземье живут три племени: эльфы, гоблины и хоббиты. Эльф всегда говорит только правду, гоблин всегда лжёт, а хоббит через раз говорит то правду, то ложь. Однажды за круглым столом пировало несколько пустоземцев, и один из них сказал, указав на своего левого соседа: "Он - хоббит". Сосед сказал: "Мой правый сосед солгал". В точности ту же фразу затем повторил его левый сосед, потом её же произнёс следующий по кругу, и так они говорили "Мой правый сосед солгал" много-много кругов, да и сейчас ещё, возможно, говорят.
    Определите, из каких племён были пирующие, если известно, что за столом сидело
    а) девять, б) десять жителей Пустоземья. Объясните своё решение.
  2.  Четыре подруги пришли на каток, каждая со своим братом. Они разбились на пары и начали кататься. Оказалось, что в каждой паре "кавалер" выше "дамы" и никто не катается со своей сестрой. Самым высоким в компании был Юра Воробьев, следующим по росту — Андрей Егоров, потом Люся Егорова, Сережа Петров, Оля Петрова, Дима Крымов, Инна Крымова и Аня Воробьева. Определите, кто с кем катался?
  3.  Ребята обсуждают ответ на задачу конкурса «Кенгуру».

«Верен ответ А или D» – сказала Лена.

«Верен ответ В или Е» – сказал Юра.

«А, В и С – неверные ответы» – сказала Таня.

«Верный ответ – А» – сказал Саша.

«Все вы не правы» – сказала Наташа.

Оказалось, что мальчики и девочки ошиблись одинаковое число раз. Так какой же ответ верный?

(A) A  (В) B  (С) C  (D) D  (Е) E

  1.  В универмаге встретил я

Осла, козу и кошку,

Они купили красный мяч

И желтую гармошку.

Зайдя потом, увидел я

Осла, козу и белку,

Они купили красный плащ

И белую тарелку.

Зашел я в третий, встретил там    

Опять осла и кошку.

Они купили в этот раз

Лишь желтую матрешку.

Мне срочно нужен твой совет,

Задумайся немножко.

Скажи: какой любимый цвет

У белки и у кошки.

И кто не сделал ни одной

Покупки в магазинах.

Поскольку не было, увы,

Товаров ярко-синих.

Совет: учтите, что каждый из героев этого стихотворения покупает товары только одного любимого им цвета.

  1.  В одной семье было много детей. Семеро из них любили капусту, шестеро любили морковь, пятеро — горох. Четверо из детей любили капусту и морковь, трое любили капусту и горох, двое — морковь и горох, а один — и капусту, и морковь, и горох. Сколько было детей в этой семье?
  2.  Три ученицы — Галя, Лида и Наташа — в соревнованиях по гимнастике заняли три первых места. Когда же девочек спросили, кто из них занял первое место, они дали три разных ответа.

Галя: «Я заняла первое место»;

Лида: «Я заняла не первое место»;

Наташа: «Я заняла не третье место, однако, вы учтите, что один из ответов моих подруг правильный, а другой — неправильный».

Кто занял в соревнованиях первое место, если Наташин ответ во всем правдив?

  1.  Четыре ученицы — Мария, Нина, Ольга и Поля — участвовали в лыжных соревнованиях и заняли четыре первых места. На вопрос, кто какое место занял, они дали три разных ответа:

1.«Ольга заняла первое место, Нина — второе»;

2.«Ольга — второе, Поля — третье»;

3.«Мария — второе, Поля четвертое».

Отвечавшие при этом признали, что одна часть каждого ответа верна, а другая - неверна. Какое место заняла каждая из учениц?

22. Три друга: Алеша, Боря и Витя — учатся в одном классе. Один из них ездит домой из школы на автобусе, один — на трамвае и один — на троллейбусе. Однажды после уроков Алеша пошел проводить своего друга до остановки автобуса. Когда мимо них проходил троллейбус, третий друг крикнул из окна: «Боря, ты забыл в школе тетрадку!» Кто на чем ездит домой?

