96214

Построение переходных функций системы регулирования по передаточным функциям

Практическая работа

Математика и математический анализ

Исходные данные для выполнения практической работы: например Процесс построения переходных функций системы регулирования по передаточным функциям имеет в теории управления важное значение. По этим характеристикам определяются все параметры системы и качество регулирования.

Русский

2015-10-04

35.58 KB

10 чел.

Практическая работа №4(1)

Тема: «Построение переходных функций системы регулирования по передаточным функциям»

Цель работы: Формирование умения применять обратное преобразование Лапласа при нахождении функции переходного процесса системы регулирования, строить ее график, определять параметры системы: колебательность, перерегулирование, время регулирования системы.

I. Нахождение функции переходного процесса системы регулирования, имеющей действительные корни, построение графика переходного процесса, определение основных параметров переходного процесса

 

Ход работы

Вариант №8

Исходные данные для выполнения практической работы: (например)

Процесс построения переходных функций системы регулирования по передаточным функциям имеет в теории управления важное значение. По этим характеристикам определяются все параметры системы и качество регулирования.

Для построения переходных функций системы регулирования по передаточным функциям необходимо применять обратное преобразование Лапласа или воспользоваться табличными значениями преобразования. Чтобы осуществить это обратное преобразование, необходимо сложную передаточную функцию заменить суммой нескольких простых функций.

  1.  Нахождение временной функции переходного процесса.

В общем случае передаточная функция системы определяется по формуле:

Для определения переходной функции представляю общее выражение в виде двух слагаемых.

где p1 и р2 — значения корней характеристического уравнения;

А и В — коэффициенты.

Слагаемые можно получить, если определить:

  1.  корни характеристического уравнения (квадратного уравнения знаменателя)
  2.  коэффициенты А и В.

1. Для определения корней характеристического уравнения:

  1.  Приравниваю к нулю знаменатель:

  1.  Найду дискриминант квадратного уравнения по формуле: D =, для этого из формулы передаточной функции системы выпишу значения А0 и А1

А1 = 3.4; А0 = 2.17

D = = 169-160 = 9

Значение дискриминанта D > 0.

При D > 0  корни этого квадратного уравнения  -  действительные значения – р1 и – р2 (отрицательные значения), они определяются по формуле

В общем случае не имеет значения, какой знак первым применять при вычислении p1 и p2 + или –, но для дальнейших расчетов необходимо, чтобы р2 было меньше, чем р1, поэтому  p1 вычисляю по формуле: p1 = (–A1D1/2)/2 , а  р2  - по формуле: р2 = (–A1 + D1/2)/2

 

Квадратное уравнение имеет вид: р2 + A1p + А0 = (р – p1)(р – р2), а так как корни квадратного уравнения   – отрицательные значения, то уравнение примет вид:

и тогда передаточная функция системы в общем виде запишется следующим образом:

подставлю сюда найденные корни квадратного уравнения

2. Коэффициенты А и В определяются следующим образом:

  1.  Привожу к общему знаменателю эти два слагаемых, раскрываю скобки:

  1.  Группирую подобные члены и выношу р за скобку:

                                          

  1.  Сравниваю числители в выражениях (1) и (2), записываю систему уравнений:

 

  1.  Решаю эту систему уравнений относительно А и В:

  1.  Определяю временную функцию переходного процесса:

Все неизвестные, входящие в уравнение переходной функции определил, можно записать, что:

По таблице обратных преобразований Лапласа (уравнения в общем виде) нахожу:

Переходный процесс будет определяться суммой этих составляющих

или  

Вывод: путем преобразования передаточной функции системы

  от оператора Лапласа р перешел к временной функции t и получил временную функцию переходного процесса при D > 0

  1.  Построение графика временной функции переходного процесса.

Для построения графика временной функции:

  1.  вычисляю значение функции при t =0, т.е. Y(0), при t =0  

Y(0)=7- 4 = 3, так как exp(0) = 1

Y(0)= 3

  1.  определяю время, когда временная функция имеет максимальное значение через первую производную  Y(1) =0.

Произведя ряд вычислений, получаю форуму вычисления tmax:

tmax =

где  

При вычислениях значения A, B, p1, p2 – абсолютные значения, т.е. знак не учитываю

tmax =   сек.

  1.  определяю максимальное значение временной функции Ymax (tmax).

