96205

Основные этапы развития математики

Контрольная

Математика и математический анализ

Множество всех подмножеств данного множества. Создатель теории множеств Георг Кантор определил множество как многое мыслимое нами как единое целое. Множеством называют совокупность некоторых объектов объединенных по какому-либо признаку. Объекты из которых состоит множество называют его элементами.

Русский

2015-10-04

314.5 KB

9 чел.

Основные этапы развития математики

Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Академик Колмогоров А.Н. выделяет четыре периода развития математики:

  •  зарождение математики,
  •  элементарная математика,
  •  математика переменных величин,
  •  современная математика.

Начало периода элементарной математики относят к VI-V веку до нашей эры. К этому времени был накоплен достаточно большой фактический материал. Понимание математики, как самостоятельной науки возникло впервые в Древней Греции.

В течение этого периода математические исследования имеют дело лишь с достаточно ограниченным запасом основных понятий, возникших для удовлетворения самых простых запросов хозяйственной жизни. Развивается арифметика – наука о числе.

В период развития элементарной математики появляется теория чисел, выросшая постепенно из арифметики. Создается алгебра, как буквенное исчисление. Обобщается труд большого числа математиков, занимающихся решением геометрических задач в стройную и строгую систему элементарной геометрии геометрию Евклида, изложенную в его замечательной книге Начала (300 лет до н. э.).

В XVII веке запросы естествознания и техники привели к созданию методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразование геометрических фигур. С употребления переменных величин в аналитической геометрии и создание дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин. Великим открытиям XVII века является введенная Ньютоном и Лейбницем понятие бесконечно малой величины, создание основ анализа бесконечно малых (математического анализа).

На первый план выдвигается понятие функции. Функция становится основным предметом изучения. Изучение функции приводит к основным понятиям математического анализа: пределу, производной, дифференциалу, интегралу.

К этому времени относятся и появление гениальной идеи Р. Декарта о методе координат. Создается аналитическая геометрия, которая позволяет изучать геометрические объекты методами алгебры и анализа. С другой стороны метод координат открыл возможность геометрической интерпретации алгебраических и аналитических фактов.

Дальнейшее развитие математики привело в начале ХIX века к постановке задачи изучения возможных типов количественных отношений и пространственных форм с достаточно общей точки зрения.

Связь математики и естествознания приобретает все более сложные формы. Возникают новые теории. Новые теории возникают не только в результате запросов естествознания и техники, но и в результате внутренней потребности математики. Замечательным примером такой теории является воображаемая геометрия Н. И. Лобачевского. Развитие математики в XIX и XX веках позволяет отнести ее к периоду современной математики. Развитие самой математики, математизация различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, прогресс вычислительной техники привели к появлению новых математических дисциплин, например, исследование операций, теория игр, математическая экономика и другие.

Роль математики в современном мире

Целью изучения математики является повышение общего кругозора, культуры мышления, формирование научного мировоззрения.

В основе построения математической теории лежит аксиоматический метод. В основу научной теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории получаются, как логические следствия аксиом.

Основными методами в математических исследованиях являются математические доказательства – строгие логические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки выбора способа ее решения необходима математическая интуиция.

В математике изучаются математические модели объектов. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга реальных явлений. Так, одно и тоже дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распад радиоактивного вещества. Для математика важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.

В математике используют два вида умозаключений: дедукция и индукция.

Индукция – метод исследования, в котором общий вывод строится не основе частных посылок.

Дедукция – способ рассуждения, посредством которого от общих посылок следует заключение частного характера.

Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Причина проникновения математики в различные отрасли знаний заключается в том, что она предлагает весьма четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без современной математики с ее развитым логическими и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры.

Особенности математического стиля мышления

Представляет интерес характеристика А.Я. Хинчиным математического мышления, а точнее, его конкретно-исторической формы – стиля математического мышления. Раскрывая сущность стиля математического мышления, он выделяет четыре общие для всех эпох черты, заметно отличающие этот стиль от стилей мышления в других науках.

Во-первых, для математика характерна доведенное до предела доминирование логической схемы рассуждения. Математик, потерявший, хотя бы временно, из виду эту схему, вообще лишается возможности научно мыслить. Эта своеобразная черта стиля математического мышления имеет в себе много ценного. Очевидно, что она в максимальной степени позволяет следить за правильностью течения мысли и гарантирует от ошибок; с другой стороны, она заставляет мыслящего при анализе иметь перед глазами всю совокупность имеющихся возможностей и обязывает его учесть каждую из них, не пропуская ни одной (такого рода пропуски вполне возможны и фактически часто наблюдаются при других стилях мышления).