23. На одном заводе работают три друга: слесарь, токарь и сварщик. Их фамилии Борисов, Иванов и Семенов. У слесаря нет ни братьев, ни сестер, он самый младший из друзей. Семенов старше токаря и женат на сестре Борисова. Назовите фамилии слесаря, токаря и сварщика.

Задачи, решаемые построением графов

  1.  В семье четверо детей, им 5, 8, 13 и 15 лет. Детей зовут Аня, Боря, Вера и Галя. Сколько лет каждому ребенку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори и сумма лет Ани и Веры делится на три?
  2.  При построении восемь мальчиков разместились так, что:

А был впереди Б и В;

Б впереди К через одного;

Л впереди А, но после Д;

В после Е через одного;

Д между Б и Г;

Е рядом с К, но впереди В.

В каком порядке выстроились мальчики?

  1.  В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе.

Известно, что:

Смит самый высокий;

играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте;

играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу;

когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их;

Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.

На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами?

  1.  Владимир, Игорь и Сергей преподают математику, физику и литературу, а живут они в Рязани, Туле и Ярославле. Известно также, что Владимир живет не в Рязани, Игорь живет не в Туле, рязанец – не физик, Игорь – не математик, туляк преподает литературу. Кто где живет и что преподает?
  2.  Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?
  3.  Три дочери писательницы Дорис Кей — Джуди, Айрис и Линда, тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств — пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго.

Известно, что:

Джуди живет не в Париже, а Линда — не в Риме;

парижанка не снимается в кино;

та, кто живет в Риме, певица;

Линда равнодушна к балету.

Где живет Айрис, и какова ее профессия?

  1.  На улице, став в кружок, беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Галя и Надя. Девочка в зеленом платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей. Какого цвета платья у каждой из девочек?
  2.  У каждого из четырех ребят живет какое-то одно любимое животное: кошка, собака, рыбка или канарейка (у всех разные). У Миши животное – с пушистой шерстью, у Феди – четвероногое, у Коли – пернатое. И Женя, и Миша не любят кошек. Какое из следующих утверждений неверно:

а) У Феди – собака, б) У Коли – канарейка, в) У Феди – кошка, г) У Жени – рыбка, д) У Миши – собака?

  1.  Бабушка Варя с гордостью рассказывала о своих внучках: оказывается, каждая из них играет на каком-нибудь музыкальном инструменте и говорит на одном из иностранных  языков.

- На чём играет Маша? – спросил я.

- На рояле.

- А кто играет на скрипке?

- Что-то не могу вспомнить, но, по-моему, та девочка, которая говорит по-французски, - ответила бабушка.

Поговорив с бабушкой, я узнала, что Оля играет на виолончели, а Лена не говорит по-немецки. Маша не знает итальянского языка, а Оля не скрипачка и не знает английский язык. Валя не знает французского, Лена не играет на арфе, а виолончелистка не говорит по-итальянски. Определите, кто из девочек  играет на каком  инструменте, и говорит на каком языке.

  1.  В семье четверо детей. Им исполнилось 5, 8, 13 и 15 лет. Детей зовут Аня, Миша, Вера и Женя. Одна из девочек ходит в детский сад. Аня старше Миши. Сумма возрастов Ани и Жени делится на 3. Кто Женя: мальчик или девочка?
  2.  На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путник встретил троих островитян и спросил каждого из них: "Сколько рыцарей среди твоих спутников?". Первый ответил: "Ни одного". Второй сказал: "Один". Что сказал третий?
  3.  Задача «Дело Брауна, Джонса и Смита». Один из них совершил преступление. В процессе расследования каждый из них сделал по два заявления:

Браун: 1.Я не преступник. 2.Джонс - тоже.

Джонс: 1. Браун не преступник. 2. Преступник - Смит.

Смит: 1. Преступник - Браун. 2. Я не преступник.

В процессе следствия было установлено, что один из них дважды солгал, другой дважды сказал правду, а третий - один раз солгал и один раз - сказал правду. Кто совершил преступление?

  1.  Встретились два сыщика. Вот их диалог: - У тебя два сына? - Да, маленькие, в школу не ходят. - Кстати,   произведение их лет равно числу голубей возле нас. – Этих данных недостаточно. - А старшего я назвал твоим именем. - Теперь я знаю, сколько им лет. Сколько лет сыновьям?

