97099

Ряды Фурье

Курсовая

Математика и математический анализ

Основные определения. Достаточные условия поточечной сходимости ряда Фурье. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Разложение в ряд Фурье общего вида. Разложение в ряд Фурье по косинусам. Разложение в ряд Фурье по синусам. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье общего вида. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье по косинусам.

Русский

2015-10-13

2.58 MB

5 чел.

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

Ряды Фурье

Выполнил:

Жбанов Илья Михайлович

3О-103С

Проверил: Мартюшова Я.Г.

ст.преподаватель каф.804

Москва

2015г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Основные определения_____________________________________3

2. Достаточные условия поточечной сходимости ряда Фурье_______4

3. Ряд Фурье для четных и нечетных функций____________________4

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Разложение в ряд Фурье общего вида_________________________6

2. Разложение в ряд Фурье по косинусам_______________________11

3. Разложение в ряд Фурье по синусам_________________________15

ПРИЛОЖЕНИЯ

1.Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье общего вида__19

2. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье по косинусам_25

3. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье по синусам___31

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ__________________________________37


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Основные определения

Пусть

Функциональный ряд ,  где

,

, n=0, 1,…

,

называется рядом Фурье функции f(x).

Обозначается

Функция y = f(x) называется кусочно-дифференцируемой на[a; b], если существует разбиение этого отрезка x0 = a < x1 < … < xn-1 < xn = b, такое что существуют                                                                                                                                                    и функции   принадлежат C1 [xi-1 ; xi] (то есть, имеют непрерывную производную на [xi-1 ; xi].


2. Достаточные условия поточечной сходимости ряда Фурье

Теорема Дирехле
       Если функция  
f определена на [a; b] и кусочно-дифференцируема на [a; b], то ряд Фурье функции f сходится в каждой точке x интервала (a; b) к значению ,  а в точках a и b – к значению  .

Если функция f – -периодическая и кусочно-дифференцируемая на промежутке длины периода, то ряд Фурье функции f сходится в любой точке x к значению  .

3. Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Лемма Римана
       Если

Для  

Если               , n=0, 1, …
,
,
n=1, 2,…
и

Если  нечетная, то
,
n=0, 1,…
,
,
n=1, 2,…
и


ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Постановка задания

Задание 1. Представить функцию рядом Фурье. Построить график суммы ряда. В MatLab построить графики частичных сумм ряда Фурье.

Задание 2. Разложить функцию в ряд Фурье по синусам кратных дуг. Построить график суммы ряда Фурье. В MatLab построить графики частичных сумм ряда Фурье.

Задание 3. Разложить функцию в ряд Фурье по косинусам кратных дуг. Построить график суммы ряда Фурье. В MatLab построить графики частичных сумм ряда Фурье.

Определим функцию по графику

1. Разложение в ряд Фурье общего вида

Рассмотрим функцию  


Доопределим функцию f1 на всю числовую прямую как -периодическую, где  на всю числовую прямую.


-периодическая, имеет на любом конечном промежутке конечное число точек разрыва первого рода, следовательно, ее можно представить рядом Фурье:

Так как при , то

 

 

 

  Функция f2 кусочно-дифференцируема, значит, существует конечная и непрерывная производная на каждом промежутке. Поэтому ряд Фурье сходится в любой точке числовой прямой.

 S(x) = f2(x) (x – точка непрерывности функции f2)

 (x – точка разрыва функции f2)



2. Разложение в ряд Фурье по косинусам

Рассмотрим функцию , то есть f1(x) – четная

Доопределим функцию f1 на всю числовую прямую как -периодическую, где


Так как f2 – четная, 2L - периодическая, имеет на любом конечном промежутке конечное число точек разрыва первого рода, следовательно, ее можно представить рядом Фурье:  

f2(x) = f(x), следовательно

Функция f2 кусочно-дифференцируема,  значит, существует конечная и непрерывная производная на каждом промежутке. Поэтому ряд Фурье сходится в любой точке числовой прямой.

