968

Определение с точностью площади криволинейной трапеции

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Для поиска константы C будем пользоваться методом золотого сечения. Для определения площади криволинейной трапеции воспользуемся методом Симпсона. Для решения поставленного уравнения используем метод половинного деления.

Русский

2013-01-06

585 KB

53 чел.

Постановка задачи:

Определить с точностью E площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью OX, прямыми и и кривой C - абсцисса точки минимума функции

Решить уравнение:

Формализация задачи:

Для выполнения поставленного задания воспользуемся следующими методами для каждой конкретной задачи:

1. Для поиска константы C будем пользоваться методом золотого сечения, минимизируя функцию  

2. Для определения площади криволинейной трапеции  воспользуемся методом Симпсона

3. Для решения поставленного уравнения используем метод половинного деления

Упрощенный алгоритм решения задачи:

Обоснование методов решения:

1. Найдём точку минимума функции одним из методов одномерной оптимизации - методом золотого сечения.

Т.к. на каждой итерации, кроме первой, требуется вычисление одного значения функции (в методе дихотомии вычисляются два значения функции), поскольку точка есть вторая точка золотого сечения отрезка , а точка   - первая точка золотого сечения отрезка

Полученное значение в результате оптимизирования методом золотого сечения, будет являться значением константы C, которое будет определённо с погрешностью . Это значение C подставим в функцию .

2. Для нахождения площади криволинейной трапеции воспользуемся методом Симпсона

Метод Симпсона, является самым точным методом численного интегрирования, также функция содержит экспоненту и квадратный корень, поэтому воспользуемся им.

3. Для получения нелинейного уравнения, нужно взять определённый интеграл от функции по пределам интегрирования a и x:

Воспользуемся общим правилом решения нелинейных уравнений, включающих в себя два этапа:

  1.  Отделение корня;
  2.  Уточнение корня.

Уточним корень  методом половинного деления на выбранном отрезке, полученном на этапе отделения. Выбранным методом отыщем корень с заданной погрешностью. Выберем этот метод так как он всегда сходится.  

Краткое описание методов решения:

Одномерная оптимизация по методу золотого сечения:

В основу метода положено разбиение отрезка неопределенности [a;b]  в соотношении золотого сечения, такого, что отношение длины его большей части ко всей длине отрезка равно отношению длины его меньшей части к длине его большей части.

В методе золотого сечения каждая точка 1 и х2)осуществляет золотое сечение отрезка:

\

Нетрудно проверить, что точка х1 осуществляет золотое сечение не только отрезка [a;b], но и отрезка [a2]. Точно так же точка х2 осуществляет  золотое сечение не только отрезка [a;b], но и отрезка 1;b]. Это приводит к тому, что значение целевой функции на каждой итерации (кроме первой) вычисляется один раз.

После каждой итерации длина отрезка неопределенности сокращается в 1.618 раза. Длина конечного отрезка неопределенности Dn = 0.618nD0, где    D0= (b-a) – начальная длина отрезка.

Условие окончания процесса итераций   Dn  e. Отсюда можно найти количество итераций, необходимое для достижения точки минимума:

отсюда  логарифмируя, получим 

Метод Симпсона:

Для интервала интегрирования [a;b] формула Симпсона выглядит следующим образом:                          

, где , n – количество отрезков разбиения

Метод половинного деления:

Пусть корень уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a;b], то есть на этом отрезке имеется единственный корень, а функция на данном  отрезке непрерывна.

Метод половинного деления  позволяет получить последовательность вложенных друг в друга отрезков   [a1;b1], [a2;b2], …,[ai;bi],…, [an;bn],   таких что f(ai).f(bi) < 0,                                   где i=1,2,…,n, а длина каждого последующего отрезка вдвое меньше длины предыдущего:

 

В методе половинного деления от итерации к итерации происходит последовательное уменьшение  длины первоначального отрезка [a0;b0]  в два раза            (рис. 6.2.3-1). Поэтому на n-м шаге справедлива следующая оценка погрешности результата:

                                                          

где  - точное значение корня, хnÎ [an;bn] – приближенное значение корня на n-м шаге.                                             

Сравнивая полученную оценку погрешности с заданной точностью , можно оценить требуемое число шагов:

           

Тестирование метода золотого сечения:

Проверка на Mathcad 14

Схема алгоритма метода золотого сечения:

Программный код:

Imports System.Math

Public Class Form1

   Function f(ByVal x As Single)

       f = sqrt(x ^ 3) – x – 2 * cos(x)

