9627

Векторная графика. Точка, прямая линия, кривая второго порядка, кривая третьего порядка, кривая Безье

Лекция

Информатика, кибернетика и программирование

Векторная графика. Как в растровой графике основным элементом изображения является точка, так в векторной графике основным элементом изображения является линия (при этом не важно, прямая это линия или кривая). Разумеется, в растровой графике тоже су...

Русский

2013-03-14

98 KB

19 чел.

Векторная графика.

Как в растровой графике основным элементом изображения является точка, так в векторной графике основным элементом изображения является линия (при этом не важно, прямая это линия или кривая).

Разумеется, в растровой графике тоже существуют линий, но там они рассматриваются как комбинации точек. Для каждой точки линии в растровой графике отводится одна или несколько ячеек памяти (чем больше цветов могут иметь точки, тем больше ячеек им выделяется). Соответственно, чем длиннее растровая линия, тем больше памяти она занимает. В векторной графике объем памяти, занимаемый линией, не зависит от размеров линии, поскольку линия представляется в виде формулы, а точнее говоря, в виде нескольких параметров. Что бы мы ни делали с этой линией, меняются только ее параметры, хранящиеся в ячейках памяти. Количество же ячеек остается неизменным для любой линии, созданной в векторном редакторе.

Линия — это элементарный объект векторной графики. Все, что есть в векторной иллюстрации, состоит из линий. Простейшие объекты векторного изображения объединяются в более сложные, например объект четырехугольник можно рассматривать как четыре связанные линии, а объект куб еще более сложен: его можно рассматривать либо как двенадцать связанных линий, либо как шесть связанных четырехугольников. Из-за такого подхода векторную графику часто называют объектно-ориентированной графикой.

Мы сказали, что объекты векторной графики хранятся в памяти в виде набора параметров, но не надо забывать и о том, что на экран все изображения все равно выводятся в виде точек. Перед выводом на экран каждого объекта программа производит вычисления координат экранных точек в изображении объекта, поэтому векторную графику иногда называют вычисляемой графикой. Аналогичные вычисления производятся и при выводе векторных объектов на принтер.

Как и все векторные объекты, линии имеют свойства. К этим свойствам относятся: форма линии, ее толщина, цвет, характер линии (сплошная, пунктирная и т. п.). Замкнутые линии имеют свойство заполнения. Внутренняя область замкнутого векторного контура может быть заполнена цветом, текстурой, картой. Простейшая линия, если она не замкнута, имеет две вершины, которые называются узлами. Узлы тоже имеют свойства, от которых зависит, как выглядит вершина линии и как две линии сопрягаются между собой.

 

Рис. 1. Контурные объекты двухмерной векторной графики - 2D.

 

Замкнутые контуры векторной графики могут обладать заполнением, которое выполняют инструментом Заливка. В качестве заполнителя может быть выбрана цветная краска или регулярная текстура. Иногда в качестве заполнителя используют заготовленное растровое изображение, называемое картой.

 

Рис. 2. Контурные объекты трехмерной векторной графики - 3D.

 

Прямоугольник можно рассматривать как один векторный графический объект (замкнутый контур), если объединить векторные объекты-линии, входящие в него. Векторное изображение куба можно рассматривать как один сложный объект, который образуют 6 замкнутых векторных контуров. Куб можно изобразить и с помощью 12 прямых линий.

 

Рис. 3. Линии двухмерной векторной графики - 2D.

 

Эти линии созданы в векторном редакторе. По внешнему виду они совершенно непохожи, но это одинаковые векторные объекты, различающиеся лишь свойствами (параметрами). Для хранения этих параметров в векторном изображении достаточно всего нескольких байт памяти.

 

Точка, прямая линия, кривая второго порядка, кривая третьего порядка, кривая Безье.

 

Математические основы векторной графики.

В основе векторной графики лежат математические представления о свойствах геометрических фигур. Как мы сказали выше, простейшим объектом векторной графики является линия. Поэтому в основе векторной графики лежит прежде всего математическое представление линии (прямая, кривая второго, третьего порядка и линии Безье). Давайте рассмотрим несколько видов линий, но начнем с точки.

