9613

Деякі джерела помилок та заходи по їх обліку або запобіганню

Реферат

Физика

Вступ Однією з основних задач лабораторного практикуму, окрім сприяння кращому засвоєнню ідей та законів фізики, є виховання у студентів навичок самостійної практичної роботи та, насамперед, правильного виконання вимірів фізичних величин. Під час пр...

Украинкский

2013-03-14

160 KB

0 чел.

Вступ

Однією з основних задач лабораторного практикуму, окрім сприяння кращому засвоєнню ідей та законів фізики, є виховання у студентів навичок самостійної практичної роботи та, насамперед, правильного виконання вимірів фізичних величин.

Під час проведення робіт студентам треба виконувати виміри тих чи інших фізичних величин за допомогою різних пристроїв. Виміряти будь-яку величину – означає дізнатися, скільки разів в ній міститься однорідна з нею величина, що прийнята за одиницю виміру.

В результаті вимірів одержується наближене значення шуканої величини, яке містить в собі помилки, що зумовлені неточністю методу експериментування, недостатньою чутливістю пристроїв, а також недосконалістю наших органів чуттів.

Відхилення виміряної величини xi від її істинного значення x має назву похибки виміру x=x1-x, які діляться на три типи: грубі помилки, систематичні та випадкові.

Грубі помилки одержуються в результаті будь-яких промахів з боку експериментатора, наприклад, неправильних відліків або неправильних записів показів пристроїв. Ці помилки за абсолютною величиною в три і більше рази перевищують середню абсолютну помилку (див. нижче визначення помилки) та виміри з такими помилками відкидаються, якщо нема можливості встановити та уникнути грубу помилку.

Систематичні помилки – постійні або мало змінювані за деяким законом помилки вимірювань – одержуються в результаті наступних причин:

  1.  несправності пристроїв, наприклад, неточного установлення нуля пристрою, невідповідності шкали її номінальному значенню;

помилковості методів експериментування;

однобічного впливу зовнішніх умов на показники пристроїв (впливу температури, тиску, неправильного освітлення, потоків повітря і т.ін.).

Систематичні помилки, як правило, повторюються з досліду в дослід і, отже, входять повністю до середньоарифметичного значення вимірюваної величини. Для того, щоб привести вплив таких помилок до мінімуму, треба суворо дотримуватися методики вимірів та правил використання вимірювальних пристроїв.

Випадкові помилки – помилки, що змінюються від виміру до виміру за величиною та за знаком, звичайно дуже невеликі у порівнянні з вимірюваною величиною – отримуються в результаті незначних неточностей в установленні пристроїв та відліку їх показів, які не бажаючи може внести будь-який дослідник. Ці помилки носять статистичний характер, тобто ймовірність як завищеного, так і заниженого значень однакова. Обліком випадкових помилок займається теорія похибок.

Деякі джерела помилок та заходи по їх обліку або запобіганню

  1.  Температурні помилки. При вимірюванні температури під час дослідів змінюються фізичні та геометричні характеристики пристроїв, тіл вимірювання, а внаслідок цього змінюються і покази пристроїв. Для зменшення температурних помилок необхідно забезпечувати термостатування під час вимірювання, обов'язково описувати існуючі умови експерименту – температуру, тиск, вологість – і, якщо можливо, вимірювання організувати симетрично відносно середини дослідів, тобто якщо почали виконувати виміри з одної позначки, потім перейшли до другої, третьої, то другий етап треба починати з третьої позначки, далі другої і завершити першою.

Помилка паралакса. Виникає вона через неправильне положення ока спостерігача при обліку пристрою.

Помилка "мертвий хід". Більшість пристроїв (катетометр, гоніометр та ін.) мають затискувальні та мікрометрові гвинти. Щоб повернути трубу такого пристрою на великий кут, треба віджати затискувальний гвинт. Точна наводка пристрою виконується мікрометровим гвинтом при затисненні гвинта. Відлік пристрою залежить, через недостатню жорсткість пружин в конструкції гвинта, від того, як виконувався останній рух мікрометрового гвинта – за або проти годинникової стрілки (мертвий хід). Рекомендується останній оберт гвинта робити завжди проти годинникової стрілки.

Помилка "нуля". Треба завжди перевіряти установку пристрою та поправку на нуль враховувати. Корисніше організовувати виміри так, щоб вимірювана величина дорівнювала різниці двох відліків - кінцевого та початкового.

1.Оцінка випадкової помилки при прямих вимірюваннях.

До прямих вимірювань належать величини, що виробляються безпосередньо приладами.

1.1 Визначення помилки засобом середнього.

Нехай шукана величина х виміряна n разів в однакових умовах і при цьому отримано ряд близьких значень xj.

Різні значення величин xj отримались тому, що при її вимірюваннях були допущені випадкові помилки.

Завдяки статистичному характеру випадкових помилок найбільш близькими  до істинного значення виміряної величини буде середнє арифметичне результатів всіх вимірювань:

  . (1)

При цьому, чим більше буде зроблено вимірювань, тим ближче буде середнє арифметичне значення до істинного значення шуканої величини.

Так як істинне значення х вимірюваної величини в багатьох випадках невідомо, за цю величину приймають середнє арифметичне результатів окремих вимірювань х»хср.

