97041

Дискретное преобразование Гильберта

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Во многих радиолокационных системах очень важной задачей является наиболее точное определение характеристик сигнала. Есть много различных методов решения этой задачи каждый со своими особенностями один из наиболее известных способов решения этой задачи завязан на определении спектра сигнала с помощью преобразования Фурье но в связи...

Русский

2015-10-13

276.5 KB

6 чел.

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана

(МГТУ им. Н.Э.Баумана)

Курсовая работа по теме

“Дискретное преобразование Гильберта”

по дисциплине “Радиотехнические цепи и сигналы”

Выполнил студент группы СМ5-52
Матюнин Дмитрий

Проверил Хохлов В.К.

Москва 2015

Содержание

Введение 3

Теоретическая часть 4

Практическая часть 9


Введение

Во многих радиолокационных системах очень важной задачей является наиболее точное определение характеристик сигнала. Есть много различных методов решения этой задачи (каждый со своими особенностями), один из наиболее известных способов решения этой задачи завязан на определении спектра сигнала с помощью преобразования Фурье, но в связи с тем, что радиолокационные системы являются системами реального времени, а преобразование Фурье требует довольно большое количество операций для его выполнения, то весьма затруднительно при затрачивании малого количество ресурсов (среди которых: габариты устройства, энерго- и тепло- потребление, масса, цена) выполнить быстродействующий детектор (работающий в режиме реального времени) , использующий преобразование Фурье. Поэтому приходится прибегать к упрощенном и квазиоптимальным алгоритмам определения параметров сигнала, с помощью которых можно будет реализовать такой детектор. Один из способов – это построить детектор, использующий преобразование Гильберта. В данной работе рассматривается мат. ожидания и дисперсии шума квантования до и после прохождения через фильтр Гильберта.


Теоретическая часть

Преобразование Гильберта для любого произвольного сигнала представляет собой идеальный широкополосный фазовращатель, который осуществляет поворот начальных фаз  всех частотных составляющих сигнала на угол, равный 90о (сдвиг на /2). Применение преобразования Гильберта позволяет выполнять квадратурную модуляцию сигналов, в каждой текущей координате модулированных сигналов производить определение огибающей и мгновенной фазы и частоты сигналов.

Прямое преобразование Гильберта произвольной действительной функции x(t),

-< t <, результат которого будем отображать со знаком тильды над индексом исходной функции, задается сверткой x(t) с функцией

, где TH сокращение от Transform Hilbert.

Функция  называется ядром преобразования Гильберта. Обратное преобразование Гильберта определяется выражением:

Преобразование Фурье от функции  :

, где TF сокращение от Transform Fourier. Фурье-образ функции :


Рисунок 1.1 – Исходный и преобразованный сигнал

Изменение спектра сигналов при выполнении преобразования Гильберта. На рисунке 1.2.1 приведено преобразование радиоимпульсного сигнала x(t) с несущей частотой fo в сигнал  во временной области непосредственно через операцию свертки с функцией  .  Сигнал x(t) является односторонним каузальным. Спектр сигнала содержит реальную и мнимую составляющие, т.е. может быть записан в виде . Эти составляющие для сигнала x(t)  показаны непрерывными кривыми на

рисунке 1.2.2.

Рисунок 1.2. – Спектральные составляющие сигнала x(t)

При выполнении преобразования   реальная и мнимая части спектра X(w) умножаются на -jsgn(w). Функция Re(X(w)) умножается на 1 при w<0, на 0 при w=0 и на –1 при w>0, и тем самым превращается в нечетную мнимую часть Im((w)) спектра (w) функции (t), показанную пунктиром. Это означает, что все косинусные гармоники сигнала, которым соответствует реальная часть спектра сигнала, превращаются в синусные гармоники.

