Определение с точностью площади криволинейной трапеции

ID: 968

Название работы: Определение с точностью площади криволинейной трапеции

Категория: Курсовая

Предметная область: Информатика, кибернетика и программирование

Описание: Для поиска константы C будем пользоваться методом золотого сечения. Для определения площади криволинейной трапеции воспользуемся методом Симпсона. Для решения поставленного уравнения используем метод половинного деления.

Язык: Русский

Дата добавления: 2013-01-06

Размер файла: 585 KB

Работу скачали: 53 чел.

Постановка задачи:

Определить с точностью E площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью OX, прямыми и и кривой C - абсцисса точки минимума функции

Решить уравнение:

Формализация задачи:

Для выполнения поставленного задания воспользуемся следующими методами для каждой конкретной задачи:

1. Для поиска константы C будем пользоваться методом золотого сечения, минимизируя функцию

2. Для определения площади криволинейной трапеции воспользуемся методом Симпсона

3. Для решения поставленного уравнения используем метод половинного деления

Упрощенный алгоритм решения задачи:

Обоснование методов решения:

1. Найдём точку минимума функции одним из методов одномерной оптимизации - методом золотого сечения.

Т.к. на каждой итерации, кроме первой, требуется вычисление одного значения функции (в методе дихотомии вычисляются два значения функции), поскольку точка есть вторая точка золотого сечения отрезка , а точка - первая точка золотого сечения отрезка

Полученное значение в результате оптимизирования методом золотого сечения, будет являться значением константы C, которое будет определённо с погрешностью . Это значение C подставим в функцию .

2. Для нахождения площади криволинейной трапеции воспользуемся методом Симпсона

Метод Симпсона, является самым точным методом численного интегрирования, также функция содержит экспоненту и квадратный корень, поэтому воспользуемся им.

3. Для получения нелинейного уравнения, нужно взять определённый интеграл от функции по пределам интегрирования a и x:

Воспользуемся общим правилом решения нелинейных уравнений, включающих в себя два этапа:

Отделение корня;
Уточнение корня.

Уточним корень методом половинного деления на выбранном отрезке, полученном на этапе отделения. Выбранным методом отыщем корень с заданной погрешностью. Выберем этот метод так как он всегда сходится.

Краткое описание методов решения:

Одномерная оптимизация по методу золотого сечения:

В основу метода положено разбиение отрезка неопределенности [a;b] в соотношении золотого сечения, такого, что отношение длины его большей части ко всей длине отрезка равно отношению длины его меньшей части к длине его большей части.

В методе золотого сечения каждая точка (х1 и х2)осуществляет золотое сечение отрезка:

Нетрудно проверить, что точка х1 осуществляет золотое сечение не только отрезка [a;b], но и отрезка [a;х2]. Точно так же точка х2 осуществляет золотое сечение не только отрезка [a;b], но и отрезка [х1;b]. Это приводит к тому, что значение целевой функции на каждой итерации (кроме первой) вычисляется один раз.

После каждой итерации длина отрезка неопределенности сокращается в 1.618 раза. Длина конечного отрезка неопределенности Dn = 0.618nD0, где D0= (b-a) – начальная длина отрезка.

Условие окончания процесса итераций Dn e. Отсюда можно найти количество итераций, необходимое для достижения точки минимума:

отсюда логарифмируя, получим

Метод Симпсона:

Для интервала интегрирования [a;b] формула Симпсона выглядит следующим образом:

, где , n – количество отрезков разбиения

Метод половинного деления:

Пусть корень уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a;b], то есть на этом отрезке имеется единственный корень, а функция на данном отрезке непрерывна.

Метод половинного деления позволяет получить последовательность вложенных друг в друга отрезков [a1;b1], [a2;b2], …,[ai;bi],…, [an;bn], таких что f(ai).f(bi) < 0, где i=1,2,…,n, а длина каждого последующего отрезка вдвое меньше длины предыдущего:

В методе половинного деления от итерации к итерации происходит последовательное уменьшение длины первоначального отрезка [a0;b0] в два раза (рис. 6.2.3-1). Поэтому на n-м шаге справедлива следующая оценка погрешности результата:

где - точное значение корня, хnÎ [an;bn] – приближенное значение корня на n-м шаге.

