96975

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Курсовая

Педагогика и дидактика

Процесс внедрения элементов теории вероятностей в обязательный курс школьной математики оказался очень трудным делом. Существует мнение о том, что для усвоения начал теории вероятностей необходим предварительный запас идей, представлений, привычек, коренным образом отличающихся от тех, которые развиваются у школьников при традиционном обучении...

Русский

2015-10-12

1.09 MB

26 чел.

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого»

(ФГБОУ ВПО «ТГПУ им. Л. Н. Толстого»)

Кафедра алгебры, математического анализа и геометрии

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Методика обучения предметам: методика обучения  математике»

на тему:

«МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ»

Выполнил:

студентка 3 курса группы 120922

факультета математики, физики и информатики

направления «Педагогическое образование»

профили «Физика» и «Математика»

Ничепуренко Наталья Александровна

Научный руководитель:

ассистент

Рарова Е.М.

Тула 2015

СОДЕРЖАНИЕ:

Введение…………………………………………………………………………...3

Глава 1: Основные понятия………………………………………………………6

1.1 Элементы комбинаторики……………………………………………………6

1.2 Теория вероятностей………………………………………………………….8

Глава 2: Методические аспекты изучения «Теории вероятностей» в школьном курсе алгебры…………………………………………………….….24

Глава 3: Фрагмент урока по алгебре на тему «Теория вероятностей»……….32

Заключение

Литература


ВВЕДЕНИЕ

Вопрос о совершенствовании математического образования в отечественной школе был поставлен в начале 60-х годов XX века выдающимися математиками Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоровым, И.И. Кикоиным, А.И. Маркушевичем, А.Я. Хинчиным. Б.В. Гнеденко писал: «Давно назрел и не терпит дальнейших отлагательств вопрос о введении в школьный курс математики элементов вероятностно-статистических знаний. Законы жёсткой детерминации, на изучение которых целиком ориентировано наше школьное образование, лишь односторонне раскрывают сущность окружающего мира. Случайный характер многих явлений действительности оказывается за пределами внимания наших школьников. В результате этого их представления о характере многих природных и общественных процессов носят однобокий характер и неадекватны современной науке. Необходимо познакомить их со статистическими законами, раскрывающими многогранные связи бытия предметов и явлений».

В.И. Левин писал: «…Необходимую для… деятельности статистическую культуру надо воспитывать с ранних лет. Не случайно в развитых странах этому уделяется большое внимание: с элементами теории вероятностей и статистики учащиеся знакомятся уже с первых школьных лет и на протяжении всего обучения усваивают вероятностно-статистические подходы к анализу распространенных ситуаций, встречающихся в повседневной жизни».

     Реформой 80-х годов элементы теории вероятностей и статистики вошли в программы профильных классов, в частности, физико-математического и естественнонаучного, а также в факультативный курс изучения математики.

     Учитывая назревшую необходимость развития отдельных качеств мышления учащихся, появляются авторские разработки факультативных курсов по теории вероятностей. Примером тому может быть курс Н.Н. Авдеевой  по статистике для 7 и 9 классов и курс элементов математической статистики для 10 класса средней школы. В 10 классе были проведены проверочные работы, результаты которых, а также наблюдения преподавателей и опрос учащихся показали, что предлагаемый материал был вполне доступен учащимся, вызывал у них большой интерес, показывая конкретное применение математики к решению практических задач науки и техники.

Процесс внедрения элементов теории вероятностей в обязательный курс школьной математики оказался очень трудным делом. Существует мнение о том, что для усвоения начал теории вероятностей необходим предварительный запас идей, представлений, привычек, коренным образом отличающихся от тех, которые развиваются у школьников при традиционном обучении в рамках ознакомления с закономерностями строго обуславливающих явлений. Поэтому, по мнению ряда педагогов - математиков, теория вероятностей должна войти в школьную математику в качестве самостоятельного раздела, который обеспечивала бы формирование, систематизацию и развитие представлений о вероятностной природе явлений окружающего нас мира.

     Так как изучение теории вероятностей в школьный курс было введено недавно, то в настоящее время существуют проблемы с реализацией этого материала в школьных учебниках. Также, в связи со специфичностью данного курса, количество методической литературы тоже пока невелико. Согласно подходам, изложенным в подавляющем большинстве литературы, считается, что главным при изучении данной темы должен стать практический опыт учащихся, поэтому обучение желательно начинать с вопросов, в которых требуется найти решение поставленной проблемы на фоне реальной ситуации. В процессе обучения не следует доказывать все теоремы, так как на это тратиться большое количество времени, в то время, как задачей курса является формирование полезных навыков, а умение доказывать теоремы к таким навыкам не относится.