За помилку окремих вимірювань приймається різниця між виміряними значеннями шуканої величини і їх середнім арифметичним:

 xj=xj-xср. (2)

Сума помилок в цьому випадку повинна дорівнювати нулю (і якщо відмінна від нуля, то тільки з-за округлення середньоарифметичного значення). Тому за середню абсолютну помилку вимірювань приймається величина, що дорівнює середньоарифметичному із абсолютних величин окремих помилок вимірювань, тобто:

 (3)

При такому обчислюванні абсолютної помилки ймовірність того, що істинне значення величини х буде лежати в межах xср±x (за теорією ймовірності) складе 64%, якщо число вимірювань менше чотирьох. При числі вимірювань, що дорівнює чотирьом, ймовірність такого співпадіння збільшиться до 90%, а при числі вимірювань, що дорівнює дев'яти – до 98%. Внаслідок цього, знання абсолютної помилки дозволяє вказати межи, в яких з визначеною ймовірністю лежить шукана величина. Результат можна записати

x=xср±x (4)

Згідно з теорією виходить, що абсолютна помилка визначається з малою точністю, тому значення абсолютної помилки Dх треба записувати з однією значущою цифрою.

Середньоарифметичне значення шуканої величини xср треба округлити до того ж розряду, що й абсолютну помилку.

1.2 Відносна помилка.

Відношення абсолютної помилки вимірювання до середнього значення шуканої величини називається помилкою вимірювання Е, що звичайно виражається у відсотках:

 (5)

Відносна помилка розраховується з двома значущими цифрами.

1.3 Приладна похибка.

З-за різних дефектів в виробленні приладів, а також з-за відхилення умов вимірювання від ідеальних, в вимірюваннях завжди спостерігається похибка, що притаманна даному приладу, що називається приладною похибкою. Приладна похибка вважається, як правило, однаковою на всій шкалі. Відносна помилка вимірювань буде тим менша, чим більша частина шкали приладу використовується для вимірювання.

1.3.1. Визначення приладної похибки за класом точності. Приведений клас точності – помножене на 100 відношення приладної похибки до межі вимірювання. Межа вимірювання вказується на клемах приладу або на перемикачі меж вимірювання. Клас точності – цілі і десяті долі, що розділені крапкою, – вказаний на циферблаті приладу (наприклад 0,5; 1,5 і таке інше), тобто:

 

звідси

2.3.  Метод середнього.

Цей метод застосовується в тому випадку, коли вимірювання проводять в різних умовах. Наприклад, для визначення в'язкості рідини методом Стокса вимірюють діаметр dі різноманітних кульок і часу tі їх падіння в рідині; для визначення модулю Юнга вимірюють подовження дроту Dlі при різноманітних вантажах (різноманітні маси m1) і т.д. Неправильно брати середнє з діаметрів кульок і часу їх падіння, так як різноманітність зумовлена не стільки випадковими помилками, скільки фактичною різноманітністю кульок у вазі.

В цьому випадку у вихідній формулі (6) для визначення А необхідно виділити таку комбінацію змінюючихся величин х, у, яка повинна бути постійною на протязі всіх дослідів. Позначивши постійну величину через B, знаходять її середнє значення Bср і помилку DB аналогічно методу середнього для прямих вимірів( см. пункт 1.1). Остаточно величина А та її помилка DА знаходяться методом частинного диференціювання або методом диференціювання натурального логарифма функції із врахуванням помилок вимірювання та заокруглення інших величин.

Зауваження.

  1.  1. Якщо шукана величина А дорівнює сумі або різниці вимірюваних величин А=х±у, то, виконавши частинне диференціювання, знаходимо, що помилка шуканої величини дорівнює сумі абсолютних помилок вимірюваних величин, тобто:

 DА=Dх+Dу.

В цьому випадку вимірювання х та у треба виконувати з однаковою абсолютною похибкою Dх»Dу і всі три величини заокруглити до однакового розряду.

  1.  2. Якщо шукана величина А дорівнює добутку або частці від виміряних  величин, то відносна помилка А дорівнює сумі відносних помилок виміряних величин:

 

В цьому випадку вимірювання всіх величин слід виробляти з однаковою відносною помилкою і з однаковою кількістю значущих цифр.

  1.  3. Аналіз формул (8)-(11) дозволяє організувати експеримент найбільш                раціональним образом. Припустимо, вимірювання якої-небудь величини у, виконане з помилкою Dу, дає найбільший доданок ×Dу виразі помилки DА.

Звісно, треба намагатись зменшити саме цей доданок, застосувавши для вимірювання у більш точніші прилади. Якщо збільшити точність вимірювання у не вдається, то вимірювання інших величин x, y, z, і т.д. треба, якщо можливо, виконувати такими приладами, щоб відповідні доданки  були на порядок ( в 2-5 разів) менше максимального доданку.

Недоцільно надмірно збільшувати точність вимірювання величин x, y, z;  випадкова помилка вимірювання DА повинна бути того ж порядку, що і     систематична помилка вимірювання DАсист.

