9627

Векторная графика. Точка, прямая линия, кривая второго порядка, кривая третьего порядка, кривая Безье

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Векторная графика. Как в растровой графике основным элементом изображения является точка, так в векторной графике основным элементом изображения является линия (при этом не важно, прямая это линия или кривая). Разумеется, в растровой графике тоже су...

Русский

2013-03-14

98 KB

20 чел.

Векторная графика.

Как в растровой графике основным элементом изображения является точка, так в векторной графике основным элементом изображения является линия (при этом не важно, прямая это линия или кривая).

Разумеется, в растровой графике тоже существуют линий, но там они рассматриваются как комбинации точек. Для каждой точки линии в растровой графике отводится одна или несколько ячеек памяти (чем больше цветов могут иметь точки, тем больше ячеек им выделяется). Соответственно, чем длиннее растровая линия, тем больше памяти она занимает. В векторной графике объем памяти, занимаемый линией, не зависит от размеров линии, поскольку линия представляется в виде формулы, а точнее говоря, в виде нескольких параметров. Что бы мы ни делали с этой линией, меняются только ее параметры, хранящиеся в ячейках памяти. Количество же ячеек остается неизменным для любой линии, созданной в векторном редакторе.

Линия — это элементарный объект векторной графики. Все, что есть в векторной иллюстрации, состоит из линий. Простейшие объекты векторного изображения объединяются в более сложные, например объект четырехугольник можно рассматривать как четыре связанные линии, а объект куб еще более сложен: его можно рассматривать либо как двенадцать связанных линий, либо как шесть связанных четырехугольников. Из-за такого подхода векторную графику часто называют объектно-ориентированной графикой.

Мы сказали, что объекты векторной графики хранятся в памяти в виде набора параметров, но не надо забывать и о том, что на экран все изображения все равно выводятся в виде точек. Перед выводом на экран каждого объекта программа производит вычисления координат экранных точек в изображении объекта, поэтому векторную графику иногда называют вычисляемой графикой. Аналогичные вычисления производятся и при выводе векторных объектов на принтер.

Как и все векторные объекты, линии имеют свойства. К этим свойствам относятся: форма линии, ее толщина, цвет, характер линии (сплошная, пунктирная и т. п.). Замкнутые линии имеют свойство заполнения. Внутренняя область замкнутого векторного контура может быть заполнена цветом, текстурой, картой. Простейшая линия, если она не замкнута, имеет две вершины, которые называются узлами. Узлы тоже имеют свойства, от которых зависит, как выглядит вершина линии и как две линии сопрягаются между собой.

 

Рис. 1. Контурные объекты двухмерной векторной графики - 2D.

 

Замкнутые контуры векторной графики могут обладать заполнением, которое выполняют инструментом Заливка. В качестве заполнителя может быть выбрана цветная краска или регулярная текстура. Иногда в качестве заполнителя используют заготовленное растровое изображение, называемое картой.

 

Рис. 2. Контурные объекты трехмерной векторной графики - 3D.

 

Прямоугольник можно рассматривать как один векторный графический объект (замкнутый контур), если объединить векторные объекты-линии, входящие в него. Векторное изображение куба можно рассматривать как один сложный объект, который образуют 6 замкнутых векторных контуров. Куб можно изобразить и с помощью 12 прямых линий.

 

Рис. 3. Линии двухмерной векторной графики - 2D.

 

Эти линии созданы в векторном редакторе. По внешнему виду они совершенно непохожи, но это одинаковые векторные объекты, различающиеся лишь свойствами (параметрами). Для хранения этих параметров в векторном изображении достаточно всего нескольких байт памяти.

 

Точка, прямая линия, кривая второго порядка, кривая третьего порядка, кривая Безье.

 

Математические основы векторной графики.

