96510

Расчёт пространственной фермы матричным методом перемещений

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Матрица жесткости ферменного элемента. Матрица жесткости фермы. Определение узловых перемещений. Подготовка данных для расчета. Чертеж фермы с обозначениями узловых перемещений при поузловой и сквозной нумерациях. Выполненный вручную для стержня NS1 расчет матрицы жесткости в общей системе координат. Исходные данные для выполнения расчета на ЭВМ.

Русский

2015-10-07

942 KB

10 чел.

Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Самарский государственный аэрокосмический университет
имени академика С.П. Королёва
(национальный исследовательский университет)»

Факультет летательных аппаратов

Кафедра космического машиностроения

Расчетно-графическая работа по курсу «Строительная механика»
«Расчёт пространственной фермы матричным методом перемещений»

Вариант № 48

Выполнила: студентка группы

Проверила: Борисова О.В.

Самара  2014


РЕФЕРАТ

Расчетная работа 22 с, 7 рисунков, 7 таблиц, 4 источника.

ФЕРМА, РЕАКЦИИ ОПОР, УЗЛОВЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ,
МАТРИЦА ЖЕСТКОСТИ, МЕСТНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ, ОБЩАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ, МАТРИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ

Объектом исследования являются статически неопределимые фермы.

Цель работы – расчет на ЭВМ пространственных ферм матричным методом перемещений.

В результате работы сформированы сокращенные матрицы узловых перемещений, узловых сил и матрицы жесткости, выполнен вручную расчет матрицы жесткости в общей системе координат для стержня S1 и расчет усилий с использованием найденных на ЭВМ узловых перемещений, выполнена проверка правильности решения на ЭВМ по условиям равновесия узлов А и В, указанных в задании, сделан чертеж фермы с нанесенными на нее усилиями.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение………………………………………………………………………...4

1.1 Матрица жесткости ферменного элемента………………………………..4

1.2 Матрица жесткости фермы………………………………………………...6

1.3 Определение узловых перемещений………………………………………7

2. Подготовка данных для расчета……………………………………………...10

2.1 Чертеж фермы с обозначениями узловых перемещений при поузловой и сквозной нумерациях………………………………………………………….10

2.3 Выполненный вручную для стержня NS1 расчет матрицы жесткости в общей системе координат 12

2.3 Исходные данные для выполнения расчета на ЭВМ 13

3. Проверка равновесия узлов 1 и 2 16

4. Расчет усилий для стержня NS1, выполненный вручную с использованием,          найденных на ЭВМ узловых перемещений……………………………………18

Заключение 20

Список использованных источников…………………………………………...21

Приложение………………………………………………………………………22


ВВЕДЕНИЕ

В связи с бурным развитием вычислительной техники последние годы срок распространения получили дискретные методы расчета сложных конструкций, базирующиеся на использовании универсальных матричных алгоритмов.

Целью работы является расчет на ЭВМ пространственной фермы матричным методом перемещений.

  1.  Матрица жесткости ферменного элемента

Ферменным элементом называется прямолинейный стержень, который присоединяется к другим элементам посредством идеальных шарниров и не несет поперечных нагрузок. Поэтому он испытывает лишь растяжение или сжатие.

Выберем местные координаты для стержня таким образом, чтобы ось совпадала с его продольной осью и была направлена от узла с меньшим номером к узлу с большим номером (рисунок 1.1). Обозначим силы, проложенные к концам стержня (узлам) в направлении , через и , а соответствующие им перемещения – через и . Узловые силы и перемещения в местной системе координат образуют матрицы:

,                (1.1)

Они связаны между собой зависимостью:

, (1.2)

где

(1.3)

- матрица жесткости ферменного элемента в местных координатах.

Здесь - модуль упругости материала на растяжение; - площадь поперечного сечения стержня; - длина стержня.

В выражении (1.3) для определенности указаны номера и строк и столбцов в соответствии с порядком расположения элементов в матрицах и .

Отнесем теперь ферменный элемент к общей для всей фермы системе координат , , (рисунок 1.2). Пусть оси стержня составляют с координатными осями углы, косинусы которых равны:

, , , (1.4)

где , , - проекции стержня на координатные оси, а - длина стержня:

(1.5)

 

Рисунок 1-Перемещения узлов Рисунок 2-Перемещения каждого узла по трем осям

Перемещения каждого узла составляющие по всем трем осям общей системы координат (рисунок 2), поэтому в этой системе матрицы перемещений, а следовательно, и матрицы узловых сил будут иметь соответственно по три элемента:

,        ,       ,        .

