97099

Ряды Фурье

Курсовая

Математика и математический анализ

Основные определения. Достаточные условия поточечной сходимости ряда Фурье. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Разложение в ряд Фурье общего вида. Разложение в ряд Фурье по косинусам. Разложение в ряд Фурье по синусам. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье общего вида. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье по косинусам.

Русский

2015-10-13

2.58 MB

5 чел.

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

Ряды Фурье

Выполнил:

Жбанов Илья Михайлович

3О-103С

Проверил: Мартюшова Я.Г.

ст.преподаватель каф.804

Москва

2015г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Основные определения_____________________________________3

2. Достаточные условия поточечной сходимости ряда Фурье_______4

3. Ряд Фурье для четных и нечетных функций____________________4

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Разложение в ряд Фурье общего вида_________________________6

2. Разложение в ряд Фурье по косинусам_______________________11

3. Разложение в ряд Фурье по синусам_________________________15

ПРИЛОЖЕНИЯ

1.Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье общего вида__19

2. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье по косинусам_25

3. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье по синусам___31

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ__________________________________37


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Основные определения

Пусть

Функциональный ряд ,  где

,

, n=0, 1,…

,

называется рядом Фурье функции f(x).

Обозначается

Функция y = f(x) называется кусочно-дифференцируемой на[a; b], если существует разбиение этого отрезка x0 = a < x1 < … < xn-1 < xn = b, такое что существуют                                                                                                                                                    и функции   принадлежат C1 [xi-1 ; xi] (то есть, имеют непрерывную производную на [xi-1 ; xi].


2. Достаточные условия поточечной сходимости ряда Фурье

Теорема Дирехле
       Если функция  
f определена на [a; b] и кусочно-дифференцируема на [a; b], то ряд Фурье функции f сходится в каждой точке x интервала (a; b) к значению ,  а в точках a и b – к значению  .

Если функция f – -периодическая и кусочно-дифференцируемая на промежутке длины периода, то ряд Фурье функции f сходится в любой точке x к значению  .

3. Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Лемма Римана
       Если

Для  

Если               , n=0, 1, …
,
,
n=1, 2,…
и

Если  нечетная, то
,
n=0, 1,…
,
,
n=1, 2,…
и


ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Постановка задания

Задание 1. Представить функцию рядом Фурье. Построить график суммы ряда. В MatLab построить графики частичных сумм ряда Фурье.

Задание 2. Разложить функцию в ряд Фурье по синусам кратных дуг. Построить график суммы ряда Фурье. В MatLab построить графики частичных сумм ряда Фурье.

Задание 3. Разложить функцию в ряд Фурье по косинусам кратных дуг. Построить график суммы ряда Фурье. В MatLab построить графики частичных сумм ряда Фурье.

Определим функцию по графику

1. Разложение в ряд Фурье общего вида

Рассмотрим функцию  


Доопределим функцию f1 на всю числовую прямую как -периодическую, где  на всю числовую прямую.


-периодическая, имеет на любом конечном промежутке конечное число точек разрыва первого рода, следовательно, ее можно представить рядом Фурье:

Так как при , то

 

 

 

  Функция f2 кусочно-дифференцируема, значит, существует конечная и непрерывная производная на каждом промежутке. Поэтому ряд Фурье сходится в любой точке числовой прямой.

 S(x) = f2(x) (x – точка непрерывности функции f2)

 (x – точка разрыва функции f2)



2. Разложение в ряд Фурье по косинусам

Рассмотрим функцию , то есть f1(x) – четная

Доопределим функцию f1 на всю числовую прямую как -периодическую, где


Так как f2 – четная, 2L - периодическая, имеет на любом конечном промежутке конечное число точек разрыва первого рода, следовательно, ее можно представить рядом Фурье:  

f2(x) = f(x), следовательно

Функция f2 кусочно-дифференцируема,  значит, существует конечная и непрерывная производная на каждом промежутке. Поэтому ряд Фурье сходится в любой точке числовой прямой.

