97099

Ряды Фурье

Курсовая

Математика и математический анализ

Основные определения. Достаточные условия поточечной сходимости ряда Фурье. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Разложение в ряд Фурье общего вида. Разложение в ряд Фурье по косинусам. Разложение в ряд Фурье по синусам. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье общего вида. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье по косинусам.

Русский

2015-10-13

2.58 MB

3 чел.

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

Ряды Фурье

Выполнил:

Жбанов Илья Михайлович

3О-103С

Проверил: Мартюшова Я.Г.

ст.преподаватель каф.804

Москва

2015г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Основные определения_____________________________________3

2. Достаточные условия поточечной сходимости ряда Фурье_______4

3. Ряд Фурье для четных и нечетных функций____________________4

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Разложение в ряд Фурье общего вида_________________________6

2. Разложение в ряд Фурье по косинусам_______________________11

3. Разложение в ряд Фурье по синусам_________________________15

ПРИЛОЖЕНИЯ

1.Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье общего вида__19

2. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье по косинусам_25

3. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье по синусам___31

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ__________________________________37


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Основные определения

Пусть

Функциональный ряд ,  где

,

, n=0, 1,…

,

называется рядом Фурье функции f(x).

Обозначается

Функция y = f(x) называется кусочно-дифференцируемой на[a; b], если существует разбиение этого отрезка x0 = a < x1 < … < xn-1 < xn = b, такое что существуют                                                                                                                                                    и функции   принадлежат C1 [xi-1 ; xi] (то есть, имеют непрерывную производную на [xi-1 ; xi].


2. Достаточные условия поточечной сходимости ряда Фурье

Теорема Дирехле
       Если функция  
f определена на [a; b] и кусочно-дифференцируема на [a; b], то ряд Фурье функции f сходится в каждой точке x интервала (a; b) к значению ,  а в точках a и b – к значению  .

Если функция f – -периодическая и кусочно-дифференцируемая на промежутке длины периода, то ряд Фурье функции f сходится в любой точке x к значению  .

3. Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Лемма Римана
       Если

Для  

Если               , n=0, 1, …
,
,
n=1, 2,…
и

Если  нечетная, то
,
n=0, 1,…
,
,
n=1, 2,…
и


ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Постановка задания

Задание 1. Представить функцию рядом Фурье. Построить график суммы ряда. В MatLab построить графики частичных сумм ряда Фурье.

Задание 2. Разложить функцию в ряд Фурье по синусам кратных дуг. Построить график суммы ряда Фурье. В MatLab построить графики частичных сумм ряда Фурье.

Задание 3. Разложить функцию в ряд Фурье по косинусам кратных дуг. Построить график суммы ряда Фурье. В MatLab построить графики частичных сумм ряда Фурье.

Определим функцию по графику

1. Разложение в ряд Фурье общего вида

Рассмотрим функцию  


Доопределим функцию f1 на всю числовую прямую как -периодическую, где  на всю числовую прямую.


-периодическая, имеет на любом конечном промежутке конечное число точек разрыва первого рода, следовательно, ее можно представить рядом Фурье:

Так как при , то

 

 

 

  Функция f2 кусочно-дифференцируема, значит, существует конечная и непрерывная производная на каждом промежутке. Поэтому ряд Фурье сходится в любой точке числовой прямой.

 S(x) = f2(x) (x – точка непрерывности функции f2)

 (x – точка разрыва функции f2)



2. Разложение в ряд Фурье по косинусам

Рассмотрим функцию , то есть f1(x) – четная

Доопределим функцию f1 на всю числовую прямую как -периодическую, где


Так как f2 – четная, 2L - периодическая, имеет на любом конечном промежутке конечное число точек разрыва первого рода, следовательно, ее можно представить рядом Фурье:  

f2(x) = f(x), следовательно

Функция f2 кусочно-дифференцируема,  значит, существует конечная и непрерывная производная на каждом промежутке. Поэтому ряд Фурье сходится в любой точке числовой прямой.