   End Function

   Function vvod(ByVal T As TextBox)

       Return CSng(Val(T.Text))

   End Function

   Sub vivod(ByVal x As Single, ByVal T As TextBox)

       T.Text = CStr(x)

   End Sub

   Sub vivodint(ByVal x As Integer, ByVal T As TextBox)

       T.Text = CStr(x)

   End Sub

   Sub gold(ByVal a As Single, ByVal b As Single, ByVal eps As Single, _

               ByRef x As Single, ByRef n As Integer, ByRef L As ListBox)

       Dim k1, k2, x1, x2, f1, f2 As Single, z As String

       k1 = (3 - Sqrt(5)) / 2

       k2 = 1 - k1

       x1 = a + k1 * (b - a)

       x2 = a + k2 * (b - a)

       f1 = f(x1)

       f2 = f(x2)

       n = 0

       Do Until (b - a) < eps

           n = n + 1

           If n > 100 Then

               z = CStr(n) + Space(2)

           ElseIf n >= 10 Then

               z = CStr(n) + Space(4)

           Else

               z = CStr(n) + Space(6)

           End If

           z = z + Format(a, "0.00000") + Space(3) + Format(b, "0.00000") + Space(3) + Format(x1, "0.00000") + Space(3)

           z = z + Format(x2, "0.00000") + Space(5) + Format(f1, "0.00000") + Space(5) + Format(f2, "0.00000") + Space(5) + Format(b - a, "0.00000")

           L.Items.Add(z)

           If f1 < f2 Then

               b = x2 : x2 = x1

               x1 = a + k1 * (b - a)

               f2 = f1 : f1 = f(x1)

           Else

               a = x1 : x1 = x2 : f1 = f2

               x2 = a + k2 * (b - a)

               f2 = f(x2)

           End If

       Loop

       x = (a + b) / 2

   End Sub

   Private Sub Button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button1.Click

       Dim a, b, x, eps As Single

       Dim n As Integer

       a = vvod(TextBox1)

       b = vvod(TextBox2)

       eps = vvod(TextBox3)

       gold(a, b, eps, x, n, ListBox1)

       vivodint(n, TextBox4)

       vivod(x, TextBox5)

       vivod(f(x), TextBox6)

   End Sub

End Class

Решение метода:

Тестирование метода Симпсона:

Проверка на MathCad:

Схема алгоритма метода Симпсона:

Программный код:

Imports System.Math

Public Class Form1

   Function f(ByVal x As Single) As Single

   f = 0.181704 * exp(-x) + (x ^ 2) * sin(x)

   End Function

   Function vvod(ByVal T As TextBox)

       Return CSng(Val(T.Text))

   End Function

   Sub vivod(ByVal x As Single, ByVal T As TextBox)

       T.Text = CStr(x)

   End Sub

   Sub vivodint(ByVal x As Integer, ByVal T As TextBox)

       T.Text = CStr(x)

   End Sub

   

   Sub simpson(ByVal a As Single, ByVal b As Single, ByVal eps As Single, ByRef s As Single, _

            ByRef n As Integer, ByRef h As Single, ByRef L As ListBox)

       Dim i, c As Integer

       Dim s1, x As Single, z As String

       n = 2

       h = (b - a) / n

       s = (f(a) + 4 * f((a + b) / 2) + f(b)) * h / 3

       Do

           h = h / 2

           n = 2 * n : s1 = s : c = 4 : x = a

           s = f(a) + f(b)

           For i = 1 To n - 1

               x = x + h

               s = s + c * f(x)

               c = 6 - c

           Next

           s = s * h / 3

           If n > 100 Then

               z = CStr(n) + Space(2)

           ElseIf n > 10 Then

               z = CStr(n) + Space(4)

           Else

               z = CStr(n) + Space(6)

           End If

           z = z + Format(h, "0.00000") + Space(3) + Format(s, "0.00000")

           L.Items.Add(z)

       Loop Until Abs(s - s1) / 15 < eps

   End Sub

   Private Sub Button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button1.Click

       Dim a, b, c, h As Single

       Dim n As Integer

       a = vvod(TextBox1)

       b = vvod(TextBox11)

       simpson(a, b, 0.001, c, n, h, ListBox1)

       vivodint(n, TextBox2)

       vivod(h, TextBox3)

       vivod(c, TextBox4)

   End Sub

   Private Sub Button2_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button2.Click

       End

   End Sub

End Class

Решение метода:

Тестирование метода половинного деления:

Проверка на MathCad:

Схема алгоритма метода половинного деления

Программный код:

Imports System.Math

Public Class Form1

   Function f(ByVal x As Single)

       f = -0.181704 * Exp(-x) + 0.181704 - (x ^ 2) * Cos(x) - 2 * x * Sin(x) + 2 * Cos(x)

   End Function

   Function vvod(ByVal T As TextBox)

       Return CSng(Val(T.Text))

   End Function

   Sub vivod(ByVal x As Single, ByVal T As TextBox)

       T.Text = CStr(x)

   End Sub

   Sub vivodint(ByVal x As Integer, ByVal T As TextBox)

       T.Text = CStr(x)

   End Sub

   Function formint(ByVal n As Integer) As String

       Dim z As String = ""

       z = CStr(n)

       If n < 10 Then z = "  " + z

       Return z

   End Function

   Function form(ByVal x As Single) As String

       Dim z As String = ""

       z = Format(x, "0.00000")

       If x > 0 Then z = " " + z

       Return z

   End Function

   Sub mpd(ByVal a As Single, ByVal b As Single, ByVal eps As Single, ByRef c As Single, _

            ByRef n As Integer, ByRef L As ListBox)

       Dim z As String

       n = 0

       Do

           c = (a + b) / 2

           n = n + 1

           If f(c) * f(b) < 0 Then a = c Else b = c

           z = formint(n) + Space(2) + form(a) + Space(2) + form(b) + Space(2) + _

               form(c) + Space(2) + form(f(a)) + Space(2) + form(f(b)) + _

               Space(2) + form(f(c)) + Space(2) + form(b - a)

           L.Items.Add(z)

       Loop Until Abs(b - a) < eps

       c = (a + b) / 2

   End Sub

   Private Sub Button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button1.Click

       Dim a, b, c As Single

       Dim n As Integer

       a = vvod(TextBox1)

       b = vvod(TextBox2)

       mpd(a, b, 0.01, c, n, ListBox1)

       vivodint(n, TextBox3)

       vivod(c, TextBox4)

       vivod(f(c), TextBox5)

   End Sub

   Private Sub Button2_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button2.Click

       End

   End Sub

End Class

Решение метода:

Полный программный код проекта:

Первая форма:

Public Class Form1

   Private Sub Form1_Load(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles MyBase.Load

       TextBox1.Text = "0"

       Textbox2.Text = "5"

      

   End Sub

   Private Sub button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles button1.Click

       Form2.Show()

   End Sub

   Private Sub button2_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles button2.Click

       End

   End Sub

End Class

Вторая форма:

Public Class Form2

   Private Sub Form2_Load(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles MyBase.Load

       TextBox1.Text = Form1.TextBox1.Text

       TextBox2.Text = Form1.TextBox2.Text

       TextBox3.Text = "0.00001"

       Textbox4.Text = "0"

       TextBox5.Text = "0"

       TextBox6.Text = "0"

       listbox1.Text = ""

   End Sub

   Private Sub button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles button1.Click

       Dim a, b, eps, x As Single

       a = vvod(TextBox1)

       b = vvod(TextBox2)

       eps = vvod(TextBox3)

       gold(a, b, eps, x)

       vivod(x, textbox5)

       vivod(f(x), textbox6)

   End Sub

   Private Sub button2_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles button2.Click

       Form3.Show()

   End Sub

End Class

Третья форма:

Public Class Form3

   Private Sub Form3_Load(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles MyBase.Load

       Textbox1.Text = Form1.TextBox1.Text

       Textbox2.Text = Form1.TextBox2.Text

       Textbox3.Text = "0"

       Listbox1.Text = ""

   End Sub

   Private Sub button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles button1.Click

       Dim a, b, s, h, eps As Single

       Dim n As Integer

       eps = vvod(TextBox4)

       a = vvod(TextBox1)

       b = vvod(TextBox2)

       simpson(a, b, eps, s, n, h)

       vivod(s, TextBox3)

   End Sub

   Private Sub button2_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles button2.Click

       Form4.Show()

   End Sub

End Class

Четвёртая форма:

Public Class Form4

   Private Sub Form4_Load(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles MyBase.Load

       Textbox1.Text = Form1.TextBox1.Text

       Textbox2.Text = Form1.TextBox2.Text

       Textbox3.Text = "0"

       Textbox4.Text = "0"

       Listbox1.Text = ""

   End Sub

   Private Sub button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button1.Click