 S(x) = f2(x) (x – точка непрерывности функции f2)

(x – точка разрыва функции f2)



3. Разложение в ряд Фурье по синусам

Рассмотрим функцию, то есть f1(x) – четная 

Доопределим функцию f1 на всю числовую прямую как -периодическую, где

Так как f2 – четная, 2L - периодическая, имеет на любом конечном промежутке конечное число точек разрыва первого рода, следовательно, ее можно представить рядом Фурье:  

f2(x) = f(x),, следовательно

 

Функция f2 кусочно-дифференцируема, значит, существует конечная и непрерывная производная на каждом промежутке. Поэтому ряд Фурье сходится в любой точке числовой прямой.

 S(x) = f2(x) (x – точка непрерывности функции f2)

(x – точка разрыва функции f2)


ПРИЛОЖЕНИЯ

1.Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье общего вида

N=1


N=2


N=3


N=5


N=10


N=50


2. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье по косинусам

N=1


N
=2


N
=3


N
=5


N
=10


N
=50


3. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье по синусам

N=1


N
=2


N
=3


N
=5


N
=10


N
=50


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Битюков Ю. И.

Лекции по математическому анализу

2. Зорич В. А.

Математический анализ (Часть 1)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20865. Учет и аудит выпуска готовой продукции (работ, услуг) 505 KB
  Целью дипломной работы является изучение операций по выпуску и оприходованию готовой продукции (работ, услуг), правилами их оценки и методикой отражения в бухгалтерском учете всех этих операций, рассмотрение порядка отражения этих операций на синтетических и аналитических счетах в бухгалтерском учете.
20866. Расчет и проект привода к пластинчатому транспартеру 2.46 MB
  В курсовом проекте проведены расчеты входных данных для проектирования привода: передаточных чисел, частот вращения, мощностей, вращающих моментов для всех валов редуктора. Проведены проектировочные и проверочные расчеты передач, валов, подшипников, муфт, шпоночных соединений, группового болтового соединения. Подобраны стандартные детали и смазка. Описана конструкция редуктора.
20868. Б.А. ТАРАШКЕВІЧ – АЎТАР ПЕРШАЙ “БЕЛАРУСКАЙ ГРАМАТЫКІ” 103.5 KB
  Сярод старэйшых людзей у былой Заходняй Беларусі і сёння амаль не сустрэнеш чалавека, які б не ведаў імя Браніслава Тарашкевіча. Адны ўспамінаюць, што вывучалі родную мову па ягонай граматыцы, другім з даўніх год запала ў сэрца палымянае слова Тарашкевіча- дэпутата, сказанае ім на мітынгу, ці баявая антыўрадавая прамова ў польскім сейме
20869. Условия прочности грунтов оснований 258 KB
  Механика грунтов, основания и фундаменты вместе с инженерной геологией и охраной природной среды составляют особый цикл строительных дисциплин. Предметом его изучения являются материалы, как правило, природного происхождения – грунты и их взаимодействие с сооружениями.
20870. Специальное программное обеспечение 252 KB
  Персональный компьютер, как известно, является универсальным устройством для обработки информации. Персональные компьютеры могут выполнять любые действия по обработке информации. Для этого необходимо составить для компьютера на понятном ему языке точную и подробную последовательность инструкций - программу
20871. ФИНАНСОВОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ 5.62 MB
  В условиях рыночной экономики государственные и муниципальные органы выполняют функции регуляторов производства, хозяйствующих субъектов, участников обмена. Для обеспечения своих функций они создают финансовую систему, которая включает три уровня: федеральный, региональный, муниципальный.
20872. Водопостачання, водовідведення та поліпшення якості води 354.5 KB
  Тип основних споруд та установок-освітлювачі зі зваженим осадом (за таблицею 14 ДБН: Рекомендації для попереднього вибору споруд для освітлення і знебарвлення води).
20873. Основи технічної графіки: проеціювання на дві площини 97.5 KB
  Мета уроку: Засвоєння знань про проеціювання центральне паралельне; креслення деталей об'ємної форми та умовні позначення на кресленнях. Формування умінь здійснювати проеціювання на дві взаємно перпендикулярні площини. План вивчення 1 Суть поняття проеціювання.