Подставляю значение tmax в уравнение временной функции и определяю максимум:

Ymax (0.43) = 7*exp(8*0,4)  4*exp(5*0.4)=  0.256

Ymax (1.3) =  0,256

  1.  определяю время t1, когда Y(t1)=0 т.е. время, когда график переходного процесса пересекает временную ось t.

Произведя ряд вычислений, получаю форуму вычисления t1:

t1 =        

По этим данным построен график переходного процесса, приведенный в Приложении 1.

  1.  Определение основных параметров переходного процесса.

Определение основных параметров системы следует производить с учетом построенного графика переходного процесса (Приложение 1).

  1.  Время регулирования системы – это время, когда график переходного процесса пересекает временную ось t.

По выше произведенным расчетам:

  1.  при D>0 – время регулирования системы равно времени t1, т.е. времени, когда гармоническая функция равна нулю (tper = t1)

tper = 0.25 с.

  1.  Перерегулирование (σ- сигма)определяется выражением:

σ =  

По выше произведенным расчетам:

  1.  при D>0  ∆У2= Ymax (tmax) = 0.03

                     ∆У1=  Y(0) =0.28

Перерегулирование определяется по формуле:  

σ =

 

Из теории автоматического управления известно: качество регулирования считается удовлетворительным, если перерегулирование не превышает 30...40%, а хорошим, если превышает 20%.

  1.  Затухание (пси), определяется выражением:

Ψ = 1 -

Из теории автоматического управления известно: при незатухающем колебательном процессе коэффициент затухания равен нулю. Если же коэффициент затухания стремится к единице, то переходный процесс будет апериодическим. Интенсивность затухания колебаний в системе считается удовлетворительной, если степень затухания составляет 75 % и выше. В некоторых случаях допускается около 60 %.

В моем случае по графику переходного процесса видно, что отношение амплитуд ∆У3/∆У1 очень маленькая величина, т.е    0, следовательно, затухание Ψ = 1.

Вывод: по произведенным расчетам время регулирования системы tper = 0,19сек, перерегулирование σ =8,53%, переходный процесс – апериодический.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1929. Вычисления в таблицах MS Excel 92.38 KB
  Изучить возможности применения формул для выполнения расчетов при представлении данных в табличном виде; приобрести опыт работы с мастером функций MS Excel.
1930. Определение горизонтальной составляющей индукции магнитного поля земли 233.1 KB
  Ознакомление с определением индукции магнитного поля Земли методом тангенс-гальванометра. Определение горизонтальной составляющей индукции магнитного поля Земли.
1931. У природи нема поганої погоди 22.27 KB
  Виявити та узагальнити ознаки весни, літа, осені, зими в природі. Розширити та збагатити знання про пори року. Розвити естетичний смак. Формувати уміння розкрити красу кожної пори року. Виховувати любов до рідної природи, бажання оберігати її.
1932. Виховний захід: Я і природа 20.12 KB
  Формувати уміння встановлювати взаємозв'язок між природними об'єктами, підсумувати пізнавальні інтереси учнів, сприяти вихованню в них почуття прекрасного.
1933. Поликультурный мир 22.28 KB
  Дать элементарные представления о детях, которые отличаются от них по языковому, этническому, национальному или расовому признаку. Формирование толерантности детей. Формирование представления детей о взаимозависимости людей проживающих на планете.
1934. У гостях в Лісовичка. Виховний захід 24.15 KB
  Вивчення значення мови для кожної людини. Пісня та вірш про рідну мову, зупинки з вимовлянням звуків. Артикуляційна гімнастика, і підготовка до мовлення.
1935. Здоров’я людини 23.11 KB
  Здоров’я людини ґрунтується на основі генетичних факторів, способу життя та екологічних умов. Однак певною мірою воно залежить також від свідомого ставлення людини до себе та оточуючого середовища.
1936. Життя утворено від жита, бо хліб – усьому голова 25.74 KB
  Вшанувати працю хліборобів, виховувати повагу до праці та шанобливе ставлення до хліба.
1937. Противоречие как движущая сила воспитательного процесса в современных условиях 21.81 KB
  Общефилософский закон единства и борьбы противоположностей. Внешние противоречия, порожденные взаимодействием человека с окружающим миром. Индивидуальные противоречия, обусловленные конкретной ситуацией развития каждого человека.