Зарождение теории вероятностей произошло в поисках ответа на вопрос: как часто наступает то или иное событие в большей серии испытаний со случайными исходами, которые происходят в одинаковых условиях?

Оценивая возможность наступления какого-либо события, мы часто говорим: "Это очень возможно", "Это непременно произойдет", "Это маловероятно", "Это никогда не случится". Купив лотерейный билет можно выиграть, а можно и не выиграть; завтра на уроке математике вас могут вызвать к доске, а могут и не вызвать; на очередных выборах правящая партия может победить, а может и не победить.

Рассмотрим простой пример. Как вы думаете, сколько людей должно быть в определённой группе, чтобы по крайней у двоих из них дни рождения совпадали с вероятностью 100% (имеется в виду день и месяц без учёта года рождения)? Здесь имеется в виду не високосный год, т.е. год, в котором 365 дней. Ответ очевиден - в группе должно быть 366 человек. Теперь другой  вопрос: сколько должно быть человек, чтобы нашлась пара с совпадающим днем рождения с вероятностью 99,9%? На первый взгляд всё просто - 364 человека. На самом деле достаточно 68 человек!

Вот для того, чтобы проводить такие интересные расчеты и  делать для себя необычные открытия, мы и изучим такой раздел математики «Теория вероятностей».

Целью курсовой работы является изучение основ теории вероятностей в школьном курсе математики. Для реализации, поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

  1.  Рассмотреть методические аспекты изучения «Теории вероятностей» в школьном курсе алгебры.
    1.  Ознакомиться с основными определениями и теоремами по «Теории вероятностей» в школьном курсе.
      1.  Рассмотреть подробное решение задач по теме курсовой работы.
      2.  Разработать фрагмент урока по теме курсовой работы.

Глава 1: Основные понятия

1.1 Элементы комбинаторики

Изучение курса должно начинаться с изучения основ комбинаторики, причем параллельно должна изучаться теория вероятностей, так как комбинаторика используется при подсчете вероятностей. Методы комбинаторики находят широкое применение в физике, химии, биологии, экономике и других областях знаний.

В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитать число комбинаций. Такие задачи называются комбинаторными задачами, а раздел математики, в котором рассматриваются эти задачи, называется комбинаторикой.

Комбинаторика изучает способы подсчета числа элементов в конечных множествах. Формулы комбинаторики используют при вычислении вероятностей.

Рассмотрим некоторое множество Х, состоящее из n элементов . Будем выбирать из этого множества различные упорядоченные подмножества Y из k элементов.

Размещением из n элементов множества Х по k элементам назовем любой упорядоченный набор () элементов множества Х.

Если выбор элементов множества Y из Х происходит с возвращением, т.е. каждый элемент множества Х может быть выбран несколько раз, то число размещений из n по k находится по формуле  (размещения с повторениями).

Если же выбор делается без возвращения, т.е. каждый элемент множества Х можно выбирать только один раз, то количество размещений из n по k обозначается  и определяется равенством

(размещения без повторений).

Частный случай размещения при n=k  называется  перестановкой  из  n  элементов. Число всех перестановок из n элементов равно

Пусть теперь из множества Х выбирается неупорядоченное подмножество Y (порядок элементов в подмножестве не имеет значения). Сочетаниями из n элементов по k называются подмножества из k элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Общее число всех сочетаний из n по k обозначается  и равно

Справедливы равенства: , ,

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана m*n способами.


1.2 Теория вероятностей

В повседневной жизни, в практической и научной деятельности мы часто наблюдаем те или иные явления, проводим определенные эксперименты.

Событие, которое может произойти, а может и не произойти в процессе наблюдения или эксперимента, называют случайным событием. Например, под потолком висит лампочка – никто не знает, когда она перегорит. Каждое случайное событие - есть следствие действия очень многих случайных величин (сила, с которой брошена монета, форма монеты и многое другое). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, так как число их велико и законы действия неизвестны.  Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей.

Теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет - она просто не в силах это сделать. Если же речь идет о массовых однородных случайных событиях, то они подчиняются определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям.

Для начала давайте рассмотрим классификацию событий.

Различают события совместные и несовместные. События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. В противном случае события называются несовместными. Например, подбрасываются две игральные кости. Событие A — выпадание трех очков на первой игральной кости, событие B — выпадание трех очков на второй кости. A и B — совместные события. Пусть в магазин поступила партия обуви одного фасона и размера, но разного цвета. Событие A — наудачу взятая коробка окажется с обувью черного цвета, событие B — коробка окажется с обувью коричневого цвета, A и B — несовместные события.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта.

