97099

Ряды Фурье

Курсовая

Математика и математический анализ

Основные определения. Достаточные условия поточечной сходимости ряда Фурье. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Разложение в ряд Фурье общего вида. Разложение в ряд Фурье по косинусам. Разложение в ряд Фурье по синусам. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье общего вида. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье по косинусам.

Русский

2015-10-13

2.58 MB

3 чел.

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

Ряды Фурье

Выполнил:

Жбанов Илья Михайлович

3О-103С

Проверил: Мартюшова Я.Г.

ст.преподаватель каф.804

Москва

2015г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Основные определения_____________________________________3

2. Достаточные условия поточечной сходимости ряда Фурье_______4

3. Ряд Фурье для четных и нечетных функций____________________4

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Разложение в ряд Фурье общего вида_________________________6

2. Разложение в ряд Фурье по косинусам_______________________11

3. Разложение в ряд Фурье по синусам_________________________15

ПРИЛОЖЕНИЯ

1.Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье общего вида__19

2. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье по косинусам_25

3. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье по синусам___31

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ__________________________________37


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Основные определения

Пусть

Функциональный ряд ,  где

,

, n=0, 1,…

,

называется рядом Фурье функции f(x).

Обозначается

Функция y = f(x) называется кусочно-дифференцируемой на[a; b], если существует разбиение этого отрезка x0 = a < x1 < … < xn-1 < xn = b, такое что существуют                                                                                                                                                    и функции   принадлежат C1 [xi-1 ; xi] (то есть, имеют непрерывную производную на [xi-1 ; xi].


2. Достаточные условия поточечной сходимости ряда Фурье

Теорема Дирехле
       Если функция  
f определена на [a; b] и кусочно-дифференцируема на [a; b], то ряд Фурье функции f сходится в каждой точке x интервала (a; b) к значению ,  а в точках a и b – к значению  .

Если функция f – -периодическая и кусочно-дифференцируемая на промежутке длины периода, то ряд Фурье функции f сходится в любой точке x к значению  .

3. Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Лемма Римана
       Если

Для  

Если               , n=0, 1, …
,
,
n=1, 2,…
и

Если  нечетная, то
,
n=0, 1,…
,
,
n=1, 2,…
и


ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Постановка задания

Задание 1. Представить функцию рядом Фурье. Построить график суммы ряда. В MatLab построить графики частичных сумм ряда Фурье.

Задание 2. Разложить функцию в ряд Фурье по синусам кратных дуг. Построить график суммы ряда Фурье. В MatLab построить графики частичных сумм ряда Фурье.

Задание 3. Разложить функцию в ряд Фурье по косинусам кратных дуг. Построить график суммы ряда Фурье. В MatLab построить графики частичных сумм ряда Фурье.

Определим функцию по графику

1. Разложение в ряд Фурье общего вида

Рассмотрим функцию  


Доопределим функцию f1 на всю числовую прямую как -периодическую, где  на всю числовую прямую.


-периодическая, имеет на любом конечном промежутке конечное число точек разрыва первого рода, следовательно, ее можно представить рядом Фурье:

Так как при , то

 

 

 

  Функция f2 кусочно-дифференцируема, значит, существует конечная и непрерывная производная на каждом промежутке. Поэтому ряд Фурье сходится в любой точке числовой прямой.

 S(x) = f2(x) (x – точка непрерывности функции f2)

 (x – точка разрыва функции f2)



2. Разложение в ряд Фурье по косинусам

Рассмотрим функцию , то есть f1(x) – четная

Доопределим функцию f1 на всю числовую прямую как -периодическую, где


Так как f2 – четная, 2L - периодическая, имеет на любом конечном промежутке конечное число точек разрыва первого рода, следовательно, ее можно представить рядом Фурье:  

f2(x) = f(x), следовательно

Функция f2 кусочно-дифференцируема,  значит, существует конечная и непрерывная производная на каждом промежутке. Поэтому ряд Фурье сходится в любой точке числовой прямой.

 S(x) = f2(x) (x – точка непрерывности функции f2)

(x – точка разрыва функции f2)



3. Разложение в ряд Фурье по синусам

Рассмотрим функцию, то есть f1(x) – четная 

Доопределим функцию f1 на всю числовую прямую как -периодическую, где

Так как f2 – четная, 2L - периодическая, имеет на любом конечном промежутке конечное число точек разрыва первого рода, следовательно, ее можно представить рядом Фурье:  

f2(x) = f(x),, следовательно

 

Функция f2 кусочно-дифференцируема, значит, существует конечная и непрерывная производная на каждом промежутке. Поэтому ряд Фурье сходится в любой точке числовой прямой.

