Определение с точностью площади криволинейной трапеции

ID: 968

Название работы: Определение с точностью площади криволинейной трапеции

Категория: Курсовая

Предметная область: Информатика, кибернетика и программирование

Описание: Для поиска константы C будем пользоваться методом золотого сечения. Для определения площади криволинейной трапеции воспользуемся методом Симпсона. Для решения поставленного уравнения используем метод половинного деления.

Язык: Русский

Дата добавления: 2013-01-06

Размер файла: 585 KB

Работу скачали: 53 чел.

Постановка задачи:

Определить с точностью E площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью OX, прямыми и и кривой C - абсцисса точки минимума функции

Решить уравнение:

Формализация задачи:

Для выполнения поставленного задания воспользуемся следующими методами для каждой конкретной задачи:

1. Для поиска константы C будем пользоваться методом золотого сечения, минимизируя функцию

2. Для определения площади криволинейной трапеции воспользуемся методом Симпсона

3. Для решения поставленного уравнения используем метод половинного деления

Упрощенный алгоритм решения задачи:

Обоснование методов решения:

1. Найдём точку минимума функции одним из методов одномерной оптимизации - методом золотого сечения.

Т.к. на каждой итерации, кроме первой, требуется вычисление одного значения функции (в методе дихотомии вычисляются два значения функции), поскольку точка есть вторая точка золотого сечения отрезка , а точка - первая точка золотого сечения отрезка

Полученное значение в результате оптимизирования методом золотого сечения, будет являться значением константы C, которое будет определённо с погрешностью . Это значение C подставим в функцию .

2. Для нахождения площади криволинейной трапеции воспользуемся методом Симпсона

Метод Симпсона, является самым точным методом численного интегрирования, также функция содержит экспоненту и квадратный корень, поэтому воспользуемся им.

3. Для получения нелинейного уравнения, нужно взять определённый интеграл от функции по пределам интегрирования a и x:

Воспользуемся общим правилом решения нелинейных уравнений, включающих в себя два этапа:

Отделение корня;
Уточнение корня.

Уточним корень методом половинного деления на выбранном отрезке, полученном на этапе отделения. Выбранным методом отыщем корень с заданной погрешностью. Выберем этот метод так как он всегда сходится.

Краткое описание методов решения:

Одномерная оптимизация по методу золотого сечения:

В основу метода положено разбиение отрезка неопределенности [a;b] в соотношении золотого сечения, такого, что отношение длины его большей части ко всей длине отрезка равно отношению длины его меньшей части к длине его большей части.

В методе золотого сечения каждая точка (х1 и х2)осуществляет золотое сечение отрезка:

Нетрудно проверить, что точка х1 осуществляет золотое сечение не только отрезка [a;b], но и отрезка [a;х2]. Точно так же точка х2 осуществляет золотое сечение не только отрезка [a;b], но и отрезка [х1;b]. Это приводит к тому, что значение целевой функции на каждой итерации (кроме первой) вычисляется один раз.

После каждой итерации длина отрезка неопределенности сокращается в 1.618 раза. Длина конечного отрезка неопределенности Dn = 0.618nD0, где D0= (b-a) – начальная длина отрезка.

Условие окончания процесса итераций Dn e. Отсюда можно найти количество итераций, необходимое для достижения точки минимума:

отсюда логарифмируя, получим

Метод Симпсона:

Для интервала интегрирования [a;b] формула Симпсона выглядит следующим образом:

, где , n – количество отрезков разбиения

Метод половинного деления:

Пусть корень уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a;b], то есть на этом отрезке имеется единственный корень, а функция на данном отрезке непрерывна.

Метод половинного деления позволяет получить последовательность вложенных друг в друга отрезков [a1;b1], [a2;b2], …,[ai;bi],…, [an;bn], таких что f(ai).f(bi) < 0, где i=1,2,…,n, а длина каждого последующего отрезка вдвое меньше длины предыдущего:

В методе половинного деления от итерации к итерации происходит последовательное уменьшение длины первоначального отрезка [a0;b0] в два раза (рис. 6.2.3-1). Поэтому на n-м шаге справедлива следующая оценка погрешности результата:

где - точное значение корня, хnÎ [an;bn] – приближенное значение корня на n-м шаге.

