96719

Программная реализация решения алгебраического уравнения методом Бернулли

Курсовая

Математика и математический анализ

Вычислительная техника наших дней представляет собой мощные средства для фактического выполнения счетной работы. Благодаря этому во многих случаях стало возможным отказаться от приближенной трактовки прикладных вопросов и перейти к решению задач в точной постановке.

Русский

2015-10-09

194.5 KB

1 чел.

Министерство образования и науки РФ

ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет»

Математический факультет

Кафедра вычислительной механики

Курсовая работа на тему:

«Программная реализация решения алгебраического уравнения методом Бернулли».

           Научный руководитель:

Камидуллина Т.В.

Студент группы ОБ-010800-31

Копысов Е.С.

                                                      Ижевск 2015г

Содержание


Введение

Вычислительная  техника наших дней представляет собой мощные средства для фактического выполнения счетной работы. Благодаря этому во многих случаях стало возможным отказаться от приближенной трактовки прикладных вопросов и перейти к решению задач в точной постановке. Решение уравнений – алгебраических или трансцендентных – представляет собой одну из существенных задач прикладного анализа, потребность в которой возникает в многочисленных и самых разнообразных разделах физики, механики, техники и естествознания в широком смысле этого слова. Курсовая работа посвящена одному из методов решения алгебраических уравнений – методу Бернулли.


Обозначения

coeffs - массив коэффициентов

с - массив коэффицентов (по Вержбницкому В.М. c[i])

i - счетчик цикла

coeffs.length - длина массива coeffs

u - массив коэффицентов (по Вержбницкому В.М. u[i])

k, i, j - счетчики циклов

g - корень (по первому условию)

gg - корень (по второму условию)

n - число коэфициентов

answer - строка для ввода с консоли

arrcoeffs - строчный массив коэффицентов

arrcoeffs.length - длина массива

ex - исключение типа NumberFormatException

ex - исключение типа NumberFormatException

ex - исключение типа Exception

lim - предел рандомизации

rnd - объект типа Random

root - корень


Постановка задачи

Метод Бернулли позволяет найти наибольший и наименьший по модулю корень алгебраического уравнения, но и несколько ближайших к нему (по модулю) корней.

Вычисления по методу Бернулли сводятся в основном к построению некоторой последовательности чисел , для построения которой выбираются вначале некоторые, вообще говоря, произвольные значения . После этого значения  вычисляются с помощью рекуррентной формулы:

,

Далее по виду последовательности определяется вид наибольшего (наименьшего) по модулю корня и значение этого корня.

Далее после того, как наибольший корень вычислен с достаточной степенью точности, определяется второй по величине модуля корень. Для второго корня строиться новая последовательность , вид которой определяется на основании типа сходимости последовательности построенной для предыдущего корня.

После того как найден второй по модулю корень, аналогично находятся третий и последующие корни.

Пусть погрешность округления во всех вычислениях постоянна и равна . Тогда относительная погрешность первого корня равна

, где .

Потеря точности для последующих корней может быть значительно больше.

Таким образом, метод Бернулли обладает очень простой вычислительной схемой. Основные вычисления сводятся к повторению операции накопления, что делает метод удобным для вычисления на ЭВМ. Кроме того, корни в методе Бернулли определяются не все сразу, а один или несколько наибольших (наименьших) по модулю корней, что приводит к потере точности для остальных корней.


Структура данных

Входные данные:  double[] coeffs, int n

Выходные данные:  double g1


Алгоритм


Заключение

Данный отчет был подготовлен в течение нескольких дней. Все досконально изучив и наладив, проверив программу, результаты работы меня удволетворили.


Приложение

Код программы

package Program;

import java.util.Random;

import java.util.Scanner;

public class Program {

public static Double bernoullisMethod(Double[] coeffs) { //метод Бернули

 int n = coeffs.length - 1; //инициализация переменной размера массива для коэфф-в c[i]

 double[] c = new double[n]; // создание экземпляра массива

 for (int i = 1; i < coeffs.length; i++) // в цикле -

  c[i - 1] = (-1) * coeffs[i] / coeffs[0]; // - подсчет c[i] коэфф-в

 double[] u = new double[n * 2]; // создание экземпляра массива для u[i] коэфф-в

 for (int i = 0; i < n - 1; i++)

  u[i] = 0; // инициализация элементов до n по начальным условиям

 for (int k = 1; k <= n; k++) { // в цикле для каждого u[n+k] элемента

  u[n - 1] = k; // присвоение значения по условию

  for (int j = 1; j <= n; j++) // вложенный цикл (сумма u[n+k])

   u[(n + k) - 1] = c[j - 1] * u[(n + k - j) - 1]; // подсчет u[n+k-j] коэфф-в

 }

 double g = u[n + n - 2] / u[n + n - 3]; // подсчет корня по первому  условию

 double gg = u[n + n - 1] / u[n + n - 3]; // подсчет корня по второму условию

 return Math.max(g, gg); // вывод максимального корня

 }

public static void main(String[] args) {

 while (true) {

  int n; //число коэфициентов

  Double[] coeffs; //массив коэффициентов

  try { //попытка выполнить дальнейший код

   // инициализация коэффициентов

   System.out.print("введите число коэфициентов полинома n = "); // вывод в консоль

   n = new Scanner(System.in).nextInt(); //ввод числа n с консоли

   //исключение простых уравнений, где n < 3

   if (n < 3) {

    System.out.println("задайте n больше ");

    continue;

   }

   coeffs = new Double[n]; //создание массива коэфф-в

   System.out.println("введете коэффиценты c[i] сами? да/нет"); // вывод в консоль

   String answer; //переменная ответа

   answer = new Scanner(System.in).nextLine(); //ввод ответа с консоли

   if (answer.equals("да")) { //проверка ответ. если "да", то происходит ввод значения коэфф-в вручную

    System.out.println("вводите коэффициенты в одну строку, отделяя пробелами"); // вывод в консоль

    String[] arrcoeffs = new Scanner(System.in).nextLine().split("\\s+"); //инициализация массива коэфф-в (строки)

    if (n == arrcoeffs.length) { //проверка равенства n и длины массива

     try { //попытка выполнить дальнейший код

      for (int i = 0; i < n; i++) { //для каждого коэфф-та -

       coeffs[i] = Double.parseDouble(arrcoeffs[i]); // - его конвертация из строки в вещественное число

      }

     } catch (NumberFormatException ex) { //перехватывание исключения NumberFormatException

      System.out.println("ошибка ввода: "

        + ex.getMessage() + "\n повторите ввод"); //вывод в консоль

      continue;

     } catch (NullPointerException ex) { //перехватывание исключения NullPointerException

      System.out.println("ошибка ввода: "

        + ex.getMessage() + "\n повторите ввод"); //вывод в консоль

      continue;

     } catch (Exception ex) { //перехватывание общего исключения (ошибки)

      System.out.println("один из коэф-тов не является числом "); //вывод в консоль

      continue;

     }

    } else { //когда n не совпадает с размерностью массива

     System.out.println("количество к-в не соответствует "

       + "введенному n\n повторите ввод"); // вывод в консоль

     continue;

    }

   } else { //если ответ не "да", коэфф-ты задаются рандомно

    int lim = 20; //предел рандомизации

    System.out.println("выбраны случайные целые коэффициэнты "

      + "из интервала [" + (-1) * lim + "," + lim + "]"); // вывод в консоль

    Random rnd = new Random(); //создание экземпляра класса Random

    for (int i = 0; i < n; i++) { // задание произвольных коэфф-в в цикле -

     coeffs[i] = (double) rnd.nextInt(lim + 1) - lim; // -  значения берутся из интервала [-lim;lim]

     System.out.format("%.2f ", coeffs[i]); // последовательный вывод в консоль

    }

   }

   // подсчет корней

   double root = bernoullisMethod(coeffs); //применение метода Бернули

   System.out.println("\nметодом Бернули посчитан один из максимальных "

     + "корней \ng1 = " + root

     + "\n хотите посчитать новые (или выйти)? да/нет"); //вывод в консоль

   

   // условие невыхода

   answer = new Scanner(System.in).nextLine(); // ввод ответа с консоли

   if (answer.equals("да")) // проверка ответа. если "да", то программа начинается сначала

    continue;

   else

    return; //иначе происходит выход

  } catch (Exception ex) { // перехватывание общего исключения

   System.err.println(ex); //вывод исключения через поток err

   System.out.println("повторите ввод"); // вывод в коноль

   continue;

  }

 }

}

}


Пример программы:


Литература  

  1.  Вержбицкий В.М. - Основы численных методов. Учебник для вузов. Высш. школа – 2002г.
  2.  Латыпова Н.В. «Методические указания и рекомендации по вычислительной практике» УдГу, Ижевск,2004г
  3.  Ким И.Г, Латыпова Н.В., Моторина О.Л. «Численные методы ч.2» УдГу, Ижевск,2013г
  4.  Ким И.Г, Латыпова Н.В.«Численные методы ч.1» УдГу, Ижевск,2012г

PAGE   \* MERGEFORMAT 1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21687. Меры защиты от взаимных влияний 177 KB
  При скрещивании цепи токи влияния поступающие в нагрузки включенные на концах цепей с каждых двух соседних участков имеют противоположное направление и общее влияние между цепями уменьшается. При скрещивании обеих цепей в одном месте уменьшение влияния не будет так как K0 и Kl дважды изменяют свой знак. Однако полная компенсация токов влияния скрещиванием все таки невозможна так как токи влияния на ближний конец с отдельных участков отличаются по амплитуде и фазе. Взаимные влияния возникают в результате наличия между цепями...
21688. ПОСТРОЕНИЕ ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА 70 KB
  3 а также об объектах 4го порядка. Рассмотрим систему объектов 1го порядка связанную универсальным интерфейсом и рассмотрим её в виде полносвязного ориентированного графа. Вершины графа означают объекты 1го порядка рёбра объекты 2го порядка. Направление стрелки на ребре указывает от какого объекта 1го порядка к какому передаётся взаимодействие.
21689. НЕЙРОННЫЕ СЕТИ 394 KB
  НЕЙРОННЫЕ СЕТИ Нейронные сети начали активно распространяться 20 лет назад они позволяют решать сложные задачи обработки данных. Нейронные сети названы так потому что их архитектура в некоторой степени имитирует построение биологической нервной ткани из нейронов в мозге человека. Первый шаг был сделан в 1943 году с выходом статьи нейрофизиолога Уоррена Маккалоха и математика Уолтера Питтса про работу искусственных нейронов и представления модели нейронной сети на электрических схемах.htm Итак нейронные сети появились как результат...
21690. ТЕХНОЛОГИИ НЕЙРОННОГО УПРАВЛЕНИЯ 181 KB
  Он составляет основу для большинства схем нейронного управления. ТЕХНОЛОГИИ НЕЙРОННОГО УПРАВЛЕНИЯ Во многих реальных системах имеются нелинейные характеристики сложные для моделирования динамические элементы неконтролируемые шумы и помехи а также множество обратных связей и другие факторы затрудняющие реализацию стратегий управления. За последние два десятилетия новые стратегии управления в основном развивались на базе современной и классической теорий управления. Как современная в частности адаптивное и оптимальное управление так и...
21691. Расширение последовательной схемы нейронного управления 106 KB
  Простая процедура обучения для эмулятора выглядит так: {рис. 109} Целью обучения является минимизация ошибки предсказания . 109} Для ускорения сходимости процесса обучения можно использовать другую модель эмулятора: {рис.
21692. Нейронный контроллер 225 KB
  Сегодня мы посмотрим что внутри у нейроконтроллера а также займёмся повышением эффективности оперативного управления. Нейронный контроллер Предположим что объект управления описываемый уравнением является обратимым. Если выход близок к выходу при соответствующих входах то многослойная нейросеть может рассматриваться как контроллер в прямой цепи управления.
21693. Обучение контроллера: подход на основе прогнозируемой ошибки выхода 361.5 KB
  Шаг 1. read ; Шаг 2. {Обучение эмулятора} for := downto 0 do begin :=; ; end; Шаг 3. {Генерация управляющего входного сигнала} :=; или :=; :=; Шаг 4.
21694. ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ СХЕМА УПРАВЛЕНИЯ 538.5 KB
  ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ СХЕМА УПРАВЛЕНИЯ В параллельной архитектуре нейронного управления нейронная сеть используется наравне с обычным ПИДрегулятором. Настройка выполняется таким образом чтобы выходной сигнал объекта управления как можно точнее соответствовал заданному опорному сигналу . Из этих примеров следует что даже если удастся разработать хорошую общую стратегию управления может возникнуть необходимость в её настройке с целью получения лучших практических результатов.
21695. ПРИЛОЖЕНИЯ НЕЙРОННОГО УПРАВЛЕНИЯ 453.5 KB
  Далее мы будем изучать примеры практического применения некоторых методов нейроуправления и не только нейроуправления для реальных систем. ПРИЛОЖЕНИЯ НЕЙРОННОГО УПРАВЛЕНИЯ В качестве реальной системы будем рассматривать систему управления температурой водяной ванны инвертированный маятник систему управления генератором в электрическом транспортном средстве и печь как многомерный объект управления со многими входами и выходами. Система управления температурой водяной ванны Система управления представляет собой регулятор температуры для...