 S(x) = f2(x) (x – точка непрерывности функции f2)

(x – точка разрыва функции f2)


ПРИЛОЖЕНИЯ

1.Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье общего вида

N=1


N=2


N=3


N=5


N=10


N=50


2. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье по косинусам

N=1


N
=2


N
=3


N
=5


N
=10


N
=50


3. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье по синусам

N=1


N
=2


N
=3


N
=5


N
=10


N
=50


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Битюков Ю. И.

Лекции по математическому анализу

2. Зорич В. А.

Математический анализ (Часть 1)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44451. ИЗОБРАЖЕНИЕ МУЖСКИХ И ЖЕНСКИХ ОБРАЗОВ В ПРОЗЕ НИНЫ САДУР 223.5 KB
  Нина Николаевна Садур – современная прозаик-драматург. Заявила о себе еще в начале 80-х годов ХХ века. В настоящее время Нина Садур – один из лидеров современного литературного процесса. Ее книги выходят в ведущих столичных издательствах, переводятся на иностранные языки, экранизируются, ставятся на сцене.
44452. Методы и способы совершенствования финансового положения ООО «Роза Ветров» 1.56 MB
  Теоретические основы анализа финансового состояния организации по данным бухгалтерской отчетности. Роль и значение анализа финансового состояния организации в современных условиях. Виды анализа финансового состояния организации .Особенности учета финансового состояния организации для целей диагностики.
44453. Автоматизация процесса проверки печей на технологическую точность 2.41 MB
  Завод был эвакуирован на Урал в город Верхняя Салда где в годы Великой Отечественной войны он полностью обеспечивал своей продукцией потребности авиации. Для этого применяются нагревательные термические и плавильные печи которые с установленной периодичностью подвергаются проверке на технологическую точность. Недогрев либо перегрев любой из рабочих зон печи приводит к нарушению технологического процесса. Для нагрева слитков и заготовок перед деформацией применяются газовые печи с атмосферой продуктов сгорания...
44454. Разработка информационного сетевого ресурса для организации тьюторской деятельности в учебно-воспитательном процессе школы 1.96 MB
  Технические требования к разработке сайта функциональные характеристики Реализация функциональности сайта Практическая цель дипломного проекта заключается в разработке и применении информационного сетевого ресурса сайта для организации и улучшения условий работы тьютора в средней общеобразовательной школе. В этом случае нами были разработаны технические требования для сайта лежащие в области задач тьютора и содержащие в своей основе особенности веб-разработки табл.
44455. Проектування металургійного міксера 2.85 MB
  Через необхідність застосовування міксерів існує необхідність підвищення рівня механізації допоміжного зварювального обладнання з метою зменшення трудомісткості їх виготовлення підвищення продуктивності складально-зварювальних операцій підвищення якості зварювання та техніки безпеки.
44456. Музей археології в м. Батурині 17.8 MB
  Бакалаврська робота присвячена проектуванню музею археології в м. Батурині. В процесі роботи узагальнені вітчизняний та закордонний досвід будівництва та експлуатації подібних споруд, визначені функціонально-технологічні фактори, що впливають на формування і розробку схеми взаємозв'язків приміщень , які входять у склад споруди, що досліджується
44457. Разработка АРМ менеджера по продаже туров в ООО «Мегаполис плюс» 1.93 MB
  Объектом исследования является процесс функционирования ООО Мегаполис плюс который после исследования формализуется и реализуется в виде автоматизированной информационной системы. Структура аппаратно-программного обеспечения предприятия Внедрение системы автоматизации туристической компании как и любое серьезное преобразование на предприятии является сложным и зачастую болезненным процессом. Тем не менее некоторые проблемы возникающие при внедрении системы автоматизации достаточно хорошо изучены формализованы и имеют эффективные...
44458. Психологическая совместимость и удовлетворенность браком 1.7 MB
  Психологическая совместимость и удовлетворенность браком. Проблема психологической совместимости и удовлетворенности браком теоретико-методологический подход. Психологическая совместимость супругов и ее влияние на удовлетворенность браком Понятие психологический пол и его влияние на степень психологической совместимости и удовлетворенности браком.
44459. Вещное право. Общие положения и виды 367 KB
  Виды Вещного права Право землепользования. Право хозяйственного ведения Право оперативного управления. Конституция нашей страны провозгласила Казахстан демократическим светским правовым и социальным государством высшими ценностями которого являются человек его жизнь права и свободы. Общепризнанно что основу демократии правового государства и развитого гражданского общества составляют материально и интеллектуально независимые...