Во-вторых, лаконизм, т.е. сознательное стремление всегда находить кратчайший ведущий к данной цели логический путь, беспощадное отбрасывание всего, что не абсолютно необходимо для безупречной полноценности аргументации. Математическое сочинение хорошего стиля не терпит никакой “воды”, никаких украшающих, ослабляющих логическое напряжение разглагольствований, отвлечений в сторону; предельная скупость, суровая строгость мысли и ее изложения составляют неотъемлемую черту математического мышления. Черта эта имеет большую ценность не только для математического, но и для любого другого серьезного рассуждения. Лаконизм, стремление не допускать ничего излишнего, помогает и самому мыслящему, и его читателю или слушателю полностью сосредоточиться на данном ходе мыслей, не отвлекаясь побочными представлениями и не теряя непосредственного контакта с основной линией рассуждения.

Корифеи науки, как правило, мыслят и выражаются лаконично во всех областях знания, даже тогда, когда мысль их создает и излагает принципиально новые идеи. Какое величественное впечатление производит, например, благородная скупость мысли и речи величайших творцов физики: Ньютона, Эйнштейна, Нильса Бора! Может быть, трудно найти более яркий пример того, какое глубокое воздействие может иметь на развитие науки именно стиль мышления ее творцов.

Для математики лаконизм мысли является непререкаемым, канонизированным веками законом. Всякая попытка обременить изложение не обязательно нужными (пусть даже приятными и увлекательными для слушателей) картинами, отвлечениями, разглагольствованиями заранее ставится под законное подозрение и автоматически вызывает критическую настороженность.

В-третьих, четкая расчлененность хода рассуждений. Если, например, при доказательстве какого-либо предложения мы должны рассмотреть четыре возможных случая, из которых каждый может разбиваться на то или другое число подслучаев, то в каждый момент рассуждения математик должен отчетливо помнить, в каком случае и подслучае его мысль сейчас обретается и какие случаи и подслучаи ему еще остается рассмотреть. При всякого рода разветвленных перечислениях математик должен в каждый момент отдавать себе отчет в том, для какого родового понятия он перечисляет составляющие его видовые понятия. В обыденном, не научном мышлении мы весьма часто наблюдаем в таких случаях смешения и перескоки, приводящие к путанице и ошибкам в рассуждении. Часто бывает, что человек начал перечислять виды одного какого-нибудь рода, а потом незаметно для слушателей (а часто и для самого себя), пользуясь недостаточной логической отчетливостью рассуждения, перескочил в другой род и заканчивает заявлением, что теперь оба рода расклассифицированы; а слушатели или читатели не знают, где пролегает граница между видами первого и второго рода.

Для того чтобы сделать такие смешения и перескоки невозможными, математики издавна широко пользуются простыми внешними приемами нумерации понятий и суждений, иногда (но гораздо реже) применяемыми и в других науках. Те возможные случаи или те родовые понятия, которые надлежит рассмотреть в данном рассуждении, заранее перенумеровываются; внутри каждого такого случая те подлежащие рассмотрению подслучаи, которые он содержит, также перенумеровываются (иногда, для различения, с помощью какой-либо другой системы нумерации). Перед каждым абзацем, где начинается рассмотрение нового подслучая, ставится принятое для этого подслучая обозначение (например II 3, -это означает, что здесь начинается рассмотрение третьего подслучая второго случая, или описание третьего вида второго рода, если речь идет о классификации). И читатель знает, что до тех пор, покуда он не натолкнется на новую числовую рубрику, всё излагаемое относится только к этому случаю и подслучаю. Само собою разумеется, что такая нумерация служит лишь внешним приемом, очень полезным, но отнюдь не обязательным, и что суть дела не в ней, а в той отчетливой расчлененности аргументации или классификации, которую она и стимулирует, и знаменует собою.

В-четвертых, скрупулезная точность символики, формул, уравнений. То есть “каждый математический символ имеет строго определенное значение: замена его другим символом или перестановка на другое место, как правило, влечет за собою искажение, а подчас и полное уничтожение смысла данного высказывания”.

Выделив основные черты математического стиля мышления, А.Я. Хинчин замечает, что математика (особенно математика переменных величин) по своей природе имеет диалектический характер, а следовательно, способствует развитию диалектического мышления. Действительно, в процессе математического мышления происходит взаимодействие наглядного (конкретного) и понятийного (абстрактного). “Мы не можем мыслить линии, – писал Кант, – не проведя её мысленно, не можем мыслить себе три измерения, не проведя из одной точки трех перпендикулярных друг к другу линий”.