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта. Например, событие, заключающееся в том, что из партии стандартных деталей будет взята стандартная деталь, является достоверным, а нестандартная — невозможным.

Событие называется возможным, или случайным, если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться. Примером случайного события может служить выявление дефектов изделия при контроле партии готовой продукции, несоответствие размера обрабатываемого изделия заданному, отказ одного из звеньев автоматизированной системы управления.

События называются равновозможными, если по условиям испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие. Например, пусть магазину поставляют электролампочки (причем в равных количествах) несколько заводов-изготовителей. События, состоящие в покупке лампочки любого из этих заводов, равновозможны.

Важным понятием является полная группа событий. Несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. Например, в урне находится десять шаров, из них шесть шаров красных, четыре белых, причем пять шаров имеют номера. A — появление красного шара при одном извлечении, B — появление белого шара, C — появление шара с номером. События A,B,C образуют полную группу совместных событий.

Событие может быть противоположным, или дополнительным. Под противоположным событием  понимается событие, которое обязательно должно произойти, если не наступило некоторое событие A. Противоположные события несовместны и единственно возможны. Они образуют полную группу событий. Например, если партия изготовленных изделий состоит из годных и бракованных, то при извлечении одного изделия оно может оказаться либо годным — событие A, либо бракованным — событие .

Рассмотрим пример. Бросают игральный кубик (т.е. небольшой куб, на гранях которого выбиты очки 1, 2, 3, 4, 5, 6). При бросании игрального кубика на его верхней грани может выпасть одно очко, два очка, три очка и т.д. Каждый из этих исходов является случайным.

Провели такое испытание. Игральный кубик бросали 100 раз и наблюдали, сколько раз произойдет событие «на кубике выпало 6 очков». Оказалось, что в данной серии экспериментов «шестерка» выпала 9 раз. Число 9, которое показывает, сколько раз в этом испытании произошло рассматриваемое событие, называют частотой этого события, а отношение частоты к общему числу испытаний, равное , называют относительной частотой этого события.

Вообще пусть определенное испытание проводится многократно в одних и тех же условиях и при этом каждый раз фиксируется, произошло или нет интересующее нас событие A. Вероятность события обозначается большой латинской буквой P. Тогда вероятность события А будем обозначать: Р(А).

Классическое определение вероятности:

Вероятность события A равна отношению числа случаев m, благоприятствующих ему, из общего числа n единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев к числу n, т. е.

Следовательно, для нахождения вероятности события необходимо:

  1.  рассмотреть различные исходы испытаний;
  2.  найти совокупность единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев, подсчитать их общее число n, число случаев m, благоприятствующих данному событию;
  3.  выполнить расчет по формуле.

Из формулы следует, что вероятность события является неотрицательным числом и может изменяться в пределах от нуля до единицы в зависимости от того, какую долю составляет благоприятствующее число случаев от общего числа случаев:

Рассмотрим еще один пример. В коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2 – зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет красным, зеленым или белым. Появление красного, зеленого и белого шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного шара – событие А, появление зеленого – событие В, появление белого – событие С. Тогда в соответствием с записанными выше формулами получаем:

;  ;

Отметим, что вероятность наступления одного из двух попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов. Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта.

Так в рассмотренном выше примере, если из коробки наугад извлечено 5 шаров и 2 из них оказались красными, то относительная частота появления красного шара равна:

Как видно, эта величина не совпадает с найденной вероятностью. При достаточно большом числе произведенных опытов относительная частота изменяется мало, колеблясь около одного числа. Это число может быть принято за вероятность события.

Геометрическая вероятность. Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно, что также ограничивает его применение на практике.

В случае, когда имеет место испытание с бесконечным числом исходов, используют определение геометрической вероятности – попадание точки в область.

При определении геометрической вероятности полагают, что имеется область N и в ней меньшая область M. На область N наудачу бросают точку (это означает, что все точки области N «равноправны» в отношении попадания туда брошенной случайно точки).

Событие A – «попадание брошенной точки на область M». Область  M называют благоприятствующей событию A.

Вероятность попадания в какую-либо часть области N пропорциональна мере этой части и не зависит от ее расположения и формы.

Область, на которую распространяется геометрическая вероятность, может быть:

  1.  отрезок (мерой является длина)
  2.  геометрическая фигура на плоскости (мерой является площадь)
  3.  геометрическое тело в пространстве (мерой является объем)

Дадим определение геометрической вероятности для случая плоской фигуры.