Для стержня в целом имеем:

,        . (1.6)

Перемещения узла в местной и общей системах координат связаны между собой соотношением:

.

Здесь  . (1.7)

Для стержня в целом имеем:

,  (1.8)

где через обозначена матрица преобразования координат для ферменного элемента:

. (1.9)

Матрица жесткости ферменного элемента в общей системе координат вычисляется по формуле:

, (1.10)

и имеет размер 6х6. В блочной форме записи она имеет вид:

(1.11)

где .

Подчеркнем, что матрица жесткости стержня является симметричной.

  1.  Матрица жесткости фермы

Рассмотрим теперь пространственную ферму, отнесенную к произвольной системе координат , , . Предположим, что перемещения каждого узла в направлении координатных осей известны и образуют матрицу:

.

Проекции внешней силы, приложенной к узлу , обозначим через , , и составим из них матрицу:

Матрицы узловых сил и перемещений для всей фермы будут иметь вид:

,

.

Здесь через и обозначены матрицы-столбцы. Элементы этих столбцов для удобства записи условно расположены в строку и заключены в фигурные скобки. Через обозначено число узлов фермы.

Если перемещения известны, то силы , необходимые для их создания. Определяются по формуле:

(1.12)

или

,                                           (1.13)

где - матрица жесткости фермы. Элементами этой матрицы будут подматрицы размера  3х3, связывающие силы с перемещениями .

Правила формирования подматриц из матриц жесткости разрозненных элементов (1.11) можно получить, рассматривая уравнения равновесия. Записанные для узлов фермы. Они сводятся к следующему: , если узлы и не принадлежат одновременно к одному из стержней: , если узлы и принадлежат к одному стержню, причем ; , где суммирование производится по всем стержням, сходящимся в узле .

Практически для получения матрицы жесткости фермы можно все элементы матрицы жесткости каждого стержня

поместить в соответствующие ячейки в общей матрице жесткости и произвести затем суммирование всех накладывающихся элементов (для фермы такое наложение появится лишь в диагональных подматрицах ).

  1.  Определение узловых перемещений

При известных нагрузках, приложенных к ферме, равенство (1.12) можно рассматривать как систему алгебраических равнений относительно перемещений .

Если ферма закреплена, то перемещения соответствующих узлов в направлении опорных связей равны нулю, остальные перемещения подлежат отысканию. Компоненты перемещений можно расположить таким образом, чтобы в матрице сначала перечислялись все неизвестные, а затем – известные (нулевые) перемещения. Тогда матрица будет представлена в блочной форме:

,                                                                     (1.14)

где подматрица содержит только неизвестные перемещения, а подматрица - нулевая. Поскольку порядок перечисления сил в матрице всегда должен строго соответствовать порядку следования перемещений в матрице , то можно записать:

                                                                     (1.15)

В подматрицу входят все известные внешние силы, действующие в направлении перемещений . Подматрица содержит силы, действующие по направлению наложенных связей и представляющие собой реакции опор.

Строки и столбцы матрицы жесткости должны быть расположены в таком же порядке. Как перечисляются силы и перемещения в матрицах и . В результате матрицу жесткости можно привести к блочному виду, а вместо (1.12) записать:

. (1.16)

Отсюда следует что

(1.17)

Решая уравнение (1.17), можно найти неизвестные перемещения .

Заметим, что практически нет необходимости производить перестановку элементов матриц , , . Для получения так называемых сокращенных матриц , , достаточно в полных матрицах и вычеркнуть строки, а в матрице – строки и столбцы, имеющие номера известных узловых перемещений.

Рисунок 3- Блок-схема программы

2 Подготовка данных для расчета

  1.  Чертеж фермы с обозначениями узловых перемещений при поузловой и сквозной нумерациях

Рисунок 4 – Пространственная ферма

Рисунок 5- Обозначения узловых перемещений

                 пространственной фермы


2.2 Выполненный вручную для стержня NS1 расчет
матрицы жесткости в общей системе координат

Формула матрицы жесткости для стержня S1 (1-2) вычисляется по формуле (1.11):

;  где  

Вычислим длину стержня:

      Теперь определим компоненты матрицы  по формуле (1.4):

,

,

.