Взаимодействие конкретного и абстрактного “вело” математическое мышление к освоению новых и новых понятий и философских категорий. В античной математике (математике постоянных величин) таковыми были “число” и “пространство”, которые первоначально нашли отражение в арифметике и евклидовой геометрии, а позже в алгебре и различных геометрических системах. Математика переменных величин “базировалась” на понятиях, в которых отражалось движение материи, - “конечное”, “бесконечное”, “непрерывность”, “дискретное”, “бесконечно малая”, “производная” и т.п.

Если говорить о современном историческом этапе развития математического познания, то он идет в русле дальнейшего освоения философских категорий: теория вероятностей “осваивает” категории возможного и случайного; топология – категории отношения и непрерывности; теория катастроф – категорию скачка; теория групп – категории симметрии и гармонии и т.д.

В математическом мышлении выражены основные закономерности построения сходных по форме логических связей. С его помощью осуществляется переход от единичного (скажем, от определенных математических методов – аксиоматического, алгоритмического, конструктивного, теоретико-множественного и других) к особенному и общему, к обобщенным дедуктивным построениям. Единство методов и предмета математики определяет специфику математического мышления, позволяет говорить об особом математическом языке, в котором не только отражается действительность, но и синтезируется, обобщается, прогнозируется научное знание. Могущество и красота математической мысли – в предельной четкости её логики, изяществе конструкций, искусном построении абстракций.

Принципиально новые возможности мыслительной деятельности открылись с изобретением ЭВМ, с созданием машинной математики. В языке математики произошли существенные изменения. Если язык классической вычислительной математики состоял из формул алгебры, геометрии и анализа, ориентировался на описание непрерывных процессов природы, изучаемых прежде всего в механике, астрономии, физике, то современный её язык – это язык алгоритмов и программ, включающий старый язык формул в качестве частного случая.

Язык современной вычислительной математики становится все более универсальным, способным описывать сложные (многопараметрические) системы. Вместе с тем хочется подчеркнуть, что каким бы совершенным ни был математический язык, усиленный электронно-вычислительной техникой, он не порывает связей с многообразным “живым”, естественным языком. Мало того, разговорный язык является базой языка искусственного. В этом отношении представляет интерес недавнее открытие ученых. Речь идет о том, что древний язык индейцев аймара, на котором говорят примерно 2,5 миллиона человек в Боливии и Перу, оказался в высшей степени удобным для компьютерной техники. Еще в 1610 г. итальянский миссионер-иезуит Людовико Бертони, составивший первый словарь аймара, отмечал гениальность его создателей, добившихся высокой логической чистоты. В аймара, например, не существует неправильных глаголов и никаких исключений из немногих четких грамматических правил. Эти особенности языка аймара позволили боливийскому математику Айвану Гусману де Рохас создать систему синхронного компьютерного перевода с любого из пяти заложенных в программу европейских языков, “мостиком” между которыми служит язык аймара. ЭВМ “Аймара”, созданная боливийским ученым, получила высокую оценку специалистов. Резюмируя эту часть вопроса о сущности математического стиля мышления, следует отметить, что его основным содержанием является понимание природы.

Множества

  1.  Множества. Элементы множества.
  2.  Отношения между множествами.
    1.  Включение.
    2.  Равенство.
  3.  Числовые множества.
  4.  Множество всех подмножеств данного множества.
  5.  Операции над множествами.

5.1. Объединение множеств.

5.2. Пересечение множеств.

5.3. Разность множеств.

5.4. Симметрическая разность.

Множества. Элементы множества

Одним из фундаментальных понятий математики является понятие множества. Оно обычно принимается за первоначальное и поэтому не определяется через другие. Создатель теории множеств Георг Кантор определил множество как «многое, мыслимое нами как единое целое». Иногда даётся следующее определение множества.

Множеством называют совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку.

Объекты, из которых состоит множество, называют его элементами. Множества обычно обозначаются большими буквами А, В, Х и т.д., а их элементы малыми а, b, c и т.д. Если элемент  а  принадлежит множеству М, то пишут    а М.

Пустым называется множество, которое не содержит элементов, его обозначают символом   .

Например, мы говорим о множестве решений уравнения до того, как узнаём, сколько оно имеет решений. Когда уравнение не имеет решений мы говорим, что множество решений уравнения х2+1=0 – пустое.

Отношения между множествами

2.1. Включение

Если все элементы множества В принадлежат множеству А, то говорят, что множество В является подмножеством множества А. Записывается это следующим образом:   В А

Наглядно это отношение между множествами изображается ограниченными замкнутыми кривыми. Такое изображение называется диаграммой Венна (кругами Эйлера) 1.