Сравнивая полученную оценку погрешности с заданной точностью , можно оценить требуемое число шагов:

Тестирование метода золотого сечения:

Проверка на Mathcad 14

Схема алгоритма метода золотого сечения:

Программный код:

Imports System.Math

Public Class Form1

Function f(ByVal x As Single)

f = sqrt(x ^ 3) – x – 2 * cos(x)

End Function

Function vvod(ByVal T As TextBox)

Return CSng(Val(T.Text))

End Function

Sub vivod(ByVal x As Single, ByVal T As TextBox)

T.Text = CStr(x)

End Sub

Sub vivodint(ByVal x As Integer, ByVal T As TextBox)

T.Text = CStr(x)

End Sub

Sub gold(ByVal a As Single, ByVal b As Single, ByVal eps As Single, _

ByRef x As Single, ByRef n As Integer, ByRef L As ListBox)

Dim k1, k2, x1, x2, f1, f2 As Single, z As String

k1 = (3 - Sqrt(5)) / 2

k2 = 1 - k1

x1 = a + k1 * (b - a)

x2 = a + k2 * (b - a)

f1 = f(x1)

f2 = f(x2)

n = 0

Do Until (b - a) < eps

n = n + 1

If n > 100 Then

z = CStr(n) + Space(2)

ElseIf n >= 10 Then

z = CStr(n) + Space(4)

Else

z = CStr(n) + Space(6)

End If

z = z + Format(a, "0.00000") + Space(3) + Format(b, "0.00000") + Space(3) + Format(x1, "0.00000") + Space(3)

z = z + Format(x2, "0.00000") + Space(5) + Format(f1, "0.00000") + Space(5) + Format(f2, "0.00000") + Space(5) + Format(b - a, "0.00000")

L.Items.Add(z)

If f1 < f2 Then

b = x2 : x2 = x1

x1 = a + k1 * (b - a)

f2 = f1 : f1 = f(x1)

Else

a = x1 : x1 = x2 : f1 = f2

x2 = a + k2 * (b - a)

f2 = f(x2)

End If

Loop

x = (a + b) / 2

End Sub

Private Sub Button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button1.Click

Dim a, b, x, eps As Single

Dim n As Integer

a = vvod(TextBox1)

b = vvod(TextBox2)

eps = vvod(TextBox3)

gold(a, b, eps, x, n, ListBox1)

vivodint(n, TextBox4)

vivod(x, TextBox5)

vivod(f(x), TextBox6)

End Sub

End Class

Решение метода:

Тестирование метода Симпсона:

Проверка на MathCad:

Схема алгоритма метода Симпсона:

Программный код:

Imports System.Math

Public Class Form1

Function f(ByVal x As Single) As Single

f = 0.181704 * exp(-x) + (x ^ 2) * sin(x)

End Function

Function vvod(ByVal T As TextBox)

Return CSng(Val(T.Text))

End Function

Sub vivod(ByVal x As Single, ByVal T As TextBox)

T.Text = CStr(x)

End Sub

Sub vivodint(ByVal x As Integer, ByVal T As TextBox)

T.Text = CStr(x)

End Sub

Sub simpson(ByVal a As Single, ByVal b As Single, ByVal eps As Single, ByRef s As Single, _

ByRef n As Integer, ByRef h As Single, ByRef L As ListBox)

Dim i, c As Integer

Dim s1, x As Single, z As String

n = 2

h = (b - a) / n

s = (f(a) + 4 * f((a + b) / 2) + f(b)) * h / 3

h = h / 2

n = 2 * n : s1 = s : c = 4 : x = a

s = f(a) + f(b)

For i = 1 To n - 1

x = x + h

s = s + c * f(x)

c = 6 - c

s = s * h / 3

If n > 100 Then

z = CStr(n) + Space(2)

ElseIf n > 10 Then

z = CStr(n) + Space(4)

Else

z = CStr(n) + Space(6)

End If

z = z + Format(h, "0.00000") + Space(3) + Format(s, "0.00000")

L.Items.Add(z)

Loop Until Abs(s - s1) / 15 < eps

End Sub

Private Sub Button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button1.Click

