97041

Дискретное преобразование Гильберта

Курсовая

Информатика, кибернетика и программирование

Во многих радиолокационных системах очень важной задачей является наиболее точное определение характеристик сигнала. Есть много различных методов решения этой задачи каждый со своими особенностями один из наиболее известных способов решения этой задачи завязан на определении спектра сигнала с помощью преобразования Фурье но в связи...

Русский

2015-10-13

276.5 KB

11 чел.

Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана

(МГТУ им. Н.Э.Баумана)

Курсовая работа по теме

“Дискретное преобразование Гильберта”

по дисциплине “Радиотехнические цепи и сигналы”

Выполнил студент группы СМ5-52
Матюнин Дмитрий

Проверил Хохлов В.К.

Москва 2015

Содержание

Введение 3

Теоретическая часть 4

Практическая часть 9


Введение

Во многих радиолокационных системах очень важной задачей является наиболее точное определение характеристик сигнала. Есть много различных методов решения этой задачи (каждый со своими особенностями), один из наиболее известных способов решения этой задачи завязан на определении спектра сигнала с помощью преобразования Фурье, но в связи с тем, что радиолокационные системы являются системами реального времени, а преобразование Фурье требует довольно большое количество операций для его выполнения, то весьма затруднительно при затрачивании малого количество ресурсов (среди которых: габариты устройства, энерго- и тепло- потребление, масса, цена) выполнить быстродействующий детектор (работающий в режиме реального времени) , использующий преобразование Фурье. Поэтому приходится прибегать к упрощенном и квазиоптимальным алгоритмам определения параметров сигнала, с помощью которых можно будет реализовать такой детектор. Один из способов – это построить детектор, использующий преобразование Гильберта. В данной работе рассматривается мат. ожидания и дисперсии шума квантования до и после прохождения через фильтр Гильберта.


Теоретическая часть

Преобразование Гильберта для любого произвольного сигнала представляет собой идеальный широкополосный фазовращатель, который осуществляет поворот начальных фаз  всех частотных составляющих сигнала на угол, равный 90о (сдвиг на /2). Применение преобразования Гильберта позволяет выполнять квадратурную модуляцию сигналов, в каждой текущей координате модулированных сигналов производить определение огибающей и мгновенной фазы и частоты сигналов.

Прямое преобразование Гильберта произвольной действительной функции x(t),

-< t <, результат которого будем отображать со знаком тильды над индексом исходной функции, задается сверткой x(t) с функцией

, где TH сокращение от Transform Hilbert.

Функция  называется ядром преобразования Гильберта. Обратное преобразование Гильберта определяется выражением:

Преобразование Фурье от функции  :

, где TF сокращение от Transform Fourier. Фурье-образ функции :


Рисунок 1.1 – Исходный и преобразованный сигнал

Изменение спектра сигналов при выполнении преобразования Гильберта. На рисунке 1.2.1 приведено преобразование радиоимпульсного сигнала x(t) с несущей частотой fo в сигнал  во временной области непосредственно через операцию свертки с функцией  .  Сигнал x(t) является односторонним каузальным. Спектр сигнала содержит реальную и мнимую составляющие, т.е. может быть записан в виде . Эти составляющие для сигнала x(t)  показаны непрерывными кривыми на

рисунке 1.2.2.

Рисунок 1.2. – Спектральные составляющие сигнала x(t)

При выполнении преобразования   реальная и мнимая части спектра X(w) умножаются на -jsgn(w). Функция Re(X(w)) умножается на 1 при w<0, на 0 при w=0 и на –1 при w>0, и тем самым превращается в нечетную мнимую часть Im((w)) спектра (w) функции (t), показанную пунктиром. Это означает, что все косинусные гармоники сигнала, которым соответствует реальная часть спектра сигнала, превращаются в синусные гармоники.

Аналогично на функцию –j sgn(w) умножается и мнимая функция  j Im(X(w)), при этом сигнатурная функция инвертируется (-j j = 1), что меняет знак левой части функции Im(X(w)) – области отрицательных частот, и превращает ее в реальную четную часть  спектра . Синусные гармоники спектра сигнала превращаются в косинусные гармоники.

При выполнении преобразования гильберта фазовый спектр сигнала (t) (начальные фазовые углы всех гармонических составляющих сигнала) сдвигается на -90о при f > 0 и на 90о при f < 0 относительно фазового спектра сигнала x(t).

Свойства преобразования Гильберта:

Линейность.  ТН[ax(t)+by(t)] = a(t)+b(t) при любых постоянных значениях коэффициентов а и b для любых произвольных функций x(t) и y(t).

 Сдвиг.  ТН[x(t-a)] = (t-a).

 Преобразование константы, а в силу линейности преобразования, и постоянной составляющей сигнала, равно нулю. Это прямо следует из нечетности ядра преобразования Гильберта. Отсюда следует, что при преобразовании Гильберта из квадратурной составляющей исключается постоянная составляющая.

Свойство четности и нечетности определяется сдвигом всех гармоник сигнала на /2, при этом четные сигналы x(t) дают нечетные сигналы (t), и наоборот. Это действительно и для произвольных сигналов относительно их четных и нечетных частей.

Последовательное двойное преобразование Гильберта возвращает исходную функцию с обратным знаком ТН[ТН[x(t)]] = ТН[(t)] = -x(t). Это определяется тем, что при двойном преобразовании фазы всех гармоники сигнала сдвигаются на , что изменяет знак их гармоник. Однако в силу исключения из сигнала при первом преобразовании постоянной составляющей, при двойном преобразовании сигнал x(t) восстанавливается с исключенным средним значением по интервалу задания.

 Обратное преобразование Гильберта, по существу, это второе преобразование в последовательном двойном преобразовании Гильберта с изменением знака результата:

x(t) = ТH-1[(t)] = -= (t) * (-1/t).

Альтернативная форма вычисления x(t) из (t):

x(t) = TF-1[(j sgn(f)TF[(t)]].                               

 Подобие при изменении масштаба аргумента: ТН[x(at)] = (at).

 Энергетическая эквивалентность:

 x2(t) dt =2(t) dt.

Это следует из теоремы Парсеваля (энергия сигнала равна сумме энергии всех частотных составляющих сигнала) и равенства модулей спектров сигналов x(t) и (t) (энергия сигнала не зависит от его фазовочастотной характеристики).

 Свойство ортогональности:  

x(t)(t) dt = 0

Если все косинусные составляющие сигнала x(t) превращаются в ортогональные им синусные составляющие сигнала , а синусные – в ортогональные им косинусные, то и сигналы x(t) и  должны быть ортогональны.

 Свойство свертки:  

TH[x(t) * y(t)] = (t) * y(t) = x(t) * (t).

 Это вытекает из следующих соображений. Примем  z(t) = x(t) * y(t), при этом:

Z(f) = X(f)Y(f),    (f) = -j sgn(f)Z(f) = -j sgn(f) X(f)Y(f).

(f) = [-j sgn(f) X(f)]Y(f) = (t)Y(f) (t) * y(t).

(f) = X(f)[-j sgn(f) Y(f)] = X(f)(f) x(t) *(t).

 Отсутствие коммутативности с преобразованием Фурье:

TF[ТН[x(t)]] ТН[TF[x(t)]].

 Свойство модуляции: Модулирующие сигналы u(t), как правило, имеют ограниченный спектр, максимальные частоты которого   много меньше значения несущей частоты wo, при этом:

ТН[u(t)cos(wot)] = u(t)sin(wot).

Оператор дискретного преобразования Гильберта hb(kΔt) 1/πt на интервале от -Т до Т с шагом Δt можно получить обратным преобразованием Фурье частотной характеристики Hb(f) (выражение 1.3) в интервале от -fN до fN  (fN=1/2Δt). При Δt=1:

hb(kΔt) =Hb(f) exp(j2πfkΔt) df =j exp(j2πfkΔt) df -j exp(j2πfkΔt) df =

= [1/(2πkΔt)][1-exp(-jπkΔt)-exp(jπkΔt)+1] = [1/(πkΔt)][1-(exp(-jπkΔt)+exp(jπkΔt)/2] =

= [1/(πkΔt)](1-cos(πkΔt)) = [2/(πkΔt)] sin2(πkΔt/2).  (1.4)

hb(kΔt) = 2/(πkΔt),   k = 1, 3, 5, ... ,

hb(kΔt) = 0,              k = 0, 2, 4, ... .

Нетрудно убедиться, что коэффициент усиления постоянной составляющей оператора равен нулю.

В частотной области при выполнении преобразования Гильберта спектральных функций оператор свертки hb(kΔf)1/πf  не отличается от приведенного для временной области.