Сравнивая полученную оценку погрешности с заданной точностью , можно оценить требуемое число шагов:

Тестирование метода золотого сечения:

Проверка на Mathcad 14

Схема алгоритма метода золотого сечения:

Программный код:

Imports System.Math

Public Class Form1

Function f(ByVal x As Single)

f = sqrt(x ^ 3) – x – 2 * cos(x)

End Function

Function vvod(ByVal T As TextBox)

Return CSng(Val(T.Text))

End Function

Sub vivod(ByVal x As Single, ByVal T As TextBox)

T.Text = CStr(x)

End Sub

Sub vivodint(ByVal x As Integer, ByVal T As TextBox)

T.Text = CStr(x)

End Sub

Sub gold(ByVal a As Single, ByVal b As Single, ByVal eps As Single, _

ByRef x As Single, ByRef n As Integer, ByRef L As ListBox)

Dim k1, k2, x1, x2, f1, f2 As Single, z As String

k1 = (3 - Sqrt(5)) / 2

k2 = 1 - k1

x1 = a + k1 * (b - a)

x2 = a + k2 * (b - a)

f1 = f(x1)

f2 = f(x2)

n = 0

Do Until (b - a) < eps

n = n + 1

If n > 100 Then

z = CStr(n) + Space(2)

ElseIf n >= 10 Then

z = CStr(n) + Space(4)

Else

z = CStr(n) + Space(6)

End If

z = z + Format(a, "0.00000") + Space(3) + Format(b, "0.00000") + Space(3) + Format(x1, "0.00000") + Space(3)

z = z + Format(x2, "0.00000") + Space(5) + Format(f1, "0.00000") + Space(5) + Format(f2, "0.00000") + Space(5) + Format(b - a, "0.00000")

L.Items.Add(z)

If f1 < f2 Then

b = x2 : x2 = x1

x1 = a + k1 * (b - a)

f2 = f1 : f1 = f(x1)

Else

a = x1 : x1 = x2 : f1 = f2

x2 = a + k2 * (b - a)

f2 = f(x2)

End If

Loop

x = (a + b) / 2

End Sub

Private Sub Button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button1.Click

Dim a, b, x, eps As Single

Dim n As Integer

a = vvod(TextBox1)

b = vvod(TextBox2)

eps = vvod(TextBox3)

gold(a, b, eps, x, n, ListBox1)

vivodint(n, TextBox4)

vivod(x, TextBox5)

vivod(f(x), TextBox6)

End Sub

End Class

Решение метода:

Тестирование метода Симпсона:

Проверка на MathCad:

Схема алгоритма метода Симпсона:

Программный код:

Imports System.Math

Public Class Form1

Function f(ByVal x As Single) As Single

f = 0.181704 * exp(-x) + (x ^ 2) * sin(x)

End Function

Function vvod(ByVal T As TextBox)

Return CSng(Val(T.Text))

End Function

Sub vivod(ByVal x As Single, ByVal T As TextBox)

T.Text = CStr(x)

End Sub

Sub vivodint(ByVal x As Integer, ByVal T As TextBox)

T.Text = CStr(x)

End Sub

Sub simpson(ByVal a As Single, ByVal b As Single, ByVal eps As Single, ByRef s As Single, _

ByRef n As Integer, ByRef h As Single, ByRef L As ListBox)

Dim i, c As Integer

Dim s1, x As Single, z As String

n = 2

h = (b - a) / n

s = (f(a) + 4 * f((a + b) / 2) + f(b)) * h / 3

h = h / 2

n = 2 * n : s1 = s : c = 4 : x = a

s = f(a) + f(b)

For i = 1 To n - 1

x = x + h

s = s + c * f(x)

c = 6 - c

s = s * h / 3

If n > 100 Then

z = CStr(n) + Space(2)

ElseIf n > 10 Then

z = CStr(n) + Space(4)

Else

z = CStr(n) + Space(6)

End If

z = z + Format(h, "0.00000") + Space(3) + Format(s, "0.00000")

L.Items.Add(z)

Loop Until Abs(s - s1) / 15 < eps

End Sub

Private Sub Button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button1.Click