Аналогично на функцию –j sgn(w) умножается и мнимая функция  j Im(X(w)), при этом сигнатурная функция инвертируется (-j j = 1), что меняет знак левой части функции Im(X(w)) – области отрицательных частот, и превращает ее в реальную четную часть  спектра . Синусные гармоники спектра сигнала превращаются в косинусные гармоники.

При выполнении преобразования гильберта фазовый спектр сигнала (t) (начальные фазовые углы всех гармонических составляющих сигнала) сдвигается на -90о при f > 0 и на 90о при f < 0 относительно фазового спектра сигнала x(t).

Свойства преобразования Гильберта:

Линейность.  ТН[ax(t)+by(t)] = a(t)+b(t) при любых постоянных значениях коэффициентов а и b для любых произвольных функций x(t) и y(t).

 Сдвиг.  ТН[x(t-a)] = (t-a).

 Преобразование константы, а в силу линейности преобразования, и постоянной составляющей сигнала, равно нулю. Это прямо следует из нечетности ядра преобразования Гильберта. Отсюда следует, что при преобразовании Гильберта из квадратурной составляющей исключается постоянная составляющая.

Свойство четности и нечетности определяется сдвигом всех гармоник сигнала на /2, при этом четные сигналы x(t) дают нечетные сигналы (t), и наоборот. Это действительно и для произвольных сигналов относительно их четных и нечетных частей.

Последовательное двойное преобразование Гильберта возвращает исходную функцию с обратным знаком ТН[ТН[x(t)]] = ТН[(t)] = -x(t). Это определяется тем, что при двойном преобразовании фазы всех гармоники сигнала сдвигаются на , что изменяет знак их гармоник. Однако в силу исключения из сигнала при первом преобразовании постоянной составляющей, при двойном преобразовании сигнал x(t) восстанавливается с исключенным средним значением по интервалу задания.

 Обратное преобразование Гильберта, по существу, это второе преобразование в последовательном двойном преобразовании Гильберта с изменением знака результата:

x(t) = ТH-1[(t)] = -= (t) * (-1/t).

Альтернативная форма вычисления x(t) из (t):

x(t) = TF-1[(j sgn(f)TF[(t)]].                               

 Подобие при изменении масштаба аргумента: ТН[x(at)] = (at).

 Энергетическая эквивалентность:

 x2(t) dt =2(t) dt.

Это следует из теоремы Парсеваля (энергия сигнала равна сумме энергии всех частотных составляющих сигнала) и равенства модулей спектров сигналов x(t) и (t) (энергия сигнала не зависит от его фазовочастотной характеристики).

 Свойство ортогональности:  

x(t)(t) dt = 0

Если все косинусные составляющие сигнала x(t) превращаются в ортогональные им синусные составляющие сигнала , а синусные – в ортогональные им косинусные, то и сигналы x(t) и  должны быть ортогональны.

 Свойство свертки:  

TH[x(t) * y(t)] = (t) * y(t) = x(t) * (t).

 Это вытекает из следующих соображений. Примем  z(t) = x(t) * y(t), при этом:

Z(f) = X(f)Y(f),    (f) = -j sgn(f)Z(f) = -j sgn(f) X(f)Y(f).

(f) = [-j sgn(f) X(f)]Y(f) = (t)Y(f) (t) * y(t).

(f) = X(f)[-j sgn(f) Y(f)] = X(f)(f) x(t) *(t).

 Отсутствие коммутативности с преобразованием Фурье:

TF[ТН[x(t)]] ТН[TF[x(t)]].

 Свойство модуляции: Модулирующие сигналы u(t), как правило, имеют ограниченный спектр, максимальные частоты которого   много меньше значения несущей частоты wo, при этом:

ТН[u(t)cos(wot)] = u(t)sin(wot).