14.В очереди в кассу за билетами на концерт стоят Юля, Маша, Вика, Даша и Оля. Известно,   что: Юля купит билет раньше, чем Маша, но позже Оли; Вика и Оля не стоят рядом; Даша не находится рядом ни с Олей, ни с Юлей, ни с Викой. Кто за кем стоит в очереди?

15. Кто участвовал в ограблении! Известно, что из шести гангстеров ровно двое участвовали в ограблении. На вопрос, кто участвовал в ограблении, они дали следующий ответы:

Гарри: Чарли и Джордж.

Джеймс: Дональд и Том.

Дональд: Том и Чарли.

Джордж: Гарри и Чарли.

Чарли: Дональд и Джеймс.

Поймать Тома не удалось. Кто участвовал в ограблении если известно, что четверо из гангстеров верно назвали одного из участников ограбления, а один назвал неверие оба имени?


Другие задачи

  1.  Лена, Оля, Таня участвовали в беге на 100 м. Лена прибежала на 2 с раньше Оли, Оля прибежала на 1 с позже Тани. Кто пришел раньше: Таня или Лена и насколько секунд?
  2.  В каждой клетке 99x99 сидит жук. В некоторый момент времени каждый жук переполз на соседнюю (по горизонтали или по вертикали) клетку. Верно ли, что после этого на доске останется хотя бы одна пустая клетка?
  3.  Бригада строителей состояла из каменщиков, штукатуров, печников и разнорабочих (без специальностей). Все печники являлись каменщиками. Среди тех каменщиков, которые являлись еще и печниками, нет ни одного, который не был бы еще и штукатуром. Все те каменщики, которые были еще и штукатурами, оказались к тому же еще и печниками. Кроме того, известно следующее: рабочих, владевших только одной специальность, столько же, сколько разнорабочих; сумма удвоенного числа тех рабочих, которые были только штукатурами, и утроенного числа тех рабочих, которые были только каменщиками, равна 15; число рабочих, владевших только специальностью каменщика, было в пять раз меньше, чем сумма числа 9 и утроенного числа рабочих, которые владели всеми специальностями. Сколько рабочих было в бригаде?
  4.  В двузначном числе зачеркнули цифру, и оно уменьшилось в 46 раз. Определите, какое это было число и какую цифру зачеркнули.
  5.  В хороводе по кругу стоят 15 детей. Справа от каждой девочки стоит мальчик. У половины мальчиков правый сосед тоже мальчик, а у каждого из остальных мальчиков правый сосед - девочка. Сколько мальчиков и сколько девочек в хороводе?
  6.  6 карасей легче 5-ти окуней, но тяжелее 10 лещей. Что тяжелее — 2 карася или 3 леща?
  7.  Баба Яга в своей избушке на курьих ножках завела сказочных животных. Все они, кроме двух,— Говорящие Коты; все, кроме двух,— Мудрые Совы; остальные — Усатые Тараканы. Сколько обитателей в избушке у Бабы Яги?
  8.  4. Когда отцу было 27 лет, сыну было только три года, а сейчас сыну в три раза меньше лет, чем отцу. Сколько лет сейчас каждому из них?
  9.  Мальчик и поросенок весят столько, сколько 5 ящиков. Поросенок весит столько, сколько 4 кошки; 2 кошки и поросенок весят столько, сколько 3 ящика. Сколько кошек уравновесят мальчика?
  10.  Четыре чашки и один кувшин для воды весят столько, сколько 17 свинцовых шариков. Кувшин весит столько, сколько одна чашка и 7 шариков. Сколько шариков уравновешивают кувшин?
  11.  На вопрос, сколько весит его рыба, рыбак ответил:

«Хвост весит 150 г, голова - столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище — сколько голова и хвост вместе». Сколько весит рыба?