 

Точка.

Точка на плоскости задается двумя числами (х, у), определяющими ее положение относительно начала координат.

 

Прямая линия. (частный случай кривой второго и третьего порядка).

Из курса алгебры известно, что для задания прямой линии достаточно двух параметров. Обычно график прямой линии описывается уравнением y=kx+b. Зная параметры k и b, всегда можно нарисовать бесконечную прямую линию в известной системе координат.

 

Отрезок прямой. (частный случай кривой второго и третьего порядка).

Для задания отрезка прямой линии надо знать еще пару параметров, например координаты х1 и х2 начала и конца отрезка, поэтому для описания отрезка прямой линии необходимы четыре параметра.

 

Кривая линия второго порядка. (частный случай кривой третьего порядка).

К кривым второго порядка относятся параболы, гиперболы, эллипсы, окружности и другие линии, уравнения которых не содержат степеней выше второй. Прямые линии — это частный случай кривых второго порядка. Отличаются кривые второго порядка тем, что не имеют точек перегиба. Самая общая формула кривой второго порядка может выглядеть, например, так: х21у22ху+а3х+а4у+а5=0.

Как видите, пяти параметров вполне достаточно для описания бесконечной кривой линии второго порядка. Для записи отрезка кривой второго порядка необходимо на два параметра больше.

 

Кривая линия третьего порядка.

Отличительная особенность этих более сложных кривых линий состоит в том, что они могут иметь точку перегиба. Если вы знакомы с графиком функции у=х3 то конечно видели тот перегиб, который происходит в начале координат. Кривые линии третьего порядка хорошо соответствуют тем линиям, которые мы наблюдаем в живой природе, например линиям изгиба человеческого тела, поэтому в качестве основных объектов векторной графики используют именно такие линии (кривые третьего порядка). Все прямые и кривые второго порядка (например, окружности или эллипсы) являются частными случаями кривых третьего порядка.

В общем случае уравнение кривой линии третьего порядка можно записать так: х31у32х2у+а3ху24х25у26ху+а7х+а8у+а9=0.

Видно, что для записи кривой третьего порядка достаточно девяти параметров. Для задания отрезка кривой линии третьего порядка, надо иметь на два параметра больше.

Фото 1. Кривая Безье. Управляющие векторы для редактирования кривой Безье. (Векторный редактор CorelDraw).

 

Кривые Безье. (частный случай кривой третьего порядка).

Рисовать кривую третьего порядка по заданным коэффициентам ее уравнения — занятие не слишком интересное. Для упрощения этой утомительной процедуры в векторных редакторах применяют не любые кривые третьего порядка, а их особый вид, называемый кривыми Безье. Отрезки кривых Безье — это частный случай отрезков кривых третьего порядка. Они описываются не одиннадцатью параметрами, как произвольные отрезки кривых третьего порядка, а лишь восемью, и потому работать с ними удобнее.

Метод построения кривой Безье основан на использовании пары касательных, проведенных к линии в точках ее концов. На практике эти касательные выполняют роль «рычагов», с помощью которых линию изгибают так, как это необходимо. На форму линии влияет не только угол наклона касательной, но и длина ее отрезка. Управление касательной (а вместе с ней и формой линии) производят перетаскиванием маркера с помощью мыши.

Большинство векторных редакторов для изображения и хранения кривых линий используют именно кривые Безье.

 

Основные понятия векторной графики (Векторный контур, опорные точки контура, заливка контура).

Независимо от выбора векторного редактора основные понятия, с которыми приходится иметь дело в практической работе, одни и те же.

1. Основным объектом векторной графики является линия (неважно какая). В некоторых редакторах ее называют кривой (curve). При этом прямая (line) рассматривается как частный случай кривой. В некоторых программах вместо понятия кривая используется понятие контур (path). По-видимому, понятие контур наиболее адекватно отражает суть, поскольку контур может быть и прямой, и кривой, и фигурой, и ломаной. Далее мы будем придерживаться термина контур.