 S(x) = f2(x) (x – точка непрерывности функции f2)

(x – точка разрыва функции f2)



3. Разложение в ряд Фурье по синусам

Рассмотрим функцию, то есть f1(x) – четная 

Доопределим функцию f1 на всю числовую прямую как -периодическую, где

Так как f2 – четная, 2L - периодическая, имеет на любом конечном промежутке конечное число точек разрыва первого рода, следовательно, ее можно представить рядом Фурье:  

f2(x) = f(x),, следовательно

 

Функция f2 кусочно-дифференцируема, значит, существует конечная и непрерывная производная на каждом промежутке. Поэтому ряд Фурье сходится в любой точке числовой прямой.

 S(x) = f2(x) (x – точка непрерывности функции f2)

(x – точка разрыва функции f2)


ПРИЛОЖЕНИЯ

1.Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье общего вида

N=1


N=2


N=3


N=5


N=10


N=50


2. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье по косинусам

N=1


N
=2


N
=3


N
=5


N
=10


N
=50


3. Графики частичных сумм разложения в ряд Фурье по синусам

N=1


N
=2


N
=3


N
=5


N
=10


N
=50


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Битюков Ю. И.

Лекции по математическому анализу

2. Зорич В. А.

Математический анализ (Часть 1)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37536. Индивид, индивидуальность, личность 13.14 KB
  Для человека как индивидуального феномена философия использует множество выражений. Уникальность реальной жизни и деятельности отдельного человека в это понятие не входит. С помощью понятия индивид подчеркивается исходная зависимость каждого отдельного человека от социальных условий в которых совершалось его личностное формирование. Однако несводимость человека к его социальногрупповому положению независимость поведения от первоначально обусловивших го факторов способность быть ответственным за свой моральный облик все это фиксируется...
37538. Милетская школа, Фалес Милетский 51.22 KB
  Первый из ионических философов Фалес из Милета жил приблизительно в 640562 гг. Разносторонние познания Фалеса в области астрономии геометрии арифметики имели определенное влияние на развитие его философского мышления. Именно это и повлияло на взгляды Фалеса направленные на постижение сущности мира. Основой всего сущего Фалес считал воду.
37540. Философия и ее основные смыслы 35.46 KB
  То есть он имел в виду не благоприобретенное субъективное свойство человеческого ума а некое объективное качество разумно устроенного и гармоничного мира. Проследите становление ОВФ историческую роль категорий Смерть Жизнь Тело Душа Природа Дух Бог Бытие Мышление Материя Сознание Материальный мир Духовный мир как ступеней абстрагирования при постановке проблемы. Homo Spiens начинается с момента который может длиться веками когда он осознает себя как индивидуальность личность Я окруженную...
37541. Парменид – древнегреческий философ 14.91 KB
  Парменид рассуждает следующим образом: поскольку изменение происходят во времени и пространстве объект познания существует вне времени и пространства и следовательно не доступен для органов чувств: нет ничего в заблуждающихся умах кроме того что уже было в их заблуждающихся органах чувств. Например из апории Стрела следует летящая стрела в каждый момент времени имеет одно положение в пространстве и следовательно неподвижна. А если она неподвижна в каждый отдельный момент времени то и в сумме всех временных отрезков она...
37542. Первые философы. На какой вопрос они пытались ответить 14.11 KB
  В качестве первоосновы предлагалась одна из природных стихий или их сочетание вода земля огонь воздух. Анаксимандр в качестве первоначала всего сущего считает апейрон беспредельное. Можно считать что Анаксимандр в определенной степени отходит от натурфилософского обоснования первоначала и дает более глубокое его толкование полагая в качестве первоначала не какойлибо конкретный элемент например воду а признавая таковым апейрон материю рассматриваемую как обобщенное абстрактное первоначало приближающееся по своей сущности к...
37543. ЛОГИКА И МЕТОДОЛОГИЯ НАУКИ СТРУКТУРА НАУЧНЫХ РЕВОЛЮЦИЙ 1.08 MB
  Кун Логика и методология науки СТРУКТУРА НАУЧНЫХ РЕВОЛЮЦИЙ Перевод с английского И. То счастливое обстоятельство что я с увлечением прослушал пробный университетский курс по физике читавшийся для неспециалистов позволило мне впервые получить некоторое представление об истории науки. К моему полному удивлению это знакомство со старыми научными теориями и самой практикой научного исследования в корне подорвало некоторые из моих основных представлений о природе науки и причинах ее достижений. Я имею в виду те представления которые ранее...