В основе векторной графики лежат математические представления о свойствах геометрических фигур. Как мы сказали выше, простейшим объектом векторной графики является линия. Поэтому в основе векторной графики лежит прежде всего математическое представление линии (прямая, кривая второго, третьего порядка и линии Безье). Давайте рассмотрим несколько видов линий, но начнем с точки.

 

Точка.

Точка на плоскости задается двумя числами (х, у), определяющими ее положение относительно начала координат.

 

Прямая линия. (частный случай кривой второго и третьего порядка).

Из курса алгебры известно, что для задания прямой линии достаточно двух параметров. Обычно график прямой линии описывается уравнением y=kx+b. Зная параметры k и b, всегда можно нарисовать бесконечную прямую линию в известной системе координат.

 

Отрезок прямой. (частный случай кривой второго и третьего порядка).

Для задания отрезка прямой линии надо знать еще пару параметров, например координаты х1 и х2 начала и конца отрезка, поэтому для описания отрезка прямой линии необходимы четыре параметра.

 

Кривая линия второго порядка. (частный случай кривой третьего порядка).

К кривым второго порядка относятся параболы, гиперболы, эллипсы, окружности и другие линии, уравнения которых не содержат степеней выше второй. Прямые линии — это частный случай кривых второго порядка. Отличаются кривые второго порядка тем, что не имеют точек перегиба. Самая общая формула кривой второго порядка может выглядеть, например, так: х21у22ху+а3х+а4у+а5=0.

Как видите, пяти параметров вполне достаточно для описания бесконечной кривой линии второго порядка. Для записи отрезка кривой второго порядка необходимо на два параметра больше.

 

Кривая линия третьего порядка.

Отличительная особенность этих более сложных кривых линий состоит в том, что они могут иметь точку перегиба. Если вы знакомы с графиком функции у=х3 то конечно видели тот перегиб, который происходит в начале координат. Кривые линии третьего порядка хорошо соответствуют тем линиям, которые мы наблюдаем в живой природе, например линиям изгиба человеческого тела, поэтому в качестве основных объектов векторной графики используют именно такие линии (кривые третьего порядка). Все прямые и кривые второго порядка (например, окружности или эллипсы) являются частными случаями кривых третьего порядка.

В общем случае уравнение кривой линии третьего порядка можно записать так: х31у32х2у+а3ху24х25у26ху+а7х+а8у+а9=0.

Видно, что для записи кривой третьего порядка достаточно девяти параметров. Для задания отрезка кривой линии третьего порядка, надо иметь на два параметра больше.

Фото 1. Кривая Безье. Управляющие векторы для редактирования кривой Безье. (Векторный редактор CorelDraw).

 

Кривые Безье. (частный случай кривой третьего порядка).

Рисовать кривую третьего порядка по заданным коэффициентам ее уравнения — занятие не слишком интересное. Для упрощения этой утомительной процедуры в векторных редакторах применяют не любые кривые третьего порядка, а их особый вид, называемый кривыми Безье. Отрезки кривых Безье — это частный случай отрезков кривых третьего порядка. Они описываются не одиннадцатью параметрами, как произвольные отрезки кривых третьего порядка, а лишь восемью, и потому работать с ними удобнее.

Метод построения кривой Безье основан на использовании пары касательных, проведенных к линии в точках ее концов. На практике эти касательные выполняют роль «рычагов», с помощью которых линию изгибают так, как это необходимо. На форму линии влияет не только угол наклона касательной, но и длина ее отрезка. Управление касательной (а вместе с ней и формой линии) производят перетаскиванием маркера с помощью мыши.

Большинство векторных редакторов для изображения и хранения кривых линий используют именно кривые Безье.

 

Основные понятия векторной графики (Векторный контур, опорные точки контура, заливка контура).

Независимо от выбора векторного редактора основные понятия, с которыми приходится иметь дело в практической работе, одни и те же.

