97006

Компьютерное моделирование элементов электрических цепей. Расчет параметров емкости

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Математическое моделирование технического объекта. Понятие математической модели, свойства и классификация. Численные методы в математическом моделировании. Система MathCad, основные функции. Алгоритмический анализ задачи. Полная постановка задачи. Описание математической модели. Анализ исходных и результирующих данных.

Русский

2015-10-13

2.06 MB

0 чел.

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

Гомельский государственный технический университет

им. П.О. Сухого

Факультет Электроснабжение (по отраслям)

Кафедра “Информационные технологии”

РАСЧЕТНО-ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе

по дисциплине «Информатика»

На тему: «Компьютерное моделирование элементов электрических цепей. Расчет параметров емкости»

Исполнитель:     студент гр. ЗЭ-13с

   С.Г. Кривенко

Руководитель:      доцент                                      

Дата проверки:               _____________________

Дата допуска к защите: _____________________

Дата защиты:                  _____________________

Оценка работы:  _____________________

Подписи членов комиссии

по защите курсовой работы: ______________________________

Гомель 2004


Содержание

Введение………………………………………………………………………3

 

1 Математическое моделирование технического объекта………………..4

1.1 Понятие математической модели, свойства и классификация………..5

1.2 Численные методы в математическом моделировании……………….6

1.3 Система MathCad, основные функции………………………………….8

2 Алгоритмический анализ задачи…………………………………………...9

    

2.1 Полная постановка задачи………………………………………………9

2.2 Описание  математической модели……………………………………..9

2.3  Анализ исходных и результирующих данных………………………10

2.4  Графическая схема алгоритма и ее описание………………………...11

3 Описание реализации задачи в MathCad………………………………….12

3.1 Описание реализации базовой модели………………………………….12


Введение

Персональная ЭВМ давно превратилась в предмет труда. Ни одно предприятие не обходится без электронной базы данных, без современных средств коммуникаций, мощных вычислительных средств. Он позволяет осуществлять не только производственный процесс на дому, но и целый ряд всевозможных процессов.

Огромный вклад в этот рост внесло развитие технологии математического моделирование.

Моделирование это изучение объекта путем построения и исследования его модели, осуществляемое с определенной целью и состоит, в замене эксперимента с оригиналом экспериментом на модели.

Модель должна строиться так, чтобы она наиболее полно воспроизводила те качества объекта, которые необходимо изучить в соответствии с поставленной целью. Во всех отношениях модель должна быть проще объекта и удобнее его для изучения. таким образом, для одного и того же объекта могут существовать различные модели, классы моделей, соответствующие различным целям его изучения.

Абстрактное моделирование связано с построением абстрактной модели. Такая модель представляет собой математические соотношения, графы, схемы, диаграммы и т.п. Наиболее мощным и универсальным методом абстрактного моделирования является математическое моделирование. Оно широко используется как в научных исследованиях, так и при проектировании.

Математических моделей позволяет осуществить предварительный выбор оптимальных или близких к ним вариантов решений по определенным критериям. Они научно обоснованы, и лицо, принимающее решение, может руководствоваться ими при выборе окончательного решения. Следует понимать, что не существует решений, оптимальных "вообще". Любое решение, полученное при расчете математической модели, оптимально по одному или нескольким критериям, предложенным постановщиком задачи и исследователем.


1 Математическое моделирование технического объекта

1.1 Понятие математической модели, свойства и классификация

1.1.1 Модель – это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта.

Математическая модель – это совокупность математических объектов и отношений между ними, адекватно отображающая физические свойства технического объекта.

На различных этапах и стадиях проектирования сложной технической системы используют различные математические модели. Математические модели могут представлять собой системы дифференциальных уравнений, системы алгебраических уравнений, простые алгебраические выражения, бинарные отношения, матрицы и так далее. Уравнение математической модели связывают физические величины.

