97099

Ряды Фурье

Курсовая

Математика и математический анализ

Основные определения. Достаточные условия поточечной сходимости ряда Фурье. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Разложение в ряд Фурье общего вида. Разложение в ряд Фурье по косинусам. Разложение в ряд Фурье по синусам. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье общего вида. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье по косинусам.

Русский

2015-10-13

2.58 MB

5 чел.

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

Ряды Фурье

Выполнил:

Жбанов Илья Михайлович

3О-103С

Проверил: Мартюшова Я.Г.

ст.преподаватель каф.804

Москва

2015г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Основные определения_____________________________________3

2. Достаточные условия поточечной сходимости ряда Фурье_______4

3. Ряд Фурье для четных и нечетных функций____________________4

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Разложение в ряд Фурье общего вида_________________________6

2. Разложение в ряд Фурье по косинусам_______________________11

3. Разложение в ряд Фурье по синусам_________________________15

ПРИЛОЖЕНИЯ

1.Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье общего вида__19

2. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье по косинусам_25

3. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье по синусам___31

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ__________________________________37


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Основные определения

Пусть

Функциональный ряд ,  где

,

, n=0, 1,…

,

называется рядом Фурье функции f(x).

Обозначается

Функция y = f(x) называется кусочно-дифференцируемой на[a; b], если существует разбиение этого отрезка x0 = a < x1 < … < xn-1 < xn = b, такое что существуют                                                                                                                                                    и функции   принадлежат C1 [xi-1 ; xi] (то есть, имеют непрерывную производную на [xi-1 ; xi].


2. Достаточные условия поточечной сходимости ряда Фурье

Теорема Дирехле
       Если функция  
f определена на [a; b] и кусочно-дифференцируема на [a; b], то ряд Фурье функции f сходится в каждой точке x интервала (a; b) к значению ,  а в точках a и b – к значению  .

Если функция f – -периодическая и кусочно-дифференцируемая на промежутке длины периода, то ряд Фурье функции f сходится в любой точке x к значению  .

3. Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Лемма Римана
       Если

Для  

Если               , n=0, 1, …
,
,
n=1, 2,…
и

Если  нечетная, то
,
n=0, 1,…
,
,
n=1, 2,…
и


ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Постановка задания

Задание 1. Представить функцию рядом Фурье. Построить график суммы ряда. В MatLab построить графики частичных сумм ряда Фурье.

Задание 2. Разложить функцию в ряд Фурье по синусам кратных дуг. Построить график суммы ряда Фурье. В MatLab построить графики частичных сумм ряда Фурье.

Задание 3. Разложить функцию в ряд Фурье по косинусам кратных дуг. Построить график суммы ряда Фурье. В MatLab построить графики частичных сумм ряда Фурье.

Определим функцию по графику

1. Разложение в ряд Фурье общего вида

Рассмотрим функцию  


Доопределим функцию f1 на всю числовую прямую как -периодическую, где  на всю числовую прямую.


-периодическая, имеет на любом конечном промежутке конечное число точек разрыва первого рода, следовательно, ее можно представить рядом Фурье:

Так как при , то

 

 

 

  Функция f2 кусочно-дифференцируема, значит, существует конечная и непрерывная производная на каждом промежутке. Поэтому ряд Фурье сходится в любой точке числовой прямой.

 S(x) = f2(x) (x – точка непрерывности функции f2)

 (x – точка разрыва функции f2)



2. Разложение в ряд Фурье по косинусам

Рассмотрим функцию , то есть f1(x) – четная

Доопределим функцию f1 на всю числовую прямую как -периодическую, где


Так как f2 – четная, 2L - периодическая, имеет на любом конечном промежутке конечное число точек разрыва первого рода, следовательно, ее можно представить рядом Фурье:  

f2(x) = f(x), следовательно

Функция f2 кусочно-дифференцируема,  значит, существует конечная и непрерывная производная на каждом промежутке. Поэтому ряд Фурье сходится в любой точке числовой прямой.

 S(x) = f2(x) (x – точка непрерывности функции f2)

(x – точка разрыва функции f2)



3. Разложение в ряд Фурье по синусам

Рассмотрим функцию, то есть f1(x) – четная 

Доопределим функцию f1 на всю числовую прямую как -периодическую, где

Так как f2 – четная, 2L - периодическая, имеет на любом конечном промежутке конечное число точек разрыва первого рода, следовательно, ее можно представить рядом Фурье:  

f2(x) = f(x),, следовательно

 

Функция f2 кусочно-дифференцируема, значит, существует конечная и непрерывная производная на каждом промежутке. Поэтому ряд Фурье сходится в любой точке числовой прямой.

 S(x) = f2(x) (x – точка непрерывности функции f2)

(x – точка разрыва функции f2)


ПРИЛОЖЕНИЯ

1.Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье общего вида

N=1


N=2


N=3


N=5


N=10


N=50


2. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье по косинусам

N=1


N
=2


N
=3


N
=5


N
=10


N
=50


3. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье по синусам

N=1


N
=2


N
=3


N
=5


N
=10


N
=50


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Битюков Ю. И.

Лекции по математическому анализу

2. Зорич В. А.