На рис. дана диаграмма Венна для случая, когда АВ

Например, множество прямоугольников включается в множество параллелограммов (всякий прямоугольник – параллелограмм).

Из определения подмножества следует, что любое множество является подмножеством самого себя, т.е. справедливо утверждение А  А. Если в множестве В найдется хотя бы один элемент,  не принадлежащий множеству  А,  то В не является подмножеством  множества А.  В А

Полагают также, что пустое множество является подмножеством любого множества. Это вполне естественно, т.к. пустое множество не содержит ни одного элемента и, следовательно, в нём нет элемента, который не принадлежал бы любому другому множеству.

2.2. Равенство

Два множества называются равными, если каждый элемент множества А является одновременно элементом множества В и каждый элемент множества В является элементом множества А. Записывается это следующим образом: А=В

Например, А = {1, 2}; В = {2,1}    А = В

Числовые множества

В математике чаще всего приходится иметь дело со множествами, элементами которых являются числа. Такие множества называются числовыми. Различают конечные и бесконечные множества. Например,  множество всех двузначных чисел - конечное, а множество отрицательных чисел -  бесконечное.

Для числовых множеств удобно ввести специальные обозначения. Мы будем пользоваться следующими:

Множество всех натуральных чисел

N

Множество всех целых чисел

Z

Множество всех рациональных чисел

Q

Множество всех вещественных (действительных) чисел

R

Натуральные числа – это числа, возникающие в результате счёта предметов. = {1, 2, 3, …..}.

Целые числа – это натуральные числа, им противоположные и ноль. = {…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}. Таким образом N  Z.

Рациональные числа – это числа вида a/b. Всякое рациональное число может быть представлено либо в виде конечной, либо в виде бесконечной десятичной дроби. Любое целое число является рациональным, т.к. его можно представить в виде a/1 = a. Таким образом N  Z  Q.

Множество действительных чисел является расширением множества рациональных чисел. Оно включает в себя  числа, которые нельзя представить в виде конечной или периодической дроби, например, √2. Их называют иррациональными. Таким образом N  Z  Q  R.

Множество всех подмножеств данного множества

Множество всех подмножеств некоторого множества М обозначается символом Р(М). Р – первая буква латинского слова parties (части).

Например, если М = {a, b, c}, то

Р(М) = {, {а}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

Рассмотрим задачу определения числа всевозможных подмножеств конечного множества. Пусть М – множество, состоящее из n элементов. Будем говорить «n-элементное» множество. Определим, сколько всего подмножеств можно образовать из элементов множества М. Задачу решим методом математической индукции, который основан на следующем принципе:

Выражение А(n) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены условия:

  1.  Выражение А(n) истинно для  n=1
  2.  Из предположения, что А(n) истинно для n=k, (где k произвольное натуральное число) следует, что А(n) истинно и для следующего значения n=k+1
  3.  Пусть М – пустое множество, тогда  Р(М) = {},          т.е. Р(М) = 1
  4.  Пусть М = {a},     тогда  Р(М) = {, {a}},           т.е. Р(М) = 2
  5.  Пусть М = {a, b}, тогда  Р(М) = {, {a}, {b}, {a,b}},    т.е. Р(М) = 4
  6.  Пусть М = {a,b,c}, тогда  Р(М) = {, {a}, {b}, {a,b}, {c}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}},   т.е. Р(М) = 8

Из этих частных случаев можно заключить, что число всевозможных частей «n-элементного» множества равно 2n.

Если множество состоит из n элементов, то число всех его подмножеств равно 2n.

Операции над множествами

5.1. Объединение множеств

Объединением множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат либо множеству А, либо множеству В. Объединение множеств А и В обозначается   А U В.

Это определение можно записать кратко так:
А U  В = {x|xA или xB}

На диаграмме заштриховано объединение.

Пусть А = {a,b,c,d},     B = {x,y,z}             

Согласно определения А U В = {a,b,c,d,x,y,z}

При решении неравенств часто приходится образовывать объединение множеств. Пусть, например, требуется решить неравенство |х-2| >1 на множестве R (xR).

|х-2| >1 равносильно

x-2 < -1

x < 1

<==>

x-2 > 1

x > 3

На числовой прямой это можно изобразить так:

А U В = (-∞, 1) U (3, +∞).

5.2. Пересечение множеств

Пересечением двух множеств А и B называется такое множество,  элементы которого принадлежат и множеству А и множеству В, т.е. их общая часть. Пересечение множеств обозначаются: А В

Это определение можно записать кратко так:

А∩В = {x|xA и xB}

       На диаграмме заштриховано пересечение.