Наприклад, необхідно визначити об'єм прямокутної пластини V,

V = a×b×c,

де а – довжина, в – ширина, с – товщина пластини.

Формула (10) в цьому випадку має вигляд .

Припустимо, нам потрібно виміряти об'єм з точністю до 1%. Тобто, кожне вимірювання повинно бути проведено з відносною помилкою Е= 0.3%. Для вимірювання пластини шириною b» 21мм необхідно забезпечити помилку вимірювання Db= 21мм×0.003= 0.06мм, тобто, для цієї мети придатний штангенциркуль, точність якого 0.05мм. Товщина пластини с»3мм і Dс=3мм*0.003=0.009мм повинна бути виміряна мікрометром, який забезпечує точність 0.005мм. І, оскільки а»200мм, Dа=200*0.003=0.6мм, виміряти а можна звичайною лінійкою. Після проведення вимірювань всі ці оцінки помилок уточнюються згідно п.1.4. і визначається DV згідно п.2.2.

3.Обробка результатів вимірювань.

При обчисленні шуканої величини треба користуватись такими загальними правилами обчислення:

обчислення з одним знаком дають відносну помилку до 40-50%;

обчислення з двома знаками – від 1 до 10% (0.01- 0.1);

обчислення з трьома знаками і на логарифмічній лінійці від 0.1 до 1% (0.001- 0.01) і т.д. Якщо ж у формулі є різниці близьких величин, то помилка при цьому може тільки зростати.

3.1. Правила наближених обчислень.

При додаванні та відніманні наближених чисел обидва доданки заокруглюють до однакового порядку десяткових знаків. Кількість десяткових знаків, яку необхідно зберегти, визначається доданком, який утримує найменше число цих знаків.

Щоб штучно не збільшувати похибку за рахунок заокруглення, треба робити однакову кількість заокруглень як в сторону збільшення, так і в сторону зменшення доданків чисел або зберігати один зайвий десятковий знак.

Наприклад, А= 19063.41+ 0.431- 48.756- 4.3678.

Найменша кількість десяткових знаків має число 19063.41(два). Після заокруглення всіх чисел отримаємо А= 19063.41+ 0.43- 48.76- 4.37= 19010.71.

При множинні та діленні наближених чисел всі співмножники заокруглюють до однакового числа значущих цифр. Кількість значущих цифр, яку необхідно залишити, визначається числом, яке утримує найменшу кількість знаків.

Значущими цифрами(або просто знаками) називаються всі цифри поданого числа, починаючи з першої зліва, від'ємної від нуля, до останньої, яка може бути і нулем. Наприклад, число 0.00047 утримує дві значущі цифри (4 і 7), а число 0.00320-три цифри (3; 2; 0).

При послідовному множенні та діленні, а також додаванні та відніманні декількох наближених чисел проміжні результати треба заокруглити, залишаючи одну зайву значущу цифру. Кінцевий результат заокруглюють, залишаючи в ньому стільки значущих цифр, скільки їх має наближене число з найменшою кількістю знаків. Нехай, наприклад, треба обчислити

  

Найменшу кількість знаків має число 8.6. Тому заокруглюємо всі числа до двох значущих цифр

 

Проміжні обчислення: 8.6×1.3=11.18. Заокруглюємо число 11.18, залишаючи один зайвий знак до третьої значущої цифри, і помножаємо на 0.53:

11.2×0.53= 5.936. Тоді  

Після заокруглення кінцевого результату до двох значущих цифр отримаємо А=2.5. В цьому прикладі ділення виробили з одним зайвим знаком, щоб знати, в яку сторону заокруглювати кінцевий результат.

При заокругленні остання цифра, яка зберігається, не змінюється, якщо перша відкинута менше 5. Остання цифра, яка зберігається, збільшується на одиницю, якщо перша відкинута більше або дорівнює 5 (за виключенням тих випадків, коли сама п'ятірка є результатом заокруглення в сторону збільшення).

При піднесенні до степеню (не вище четвертого) в результаті треба зберігати стільки значущих цифр, скільки їх має основа.

При добуванні кореня (не вище четвертого степеня) в результаті треба зберігати стільки значущих цифр, скільки їх має підкореневе число.

Для вказівки границь, в яких лежить шукана величина, рішуче значення має перша значуща цифра абсолютної похибки. Тому похибка обчислюється до другої значущої цифри, а потім заокруглюється до першої.

В отриманому наближеному значенні шуканої величини зберігають правильний та сумнівний знаки, а останні заокруглюють.

Сумнівним знаком називається знак, що співпадає по розряду з першою значущою цифрою абсолютної похибки. Всі знаки ліворуч від сумнівного будуть правильними.

Наприклад, в результаті обчислень отримано: а= 6.786, Dа= 0.026. Тут цілі та десяткові є правильними знаками, соті - сумнівними, а тисячні лежать в області помилки. Округлюючи похибку до першої значущої цифри, а саме число до сумнівного знака, отримаємо а= 6.79±0.03.