Найдем величину  для стержня (1-3): .

Вычислим произведение матриц :

Определим компоненту матрицы жесткости стержня в общей системе координат:


2.3 Исходные данные для выполнения расчета на ЭВМ

Табл. 1 - Характеристики материалов стержней

№ материала

Модуль упругости материала, Мпа

1

72000

2

210000

Табл. 2 - Площади поперечных сечений стержней

№ сечения

Площадь сечения, мм²

1

200

2

220

3

240

4

260

5

280

Табл. 3 - Информация для узлов

№ узла

Координаты узла, мм

Перемещения

x

Y

z

Vx

Vy

Vz

1

600

300

600

1

2

3

2

0

300

600

0

4

5

3

0

0

600

6

0

7

4

600

0

0

8

0

9

5

600

600

0

10

11

0

6

600

600

0

0

12

0

7

0

0

0

0

0

0

8

600

0

600

0

0

0

Табл. 4 - Нумерация стержней фермы

№ стержня

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Обозначение стержня

1-2

1-5

1-6

1-8

2-3

2-6

2-8

3-4

3-6

3-7

3-8

4-5

4-7

4-8

5-6

5-7

5-8

6-7

Табл. 5 - Информация для стержней

№ стержня

№ узлов

Тип материала

Тип сечения

I

j

1

1

2

1

3

2

1

5

1

5

3

1

6

1

5

4

1

8

1

1

5

2

3

1

3

6

2

6

2

2

7

2

8

1

3

8

3

4

2

4

9

3

6

1

1

10

3

7

2

2

11

3

8

1

1

12

4

5

1

1

13

4

7

1

1

14

4

8

1

1

15

5

6

1

1

16

5

7

1

1

17

5

8

1

1

18

6

7

1

1

Табл. 6 - Узловые силы

Номер силы

Сила, Н

1

0

2

0

3

-6000

4

0

5

0

6

-3000

7

0

8

0

Табл. 7 - Действующие нагружения

Рассмотрим стержень S1 (1-2). Матрица индексов для него имеет вид
123045. Пронумеруем строки и столбцы матрицы жесткости  согласно последовательности этих чисел (рис. 6).

1

2

3

0

4

5

1

GE(1,1)

GE(1,2)

GE(1,3)

0

GE(1,4)

GE(1,5)

2

GE(2,1)

GE(2,2)

GE(2,3)

0

GE(2,4)

GE(2,5)

3

GE(3,1)

GE(3,2)

GE(3,3)

0

GE(3,4)

GE(3,5)

0

0

0

0

0

0

0

4

GE(4,1)

GE(4,2)

GE(4,3)

0

GE(4,4)

GE(4,5)

5

GE(5,1)

GE(5,2)

GE(5,2)

0

GE(5,4)

GE(5,5)

Рисунок 6 – Засылка элементов матрицы  (массив GE)
в матрицу  (массив
GК) с помощью матрицы индексов

Элементы матрицы  подсуммируем к соответствующим элементам матрицы жесткости конструкции , представленной в памяти ЭВМ в виде массива GK(NEQ,NEQ).

Для стержня 1-2 матрица жесткости имеет вид:

                                                                                                      

GK(1,1) = GK(1,1) + (84000)

Для стержня S2 (2-6) осуществляется засылка элементов матрицы жесткости стержня  в матрицу жесткости фермы  в предположении, что матрица жесткости стержня уже вычислена и размещается в массиве GE, размеров 6x6.

Ввод данных здесь также начинается с задания номера стержня NS2, после чего заполняется блок засылки элементов матрицы жесткости.

Отметим, что для стержня S2 так же, как и для стержня S1, устанавливается соответствие для верхних треугольников матриц жесткости.

GK( 4, 4 )     = GK ( 4, 4 )     + GE ( 2, 2 )  

GK( 4, 5 )     = GK ( 4, 5 )     + GE ( 2, 3 )

GK( 4, 12 )     = GK ( 4, 12 )     + GE (2, 5)

GK( 5, 5 )     = GK ( 5, 5 )     + GE ( 3, 3 )  

GK( 5,12)     = GK ( 5, 10 )     + GE ( 3, 6 )

GK( 12, 12 )     = GK ( 12, 12 )     + GE ( 5, 5 ).


2. Проверка равновесия узла 1

№ стержня

Lx

Ly

Lz

L

λxx

λxy

λxz

N

1-2

-600

0

0

600

-1

0

0

-1707.406

1-5

0

300

-600

670.8203

0

0.4472

-0.8944

4799.205

1-6

600

300

-600

670.8203

0

0.4472

-0.8944

2561.190

1-8

0

-300

0

300

0

-1

0

3000

Рисунок 7 – Проверка равновесия узла 1

Найдем направляющие косинусы всех стержней, входящих в узел 1:

стержень (1-2):

      

,

;

стержень (1-5):

      

,

;

стержень (1-6):

      

,

;

стержень (1-8):

      

,

;

 

Ось х:   

Ось y:

Ось z:


4 Расчет усилий для стержня NS1, выполненный вручную с использованием найденных на ЭВМ узловых перемещений

Определим усилия для стержня NS1 в местной системе координат. Это можно выполнить по формуле:

, где

- матрица узловых усилий;

- матрица жесткости ферменного элемента в местной системе координат;

– матрица узловых перемещений в местной системе координат.

Матрица узловых перемещений в местной системе координат связана с матрицей узловых перемещений в общей системе координат соотношением:

, где  

– матрица преобразования координат для ферменного элемента.

Матрица узловых перемещений в общей системе координат, полученная в результате расчета на ЭВМ имеет вид:

.

Матрица преобразования координат для ферменного элемента с учетом полученных ранее значений представляет собой:

.

Вычислим матрицу узловых перемещений в местной системе координат:

Определим матрицу жесткости ферменного элемента в местной системе координат:

  

В результате подстановки получаем:

В результате вычисления усилий численными методами с помощью ЭВМ были получены следующие результаты для узловых усилий стержня 1-3:

.

Вычислим относительную погрешность определения узловых усилий:

Погрешность не превышает 5%. Усилия определены с достаточной степенью точности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе осуществлен расчет пространственной статически неопределимой фермы матричным методом перемещений с использованием программы, написанной на алгоритмическом языке Си. Составлены два программных блока, в которых осуществляется формирование матрицы жесткости конструкции для двух стержней фермы с учетом наложенных на систему связей. После получения результатов вычислений сделана проверка правильности расчета, составляя уравнения равновесия некоторых узлов. Кроме того, составлена вручную матрица жесткости одного стержня и по найденным на ЭВМ узловым перемещениям определено в нем усилие.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

  1.  Образцов, И.Ф. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов [Текст] : учебное пособие для вузов  / И.Ф. Образцов, Л. М. Савельев,  Х.С. Хазанов. – М. :  Высшая школа, 1985. – 392 с.
  2.  Леонов, В.И. Расчет ферм матричным методом перемещений на ЭВМ [Текст] : Методические указания к курсовой и расчетной работе / В.И. Леонов, Ю.В. Скворцов. – Самара : СГАУ, 2007. – 26 с.
  3.  СТП СГАУ 6.1.4 – 97. Общие требования к оформлению учебных текстовых документов [Текст]. – Самара : СГАУ, 1997. – 17 с

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

PAGE 2


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28425. Дипломатическое право международных организаций 146.57 KB
  представительства и миссии при международных организациях; Каждый член международной организации имеет право учреждать при ней постоянные представительства или постоянные миссии наблюдателей для выполнения таких функций: обеспечение представительства государства что посылает; поддержание связи между государством что посылает и международной организацией; обеспечение участия государства что посылает в деятельности организации и защиты ее интересов и т. Назначение членов представительства и его главы не требуют согласия или разрешения...
28426. Дипломатическое право 27.5 KB
  Позднее организация дипломатии из Италии была перенята по всей Европе а затем стала определяющей и для всего зарождающегося международного права. постоянные консулы стали общепринятым институтом в практике защиты интересов своих торговых людей большинства стран Западной Европы Новым моментом развивающегося дипломатического права следует считать образование и развитие международных организаций. мы можем говорить о процессе превращения б посольского права в дипломатическое т.
28427. Дипломатические представительства 86.5 KB
  На практике если посольство не получило специальной экзекватуры на консульский округ оно может заниматься консульскими делами через министерство иностранных дел. Если этого не учитывать то местные власти не смогут предпринять необходимых действий по просьбам обращенным к ним непосредственно пока они не получат согласия министерства иностранных дел. Статья 70 обязывает чтобы консульский округ входящий в ведение дипломатического представительства был определен и фамилии сотрудников посольства которые назначены в консульскую секцию...