Рассмотрим два множества:   Х={a, b, c, d}, Y={a, b, f, k}

Элементы а и b принадлежит обоим множествам, т.о. множество {a,b} является пересечением рассмотренных множеств Х и Y:

XY = {a, b, c, d}{a, b, f, k}= {a, b}

При решении неравенств часто приходится образовывать пересечение множеств. Пусть, например, требуется решить неравенство |х-2| <1 на множестве R (xR).

|х-2| <1 равносильно

x-2 > -1

x > 1

<==>

x-2 < 1

x < 3

На числовой прямой это можно изобразить так:

А∩В = (-∞, 3) ∩(1, +∞) = (1, 3)

Если множества А и В не имеют общих элементов, то их пересечением является пустое множество   А∩В=

Например, пересечением множества четных чисел со множеством нечетных чисел – пустое. Пересечение любого множества с пустым множеством есть пустое множество. А=.

5.3. Разность множеств

Разностью множеств А и В называют множество всех тех элементов множества А, которые не входят в множество В. Разность обозначается:    А\В.

Например, А={1,2,3}, B={1,2}  A\B={3}

Это определение можно записать кратко так: А\В = {x|xA и xB}

5.4. Симметрическая разность

Симметрической разностью множеств А и В называют множество, представляющее собой объединение множеств A\B и B\A. Симметрическая разность обозначается:    АΔВ =(А\В) U (В\А).

На диаграмме симметрическую разность представляют так:

Например, А={1,3,5,7,9,11,13}, B={1,2,3,4,5,6,7}  

AΔB={2,4,6,9,11,12,13}

2 способа решения задач

Задача 1. Из 40 студентов курса 32 изучают английский язык, 21 - немецкий язык, а 15 - английский и немецкий языки. Сколько студентов курса не изучает ни английский, ни немецкий языки?

Решение. Пусть А - множество студентов курса, изучающих английский язык, В - множество студентов курса, изучающих немецкий язык, С - множество всех студентов курса. По условию задачи: п(А) = = 32, п(В) = 21, п(А∩В) = 15, п(С) = 40. Требуется найти число студентов курса, не изучающих ни английского, ни немецкого языка.

1 способ.

1) Найдем число элементов в объединении данных множеств А и В.

Для этого воспользуемся формулой (2):

п(А U В) = п(А) + п(В) - п(А ∩ В) = 32 + 21 - 15 = 38.

2) Найдем число студентов курса, которые не изучают ни английский, ни немецкий языки: 40 - 38 = 2.

2 способ.

1) Изобразим данные множества при помощи кругов Эйлера и определим число элементов в каждом из непересекающихся подмножеств. Так как в пересечении множеств А и В содержится 15 элементов, то студентов, изучающих только английский язык, будет 17 (32 - 15 = 17), а студентов, изучающих только немецкий, - 6 (21 - 15 = 6). Тогда  п(А U B) = 17 + 15 + 6 = 38, и, следовательно, число студентов курса, которые не изучают ни английский, ни немецкий языки, будет 40 - 38 = 2.

Основы теории вероятностей и математической статистики

1. Случайный эксперимент, элементарные исходы, события

2. Классическое определение вероятности

3. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Независимость событий. Условная вероятность

4. Статистическое определение вероятности

5. Закон больших чисел

Основы теории вероятностей

Случайный эксперимент, элементарные исходы, события

Случайным (стохастическим) экспериментом или испытанием называется осуществление какого-либо комплекса условий, который можно практически или мысленно воспроизвести сколь угодно большое число раз.

Примеры случайного эксперимента: подбрасывание монеты или игральной кости (кубика), извлечение одной карты из перетасованной колоды.

Явления, происходящие при реализации этого комплекса условий, то есть в результате случайного эксперимента, называются элементарными исходами. Считается, что при проведении случайного эксперимента реализуется только один из возможных элементарных исходов.

Если монету подбросить один раз, то элементарными исходами можно считать выпадение герба (Г) или цифры (Ц).

Если случайным экспериментом считать троекратное подбрасывание монеты, то элементарными исходами можно считать следующие:

ГГГ, ГГЦ, ГЦГ, ЦГГ, ГЦЦ, ЦГЦ, ЦЦГ, ЦЦЦ.

Множество всех элементарных исходов случайного эксперимента называется пространством элементарных исходов. Будем обозначать пространство элементарных исходов буквой W (омега большая) i-й элементарный исход будем обозначать w i (w омега малая).

Если пространство элементарных исходов содержит n элементарных исходов, то W =(w 1, w 2 ,..., w n).

Для троекратного подбрасывания монеты W =(ГГГ, ГГЦ, ...ЦЦЦ).