Dim a, b, c, h As Single

Dim n As Integer

a = vvod(TextBox1)

b = vvod(TextBox11)

simpson(a, b, 0.001, c, n, h, ListBox1)

vivodint(n, TextBox2)

vivod(h, TextBox3)

vivod(c, TextBox4)

End Sub

Private Sub Button2_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button2.Click

End

End Sub

End Class

Решение метода:

Тестирование метода половинного деления:

Проверка на MathCad:

Схема алгоритма метода половинного деления

Программный код:

Imports System.Math

Public Class Form1

Function f(ByVal x As Single)

f = -0.181704 * Exp(-x) + 0.181704 - (x ^ 2) * Cos(x) - 2 * x * Sin(x) + 2 * Cos(x)

End Function

Function vvod(ByVal T As TextBox)

Return CSng(Val(T.Text))

End Function

Sub vivod(ByVal x As Single, ByVal T As TextBox)

T.Text = CStr(x)

End Sub

Sub vivodint(ByVal x As Integer, ByVal T As TextBox)

T.Text = CStr(x)

End Sub

Function formint(ByVal n As Integer) As String

Dim z As String = ""

z = CStr(n)

If n < 10 Then z = " " + z

Return z

End Function

Function form(ByVal x As Single) As String

Dim z As String = ""

z = Format(x, "0.00000")

If x > 0 Then z = " " + z

Return z

End Function

Sub mpd(ByVal a As Single, ByVal b As Single, ByVal eps As Single, ByRef c As Single, _

ByRef n As Integer, ByRef L As ListBox)

Dim z As String

n = 0

c = (a + b) / 2

n = n + 1

If f(c) * f(b) < 0 Then a = c Else b = c

z = formint(n) + Space(2) + form(a) + Space(2) + form(b) + Space(2) + _

form(c) + Space(2) + form(f(a)) + Space(2) + form(f(b)) + _

Space(2) + form(f(c)) + Space(2) + form(b - a)

L.Items.Add(z)

Loop Until Abs(b - a) < eps

c = (a + b) / 2

End Sub

Private Sub Button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button1.Click

Dim a, b, c As Single

Dim n As Integer

a = vvod(TextBox1)

b = vvod(TextBox2)

mpd(a, b, 0.01, c, n, ListBox1)

vivodint(n, TextBox3)

vivod(c, TextBox4)

vivod(f(c), TextBox5)

End Sub

Private Sub Button2_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button2.Click

End

End Sub

End Class

Решение метода:

Полный программный код проекта:

Первая форма:

Public Class Form1

Private Sub Form1_Load(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles MyBase.Load

TextBox1.Text = "0"

Textbox2.Text = "5"

End Sub

Private Sub button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles button1.Click

Form2.Show()

End Sub

Private Sub button2_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles button2.Click

End

End Sub

End Class

Вторая форма:

Public Class Form2

Private Sub Form2_Load(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles MyBase.Load

TextBox1.Text = Form1.TextBox1.Text

TextBox2.Text = Form1.TextBox2.Text

TextBox3.Text = "0.00001"

Textbox4.Text = "0"

TextBox5.Text = "0"

TextBox6.Text = "0"

listbox1.Text = ""

End Sub

Private Sub button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles button1.Click

Dim a, b, eps, x As Single

a = vvod(TextBox1)

b = vvod(TextBox2)

eps = vvod(TextBox3)

gold(a, b, eps, x)

vivod(x, textbox5)

vivod(f(x), textbox6)

End Sub

Private Sub button2_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles button2.Click

Form3.Show()

End Sub

End Class

Третья форма:

Public Class Form3

Private Sub Form3_Load(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles MyBase.Load

Textbox1.Text = Form1.TextBox1.Text

Textbox2.Text = Form1.TextBox2.Text

Textbox3.Text = "0"

Listbox1.Text = ""

End Sub

Private Sub button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles button1.Click

Dim a, b, s, h, eps As Single

Dim n As Integer

eps = vvod(TextBox4)

a = vvod(TextBox1)

b = vvod(TextBox2)

simpson(a, b, eps, s, n, h)

vivod(s, TextBox3)

End Sub

Private Sub button2_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles button2.Click

Form4.Show()