       Dim a, b, c, eps As Single

       Dim n As Integer

       a = vvod(Textbox1)

       b = vvod(TextBox2)

       eps = vvod(TextBox5)

       mpd(a, b, 0.001, c, n)

       vivod(c, TextBox3)

       vivod(H(c), TextBox4)

   End Sub

   Private Sub button2_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button2.Click

       End

   End Sub

End Class

Модуль:

Imports System.Math

Module Module1

   Dim XY_arr As Single(,)

   Dim Num As Integer

   Dim Ac As Single()

   Public Function vvod(ByVal t As TextBox) As Single

       Return CSng(Val(t.Text))

   End Function

   Public Sub vivod(ByVal s As String, ByRef t As TextBox)

       t.Text = s

   End Sub

   Public Sub vivod(ByVal s As String, ByRef t As TextBox, ByVal add As Boolean)

       If add = True Then

           t.Text += s

       Else

           t.Text = s

       End If

   End Sub

   Public Sub vivod(ByVal s As String, ByRef t As Label)

       t.Text = s

   End Sub

   Public Function F(ByVal x As Single) As Single

       Return (Sqrt(x ^ 3) - x - 2 * Cos(x))

   End Function

   Public Function G(ByVal x As Single) As Single

       Dim xx As Single

       xx = gold(0, 5, 0.001, x)

       Return (xx * Exp(-x) + (x ^ 2) * Sin(x))

   End Function

   Public Function H(ByVal x As Single) As Single

       Return (gold(0, 5, 0.001, x) * Exp(-x) + gold(0, 5, 0.001, x) - (x ^ 2) * Cos(x) - 2 * x * Sin(x) + 2 * Cos(x))

   End Function

   Public Function gold(ByVal a As Single, ByVal b As Single, ByVal eps As Single, _

               ByRef x As Single) As Single

       Dim k1, k2, x1, x2, f1, f2 As Single, z As String

       Dim n As Integer

       k1 = (3 - Sqrt(5)) / 2

       k2 = 1 - k1

       x1 = a + k1 * (b - a)

       x2 = a + k2 * (b - a)

       f1 = F(x1)

       f2 = F(x2)

       n = 0

       Form2.ListBox1.Items.Clear()

       Do Until (b - a) < eps

           n = n + 1

           If n > 100 Then

               z = CStr(n) + Space(2)

           ElseIf n >= 10 Then

               z = CStr(n) + Space(4)

           Else

               z = CStr(n) + Space(6)

           End If

           z = z + Format(a, "0.00000") + Space(3) + Format(b, "0.00000") + Space(3) + Format(x1, "0.00000") + Space(3)

           z = z + Format(x2, "0.00000") + Space(5) + Format(f1, "0.00000") + Space(5) + Format(f2, "0.00000") + Space(5) + Format(b - a, "0.00000")

           Form2.ListBox1.Items.Add(z)

           If f1 < f2 Then

               b = x2 : x2 = x1

               x1 = a + k1 * (b - a)

               f2 = f1 : f1 = F(x1)

           Else

               a = x1 : x1 = x2 : f1 = f2

               x2 = a + k2 * (b - a)

               f2 = F(x2)

           End If

       Loop

       x = (a + b) / 2

       Return x

   End Function

   Sub simpson(ByVal a As Single, ByVal b As Single, ByVal eps As Single, ByRef s As Single, _

                ByRef n As Integer, ByRef h As Single)

       Dim i, c As Integer

       Dim s1, x As Single, z As String

       n = 2

       h = (b - a) / n

       s = (G(a) + 4 * G((a + b) / 2) + G(b)) * h / 3

       Form3.ListBox1.Items.Clear()

       Do

           h = h / 2

           n = 2 * n : s1 = s : c = 4 : x = a

           s = G(a) + G(b)

           For i = 1 To n - 1

               x = x + h

               s = s + c * F(x)

               c = 6 - c

           Next

           s = s * h / 3

           If n > 100 Then

               z = CStr(n) + Space(2)

           ElseIf n > 10 Then

               z = CStr(n) + Space(4)

           Else

               z = CStr(n) + Space(6)

           End If

           z = z + Format(h, "0.00000") + Space(3) + Format(Abs(s), "0.00000")

           Form3.ListBox1.Items.Add(z)

       Loop Until Abs(s - s1) / 15 < eps

   End Sub

   Function formint(ByVal n As Integer) As String

       Dim z As String = ""

       z = CStr(n)