Если случайный эксперимент – подбрасывание игральной кости, то W =(1,2,3,4,5,6).

Если W конечно или счетно, то случайным событием или просто событием называется любое подмножество W .

Множество называется счетным, если между ним и множеством N натуральных чисел можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Пример счетного множества: множество возможных значений времени прилета инопланетян на Землю, если время отсчитывать с настоящего момента и исчислять с точностью до секунды.

Примеры несчетных множеств: множество точек на заданном отрезке, множество чисел x, удовлетворяющих неравенству 1< x £ 2..

В случае несчетного множества W будем называть событиями только подмножества, удовлетворяющие некоторому.

Приведем примеры событий. Пусть бросается игральная кость, и элементарным исходом считается выпавшее число очков: W=(1,2,3,4,5,6). A – событие, заключающееся в том, что выпало четное число очков: А=(2,4,6); B – событие, заключающееся в том, что выпало число очков, не меньшее 3-х: B=(3,4,5,6).

Говорят, что те исходы, из которых состоит событие А, благоприятствуют событию А.

События удобно изображать в виде рисунка, который называется диаграммой Венна. На рисунке 1 пространство элементарных исходов W изображено в виде прямоугольника, а множество элементарных исходов, благоприятствующих событию A, заключено в эллипс. Сами исходы на диаграмме Венна не изображаются, а информация о соотношении между их множествами содержится в расположении границ соответствующих областей.

Сумма, произведение, разность событий.

Суммой (объединением) двух событий А и B (обозначается ) называется событие, состоящее из всех элементарных исходов, принадлежащих по крайней мере одному из событий А или B. Объединение событий А и В изображено на рисунке 2 в виде заштрихованной области.

Приведем пример объединения событий. Пусть два стрелка стреляют в мишень одновременно, и событие А состоит в том, что в мишень попадает 1-й стрелок, а событие B – в том, что в мишень попадает 2-й. Событие означает, что мишень поражена, или, иначе, что в мишень попал хотя бы один из стрелков.

Произведением (пересечением) событий А и B называется событие, состоящее из всех тех элементарных исходов, которые принадлежат и А и B. На рисунке 3 пересечение событий А и B изображено в виде заштрихованной области. В условиях приведенного выше примера событие заключается в том, что в мишень попали оба стрелка.

Разностью А\B или АB событий А и B называется событие, состоящее из всех исходов события А, не благоприятствующих событию B. Диаграмма Венна разности событий А и B изображена на рисунке 4.

В условиях рассмотренного выше примера событие А\B заключается в том, что первый стрелок попал в мишень, а второй промахнулся.

Событие W называется достоверным (оно обязательно происходит в результате случайного эксперимента).

Пустое множество Æ называется невозможным событием. Событие
=W \A называется противоположным событию А или дополнением события А.

События А и B называются несовместными, если нет исходов, принадлежащих и А и B, то есть  = Æ . На рисунке 5 изображены несовместные события А и B. 

Событие В будем называть следствием события А, если все исходы события А благоприятствуют событию В. То, что из А следует В записывается символом АÌ В и изображается на диаграмме Венна так, как это показано на рисунке 6.

Непосредственно из введенных определений следуют равенства: ; A=Æ ; ; . Два последних равенства называются формулами Де'Моргана.

Классическое определение вероятности

Возможна ситуация, когда пространство элементарных исходов состоит из конечного числа N элементарных исходов, причем случайный эксперимент таков, что вероятности осуществления каждого из этих N элементарных исходов представляются равными. Примеры таких случайных экспериментов: подбрасывание симметричной монеты, бросание правильной игральной кости, случайное извлечение игральной карты из перетасованной колоды. В силу введенной аксиомы вероятность каждого элементарного исхода в этом случае равна . Из этого следует, что если событие А содержит NA элементарных исходов, вероятность события определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов:

Т.к. число благоприятных исходов не может быть больше числа всех исходов, то численное значение вероятности лежит в пределах .

Пример 1. Какова вероятность выпадения подряд двух раз герба при троекратном подбрасывании монеты?

Как было сказано выше, всего элементарных исходов 8:

ГГГ, ГГЦ, ГЦГ, ЦГГ, ГЦЦ, ЦГЦ, ЦЦГ, ЦЦЦ.

Из них удовлетворяющих нас исходов будет 3. Следовательно вероятность того что при троекратном бросании монеты два раза подряд выпадет герб равна 3/8.

Пример 2. Из набора, содержащего 10 одинаковых на вид электроламп, среди которых 4 бракованных, случайным образом выбирается 5 ламп. Какова вероятность, что среди выбранных ламп будут 2 бракованные?

Прежде всего, отметим, что выбор любой пятерки ламп имеет одну и ту же вероятность. Всего существует (см. лек. о числе сочетаний) способов составить такую пятерку, то есть случайный эксперимент в данном случае имеет равновероятных исходов.

Сколько из этих исходов удовлетворяют условию “в пятерке две бракованные лампы”, то есть, сколько исходов принадлежат интересующему нас событию?

Каждую интересующую нас пятерку можно составить так: выбрать две бракованные лампы, что можно сделать числом способов, равным . Каждая пара бракованных ламп может встретиться столько раз, сколькими способами ее можно дополнить тремя не бракованными лампами, то есть раз. Получается, что число пятерок, содержащих две бракованные лампы, равно × .

Отсюда, обозначив искомую вероятность через P, получаем

(формула в общем виде: ):

Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Независимость событий. Условная вероятность.

1. Три стрелка стреляют по одной мишени, и каждый попадает или промахивается независимо от результатов выстрелов других стрелков. Вероятности попадания в мишень для каждого из стрелков, соответственно, равны: 0,8; 0,7; 0,5. Определить вероятности следующих событий:

а) все три стрелка попали в мишень;

б) хотя бы один стрелок попал в мишень;

в) в мишень попали два стрелка.

Решение.

а) Так как здесь рассматриваются независимые события, вероятность попадания в мишень всех трёх стрелков равна произведению вероятностей попадания каждого:

P = 0,8´ 0,7´ 0,5 = 0,28

б) Обозначим это событие А. Ему благоприятствует несколько несовместимых исходов, например, такой: {первый стрелок попал в мишень, второй не попал, третий попал}. Вместо того, чтобы рассматривать все эти исходы, возьмём событиедополнение события А или, иначе, событие, противоположное событию А. Оно состоит в том, что все три стрелка не попали в мишень. Его вероятность равна:

(1 – 0,8) ´ (1 – 0,7) ´ (1 – 0,5) = 0,5

Теперь можно определить вероятность интересующего нас события:

Р(А) = 1 – Р() = 1 – 0,5 = 0,5

в) Этому событию благоприятствуют три исхода:

* {первый попал, второй попал, третий не попал} – c вероятностью

0,8 ´ 0,7 ´ (1 – 0,5) = 0,28

** {первый попал, второй не попал, третий попал} – c вероятностью

0,8 ´ (1 – 0,7) ´ 0,5 = 0,12

*** {первый не попал, второй попал, третий попал} – c вероятностью

(1 – 0,8) ´ 0,7 ´ 0,5 = 0,07

Очевидно, что эти исходы несовместимы, и поэтому вероятность их объединения, представляющего собой событие А, равна сумме их вероятностей:

Р(А) = 0,28 + 0,12 + 0,07 = 0,47

2. Брошено три игральных кости. Найти вероятности следующих событий:

а) выпало три шестёрки;

б) выпало три шестёрки, если известно, что на одной из костей выпала шестёрка.

Решение.

а) Здесь ответ очевиден:

б) Обозначим через А событие, состоящее в выпадении трёх шестёрок, а через В – в выпадении шестёрки хотя бы на одной кости. Тогда Р(А/В) – искомая вероятность. Событие АÇ В в данном случае совпадает с событием А, откуда следует: Р(АÇ В) = . Вероятность события В равна разности единицы и вероятности события , противоположного событию В, то есть выпадения трёх чисел, отличных от шестёрки. Вероятность равна . Отсюда следует: Р(В) = . В результате получается: Р(А/В) =

3. Из 20 студентов, находящихся в аудитории, 8 человек курят, 12 носят очки, а 6 и курят и носят очки. Одного из студентов вызвали к доске. Определим события А и В следующим образом: A = {вызванный студент курит}, B = {вызванный носит очки}.

Установить, зависимы события A и B или нет. Сделать предположение о характере влияния курения на зрение.

Решение. Так как , то условие независимости не выполняется, следовательно, события A и B зависимы.

Найдем условную вероятность того, что студент носит очки, при условии, что он курит: . Безусловная вероятность того, что студент носит очки, равна . Так как , то делаем вывод: курение способствует ухудшению зрения.

5. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачёт сдан, если студент ответит не менее чем на 3 из 4-х вопросов в билете. Взглянув на первый вопрос, студент обнаружил, что знает его. Какова вероятность, что студент сдаст зачёт?

Решение.

Пусть А – событие, заключающееся в том, что студент сдал зачет;

В – событие, заключающееся в том, что студент знает первый вопрос в билете.

