96827

Электромагнитное поле в прямоугольном волноводе

Курсовая

Физика

В полой трубе прямоугольного сечения (Рис. 1) с идеально проводящими стенками создано монохроматическое электромагнитное поле. Труба заполнена однородной изотропной средой без потерь, абсолютная диэлектрическая и магнитная проницаемости равны и соответственно. Известно, что комплексная амплитуда вектора равна...

Русский

2015-10-11

1.5 MB

16 чел.

PAGE   \* MERGEFORMAT 3

Федеральное агентство связи

Московский технический университет связи и информатики

Кафедра технической электродинамики и антенн

Анализ Электромагнитного поля в прямоугольном волноводе

Проверил:                                                                                                             Выполнил:

Доцент кафедры ТЭДиА                                                           Студент группы БРТ1302

Муравцов А.Д.                                                                                       Звездинов Виктор.

 

Москва 2015

Техническое задание

В полой трубе прямоугольного сечения (Рис. 1) с идеально проводящими стенками создано монохроматическое электромагнитное поле. Труба заполнена однородной изотропной средой без потерь, абсолютная диэлектрическая и магнитная проницаемости равны  и  соответственно. Известно, что комплексная амплитуда вектора  равна:

,  где  , , , ,  - частота электромагнитных колебаний;  - длина волны, свободно распространяющейся в однородной изотропной непроводящей среде с параметрами  и ;  - скорость света в этой среде, ,

Исходные данные:

вар

В/м

a

см

b

см

ГГц

ГГц

2

100

2,25

1

6

4

0,75

4

2

Рис. 1

1)Определение комплексных амплитуд поперечных составляющих вектора , а затем из уравнений Максвелла определим комплексные амплитуды составляющих вектора , используя соотношение

,

Найдем комплексные амплитуды составляющих вектора  , воспользовавшись вышеприведённым соотношением:

Подставляя значение из (2) в (1) найдём комплексную форму вектора :

 

Запишем проекции комплексной амплитуды вектора на оси координат:

 

 

    

Воспользуемся первым уравнением Максвелла в комплексной форме для  определения комплексной амплитуды вектора :

, где  - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды,                   ,   – частота электромагнитных колебаний, тогда отсюда  

Найдем :

Тогда составляющие комплексной амплитуды вектора  равны соответственно:

 (7)

                  (8)

 

                                                     (9)

Найдем выражения для частных производных составляющих комплексной амплитуды вектора  по соответствующим координатам:

Подставляя найденные значения частных производных в (7), (8) и (9), получим итоговые выражения для комплексных амплитуд составляющих вектора :

(10)  

(11)     

                                                              (12)

2)Определение диапазона частот, в котором  – действительное число, т.е. рассматриваемое поле – бегущая волна.

По условию задачи . Значит,  будет действительным в случае, если

, т.е. при  

Этому диапазону длин волн соответствует диапазон частот:

, где  ГГц,   где С = ,

 

  

Таким образом, если частота волны не принадлежит рассчитанному диапазону частот, то  является мнимой величиной. Для этого случая произведем замену: , при этом ,

3) Определение мгновенных значений всех составляющих векторов и  для двух случаев:

а) когда  принадлежит найденному в п. 2 диапазону частот

б) когда  не принадлежит этому диапазону.

Для получения выражений для мгновенных значений составляющих векторов поля необходимо домножить их комплексные амплитуды на выражение  и, выделить действительную часть, то есть:

;  

В первом случае выражения для комплексных амплитуд составляющих остаются без изменений. Во втором случае необходимо произвести замену, описанную в п. 2.

При выражения для комплексны амплитуд составляющих магнитного и электрического полей имеют вид:

              (18)

При  выражения для комплексны амплитуд составляющих магнитного и электрического полей имеют вид:

          (24)

 4)Построение графиков зависимостей амплитуд составляющих векторов поля на частотах  и  по данным приведенным, в таблице технического задания

Вычислим постоянные множители в математическом пакете MathCAD 14, а затем подставим соответствующие значения постоянных величин в выражения с (13) по (24):

Определение амплитуд составляющих электрического и магнитного полей  для Случая 1:

z=z0; y=0,5b; ;

Указанные формулы были запрограммированы  в математическом пакете MathCAD 14, где были построены графики данных зависимостей. Результаты  показаны на Рис. 2, Рис. 3.