К математическим моделям предъявляются требования адекватности, экономичности, универсальности. Модель считается адекватной, если отражаются исследуемые свойства с приемлемой точностью.

Математические модели технических объектов, используемые при проектировании, предназначены для анализа процессов функционирования объектов и оценки их выходных параметров. Они должны отражать физические свойства объектов, существенные для решения конкретных задач проектирования. При этом математическая модель должна быть как можно проще, но в то же время обеспечивать адекватное описание анализируемого процесса.

Используют следующие виды математических моделей: детерминированные и вероятностные, теоретические и экспериментальные факторные, линейные и не линейные, динамические и статистические, непрерывные и дискретные, функциональные и структурные.

По форме представления математических моделей различают:

         1. Инвариантная модель – математическая модель представляющаяся системой уравнений (дифференциальных, алгебраических), вне свези с методом решения этих уравнений.

        2. Алгебраическая модель – соотношение моделей связаны с выбранным численным методом решения и записаны в виде алгоритма (последовательности вычислений).

        3. Аналитическая модель – представляет собой явные зависимости искомых переменных от заданных величин.

Такие модели получают на основе физических законов, либо в результате прямого интегрирования исходных дифференциальных уравнений, используя табличные интегралы. К ним относятся также регрессионные модели, получаемые на основе результатов эксперимента.

 4. Графическая модель – представляется в виде графиков, эквивалентных схем, динамических моделей, диаграмм и тому подобное. Для использования графических моделей должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической и компонентов инвариантной математической модели.

Математические модели могут представлять собой функциональные зависимости между выходными, внутренними и внешними параметрами.

Деление математических моделей на функциональные и структурные определяется характером отображаемых свойств технического объекта.

Структурные модели отображают только структуру объектов и используются при решении задач структурного синтеза. Параметрами структурных моделей являются признаки функциональных или конструктивных элементов, из которых состоит технический объект и по которым один вариант структуры объекта отличается от другого. Такие модели имеют форму таблиц, матриц и графиков. Они наиболее широко используются на метоуровне при выборе технического объекта.

Функциональные модели описывают процессы функционирования технических объектов и имеют форму систем уравнений. Их широко используют на всех иерархических уровнях, стадиях и этапах при функциональном, конструкторском и технологическом проектировании.

По способам получения функциональные математические модели делятся на:

1.Теоретические модели – получают на основе описания физических процессов функционирования объекта.

2. Экспериментальные модели – получают на основе поведения объекта во внешней среде, рассматривая его как кибернетический "черный ящик".

При построении теоретических моделей используют физический и формальный подходы. Физический подход сводится к непосредственному применению физических законов для описания объектов. Формальный подход используется при построении как теоретические, так и экспериментальные модели.

Функциональные математические модели могут быть:

1. Линейные модели, содержащие только линейные функции фазовых переменных и их производных.

2. Нелинейные математические модели, включающие в себя нелинейные функции фазовых переменных и их производных.

Если при моделировании учитывается инерциальные свойства технического объекта и (или) изменение во времени параметров объекта или внешней среды, то модель называют динамической. В противном случае модель статическая. Выбор динамической или статической модели определяется режимом работы технического объекта.    

Математическое представление динамической модели, в общем случаи может быть выражено системой дифференциальных уравнений, а статической – системой алгебраических уравнений. Динамическая модель может также представлять собой интегральные уравнения, придаточные функции, а в аналитической форме – явные зависимости фазовых координат или выходных параметров технического объекта от времени.

1.2 Численные методы в математическом моделировании

1.2.1  Введение. Натурный и вычислительный эксперимент в радиофизике и электронике. Особенности постановки задач и этапы их решения. Взаимосвязь математического моделирования, автоматизации научных исследований и проектирования. Алгоритмы как форма и средство представления результатов научных исследований. Методы вычислений и программирование. Использование стандартного математического обеспечения в вычислительном эксперименте.