Очевидно, что р(В) = . Теперь необходимо определить вероятность рÇ В). Из 25-ти вопросов всего можно составить различных билетов, содержащих 4 вопроса. Все билеты, выбор которых удовлетворял бы и событию А и событию В, должны быть составлены следующим образом: либо студент знает все вопросы билета (можно составить всего таких билетов), либо студент знает первый, второй и третий вопросы, но не знает четвёртого (можно составить всего 5 таких билетов), либо студент знает первый, второй и четвёртый вопросы, но не знает третьего (тоже 5 билетов), либо студент знает первый, третий и четвёртый вопросы, но не знает второго (тоже 5 билетов). Отсюда получаем, что

рÇ В) =

Осталось только найти искомую вероятность р(А/В):

р(А/В) = .


А

В

A

B

B

1 По имени английского учёного Джона Венна (1834-1923). Намного раньше Венна Леонард Эйлер использовал круги для изображения отношения между множествами.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47566. Методические указания. Менеджмент организаций 156.5 KB
  Лобачевского МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению дипломной работы студентами всех форм обучения по специальности Менеджмент организации Нижний Новгород 2008 Методические указания по выполнению дипломной работы студентами всех форм обучения по специальности Менеджмент организаций. Методические указания содержат рекомендации по выполнению дипломной работы...
47567. Экономика и организация отрасли. Методические указания 560 KB
  На основе данных из справочника Госкомстата Торговля в России заполните приведенные ниже таблицы и сделайте вывод о вкладе торговли в российскую экономику. вес в общем объеме Таблица 10 Экономическая ситуация и ее изменение в организациях торговли Розничная торговля Оптовая торговля 2005 2008 2009 2010 2005 2008 2009 2010 Экономическая ситуация Благоприятная Удовлетворительная Неблагоприятная Баланс оценок Изменение экономической ситуации Улучшение Без изменений Ухудшение Баланс оценок Семинар 3. Структура торговой отрасли Тест по ГОСТам в...
47568. ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СЕТИ И СИСТЕМЫ 1.02 MB
  Задания и методические указания для выполнения курсового проекта по дисциплине Электрические сети и системы ГОС – 2000. Морозова Введение Основная цель выполнения курсового проекта по дисциплине Электрические системы и сети заключается в понимании и усвоении принципов проектирования сетей электрических систем методов расчета и анализа их установившихся режимов.1 Содержание курсового проекта Для заданного варианта расположения и мощности потребителей выбрать схему развития районной электрической сети при соблюдении...
47569. Методические рекомендации. Финансы и кредит 229 KB
  Учет и операционная деятельность в банках для специальности Учет и операционная деятельность в банках для специальности Тема 2 Особенности организации проведения операций банка с собственными векселями Уставный капитал банка его структура функции и порядок отражения в бухгалтерском учете
47570. Методичні рекомендації. Правознавство 280 KB
  Особлива увага присвячена вибору теми дослідження роботі з джерелами та літературою побудові структури та оформленню роботи підготовці до попереднього захисту та захисту магістерської роботи в Державній екзаменаційній комісії. Методичні рекомендації містять пояснювальну записку основні етапи виконання магістерської роботи правила оформлення та захисту магістерської роботи додатки а також список літератури. Головною метою даних методичних рекомендацій є надання допомоги студентудипломнику у вирішенні поставленних завдань щодо...
47572. Методические рекомендации по оформлению выпускной квалификационной работы студентов факультета туризма и гостеприимства 163.5 KB
  Структура выпускной квалификационной дипломной работы Структура выпускной квалификационной дипломной работы должна включать следующие основные разделы: титульный лист установленного образца приложение 1 оглавление введение основная часть дветри главы заключение список использованной литературы и источников приложения. Оглавление в дипломе курсовой реферате и других работах представляет собой перечень разделов работы с указанием страниц на которых они расположены. По правилам оформления оглавление содержание...
47573. Методические рекомендации. Таможенное дело 173.5 KB
  Учебно-методический комплекс. Методические рекомендации по выполнению и защите выпускных квалификационных работ для студентов специальности 036401 «Таможенное дело» дневной и заочной формы обучения
47574. Методичні вказівки. Охорона праці 693 KB
  ГОНЧАРА МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до написання розділів “Охорона праціâ€ в дипломних роботах бакалаврів та “Охорона праці та безпека у надзвичайних ситуаціях†в дипломних роботах проектах спеціалістів і магістрів ДНУ ім.ГОНЧАРА Кафедра безпеки життєдіяльності МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до написання розділів “Охорона праціâ€ в дипломних роботах бакалаврів та “Охорона праці та безпека у надзвичайних ситуаціях†в дипломних роботах проектах спеціалістів і магістрів ДНУ ім.Гончара...