Пусть область M является частью области N. Событие A состоит в попадании случайно брошенной на область N точки в область M. Геометрической вероятностью события A называется отношение площади области M к площади области N:

При этом вероятность попадания случайно брошенной точки на границу области считается равной нулю.

Рассмотрим пример: Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 5, но не дошла до отметки 8 часов.

Решение. Число исходов бесконечно, применим определение геометрической вероятности. Сектор между 5 и 8 часами составляет   часть площади всего циферблата, следовательно, .

Операции над событиями:

События А и В называются равными, если осуществление события А влечет за собой осуществление события В и наоборот.

Объединением или суммой событий  называется событие A, которое означает появление хотя бы одного из событий .

A=

Пересечением или произведением событий  называется событие А, которое заключается в осуществлении всех событий .

A=∩

Разностью событий А и В называется событие С, которое означает, что происходит событие А, но не происходит событие В.

C=A\B

Пример:

A + B – «выпало 2; 4; 6 или 3 очка»

AB – «выпало 6 очков»

AB – «выпало 2 и 4 очка»

Дополнительным к событию А называется событие , означающее, что событие А не происходит.

Элементарными исходами опыта называются такие результаты опыта, которые взаимно исключают друг друга и в результате опыта происходит одно из этих событий, также каково бы ни было событие А, по наступившему элементарному исходу можно судить о том, происходит или не происходит это событие.

Совокупность всех элементарных исходов опыта называется пространством элементарных событий.

Свойства вероятностей:

Свойство 1. Если все случаи являются благоприятствующими данному событию A, то это событие обязательно произойдет. Следовательно, рассматриваемое событие является достоверным, а вероятность его появления , так как в этом случае 

Свойство 2. Если нет ни одного случая, благоприятствующего данному событию A, то это событие в результате опыта произойти не может. Следовательно, рассматриваемое событие является невозможным, а вероятность его появления , так как в этом случае m=0:

Свойство 3. Вероятность наступления событий, образующих полную группу, равна единице.

Свойство 4. Вероятность наступления противоположного события  определяется так же, как и вероятность наступления, события A:

где (n-m)  — число случаев, благоприятствующих появлению противоположного события . Отсюда вероятность наступления противоположного события  равна разнице между единицей и вероятностью наступления события A:

Сложение и умножение вероятностей.

Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В, записываем AB.

События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записываем А = В.

Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Теорема о сложении вероятностей 1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

P=P+P

Заметим, что сформулированная теорема справедлива для любого числа несовместных событий:

Если случайные события  образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство

P+P+…+P=1

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле

P=P+P-P

Примеры задач на теорему сложения.

  1.  На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 0,2 + 0,15 = 0,35.

Ответ: 0,35.

  1.  В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
    Решение. Рассмотрим события А – «кофе закончится в первом автомате», В – «кофе закончится во втором автомате». Тогда A·B – «кофе закончится в обоих автоматах», A + B – «кофе закончится хотя бы в одном автомате». По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12. 
    События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения: 
    P(+ B) = P(A) + P(B)  P(A·B) = 0,3 + 0,3  0,12 = 0,48. 

Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52.

Ответ: 0,52.

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Условной вероятностью P(A|B) события А называется вероятность, вычисленная при условии, что событие В произошло. Аналогично, через P(B|A) обозначается условная вероятность события В при условии, что А наступило.

Для независимых событий по определению

P(A|B) = P(A); P(B|A) = P(B)

 Теорема умножения для зависимых событий

Вероятность произведения зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое произошло:

 P(A ∙ B) = P(A) ∙ P(B|A)        P(A ∙ B) = P(B) ∙ P(A|B)

(в зависимости от того, какое событие произошло первым).

 Следствия из теоремы:

Теорема умножения для независимых событий. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей:

P(AB) = P(A) ∙ P(B)

Если А и В независимы, то независимы и пары: (;), (; В), (А;).

Примеры задач на теорему умножения:

  1.  Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение. Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156.

Ответ: 0,156.

  1.  В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение. Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,05 · 0,05 = 0,0025. 
Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,0025 = 0,9975.

Ответ: 0,9975.

Формула полной вероятности

Следствием теорем сложения и умножения вероятностей является формула полной вероятности:

Вероятность P(А) события А, которое может  произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) В1, В2, В3 … Вn, образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из событий (гипотез) В1, В2, В3, …, Вn на соответствующие условные вероятности события А:

P(А) = Р(В1)P(A|B1) + Р(В2)P(A|B2) + Р(В3)P(A|B3) + … + Р(Вn)P(A|Bn)

Рассмотрим пример: Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная из упаковки батарейка будет забракована.