Якщо в десятковому дробі останні правильні знаки - нулі, то при запису дробу вони зберігаються. Знаки, які лежать в області помилки та відкинуті при заокругленні, нулями не заміняються. Наприклад, В= 4.502; DВ= 0.01. Заокруглюючи наближене значення величини В  до сумнівного знака, отримаємо В= 4.50±0.01. При заокругленні цілого числа відкинуті знаки не треба замінювати нулями, а треба застосувати множення на 10 у відповідному степені. Наприклад, с = 847625, Dс = 235. Тут сотні є сумнівним знаком, так як перша ліворуч значуща цифра абсолютної похибки знаходиться у розряді сотень. Тому, заокругливши похибку до першої значущої цифри Dс = 2×102, а саме число до сумнівного знака (8476×102), отримаємо с = (8476±2)×102 = (8.476±0.002)×105.

3.2  Приклади обчислення похибок та оформлення відповідей деяких конкретних робіт .

ПРИКЛАД 1. Визначення густини твердого тіла циліндричної форми.

Виразимо густину тіла через величини , які безпосередньо вимірюються, тобто через масу тіла m , діаметр циліндра D та його висоту h

     

Нехай у результаті вимірів отримано:

h=10,58см Dh=±0,01см

D=2,784см DD=±0,001см

m=485,5г Dm=±0,1г.

Найменша з усіх виміряних величин діаметр, тому для його вимірювання обрано найбільш чуттєвий прилад мікрометр. Для отримання відносної похибки того ж порядку при вимірюванні інших величин: висоту достатньо вимірювати штангенциркулем з точністю до 0,01см, зважування здійснити з точністю до 0,1г.

Логарифмуючи та диференціюючи останній вираз для r, отримаємо

lnr=ln4+lnm-lnp-2lnD-lnh;

  .

Замінивши знак на D та склавши абсолютні значення частинних диференціалів, знайдемо

  ,

а після підстановки числових значень відносних похибок m, D, h, p отримаємо числове значення відносної похибки r

Отже, підраховувати r слід з чотирма (мінімум з трьома знаками або на логарифмічній лінійці). Бажано взяти більш точне значення p, а саме 3,142.

Підставивши у робочу формулу результати вимірювань та виконавши підрахунки, отримаємо наближене значення rвим

.

Тепер можна визначити абсолютну похибку

 r=rвим*Er=7,9*103*0,0019 кг/м3=0,016*103 кг/м3

Після відповідних заокруглень отримуємо кінцевий результат

 r=(7,88±0,02)×103 кг/м3.

ПРИКЛАД 2 .Визначення питомої теплоти пароутворення води методом конденсації.

Ідея досліду в тому, що пара при температурі кипіння, проходячи через змійовик та конденсуючись у ньому, віддає тепло калориметру, воді та зануреним у неї деталям.

Складемо рівняння теплового балансу

 m3l+m2C2(t2-q)=(m1C1+m2C2+K)(q-t1),

де

 K  теплоємність калориметра, мішалки та зануреної частини термометра;

 m1маса змійовика,

 C1 питома теплоємність змійовика,

 t1 початкова температура калориметра, води та занурених у неї деталей,

 q їх кінцева температура,

 m2 – маса води у калориметрі,

 l – питома теплота пароутворення,

 m3 – маса пари, що сконденсувалася,

 t2 початкова температура пари та сконденсованої води(температура , при якій відбувається конденсація пари),

 m4 - маса змійовика з конденсатом.

Звідси  l= .

Нехай у результаті вимірювань отримали наступні дані:

K=361 Дж/К,

m1=0,235 кг Dm1=0,001 кг,

t1=18,3 °C, Dt1=0,1°C,

q=29,7°C, Dq=0,1°C,

t2=100°C,

C1=500 Дж/(кг×К),

m2=3,467 кг Dm2=0,004 кг,

C2=4190 Дж/(кг×К),

m4=0,302 кг,

m3=m4-m1=(0,302-0,325) кг=0,067 кг Dm3=0,002 кг.

При визначенні маси максимально можлива похибка кожного зважування 1 г .Внаслідок того, що маса пари отримана шляхом двох зважувань (порожнього змійовика m1 та змійовика з конденсатором m4) і дорівнює їх різниці, тобто m3=m4-m1, згідно пункту 2.4 Dm3=Dm4+Dm1=2 г. Визначення m2 відбувалось за допомогою дворазового зважування банки з водою, а також порожньої банки. Отже, Dm1=2×(1г+1г)=4г=0,004 кг. Похибками табличних величин DС1, DС2, DК, Dt2 можна знехтувати через їх мализну.

Через те, що вираз з якого визначається значення питомої теплоти пароутворення, не логарифмується, будемо шукати його абсолютну похибку. Для цього знайдемо часткові похідні від l за кожною з виміряних величин, вважаючи їх змінними

Дж/кг×К

Дж/кг×К

Склавши вираз повного диференціала

 

та взявши суму абсолютних значень часткових диференціалів, отримаємо формулу для обчислення абсолютної похибки, замінивши знак  на знак D. Підставивши у цю формулу числові значення часткових похідних та похибок, отримаємо

D
=(0,82×106×0,001+0,71×106×0,004+37×106×0,002+0,22×106×0,1+0,22×106×0,1) Дж/кг=
=(0,0008+0,0028+0,074+0,022+0,022)*106 Дж/кг=0,122
×106 Дж/кг.