  1.  Петя любит математику, но не любит рисовать. Когда у него не получился набросок вазы, он разорвал его на 10 частей, потом некоторые из них - еще на 10 и т. д. Вскоре Петина мама заглянула в комнату и сказала сердито: «Зачем ты разбросал по полу пятьсот клочков бумаги?» Петя тут же ответил: «Вовсе не пятьсот!» Прав ли Петя? И может ли оказаться так, что на полу лежит ровно 1000 клочков бумаги? А 1999?
  2.  Из 100 туристов, выехавших в заграничное путешествие, владеют немецким языком 30 человек, английским — 28, французским — 42, английским и немецким — 8, английским и французским — 10, немецким и французским — 5, тремя этими языками — 3. Сколько туристов не владеют ни одним из этих языков, владеют одним английским, одним французским, одним немецким?
  3.  В отчете об изучении иностранных языков студентами некоторой специальности говорилось, что всех студентов 100 человек, из них 5 человек изучают английский, немецкий и французский языки, 10 — английский и немецкий, 8 — французский и английский, 20 — немецкий и французский, 30 — английский, 23 — немецкий, 50 — французский. Тому, кто составил этот отчет, было указано на ошибки. Верно ли это?


              

Заключение

Обучение математике будет развивающим, если оно будет развивать логическое мышление и интуицию учеников, если оно сумеет обеспечить такое их сочетание в учебном процессе, в котором логика и интуиция участвуют в процессе научного математического поиска. Развитие интуиции и логики в обучении – это две стороны единого процесса – развития  логической культуры. На наш взгляд, сформировать и развить логическую культуру школьников поможет решение ими логических задач.

В нашей работе мы ознакомились с понятием «логическая задача», выделили типологию логических задач, рассмотрели методы обучения и методы их решения, разработали систему логических задач. Нами были получены результаты эксперимента по обучению решению логических задач в математическом кружке.


