96214

Построение переходных функций системы регулирования по передаточным функциям

Практическая работа

Математика и математический анализ

Исходные данные для выполнения практической работы: например Процесс построения переходных функций системы регулирования по передаточным функциям имеет в теории управления важное значение. По этим характеристикам определяются все параметры системы и качество регулирования.

Русский

2015-10-04

35.58 KB

6 чел.

Практическая работа №4(1)

Тема: «Построение переходных функций системы регулирования по передаточным функциям»

Цель работы: Формирование умения применять обратное преобразование Лапласа при нахождении функции переходного процесса системы регулирования, строить ее график, определять параметры системы: колебательность, перерегулирование, время регулирования системы.

I. Нахождение функции переходного процесса системы регулирования, имеющей действительные корни, построение графика переходного процесса, определение основных параметров переходного процесса

 

Ход работы

Вариант №8

Исходные данные для выполнения практической работы: (например)

Процесс построения переходных функций системы регулирования по передаточным функциям имеет в теории управления важное значение. По этим характеристикам определяются все параметры системы и качество регулирования.

Для построения переходных функций системы регулирования по передаточным функциям необходимо применять обратное преобразование Лапласа или воспользоваться табличными значениями преобразования. Чтобы осуществить это обратное преобразование, необходимо сложную передаточную функцию заменить суммой нескольких простых функций.

  1.  Нахождение временной функции переходного процесса.

В общем случае передаточная функция системы определяется по формуле:

Для определения переходной функции представляю общее выражение в виде двух слагаемых.

где p1 и р2 — значения корней характеристического уравнения;

А и В — коэффициенты.

Слагаемые можно получить, если определить:

  1.  корни характеристического уравнения (квадратного уравнения знаменателя)
  2.  коэффициенты А и В.

1. Для определения корней характеристического уравнения:

  1.  Приравниваю к нулю знаменатель:

  1.  Найду дискриминант квадратного уравнения по формуле: D =, для этого из формулы передаточной функции системы выпишу значения А0 и А1

А1 = 3.4; А0 = 2.17

D = = 169-160 = 9

Значение дискриминанта D > 0.

При D > 0  корни этого квадратного уравнения  -  действительные значения – р1 и – р2 (отрицательные значения), они определяются по формуле

В общем случае не имеет значения, какой знак первым применять при вычислении p1 и p2 + или –, но для дальнейших расчетов необходимо, чтобы р2 было меньше, чем р1, поэтому  p1 вычисляю по формуле: p1 = (–A1D1/2)/2 , а  р2  - по формуле: р2 = (–A1 + D1/2)/2

 

Квадратное уравнение имеет вид: р2 + A1p + А0 = (р – p1)(р – р2), а так как корни квадратного уравнения   – отрицательные значения, то уравнение примет вид:

и тогда передаточная функция системы в общем виде запишется следующим образом:

подставлю сюда найденные корни квадратного уравнения

2. Коэффициенты А и В определяются следующим образом:

  1.  Привожу к общему знаменателю эти два слагаемых, раскрываю скобки:

  1.  Группирую подобные члены и выношу р за скобку:

                                          

  1.  Сравниваю числители в выражениях (1) и (2), записываю систему уравнений:

 

  1.  Решаю эту систему уравнений относительно А и В:

  1.  Определяю временную функцию переходного процесса:

Все неизвестные, входящие в уравнение переходной функции определил, можно записать, что:

По таблице обратных преобразований Лапласа (уравнения в общем виде) нахожу:

Переходный процесс будет определяться суммой этих составляющих

или  

Вывод: путем преобразования передаточной функции системы

  от оператора Лапласа р перешел к временной функции t и получил временную функцию переходного процесса при D > 0

  1.  Построение графика временной функции переходного процесса.

Для построения графика временной функции:

  1.  вычисляю значение функции при t =0, т.е. Y(0), при t =0  

Y(0)=7- 4 = 3, так как exp(0) = 1

Y(0)= 3

  1.  определяю время, когда временная функция имеет максимальное значение через первую производную  Y(1) =0.

Произведя ряд вычислений, получаю форуму вычисления tmax:

tmax =

где  

При вычислениях значения A, B, p1, p2 – абсолютные значения, т.е. знак не учитываю

tmax =   сек.