Математический анализ (Часть 1)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81471. Незаменимые факторы питания липидной природы. Эссенциальные жирные кислоты: ω-3- и ω-6-кислоты как предшественники синтеза эйкозаноидов 125.89 KB
  Эссенциальные жирные кислоты: ω3 и ω6кислоты как предшественники синтеза эйкозаноидов. В эту группу входит комплекс полиненасыщенных жирных кислот которые принимают значительное участие в биологических процессах: линолевая кислота омега6 линоленовая кислота омега3 арахидоновая кислота омега6 эйкозапентаеновая кислота омега3 докозагексаеновая кислота омега3 Полиненасыщенные жирные кислоты препятствуют развитию атеросклероза и снижают уровень триглицеридов липопротеидов низкой плотности в крови холестерина и его...
81472. Биосинтез жирных кислот, регуляция метаболизма жирных кислот 192.83 KB
  Источником углерода для синтеза жирных кислот служит ацетилКоА образующийся при распаде глюкозы в абсорбтивном периоде. Образование ацетилКоА и его транспорт в цитозоль. Активный гликолиз и последующее окислительное декарбоксилирование пирувата способствуют увеличению концентрации ацетилКоА в матриксе митохондрий. Так как синтез жирных кислот происходит в цитозоле клеток то ацетилКоА должен быть транспортирован через внутреннюю мембрану митохондрий в цитозоль.
81473. Химизм реакций β-окисления жирных кислот, энергетический итог 170.76 KB
  βОкисление специфический путь катаболизма жирных кислот при котором от карбоксильного конца жирной кислоты последовательно отделяется по 2 атома углерода в виде ацетилКоА. Реакции βокисления и последующего окисления ацетилКоА в ЦТК служат одним из основных источников энергии для синтеза АТФ по механизму окислительного фосфорилирования. связаны макроэргической связью с коферментом А: RCOOH HSKo АТФ → RCO КоА АМФ PPi. Реакцию катализирует фермент ацилКоА синтетаза.
81474. Биосинтез и использование кетоновых тел в качестве источников энергии 127.33 KB
  В результате скорость образования ацетилКоА превышает способность ЦТК окислять его. АцетилКоА накапливается в митохондриях печени и используется для синтеза кетоновых тел. Синтез кетоновых тел начинается с взаимодействия двух молекул ацетилКоА которые под действием фермента тиолазы образуют ацетоацетилКоА. С ацетоацетилКоА взаимодействует третья молекула ацетилКоА образуя 3гидрокси3метилглутарилКоА ГМГКоА.
81475. Пищевые жиры и их переваривание. Всасывание продуктов переваривания. Нарушение переваривания и всасывания. Ресинтез триацилглицеринов в стенке кишечника 106.8 KB
  Переваривание жиров происходит в тонком кишечнике однако уже в желудке небольшая часть жиров гидролизуется под действием липазы языка . Однако вклад этой липазы в переваривание жиров у взрослых людей незначителен. Поэтому действию панкреатической липазы гидролизующей жиры предшествует эмульгирование жиров. Переваривание жиров гидролиз жиров панкреатической липазой.
81476. Образование хиломикронов и транспорт жиров. Роль апопротеинов в составе хиломикронов. Липопротеинлипаза 106.5 KB
  Липиды в водной среде а значит и в крови нерастворимы поэтому для транспорта липидов кровью в организме образуются комплексы липидов с белками липопротеины. ЛП хорошо растворимы в крови не коалесцируют так как имеют небольшой размер и отрицательный заряд на поверхности. В лимфе и крови с ЛПВП на ХМ переносятся апопротеины Е апоЕ и СП апоСП; ХМ превращаются в зрелые . ХМ имеют довольно большой размер поэтому после приёма жирной пищи они придают плазме крови опалесцирующий похожий на молоко вид.
81477. Биосинтез жиров в печени из углеводов. Структура и состав транспортных липопротеинов крови 153.12 KB
  В жировой ткани для синтеза жиров используются в основном жирные кислоты освободившиеся при гидролизе жиров ХМ и ЛПОНП. Молекулы жиров в адипоцитах объединяются в крупные жировые капли не содержащие воды и поэтому являются наиболее компактной формой хранения топливных молекул. В гладком ЭР гепатоцитов жирные кислоты активируются и сразу же используются для синтеза жиров взаимодействуя с глицерол3фосфатом.
81478. Депонирование и мобилизация жиров в жировой ткани. Регуляция синтеза и мобилизации жиров. Роль инсулина, глюкагона и адреналина 107.09 KB
  Регуляция синтеза и мобилизации жиров. Какой процесс будет преобладать в организме синтез жиров липогенез или их распад липолиз зависит от поступления пищи и физической активности. Регуляция синтеза жиров.
81479. Основные фосфолипиды и гликолипиды тканей человека (глицерофосфолипиды, сфингофосфолипиды, гликоглицеролипиды, гликосфиголипиды). Представление о биосинтезе и катаболизме этих соединений 264.19 KB
  Функции гликосфинголипидов можно суммировать следующим образом: Взаимодействие между: клетками; клетками и межклеточным матриксом; клетками и микробами. Церамид служит предшественником в синтезе большой группы сфинголипидов: сфингомиелинов не содержащих углеводов и гликосфинголипидов. В распаде сфингомиелинов участвуют 2 фермента сфингомиелиназа отщепляющая фосфорилхолин и церамидаза продуктами действия которой являются сфингозин и жирная кислота Катаболизм гликосфинголипидов. Катаболизм гликосфинголипидов начинается с перемещения их...