Dim a, b, c, h As Single

Dim n As Integer

a = vvod(TextBox1)

b = vvod(TextBox11)

simpson(a, b, 0.001, c, n, h, ListBox1)

vivodint(n, TextBox2)

vivod(h, TextBox3)

vivod(c, TextBox4)

End Sub

Private Sub Button2_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button2.Click

End

End Sub

End Class

Решение метода:

Тестирование метода половинного деления:

Проверка на MathCad:

Схема алгоритма метода половинного деления

Программный код:

Imports System.Math

Public Class Form1

Function f(ByVal x As Single)

f = -0.181704 * Exp(-x) + 0.181704 - (x ^ 2) * Cos(x) - 2 * x * Sin(x) + 2 * Cos(x)

End Function

Function vvod(ByVal T As TextBox)

Return CSng(Val(T.Text))

End Function

Sub vivod(ByVal x As Single, ByVal T As TextBox)

T.Text = CStr(x)

End Sub

Sub vivodint(ByVal x As Integer, ByVal T As TextBox)

T.Text = CStr(x)

End Sub

Function formint(ByVal n As Integer) As String

Dim z As String = ""

z = CStr(n)

If n < 10 Then z = " " + z

Return z

End Function

Function form(ByVal x As Single) As String

Dim z As String = ""

z = Format(x, "0.00000")

If x > 0 Then z = " " + z

Return z

End Function

Sub mpd(ByVal a As Single, ByVal b As Single, ByVal eps As Single, ByRef c As Single, _

ByRef n As Integer, ByRef L As ListBox)

Dim z As String

n = 0

c = (a + b) / 2

n = n + 1

If f(c) * f(b) < 0 Then a = c Else b = c

z = formint(n) + Space(2) + form(a) + Space(2) + form(b) + Space(2) + _

form(c) + Space(2) + form(f(a)) + Space(2) + form(f(b)) + _

Space(2) + form(f(c)) + Space(2) + form(b - a)

L.Items.Add(z)

Loop Until Abs(b - a) < eps

c = (a + b) / 2

End Sub

Private Sub Button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button1.Click

Dim a, b, c As Single

Dim n As Integer

a = vvod(TextBox1)

b = vvod(TextBox2)

mpd(a, b, 0.01, c, n, ListBox1)

vivodint(n, TextBox3)

vivod(c, TextBox4)

vivod(f(c), TextBox5)

End Sub

Private Sub Button2_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button2.Click

End

End Sub

End Class

Решение метода:

Полный программный код проекта:

Первая форма:

Public Class Form1

Private Sub Form1_Load(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles MyBase.Load

TextBox1.Text = "0"

Textbox2.Text = "5"

End Sub

Private Sub button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles button1.Click

Form2.Show()

End Sub

Private Sub button2_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles button2.Click

End

End Sub

End Class

Вторая форма:

Public Class Form2

Private Sub Form2_Load(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles MyBase.Load

TextBox1.Text = Form1.TextBox1.Text

TextBox2.Text = Form1.TextBox2.Text

TextBox3.Text = "0.00001"

Textbox4.Text = "0"

TextBox5.Text = "0"

TextBox6.Text = "0"

listbox1.Text = ""

End Sub

Private Sub button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles button1.Click

Dim a, b, eps, x As Single

a = vvod(TextBox1)

b = vvod(TextBox2)

eps = vvod(TextBox3)

gold(a, b, eps, x)

vivod(x, textbox5)

vivod(f(x), textbox6)

End Sub

Private Sub button2_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles button2.Click

Form3.Show()

End Sub

End Class

Третья форма:

Public Class Form3

Private Sub Form3_Load(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles MyBase.Load

Textbox1.Text = Form1.TextBox1.Text

Textbox2.Text = Form1.TextBox2.Text

Textbox3.Text = "0"

Listbox1.Text = ""

End Sub

Private Sub button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles button1.Click

Dim a, b, s, h, eps As Single

Dim n As Integer

eps = vvod(TextBox4)

a = vvod(TextBox1)

b = vvod(TextBox2)

simpson(a, b, eps, s, n, h)

vivod(s, TextBox3)

End Sub

Private Sub button2_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles button2.Click