End Sub

End Class

Четвёртая форма:

Public Class Form4

Private Sub Form4_Load(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles MyBase.Load

Textbox1.Text = Form1.TextBox1.Text

Textbox2.Text = Form1.TextBox2.Text

Textbox3.Text = "0"

Textbox4.Text = "0"

Listbox1.Text = ""

End Sub

Private Sub button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button1.Click

Dim a, b, c, eps As Single

Dim n As Integer

a = vvod(Textbox1)

b = vvod(TextBox2)

eps = vvod(TextBox5)

mpd(a, b, 0.001, c, n)

vivod(c, TextBox3)

vivod(H(c), TextBox4)

End Sub

Private Sub button2_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button2.Click

End

End Sub

End Class

Модуль:

Imports System.Math

Module Module1

Dim XY_arr As Single(,)

Dim Num As Integer

Dim Ac As Single()

Public Function vvod(ByVal t As TextBox) As Single

Return CSng(Val(t.Text))

End Function

Public Sub vivod(ByVal s As String, ByRef t As TextBox)

t.Text = s

End Sub

Public Sub vivod(ByVal s As String, ByRef t As TextBox, ByVal add As Boolean)

If add = True Then

t.Text += s

Else

t.Text = s

End If

End Sub

Public Sub vivod(ByVal s As String, ByRef t As Label)

t.Text = s

End Sub

Public Function F(ByVal x As Single) As Single

Return (Sqrt(x ^ 3) - x - 2 * Cos(x))

End Function

Public Function G(ByVal x As Single) As Single

Dim xx As Single

xx = gold(0, 5, 0.001, x)

Return (xx * Exp(-x) + (x ^ 2) * Sin(x))

End Function

Public Function H(ByVal x As Single) As Single

Return (gold(0, 5, 0.001, x) * Exp(-x) + gold(0, 5, 0.001, x) - (x ^ 2) * Cos(x) - 2 * x * Sin(x) + 2 * Cos(x))

End Function

Public Function gold(ByVal a As Single, ByVal b As Single, ByVal eps As Single, _

ByRef x As Single) As Single

Dim k1, k2, x1, x2, f1, f2 As Single, z As String

Dim n As Integer

k1 = (3 - Sqrt(5)) / 2

k2 = 1 - k1

x1 = a + k1 * (b - a)

x2 = a + k2 * (b - a)

f1 = F(x1)

f2 = F(x2)

n = 0

Form2.ListBox1.Items.Clear()

Do Until (b - a) < eps

n = n + 1

If n > 100 Then

z = CStr(n) + Space(2)

ElseIf n >= 10 Then

z = CStr(n) + Space(4)

Else

z = CStr(n) + Space(6)

End If

z = z + Format(a, "0.00000") + Space(3) + Format(b, "0.00000") + Space(3) + Format(x1, "0.00000") + Space(3)

z = z + Format(x2, "0.00000") + Space(5) + Format(f1, "0.00000") + Space(5) + Format(f2, "0.00000") + Space(5) + Format(b - a, "0.00000")

Form2.ListBox1.Items.Add(z)

If f1 < f2 Then

b = x2 : x2 = x1

x1 = a + k1 * (b - a)

f2 = f1 : f1 = F(x1)

Else

a = x1 : x1 = x2 : f1 = f2

x2 = a + k2 * (b - a)

f2 = F(x2)

End If

Loop

x = (a + b) / 2

Return x

End Function

Sub simpson(ByVal a As Single, ByVal b As Single, ByVal eps As Single, ByRef s As Single, _

ByRef n As Integer, ByRef h As Single)

Dim i, c As Integer

Dim s1, x As Single, z As String

n = 2

h = (b - a) / n

s = (G(a) + 4 * G((a + b) / 2) + G(b)) * h / 3

Form3.ListBox1.Items.Clear()

h = h / 2

n = 2 * n : s1 = s : c = 4 : x = a

s = G(a) + G(b)

For i = 1 To n - 1

x = x + h

s = s + c * F(x)

c = 6 - c

s = s * h / 3

If n > 100 Then

z = CStr(n) + Space(2)

ElseIf n > 10 Then

z = CStr(n) + Space(4)

Else

z = CStr(n) + Space(6)