Практическая часть

Создадим шум квантования и пропустим его через фильтр Гильберта.

Рисунок 2.1 – Исходный шум квантования и шум квантования на выходе фильтра Гильберта

Построим гистограммы распределения для наглядности результата (количество отсчётов – 10^4):

 

Рисунок 2.2 – Гистограммы распределения

Построим аналогичные графики для квадрата шума квантования:

Рисунок 2.3 – Распределение квадрата шума квантования

Найдём дисперсию шумов по формуле:

,где Q – шаг квантования (0.5), получим D = 0.0208(3)

Для опыта, проведённого по 10^5 отсчётов посчитаем дисперсию как 2ой центральный момент:

Дисперсия исходного шума квантования = 0.0833

Дисперсия шума квантования на выходе фильтра Гильберта = 0.0787


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50112. Дослідження спектрального розподілу фотопровідності та пропускання напівпровідникових кристалів 229.5 KB
  Прилади і обладнання Монохроматор УМ2 джерело світла селеновий фотоелемент зразок напівпровідникового кристалу Опис установки Оптична схема експериментальної установки для дослідження спектрального розподілу фотопровідності пропускання та поглинання напівпровідникових матеріалів зібрана на базі монохроматора УМ2 рис.1 в окрему групу виділені основні елементи монохроматора. Світловий пучок що випромінюється джерелом світла 1 фокусується конденсорною лінзою 3 на вхідній щілині 6 монохроматора. Для одержання спектрального розподілу...
50114. Рух по діагоналі. Рух по колу. Команди та дії 83.5 KB
  Стройові вправи. Загальнорозвивальні вправи. Прикладні вправи. Стройові вправи.
50115. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАДИУСА КРИВИЗНЫ ЛИНЗЫ И ДЛИНЫ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ ПО КОЛЬЦАМ НЬЮТОНА 366.5 KB
  Закрепите ртутный фонарь высокого давления с двойным конденсором фокусное расстояние 60 мм держатель для линз с интерференционным фильтром устройство для получения колец Ньютона держатель для линз с линзой с фокусом 50 мм и полупрозрачный экран на расстоянии 40 см от линзы на оптической скамье. Затем в держатель для линзы вставьте желтый светофильтр. В экспериментальной установке значение радиуса кривизны плосковыпуклой линзы R = 121 м.
50117. Программирование задач с использованием операторов цикла (табуляции функции) 57.5 KB
  Цель: Получение практических навыков в использовании операторов цикла. Операторы цикла делятся на 3 вида: оператор с параметром с предусловием и с постусловием. Количество повторений цикла определяется начальным значением переменнойсчетчика и условием завершения цикла.
50118. Исследование влияния температуры на характеристики различных материалов и диодов 794 KB
  Существенное изменение сопротивления при изменении температуры обязательно должно учитываться при проектировании и эксплуатации различных электрических устройств и приборов электродвигатели конвейеры бурильные установки нагревательные устройства радиоэлектронные схемы и т. Единицей электрического сопротивления проводников служит Ом. Рассеяние приводящее к появлению сопротивления возникает в тех случаях когда в решётке имеются нарушения структуры. Поэтому любые микронеоднородности структуры препятствуют распространению электронных волн...
50119. Определение коэффициента термического расширения (линейного) твердого тела 141 KB
  Цель работы: 1 определить температуру металлической проволоки при протекании через нее электрического тока; 2 измерить удлинение проволоки при нагревании; 3 определить показатель коэффициента термического расширения. В данной работе экспериментально определяется коэффициент термического расширения твердого тела металлической проволоки. Из формулы [2] следует что для определения коэффициента необходимо знать начальную длину проволоки Lo изменение температуры dt и соответствующее изменение длины dL. Изменение длины проволоки можно...
50120. ИЗМЕРЕНИЕ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР С ПОМОЩЬЮ ПИРОМЕТРА С ИСЧЕЗАЮЩЕЙ НИТЬЮ 210 KB
  Тепловым излучением тел называется электромагнитное излучение возникающее за счет той части внутренней энергии тела которая связана с тепловым движением его частиц. Спектральная плотность энергетической светимости r λ Т энергия излучаемая единицей поверхности тела в единицу времени в единичном интервале длин волн dλ вблизи рассматриваемой длины волны λ. Эта величина зависит от температуры тела длины волны испускаемого света а также от природы и состояния поверхности излучающего тела.