96719

Программная реализация решения алгебраического уравнения методом Бернулли

Курсовая

Математика и математический анализ

Вычислительная техника наших дней представляет собой мощные средства для фактического выполнения счетной работы. Благодаря этому во многих случаях стало возможным отказаться от приближенной трактовки прикладных вопросов и перейти к решению задач в точной постановке.

Русский

2015-10-09

194.5 KB

1 чел.

Министерство образования и науки РФ

ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет»

Математический факультет

Кафедра вычислительной механики

Курсовая работа на тему:

«Программная реализация решения алгебраического уравнения методом Бернулли».

           Научный руководитель:

Камидуллина Т.В.

Студент группы ОБ-010800-31

Копысов Е.С.

                                                      Ижевск 2015г

Содержание


Введение

Вычислительная  техника наших дней представляет собой мощные средства для фактического выполнения счетной работы. Благодаря этому во многих случаях стало возможным отказаться от приближенной трактовки прикладных вопросов и перейти к решению задач в точной постановке. Решение уравнений – алгебраических или трансцендентных – представляет собой одну из существенных задач прикладного анализа, потребность в которой возникает в многочисленных и самых разнообразных разделах физики, механики, техники и естествознания в широком смысле этого слова. Курсовая работа посвящена одному из методов решения алгебраических уравнений – методу Бернулли.


Обозначения

coeffs - массив коэффициентов

с - массив коэффицентов (по Вержбницкому В.М. c[i])

i - счетчик цикла

coeffs.length - длина массива coeffs

u - массив коэффицентов (по Вержбницкому В.М. u[i])

k, i, j - счетчики циклов

g - корень (по первому условию)

gg - корень (по второму условию)

n - число коэфициентов

answer - строка для ввода с консоли

arrcoeffs - строчный массив коэффицентов

arrcoeffs.length - длина массива

ex - исключение типа NumberFormatException

ex - исключение типа NumberFormatException

ex - исключение типа Exception

lim - предел рандомизации

rnd - объект типа Random

root - корень


Постановка задачи

Метод Бернулли позволяет найти наибольший и наименьший по модулю корень алгебраического уравнения, но и несколько ближайших к нему (по модулю) корней.

Вычисления по методу Бернулли сводятся в основном к построению некоторой последовательности чисел , для построения которой выбираются вначале некоторые, вообще говоря, произвольные значения . После этого значения  вычисляются с помощью рекуррентной формулы:

,

Далее по виду последовательности определяется вид наибольшего (наименьшего) по модулю корня и значение этого корня.

Далее после того, как наибольший корень вычислен с достаточной степенью точности, определяется второй по величине модуля корень. Для второго корня строиться новая последовательность , вид которой определяется на основании типа сходимости последовательности построенной для предыдущего корня.

После того как найден второй по модулю корень, аналогично находятся третий и последующие корни.

Пусть погрешность округления во всех вычислениях постоянна и равна . Тогда относительная погрешность первого корня равна

, где .

Потеря точности для последующих корней может быть значительно больше.

Таким образом, метод Бернулли обладает очень простой вычислительной схемой. Основные вычисления сводятся к повторению операции накопления, что делает метод удобным для вычисления на ЭВМ. Кроме того, корни в методе Бернулли определяются не все сразу, а один или несколько наибольших (наименьших) по модулю корней, что приводит к потере точности для остальных корней.


Структура данных

Входные данные:  double[] coeffs, int n

Выходные данные:  double g1


Алгоритм


Заключение

Данный отчет был подготовлен в течение нескольких дней. Все досконально изучив и наладив, проверив программу, результаты работы меня удволетворили.


Приложение

Код программы

package Program;

import java.util.Random;

import java.util.Scanner;

public class Program {

public static Double bernoullisMethod(Double[] coeffs) { //метод Бернули

 int n = coeffs.length - 1; //инициализация переменной размера массива для коэфф-в c[i]

 double[] c = new double[n]; // создание экземпляра массива

 for (int i = 1; i < coeffs.length; i++) // в цикле -

  c[i - 1] = (-1) * coeffs[i] / coeffs[0]; // - подсчет c[i] коэфф-в

 double[] u = new double[n * 2]; // создание экземпляра массива для u[i] коэфф-в

 for (int i = 0; i < n - 1; i++)

  u[i] = 0; // инициализация элементов до n по начальным условиям

 for (int k = 1; k <= n; k++) { // в цикле для каждого u[n+k] элемента

  u[n - 1] = k; // присвоение значения по условию

  for (int j = 1; j <= n; j++) // вложенный цикл (сумма u[n+k])