Решение. Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий: A – «батарейка действительно неисправна и забракована справедливо» или В – «батарейка исправна, но по ошибке забракована». Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем: 

P (A+B) = P(A) + P(B) = 0,020,99 + 0,980,01 = 0,0198 + 0,0098 = 0,0296.

Ответ: 0,0296.


Глава 2: Методические аспекты изучения «Теории вероятностей» в школьном курсе алгебры

В 2003 г. было принято решение о включении элементов теории вероятностей в школьный курс математики общеобразовательной школы (инструктивное письмо № 03–93ин/13–03 от 23.09.2003 Министерства образования РФ «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы», «Математика в школе», № 9 за 2003 г.). К этому моменту элементы теории вероятностей уже более десяти лет в разнообразном виде присутствовали в известных школьных учебниках алгебры для разных классов (например, И.Ф. «Алгебра: Учебники для 7–9 классов общеобразовательных учреждений» под редакцией Г.В.Дорофеева; «Алгебра и начала анализа: Учебники для 10– 11 классов общеобразовательных учреждений» Г.В.Дорофеев, Л.В.Кузнецова, Е.А.Седова»), и в виде отдельных учебных пособий. Однако изложение материала по теории вероятности в них, как правило, не носило систематического характера, а учителя, чаще всего, не обращались к этим разделам, не включали их в учебный план. Принятый Министерством образования в 2003 г. документ предусматривал постепенное, поэтапное включение этих разделов в школьные курсы, давая возможность преподавательскому сообществу подготовиться к соответствующим изменениям.

В 2004–2008 гг. выходит ряд учебных пособий, дополняющих существующие учебники алгебры. Это издания Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. «Теория вероятностей и статистика», Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. «Теория вероятностей и статистика: Методическое пособие для учителя», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. «Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. Пособие для учащихся 7–9 кл. общеобразоват. учреждений», Ткачева М.В., Федорова Н.Е. «Элементы статистики и вероятность: Учеб. Пособие для 7– 9 кл. общеобразоват. учреждений». В помощь учителям также вышли методические пособия. В течение ряда лет все эти учебные пособия проходили апробацию в школах. В условиях, когда переходный период внедрения в школьные программы завершился, и разделы статистики и теории вероятностей заняли свое место в учебных планах 7–9 классов, требуется анализ и осмысление согласованности основных определений и обозначений, используемых в этих учебных пособиях.

Все эти учебные пособия создавались в условиях отсутствия традиций преподавания этих разделов математики в школе. Такое отсутствие вольно или невольно провоцировало авторов учебных пособий на сравнение с имеющимися учебниками для вузов. Последние же в зависимости от сложившихся традиций по отдельным специализациям высшей школы часто допускали существенный терминологический разнобой и различия в обозначениях основных понятий и записи формул. Анализ содержания указанных выше школьных учебных пособий показывает, что они на сегодняшний день унаследовали от учебников высшей школы эти особенности. С большей степенью точности можно утверждать, что выбор конкретного учебного материала по новым для школы разделам математики, касающихся понятия «случайного», происходит в настоящий момент самым что ни на есть случайным образом, вплоть до названий и обозначений. Поэтому коллективы авторов ведущих школьных учебных пособий по теории вероятностей и статистики решили объединить свои усилия под эгидой Московского института Открытого Образования для выработки согласованных позиций по унификации основных определений и обозначений, используемых в учебных пособиях для школы по теории вероятностей и статистике.

Проведем анализ введения темы «Теория вероятностей» в школьных учебниках.

Общая характеристика:

Содержание обучения теме "Элементы теории вероятностей", выделенное в "Программе для общеобразовательных учреждений. Математика", обеспечивает дальнейшее развитие у учащихся их математических способностей, ориентации на профессии, существенным образом связанных с математикой, подготовку к обучению в ВУЗе. Специфика математического содержания рассматриваемой темы позволяет конкретизировать выделенную основную задачу углубленного изучения математики следующим образом.

1. Продолжить раскрытие содержания математики, как дедуктивной системы знаний.

- построить систему определений основных понятий;

- выявить дополнительные свойства введенных понятий;

- установить связи введенных и ранее изученных понятий.

2. Систематизировать некоторые вероятностные способы решения задач; раскрыть операционный состав поиска решений задач определенных типов.

3. Создать условия для понимания и осознания учащимися основной идеи практической значимости теории вероятностей путем анализа основных теоретических фактов. Раскрыть практические приложения изучаемой в данной теме теории.