1.2.2 Решение трансцендентных уравнений и систем. Задачи, приводящие к трансцендентным уравнениям. Отделение и уточнение корней. Итерационные методы. Порядок сходимости. Оценки погрешностей решения. Графический метод. Метод дихотомии. Метод хорд. Метод простых итераций. Процесс Эйткена. Метод Ньютона. Метод секущих. Метод парабол. "Разболтка" счета в окрестности корня. Решение уравнений и систем в комплексной области параметров. Применение методов в задачах теории колебаний и электродинамики СВЧ.

1.2.3 Задачи линейной алгебры. Алгоритм Гаусса с выбором главного элемента для решения систем линейных алгебраических уравнений и вычисления определителей. . Метод простых итераций и метод Зейделя. Анализ радиотехнических цепей и разработка систем автоматизированного проектирования с применением алгоритмов линейной алгебры. Обращение матриц. Решение полной проблемы собственных значений. Прямые методы решения задач электродинамики.

1.2.4 Аппроксимация функциональных зависимостей. Интерполяция. Обработка экспериментальных данных. Лагранжева интерполяция. Экстраполяция. Полиномиальная интерполяция. Единственность интерполяционного полинома. Интерполяционные полиномы: канонический, Лагранжа и Ньютона. Разделенные разности. Схема Горнера. Априорная и апостериорная оценки погрешностей интерполяции. Применения интерполяции: обработка экспериментальных данных, построение эмпирических зависимостей, аппроксимация функциональных зависимостей и характеристик электронных приборов, субтабулирование, контроль таблиц, дифференцирование и интегрирование, решение дифференциальных и трансцендентных уравнений. Обратная интерполяция и ее применение. Сходимость итнтерполяционных процессов. Явление волнистости. Нелинейная интерполяция. Метод выравнивания и его применение при обработке экспериментальных данных. Метод наименьших квадратов(МНК). Приближение функций отрезком обобщенного ряда Фурье. Приближение функций по Чебышеву. Ортогональные полиномы непрерывной и дискретной переменной. Сплайны: теория и применения в науке и технике. Граничные условия при построении сплайнов. Метод прогонки для вычисления коэффициентов сплайнов.

1.2.5 Численное дифференцирование. Производные и разделенные разности. Формулы для производных в равноотстоящих узлах. Погрешность численного дифференцирования. Вычисление производных с помощью программ интерполяции и аппроксимации МНК.

1.2.6 Численное интегрирование. Алгоритмы и формулы Ньютона-Котеса. Методы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Априорные и апостериорные оценки погрешностей интегрирования. Формулы Рунге-Ромберга и Эйткена. Методы наивысшей алгебраической точности. Вычисление несобственных интегралов. Вычисление кратных интегралов: метод последовательного интегрирования, метод ячеек, методы Монте-Карло.

1.2.7 Задачи для обыкновенных дифференциальных равнений (ОДУ). Типы задач. Математические модели физических процессов, приводящие к ОДУ. Задача Коши. Метод рядов Тейлора. Явные и неявные методы Эйлера. Устойчивость интегрирования ОДУ. Жесткие уравнения. Методы Рунге-Кутты второго и четвертого порядков. Схема Бутчера для алгоритмов Рунге-Кутты. Вложенные схемы Дормана-Принса. Методы прогноза и коррекции. Многоточечные методы. Погрешность решений. Расчет переходных процессов в нелинейных и параметрических цепях. Краевые задачи: методы стрельбы и конечных разностей. Задачи на собственные значения. Особенности формулировки и решения электродинамических задач.

1.2.8 Дифференциальные уравнения в частных производных. Метод конечных разностей для уравнений Лапласа и Пуассона. Метод крупных частиц. Моделирование полупроводниковых приборов. Методы Галеркина-Ритца. Методы конечных элементов для двумерных задач. Методы граничных элементов.