Бачимо, що найбільший доданок у Dl – третій. Отже, щоб збільшити точність вимірювання l, треба точніше виміряти – масу сконденсованої пари та, по можливості, q та .

Підставимо у робочу формулу результати вимірювань та, виконавши підрахунки, отримаємо наближене значення lвим

lвим=Дж/кг

Після відповідних заокруглень отримаємо кінцевий результат

  % .

ПРИКЛАД 3. Визначення в'язкості рідини методом Стокса. Формула для визначення в'язкості має вигляд

 

з якої видно, що для різних кульок величина В = d2t повинна бути сталою, не залежати від розмірів кульок з точністю до випадкових помилок вимірювання.

Тому, виконавши вимірювання d і t для 10 кульок, обчислюють для кожного досліду Ві=di2ti; після цього знаходять середнє значення Ввимсер і похибку DВ, а потім обчислюють величину

 

і похибку Dhh*hвим, де

 

4.Графічне оформлення робіт. Побудова поля похибок.

Часто метою лабораторної роботи виявляється отримання графічної залежності одної фізичної величини від другої А=f(x). Наприклад потрібно дослідити залежність коефіцієнта внутрішнього тертя рідини від температури h=f(t). Для цього при різних температурах роблять виміри і обчислюють коефіцієнт внутрішнього тертя.

Роботу оформлюють графічно, по осі абсцис відкладають температуру (аргумент), а по осі ординат коефіцієнт внутрішнього тертя (функцію). Графік бажано будувати на міліметрівці. Масштаб вибирається так, щоб було легко переходити до нього від натури, тобто, щоб в одному сантиметрі укладалося 1×10K або 2×10K, або 4×10K, або 5×10K одиниць вимірюваної величини, де K- будь-яке ціле число. Для зручності користування графіком по осям проставити число одиниць через кожні 1-2 см.

Співвідношення між масштабами по осям повинно бути таким, щоб крива не була дуже похилою і дуже крутою. Це означає, що якщо вимірювання аргументу викликає невелике змінювання функції, то по осі ординат потрібно взяти більший масштаб, ніж по осі абсцис.

Після нанесення експериментальних точок на графік будують поле похибок, тобто в масштабі графіка відкладають ліворуч і праворуч від експериментальних точок похибку виміру аргументу Dx, а вверх і вниз похибку виміру шуканої величини DА. Потім проводять горизонтальні та вертикальні лінії довжиною 2Dx і 2DА або будують прямокутники з сторонами 2Dx і 2DА. Довжина цих ліній повинна бути порядку 1-5мм.

В експериментальних кривих часто спостерігається деякий розкид точок, який обумовлений похибками вимірів. При побудові графіка необхідно нанести всі точки (розмір точок повинен бути не менше 1мм) відповідно вимірам; побудувати поле похибок для кожної точки, а потім провести плавну криву так, щоб точки рівномірно розташовувалися по обидві сторони кривої і крива проходила через поле похибок експериментальних точок. Якщо поле похибок однієї – двох точок не перетинаються плавною кривою, то це свідчить о грубій похибці в поданому вимірі.

Приклад. Нехай при вимірній залежності в'язкості гліцерину від температури отримані такі значення в'язкості з відносною похибкою 3% :

t,0С

11

12

14

15

18

20

23

25

28

30

h,мПа×с

3,8

3,3

2,68

2,30

1,80

1,35

1,20

1,06

1,00

1,00

Dh,мПа×с

0,1

0,1

0,08

0,07

0,05

0,04

0,04

0,03

0,03

0,03

Похибка вимірювання температури Dt=0,50С.Інтервал вимірювання температури 10-300С, тобто 200С. Вибираємо масштаб 100С на 5 см, тоді довжина графіка буде 10 см, а 2Dt зобразиться лінією довжиною 5 мм.

Інтервал вимірювання h=1,0-3,8 мПа×с, тобто 2,8 мПа×с; вибравши масштаб 1 мПа×с на 5 см, отримаємо розмір графіка по вертикалі 14 см; довжина лінії при 2Dh=0,2 мПа×с буде 10см. Для того, щоб не збільшувати розміри креслення, початок осі t вибираємо в точці 100С, а початок осі h в точці 1,0 мПа×с, потім проводимо осі координат, на осях відмічаємо значення аргументу і функції через 1- 2 см так, щоб навпроти п'ятисантиметрових ліній стояли округлені значення; наносимо експериментальні точки, будуємо поле похибок і проводимо гладку криву (див. рисунок).

5.Користування довідковими таблицями.

Часто в робочу формулу окрім вимірних величин входять і такі величини, які беруться з довідкових таблиць (теплоємність питома, прискорення сили тяжіння g, число p та інш.).

Так як в числових значеннях, які приведені в таблицях, залишені лише правильні знаки, то абсолютна похибка числа, яке взято з таблиці, не може перевищувати й половини одиниці останньої значущої цифри цього числа.

Наприклад, в таблиці вказано, що теплоємність питома міді с=395 Дж/кг×град. В цьому випадку її абсолютна похибка Dс=0,5 Дж/кг×град.