Достижению поставленных образовательных целей будет способствовать решение следующих задач:

1. Сформировать представление о различных способах определения вероятности события (статистическое, классическое, геометрическое, аксиоматическое)

2. Сформировать знание основных операций над событиями и умения применять их для описания одних событий через другие.

3. Раскрыть сущность теории сложения и умножения вероятностей; определить границы использования этих теорем. Показать их применения для вывода формул полной вероятности.

4. Выявить алгоритмы нахождения вероятностей событий а) по классическому определению вероятности; б) по теории сложения и умножения; в) по формуле полной вероятности.

5. Сформировать предписание, позволяющее рационально выбрать один из алгоритмов при решении конкретной задачи.

Выделенные образовательные цели для изучения элементов теории вероятностей дополним постановкой развивающих и воспитательных целей.

Развивающие цели:

  •  формировать у учащихся устойчивый интерес к предмету, выявлять и развивать математические способности;
  •  в процессе обучения развивать речь, мышление, эмоционально-волевую и конкретностно-мотивационную области;
  •  самостоятельное нахождение учащимися новых способов решения проблем и задач; применение знаний в новых ситуациях и обстоятельствах;
  •  развивать умение объяснить факты, связи между явлениями, преобразовывать материал из одной формы представления в другую (вербальная, знако-символическая, графическая);
  •  учить демонстрировать правильное применение методов, видеть логику рассуждений, сходство и различие явлений.

Воспитательные цели:

  •  формировать у школьников нравственные и эстетические представления, систему взглядов на мир, способность следовать нормам поведения в обществе;
  •  формировать потребности личности, мотивы социального поведения, деятельности, ценностей и ценностных ориентаций;
  •  воспитывать личность, способную к самообразованию и самовоспитанию.

Проведем анализ учебника по алгебре за 9 класс «Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей»  Макарычев Ю.Н.

Это учебное пособие предназначено для учащихся 7-9 классов, оно дополняет учебники:  Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. «Алгебра 7», «Алгебра 8», «Алгебра 9», под редакцией Теляковского С.А.

Книга состоит из четырех параграфов. В каждом пункте содержатся теоретические сведения и соответствующие упражнения. В конце пункта приводятся упражнения для повторения. К каждому параграфу даются дополнительные упражнения более высокого уровня сложности по сравнению с основными упражнениями.

Согласно «Программе для общеобразовательных учреждений» на изучение темы «Теория вероятностей и статистика» в школьном курсе алгебры отводится 15 часов.

Материал по данной теме приходится на 9 класс и излагается в следующих параграфах:

§3 «Элементы комбинаторики» содержит 4 пункта:

 Примеры комбинаторных задач. На простых примерах демонстрируется решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов. Этот метод иллюстрируется с помощью построение дерева возможных вариантов. Рассматривается правило умножения.  

Перестановки. Вводится само понятие и формула подсчета перестановок.  

Размещения.  Понятие вводится на конкретном примере. Выводится формула числа размещений.

Сочетания. Понятие и формула числа сочетаний.

Целью данного параграфа является дать учащимся различные способы описания всех возможных элементарных событий в различных типах случайного опыта.

§4 «Начальные сведения из теории вероятностей».

Изложение материала начинается с рассмотрения эксперимента, после чего вводят понятие «случайное событие» и «относительная частота случайного события». Вводится статистическое и классическое определение вероятности. Параграф  завершается пунктом «сложение и умножение вероятностей». Рассматриваются теоремы сложения и умножения вероятностей, вводятся связанные с ними понятия несовместные, противоположные, независимые события. Этот материал рассчитан на учащихся, проявляющих интерес и склонности к математике, и может быть использован для индивидуальной работы или на внеклассных занятиях с учащимися.  

Методические рекомендации к данному учебнику даны в ряде статей Макарычева и Миндюка («Элементы комбинаторики в школьном курсе алгебры», «Начальные сведения из теории вероятностей в школьном курсе алгебры»). А также некоторые критические замечания по данному учебному пособию содержатся в статье Студенецкой и   Фадеевой, которая поможет не допустить ошибок при работе с данным учебником.
Цель: переход от качественного описания событий к математическому описанию.

Тема «Теория вероятностей» в учебниках Мордковича А.Г., Семенова П.В. за 9-11 классы.

На данный момент одним из действующих учебников в школе является учебник Мордковича А.Г., Семенова П.В.  «События, вероятности, статистическая обработка данных», к нему также имеются дополнительные главы для 7-9 классов. Проведем его анализ.

Согласно «Рабочей программе по алгебре» на изучение темы «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» отводится 20 часов.