Библиография

  1.  Брушлинский, А.В. Психология   мышления   и   кибернетика.- М.: Просвещение,   1970.
  2.  Балл, Г.А. Теория учебных задач: Психолого-педагогический аспект.– М.: Педагогика, 1990.
  3.  Березина, Л.Ю. Графы помогают решать задачи // Математика в школе. - 1972.- № 2.
  4.  Бизам, Д., Герцег, Я. Игра и логика.- М.: Мир, 1975.
  5.  Бизам, Д., Герцег, Я. Многоцветная логика. 175 логических задач.- М.: Мир, 1978.
  6.  БСЭ под ред. Введенского, Б.А., 16 том.- 2-е изд.- М.: Гос. Науч. изд-во, 1957.
  7.  Ведерникова, Т.Н., Иванов, О.А. Интеллектуальное развитие школьников на уроках математики. // Математика в школе. - 2002. - № 3.
  8.  Выбор методов обучения в средней школе. /Под ред. Ю.К. Бабанского. - М., 1981.
  9.  Гарднер, М. А ну-ка догадайся! - М.: Мир, 1984.
  10.  Гарднер, М. Математические головоломки и развлечения. – М.: Мир, 1971.
  11.  Гарднер, М. Математические досуги. – М.: Мир, 1972.
  12.  Гик, Е.Я. Занимательные математические игры. - М.: Знание, 1987.
  13.  Депман, И.Я. Первое знакомство с математической логикой. - Л., 1965.
  14.  Дорофеев, Г.В., Петерсон, Л.Г. Математика, 5 класс. - М.: Просвещение, 1996.
  15.  Епишева, О.Б., Крупич, В.И. Учить школьников учиться математике: Формирование приёмов учеб. деятельности: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1990.
  16.  Задачи для внеклассной работы по математике в 5-6 классах: Пособие для учителей /Сост. В. Ю. Сафонова; Под ред. Д.Б. Фукса, А.Л. Гавронского. – М.: МИРОС, 1983.
  17.  Заесенок, В.П. Подумай и ответь (Логические задачи). - М., 1996.
  18.  Заесёнок, В.П. Эвристические приёмы решения логических задач. // Математика в школе. – 2005. -  № 3.
  19.  Зак, А.З. 600 игровых задач для развития логического мышления школьников. – Ярославль: Академия развития, 1992.
  20.  Игнатьев, Е.И. В царстве смекалки. - М.: Наука, 1979.
  21.  Каплан, Б.С. Методы обучения математике. – Минск: Народная асвета, 1981.
  22.  Клименченко, Д.В. Задачи по математике для любознательных. - М.: Просвещение, 1992.
  23.  Колмогоров, А.Н. Математика наука и профессия. – М.: Наука, 1988.
  24.  Колягин, Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч. 2. Обучение математике через задачи и обучение решению задач. - М.: Просвещение, 1977.
  25.  Кордемский, Б.А. Математическая смекалка. - М.: Наука, 1965.
  26.  Кордемский, Б.А. Очерки о математических задачах на логику. - М.: Просвещение,
    1987.
  27.  Кострикина, Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7 – 9 классов: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1991.
  28.  Кулагина, И.Ю., Колюцкий, В.Н. Возрастная психология: Полный жизненный цикл развития человека. Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. — М.: ТЦ Сфера, при участии «Юрайт», 2002.
  29.  Левитас, Г.Г. Задачи для 5-6 классов. - М.: Просвещение, 2002.
  30.  Лихтарников, Л.М. Логические задачи: Элементы математической логики. - Л.: ЛГПИ им. А.И. Герцена, 1976.
  31.  Махмутов, М.И. Проблемное обучение. – М.: Педагогика, 1975.
  32.  Мельников, О.И. (Минск), Куприянович, В.В. (Новополоцк). Обучение элементам теории графов в 4-6 классах. // Математика в школе. -  2004. -  № 4.
  33.  Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. / Сост. В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Просвещение, 1980.
  34.  Нагибин, Ф.Ф. (Киров). Применение Графов для решения логических задач. // Математика в школе. – 1964. - № 3.
  35.  Нагибин, Ф.Ф., Канин, Е.С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся 4-8 кл. сред. шк. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 1988.
  36.  Никольская, И.Л. Привитие логической грамотности при обучении математике. Автореф. Канд. Дис. - М., 1973.
  37.  Общая психология: Курс лекций для первой ступени педагогического    образования. / Сост. Е.И. Рогов. – М.: Владос, 1995.
  38.  Олехник, С.Н. и др. Старинные занимательные задачи. - М.: Наука, 1988.
  39.  Перельман, Д.И. Живая математика. Математические рассказы и  головоломки. / Под ред. и с дополн. И.Г. Болтянского. -  11-е  изд. – М.: Наука, 1978.
  40.  Пойа, Д. Математическое открытие. – М.: Наука, 1976.
  41.  Полякова, Т.С. История математического образования в России. Два века. – М.: Изд. Московского ун-та, 2002.
  42.  Пчелинцев, Ф.А., Чулков, П.В. Математика. 5-6 класс. Уроки математического мышления. – М.: 1998.
  43.  Саранцев, Г.И. Методика обучения математике в средней школе. - М.: Просвещение,
    2002.
  44.  Фридман, Л.М., Турецкий, Е.Н. Как научиться решать задачи? - М.: Просвещение,
    1984.
  45.  Фридман, Л.М. Психолого–педагогические основы обучения математике в школе. – М.: Просвещение, 1983.
  46.  Фридман, Л.М. Теоретические основы методики обучения математике. - М.: МПСИ «Флинта», 1998.
  47.  Цинман, Л.Л. Логические задачи и алгебра высказываний // Квант - 1971. - № 4.
  48.  Шапиро, С.И. Решение логических и игровых задач (логико-психологические этюды). - М: Радио и связь, 1984.
  49.  Шевкин, А.В. Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах: Кн. для учителя. – M., 2001.
  50.  Шеврин, Л.Н. и др. Математика: учебник - собеседник для 5 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1994.
  51.  Шевченко, В.Е. Логические задачи. - К., 1979.
  52.  Шейнина, О.С., Соловьёва Г.М. Математика. Занятия школьного кружка. 5-6 кл. – М.: НЦ ЭНАС, 2003.
  53.  Шнейдерман, М.В. Метод конструирования логических задач. // Математика в школе. – 1998. - № 3.
  54.  Эрдниев, П.М. Математика: учебник для 5-6 классов средней школы. - М., 1993.      
  55.  Эсаулов, А.Ф. Проблемы решения задач в науке и технике. – Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1979.