Определение амплитуд составляющих электрического и магнитного полей  для Случая 2:

z=z0; y=0,5b; ;  

Указанные формулы были запрограммированы  в математическом пакете MathCAD 14, где были построены графики данных зависимостей. Результаты  показаны на Рис. 4, Рис. 5.

Определение амплитуд составляющих электрического и магнитного полей  для Случая 3:

 z=z0; x=0,75a; ;

Указанные формулы были запрограммированы  в математическом пакете MathCAD 14, где были построены графики данных зависимостей. Результаты  показаны на Рис. 6, Рис. 7.

Определение амплитуд составляющих электрического и магнитного полей  для Случая 4:

z=z0; x=0,75a; ;

Указанные формулы были запрограммированы  в математическом пакете MathCAD 14, где были построены графики данных зависимостей. Результаты  показаны на Рис.8, Рис. 9.

Определение амплитуд составляющих электрического и магнитного полей  для Случая 5:

x=0,25a; y=0,25b; ;  

Указанные формулы были запрограммированы  в математическом пакете MathCAD 14, где были построены графики данных зависимостей. Результаты  показаны на Рис. 10, Рис. 11.

Определение амплитуд составляющих электрического и магнитного полей  для Случая 6:

   x=0,25a; y=0,25b; ;  

Указанные формулы были запрограммированы  в математическом пакете MathCAD 14, где были построены графики данных зависимостей. Результаты  показаны на Рис. 12, Рис. 13.

В выражениях для случаев 1, 3, 5  м,  рад/с, z0=0.151 м, а для случаев. 2, 4, 6  м,  рад/с, z0=0.178 м и  Нп/м.

---

            Рис. 2 Рис. 3

                  Рис. 4                                                                               Рис. 5

 Рис. 6  Рис. 7

Рис. 8 Рис. 9

Рис. 10 Рис. 11

           Рис. 12 Рис. 13

5)Проверка выполнения граничных условий для касательных составляющих вектора  и нормальных составляющих вектора  на боковой (х=а) стенке трубы.

Как известно на границе раздела двух сред – идеального металла и воздуха  и. Проверка граничных условий заключается в проверке истинности этих утверждений, т.е. равенства нулю касательной вектора  и нормальной вектора  проекций (составляющих).

На боковой стенке (х=а) рассмотрению подлежат (17) и (13) составляющие:

Подставим в эти выражения х=а, получим:

,

При этом другие множители от координаты х не зависят. Следовательно, оба выражения обращаются в ноль и граничные условия выполняются.

6)Определить комплексные амплитуды плотностей  поверхностных токов и зарядов на всех стенках трубы.

В случае идеально проводящих стенок токи проводимости являются поверхностными, а комплексную амплитуду поверхностного тока можно найти по формуле:

, где - нормаль                 (25)

Комплексную амплитуду плотности зарядов можно найти по формуле:

где  - абсолютная диэлектрическая проницаемость     (26)      

Найдем комплексные амплитуды плотностей поверхностных токов и зарядов на всех стенках трубы:

1) Для нижней стенки трубы  нормаль совпадает с вектором : .

Касательными к этой стенке составляющими вектора  являются составляющие вдоль осей x и z, то есть:

Подставим это выражение в формулу (25):

Нормальной к этой стенке составляющей вектора будет составляющая . Тогда комплексная амплитуда плотности поверхностных зарядов по формуле (26) будет равна:

2) Для верхней стенки трубы  нормаль противоположна вектору : .

Касательными к этой стенке составляющими вектора являются составляющие вдоль осей x и z, то есть:

Подставим это выражение в формулу (25):

Нормальной к этой стенке составляющей вектора будет составляющая . Комплексная амплитуда плотности поверхностных зарядов по формуле (26) будет равна:

3) Для правой стенки трубы  нормаль совпадает с вектором : .

Касательными к этой стенке составляющими вектора  являются составляющие вдоль осей y и z, то есть:

Подставим это выражение в формулу (25):

Нормальной к этой стенке составляющей вектора будет составляющая . Комплексная амплитуда плотности поверхностных зарядов по формуле (26) будет равна:

4) Для левой стенки трубы  нормаль противоположна вектору : .

Касательными к этой стенке составляющими вектора , как и в третьем случае, являются составляющие вдоль осей y и z, то есть:

Подставим это выражение в формулу (25):

Нормальной к этой стенке составляющей вектора будет составляющая . Комплексная амплитуда плотности поверхностных зарядов по формуле (26) будет равна:

7)Записать выражения для комплексного вектора Пойтинга. Определение среднее за период значение плотности потока энергии и амплитуду плотности реактивного потока энергии.