2. Каждый векторный контур может иметь две или более опорных точек (узлов). В некоторых редакторах их называют узлами (nodes).

3. Элемент векторного контура, заключенный между двумя опорными точками (узлами), называется сегментом векторного контура. Если контур имеет более двух опорных точек (узлов), то он состоит из нескольких сегментов. Форму векторного контура изменяют перемещением опорных точек (узлов), изменением их свойств, добавлением новых опорных точек или удалением части опорных точек векторного контура.

4. Векторный контур может быть открытым или замкнутым. Если последняя опорная точка (узел) векторного контура одновременно является и его первой точкой (простого геометрического совпадения этих точек недостаточно), то векторный контур считается замкнутым. В противном случае он открыт. Свойства замкнутых и открытых векторных контуров различаются.

5. Векторный контур является элементарным графическим объектом. Из контуров можно создавать новые объекты или их группы. С несколькими контурами можно выполнить операции группирования, комбинирования и объединения. Эти операции образуют, соответственно: группу объектов, составной векторный контур или новый контур. В операции группирования каждый контур группы сохраняет свои опорные точки (узлы) и свойства. В операции комбинирования векторные контуры сохраняют свои опорные точки (узлы), но свойства составного контура становятся новыми. В операции объединения образуются новые опорные точки и изменяются свойства исходных объектов.
 

Свойства объектов векторной графики (Векторный контур. Опорные точки и заливка).

Из общего курса информатики мы знаем, что все объекты имеют свойства. Более того, все объекты различимы по своим свойствам, а изменение свойств ведет к изменению объекта.

1. Параметры обводки. Из курса геометрии известно, что в понятии линии ничего не сказано о ее толщине. Считается, что линия не имеет толщины. Это же справедливо и для контуров в векторной графике. Работая с контурами, мы можем представлять их как линии, не имеющие ни толщины, ни цвета. Однако когда дело доходит до получения готового рисунка, мы можем вспомнить (там, где нам это нужно), что такие параметры у линии могут быть, и назначить их. Одновременно можно задать тип линии (сплошная, пунктирная, штрихпунктирная и т. п.) и форму ее концов, К свойствам контура относится также и вид стрелки (или ее отсутствие), которой заканчивается линия. Все эти параметры называются параметрами обводки. Изменяя свойство обводки, мы управляем тем, как будет отображаться контур.

2. Свойство заливки. Мы уже говорили о том, что контуры бывают замкнутыми и открытыми. В большинстве редакторов векторной графики замкнутые контуры обладают особым свойством — заливкой. При создании замкнутого контура его внутренняя область автоматически заливается в соответствии с текущими установками параметров заливки.

3. Параметры заливки. Основным параметром заливки является информация о том, чем заливается контур. Это важно, поскольку существуют несколько типов заливки:

• заливка основным цветом (внутренняя область контура закрашивается одним избранным цветом);

• градиентная заливка (в качестве параметров заливки назначаются два цвета и выбирается метод плавного перехода одного цвета в другой);

• текстурная заливка (внутренняя область контура покрывается одним узором с регулярной структурой);

• заливка изображением-картой (в качестве параметра выступает адрес файла растрового изображения, которое используется в качестве заполнителя). Такое растровое изображение называют картой. Этот метод заливки есть не во всех редакторах.

 

В векторной графике параметрами обводки контуров являются: цвет, толщина, тип линии, тип концов линии.

Концевые и сопряженные опорные точки могут иметь разные свойства закругления концов линий.

Векторный редактор Adobe Illustrator отличается от прочих тем, что в нем свойством заливки могут обладать и открытые контуры. Если свойство заливки задано, то последняя точка контура условно соединяется с первой и образовавшийся квазизамкнутый контур заливается.