В деяких випадках в таблиці приведено більше значущих цифр, ніж потрібно для розрахунку (відповідно правилам наближених обчислень). Тоді табличну величину заокруглюють, залишаючи в ній необхідну кількість знаків, а абсолютну похибку заокруглення вважають рівною похибці заокруглення.

Наприклад, при визначені об'єму циліндра висота і діаметр його були виміряні до четвертої значущої цифри. Тоді число p, яке дорівнює 3,1415826525, потрібно заокруглити до такої ж кількості знаків, тобто буде дорівнювати 3,142. Похибка заокруглення в цьому випадку Dp=-4×10-4. Ця похибка вже лежить в п'ятому знаку, в той як останні в четвертому, тому нею можна знехтувати.

В константах краще залишити кількість знаків, дорівнює чи більше на один, ніж в вимірних величинах. В останньому випадку похибкою заокруглення можна знехтувати.

В деяких таблицях відображена залежність двох фізичних величин, одна з яких вимірюється безпосередньо. Наприклад, залежність густини рідини від температури, температури кипіння від тиску та інш.

Абсолютна похибка такої величини обумовлена похибкою вимірювання аргументу. Наприклад, температура води t=220С; Dt=0,50С.Потрібно визначити густину (r) води і її абсолютну похибку (Dr).

По таблицям визначаємо: при t=230С; r=997,80кг/м3; t1=210С; r1=998,02кг/м3; t2=230С; r2=997,57кг/м3. Знаходимо b – середню швидкість вимірювання функції.

,

тоді похибка Dr=|b|×Dt=0,22×0,5 кг/м3=0,11кг/м3.

Заокругливши абсолютну похибку до першої значущої цифри, а саме значення густини до сумнівного знака, отримаємо

 r=(997,8±0,1) кг/м3.

6. Лінійне інтерполювання.

Часто в таблицях немає значення аргументу, для якого знаходиться функція, а є значення аргументу більше або менше. Знаходження значення функції в цьому випадку робиться методом інтерполювання.

Лінійне інтерполювання можна застосовувати у тих випадках, з достатньою точністю залежність функції від аргументу виявляється лінійною, тобто має вигляд f(x)=f(x1)+b(x-x1). В останніх випадках застосовується більш складніше інтерполювання.

В таблиці подані такі залежності: при t1=150C a1=73?26×10-3H/м ; t2=2000C; a2=72,53×10-3H/м.

Приймаючи, що в межах ±50С aзалежить від температури лінійно, тобто a=a1+b(t-t1), знаходимо

  ,

відповідно змінній температури на 10С. Для цього різниця сусідніх значень функції поділяємо на "крок" таблиці ("крок" таблиці дорівнює різниці значень аргументу), тобто

 

Потім знаходимо значення функції a по формулі a=a1+b(t-t1) або a=73,26×10-3Н/м+(-0,15×103Н/м×град-1)(18-15)град=72,81×10-3Н/м.

Якщо температура була виміряна з похибкою Dt, дорівнює:

 Da=|b|Dt=0,15×10-3Н/м×град-1=0,075×10-3Н/м.

Кінцевий результат визначення a записується так:

 a±Da=(72,81±0,08)×10-3Н/м.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА  М—1


ВИМІРЮВАННЯ ЛІНІЙНИХ РОЗМІРІВ ТА МАСИ

Мета роботи: ознайомлення студентів з будовою і застосування приладів для вимірювання лінійних розмірів тіл і визначення маси с точністю до 0.1 мг.

Для вимірювання довжини застосовуються різноманітні лінійки з поділками (мірила). Ціна однієї поділки мірило дорівнює 1мм. Для отримання більшої точності застосовуються наступні методи та прилади: метод лінійного ноніуса, метод мікрометричного гвинта, катето метод та інші.

Метод лінійного ноніуса. Ноніусом називають допоміжну лінійку N, яка може пересуватися вздовж основного мірила М за допомогою якої виробляють підрахунок частин поділок основної шкали. На ноніусі нанесено деяку кількість n поділок. Ціна поділки ноніуса a знаходиться у визначеному відношенні к до ціни поділки мірила b. В деяких випадках загальна довжина всіх n поділок ноніуса дорівнює довжині n-1 поділок мірила, тобто

  (1)

Звідси знаходимо різницю між довжиною однієї поділки мірила та однієї поділки ноніуса:

   (2)

Ця формула дає вираз точності ноніуса, яка визначається відношенням ціни поділки мірила b до кількості поділок n ноніуса.

Вимірювання за допомогою ноніуса виконуються таким чином: до вимірюваного відрізка l прикладається мірило так, щоб його нульова поділка співпадала з одним кінцем l, до іншого кінця l, який, припустимо, приходиться між k та k+1 поділками мірила, прикладають ноніус N його нульовим поділкам. Так як ціна поділки мірила та ноніуса різні, то на деякій відстані від початку ноніуса одна з його поділок співпадає з деякою поділкою мірила; припустимо, що це виявляється m-поділка ноніуса. В такому випадку відстань від нульової поділки мірила до m-ої поділки ноніуса з однієї сторони, можна вважати рівним k+m поділкам мірила; з другого боку, його можна розглядати, як суму довжини вимірюваного  відрізка l і m поділок ноніуса, тобто можна записати: . Звідти  або, на основі формули (2),

 (3)

Останній вираз можна формулювати так: вимірювана довжина l дорівнює кількості цілих поділок мірила, що містяться в ній (кв), складеної з точністю ноніуса , яка помножена на номер m-ої поділки, що співпадає з будь-якою поділкою мірила.