  1.  определяю максимальное значение временной функции Ymax (tmax).

Подставляю значение tmax в уравнение временной функции и определяю максимум:

Ymax (0.43) = 7*exp(8*0,4)  4*exp(5*0.4)=  0.256

Ymax (1.3) =  0,256

  1.  определяю время t1, когда Y(t1)=0 т.е. время, когда график переходного процесса пересекает временную ось t.

Произведя ряд вычислений, получаю форуму вычисления t1:

t1 =        

По этим данным построен график переходного процесса, приведенный в Приложении 1.

  1.  Определение основных параметров переходного процесса.

Определение основных параметров системы следует производить с учетом построенного графика переходного процесса (Приложение 1).

  1.  Время регулирования системы – это время, когда график переходного процесса пересекает временную ось t.

По выше произведенным расчетам:

  1.  при D>0 – время регулирования системы равно времени t1, т.е. времени, когда гармоническая функция равна нулю (tper = t1)

tper = 0.25 с.

  1.  Перерегулирование (σ- сигма)определяется выражением:

σ =  

По выше произведенным расчетам:

  1.  при D>0  ∆У2= Ymax (tmax) = 0.03

                     ∆У1=  Y(0) =0.28

Перерегулирование определяется по формуле:  

σ =

 

Из теории автоматического управления известно: качество регулирования считается удовлетворительным, если перерегулирование не превышает 30...40%, а хорошим, если превышает 20%.

  1.  Затухание (пси), определяется выражением:

Ψ = 1 -

Из теории автоматического управления известно: при незатухающем колебательном процессе коэффициент затухания равен нулю. Если же коэффициент затухания стремится к единице, то переходный процесс будет апериодическим. Интенсивность затухания колебаний в системе считается удовлетворительной, если степень затухания составляет 75 % и выше. В некоторых случаях допускается около 60 %.

В моем случае по графику переходного процесса видно, что отношение амплитуд ∆У3/∆У1 очень маленькая величина, т.е    0, следовательно, затухание Ψ = 1.

Вывод: по произведенным расчетам время регулирования системы tper = 0,19сек, перерегулирование σ =8,53%, переходный процесс – апериодический.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68768. Материалы ж/б мостов, водоотвод, гидроизоляция 394.5 KB
  Бетон конструкции мостов подбирают в зависимости от требуемых условий прочности морозостойкости и в некоторых случаях водостойкости и водонепроницаемости. В зависимости от вида конструкции их армирования и условий работы класс бетона принимают в соответствии с требованиями приведенными в СНиП.
68769. Наладка. Общие сведения о пусконаладочных работах 505.5 KB
  В практике наладочных работ приходится измерять сопротивления от десятков микроом переходные сопротивления контактов до тысяч мегом – сопротивление изоляции. При этом взаимная индуктивность равна Наладка защитно-коммутационной аппаратуры Измерение сопротивления изоляции ЭО и...
68770. Всемирная история новейшего времени. 1945 – начало XXI века 1.54 MB
  Победа в Великой Отечественной войне вызвала подъем в общественно-политической жизни страны. Воплотившись в массовом энтузиазме, трудовом героизме рабочих, колхозников, интеллигенции, он стал одним из главных факторов, обеспечивших успешное восстановление народного хозяйства.
68772. Статистика туризма: Краткий курс лекций 296.5 KB
  Статистика изучает: массовые общественные явлений при помощи статистических показателей (количество произведенной продукции разнообразных видов за определенный период времени, численность населения и т.д.) количественную сторону общественных явлений в неразрывной связи с их качественным...
68774. Строительные конструкции транспортных сооружений 777.82 KB
  Научиться: производить экономическую оценку и обоснование применяемых строительных конструкций в зданиях и сооружениях; определять нагрузки на несущие конструкции зданий и сооружений и выполнять их расчет; на основе разработанных конструктивных схем зданий или сооружений осуществлять расчеты строительных...
68775. ДОКУМЕНТАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ УПРАВЛЕНИЯ В СОЦИАЛЬНО-КУЛЬТУРНОМ СЕРВИСЕ И ТУРИЗМЕ 688 KB
  Прием обработка и распределение поступающих документов. Правила обработки исходящих документов. Прохождение внутренних документов. Основные требования к оформлению документов.