1. Основным объектом векторной графики является линия (неважно какая). В некоторых редакторах ее называют кривой (curve). При этом прямая (line) рассматривается как частный случай кривой. В некоторых программах вместо понятия кривая используется понятие контур (path). По-видимому, понятие контур наиболее адекватно отражает суть, поскольку контур может быть и прямой, и кривой, и фигурой, и ломаной. Далее мы будем придерживаться термина контур.

2. Каждый векторный контур может иметь две или более опорных точек (узлов). В некоторых редакторах их называют узлами (nodes).

3. Элемент векторного контура, заключенный между двумя опорными точками (узлами), называется сегментом векторного контура. Если контур имеет более двух опорных точек (узлов), то он состоит из нескольких сегментов. Форму векторного контура изменяют перемещением опорных точек (узлов), изменением их свойств, добавлением новых опорных точек или удалением части опорных точек векторного контура.

4. Векторный контур может быть открытым или замкнутым. Если последняя опорная точка (узел) векторного контура одновременно является и его первой точкой (простого геометрического совпадения этих точек недостаточно), то векторный контур считается замкнутым. В противном случае он открыт. Свойства замкнутых и открытых векторных контуров различаются.

5. Векторный контур является элементарным графическим объектом. Из контуров можно создавать новые объекты или их группы. С несколькими контурами можно выполнить операции группирования, комбинирования и объединения. Эти операции образуют, соответственно: группу объектов, составной векторный контур или новый контур. В операции группирования каждый контур группы сохраняет свои опорные точки (узлы) и свойства. В операции комбинирования векторные контуры сохраняют свои опорные точки (узлы), но свойства составного контура становятся новыми. В операции объединения образуются новые опорные точки и изменяются свойства исходных объектов.
 

Свойства объектов векторной графики (Векторный контур. Опорные точки и заливка).

Из общего курса информатики мы знаем, что все объекты имеют свойства. Более того, все объекты различимы по своим свойствам, а изменение свойств ведет к изменению объекта.

1. Параметры обводки. Из курса геометрии известно, что в понятии линии ничего не сказано о ее толщине. Считается, что линия не имеет толщины. Это же справедливо и для контуров в векторной графике. Работая с контурами, мы можем представлять их как линии, не имеющие ни толщины, ни цвета. Однако когда дело доходит до получения готового рисунка, мы можем вспомнить (там, где нам это нужно), что такие параметры у линии могут быть, и назначить их. Одновременно можно задать тип линии (сплошная, пунктирная, штрихпунктирная и т. п.) и форму ее концов, К свойствам контура относится также и вид стрелки (или ее отсутствие), которой заканчивается линия. Все эти параметры называются параметрами обводки. Изменяя свойство обводки, мы управляем тем, как будет отображаться контур.

2. Свойство заливки. Мы уже говорили о том, что контуры бывают замкнутыми и открытыми. В большинстве редакторов векторной графики замкнутые контуры обладают особым свойством — заливкой. При создании замкнутого контура его внутренняя область автоматически заливается в соответствии с текущими установками параметров заливки.

3. Параметры заливки. Основным параметром заливки является информация о том, чем заливается контур. Это важно, поскольку существуют несколько типов заливки:

• заливка основным цветом (внутренняя область контура закрашивается одним избранным цветом);

• градиентная заливка (в качестве параметров заливки назначаются два цвета и выбирается метод плавного перехода одного цвета в другой);

• текстурная заливка (внутренняя область контура покрывается одним узором с регулярной структурой);

• заливка изображением-картой (в качестве параметра выступает адрес файла растрового изображения, которое используется в качестве заполнителя). Такое растровое изображение называют картой. Этот метод заливки есть не во всех редакторах.

 

В векторной графике параметрами обводки контуров являются: цвет, толщина, тип линии, тип концов линии.

Концевые и сопряженные опорные точки могут иметь разные свойства закругления концов линий.

Векторный редактор Adobe Illustrator отличается от прочих тем, что в нем свойством заливки могут обладать и открытые контуры. Если свойство заливки задано, то последняя точка контура условно соединяется с первой и образовавшийся квазизамкнутый контур заливается.