Материал по теме «Теория вероятностей» раскрывается в следующих параграфах:

§ 1. Простейшие комбинаторные задачи. Правило умножения и дерево вариантов. Перестановки. Начинается с рассмотрения простых комбинаторных задач, рассматривается таблица возможных вариантов, которая показывает принцип правила умножения. Затем рассматриваются деревья возможных вариантов и перестановки. После теоретического материала идут упражнения по каждому из подпунктов.

§ 2. Выбор нескольких элементов. Сочетания. Сначала выводится формула для 2-ух элементов, затем для трех, а потом общая для n элементов.

§ 3. Случайные события и их вероятности. Вводится классическое определение вероятности.

Плюсом данного пособия является то, что оно одно из немногих содержит пункты, в которых рассматриваются таблицы и деревья вариантов. Эти пункты необходимы, так как именно таблицы и деревья вариантов учат учащихся представлению и первоначальному анализу данных. Так же в этом учебнике удачно вводится формула сочетаний сначала для двух элементов, затем для трех и обобщается для n элементов. По комбинаторике  материал изложен так же удачно.  Каждый параграф содержит упражнения, что позволяет закреплять материал. Замечания по данному учебному пособию содержатся в статье Студенецкой и Фадеевой.

В 10 классе на данную тему отводится три параграфа. В первом из них «Правило умножения. Перестановки и факториалы», кроме собственно правила умножения, основной акцент делался на вывод из этого правила двух основных комбинаторных тождеств:  для числа перестановок и  для числа всевозможных подмножеств множества, состоящего из n элементов. При этом факториалы введены как удобный способ сокращенной записи ответа во многих конкретных комбинаторных задачах раньше самого понятия «перестановка». Во втором параграфе 10 класса «Выбор нескольких элементов. Биномиальные коэффициенты»рассматривались классические комбинаторные задачи, связанные с одновременным (или поочередным) выбором нескольких элементов из заданного конечного множества. Наиболее существенным и действительно новым для российской общеобразовательной школы был заключительный параграф «Случайные события и их вероятности». В нем была рассмотрена классическая вероятностная схема, разобраны формулы P(A+B)+P(AB)=P(A)+P(B), P()=1-P(A), P(A)=1-P() и способы их применения. Заканчивался параграф переходом к независимым повторениям испытания с двумя исходами. Это наиболее важная с практической точки зрения вероятностная модель (Испытания Бернулли), имеющая значительное число приложений. Последний материал образовывал переход между содержанием учебного материала в 10 и 11 классах.

В 11 классе теме «Элементы теории вероятностей» посвящены два параграфа учебника и задачника. В § 22 речь идет о геометрических вероятностях, в § 23 повторяются и расширяются знания о независимых повторениях испытаний с двумя исходами.


Глава 3: Фрагмент урока по алгебре на тему «Теория вероятностей»

Класс: 11

Тема урока: «Разбор задания С6».

Тип урока: решение задач.

Формируемые УУД

 Познавательные: анализировать,

делать выводы, сравнивать объекты по способам действия;

 Регулятивные: определять цель, проблему, выдвигать версии, планировать деятельность;

 Коммуникативные: излагать свое мнение, использовать речевые средства;

 Личностные: осознавать свои эмоции, вырабатывать уважительное отношение к одноклассникам

Планируемые результаты

 Предметные: умения использовать формулу для решения задач на вычисление вероятности.

 Метапредметные: умение выдвигать гипотезы, предположения, видеть

различные способы решения задачи.

 Личностные: умение правильно излагать свои мысли, понимать смысл

поставленной задачи.

Задача: Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театр мальчиков было не более 2/11 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 2/5 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а) и б)?

Разбор задания:

Сначала разберемся с условием:

(Параллельно с объяснением учитель все изображает на доске).

Предположим, что у нас есть множество ребят, которые сходили в кино, и множество ребят, которые сходили в театр. Т.к. сказано, что они все сходили, то вся группа входит или в множество ребят, которые сходили в театр, или в множество ребят, сходивших в кино. Что обозначает место, где эти множества пересекаются?

Оно обозначает, что эти ребята сходили и в кино и в театр одновременно.

Известно, что мальчиков, сходивших в театр, было не более 2/11 от общего числа сходивших в театр всего. Учитель просит кого-нибудь из учеников изобразить это на доске.

А мальчиков, которые сходили в кино могло быть больше - не более 2/5 от общего числа учащихся группы.

Теперь перейдем к решению.

а) У нас имеется 9 мальчиков, всего учащихся, обозначим N=20, должны выполняться все условия. Если у нас мальчиков 9, девочек, соответственно, 11. Пункт а) можно решить в большинстве случаев перебором.