Form4.Show()

End Sub

End Class

Четвёртая форма:

Public Class Form4

Private Sub Form4_Load(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles MyBase.Load

Textbox1.Text = Form1.TextBox1.Text

Textbox2.Text = Form1.TextBox2.Text

Textbox3.Text = "0"

Textbox4.Text = "0"

Listbox1.Text = ""

End Sub

Private Sub button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button1.Click

Dim a, b, c, eps As Single

Dim n As Integer

a = vvod(Textbox1)

b = vvod(TextBox2)

eps = vvod(TextBox5)

mpd(a, b, 0.001, c, n)

vivod(c, TextBox3)

vivod(H(c), TextBox4)

End Sub

Private Sub button2_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button2.Click

End

End Sub

End Class

Модуль:

Imports System.Math

Module Module1

Dim XY_arr As Single(,)

Dim Num As Integer

Dim Ac As Single()

Public Function vvod(ByVal t As TextBox) As Single

Return CSng(Val(t.Text))

End Function

Public Sub vivod(ByVal s As String, ByRef t As TextBox)

t.Text = s

End Sub

Public Sub vivod(ByVal s As String, ByRef t As TextBox, ByVal add As Boolean)

If add = True Then

t.Text += s

Else

t.Text = s

End If

End Sub

Public Sub vivod(ByVal s As String, ByRef t As Label)

t.Text = s

End Sub

Public Function F(ByVal x As Single) As Single

Return (Sqrt(x ^ 3) - x - 2 * Cos(x))

End Function

Public Function G(ByVal x As Single) As Single

Dim xx As Single

xx = gold(0, 5, 0.001, x)

Return (xx * Exp(-x) + (x ^ 2) * Sin(x))

End Function

Public Function H(ByVal x As Single) As Single

Return (gold(0, 5, 0.001, x) * Exp(-x) + gold(0, 5, 0.001, x) - (x ^ 2) * Cos(x) - 2 * x * Sin(x) + 2 * Cos(x))

End Function

Public Function gold(ByVal a As Single, ByVal b As Single, ByVal eps As Single, _

ByRef x As Single) As Single

Dim k1, k2, x1, x2, f1, f2 As Single, z As String

Dim n As Integer

k1 = (3 - Sqrt(5)) / 2

k2 = 1 - k1

x1 = a + k1 * (b - a)

x2 = a + k2 * (b - a)

f1 = F(x1)

f2 = F(x2)

n = 0

Form2.ListBox1.Items.Clear()

Do Until (b - a) < eps

n = n + 1

If n > 100 Then

z = CStr(n) + Space(2)

ElseIf n >= 10 Then

z = CStr(n) + Space(4)

Else

z = CStr(n) + Space(6)

End If

z = z + Format(a, "0.00000") + Space(3) + Format(b, "0.00000") + Space(3) + Format(x1, "0.00000") + Space(3)

z = z + Format(x2, "0.00000") + Space(5) + Format(f1, "0.00000") + Space(5) + Format(f2, "0.00000") + Space(5) + Format(b - a, "0.00000")

Form2.ListBox1.Items.Add(z)

If f1 < f2 Then

b = x2 : x2 = x1

x1 = a + k1 * (b - a)

f2 = f1 : f1 = F(x1)

Else

a = x1 : x1 = x2 : f1 = f2

x2 = a + k2 * (b - a)

f2 = F(x2)

End If

Loop

x = (a + b) / 2

Return x

End Function

Sub simpson(ByVal a As Single, ByVal b As Single, ByVal eps As Single, ByRef s As Single, _

ByRef n As Integer, ByRef h As Single)

Dim i, c As Integer

Dim s1, x As Single, z As String

n = 2

h = (b - a) / n

s = (G(a) + 4 * G((a + b) / 2) + G(b)) * h / 3

Form3.ListBox1.Items.Clear()

h = h / 2

n = 2 * n : s1 = s : c = 4 : x = a

s = G(a) + G(b)

For i = 1 To n - 1

x = x + h

s = s + c * F(x)

c = 6 - c

s = s * h / 3

If n > 100 Then

z = CStr(n) + Space(2)