Векторный редактор CorelDraw отличается многообразием фоновых заливок. Самое интересное заключается в том, что различные узоры, генерируются программой автоматически. Их количество практически неисчерпаемо.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37526. Экзаменационные вопросы по философии с ответами для поступающих в аспирантуру 654.18 KB
  Специфика философского рассмотрения человека. Религиозные учения о сотворении человека. Проблема смысла жизни человека в истории религиозных и философских учений. Свобода и ответственность человека в современном мире.
37527. Философия. Шпаргалки 52.56 KB
  Роль философии определяется прежде всего тем что она выступает в качестве теоретической основы мировоззрения а также тем что она решает проблему познаваемости мира наконец вопросы ориентации человека в мире культуры в мире духовных ценностей. Функции: 1 мировоззренческая с помощью философии у человека формируется мировоззрение. Структура философии: 1Онтология сердцевина онто бытие логосучение фил. Основной вопрос философии метафилософская и историкофилософская концепция согласно которой основной проблемой философии на...
37528. Сравнение человека и животного 23.32 KB
  Отличается ли сознание и мышление животных от сознания и мышления человека Человек обладает абстрактным мышлением у животных предметное мышлениездесь и сейчас У животных нет самозознания. Шеллер утверждал: человек может посмотреть на себя со стороны животное же не выделяет себя из окружающей среды они привязаны к природе Шеллер: точто делает человека человеком есть причины противоположные жизнидух У человека между системой рецепторов и системой эффекторов есть третье звено. Животное на внешний стимул дает прямой непосредственный...
37529. ФИЛОСОФИЯ БЕЛАРУСИ 42.57 KB
  ФИЛОСОФИЯ БЕЛАРУСИ комплекс философских идей и представлений включая социальную философию этику эстетику философское осмысление религиозных атеистических педагогических естественнонаучных и т. взглядов сложившихся в Беларуси с древнейших времен до настоящего времени. выступает как сложный многоэтапный и многовекторный процесс задаваемый спецификой развития Беларуси как страны белорусов как нации белорусской культуры включая ее философскую рефлексию как уникальной самодостаточной целостности в контексте эволюции европейского...
37530. Философские течения. История философии 129.25 KB
  философия развивалась под прямым влиянием естественных наук. Официальной философией в эту эпоху оставалась схоластика но возникновение культуры гуманизма значительные достижения в области естествознания привели к тому что философия перестала играть роль служанки богословия и перспектива ее развития приобрела антисхоластическую направленность. Философия зародилась в Древней Греции. На сходства обратил внимание Аристотель по его словам философия и мифология основаны на удивлении но мифология обращается к вере а философия к разуму...
37531. Философия и ее концепции 131.96 KB
  Философия как социокультурный феномен Философиявысший уровень и вид мировоззрения отличся рациональностью системностью логикой и теоретической оформленностью. Мифология и религия догматичны философия антидогматична. Философия: стремится к более глубокой истине синтез наиболее общих взглядов на природу общво челка целенаправленное познание. рефлексивнаспособ познания мира и формирования отношений опирается на четкие понятия и категории Философия возникает практически одновременно в 3 точках земного шара: Китай Др.
37532. Сократ и его апология 12.6 KB
  Сократ. Сократа стали обвинять в безбожии в развращении молодежи в подрыве существующего государственного строя и даже во введении какихто новых божеств. Речь Сократа после обвинения предшествующего приговору Клевета утверждение будто Сократ занимался тем что находится под землей и тем что на небе т.
37534. Філософія, її людські виміри та смисл 43.43 KB
  Сильні душевні враження впечатления отримані насамперед в дитячому віці. Причому пізнай себе як результат еволюції природи в любові та з любовю до неї оскільки вона твоя матір. У звязку з цим хто має досвід знає що але не знає чому; хто володіє мистецтвом знає чому тобто знає причину Аристотель. Вони чомучки почемучки.