  
И         Д     С

Х

  Б

        Ф

         М

Л

 К

  И        Д      С

Х

Б

       Ф

       М

 Л

 К

Тетр.

Тетр.

Тетр.

Тетр.

Тетр.

Тетр.

Тетр.

Тетр.

Тетр.

Тетр.

Тетр.

Тетр.

Тетр.

Тетр.

Тетр.

Тетр.

Тетр.

Тетр.

Тетр.

Тетр.

Тетр.

Тетр.

Тетр.

Тетр.

Тетр.

Тетр.

Тетр.

Тетр.

                          И            Д                 С

 М                                                                 Х

   Т                                                                 Б

                                                          

                                                                   Ф

      Н

а)

в)

г)

б)

  К                   А

  К                   А     

  К                   А        В

 М         К                  А      В

путешественник

Селение правдолюбов

Селение

шутников

правдолюб

шутник

правдолюб

утник

да

да

нет

нет

 К                                        Т

 Л                                          Р

 А                                          К

К •                                       •  Т

Л                                            Р

А                                            К

К •                                       •  Т

Л                                            Р

А                                            К

К                                            Т

Л                                            Р

А                                            К

К                                            Т

Л                                            Р

А                                            К

  1.  

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

4055. Актуальные аспекты в творчестве Ю.А. Лаврикова 37 KB
  Актуальные аспекты в творчестве Ю.А. Лаврикова. В вышедшей в 1989 году книге Интенсификация производства и проблемы управления трудом, Юрий Александрович Лавриков провел параметрический анализ производства переходного периода. Этот переходный пери...
4056. Принцип наследования. Создание иерархии классов. Классы и модули 46.5 KB
  Принцип наследования. Создание иерархии классов. Классы и модули. Задание: Создать иерархию графических классов в соответствии с рисунком. Описания классов оформить в отдельном модуле. Для создания данной программы, нам нужно обязательно созда...
4057. Дееспособность несовершеннолетних. Несовершеннолетние в области трудового, жилищного права 60.5 KB
  Лекция. Дееспособность несовершеннолетних. Несовершеннолетние в области трудового, жилищного права Гражданское законодательство о несовершеннолетних Гражданский кодекс Российской Федерации является основным источником гражданских прав, законных инте...
4058. Внешняя торговля России 301 KB
  Введение Самая старая форма международных отношений - это международная торговля. Еще до формирования мирового хозяйства народы вели активную торговлю товарами, то есть обменивали то, что у одних было в избытке на то, с чем был дефицит, а у других н...
4059. Звуковые системы современного кино 1.62 MB
  Звуковые системы современного кино DolbyStereo В 80-е гг. XXв., после внедрения относительно недорогого стереофонического оборудования фирмы Dolby Laboratories, на обычной 35-мм пленке удалось...
4060. Определение потока и индукции магнитного поля 123 KB
  Определение потока и индукции магнитного поля Цель работы: Определение магнитного потока, пронизывающего площадь контура, внесенного в зазор между двумя катушками, и исследование зависимости индукции магнитного поля, создаваемого катушками, от силы...
4061. Определение взаимной индукции двух контуров 136.5 KB
  Определение взаимной индукции двух контуров. Цель работы: Целью данной работы является определение коэффициента взаимной индукции двух катушек в зависимости от расстояния между ними. Приборы и инструменты № Название Предел измерения Цена делен...
4062. Определение горизонтальной составляющей магнитного поля Земли 130.5 KB
  Определение горизонтальной составляющей магнитного поля Земли. Цель работы: Целью данной работы является ознакомление с устройством и принципом действия тангенс-гальванометра, измерение с его помощью горизонтальной составляющей напряженности м...
4063. Особенности определения удельного заряда электрона методом магнетрона 82.5 KB
  Определение удельного заряда электрона методом магнетрона Цель работы: Целью данной работы является определение удельного заряда электрона (отношение заряда электрона к его массе). Приборы и инструменты Название Предел измерения Цена деления...