Предположим, что у нас мальчики ходили либо только в кино, либо в театр.

А девочки сходили туда и туда. (Синим показано множество мальчиков, а черная штриховка - девочки)

Так как у нас всего 9 мальчиков и, по условию, в театр сходило меньше мальчиков, предполагаем, что в театр сходило 2 мальчика, а в кино – 7. И посмотрим, выполняется ли наше условие.

Проверим сначала на примере театра. Берем число мальчиков, сходивших в театр, ко всем, кто сходил в театр и плюс число девочек и сравним это с :  . Домножим это на 18 и на 5: .

, следовательно дробь 7/18  2/5. Значит, условие выполняется для кино.

Теперь посмотрим, выполняется ли это условие для театра. Самостоятельно, потом кто-то из учеников записывает решение на доске.

Ответ: Если группа состоит из 2 мальчиков, посетивших только театр, 7 мальчиков, посетивших только кино, и 11 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 20 учащихся могло быть 9 мальчиков.

б) Предположим, что мальчиков было 10 или больше. Тогда девочек было 10 или меньше. Театр посетило не более 2 мальчиков, поскольку если бы их было 3 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше  =, что больше . 

Аналогично, кино посетило не более 7 мальчиков, поскольку  , но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит условию.

В предыдущем пункте было показано, что в группе из 20 учащихся могло быть 9 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе — 9.

в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой — только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино.

Пусть в группе  мальчиков, посетивших театр,    мальчиков, посетивших кино, и  d девочек.

Оценим долю девочек в этой группе. Нулем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.

Если группа состоит из 2 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 9 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6743. Условия предоставления тарифных льгот при осуществлении поставок в страны Таможенного союза 28.51 KB
  Условия предоставления тарифных льгот при осуществлении поставок в страны Таможенного союза. Решением Меж Гос Совета Евра ЗэС от 27.11.2009 №18 о ЕТТР в ТС РБ, РК, РФ установлено, что с 01.01.2010 вступили в силу: Протокол о предоставлении тарифн...
6744. Преференции развивающимся и наименее развитым странам 25.31 KB
  Преференции развивающимся и наименее развитым странам. В целях содействия экономическому развитию развивающихся и наименее развитых стран в рамках таможенного союза применяется Единая система тарифных преференций. Статьей 7 Соглашения о едином тамож...
6745. Сущность и основные виды нетарифных ограничений 29.44 KB
  Сущность и основные виды нетарифных ограничений. Заметно ускорившаяся после 2-й Мировой войны международная экономическая интеграция способствовала существенной легализации внешней торговли, однако на ряду со снижением тарифных барьеров в последнее ...
6746. Порядок применения в Таможенном союзе количественных ограничений 29.69 KB
  Порядок применения в Таможенном союзе количественных ограничений. В соответствии с соглашением О единых мерах нетарифного регулирования в отношении третьих стран количественные ограничения экспорта (импорта) представляют собой меры по количественн...
6747. Лицензирование во внешнеторговой сфере Таможенного союза 28.91 KB
  Лицензирование во внешнеторговой сфере Таможенного союза. В рамках Таможенного союза применение мер регулирования, затрагивающих внешнюю торговлю товарами, включенными в единый перечень, а также применение тарифной квоты реализуются, как правило, пу...
6748. Порядок и условия применения тарифных квот в Таможенном союзе 26.25 KB
  Порядок и условия применения тарифных квот в Таможенном союзе. В соответствии с Соглашением об условиях и механизме применения тарифных квот от 12 декабря 2008 г. при осуществлении регулирования ввоза на единую таможенную территорию сельскохозяйстве...
6749. Другие виды нетарифного регулирования (наблюдение за экспортом/импортом, исключительное право на экспорт/импорт, особые виды запретов и ограничений во внешней торговле товарами) 27.69 KB
  Другие виды нетарифного регулирования (наблюдение за экспортом/импортом, исключительное право на экспорт/импорт, особые виды запретов и ограничений во внешней торговле товарами). Наряду с квотированием и лицензированием Соглашением о единых мерах не...
6750. Клеточные основы наследственности человека 29.41 KB
  Клеточные основы наследственности человека Клетка - основная единица биологической активности. Первое описание клеток было сделано в 1665 году англичанином Р.Гуком. В зависимости от структурных особенностей клетки делятся на прокариотическ...
6751. Жизненный (клеточный) цикл 26.07 KB
  Жизненный (клеточный) цикл Весь период существования клетки от её возникновения до деления или гибели называется жизненным, или клеточным циклом. Вновь появившаяся клетка первоначально растет и дифференцируется, затем она выполняет свои специфически...