1.2.9 Задачи оптимизации. Одномерная оптимизация. Методы Фибоначчи, золотого сечения и дихотомии. Оптимизация многомерных функций. Методы координатного и градиентного спусков. Наискорейший спуск. Оптимизация овражных функций. Решение систем нелинейных уравнений с помощью методов оптимизации. - 2 часа

1.2.10 Интегральные уравнения. Корректность постановки задач. Типы уравнений. Разностный метод. Метод последовательных приближений. Метод моментов. Особенности решения некорректных задач. - 2 часа

1.2.11 Перспективы применения методов вычислительной математики в радиофизических исследованиях.

-Таблично-графический метод. Методы дихотомии и Монте-Карло.

-Методы Ньютона, секущих и хорд. Задача о нелинейной электрической цепи ).

-Методы простых итераций и парабол. Применение в задачах теории колебаний.

-Решение СЛАУ. Применение для анализа линейных цепей.

-Интерполяция зависимостей и численное дифференцирование.

-Сплайновая интерполяция.

-Метод наименьших квадратов со степенными базисами.

-МНК на основе ортогональных дискретных полиномов.

-Вычисление специальных функций методами средних прямоугольников и трапеций.

-Метод Симпсона и оценка погрешностей по Рунге и Эйткену.

-Методы Рунге-Кутты. Уравнения второго порядка для специальных функций.

1.3 Система MathCad, основные функции

1.3.1 Встроенные функции системы. MathCAD содержит более двухсот встроенных функций. Все они разбиты на группы. Для вставки стандартной функции необходимо на панели инструментов щелкнуть по кнопке f(x)- вставить функцию. Раскроется новое окно, в котором в левом списке будут представлены группы функции, а в правом – сами функции. Необходимо выбрать из списка нужную функцию и щелкнуть по кнопке "вставить"- Insert.

Основные встроенные функции:

1. тригонометрические функции [sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), csc(x)];

2. гиперболические [sinh(x), cosh(x), tanh(x), coth(x), csch(x), sech(x)];

3. обратные тригонометрические [asin(x), acos(x), atan(x) и т.д.];

4. обратные гиперболические [asinh(x), acosh(x) и т.д.];

5. показательные и логарифмические[exp(x), ln(x), log(x), ].

1.3.2 Функции пользователя в MathCAD. Пользовательские функции применяются если одно и то же выражение должно быть рассчитано несколько раз для разных наборов исходных данных. Формат записи функции пользователя:

<ИФ>(<СП>):=<Выражение>,

где:

-<ИФ> - имя функции (задается как любой идентификатор разрешенный системой);

-(<СП >) - список параметров (в скобках через запятую указывается список функции);

-<Выражение> - содержит доступные системе операторы и функции с аргументом указанным в списке параметров.

Mathcad содержит сотни операторов и встроенных функций для решения различных технических задач. Программа позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции с скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие.

1.3.3 Среди возможностей Mathcad можно выделить:

-Решение дифференциальных уравнений, в том числе и численными методами;

-Построение двумерных и трёхмерных графиков функций (в разных системах координат, контурные, векторные и т. д.);

-Использование греческого алфавита как в уравнениях, так и в тексте;

-Выполнение вычислений в символьном режиме;

-Выполнение операций с векторами и матрицами;

-Символьное решение систем уравнений;

-Аппроксимация кривых;

-Выполнение подпрограмм;

-Поиск корней многочленов и функций;

-Проведение статистических расчётов и работа с распределением вероятностей;

-Поиск собственных чисел и векторов;

-Вычисления с единицами измерения;

-Интеграция с САПР системами, использование результатов вычислений в качестве управляющих параметров;

С помощью Mathcad инженеры могут документировать все вычисления в процессе их проведения.

2 Алгоритмический анализ задачи

    

2.1 Полная постановка задачи

         1.  Составить математическую модель определение расстояния между пластинами ( а=0,004, b=0.006, e1=3.7, c=6.5) в соответствии с вариантом.

    2. При  помощи  решения уравнения численным методом  проверить     результаты расчётов предыдущего пункта.