Оператор дискретного преобразования Гильберта hb(kΔt) 1/πt на интервале от -Т до Т с шагом Δt можно получить обратным преобразованием Фурье частотной характеристики Hb(f) (выражение 1.3) в интервале от -fN до fN  (fN=1/2Δt). При Δt=1:

hb(kΔt) =Hb(f) exp(j2πfkΔt) df =j exp(j2πfkΔt) df -j exp(j2πfkΔt) df =

= [1/(2πkΔt)][1-exp(-jπkΔt)-exp(jπkΔt)+1] = [1/(πkΔt)][1-(exp(-jπkΔt)+exp(jπkΔt)/2] =

= [1/(πkΔt)](1-cos(πkΔt)) = [2/(πkΔt)] sin2(πkΔt/2).  (1.4)

hb(kΔt) = 2/(πkΔt),   k = 1, 3, 5, ... ,

hb(kΔt) = 0,              k = 0, 2, 4, ... .

Нетрудно убедиться, что коэффициент усиления постоянной составляющей оператора равен нулю.

В частотной области при выполнении преобразования Гильберта спектральных функций оператор свертки hb(kΔf)1/πf  не отличается от приведенного для временной области.


Практическая часть

Создадим шум квантования и пропустим его через фильтр Гильберта.

Рисунок 2.1 – Исходный шум квантования и шум квантования на выходе фильтра Гильберта

Построим гистограммы распределения для наглядности результата (количество отсчётов – 10^4):

 

Рисунок 2.2 – Гистограммы распределения

Построим аналогичные графики для квадрата шума квантования:

Рисунок 2.3 – Распределение квадрата шума квантования

Найдём дисперсию шумов по формуле:

,где Q – шаг квантования (0.5), получим D = 0.0208(3)

Для опыта, проведённого по 10^5 отсчётов посчитаем дисперсию как 2ой центральный момент:

Дисперсия исходного шума квантования = 0.0833

Дисперсия шума квантования на выходе фильтра Гильберта = 0.0787


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59617. Сценарій мистецького заходу. Тарас Шевченко — художник 71.5 KB
  Читець. Здібності до малювання виявилися в нього ще з дитинства. У спогадах родини Шевченка є немало свідчень про те, що настінне народне малювання, вишивки будили в нього пристрасть до створення власних малюнків.
59618. Урок-екскурсія. Тиждень лісу 46.5 KB
  Для учнів 3–-4х класів Тиждень лісу Збереження природи є надзвичайно актуальним сьогодні а ліс це одне з основних джерел чистого повітря і наш годувальник. Тому пропоную провести восени тиждень лісу включивши такі дні...
59619. Тренувальні вправи. Складні речення зі сполучниковим та безсполучниковим зв’язком. Кома між частинами складного речення 44.5 KB
  Мета: удосконалювати уміння та навички у визначенні граматичних основ у частинах складного речення правильному інтонуванні складних речень вживанні розділових знаків між частинами складних речень; розвивати логічне мислення увагу мовлення естетичні почуття...
59620. Узагальнення вивченого про речення 31.5 KB
  Чому цей текст має таку назву Скільки в ньому речень У якому з них думка виражена одним словом Що ви уявляєте коли читаєте це речення Спишіть перші два речення. Зробіть перший висновок що таке речення слово або група слів.
59621. Узагальнення вивченого про текст 36.5 KB
  Оголошення теми уроку Ми сьогодні узагальнимо те що знаємо про текст будемо вчитися складати тексти різних типів. Робота в парах з деформованим текстом. І тут з’являється Їжачок учитель показує іграшку і каже...
59623. Українсько-московський договір 1654 р. та його наслідки для України 75.5 KB
  Урок–-захист проектів: Українсько-московський договір 1654 року та його наслідки для Україниâ€.Розкрити внутрішнє й зовнішнє політичне становище Гетьманщини наприкінці 1653 року. Ознайомити учнів з подямиї 1654 року та їх наслідками для України.
59625. Утворення Української козацької держави – Гетьманщини 46 KB
  В програмі висунутій гетьманом геніально систематизовані ідеї старої княжої Київської Русі з новою ідеєю козацької держави Запорізької Січі. 2ий учень дослідник...