   u[(n + k) - 1] = c[j - 1] * u[(n + k - j) - 1]; // подсчет u[n+k-j] коэфф-в

 }

 double g = u[n + n - 2] / u[n + n - 3]; // подсчет корня по первому  условию

 double gg = u[n + n - 1] / u[n + n - 3]; // подсчет корня по второму условию

 return Math.max(g, gg); // вывод максимального корня

 }

public static void main(String[] args) {

 while (true) {

  int n; //число коэфициентов

  Double[] coeffs; //массив коэффициентов

  try { //попытка выполнить дальнейший код

   // инициализация коэффициентов

   System.out.print("введите число коэфициентов полинома n = "); // вывод в консоль

   n = new Scanner(System.in).nextInt(); //ввод числа n с консоли

   //исключение простых уравнений, где n < 3

   if (n < 3) {

    System.out.println("задайте n больше ");

    continue;

   }

   coeffs = new Double[n]; //создание массива коэфф-в

   System.out.println("введете коэффиценты c[i] сами? да/нет"); // вывод в консоль

   String answer; //переменная ответа

   answer = new Scanner(System.in).nextLine(); //ввод ответа с консоли

   if (answer.equals("да")) { //проверка ответ. если "да", то происходит ввод значения коэфф-в вручную

    System.out.println("вводите коэффициенты в одну строку, отделяя пробелами"); // вывод в консоль

    String[] arrcoeffs = new Scanner(System.in).nextLine().split("\\s+"); //инициализация массива коэфф-в (строки)

    if (n == arrcoeffs.length) { //проверка равенства n и длины массива

     try { //попытка выполнить дальнейший код

      for (int i = 0; i < n; i++) { //для каждого коэфф-та -

       coeffs[i] = Double.parseDouble(arrcoeffs[i]); // - его конвертация из строки в вещественное число

      }

     } catch (NumberFormatException ex) { //перехватывание исключения NumberFormatException

      System.out.println("ошибка ввода: "

        + ex.getMessage() + "\n повторите ввод"); //вывод в консоль

      continue;

     } catch (NullPointerException ex) { //перехватывание исключения NullPointerException

      System.out.println("ошибка ввода: "

        + ex.getMessage() + "\n повторите ввод"); //вывод в консоль

      continue;

     } catch (Exception ex) { //перехватывание общего исключения (ошибки)

      System.out.println("один из коэф-тов не является числом "); //вывод в консоль

      continue;

     }

    } else { //когда n не совпадает с размерностью массива

     System.out.println("количество к-в не соответствует "

       + "введенному n\n повторите ввод"); // вывод в консоль

     continue;

    }

   } else { //если ответ не "да", коэфф-ты задаются рандомно

    int lim = 20; //предел рандомизации

    System.out.println("выбраны случайные целые коэффициэнты "

      + "из интервала [" + (-1) * lim + "," + lim + "]"); // вывод в консоль

    Random rnd = new Random(); //создание экземпляра класса Random

    for (int i = 0; i < n; i++) { // задание произвольных коэфф-в в цикле -

     coeffs[i] = (double) rnd.nextInt(lim + 1) - lim; // -  значения берутся из интервала [-lim;lim]

     System.out.format("%.2f ", coeffs[i]); // последовательный вывод в консоль

    }

   }

   // подсчет корней

   double root = bernoullisMethod(coeffs); //применение метода Бернули

   System.out.println("\nметодом Бернули посчитан один из максимальных "

     + "корней \ng1 = " + root

     + "\n хотите посчитать новые (или выйти)? да/нет"); //вывод в консоль

   

   // условие невыхода

   answer = new Scanner(System.in).nextLine(); // ввод ответа с консоли

   if (answer.equals("да")) // проверка ответа. если "да", то программа начинается сначала

    continue;

   else

    return; //иначе происходит выход

  } catch (Exception ex) { // перехватывание общего исключения

   System.err.println(ex); //вывод исключения через поток err

   System.out.println("повторите ввод"); // вывод в коноль

   continue;

  }

 }

}

}


Пример программы:


Литература  

  1.  Вержбицкий В.М. - Основы численных методов. Учебник для вузов. Высш. школа – 2002г.
  2.  Латыпова Н.В. «Методические указания и рекомендации по вычислительной практике» УдГу, Ижевск,2004г
  3.  Ким И.Г, Латыпова Н.В., Моторина О.Л. «Численные методы ч.2» УдГу, Ижевск,2013г
  4.  Ким И.Г, Латыпова Н.В.«Численные методы ч.1» УдГу, Ижевск,2012г