    3. Построить   графическую интерпретацию результатов расчетов. Сравнить полученное значение с рассчитанных в предыдущих 2 пунктах.  

    4. Исследовать влияние заданного параметра на изменение расстояния между пластинами.

    5. Подобрать аппроксимирующую зависимость. Построить график исходной и аппроксимирующей функции на одном поле.

2.2 Описание  математической модели

Рисунок 1. Схема простейшего конденсатора

Электрическая емкость двух параллельных пластин прямоугольной формы определяется по формуле:

     (1)

Где:

a,b - размеры пластин;

e1- относительна диэлектрическая проницаемость среды;

e0 – 8.85*10-12

d— расстояние между пластинами;

c — емкость;

2.3  Анализ исходных и результирующих данных

Можно еще раз отметить, что исходное уравнение вида:

,

где ak и bk — замена выражений

Для дальнейшего раскрытия требуется определения расстояния между пластинами (d). Этот параметр будет зависеть от начальных условий:

a,b - размеры пластин;

e1- относительна диэлектрическая проницаемость среды;

e0 – 8.85*10-12

c — емкость;

Результатом   исследования   влияния   заданного   параметра   должен   быть  сводный  график  зависимости полученных значений от заданного параметра (полученный из уравнения  по точкам и  обработанный аппроксимацией ).  

2.4  Графическая схема алгоритма и ее описание

На данной графической схеме (рисунок 2) представлено краткое описание решения задачи в системе MathCAD. Первым пунктом графической схемы является ввод исходных данных:

a,b - размеры пластин;

e1- относительна диэлектрическая проницаемость среды;

e0 - 8.85*10-12

c - емкость;

п – 3,14 постоянная

Далее записываем уравнение электрической емкости. Потом рассчитаем расстояние между пластинами численным методом.

Следующим  является решение уравнения при помощи численного метода и при заданных начальных условиях. Строим графическую интерпретацию результатов расчетов. Сравниваем полученное значение с рассчитанным в предыдущем пункте.   

Изменяя величину размера пластины (а) проводим 7 опытов. После проведения опытов строим сводный график зависимости полученных значений зазора d от варьируемого параметра.

   Построив сводный график, необходимо подобрать аппроксимирующую функцию.

    Последним пунктом данной графической схемы является построение графика аппроксимирующей зависимости.

    Графическая схема решения данной задачи численным методом приведена ниже.

Рисунок 2 – Графическая схема решения алгоритма численным методом

3 Описание реализации задачи в MathCad

3.1 Описание реализации базовой модели

3.1.1 Ввёл начальные значения через базовый оператор ″:= – оператор локального присваивания″.

a:=0.004 м – размер первой пластины;

b:=0.006 м – размер второй пластины;

e0:=8,85*10-12 

e1:=3.7 – относительная диэлектрическая проицаемость среды;

с:=6,5*10-12 – электрическая емкость;

п:=3,14 – постоянная;

Выполнил замену выражений для упрощения расчетов.

   

Заменим:

Решим уравнение, через функцию root зададим начальное приближение d:=1

Решение уравнения:

,

d:=1

root(f(d),d)

Аргументы функции root:

 F(d) – функция;

d – искомое значение;

Функция root реализует алгоритм поиска корня численным методом и требует предварительного задания начального приближения искомой переменной х — решает уравнение, удовлетворяющее начальным условиям.

 Для решения системы этим методом необходимо выполнить следующее:

a) задать начальное приближение для всех известных, входящих в систему уравнений;

б) задать начальное приближение для неизвестного.

в) ввести уравнения и неравенства в любом порядке

г) ввести любое выражение, которое включает функцию root

Далее строим график зависимости f(d). MathCAD позволяет обрабатывать различные виды графической информации. Возможности системы по работе с графикой таковы:

-построение двумерных графиков в декартовой и полярной системах координат,

-построение трехмерных поверхностных графиков,

-внесение рисунков, созданных другими компьютерными системами;

-создание анимационных клипов.