 S(x) = f2(x) (x – точка непрерывности функции f2)

(x – точка разрыва функции f2)



3. Разложение в ряд Фурье по синусам

Рассмотрим функцию, то есть f1(x) – четная 

Доопределим функцию f1 на всю числовую прямую как -периодическую, где

Так как f2 – четная, 2L - периодическая, имеет на любом конечном промежутке конечное число точек разрыва первого рода, следовательно, ее можно представить рядом Фурье:  

f2(x) = f(x),, следовательно

 

Функция f2 кусочно-дифференцируема, значит, существует конечная и непрерывная производная на каждом промежутке. Поэтому ряд Фурье сходится в любой точке числовой прямой.

 S(x) = f2(x) (x – точка непрерывности функции f2)

(x – точка разрыва функции f2)


ПРИЛОЖЕНИЯ

1.Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье общего вида

N=1


N=2


N=3


N=5


N=10


N=50


2. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье по косинусам

N=1


N
=2


N
=3


N
=5


N
=10


N
=50


3. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье по синусам

N=1


N
=2


N
=3


N
=5


N
=10


N
=50


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Битюков Ю. И.

Лекции по математическому анализу

2. Зорич В. А.

Математический анализ (Часть 1)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

49019. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ 916.5 KB
  Распределение относительной среднеквадратичной ошибки (ОСКО) входных преобразований на четыре составляющих: ОСКО, вызванной ограничением мгновенных значений исходного непрерывного процесса, ОСКО, вызванной временной дискретизацией, ОСКО квантования исходного непрерывного процесса и ОСКО искажений сообщения, вызванных действием помех...
49020. Разработка информационной системы (ИС) «Агентство недвижимости» 635 KB
  Понятие базы данных. Основные термины для работы с базами данных. Создание таблицы в базе данных Описание созданных запросов
49021. Электронный парамагнитный резонанс (ЭПР) 1.39 MB
  В отсутствие постоянного магнитного поля Н магнитные моменты неспаренных электронов направлены произвольно, состояние системы таких частиц вырождено по энергии. При наложении поля Н проекции магнитных моментов на направление поля принимают определенные значения и вырождение снимается (эффект Зеемана), т. е. происходит расщепление уровня энергии электронов E0.
49022. Методы ближнепольной и конфокальной микроскопии. Их аппаратное и метрологическое обеспечение 726.5 KB
  Содержание пояснительной записки курсовой работы проекта: Методы ближнепольной микроскопии Ближнепольный растровый оптический микроскоп БРОМ Аппаратное обеспечение ближнепольной микроскопии Методы конфокальной микроскопии Конфокальный лазерный сканирующий микроскоп Применение конфокального микроскопа...
49023. Режим термической обработки пружин из стали 65Г 267.5 KB
  Основной целью курсовой работы по технологии конструкционных материалов является освоение принципов выбора конструкционных материалов для деталей машин, инструмента, основываясь на знании состава и строения металлических конструкционных материалов и методов придания материалам заданных форм.
49024. РАСЧЕТ ТЕПЛОВОЙ СХЕМЫ КОМБИНИРОВАННОЙ ПГУ ЭЛЕКТРОСТАНЦИИ 1.29 MB
  Схема КПГУ с дожиганием продуктов сгорания ГТУ в топке парового котла и подводом дополнительного топлива и воздуха КПГУ с утилизацией продуктов сгорания ГТУ в топке парового котла без дожигания топлива: при этом генерация пара в котле – утилизаторе осуществляется только за счет теплоты выхлопных газов...
49025. Расчет принципиальной схемы замкнутой системы электропривода 685.5 KB
  Электродвигатель постоянного тока независимого возбуждения с рабочей машиной, при допущениях постоянного магнитного потока двигателя, скомпенсированной реакции якоря двигателя, абсолютно жёстких механических соединениях и постоянном моменте инерции J привода
49026. Расчет физических свойств природного газа при нормальных условиях 1012 KB
  Расчет физических свойств природного газа при нормальных условиях Основные физикохимические свойства компонентов газов используемых для газоснабжения Газы Молекулярная масса кг моль Плотность при 0 С и атмосферном давлении кг м3 Критическая температура...