Векторный редактор CorelDraw отличается многообразием фоновых заливок. Самое интересное заключается в том, что различные узоры, генерируются программой автоматически. Их количество практически неисчерпаемо.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37205. Ры́нок це́нных бума́г, фо́ндовый ры́нок 92 KB
  По виду ценных бумаг рынок облигаций рынок акций рынок производных финансовых инструментов. По эмитентам рынок ценных бумаг предприятий рынок государственных ценных бумаг и т. По срокам рынок кратко средне долгосрочных и бессрочных ценных бумаг.
37206. Медицинское страхование 45.5 KB
  Независимо от величины этого взноса все граждане имеют равные права на получение определенного объема медицинской помощи оплата которой производится за счет страховых средств. Перед системой ОМС стоят три основные задачи: обеспечение равных возможностей получения медицинской помощи для всех жителей территории: обеспечение финансовой устойчивости; полный охват страхованием населения Российской Федерации. Охрана здоровья граждан представляет собой совокупность различных мер государства направленных на сохранение и укрепление физического и...
37207. Страхово́й тари́ф 27.5 KB
  Устанавливается как правило в процентах по отношению к страховой сумме. Страховой тариф может устанавливаться: 1. с единицы страховой суммы; 2.
37208. Виды страхования 65.5 KB
  Исторически страхование началось с видов и затем разрасталось до уровня отраслей. Страхование имущества Юридические и физические лица могут заключать договоры страхования на объекты в отношении которых они имеют имущественный интерес: здания сооружения передаточные устройства силовые рабочие и другие машины оборудование транспортные средства ловецкие и другие суда орудия лова объекты незавершенного производства и капитального строительства инвентарь готовая продукция товары сырье материалы и другое имущество. Страхование квартиры...
37209. Развитие страхового рынка 33 KB
  Таким образом прогноз роста российского страхового рынка должен опираться на общий прогноз экономического развития. В целом прогнозы роста российской экономики которые делаются различными аналитическими центрами на ближайшие несколько лет выглядят умеренно оптимистичными. Прогнозы сделанные ЦСИ Росгосстраха приводят к более низким оценкам потенциального роста российской экономики. Методика на основании которой делается прогноз основана на зависимости темпов роста ВВП от удовлетворенности населения своей жизнью – чем больше люди довольны...
37210. Финансовый менеджмент 25 KB
  Можно выделить две основные группы финансового менеджмента находящиеся в подчинении у главного финансиста на предприятии: 1. Основными функциями финансового менеджера являются: аналитическоконтрольные; финансовое планирование; принятие управленческих решений. В целом в функциональные обязанности финансового менеджера входят: текущая деятельность связанная с движением денежных фондов предприятия; финансовое планирование прогнозирование; проведение операций на финансовых рынках; инвестирование; финансовый анализ и контроль за финансовым...
37211. Базовые концепции финансового менеджмента 49.5 KB
  Концепция временной стоимости денег Концепция изменения стоимости денег во времени играет центральную роль в практике финансовых вычислений и выражает необходимость учета фактора времени при осуществлении долговременных финансовых операций путем оценки и сравнения стоимости денег в начале финансирования проекта и при их возврате в виде будущих денежных поступлений. Концепция временной стоимости денег заключается в том что стоимость денег с течением времени изменяется с учетом нормы прибыли на финансовом рынке в качестве которой обычно...
37212. Роль финансового менеджмента в управлении 32.5 KB
  В условиях рыночной экономики управление финансами представляет собой наиболее сложную и приоритетную задачу высшего управленческого персонала любой организации. Управление финансами представляет собой изыскание и распределение финансовых ресурсов необходимых для обеспечения результативной и эффективной деятельности организации. Финансовые ресурсы как основной компонент системы бухгалтерского учета представляют собой связующее звено между учетом контролем и управлением а также связующее звено между разными уровнями управления от...
37213. Финансовая система 108.5 KB
  Государственный кредит Звенья второй сферы финансы предприятий: 1 финансы предприятий функционирующих на коммерческих началах; 2 финансы учреждений и организаций которые осуществляют некоммерческую деятельность; 3 финансы общественных объединений профсоюзов политических партий общественных фондов; Страхование специфическая сфера которая имеет свои звенья: 1 Социальное страхование; 2 Личное страхование; 3 Имущественное страхование; 4 Страхование ответственности; 5 Страхование предпринимательских рисков. Обязательное...