Соответственно, графические области делятся на четыре основных типа – область двумерных графиков, трехмерных графиков, область внешних графических объектов и область анимации.

 Перечень возможных типов графиков приведен в основном меню InsertGraph.

При построении двумерных графиков после нажатия соответствующей кнопки на панели графических инструментов появляется шаблон вида:

Функция

   Аргумент

Рисунок 3 – график зависимости f(d) от d.

Проверка результатов будем проводить при помощи численного метода- метод хорд:

Рисунок 4 – графическая интерпретация результатов расчётов.

  1.   Исследование влияния варьируемого параметра

Опишем алгоритм проведения исследований:

решение алгебраического уравнения для 6 значений варьируемого параметра L от 1.5 до 4.5, равномерно распределенных по интервалу. Рассчитываем значение размера R двумя способами: при помощи функции root и численным методом;

  •  представление результатов расчетов в векторном виде: параметра L в виде вектора L_vec; радиуса R – в виде вектора R_vec (рисунок 3.2);
  •  построение сводного графика зависимости радиуса R от варьируемого параметра L (рисунок 3.3);
  •  аппроксимация экспериментальных значений R при помощи функций заданного вида (2.4)- (2.6). Аппроксимация производится посредством линейной функции аппроксимации общего вида linfit, встроенной в MathCAD. Полученные результаты приведены в таблице 3.1;
  •  для функции регрессии каждого вида рассчитываем остаточную сумму квадратов отклонения от экспериментальных значений RSS. Результаты приведены в таблице 3.1;
  •  на основании величины RSS выбираем функцию, которая наилучшим образом аппроксимирует экспериментальные данные.  

Рисунок 3.2 – Численные значения варьируемого параметра L и размера R, соответствующие заданной емкости C0

Рисунок 3.3 – Сводный график зависимости размера R от варьируемого параметра

Таблица 3.1 – Результаты аппроксимации

Аппроксимирующая функция

Результат аппроксимации

Величина RSS

Ax2+Bx+C

-1984.6x2+28.6131x+0.0331

0.0000003472

Bx+C

18.2932x+0.0447

0.000014808

Ax3+Bx2+C

-1450063.5523x3+9607.8101x2+0.0543

0.00000724

Как видно из таблицы 3.1, наилучшим образом экспериментальные данные описывает функция F(x)= -1984.6x2+28.6131x+0.0331, для которой величина RSS имеет наименьшее значение.

Сводный график зависимости размера R от варьируемого параметра и аппроксимирующая эту зависимость функция показана на рисунке 3.4

Рисунок 3.4 – Сводный график зависимости и аппроксимирующая функция

  1.  Выводы по проведенным исследованиям

Различными способами найдена величина радиуса R, соответствующая заданной емкости  плоских дисков линии. Эта величина составила R = 0.059 м. Выполнена графическая интерпретация результатов.

Выполнены исследования зависимости размера R от варьированного параметра L. Для заданного диапазона изменения параметра рассчитаны соответствующие величины R. Полученный результат представлен в численном и графическом виде.

Для полученных экспериментальных значений R выполнена аппроксимация регрессионными функциями заданного вида. Для каждой из этих функций найдена остаточная сумма квадратов отклонения от экспериментальных значений, на основании чего сделан вывод, что наилучшим способом полученные данные описывает функция F(x)= -1984.6x2+28.6131x+0.0331. График аппроксимирующей функции построен на сводном графике зависимости размера R от параметра L.

Поскольку остаточная сумма квадратов отклонения функции регрессии от экспериментальных значений практически равно нулю, сделан вывод о хорошей степени соответствия подобранной функции и экспериментальных данных.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В курсовой работе изучены и приведены теоретические вопросы, связанные с математическим моделированием, численным решением алгебраических уравнений и аппроксимации экспериментальных данных. Описаны средства пакета символьных вычислений MathCAD, предоставляемые для реализации математических моделей.