Где  – это комплексная амплитуда напряженности электрического поля, а  – это комплексно – сопряженная амплитуда напряженности магнитного поля.

Рассмотрим режим бегущей волны :

Запишем выражения для сопряженных составляющих вектора :

  

  

Найдём выражения для каждой из составляющих вектора Пойтинга, исходя из (27):  

Тогда выражение для вектора Пойтинга примет вид:

Cоставляющие по оси х и по оси у чисто мнимые, а составляющая по оси z – действительная, значит вдоль оси z происходит перенос энергии. Следовательно:

     

Рассмотрим режим стоячей волны :

Запишем выражения для сопряженных составляющих вектора :

  

  

   

Найдём выражения для каждой из составляющих вектора Пойтинга, исходя из (27):  

В этом случае вектор Пойтинга чисто мнимый и переноса энергии не происходит.

8)Вычисление среднего за период поток энергии через поперечное сечение трубы.

Проинтегрируем выражения для плотности активного потока энергии по площади поперечного сечения волновода:

Для этого проинтегрируем по площади поперечного сечения среднюю за период плотность потока энергии , определяемую выражением (27):

Вт      

9)Определение фазовой скорости Vф и скорости распространения энергии Vэ рассматриваемой волны. Расчет и построение графиков зависимостей Vф и Vэ от частоты.

За время  волна распространяется на расстояние , при этом фазы волны в моменты времени  и  в плоскостях  и  соответственно совпадают.

Рассчитаем фазовую скорость волны

Где

здесь  – фаза в момент времени t=0.

Рассчитаем фазовую скорость волны с учетом  м.

, м/с

Для расчета скорость распространения энергии Vэ воспользуемся соотношением:

Vэ Vэ, м/с.

Запишем выражение, характеризующее зависимость фазовой скорости от длины волны в волноводе.

Vэ

Указанные формулы были запрограммированы  в математическом пакете MathCAD 14, где были построены графики зависимостей Vф и Vэ от частоты. Результаты  показаны на Рис. 18.

10)Определение коэффициента затухания для заданной волны, считая, что стенки трубы выполнены из реального металла имеющего  Сим/м, на основе граничных условий Леонтовича-Щукина

Формула для расчета коэффициента затухания на основе граничных условий Леонтовича-Щукина имеет вид:

,                                                                                                  

где   - это активная часть поверхностного сопротивления волновода

Раскроем частотную зависимость коэффициента затухания:

Выражение для Рср подставлено из параграфа 8 для случая, когда частота принадлежит найденному в параграфе 2 диапазону.

Сделав замену     и подставив  в полученное выражение для коэффициента затухания, получим:  , Нп/м

11)Расчет и построение графика зависимости коэффициента затухания волны в волноводе от частоты.

, Нп/м

Указанная формула была запрограммированы  в математическом пакете MathCAD 14, где был график  зависимости . Результаты  показаны на Рис. 19

График представлен в логарифмическом масштабе для того, чтобы показать наглядно различающиеся величины.

12)Определение типа волны, распространяющейся в волноводе. Изображение структуры силовых линий электрического и магнитного полей этой волны. Изображение структуры силовых линий плотности поверхностного тока проводимости, протекающего по стенкам волновода.

Данная волна является волной типа , так как только вектор  имеет продольную составляющую и вдоль каждой стенки волновода укладывается одна полуволна по осям Х и У соответственно.

Структура силовых линий электрического и магнитного полей этой волны (Рис. 20)  и плотности  поверхностного тока проводимости, протекающего по стенкам волновода (Рис 21).

Рис. 18

Рис. 19

 Рис. 20

 

Рис. 21

Вывод:

Результатом  работы стало исследование волны в прямоугольном волноводе. По заданным соотношениям были определены все составляющие обоих векторов электромагнитного поля.  Исследованы зависимости амплитуд составляющих поля от координат в режиме бегущей волны и в режиме стоячей волны. На графиках показано экспоненциальное затухание волны с ростом координаты z в режиме стоячей волны и неизменность амплитуды ее колебаний при изменении координаты z в режиме бегущей волны (без учета потерь). В ходе исследования установлено, что рассматриваемая волна относится к типу Н11. Проверено выполнение граничных условий для касательных составляющих вектора  и нормальной составляющей вектора  на стенках волновода. Получены выражения для поверхностных токов и зарядов на стенках волновода. Найден вектор Пойтинга в комплексной форме и в форме мгновенного значения. Определено среднее за период значение плотности потока энергии, проходящей через поперечное сечение волновода. Определены и рассчитаны фазовая скорость и скорость распространения энергии волны в волноводе,  зависимости фазовой скорости и скорости распространения энергии  построены графически. Рассчитан коэффициент затухания волны при использовании волновода из реального металла с заданной проводимостью, зависимость коэффициента затухания от частоты построена графически. Структура силовых линий электрического и магнитного полей, а также структура силовых линий плотности поверхностного тока проводимости изображены на соответствующих рисунках.

Математические расчёты совпадают с построенными графическими зависимостями

Использованная литература:

[1]-Техническая электродинамика / Пименов Ю.В., Вольман В.И., Муравцов А.Д.     Под ред. Ю.В. Пименова: Учебное пособие для вузов. – М.: Радио и связь, 2002.

[2]-Электромагнитные волны/ Вайнштейн. Л. А.  – М.: Радио и связь, 1988.  

[3]-Конспект лекций за 2015 год.


EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19962. Вывод уравнения теплового баланса для любого элемента облучательного устройства 24.63 KB
  Вывести уравнения теплового баланса для любого элемента облучательного устройства. Обратить внимание слушателей, что после проведения соответствующих алгебраических операций решение задачи о поле температуры сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами второго порядка и может быть представлено в гиперболических функциях.
19963. Схема тепловых расчетов для конкретной экспериментальной установки 29.19 KB
  Рассмотреть конкретный пример использования методики расчета температурного поля облучательного устройства. В качестве примера предлагается облучательное устройство Ритм, предназначенное для комплексного исследования пластических свойств ядерного топлива и газовыделения при одновременной регистрации акустической эмиссии в процессе облучения.
19964. Пастановка задачи о радиальном распределении температуры в облучательном устройстве при отсутствии утечек тепла в торцы 31.07 KB
  Поставить и решить задачу о радиальном распределении температуры в облучательном устройстве при отсутствии утечек тепла в торцы. Обратить внимание на то, что для этого случая можно получить аналитическое решение, пригодное для оценочных расчетов радиального поля температуры по элементам облучательного устройства, тепловой изоляции или определения местоположения и мощности нагревателя для создания нужного температурного режима на облучаемом образце.
19965. Решение задачи о поле температуры в облучательном устройстве при отсутствии утечек тепла в торцы 39.33 KB
  Поставить и решить вспомогательную задачу Б и закончить рассмотрение задачи о радиальном распределении температуры в облучательном устройстве при отсутствии утечек тепла в торцы. Обосновать необходимость использования метода конечных элементов (МКЭ) для расчета полей температуры в облучаемых образцах. Приступить к постановке задачи расчета поля температуры МКЭ для цилиндрического образца.
19966. Методика представления системы уравнений тепловых балансов в матричной форме 30.08 KB
  Познакомить слушателей с методикой представлением системы уравнений тепловых балансов в матричной форме. Отметить, что это представление основывается на предположениях о малых размерах элементов, геометрии рассматриваемой задачи и возможности использования линейных связей между тепловыми потоками и температурой.
19967. Проблема выбора конструкционных материалов для изделий ядерной энерготехники 21.18 KB
  Познакомить слушателей с проблемой выбора конструкционных материалов для изделий, работающих в поле нейтронного излучения. Обратить особое внимание на пострадиационные технологические операции с изделием (в нашем случаем с облучательным устройством) по его радиационно-безопасном «захоронении».
19968. Причины создания реакторного стенда для исследования свойств ядерного топлива при динамическом воздействии реакторного излучения 27.46 KB
  Рассмотреть причины создания реакторного стенда для исследования свойств ядерного топлива при динамическом воздействии реакторного излучения. Познакомить слушателей с реакторным стендом ИРТ-МИФИ для исследования физико-механических свойств ядерного топлива и комплексом задач решаемых на стенде
19969. Взаимосвязи систем и устройств стенда для исследования физико-механических свойств ядерного топлива 25.89 KB
  Рассмотреть взаимосвязи систем и устройств стенда для исследования физико-механических свойств ядерного топлива, технологические операции с облучательными устройствами и испытуемыми образцами. Представить облучательные устройства в составе стенда, их возможности по исследованию свойств ядерного топлива