Іноді не досягається повне співпадання поділок ноніуса та мірила. В цьому випадку береться номер тієї поділки ноніуса, для якої спостерігається найкраще співпадання. При цьому припускається помилка у вимірюванні менш половини величини  . З цього випливає, що помилка при вимірюваннях з ноніусом не може перевищувати половини його точності.

Лінійний ноніус використовується в штангенциркулі. Цей привід складається з мірила М, на одному кінці якого закріплена перпендикулярно до нього нерухома ніжка К.. Друга така ж ніжка L, яка може переміщуватися вздовж мірила, оздоблена затисним гвинтом C. На муфті рухомої ніжки у її вирізі нанесені поділки ноніуса. Вимірюваний предмет вводять між ніжками штангенциркуля, які потім зміщуються до дотику з його поверхнями. Для точного розташування рухомої ніжки використовується гвинт S. Підрахунок здійснюють при затиснутому гвинті С.

За внутрішніх промірах кінці ніжок вводять всередину отвору та, роздвинувши їх до стикання з внутрішньою поверхнею предмета, виконують підрахунок також при закріпленій рухомій ножці. В цьому випадку треба взяти до уваги товщину кінців обох ніжок штангенциркуля.

Завдання 1. За допомогою штангенциркуля знайти діаметр та висоту циліндра, а також лінійні розміри паралелепіпеда, зробив по 5-7 вимірювань кожного розміру. Задані вимірювання звести в таблицю.

Циліндр

Паралелепіпед

№ вимір.

Діаметр

висота

довжина

висота

ширина

Потім за середніми значеннями знайти об'єми цих предметів. Помилку вимірювання об'ємів обчислити методом диференціювання натурального логарифма.

Метод мікрометричного гвинта.

Мікрометричним гвинтом називають ретельно виготовлений гвинт з відповідною гайкою, який має особливу голівку з поділками, яка має назву барабан. Крок гвинта точно відомий і дається як стала приладу. Метод мікрометричного гвинта дає можливість робити вимірювання з найбільшою точністю. Так, з кроком гвинта, що дорівнює 0.5 мм та з 500 поділками на барабані точність вимірювань може бути доведена до 0.001 мм. Мікрометричний гвинт використовується у мікрометрах.

Мікрометри являють собою масивну металеву скобу, на кінцях якої знаходяться один проти одного нерухомий упор а та мікрометричний гвинт b. Крок гвинта дорівнює 0.5мм(1мм), а на барабані k нанесено 50 (100 або 25) поділок.

Вимірюваний предмет вводять між упорами a та b і, обертаючи мікрометричний гвинт, доводять їх до стикання з поверхнями вимірюваного предмета. Показ приводу відраховується наступним чином: цілі та половини міліметрів за лінійною шкалою, яка нанесена на видовженому кінці гайки мікрометричного гвинта, а частки міліметра – за поділками барабана. Для вилучення помилки у вимірюваннях мікрометр оздоблюється фрикційною (тобто основаної на терті) головкою N з трещоткою.

Точність мікрометра при цьому дорівнює відношенню кроку гвинта до кількості поділок барабана. В нашому випадку 0.5мм: 50=0.01мм.

Завдання 2. За допомогою мікрометра визначити діаметри трьох дротів та знайти лінійні розміри циліндра, зробив по 5-7 вимірювань кожної довжини.

Дріт

Циліндр

 вимір

діаметр 1 дроту

діаметр 2 дроту

діаметр 3 дроту

висота

діаметр

Знайти середнє значення та оцінити помилку. Визначити об'єм циліндра. Помилку вимірювання об'єму знайти тим ж методом, як і в завданні 1.

Катетометр призначається для вимірювання відстані між двома точками на одній вертикалі. Він складається з масивної циліндричної колонки на триніжці, вимірюваної каретки, яка може пересуватися вздовж колонки, зорової труби, відрахункового мікроскопа. Сутність методики вимірювань складається з того, що зорова труба наводиться на горизонтальну лінію об'єкту, зміщення якого необхідно визначити. Виконується підрахунок положення вимірюваної каретки до та після зміщення об'єкту. Різниця підрахунків представляє величину зміщення.

При вимірюванні колонка повинна бути розташована в строго вертикальному положенні. Установка її контролюється по круглому рівню та регулюється за допомогою гвинтів, які розташовані в основі триніжка. Зорова труба встановлюється горизонтально за допомогою рівня, який прикріплений до неї мікрометричним гвинтом. Точна наводка зорової труби на обрану лінію на вимірюваному об'єкті виконується мікрометричним гвинтом. Невелике обертання візирної лінії в горизонтальній площині може бути зроблене мікрометричним гвинтом при закріпленому гвинті. Сітка зорової труби має перехрестя, правий горизонтальний штрих якого виконаний у вигляді кутового бісектору. При наведенні обрана лінія повинна знаходитися точно по середині кутового бісектору.

Так як вимірювання повинні забезпечувати тисячні частки міліметра, треба контролювати як положення візирної лінії( наводку зорової труби на лінію об'єкту), так і положення бульбашки рівня на зоровій трубі( який розглядається в лупу)—" дужки" зображення бульбашки рівня повинні співпадати своїми кінцями, утворюючи суцільну дугу. Неможна виконувати підрахунки при скільки-небудь помітних зміщеннях візирної лінії або бульбашки рівня.

Для створення більш стійких умов роботи не слід доторкатися до столу чи опиратися на нього рукою.

Для виконання вимірювань ввімкніть освітлювальну частину в мережу змінного струму, поворотом окуляра досягніть більш чіткого зображення шкали, видимої в полі зору мікроскопа. Шкала являє собою темне прямокутне поле на зеленому освітленому фоні, перетнаному вертикальними вузькими і більш широкими смушками. Індексом для відліку служить горизонтальний міліметровий штрих, видимий в полі зору мікроскопа водночас з відліковою шкалою. Його положення відносно шкали й дає відлік. При цьому ціле число міліметрів у відліку-це цифра, яка стоїть зліва від штриха. Десяті долі мм визначаються по найближчій до штриха меншій цифрі вертикального рядку цифр. Для відліку сотих і тисячних долей мм необхідно знайти положення точки перетину відлікового штриха зі світлою лінією прямокутника. Число сотих долей – найближча цифра горизонтального рядку цифр, яка стоїть зліва від точки перетину. Число тисячних долей визначається приблизно.

Завдання 3. Необхідно при допомозі катетометра визначити внутрішній і зовнішній діаметр капіляра. Вимірювання виконати три рази. Результати зробити середніми, помилку вимірювання розрахувати по середньому.

Ваги аналітичні закриті в металевій вітрині з боковими висуваючимися скляними дверцятами. Вітрина закріплена на металевій основі. На основі закріплена колонка. На колонці закріплені два кронштейна з повітряними заспокоювальними демпферами. На колонці розміщена опорна подушка, на яку спирається середня призма коромисла. На кінцях коромисла в спеціальних сідлах закріплені вантажопідйомні призми, на які навішуються серги з вантажопідйомними подушками. На верхні гачки серг підвішуються чашки з душками, на нижні-стакани демпферів, які входять в корпуса, укріплені на колонці.

Терези мають вбудовані в них міліграмові ваги від 10 до 120мг,які навішуються на планку, скріплену з правою сергою. Керування вагою виконується з допомогою обертаючихся лімбів, розташованих справа від вітрини ваги, через важелі. При обертанні малого лімба відбувається накладання чи зняття десятків мг, при  обертанні великого лімба – сотень мг.

На коромислі укріплена стрілка, на нижньому кінці якої встановлена мікро шкала з відліком від 0 до 10мг в обидва напрямки. Мікро шкала за допомогою оптичного пристрою, який складається з підсвітки, об'єктива і відбиваючих дзеркал, проектується на екран, розташований перед колонкою терезів. Під основою терезів змонтований аретуючий пристрій, який призводиться до дії за допомогою маховичка. Освітлювач розташований позаду вітрини. Вага має задню нерегульовану ніжку і дві бічні регульовані, за допомогою яких вона встановлена по рівню, укріпленому в основі ваги.

При роботі з терезами необхідно виконувати наступні правила:

  1.  Не можна виходити за межі того максимального навантаження, на яке розраховані подані терези.
  2.  Класти на чашки чи знімати з них тіло, яке зважується і різноваги, а також переміщувати рейтер по коромислу можна лише при аретованій вазі. Якщо  вага не аретована, не слід навіть відчиняти дверцята ваги, а тим паче доторкатися до коромисла і чашок.
  3.  Навантаження на чашки слід розташовувати так, щоб їх спільний центр тяжіння прикладався приблизно по середині чашки.
  4.  Не можна брати різноваги руками, для цього є спеціальний пінцет. Знімаючи рівноваги з ваг, слід класти їх тільки в відповідні місця футляру.
  5.  Відпускати і підіймати аретир слід повільно. Якщо коромисло виконує коливання, то підіймати аретир потрібно в той момент, коли стрілка терезів проходить через середнє положення, інакше коромисло отримує поштовхи.
  6.  Не слід повністю опускати аретир, поки чашки ваги ще мало врівноважені; коромисло спочатку звільняється від аретира лише настільки, щоб можливо було помітити, куди відхилиться стрілка. Після цього відразу ж підіймають аретир і відповідно змінюють вагу рівноваг.
  7.  Якщо при відпусканні аретира чашки ваги починають коливатися маятникоподібно, то слід, не відпускаючи повністю аретир, відчинити дверці ваги і заспокоїти чашки,дотикаючись до краю клаптиком паперу.

Завдання 4.

Визначити ціну поділки оптичної шкали. Для цього навантажити праву чашку 10мг і відмітити число поділок шкали, на якому встановиться візирна лінія. Поділивши 10мг на число поділок, отримуємо ціну поділки в мг/под.

  1.  Визначити масу одного тіла. Помилку маси прийняти рівною половині ціни поділки оптичної шкали.