       If n < 10 Then z = "  " + z

       Return z

   End Function

   Function form(ByVal x As Single) As String

       Dim z As String = ""

       z = Format(x, "0.00000")

       If x > 0 Then z = " " + z

       Return z

   End Function

   Sub mpd(ByVal a As Single, ByVal b As Single, ByVal eps As Single, ByRef c As Single, _

            ByRef n As Integer)

       Dim z As String

       n = 0

       Form4.ListBox1.Items.Clear()

       Do

           c = (a + b) / 2

           n = n + 1

           If F(c) * F(b) < 0 Then a = c Else b = c

           z = formint(n) + Space(2) + form(a) + Space(2) + form(b) + Space(2) + _

               form(c) + Space(2) + form(F(a)) + Space(2) + form(F(b)) + _

               Space(2) + form(F(c)) + Space(2) + form(b - a)

           Form4.ListBox1.Items.Add(z)

       Loop Until Abs(b - a) < eps

       c = (a + b) / 2

   End Sub

End Module


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29133. Прекращение права собственности 39.5 KB
  Прекращение права собственности право прекращающие юридические факты которые могут быть связаны с действиями по отчуждению имущества с событиями смерть. Классификация прекращения права собственности: Добровольная собственник передает это право другому лицу на основании различных договоров административных актов а также при отказе его от права собственности гибели или уничтожении имущества и при утрате права собственности на имущество. Принудительная обращение взыскания на имущество по обязательствам на основании решения суда...
29134. Отступное в гражданском праве 29.5 KB
  По какимлибо причинам вы ничем кроме честного слова должника свой договор не обеспечили. Пришел час расплаты а денег у должника нет. Первый подать в суд потребовать продажи имущества должника и обязать его расплатиться с вами деньгами вырученными от продажи его имущества. Получив имущество вы отступаете от должника со своими требованиями о возврате долга.
29135. Прекращение обязательства зачетом. Недопустимость зачета 27 KB
  Обязательство прекращается полностью или частично зачетом встречного однородного требования срок которого наступил либо срок которого не указан или определен моментом востребования. Не допускается зачет требований: если по заявлению другой стороны к требованию подлежит применению срок исковой давности и этот срок истек; о возмещении вреда причиненного жизни или здоровью; о взыскании алиментов; о пожизненном содержании; в иных случаях предусмотренных законом или договором. Зачет производится если требование возникло по основанию...
29136. Новация 26 KB
  Новация. Новация обязательство прекращается соглашением сторон о замене первоначального обязательства существовавшего между ними другим обязательством между теми же лицами предусматривающим иной предмет или способ исполнения. Новация не допускается в отношении обязательств по возмещению вреда причиненного жизни или здоровью и по уплате алиментов. Новация прекращает дополнительные обязательства связанные с первоначальным если иное не предусмотрено соглашением сторон.
29137. Понятие и виды договоров. Существенные условия договора 29.5 KB
  Существенные условия договора. К договорам применяются правила о двух и многосторонних сделках. Граждане и юридические лица свободны в заключении договора. Условия договора определяются по усмотрению сторон.
29138. Толкование договора 22 KB
  Толкование договора. Форма договора закрепляет и правильно отражает согласованное волеизъявление участников договора. Форма для того и нужна чтобы правильно выражать и закреплять согласованное волеизъявление всех участников этого договора. Но как бы тщательно стороны при заключении договора ни работали над смыслом договора всетаки иногда встречаются определенные сложности в выявлении смысла этого договора и тех условий на которых заключен договор.
29139. Заключение договора. Заключение договора в обязательном порядке. Заключение договора на торгах 26.5 KB
  Заключение договора. Заключение договора в обязательном порядке. Заключение договора на торгах. Основные положения о заключении договора Договор считается заключенным если между сторонами в требуемой в подлежащих случаях форме достигнуто соглашение по всем существенным условиям договора.
29140. Оферта и ее виды 25 KB
  Офертой признается адресованное одному или нескольким конкретным лицам предложение которое достаточно определенно и выражает намерение лица сделавшего предложение считать себя заключившим договор с адресатом которым будет принято предложение.
29141. Акцепт и его виды 24.5 KB
  Акцептом признается ответ лица которому адресована оферта о ее принятии. Акцепт должен быть полным и безоговорочным. Молчание не является акцептом если иное не вытекает из закона обычая делового оборота или из прежних деловых отношений сторон. Виды акцепта: вексельный банковский чековый по ценным бумага.