PAGE   \* MERGEFORMAT 1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79256. Расчет сметы капитальных затрат на обновление предприятия 17.73 KB
  Капитальные вложения это средства затраты в денежном выражении которые направляются на обновление и воспроизводство основных фондов предприятия. полностью еще не самортизировала себя то ее остаточная стоимость должна быть приплюсована к капитальным вложениям так как это затраты предприятия. Смета капитальных вложений КВ: КВ = Зпир Зппп Зписмр Зо Зтмц Зпр где Зпир затраты на проектноизыскательские работы; Зппп затраты на подготовку новых производственных площадей к монтажу приобретаемого...
79257. Состав и структура народно-хозяйственного комплекса Российской Федерации. Особенности отраслевого производства и черной металлургии 24.33 KB
  Под отраслевой экономической структурой понимается соотношение между отдельными отраслями по производимой продукции производственным фондам численности работников и т. Экономическую структуру характеризуют следующие показатели: 1 доля отдельной отрасли в общем объеме производства ВВП; 2 соотношение между производством средств производства и производством предметов потребления; 3 соотношение между потреблением и накоплением; 4 соотношение между промышленностью и сельским хозяйством; 5 соотношение между материальной и нематериальной...
79258. Классификация предприятий 240.56 KB
  Коммерческой деятельности Организация обособленное образование являющееся юридическим лицом выполняющая социальные услуги осуществляющая деятельность на основе: Членских и прочих взносов и платежей Коммерческой деятельности Бюджетного финансирования Особенности предприятия как производственной системы: 1. Открытый характер предприятия по отношению к внешней среде. Совокупность предметов и явлений составляющие одно целое при высоком разнообразии процессов производства и управления или комплексности целей и задач предприятия....
79259. Основные понятия, функции и принципы управления деятельностью коммерческого предприятия 19.09 KB
  Организации внутренне присущи особенности: структурированность совокупность устойчивых связей объекта внутренняя упорядоченность внутренние правила обеспечивающие рациональное налаженное состояние организации согласованность согласованность взаимодействия относительно самостоятельных частей в системном объекте Организации производства Сущность. Это единство:структуры и содержания производственной системы ее формы как юридического лица; процесса функционирования системы в соответствии с ее миссией по переработке входа системы...
79260. Значение совершенствования организации основного производства. Направления совершенствования организации основного производства 16.21 KB
  В условиях рыночных отношений обеспечить промышленному предприятию эффективное функционирование и конкурентные преимущества может только эффективная система управления его производственной деятельностью.Без четкой научно обоснованной организации процесса вряд ли можно добиться высоких показателей системы управления.Поэтому организация труда управленческого персонала во многом определяет эффективность всей системы управления производством как в текущем так и в оперативном режиме её функционирования.Формирование рациональной...
79261. Структура и взаимосвязь элементов системы организации производства. Предприятие как организационная система. Особенности, функции предприятия 17.23 KB
  Предприятие как организационная система. Особенности функции предприятия Предприятие как организационная система Системаобъективное единство закономерно связанных друг с другом предметов или целое состоящее из частей упорядоченных по определенному закону или принципу или Взаимосвязь взаимообусловленных сопокупность входящих в ее состав элемнтов Системный подход инструмент исследования систематизированный способ мышления согласно которому процесс обоснования решений базируется на определении общей цели и подчинении ей подсистем...
79263. Отраслевой состав национальной экономики. Особенности черной металлургии 14.01 KB
  Отраслевой состав национальной экономики. Особенности черной металлургии Отраслевая структура национальной экономики заключается в группировке хозяйствующих субъектов в однородные по своему составу группы связанные однородными функциональными характеристиками отрасли национальной экономики. Отраслевая структура национальной экономики проходит следующие этапы своего развития: 1 первый связан с активным развитием и преобладанием первичных отраслей экономики таких как сельское хозяйство добыча полезных ископаемых; 2 второй связан с...
79264. Характерные признаки предприятий, образующих металлургическую отрасль 14.74 KB
  На территориальную организацию черной металлургии влияет ряд факторов. Например в черной металлургии ФРГ этот показатель равен всего 22. Так на 1 т готового проката у нас приходится 85 человекочасов что в 15 2 раза больше чем в странах с развитой черной металлургией Южной Корее Бразилии Китае Тайвань. Низкая производительность труда на предприятиях черной металлургии ведет к тому что конкурентоспособность отечественной металлопродукции может быть обеспечена только при сохранении самого низкого из существующих уровня заработной...