ElseIf n > 10 Then

z = CStr(n) + Space(4)

Else

z = CStr(n) + Space(6)

End If

z = z + Format(h, "0.00000") + Space(3) + Format(Abs(s), "0.00000")

Form3.ListBox1.Items.Add(z)

Loop Until Abs(s - s1) / 15 < eps

End Sub

Function formint(ByVal n As Integer) As String

Dim z As String = ""

z = CStr(n)

If n < 10 Then z = " " + z

Return z

End Function

Function form(ByVal x As Single) As String

Dim z As String = ""

z = Format(x, "0.00000")

If x > 0 Then z = " " + z

Return z

End Function

Sub mpd(ByVal a As Single, ByVal b As Single, ByVal eps As Single, ByRef c As Single, _

ByRef n As Integer)

Dim z As String

n = 0

Form4.ListBox1.Items.Clear()

c = (a + b) / 2

n = n + 1

If F(c) * F(b) < 0 Then a = c Else b = c

z = formint(n) + Space(2) + form(a) + Space(2) + form(b) + Space(2) + _

form(c) + Space(2) + form(F(a)) + Space(2) + form(F(b)) + _

Space(2) + form(F(c)) + Space(2) + form(b - a)

Form4.ListBox1.Items.Add(z)

Loop Until Abs(b - a) < eps

c = (a + b) / 2

End Sub

End Module

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать
67932.	Практическая работа	Microsoft Excel 2007. Абсолютная и относительная адресация	66.5 KB
	При изменении позиции ячейки содержащей формулу изменяется и ссылка. При копировании формулы вдоль строк и вдоль столбцов ссылка автоматически корректируется. Абсолютная ссылка ячейки в формуле всегда ссылается на ячейку расположенную в определенном месте. При изменении позиции ячейки содержащей...
67933.	Практическая работа	Инфекционный процесс, его виды и условия возникновения	78.5 KB
	Инфекционные болезни отличаются от других болезней тем, что они вызываются живыми возбудителями. По характеру взаимоотношений микробы бывают сапрофитами и паразитами. Последние живут за счет других организмов. Какое-либо совместное проживание микроба с макроорганизмом называется симбиозом, который имеет...
67934.	Практическая работа	Реакции иммунитета: реакция агглютинации, реакция преципитации	242 KB
	Цель: Владеть техникой постановки реакции агглютинации и реакции преципитации для диагностики инфекционных заболеваний. Модуль 1. Морфология и физиология микроорганизмов. Инфекция. Иммунитет. Содержательный модуль 9. Реакции иммунитета.
67936.	Практическая работа	Реакции иммунитета: реакция связывания комплемента, реакция лизиса	85 KB
	Цель: Овладение техникой постановки реакции связывания комплемента и реакции лизиса. Реакции иммунитета. Реакции иммунитета используются при диагностических и иммунологических исследованиях у больных и здоровых людей.
67937.	Практическая работа	Учение об иммунитете. Серологические реакции с меткой	112 KB
	Иммунохимические методы анализа, основанные на специфическом связывании определяемого соединения соответствующими антителами, широко вошли в аналитическую практику и используются в различных областях медицины, сельского хозяйства, микробиологической и пищевой промышленности...
67938.	Практическая работа	Иммунные сыворотки. Реакция нейтрализации	76 KB
	Иммунные сыворотки. Титрование антитоксической сыворотки. Иммунные сыворотки это иммунобиологические препараты содержащие готовые антитела которые имеют способность нейтрализовать действие патогенных микроорганизмов и продукты их жизнедеятельности.
67939.	Практическая работа	Вакцины. Учение о фагоцитозе	77.5 KB
	Вакцины. Вакцины это иммунобиологические препараты которые предназначены для создания активного специфического иммунитета. Кроме того вакцины могут быть использованы для лечения инфекционных болезней.
67940.	Практическая работа	Химиотерапевтические препараты. Антибиотики	81 KB
	В основе выборочного действия антибиотиков лежат возникшие в процессе эволюции структурные и биохимические отличия двух основных групп клеточных организмов: прокариотов и эукариотов. Действие антибиотиков на микробы связано с их способностью угнетать биохимические реакции происходящие в микробной клетке.

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать