96740

АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ДВУХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ

Курсовая

Математика и математический анализ

Для достижения поставленной цели требуется решить следующие задачи: последовательно находя необходимые условия, отсеять системы с подвижными критическими особенностями; непосредственным интегрированием или путем сравнения с классическими системами типа Пенлеве установить достаточность найденных условий.

Русский

2015-10-09

483.5 KB

0 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гродненский государственный университет имени Янки Купалы»

Факультет математики и информатики

Кафедра математического анализа, дифференциальных уравнений

и алгебры

СИНКЕВИЧ АЛЕКСАНДРА ВАЛЕРЬЕВНА

АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ДВУХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ

Курсовая работа

студента 4 курса специальности

1-31 03 01-02 «Математика (научно-педагогическая деятельность)»

дневной формы получения образования

    Научный руководитель

    Пронько Вячеслав Аркадьевич,

    кандидат физ.-мат. наук, доцент

Гродно 2015


РЕЗЮМЕ

«Аналитические свойства системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями»

Работа содержит: 23 страницы, 2 использованных источника литературы.

Ключевые слова: подвижные критические особые точки.

Цель курсовой работы – исследовать систему двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями на отсутствие подвижных критических особых точек.

Объектом исследования выступает система двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями.

Предметом исследования настоящей работы являются преобразования системы двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями.

В работе были использованы: метод малого параметра, линейные преобразования и т.д.


SUMMARY

«Analytical properties of the system of two differential equations with rational right-hand sides»

The work includes: 23 pages, 2 references.

Keywords: moving critical singularities.

The purpose of the job is to investigate the system of two differential equations with rational right-hand sides in the absence of moving parts critical singular points.

The object of research is a system of two differential equations with rational right-hand sides.

The subject of research is the conversion of this system of two differential equations with rational right-hand sides.

In job were used: the method of small parameter, linear transformations, etc.


СОДЕРЖАНИЕ

[1] РЕЗЮМЕ

[2] SUMMARY

[3] ВВЕДЕНИЕ

[4] 1. НЕКОТОРЫЕ НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ РЕШЕНИЙ.

[5] 2. СЛУЧАЙ .

[5.1] 2.1. Случай

[5.1.1] 2.1.1. Случай .

[5.1.2] 2.1.2. Случай .

[5.2] 2.2. Случай .

[5.2.1] 2.2.1. Случай .

[5.2.1.1] 2.2.1.1. Случай .

[5.2.1.2] 2.2.1.2. Случай .

[5.2.2] 2.2.2. Случай .

[6] ЗАКЛЮЧЕНИЕ

[7] СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


ВВЕДЕНИЕ

Одной из важнейших задач аналитической теории дифференциальных уравнений является задача выделения классов уравнений с систем, решения которых не имеют подвижных критических особых точек. Уравнения и системы, для которых выполняется это свойство, называются уравнениями и системами типа Пенлеве.

Объектом исследования в работе являются система двух дифференциальных уравнений с рациональными правыми частями.

Целью исследования является нахождение необходимых и достаточных условий отсутствия подвижны многозначных особых точек у решений заданной дифференциальной системы.

Для достижения поставленной цели требуется решить следующие задачи: последовательно находя необходимые условия, отсеять системы с подвижными критическими особенностями; непосредственным интегрированием или путем сравнения с классическими системами типа Пенлеве установить достаточность найденных условий.


1. НЕКОТОРЫЕ НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ РЕШЕНИЙ.

 Рассмотрим автономную систему дифференциальных уравнений

                                    (1)

Найдем условия, при которых (1) не имеет подвижных критических точек.

Введем в систему (1)  параметр  по формулам:

Получим систему

Отсюда

При  имеем для (1) упрощенную систему

                                               (2)

Из системы (2) получаем:

                                              (3)

где  - произвольная постоянная.

Для отсутствия у решений системы (3) подвижных критических точек необходимо, чтобы  или

2. СЛУЧАЙ .

 Имеем систему

                                       (4)

2.1. Случай

Пусть .                                                                                        (5)

С помощью линейного преобразования

                       

систему (4) приводим к системе вида

где

Поэтому можем в (4), при , считать  и рассматривать систему вида

                                   (6)

Найдем необходимые и достаточные условия, при которых система (6) не имеет подвижных критических точек. Введем в систему (6) параметр  по формулам: .

Получим систему

При , имеем

                                              (7)

Получили систему, упрощенную для системы (6).

2.1.1. Случай .

Пусть .                                                                                        (8)

Тогда из (7) имеем

Откуда

где  - произвольные постоянные.

Для однозначности компоненты  необходимо требовать

                                                      (9)

Учитывая условия (8), (9), получаем систему

                                             (10)

Из системы (10) исключим , получим дифференциальное уравнение вида

                          (11)

Для того, чтобы в решении уравнений (11) отсутствовали подвижные критические особые точки необходимо, чтобы [1],[2]

,                                                                     (12)

, т.к. .

Учитывая условие (12) уравнение (11) перепишется в виде

(13)

Уравнение (13), для отсутствия подвижный критических особых точек, должно быть полиномом по  [1],[2].

Если , то надо требовать

откуда .

Тогда (10) запишется в виде

                                                (14)

Из второго уравнения следует, что (14) не имеет подвижных критических особых точек, если только

                                                  (15)

Пусть                                                                                        (16)

то уравнение (13) перепишется в виде

                        (17)

где

.

Для отсутствия подвижных критических особых точек, в решении уравнения (17) требуем, чтобы . Откуда необходимо

,

что имеет место, если

                                               (18)

Уравнение (17) примет вид

                             (19)

Если , то необходимо и достаточно, чтобы .

Пусть , тогда уравнение (19) перепишется в виде

                                  (20)

где                                                                                             (21)

Если ,                                                                                        (22)

то имеем уравнение

                                             (23)

Уравнение (20) не имеет подвижных критических особых точек, если .

Уравнение (23) также не имеет подвижных критических особых точек.

2.1.2. Случай .

Пусть . Исключая из системы (7)  получаем уравнение

                                       (24)

Выполнив замену , получим

.

Так как , то это уравнение не будет иметь подвижных критических особых точек, когда

                                                    (25)

Пусть, . Тогда с помощью линейного преобразования  система (6) приводится к системе, у которой . Поэтому будем рассматривать систему вида

                                        (26)

В систему (26) введем параметр  по формулам

тогда она примет вид

при , имеем упрощенную систему

                                                (27)

Если , то из (27) имеем

или .

Решение системы , где  - произвольные постоянные.

Для однозначности решения необходимо требовать, чтобы . Если , то из (27) имеем

и подставляем и во второе уравнение системы (27). Получим

Для отсутствия у этого уравнения критических особенностей необходимо, чтобы правая часть уравнения была полиномом относительно  [1],[2], что имеет место при . Тогда система (26) примет вид

                                   (28)

Если                                                                                          (29)

то исключая из системы , получаем уравнение второго порядка для

                                           (30)

Уравнение (30) не имеет подвижные критические особенности.

При                                                                                           (31)

система (28) перепишется в виде

                                         (32)

Исключаем  и получим для  уравнение второго порядка

                 (33)

Для отсутствия подвижных критических особых точек у этого уравнения требуем, чтобы .

Если                                                                                           (34)

то уравнение (33) имеет вид

Это уравнение не имеет подвижных критических особых точек только если

, где  или                                    (35)

Если ,                                                                                         (36)

то уравнение (33) имеет вид

                               (37)

Выполнив в (37) замену  получим уравнение

,

имеющее Пенлеве.

2.2. Случай .

 Система (4) примет вид

                                             (38)

С помощью линейного преобразования  система (38) приводится к системе, у которой . Поэтому будем рассматривать систему вида

                                           (39)

Исключая  и  из системы (39), получим уравнение

  (40)

Уравнение (40) не будет иметь подвижных критических особых точек, когда его правая часть будет полиномом по  не выше второй степени [1],[2], поэтому надо требовать

.

Учитывая это условие, система (39) перепишется в виде

                                 (41)

Линейным преобразованием  приводим систему (41) к виду

                                    (42)

Найдем необходимые и достаточные условия, при которых система (42) не имеет подвижных критических точек. Введем в систему (42) параметр  по формулам: .

Получим систему

При , имеем

                                          (43)

Получили систему, упрощенную для системы (42).

2.2.1. Случай .

 Пусть . Тогда из (43) имеем

Откуда

где  - произвольные постоянные.

Для однозначности компоненты  необходимо требовать .

Рассмотрим случай .                                                         (44)

Получаем систему:

                                          (45)

Исключая  и  из системы (45) для  получим уравнение

                       (46)

Для однозначности решения уравнения (46) требуем

                                           (47)

В силу (47) уравнение (46) перепишется в виде

                              (48)

Рассмотрим случаи

                                              (49,а)

                                             (49,б)

2.2.1.1. Случай .

При условии (49,а) уравнение (48) перепишется в виде

Для отсутствия подвижных критических особых точек у решений этого уравнения надо требовать, чтобы

.

Это условие выполняется, если  или . Таким образом имеем

                                  (50,а)

или                                                  (50,б)

Покажем, что при условиях (50) система (45) не имеет подвижных критических особых точек.

Пусть . Тогда система (45) примет вид

                                                         (51)

Из системы (51) получаем, что компонента  удовлетворяет уравнению

Откуда , где  - произвольные постоянные. Таким образом, система (51) не имеет подвижных критических особых точек.

Пусть . Тогда система (45) примет вид

                                             (52)

Компоненты удовлетворяет уравнению

.

Получаем , где  - произвольные постоянные. В данном случае система (52) также не будет иметь подвижных критических особых точек.

2.2.1.2. Случай .

Если , то уравнение (48) имеет подвижные критические особые точки.

Если , то уравнение (48) перепишется в виде

                                    (53)

где

Так как , то .

Таким образом, уравнение (53) перепишется в виде

                                          (54)

Полагая в (54) , получим уравнение

                                                                    (55)

Уравнение (55), а значит и система (45) не имеет подвижных критических особых точек, только при условии

,                                            (56)

2.2.2. Случай .

Из системы (43) исключаем  и получаем уравнение для  

Уравнение имеет подвижные критические особые точки, так как


ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В итоге мы можем сформулировать теорему.

Теорема. Для того, чтобы система (4) имела однозначные решения необходимо и достаточно, чтобы она принимала один из видов: (14) при условии (15); (10) при условиях , (12), (18) и одном их условий: 1) , 2) , (21), 3) , ; (26) при условии ; (32) при одном из условий: 1) (34), (35), 2) (36); (45) при одном из условий: 1) (49,а), (50,а), 2) (49,а), (50,б), 3) (47), (49,б), , (56).


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1.  Айнс, Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Э.Л. Айнс. – Харьков: ГНТИУ, 1939. – 719с.
  2.  Мартынов, И.П. Системы типа Пенлеве / И.П. Мартынов, Н.С. Березкина // Учебное пособие по спецкурсу – Гродно: ГрГУ, 1986. — 119 с.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48126. Основи демократії 510 KB
  Тема: Права людини і громадянина Права й обов'язки людини і громадянина 29 ЛекціяПрава людини та їх забезпечення в умовах суспільних змін: Навч. У ранній період свого існування в Древній Греції демократія розумілася як особлива форма або різновид організації держави при якій владою володіє не одна особа як при монархії тиранії і не група осіб як при аристократії олігархії а всі громадяни що користуються рівними правами на керування державою.
48127. ОСНОВИ ЕТИКИ 1.18 MB
  Тим часом чим гостріші проблеми постають перед нами чим непевне ніші перспективи на майбутнє – тим невідворотніше прагнення сучасної людини знайти якийсь твердий грунт піл ногами те заради чого варто було б жити. Предметом виступають моральноетичні аспекти світогляду сучасної людини. Науку про етичні чесноти особистісні якості достоїнства характеру людини Аристотель назвав ethice {етика. За аналогією у латинській мові від терміна mos moris крій одягу й мода звичай і порядок вдача і характер людини давньоримський...
48128. Основи менеджменту та маркетингу 1.28 MB
  Поняття про організації. Всі організації мають загальні характеристики. 1 всі організації використовують чотири основних види ресурсів: людські ресурси; фінансові ресурси; фізичні ресурси сировина устаткування тощо; інформаційні ресурси. розподіл праці в організації.
48129. ОСНОВИ НАУКОВИХ ДОСЛІДЖЕНЬ 954 KB
  У студентів має сформуватися система знань про загальнонаукові і специфічні методи наукового дослідження основні категорії і принципи наукового пізнання. Метою вивчення дисципліни є формування у студентів системи знань про загальнонаукові і специфічні методи наукового дослідження про основні категорії і принципи наукового дослідження закріплення поглиблення розширення і систематизація знань отриманих під час аудиторних занять; самостійне оволодіння новим навчальним матеріалом формування умінь і навичок самостійної розумової праці...
48130. Реклама і звязки з громадськістю 655.5 KB
  Очевидно, що діяльність зі звязків з громадськістю передбачає багатосторонню та складну роботу, що вимагає від фахівців в цій області широкого комплексу знань і навичок
48132. Теорія держави і права 1.45 MB
  Відомо, що держава існувала не завжди, а її утворенню передував первіснообщинний устрій, який являв собою стародавній тип колективного виробництва і був результатом слабкості окремої людини перед навколишнім природним середовищем. З моменту виникнення колективної праці труд окремої людини стає частиною спільної праці всього колективу общини, яка по суті була економічною формою організації людей
48133. Держава і право 892 KB
  Основи конституційного права України 6 Загальна характеристика конституційного права як провідної галузі права України 2 2 7 Правовий статус особи в Україні 8 Конституційноправові форми народовладдя в Україні 2 9 Конституційна система органів державної влади України. Окремі галузі права 10 Цивільне та сімейне право України 6 2 11 Основи трудового права 2 12 Основи адміністративного права України 2 2 13 Основи кримінального права 2 Всього 22 10 Лекція 2. Після проголошення незалежності України 1991 р. концепція громадянського суспільства...
48134. ОСНОВЫ ПРАВА 2.29 MB
  Это провозглашено в качестве важнейшей основы конституционного строя Республики Беларусь и должно найти отражение при изучении основ права. В отличие от других социальных идей и политических ориентаций демократическое правовое государство при верховенстве правового закона и приоритете прав человека и гражданина практически воспринято обществом как будущее конституционного строя Республики Беларусь. Целью преподавания дисциплины Основы права является изучение системы законодательства Республики Беларусь ознакомление с важнейшими...