Во второй главе выполнена постановка задачи, приведена математическая модель, описывающая параметры элемента электрической цепи. На основании математической модели разработан алгоритм ее реализации в пакете MathCAD и алгоритм исследования модели при различных значениях варьируемого параметра.

В третьей главе описана реализация модели и ее исследования в системе MathCAD. Приведены полученные численные результаты и графические зависимости. На основании проведенных исследований сделаны общие выводы и приведены полученные численные значения.

Поставленные задачи в курсовой работе решены в полном объеме.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1  Волков Е.А. Численные методы: Учебное пособие для ВУЗов. – М.:Наука, 1987. – 346 с.

  1.  Бородич Л.И., Герасимович А.И. Справочное пособие по приближенным методам решения задач высшей математики. – М.: Высшая школа, 1986. – 194 с.
  2.  Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учебное пособие для ВУЗов, - М.: Наука, 1989. – 390 с.
  3.  Плис А.И. Сливина Н.А. MathCAD 14: Математический практикум. – М.: Наука, 2008. – 682 с.
  4.  Информатика: Практическое руководство к курсовому проектированию по одноименному курсу для студентов технических специальностей дневной и заочной форм обучения - Гомель: ГГТУ им. П.О. Сухого, 2005. – 32 с.

Приложение А - Базовая модель

Задаем значение системной переменной среды MathCad

Исходные данные:

- электрическая емкость, Ф

  - относительная диэлектрическая проницаемость, Ф/м

- относительная диэлектрическая проницаемость, Ф/м

-площадь первой пластины, м

 -площадь второй пластины, м

Задаем электрическую емкость как функцию от неизвестного параметра:

Найдем расстояние между пластинами D, удовлетворяющий требуемому значению C:

 - начальное приближение

     Найдем численное значение радиуса используя численный метод хорд.

Создаем пользовательскую функцию, реализующую метод. Входные параметры функции: a и b - начальное и конечное значения отрезка, на котором ищется корень уравнения y=0;  - точность расчетов. Функция возвращает корень уравнения y=0.

При помощи пользовательской функции находим численное значение расстояния

Выполним графическую интерпретацию полученного решения

   Поскольку результаты, полученные различными способами, совпали, следовательно, модель разработана верно.

Приложение Б - Исследования

Выполним исследование зависимости размера R от варьируемого параметра

Исследование производим для 6-7 значений, лежащих в заданном диапазоне. Для этого заданный диапазон разбиваем на отрезки

                                           - заданный диапазон

                                 - количество значений параметра в заданном диапазоне

                                                        - исследуемые значения варьируемого параметра

Составляем и решаем исходное уравнение для всех величин варьируемого параметра

Опыт 1

Значение параметра:   

Задаем искомую функцию:

Решение с помощью функции root:

Опыт 2

Значение параметра:  

Задаем искомую функцию:

Решение с помощью функции root:

Опыт 3

Значение параметра:   

Задаем искомую функцию:

Решение с помощью функции root:

Опыт 4

Значение параметра:    

Задаем искомую функцию:

Решение с помощью функции root:

Опыт 5

Значение параметра:  

Задаем искомую функцию:

Решение с помощью функции root:

Опыт 6

Значение параметра:    

Задаем искомую функцию:

Решение с помощью функции root:

Выполним построение графиков зависимости размера R от варьируемого параметра:

Задаем векторы исследуемых величин

м

Выполним аппроксимацию полученных значений линейной функцией регрессии общего вида f(x)=A*x^2+B*x+C и строим график

Задаем вектор функций линейной регрессии общего вида:  

Вектор, содержащий постоянные коэффициенты линейной комбинации функций

Задаем полученную функцию линейной регрессии общего вида:

Коэффициенты подобранной регрессионной зависимости:

        

На графике показываем результат аппроксимации:

Для сравнения с другими функциями регрессии найдем остаточную сумму квадратов отклонения регрессионной функции от экспериментальных значений:

         

Выполним аппроксимацию полученных значений линейной функцией регрессии общего вида f(x)=В*x+С и строим график

Задаем вектор функций линейной регрессии общего вида:       

Вектор, содержащий постоянные коэффициенты линейной комбинации функций:

Задаем полученную функцию линейной регрессии общего вида:

Коэффициенты подобранной регрессионной зависимости:

      

На графике показываем результат аппроксимации:

Остаточная сумма квадратов отклонения регрессионной функции от экспериментальных значений:

     

Выполним аппроксимацию полученных значений линейной функцией регрессии общего вида f(x)=A*x3+B*x2+C и строим график

Задаем вектор функций линейной регрессии общего вида:    

Вектор, содержащий постоянные коэффициенты линейной комбинации функций:

Задаем полученную функцию линейной регрессии общего вида:

Коэффициенты подобранной регрессионной зависимости:

           

На графике показываем результат аппроксимации:

Остаточная сумма квадратов отклонения регрессионной функции от экспериментальных значений:

       

Наилучшим образом полученные экспериментальные данные будет описывать та функция, для которой остаточная сумма квадратов отклонения RSS будет минимальной: f(x)=A*x^2+B*x+C.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50277. ФИЗИОЛОГИЯ БОЛИ 161.5 KB
  Соматическая: поверхностная (кожа) и глубокая (мышцы, суставы, связки, кости). Висцеральная – во внутренних органах (воспаление, деструкция, дискинезия, нарушение кровоснабжения); Проекционная (фантомная). Отраженная (зоны Захарьина-Геда)
50278. Промежуточный мозг 64.5 KB
  Анатомически промежуточный мозг (diencephalon) является отделом мозгового ствола. Однако, в отличие от среднего и продолговатого мозга, промежуточный мозг в эмбриогенезе формируется вместе с большими полушариями из переднего мозгового пузыря.
50279. ФИЗИОЛОГИЯ ЗРИТЕЛЬНОГО АНАЛИЗАТОРА 6.53 MB
  Определение ЗА: это сенсорная система, воспринимающая электромагнитные излучения с длинами волн видимого диапазона (400 – 760 нм) и формирующая световые ощущения.
50280. ОПЕРЕДЕЛЕНИЕ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ МЕТОДОМ ТАНГЕНС-ГАЛЬВАНОМЕТРА 130.5 KB
  Тангенс-гальванометр –- это прибор состоящий из короткой по длине катушки индуктивности радиуса R и подвижной магнитной стрелки вертикальная ось которой закреплена в геометрическом центре катушки рис. 4 Магнитное поле созданное током протекающим по виткам катушки тангенс-гальванометра направлено вдоль оси катушки и перпендикулярно плоскостям витков с током. 2 Величина напряженности магнитного поля в центре N круговых токов короткой катушки индуктивности может быть найдена по закону Био-Савара-Лапласа 3 где I –...
50281. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОГО ЗАРЯДА ЭЛЕКТРОНА 160 KB
  Величина удельного заряда может быть измерена различными методами. В данной работе используется «метод магнетрона», в котором используется отклонение магнитным полем электрона, движущегося ускоренно под действием электрического поля, перпендикулярного магнитному. На заряженную частицу, движущуюся со скоростью v в однородном (одинаковом во всех точках пространства) магнитном поле с индукцией В, действует сила Лоренца...
50282. Интерфейс программного комплекса Electronics Workbench 2.28 MB
  Интерфейс пользователя состоит из полоски выпадающего меню панели инструментов и рабочей области. Полоса выпадающего меню состоит из следующих компонент: 1. File меню работы с файлами 2. Edit меню редактирования 3.
50284. Создание и обработка баз данных о занятиях и преподавателях 553.5 KB
  Анализ задания на разработку базы данных. Формы для редактирования табличных данных. Microsoft ccess – это система управления базами данных СУБД.