End If

z = z + Format(h, "0.00000") + Space(3) + Format(Abs(s), "0.00000")

Form3.ListBox1.Items.Add(z)

Loop Until Abs(s - s1) / 15 < eps

End Sub

Function formint(ByVal n As Integer) As String

Dim z As String = ""

z = CStr(n)

If n < 10 Then z = " " + z

Return z

End Function

Function form(ByVal x As Single) As String

Dim z As String = ""

z = Format(x, "0.00000")

If x > 0 Then z = " " + z

Return z

End Function

Sub mpd(ByVal a As Single, ByVal b As Single, ByVal eps As Single, ByRef c As Single, _

ByRef n As Integer)

Dim z As String

n = 0

Form4.ListBox1.Items.Clear()

c = (a + b) / 2

n = n + 1

If F(c) * F(b) < 0 Then a = c Else b = c

z = formint(n) + Space(2) + form(a) + Space(2) + form(b) + Space(2) + _

form(c) + Space(2) + form(F(a)) + Space(2) + form(F(b)) + _

Space(2) + form(F(c)) + Space(2) + form(b - a)

Form4.ListBox1.Items.Add(z)

Loop Until Abs(b - a) < eps

c = (a + b) / 2

End Sub

End Module

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать
8327.	Лекция	Китай - Россия, геостратегическая политика	47 KB
	Китай - Россия, геостратегическая политика. Китай - социалистическая страна с плановой экономикой. Политическая и экономическая системы КНР стабильны и приток иностранных капиталов с каждым годом растет. С середины первого десятилетия нынешнего...
8328.	Другое	72 искусства монастыря Шаолинь	1.07 MB
	72 искусства монастыря Шаолинь. Базовые упражнения, которые формируют основу для развития 72х искусств: 1. Удержание золотой монеты Главный смысл данного упражнения в усилении слуха и зрения для развития защитной ре...
8329.	Книга	Анализ экономической целесообразности либерализации торговли с Китайской Народной Республикой, выявление основных товарных ниш	336.24 KB
	Анализ экономической целесообразности либерализации торговли с Китайской Народной Республикой, выявление основных товарных ниш Введение Китайская Народная Республика является крупнейшим после Российской Федерации и Европейского союза торговым...
8330.	Научная статья	Гиноцид, или китайское бинтование ног	139.5 KB
	Гиноцид, или китайское бинтование ног Инструкции перед чтением текста. Возьмите кусок материи примерно трех метров длиной и пяти сантиметров шириной. Возьмите пару детских туфель. Подогните пальцы ног, кроме большого, внутрь стопы. Оберните ма...
8331.	Лекция	Расцвет философии (античность)	66.5 KB
	Расцвет философии (античность). Золотой век человечества. Философия в чистом виде появилась у древних греков. Самое слово философия, как говорилось выше, греческого происхождения. Поэтому можно утверждать, что философию как таковую придумали...
8332.	Лекция	Редуплікація в китайській мові	283.5 KB
	Редуплікація У китайській мові є слова, утворені шляхом повторення. Наприклад, поглянути, послухати. Такого роду стилістичне явище у китайській мові прийнято називати редуплікацією. Проте редуплікація має місце не лише в китайській,...
8333.	Шпаргалка	Философия как форма общественного сознания	194 KB
	Философия как форма общественного сознания. Понятие, происхождение философии. Ее роль в жизни человека и общества (вопрос 1) Ф - форма общественного сознания. - учение о принципах бытия и познания, об отношении человека к миру. - наука о...
8334.	Шпаргалка	Проблема определения философии в истории философии. Предмет философии. Структура философского знания	140.66 KB
	Проблема определения философии в истории философии. Предмет философии. Структура философского знания. Философия - это, прежде всего, слово, происходящее из древнегреческого языка и обозначающее любовь к мудрости, стремление к познанию,...
8335.	Конспект	Надежное программное средство как продукт технологии программирования. Исторический и социальный контекст программирования	640.26 KB
	Лекция 1. Надежное программное средство как продукт технологии программирования. Исторический и социальный контекст программирования Понятие информационной среды процесса обработки данных. Программа как формализованное описание процесса. Понятие о п...

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать